Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tintinh thể hỗn độn tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ
ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
----------------------------VƢƠNG THỊ MỸ HẠNH

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG CÁC HỆ SỐ ĐÀN HỒI
ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 9440107

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH CƠ HỌC

Hà Nội - 2020


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công
nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH. Phạm Đức Chính
Người hướng dẫn khoa học 2 : TS. Lê Hoài Châu

Phản biện 1: GS. TS. Phạm Chí Vĩnh
Phản biện 2: PGS. TS. Lã Đức Việt
Phản biện 3: PGS. TS. Trần Bảo Việt

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến

sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’,
ngày … tháng … năm 2020

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
a. Nguyên nhân khách quan
Vật liệu đa tinh thể đang được sử dụng nhiều trong mọi lĩnh
vực của đời sống con người. Hướng nghiên cứu các hệ số đàn
hồi của vật liệu này đã có nhiều kết quả giải tích tiêu biểu:
Voigt, Ruess, Hill, Hashin-Strikman, Phạm Đức Chính... Tuy
nhiên kết quả PTHH chưa nhiều. Câu hỏi đặt ra là: những đánh
giá trên có phải là tốt nhất, có thể xây dựng các kết quả giải tích
tốt hơn, tính toán phần tử hữu hạn (PTHH) cụ thể như thế nào,
liệu có khác biệt nhiều so với các kết quả giải tích đã có?…
b. Nguyên nhân chủ quan
Đồng nhất hóa vật liệu là hướng nghiên cứu lâu năm của
thầy hướng dẫn Phạm Đức Chính cùng nhóm Cơ học Vật liệu
với nhiều kết quả công bố. NCS đã hoàn thành luận văn thạc sỹ
về đồng nhất hóa hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng.
Do đó, NCS chọn đề tài “Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn
hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn” làm luận án nghiên cứu.
2. Mục tiêu, phƣơng pháp nghiên cứu của luận án

a. Mục tiêu: tìm ra các đánh giá tốt hơn các đánh giá đã có, đưa
ra được các kết quả so sánh đánh giá giải tích và PTHH cụ thể.
b. Phương pháp: sử dụng đường hướng năng lượng và áp dụng
đồng thời phương pháp giải tích và phương pháp số.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu của luận án
a. Đối tượng: các hệ số đàn hồi vĩ mô của đa tinh thể d chiều.
b. Phạm vi: Đối với các đánh giá, luận án xét vật liệu đa tinh
thể d chiều; Đối với mô phỏng số, luận án chỉ xét các đa tinh
thể 2D với dạng hình học hexagonal của các tinh thể.


2

4. Những đóng góp mới của luận án
a. Lý thuyết: Các trường khả dĩ, các đánh giá và các kết quả
tính toán cụ thể cho các mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu đa tinh
thể d chiều là mới và tốt hơn so với các đánh giá trước đây.
b. Mô phỏng số: Kết quả và chương trình tính PTHH cho mô
đun đàn hồi của các đa tinh thể square, orthorhombic, tetragonal
với hướng tinh thể hỗn độn là mới.
5. Bố cục luận án
Chương 1: Trình bày lịch sử phát triển và phương pháp nghiên
cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể của các tác giả đi trước.
Chương 2: Dùng đường hướng biến phân để xây dựng các đánh
giá cho các hệ số đàn hồi vĩ mô tổng quát. Chương 3: Áp dụng
kết quả Chương 2 cho các lớp đa tinh thể 2D, 3D; Tính toán và
so sánh với các đánh giá V-R, HS, PĐC, SC, luận án và nhận
xét. Chương 4: Áp dụng PTHH để mô phỏng các giá trị mô đun
đàn hồi vĩ mô 2D, so sánh với các kết quả đánh giá và nhận xét.
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1. Tổng quan về vật liệu đa tinh thể
Vật liệu đa tinh thể được cấu tạo từ những đơn tinh thể
thường có sắp xếp hỗn độn với hình học không gian xác định.

Hình 1.2: Mô hình vật liệu đa tinh thể hỗn độn
1.2. Lịch sử nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể
1.2.1. Sơ lược quá trình phát triển hướng nghiên cứu
Cách tiếp cận phổ biến là sử dụng phương pháp biến phân,
các giả thuyết về đẳng hướng thống kê và đối xứng hình học cơ


3

sở đã giúp thu hẹp các biên đánh giá từ bậc một đến bậc hai và
bậc ba. Thực nghiệm chỉ ra rằng giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô
phân tán gần như thống nhất trong một khoảng so với các đánh
giá bậc ba. Do đó các đánh giá bậc ba là đánh giá tốt nhất cho
tính chất vĩ mô của đa tinh thể cũng như vật liệu tổ hợp.
1.2.2. Các đánh giá điển hình
a. Đánh giá Voigt- Ruess- Hill (đánh giá bậc một)
k eff ,  eff là mô đun đàn hồi khối và trượt vĩ mô; kV , V , kR , R là

các đánh giá Voigt, Reuss; Cijkl , Sijkl (i, j, k , l  1, d ) là hệ số đàn
hồi cứng và mềm của tinh thể hướng α:
kV 

1 
1
  1  
Ciijj ; V  2

 Cijij  Ciijj 
d2
d d 2
d


 


kR  Siijj

1

; R 

(1.1)

4
  1  
 Sijij  Siijj 
2
d
d d 2


1

kV  k eff  kR ; V   eff  R

(1.2)

(1.3)

b. Đánh giá Hashin- Strikman (đánh giá bậc hai)
HS với nguyên lý biến phân mới và trường phân cực đã xây
dựng đánh giá tốt hơn Hill. Công thức HS cho vật liệu tổ hợp
đẳng hướng tổng quát khá phức tạp. Với cubic, đánh giá HS cho
L
U
mô đun khối trên k HS
và dưới k HS
có dạng đơn giản:
U
L
kHS
 kHS
 kV  kR 



1
2C11  2C11  C33
9



L
Đánh giá HS cho mô đun trượt trên  UHS và dưới  HS
:
L
UHS  P (C,k eff , 0UHS ) , HS

 P (C,k eff , 0LHS ) ,

P (C, k 0 , 0 )  5

C

11



 C12  2* (C44  * )

3(C11  C12 )  4C44  10*

 * ,

(1.5)


4

*  0



9k0  80
 C  C12

, 0UHS  max  11
, C44  ,

2
6k0  120






 C11  C12

, C44  .
2





0LHS  min 

(1.8)

c. Đánh giá Phạm Đức Chính (đánh giá bậc ba)
Không xuất phát từ nguyên lý HS, nhưng từ các nguyên lý
năng lượng cực tiểu và xây dựng trường khả dĩ phân cực tương
tự trường HS, PĐC đã tìm được đánh giá hẹp hơn đánh giá HS
nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba về hình học pha của
vật liệu A , B . Đánh giá PĐC cho đa tinh thể hạt cầu có dạng
đơn giản:
9 k0  8  0
4

Cij*kl  Tijkl (k* , * );k*  0 ; *  0
3
6k0  120



ε0 : Ceff : ε 0  ε 0 : C * )1

1





σ 0 : (Ceff )1 : σ 0  σ 0 : C * )1

(1.10)



 C* : ε 0 , C0  C
1



 C*



1

0
1
: σ0 , C  C

(1.24)
1

(1.26)

d. Giá trị tự tương hợp (SC)
Giá trị SC là nghiệm C0 của phương trình:
C0 

1
 * 1

C 

 C*

(1.27)

Ưu điểm: tính toán đơn giản, cho kết quả nhanh; Nhược điểm: là
giá trị cho mô hình vật liệu lý tưởng (ít gặp trong thực tế) và có
nhiều sai số, nên luận án chỉ sử dụng để tham khảo.
1.3. Phƣơng pháp nghiên cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể
1.3.1. Phương pháp giải tích
Giải bài toán thông qua việc tìm cực trị các phiếm hàm năng
lượng trên RVE. Cụ thể: chọn các trường thử khả dĩ cho biến

dạng và ứng suất, đặt vào các phương trình cơ học, với các ràng


5

buộc, biến đổi để nhận được các đánh giá. Đây là phương pháp
truyền thống mà V-R, HS, PĐC sử dụng.
1.3.2. Phương pháp số
Dùng phương pháp PTHH với các bước tiến hành cơ bản:
gieo hướng tinh thể ngẫu nhiên, chia lưới RVE, thiết lập ma
trận độ cứng, các phương trình mô tả cân bằng của vật liệu, áp
các điều kiện, giải hệ phương trình để nhận được các chuyển vị
nút, biến dạng, ứng suất,... từ đó tính các hệ số đàn hồi vĩ mô.
1.4. Kết luận chƣơng 1
Việc nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể có ý
nghĩa khoa học và thực tiễn cao. Các kết quả giải tích rất phát
triển, tuy nhiên kết quả PTHH còn ít công bố. Vì vậy, NCS sử
dụng cả 2 phương pháp giải tích và số để nghiên cứu, đồng thời
đưa ra các so sánh và kết luận cụ thể.
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG ĐÁNH GIÁ MÔ ĐUN ĐÀN HỒI
VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN D CHIỀU
Chương này sử dụng phương pháp giải tích để xây dựng các
đánh giá trên và dưới tổng quát cho mô đun đàn hồi khối và
trượt vĩ mô của đa tinh thể d chiều. Những nhận xét cho các
đánh giá mới này được trình bày ở cuối chương.
2.1. Cơ sở khoa học
2.1.1. Các hệ số đàn hồi của đơn tinh thể
Các tinh thể là dị dướng với tính chất đàn hồi và thường dùng



ký hiệu Voigt 2 chỉ số C  Cmn  , S  Smn  , m, n  1,6 hoặc

 

 



Voigt 4 chỉ số C  Cijkl
, S  Sijkl
, i, j, k , l  1, d .

2.1.2. Các hệ số đàn hồi của đa tinh thể
Xác định các hệ số đàn hồi theo các công thức sau đây.
a. Định luật Hooke


6

Trường ứng suất và trường biến dạng có liên hệ:
σ  Ceff : ε

(2.22)

b. Nguyên lý năng lượng cực tiểu

Wε  ε0 : Ceff : ε0  inf 0  ε : C : εdx
ε ε

(2.29)

V

với ε thỏa mãn phương trình tương thích.
c. Nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (với σ cân bằng)



Wσ  σ 0 : Ceff



1

: σ 0  inf 0  σ : C1 : σdx
σ σ

(2.34)

V

2.2. Mô đun đàn hồi khối vật liệu đa tinh thể d chiều
2.2.1. Các công thức xuất phát
Coi RVE có V=1 đơn vị thể tích, v là tỷ lệ thể tích tương ứng
của miền V  V . Các tham số thống kê hình học pha bậc ba:
A   ij ij dx , ij  ,ij 
V

1
v

 

B    ijkl
 ijkl dx ,  ijkl
  ,ijkl 
V




,ij

dx ,

V

1
v




,ijkl

dx .

(2.50)

V

  ,  là hàm thế điều hòa và song điều hòa. Các tham số hình
học f1, f3, g1, g3 chịu ràng buộc:
f1  f3 

d 1
(d  1)(d  3)
, g1  g3 
d(d  2)
d

(2.52)

6
d2 1
6
d 1
f1 
 g1 
f1
 f1  0 ,
d

4
(
d

2
)(
d


4
)
d
4
d

(2.54)

2.2.2. Xây dựng đánh giá trên mô đun đàn hồi khối
Trường thử khả dĩ HS chọn có dạng:

 ij 

3k0  0
0 (3k0  40 )

 p 
kl

,ijkl



1
0

 p (i )
m

,j m

(2.55)


7

Trường này chỉ có 2 hệ số tự do k0 , 0 , HS biến đổi từ cùng
một trường khả dĩ này để dẫn đến đánh giá trên và dưới. Tham
khảo trường HS, phân tách phiếm hàm năng lượng của PĐC,
luận án chọn các trường thử tổng quát d chiều khác nhau cho
đánh giá trên và dưới, cụ thể với đánh giá trên cho k eff :

 ij 

n
1
1

 ij ε0   aik ,kj  ajk,ki  bakl ,ijkl 
d
2

 1 

 



(2.56)

trong đó: ε 0 là biến dạng thể tích của vật thể; a  aij  là các
n

v a  0 ;



hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc

0  b  2 là

1

tham số vật liệu đa tinh thể.
Đặt trường biến dạng khả dĩ vào biểu thức năng lượng cực tiểu,
biến đổi ta được:

 

W  kV ε0

2

 2ε0

n




v CK : a 

1

n

v a : A : a



(2.60)

1


bkV 
1 
2b 
A
CK  CijK  Cijkk 2 1 
 , A  C pq
   ij
d

2
d

2
d





A
'A
C pq  C pq  Dpq ,

 

 









1
1
Cikjl  C jkil B2  Ciipp kl  Cklppij B3
2
2
1
1
 Cipjp kl  Ckplpij B4  Cipkp jl  C jpkpil  C jplpik  Ciplp jk B5
2
4

1
 Cikpp jl  C jlpp ik  C jkpp il  Cilpp jk B6 ,
4
1
Dijkl   ij kl D1   ik jl   il jk D2 ,
2
2


D1   kV  V   f3 F1  g3G1   V  f3 F2  g3G2 
d



Cij' Akl  Cijkl B1 


















d2  d  2 
 dkV  f3 F3  g3G3    kV 
V   f3 F4  g3G4  ,
d




8



 d  1 d  3
d 1
b2
F7 
G7 
kV ,
d
d  d  2
 d  2 2

d 2 

D2  2V  f3 F1  g3G1    kV 
V   f3 F2  g3G2  
d




d2  d  2 
d 1
  kV 
V   f3 F5  g3G5   dkV  f3 F6  g3G6  
F8 ,
d
d


2
 d  1 d  3 ,
1 
2b 

G8 B1  2 1 
  f1 F1  g1 G1 ,
d  d  2
d  d 2

B2  f1 F2  g1 G2 , B3 

4b2
2b

 f1 F3  g1 G3
d 2  d  2  d 2  d  2 2

B4  f1 F4  g1 G4 , B5  f1 F5  g1 G5 , B6  f1 F6  g1 G6

(2.61)

Fi, Gi, là các biểu thức liên quan đến thông số của tinh thể.
Tìm cực trị (2.60), tối ưu theo các aij chịu ràng buộc (2.59), sử
dụng phương pháp nhân tử Lagrange, ta được:
k eff  k Ud  C, f1 , g1 , b  , k Ud  kV  CK : A-1
A-1

1



: A-1 : CK



 CK : A1 : CK





:

(2.63)

Tối ưu hóa (2.63) đối với b, các tham số f1, g1 chịu ràng buộc
(2.52), (2.54), ta được đánh giá trên:

k eff  max min K Ud  C, f1 , g1 , b 
f1 , g1

b

(2.64)

 Ở đây ta chọn min theo b vì: trường biến dạng khả dĩ thì sẽ
thỏa mãn tất cả các giá trị của b, nên chọn giá trị mô đun đàn
hồi khối vĩ mô nhỏ nhất theo b để đảm bảo tính tối ưu.
 Chọn max theo f1, g1: đây là 2 thông số thể hiện dạng hình học
của đa tinh thể, nên chọn các giá trị làm cho mô đun vĩ mô lớn
nhất để làm đánh giá trên.


9

2.2.3. Xây dựng đánh giá dƣới mô đun đàn hồi khối
Tương tự, chọn trường khả dĩ tổng quát cho ứng suất:
n

 ij   ij 0    aik ,kj  a jk,ki   b  1  ij akl ,kl
 1

aij   bakl ,ijkl 

(2.65)
n

với a là các hệ số vô hướng tự do chịu ràng buộc

v a  0 ;


1



I là hàm chỉ số hình học pha α.
Đặt trường khả dĩ vào phiếm hàm năng lượng bù cực tiểu, tối
ưu theo aij , b, f1, g1 chịu các ràng buộc tương ứng, ta được đánh
giá dưới:

k eff  min max K Ld  C, f1 , g1  , K Ld   kR1  CK : A-1

f1 , g1 b
1

A-1



: A-1 : CK



 CK : A1 : CK








:

1

(2.73)

2.3. Mô đun đàn hồi trƣợt vật liệu đa tinh thể d chiều
2.3.1. Xây dựng đánh giá trên mô đun trượt d chiều
Chọn trường thử khả dĩ d chiều cho biến dạng:

1  

(2.75)
aik,kj  ajk,ki  bakl ,ijkl 

 1  2
với ε 0 là biến dạng lệch. Biến đổi tương tự ta được đánh giá:
 eff  max min  Ud  C, f1 , g1 , b  ,
n

 ij   ij0   



f1 , g1



 Ud   V 


A-1



b

1
1


T
-1
 M ijij  M iijj   , M  CM  : A
3
d d 2


1



2

: A-1 : CM



 CTM : A1 : CM



2.3.2. Xây dựng đánh giá dưới mô đun trượt
Chọn trường thử khả dĩ d chiều cho ứng suất:



:

(2.79)


10
n

 ij   ij0    aik ,kj  a jk,ki   b  1 ij akl ,kl
 1

aij   bakl ,ijkl 

(2.80)

σ 0 là ứng suất lệch. Tương tự ta được đánh giá:
 eff  min max  Ld  C, f1 , g1  ,
f1 , g1

b

1



Ld


2
1

   R1   M ijij  M iijj   , M  M ijkl  CTM  : A-1
5
3


A-1

1



: A-1 : CM







 CTM : A1 : CM





:

(2.84)

2.4. Kết luận chƣơng 2
Xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu, các
trường khả dĩ tổng quát hơn HS, NCS đã xây dựng được các
đánh giá mới cho các hệ số đàn hồi vĩ mô đa tinh thể d chiều:
 Các đánh giá này phụ thuộc phức tạp vào các thông số hình
học f1, g1 và các hệ số đàn hồi thành phần Cij của đơn tinh thể.
 Khi không có các thông tin hình học này thì đánh giá của
luận án chính là đánh giá V-R. Số hạng thứ hai trong các biểu
thức đánh giá khiến cho kết quả của luận án tốt hơn.
CHƢƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ
CHO CÁC ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN TỪ CÁC LỚP ĐỐI
XỨNG TINH THỂ CỤ THỂ
Chương này NCS sẽ áp dụng các công thức đánh giá
tổng quát ở chương 2 cho một số đối xứng tinh thể 2D, 3D. Sử
dụng Matlab tính toán cụ thể cho một số đa tinh thể thực tế và
so sánh với các kết quả đánh giá trước đây. Để tiện so sánh, ta
dùng tham số phân tán cho mô đun khối S k và trượt S  :
Sk 

U   L
kU  k L
,
S


U   L
kU  k L

(3.1)


11

k U , k L , U ,  L tương ứng là đánh giá trên và dưới của mô đun
đàn hồi khối và trượt. Các tham số phân tán này đặc trưng cho
sự chênh lệch tương đối giữa đánh giá trên và dưới, nếu tham số
phân tán nhỏ hơn thì đánh giá là tốt hơn.
3.1. Các đa tinh thể 2 chiều
3.1.1. Đối xứng tinh thể hình chữ nhật (Orthorhombic 2D)
a. Đánh giá trên mô đun đàn hồi diện tích
Tính các số hạng trong (2.64) cho orthorhombic 2D ta được:



AC
K U  KV  CKAC
11  CK 22



2

 

A
K R S pq
 CKCAC

(3.11)

b. Đánh giá dưới mô đun đàn hồi diện tích
Tương tự, từ (2.73) ta được:

K

Lfgb

1

  K R1  CKAC11  CKAC22
4






2

KV1

 
A
C pq


 CKCAC 

1

(3.15)



c. Kết quả các đánh giá và so sánh
Xét một số đa tinh thể orthorhombic 2D trong Bảng 3.1 (đơn vị
tính GPa). Từ (3.11), (3.15) tính ra kết quả đánh giá mới của
luận án K U , K L ; bU , f1U , g1U và b L , f1L , g1L là các giá trị của
các biến (các thông số hình học vật liệu đa tinh thể) đạt được
ứng với đánh giá trên và dưới của luận án; so sánh với đánh giá
U
L nhận được
V-R, đánh giá cho tinh thể dạng hình tròn Kcir
, Kcir
kết quả trong Bảng 3.2; S kLA , S kcir , S kVR tương ứng là các tham
số phân tán của Luận án, dạng hạt tròn và V-R.
Bảng 3.1: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể 2D orthorhombic
Tinh thể

C11

C22

C12

C33

S(1)

2.05

4.83

1.59

0.43

S(2)

2.40

2.05

1.33

0.76

U(1)

19.86

26.71

10.76

12.44

U(2)

21.47

19.86

4.65

7.43


12

Bảng 3.2: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích orthorhombic 2D

Tinh
thể

KR

KL

L
K cir

U
K cir

KU

KV

S(1)

1.9928

2.1365

2.1365

2.1612

2.1612

2.5150

S(2)

1.7604

1.7678

1.7678

1.7680

1.7774

1.7775

U(1)

16.554

16.739

16.7399

16.7489

16.7489

17.022

U(2)

12.637

12.643

12.6434

12.64341

12.64341

12.657

bL

bU

f1L

f1U

g1L
-1.40
0.06
0.51
-0.52
0
0.41
-1.02
0.16
0.51
-0.05
0
0.31

g1U
-0.67

0
0.20
-0.88
0.01
0.04
-0.97
0.31
0.41
-1.25
0.16
0.14

SkLA
(%)

Skcir
(%)

SkVR
(%)

0.57

0.57

11.5

0.27

0.01

0.48

0.03

0.03

1.39

4.105

4.105

0.08

Nhận xét Bảng 3.2: Đánh giá mới của luận án luôn nằm trong khoảng đánh giá V-R, chứng tỏ kết quả của luận án
là tốt hơn; Các giá trị S kLA gần như bằng S kcir và nhỏ hơn nhiều lần S kVR , chứng tỏ đánh giá của luận án sát với
dạng hình tròn và tốt hơn rất nhiều so với V-R.


13

3.1.2. Đối xứng tinh thể hình vuông (Square)
a. Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích

K eff 

1
 C11  C12 
2

(3.17)

b. Đánh giá mô đun đàn hồi trượt
1

CAC
CAC
 eff  max min  V  CMCAC
11  CM 12  2CM 33
b 
f1 , g1
4



1
1

  S11A  S12A  S33A 
4
2


1

C

AC
M 11

2
 CMAC12  2CMAC33 






CAC
CAC
 eff  min max  R1  CMCAC
11  CM 12  2CM 33
f1 , g1

b





 C11A  C12A  2C33A

 C
1

AC
M 11



(3.22)





2
 CMAC12  2CMAC33 


1

(3.25)

c. Kết quả các đánh giá và so sánh
Tính cho các tinh thể square trong Bảng 3.3, so sánh với các
U
L
U
L
đánh giá V-R, HS ( K HS
, K HS
, HS
, HS
) , giá trị SC ( K SC , SC ) ,

nhận được các kết quả trong Bảng 3.3 và 3.4.
Bảng 3.3: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi diện tích square
Square

C11

C12

C33

K eff  KV  K R  K HS

Ag

123

92

45.3

107.5

Ca

16

8

12

Cu

169

122

75.3

145.5

Ni

247

153

122

200

Pb

123

92

45.3

45.1

Li

13.6

11.4

9.8

12.5

12


14

Bảng 3.4: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt square
Square

R

L
 HS

L

 SC

U

UHS

V

S LA

S HS

S VR

Ag
Ca
Cu
Ni
Pb
Li

23.1
6.0
35.82
67.86
5.92
1.98

25.17
6.462
39.41
72.43
6.772
2.49

25.63
6.545
40.26
73.24

7.04
2.73

25.76
6.563
40.51
73.41
7.152
2.90

25.94
6.60
40.89
73.71
7.302
3.19

26.36
6.667
41.64
74.42
7.556
3.41

30.40
8.0
49.40
84.50
9.250
5.45

0.61
0.41
0.77
0.32
1.82
7.77

2.31
1.56
2.75
1.35
5.47
15.59

13.64
14.29
15.94
10.92
21.95
46.7

Nhận xét Bảng 3.3, 3.4: Mô đun trượt cho đối xứng square của luận án tốt hơn so với V-R, HS, còn mô đun
đàn hồi diện tích trùng nhau chứng tỏ kết quả luận án hoàn toàn hợp lý.
3.1.3. Tinh thể hình chữ nhật đáy vuông (Tetragonal 2D)
a. Đánh giá mô đun đàn hồi diện tích
Các đánh giá bậc ba K cUir , K cLir cho tetragonal 2D dạng hạt tròn:

K cLir  K eff  K cUir , K cLir  PK  R , * R  , K cUir  PK  V , *V  , PK ( 0 , * ) 
trong đó: * 

*
C11*C 22
 C12*
 0 .
C11  C 22  2C33  4*

K 0 0
KV V
K R R
*
, *V 
, * R 
, C11  C11  0  * ,
K 0  2 0
KV  2V
K R  2 R

*
*
 C33  * .
 C22  0  * , C33
C12*  C12  0  * , C22

(3.27)


15

b. Đánh giá mô đun đàn hồi trượt

Các đánh giá bậc ba cUir , cLir cho tetragonal 2D dạng hạt tròn:

CL   eff  CU , CL  P  R , * R  , CU  P  V , *V  ,
1

 C  C  2C  4
1 
P ( 0 , * )  2  11 *22 * 12 * *  *   * .
C11 C 22  C12
C33 


(3.28)

c. Kết quả các đánh giá và so sánh
Tính cho các tinh thể tetragonal 2D trong Bảng 3.5, so sánh với
V-R, nhận được kết quả tương tự trong Bảng 3.6 và 3.7.
Bảng 3.5: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể tetragonal 2D
Tetragonal 2D
BaTiO3
ZrSiO4
Sn
TiO2
In
Hg2Cl2
SnO2
Urea

C11
275

73.5
75.3
273
44.5
18.8
262
21.7

C12
151
-5.4
44.1
149
40.5
15.6
156
24

C22
165
46
95.5
484
44.4
80.1
450
53.2

C33
54.3

13.8
21.9
125
6.5
85.3
103
6.26

Bảng 3.6: Kết quả mô đun đàn hồi diện tích tetragonal 2D
Tinh
thể

KV

KU

KL

KR

SkVR

SkLA

BaTiO3

185.5

173.78

173.083

163.58

6.279

0.201

ZrSiO4

27.175

26.0262

26.0009

25.724

2.743

0.049

Sn

64.75

63.9885

63.9843

63.515

0.963

0.003

TiO2

263.75

248.078

247.672

239.501

4.818

0.082

In

42.475

42.4749

42.4749

42.4747

Hg2Cl2

32.525

24.4991

22.3135

18.6487

4.104
27.12

3.105
4.669

Urea

30.725

25.2314

24.7086

21.5033

17.66

1.047

16

Bảng 3.7: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt tetragonal 2D
Tinh
thể
BaTiO3
ZrSiO4
Sn
TiO2
In
Hg2Cl2

V

CU

CL

R

S VR

S LA

44.4
23.187
21.275
119.87
4.2375

51.112

40.924
20.176
21.1092
115.821
3.5787
29.292

40.7742
20.081
21.1087
115.744
3.49441
24.4153

38.997
19.066
21.046
113.65
3.0294
17.42

6.479
9.752
0.541
2.663
16.62
49.15

0.183
0.236
0.001
0.033
1.192
9.08

3.2. Các đa tinh thể 3 chiều
Tính toán tương tự cho tetragonal 3D, ta được các kết quả sau.
3.2.1. Mô đun đàn hồi thể tích



AC
K U  kV  2CKAC
11  2CK 33



2



1

AC
K L   kR1  2CKAC
11  2CK 33
9


 

A
 R S pq
 CKCAC



2

 


A
V1 C pq
 CKCAC 


3.2.2. Mô đun đàn hồi trượt

    
 4M C  M C 

(3.34)
1

(3.39)



A
AC
CAC 
(3.44)
 eff  max min  V  4 M R S pq
MV2 CMpq
 MV CMpq
f1 , g1

b



 eff  min max  R1
f1 , g1

b



4 MV

1
V

A
pq

C 

CAC
Mpq

2
V

CA
Mpq

1

(3.48)

3.2.3. Kết quả các đánh giá và so sánh
Áp dụng cho các tinh thể tetragonal 3D trong Bảng 3.8, so sánh
với V-R, HS, đánh giá PĐC cho lớp con của các đa tinh thể
hình cầu (kSu , kSl , Su , Sl ) nhận được kết quả Bảng 3.9 và 3.10.
Bảng 3.8: Các hệ số đàn hồi một số đa tinh thể tetragonal 3D
Tinh thể
BaTiO3
ZrSiO4
Sn
TiO2
In
Hg2Cl2

C11
275
73.5
75.3

273
44.5
18.8

C33
165
46
95.5
484
44.4
80.1

C12
179
9
61.6
176
39.5
173

C13
151
-5.4
44.1
149
40.5
15.6

C44
54.3

13.8
21.9
125
6.5
85.3

C66
113
16
23.7
194
12.2
12.6


17

Bảng 3.9: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi thể tích tetragonal 3D
Tinh
thể
BaTiO3
ZrSiO4
Sn
TiO2
In
Hg2Cl2

kR

L

k HS

kL

kSL  kSl

k SC

kSU  kSu

kU

U
k HS

kV

SkLA

SkHS

SkVR

162.82
19.056
606.200
210.61
41.600
17.8

174.3
19.6
606.315
213.4
41.601
18.3

177.6
19.74
606.325
214.7
41.605
18.82

178.2
19.75
60.633
214.7
41.608
18.82

178.8
19.78
60.635
215.0
41.612
19.61

179.3
19.82

60.637
215.1
41.615
19.99

179.3
19.82
606.338
215.2
41.617
20.24

181.9
20.1
606.341
216.0
41.619
21.3

186.33
21.04
606.342
219.78
41.620
22.3

0.476
0.202
0.001
0.116

0.014
3.635

2.134
1.259
0.002
0.605
0.022
7.575

6.733
4.948
0.012
2.131
0.024
11.22

Bảng 3.10: Kết quả đánh giá mô đun đàn hồi trượt tetragonal 3D
Tinh thể

R

L
 HS

BaTiO3
ZrSiO4
Sn
TiO2
In

Hg2Cl2

47.77
18.37
15.67
101.2
3.716
2.930

51.4
19.5
17.6
111.4
4.4
4.9

L

SL  Sl

 SC

US  Su

U

UHS

V

S LA

S HS

S VR

53.28
19.71
18.35
114.7
4.770
6.184

53.48
19.71
18.43
115.0
4.770
6.407

53.80
19.77
18.56
115.7
4.90
7.655

54.08
19.84
18.61

116.1
4.980
8.057

54.12
19.85
18.61
116.1
4.990
8.057

55.5
20.3
18.8
118.1
5.3
9.0

59.92
21.71
19.92
125.9
5.900
10.54

0.782
0.354
0.703
0.607
2.254

13.15

3.835
2.01
3.297
2.919
9.278
29.5

11.282
8.3333
11.942
10.876
22.712
56.496

Nhận xét Bảng 3.9 và 3.10: Tương tự, kết quả cho tetagonal 3D của luận án cũng tốt hơn V-R, HS, ngoài ra
khi f1=g1=0: các đánh giá mới của luận án trùng với PĐC, chứng tỏ kết quả này hoàn toàn phù hợp.


18

3.3. Kết luận chƣơng 3
Áp dụng các công thức xây dựng ở chương 2, NCS đã đạt được:
 Xác định các công thức đánh giá cụ thể cho một số đối xứng
2D, 3D; Tính toán số cho một số vật liệu đa tinh thể thực tế và
so sánh với các đánh giá V-R, HS, PĐC, SC.
 Kết quả luận án hợp lý và tốt hơn các đánh giá đã có.
CHƢƠNG 4: ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PTHH VÀ SO
SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH

ĐA TINH THỂ CỤ THỂ
Chương này sử dụng phương pháp PTHH để xác định
các hệ số đàn hồi vĩ mô của đa tinh thể 2D, tính toán cho một số
đối xứng tinh thể cụ thể và so sánh với các kết quả đánh giá của
V-R, HS, giá trị SC, đánh giá mới của luận án.
4.1. Các công thức xuất phát
eff
Ten xơ đàn hồi vĩ mô Cijkl
được tính theo công thức tổng quát:

Cijeffkl 

1
Y

 e

 ij







ij
kl
kl
  y    C  y  e    y    dy

(4.1)

Y

ij
Y là kích thước phần tử đơn vị; e  là trường chuyển vị khả

ij
dĩ; C  y  là ten xơ đàn hồi địa phương;    là độ dịch chuyển

đặc trưng tương ứng với trường chuyển vị khả dĩ e  . Trong hệ
ij

tọa độ cơ sở của tinh thể, theo định luật Hooke ta có:
σ  Ceff : ε

(4.3)

4.2. Quy trình tính toán PTHH
4.2.1. Chia lưới phần tử đặc trưng
Ký hiệu kích thước RVE là nxn, kích thước lưới là mxm (n: số
tinh thể hexagonal trên mỗi chiều của RVE, m: số phần tử trên
mỗi chiều của tinh thể hexagonal, m  8 ); Phần tử lưới là hình


19

tứ giác, mỗi phần tử có 4 nút, mỗi nút có 2 bậc tự do. Như vậy,

RVE 4  4 có 8  8   4  4   1.024 phần tử tứ giác, RVE

64  64 có 8  8   64  64  262.144 phần tử tứ giác, đây là

1 con số không hề nhỏ, nên quá trình tính toán yêu cầu thời gian
và tài nguyên máy tính lớn.

RVE 4x4

RVE 8x8

RVE 16x16

RVE 32x32

RVE 64x64

Hình 4.1: Kích thước RVE
4.2.2. Xác định các ma trận, véc tơ
RVE chia thành N e phần tử tứ giác với R điểm nút, mỗi phần tử
có r điểm nút, mỗi nút có s bậc tự do. Để tính các hệ số đàn hồi,
chọn chuyển vị là ẩn, ứng suất và biến dạng sẽ được xác định
sau khi biết chuyển vị tại các nút. Gọi q  là chuyển vị nút
tổng thể q e là chuyển vị nút phần tử,  L e là ma trận định vị
của phần tử,  K  là ma trận độ cứng tổng thể, P là véc tơ tải
tổng thể. Thế năng toàn phần có dạng:



Ne

1
 2 q L  K  L q  q L  P
e 1

T

e

e

T

e

e

T
e

e

(4.10)

Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng Lagrange về điều
kiện cân bằng của toàn hệ tại các điểm nút, ta có:

 K  q  P

(4.13)

4.2.3. Xác định các giá trị mô đun đàn hồi
Đặt tải trọng trung bình, từ (4.3) tính được mô đun đàn
hồi thể tích và mô đun trượt tương ứng:


20

k

eff



 
V

11

  22  dx

2  11   22  dx



, 

eff

V 12 dx
 12



2 12
2 12 dx

V

(4.14)

V

Gắn mỗi tinh thể với 1 góc quay φ, ( 0    2 ). Trong
chương trình tính, chọn lệnh “random” cho góc φ để đảm bảo
tính hỗn độn về hướng của tinh thể. Ứng với mỗi góc φ sẽ tính
ra một giá trị của mô đun đàn hồi. Điều kiện biên tuần hoàn của
bài toán:
U  x  d   ε0  d  U  x 
(4.16)
d là khoảng cách biên giữa 2 phần tử liền kề, U là chuyển vị của
phần tử.
4.3. Áp dụng cho đối xứng tinh thể cụ thể
Tính toán cho các tinh thể orthorhombic 2D, square, tetragonal
2D với dạng hình học hexagonal đã xét trong chương 3.
4.4. Kết quả PTHH và so sánh
Chọn ngẫu nhiên 20 góc quay, thời gian tính cho mỗi lần gieo
(tương ứng với mỗi Hình) là khoảng 18 tiếng.
4.4.1. Các kết quả cho đối xứng tinh thể square

Hình 4.3: Kết quả PTHH mô

Hình 4.4: Kết quả PTHH mô

đun trượt Cu, S  0.77% , RVE đun trượt Pb, S  1.82% , RVE
hội tụ 64x64

hội tụ 32x32


21

4.4.2. Các kết quả cho đối xứng tinh thể orthorhombic 2D

Hình 4.6: Kết quả mô đun đàn
hồi diện tích S(1)

Hình 4.10: Kết quả mô đun đàn
hồi trượt S(3)

4.4.3. Các kết quả cho đối xứng tinh thể tetragonal 2D

Hình 4.12: Kết quả PTHH mô
đun đàn hồi trượt Hg2Cl2

Hình 4.15: Kết quả PTHH mô
đun đàn hồi trượt In

Nhận xét chung các kết quả PTHH
 Kết quả PTHH rải rác quanh các giá trị giải tích V-R, HS,
SC, luận án, chứng tỏ kết quả PTHH hoàn toàn phù hợp.
 Khi số mẫu thử càng lớn thì các giá trị PTHH có xu hướng

tập trung quanh các giá trị giải tích, tức là khi tăng số hướng
tinh thể thì tính chất vĩ mô của đa tinh thể được thể hiện rõ hơn,
điều này hợp lý với lý thuyết cơ bản của đồng nhất hóa vật liệu.


22

 Khi RVE tăng thì các kết quả PTHH tiến dần đến và nằm
trong khoảng đánh giá tốt hơn. Như vậy kết quả PTHH của luận
án hội tụ và đạt độ chính xác cao hơn khi tăng RVE, điều này
hoàn toàn hợp lý với lý thuyết mô phỏng số nói chung. Tuy
nhiên vấn đề thời gian và cấu hình máy tính là trở ngại lớn.
 Những tinh thể có tham số phân tán lớn thì tốc độ hội tụ
nhanh hơn các tinh thể có tham số phân tán nhỏ.
 Khi xét mối liên quan giữa kích thước RVE hội tụ với tham
số phân tán ta nên so sánh các tinh thể trong cùng tính chất đàn
hồi (các giá trị tham số phân tán mô đun diện tích so với nhau,
tham số trượt so với nhau).
4.5. Kết luận chƣơng 4
Sử dụng phương pháp PTHH để mô phỏng các hệ số
đàn hồi đa tinh thể hỗn độn 2D và so sánh với các kết quả giải
tích, nhận được kết quả PTHH hội tụ đến đánh giá của luận án
với RVE 64x64 tinh thể; Phương pháp số luận án sử dụng
không mới, nhưng cách tiếp cận tính toán cho các mô đun đàn
hồi vĩ mô cụ thể của luận án là mới, có thể được sử dụng để mô
phỏng các tinh thể hỗn độn khác, đồng thời có thể kiểm tra và
xác định giá trị mô đun đàn hồi vĩ mô tốt hơn.
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
Tiếp cận bài toán bằng nguyên lý biến phân và sử dụng cả
phương pháp giải tích và phương pháp số, luận án đã đạt được:

1. Kết quả đánh giá các hệ số đàn hồi
 Xây dựng được các công thức đánh giá tổng quát cho các hệ
số đàn hồi vĩ mô đa tinh thể hỗn độn d chiều. Điểm mới của
luận án là đã đưa vào các thông tin hình học pha vật liệu và
chọn trường thử khả dĩ tổng quát hơn trường phân cực HS.


23

 Xây dựng các đánh giá cụ thể cho một số đối xứng tinh thể
2D, 3D; Tính và so sánh với các kết quả V-R, HS, SC, PĐC.
 Kết quả đánh giá của luận án hoàn toàn phù hợp và đã tốt
hơn các đánh giá đã có.
2. Kết quả mô phỏng số
 Áp dụng phương pháp PTHH tính toán cho một số đa tinh
thể hỗn độn từ các đối xứng tinh thể 2D và so sánh với các đánh
giá đã được xây dựng.
 Kết quả PTHH hợp lý với các kết quả đã có và gần như hội
tụ đến kết quả đánh giá mới của luận án.
 Đưa ra được kết luận về mối liên quan giữa kích thước RVE
hội tụ với tham số phân tán của tinh thể.
 Các kết quả PTHH của luận án là mới và có thể sử dụng
trong các nghiên cứu tiếp theo.
Hƣớng nghiên cứu mở ra của luận án
Từ các kết quả đã đạt được, NCS cùng nhóm nghiên cứu vẫn
tiếp tục kết hợp giữa phương pháp giải tích và phương pháp số
nhằm tìm kiếm các kết quả tốt hơn.
1. Phương pháp giải tích
 Nghiên cứu tiếp với các đối xứng tinh thể khác như 3D
orthorhombic, trigonal, hecxagonal…

 Xây dựng đánh giá tốt hơn (biên trên- dưới hẹp hơn) cho các
hệ số đàn hồi vĩ mô là một bài toán không đơn giản và vẫn cần
tiếp tục nghiên cứu.
 Rút ra phương trình tương quan giữa tham số phân tán với
kích thước RVE hội tụ, điều này giúp thể hiện tính định lượng
bằng toán học rõ ràng hơn cũng như mối liên quan chặt chẽ
giữa phương pháp giải tích với PTHH.