✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
P❍❸▼ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❘❆◆●
❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱■ P❍❹◆
❈❻P ❇❆ ❱❰■ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❇■➊◆ ❉❸◆● ❇❆ ✣■➎▼ ❱⑨
❉❸◆● ❚➑❈❍ P❍❹◆
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
P❍❸▼ ❚❍➚ ❚❍❯ ❚❘❆◆●
❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❱■ P❍❹◆
❈❻P ❇❆ ❱❰■ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❇■➊◆ ❉❸◆● ❇❆ ✣■➎▼ ❱⑨
❉❸◆● ❚➑❈❍ P❍❹◆
◆❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ sè✿ ✽✳✹✻✳✵✶✳✵✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❚❘❺◆ ✣➐◆❍ ❍Ò◆●
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔
tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥
r➡♥❣ ♠å✐ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ ✈➔
❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥
P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉ ❚r❛♥❣
❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ ❦❤♦❛ ❚♦→♥
❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❚r➛♥ ✣➻♥❤ ❍ò♥❣
✐
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r÷î❝ ❦❤✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣
❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❚❙✳ ❚r➛♥ ✣➻♥❤ ❍ò♥❣✱ ♥❣÷í✐ t❤➛② t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥
tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥
♥➔②✳
❚æ✐ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸
❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣❍❙P ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ tr✉②➲♥ t❤ö ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣
❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✈➔ ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣
❣â♣ q✉þ ❜→✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠ ❦❤✉②➳t ✈➻
✈➟② r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝
❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝↔♠
ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ tæ✐ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✱
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❚→❝ ❣✐↔
P❤↕♠ ❚❤à ❚❤✉ ❚r❛♥❣
✐✐
ử ử
r ử
ớ
ớ ỡ
ử ử
ởt số tự ỡ s
ởt số ỵ t ở
tỷ r
r
ỹ tỗ t ừ ữỡ tr ợ
t
ỹ tỗ t ừ ữỡ tr ợ
ỹ tỗ t ừ ữỡ tr ợ
t
t
t
▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t
R
t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝
∅
t➟♣ ré♥❣
A⊂B
A
A∪B
❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣
A
✈➔
B
A∩B
❣✐❛♦ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣
A
✈➔
B
A×B
t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣
ker(f )
❤↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛
Coker(f )
✤è✐ ❤↕t ♥❤➙♥ ❝õ❛
✷
❦➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛
✐✈
B
f
f
A
✈➔
B
Pữỡ tr õ ự ử tr
ỹ t ỵ tt ữ t t ở ó ừ ởt
ợ ữủ t t ợ s s t
t ự ỏ ừ ởt ọ t ọ ợt
tr t r ởt ữ ố ởt t t
ữợ t ự s ữ ừ sự t ỹ
ụ ữ ở ợt ữỡ tr ừ ở ụ ữủ
ữ ữỡ tr r t õ
ữủ õ t t
t
ự sỹ tỗ t t ừ ữỡ tr
ừ ợ t út ữủ
sỹ q t ừ t ồ tt ờ ữủ sỷ ử
ự ữỡ tr ữỡ
tr ữợ ữỡ tử ỹ tr
t ừ ởt ồ t ợ ởt t số t
s õ sỷ ử ỵ t ở
ú tổ ồ ỹ tỗ t ừ ữỡ tr
ợ t ử
ừ tr ởt số t q ừ r r
sỹ tỗ t ừ ữỡ tr ừ
y (t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),
0 < t < 1,
tr trữớ ủ rt
t
ỗ ữỡ ở t
t t
ữỡ tr ởt số tự ỡ s ởt số t
ở t tỷ r r
ữỡ tr ởt số ừ t ữủ t
ừ ởt ồ t ữỡ tr ừ
tr trữớ ủ
t õ sỷ ử ỵ t ở ự ởt
số t q sỹ tỗ t
ữỡ
ởt số tự ỡ s
ữỡ tr ởt số tự ỡ s tt ữỡ s
ữủ t tứ t
ởt số ỵ t ở
T : A A
ộ
ồ ởt t ở ừ
x
ừ ữỡ tr
x = Tx
ữủ
T
ởt số ỵ t ở s ỵ t ỡ
ữủ sỷ ử ờ tr ự sỹ tỗ t t ừ
ữỡ tr
ỵ t ở t tỷ ợ số
k
ỵ t ở rr t tỷ tử tr ổ
ỳ
ỵ t ở r t tỷ t tử
tr ởt t ỗ rộ t tr ổ ổ
ởt tờ qt õ ừ ỵ t ở rr
ỵ t ở r t tỷ tử t
tr ổ
r ởt số ỵ t ở q trồ ữủ sỷ ử
tr ự sỹ tỗ t ừ ữỡ tr
t ữ ỵ r r t tỷ t
tr ởt t ỗ rộ ừ ổ
ũ ợ ỵ t ở tt rr tt
số t ở ụ ỳ ổ ử q trồ ữủ ự ử
tr ự sỹ tỗ t t ở ừ tử
ụ ữ sỹ tỗ t ừ ữỡ tr t
ỵ t ở
t ữỡ tr t
x = T x.
tr
(X, d)
tỷ
ữủ ồ ợ số
k
T :M XX
tr ổ
d(T x, T y) kd(x, y)
ợ ồ
x, y M
ỵ
k
ố
0 k < 1.
ỵ t ở
sỷ r
T : M X M ởt tứ õ
t õ rộ tr ổ tr ừ (X, d)
ởt ợ số k
õ ữỡ tr
õ t x tự T õ t
ởt t ở tr
ỵ t ở õ ỵ q trồ tr t
t tr ự sỹ tỗ t t ừ
ữỡ tr t
ỵ t ở rr
ợ ỵ t ở ỵ t ở
rr ổ r t t ừ t ở t
tt ừ ỵ rr ữủ ợ ọ ỡ s ợ ỵ t
ở
ỵ
ỵ t ở rr
sỷ M t rộ ỗ t ừ Rn tr õ N 1
f : M M tử õ õ ởt t ở
ởt ừ ỵ rr ử ữủ
tử tr ổ ỳ t sỹ tỗ t
ừ ữỡ tr t t tr ổ
ổ ổ t ổ t ử
ỵ t ở rr ố ợ t tỷ tr ổ ổ
t ỵ t ở r ởt rở
ừ ỵ t ở rr t q ữủ sỷ ử
ờ ỵ s ữủ tr tr ữợ
ỵ t ở r
r s tr ởt tờ qt õ ừ ỵ t
ở rr t tỷ t tr ổ ổ
õ ỵ t ở r
tỷ t ữủ ữ s
T : D(T ) X Y
X
ởt t tỷ
t tử
T
T
Y
ổ
ữủ ồ t tỷ t
ồ t t t tữỡ
ố
t tỷ t õ trỏ q trồ tr t
t ỹ t õ t q t tỷ tử tr
Rn
ữủ
s ổ t t t tử t
t
ử
sỷ r t õ tử
K : [a, b] ì [a, b] ì [R, R] K,
tr õ
< a < b < +, 0 < R <
K = R, C
M = {x C([a, b] , K) : x R} ,
tr õ
tử
x = maxasb |x(s)|
C([a, b] , K)
ổ
x : [a, b] K.
t t tỷ t
b
(T x)(t) =
K(t, s, x(s))ds,
a
t
(Sx)(t) =
K(t, s, x(s))ds,
t [a, b] .
a
õ
S, T
ỵ
M
C([a, b] , K)
t tỷ t
ỵ t ở r
M ởt t rộ ỗ õ ừ ổ X
sỷ T : M M t tỷ t õ T õ t ở
ởt ừ ỵ t ở r ữủ t
ữ ữợ
q M ởt t rộ ỗ t ừ ổ
X sỷ T : M M t tỷ tử õ T õ
t ở
ỵ r õ ự ử q trồ tr ự sỹ
tỗ t ừ ữỡ tr t ợ t số sỹ tỗ t
ừ ữỡ tr t ữỡ tr
ỵ t ở r
ỵ r ởt t ừ ỵ r r ụ
tữớ ữủ sỷ ử ự sỹ tỗ t ừ ữỡ tr
ừ
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✽✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❤➔♠ f : X → X ❧✐➯♥ tö❝
✈➔ ❝♦♠♣❛❝t✳ ◆➳✉ t➟♣
F = {x ∈ X : x = λf (x), ∀λ ∈ [0, 1]}
❜à ❝❤➦♥ t❤➻ f ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳
✶✳✷ ❚♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠
X
❈❤♦
✈➔
Y
❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑➼ ❤✐➺✉
❝→❝ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tø
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳
Im(T )
❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉
tî✐
T ∈ L(X, Y )
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
Ker(T ) ✈➔ Coker(T ) = Y \ Im(T ) ❝â sè ❝❤✐➲✉ ❤ú✉
✤â♥❣ tr♦♥❣
F(X, Y )
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
Y✳
✭①❡♠ ❬✶✸❪✮ ❚♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥
t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠ ♥➳✉
❤↕♥ ✈➔
X
L(X, Y )
Y✳
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠ tø
❈❤➾ sè ❝õ❛ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠
T✱
❦➼ ❤✐➺✉
Index(T )
X
tî✐
Y✳
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
Index(T ) = dim(Ker(T )) − dim(Coker(T )).
▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
X, Y, Z
❈❤♦
✐✮ ◆➳✉
✈➔
❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
T1 : X → Y
T2 T1
✈➔
T2 : Y → Z
❜à ❝❤➦♥✱ ✈➔ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❜❛ t♦→♥ tû
❧➔ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠✱ t❤➻ t♦→♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❋r❡❞❤♦❧♠✱ ✈➔
Index(T2 ◦ T1 ) = Index(T1 ) + Index(T2 ).
✐✐✮
T1 , T2
F(X, Y )
❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣
L(X, Y )
✈➔
Index : F(X, Y ) → R
❧➔ ❤➔♠ ❤➡♥❣✳
✼
✶✳✸ ❍➔♠ ●r❡❡♥
❍➔♠ ●r❡❡♥ ❝â ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà
❜✐➯♥ ✈➔ ❧➔ ❝æ♥❣ ❝ö q✉❛♥ trå♥❣ ✤➸ ❝❤➾ r❛ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
L [y(x)] ≡ p0 (x)
n−1
Mi (y(a), y(b)) ≡
dn−1 y
dn y
+
p
(x)
+ ... + pn (x)y = 0,
1
dxn
dxn−1
k
i d y(a)
αk
k
dx
k=0
tr♦♥❣ ✤â
pi (x), i = 0, ...n
✤✐➸♠ t❤✉ë❝
+
k
i d y(b)
βk
k
dx
= 0,
❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥
i = 1, ...n,
✭✶✳✹✮
(a, b), p0 (x) = 0
✈î✐ ♠å✐
(a, b)✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳
✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ❍➔♠
G(x, t)
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ●r❡❡♥ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ ✭✶✳✸✮ ✲ ✭✶✳✹✮ ♥➳✉ ①❡♠ ♥❤÷ ❤➔♠ ❝õ❛ ❜✐➳♥
♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞÷î✐ ✤➙② ✈î✐ ♠å✐
✭✐✮ ❚r➯♥
G(x, t)
(a, t)
✈➔
tù❝ ❧➔✿
♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ tr♦♥❣ ✭✶✳✹✮✱ tù❝ ❧➔
x = t, G(x, t)
i = 1, ..., n.
✈➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t❤❡♦ ❜✐➳♥
x
tî✐ ❝➜♣
❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝
∂ k G(x, t)
∂ k G(x, t)
lim
− lim−
= 0,
x→t+
x→t
∂xk
∂xk
✭✐✈✮ ✣↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣
x = t✱
(t, b)✱
L [G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b).
Mi (G(a, t), G(b, t)) = 0,
(n − 2)
♥â t❤ä❛
[a, t) ✈➔ (t, b]✱ G(x, t) ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✱ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tî✐ ❝➜♣
L [G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t);
✭✐✐✐✮ ❚↕✐
x✱
t ∈ (a, b)✿
♥ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✸✮ tr➯♥
✭✐✐✮
✭✶✳✸✮
(n − 1)
t❤❡♦ ❜✐➳♥
x
k = 0, ..., n − 2.
❝õ❛
G(x, t)
❧➔ ❣✐→♥ ✤♦↕♥ ❦❤✐
❝ö t❤➸
∂ n−1 G(x, t)
∂ n−1 G(x, t)
1
lim+
−
lim
=
−
.
x→t
x→t−
∂xn−1
∂xn−1
p0 (t)
✽
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ●r❡❡♥✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✷✳
✭①❡♠ ❬✶✵❪✮ ✭❚ç♥ t↕✐ ✈➔ ❞✉② ♥❤➜t✮✳
❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t tr♦♥❣
✭✶✳✸✮
✲
✭✶✳✹✮
◆➳✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà
❝❤➾ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣ t❤➻ tç♥ t↕✐
❞✉② ♥❤➜t ❤➔♠ ●r❡❡♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥✳
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
dn y
dn−1 y
L [y(x)] ≡ p0 (x) n + p1 (x) n−1 + ... + pn (x)y = −f (x),
dx
dx
✭✶✳✺✮
✈î✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
n−1
Mi (y(a), y(b)) ≡
k
i d y(a)
αk
k
dx
k=0
tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ ❤➺ sè
+
k
i d y(b)
βk
k
dx
= 0,
i = 1, ...n,
✭✶✳✻✮
pj (x) ✈➔ ❝→❝ ❤➔♠ ✈➳ ♣❤↔✐ f (x) tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮
❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝✱ ✈î✐
p0 (x) = 0 tr➯♥ (a, b) ✈➔ Mi
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ ❞↕♥❣ ✤ë❝
❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❝→❝ ❤➺ sè ❤➡♥❣✳
✣à♥❤ ❧þ s❛✉ t❤➸ ❤✐➺♥ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✭✶✳✺✮
✲ ✭✶✳✻✮ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✸✳
✈î✐
✭✶✳✺✮
✲
✭①❡♠ ❬✶✵❪✮
✭✶✳✻✮
◆➳✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣
❝❤➾ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣ t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥
✭✶✳✺✮
✲
✭✶✳✻✮
❝â
♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞÷î✐ ❞↕♥❣
b
y(x) =
G(x, t)f (t)dt,
a
tr♦♥❣ ✤â G(x, t) ❧➔ ❤➔♠ ●r❡❡♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣✳
▼ët sè ✈➼ ❞ö ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤➾ r❛ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠ ●r❡❡♥ ✤è✐ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥
❣✐→ trà ❜✐➯♥ ❝ö t❤➸✳
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✹✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥
u (x) = −ϕ(x),
u(0) = u(1) = 0.
✾
0 < x < 1,
✭✶✳✼✮
❍➔♠ ●r❡❡♥ ✤÷ñ❝ t➻♠ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ s❛✉
G(x, t) =
A1 + A2 x,
0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
✭✶✳✽✮
B1 + B2 (1 − x),
tr♦♥❣ ✤â
A1 , A2
✈➔
B1 , B2
0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝õ❛
t✳
❍➔♠ ●r❡❡♥ ♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✮✳
❉♦ ❤➔♠ ●r❡❡♥
G(x, t) t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➯♥ ❜✐➯♥ t❤✉➛♥
A1 = B1 = 0✳ ❉♦ ✤â✱ ❤➔♠ ●r❡❡♥
A2 x, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
G(x, t) =
B2 (1 − x), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
♥❤➜t ✭✐✐✮ t❛ s✉② r❛ ✤÷ñ❝
❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔
✭✶✳✾✮
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❧✐➯♥ tö❝ ✭✐✐✐✮ ❝❤♦ t❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
B2 (1 − t) − A2 t = 0.
✭✶✳✶✵✮
B2 + A2 = 1.
✭✶✳✶✶✮
❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✈✮ t❛ ✤÷ñ❝
❚❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ❝→❝ ❤➺ sè
A2 , B2
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✵✮ ✈➔
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✶✶✮✳ ❑➳t q✉↔ t❛ ✤÷ñ❝
A2 = 1 − t, B2 = t.
❚❤❛② ❝→❝ ❤➺ sè t➻♠ ✤÷ñ❝ ✈➔♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✾✮ t❛ ✤÷ñ❝ ❤➔♠ ●r❡❡♥
G(x, t) =
x(1 − t),
0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
t(1 − x),
0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
✭✶✳✶✷✮
❉♦ ✤â✱ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✼✮ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣
1
u(x) =
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✺✳
G(x, t)ϕ(t)dt.
0
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥
u(4) = ϕ(x),
0 < x < 1,
✭✶✳✶✸✮
u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = 0.
✶✵
❑❤✐ ✤â ❤➔♠ ●r❡❡♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❝â ❞↕♥❣
3
2
− t + t x , 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,
6
2
G(t, s) =
3
2
− x + x t , 0 ≤ x ≤ t ≤ 1.
6
2
❉♦ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✸✮ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣
1
u(x) =
G(x, t)ϕ(t)dt.
0
✶✶
✭✶✳✶✹✮
❈❤÷ì♥❣ ✷
❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❜❛ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥
❞↕♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠ ✈➔ ❞↕♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥
✷✳✶ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣
❜❛ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❞↕♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠
◆ë✐ ❞✉♥❣ tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✸❪✳ ❳➨t ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣ ❜❛ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❞↕♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠✿
y (t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),
y(0) = y(a) = y(1) = 0,
❑➼ ❤✐➺✉
tö❝ tr♦♥❣
❱î✐
I
I
[0, 1]✱ C(I)
❧➔ ✤♦↕♥
k = 1, 2, ...✱
0
❦➼ ❤✐➺✉
❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tî✐ ❝➜♣
k
y
C03 (I)
y
✈î✐ ❝❤✉➞♥
✭✷✳✷✮
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❤➔♠ t❤ü❝ ❧✐➯♥
C k (I)
I✱
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❤➔♠ ❝â ✤↕♦
✈î✐ ❝❤✉➞♥
= max( y 0 , y
0 , ...,
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝→❝ ❤➔♠
y(a) = y(1) = 0; L1 (I)
0 < a < 1.
✭✷✳✶✮
= max {|y(t)| , t ∈ I}✳
tr♦♥❣
k
0 < t < 1,
y (k) 0 ).
y ∈ C 3 (I)
t❤ä❛ ♠➣♥
y(0) =
❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ t➼❝❤ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr♦♥❣ ■
✶✷
ợ tổ tữớ
t ồ t ợ t số
y (t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),
0 < t < 1,
y(0) = y(a) = y(1) = 0,
ợ
0 1.
ờ ợ = 0 t
õ t t
tữớ tỗ t r G(t, s) tữỡ ự
ự
ờ tr ữủ s r trỹ t tứ t t ừ ữỡ
tr t t
t s tr ỹ
r 3)
ừ ữỡ tr
y
= 0
G(t, s)
sỷ
ur (t), (1
tọ
u1 (0) = 1,
u2 (0) = 0,
u3 (0) = 0,
u1 (a) = 0,
u1 (1) = 0,
u2 (a) = 1,
u3 (a) = 0,
u2 = 0,
u3 (1) = 1.
õ
t2 a + 1
t + 1,
u1 (t) =
a
a
t2 t
u2 (t) = 2
,
a a
t2 at
u3 (t) =
.
1a
3v
(t s)2
t õ
= 0.
t v(t, s) =
2
t3
t v1 (s) = v(0, s), v2 (s) = v(a, s) v3 (s) = v(1, s)
s2
(a s)2
(1 s)2
v1 (s) = , v2 (s) =
, v3 (s) =
.
2
2
2
t
(t, s) = u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s) + u3 (t)v3 (s)
ừ
v(a, s)
y
= 0
ợ
s
ố ỡ ỳ
(1, s) = v(1, s)
õ
(., s)
(0, s) = v(0, s), (a, s) =
❚ø t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✱
s✉② r❛
ϕ(t, s) = v(t, s)✱
tù❝ ❧➔
u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s) + u3 (t)v3 (s) =
❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➔♠
❱î✐
G(t, s)
(t − s)2
,
2
∀(t, s) ∈ I 2 .
♥❤÷ s❛✉✿
0 ≤ s ≤ a✿
G(t, s) =
−u2 (t)v2 (s) − u3 (t)v3 (s), 0 ≤ t ≤ s,
u1 (t)v1 (s),
s≤t≤a
(t2 − t)
(t2 − at)
2
2
1 − a2 − a (a − s) − 1 − a (1 − s) , 0 ≤ t ≤ s,
=
2
2
t − (a + 1)t + a s2 ,
s ≤ t ≤ a,
a
✈î✐
a ≤ s ≤ 1✿
G(t, s) =
−u3 (t)v3 (s),
a ≤ t ≤ s,
u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s), s ≤ t ≤ 1
(t2 − at)
−
(1 − s)2 ,
a ≤ t ≤ s,
1
1
−
a
=
2
2
2
t − (a + 1)t + a s2 + (t − t) (a − s)2 , s ≤ t ≤ 1.
a
a2 − a
◆➳✉ ❤➔♠
f : I × R3 → R
❧✐➯♥ tö❝✱ t❤➻
t♦→♥ ✭✷✳✸✮✱ ✭✷✳✹✮ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
t➼❝❤ ♣❤➙♥
y ∈ C 2 (I)
y ∈ C 3 (I)
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐
✈➔ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
1
y(t) = λ
G(t, s)f (s, y(s), y (s), y (s))ds.
0
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤
L : C03 (I) → C(I)
①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
(Ly)(t) = y (t),
✶✹
∀t ∈ I.
✭✷✳✺✮
L
õ
tử
t tỷ r ợ số õ ữủ t
L1
ữủ ổ tự
1
1
(L h)(t) =
t I.
G(t, s)h(s)ds,
0
t tỷ ts
F
ừ
f
ữ s
F : C 2 (I) C(I),
t I.
(F y)(t) = f (t, y(t), y (t), y (t)),
õ ữỡ tr t tữỡ ữỡ ợ ữỡ tr
y = (L1 F j)(y),
tr õ
j : C03 (I) C 2 (I)
ú
jy(t) = y(t).
ờ y C01(I) tỗ t m1 > 0 s |y (t)| m1
ợ ồ t I t |y(t)|
ự
õ
m1
2
y(t) =
ợ ồ t I
t
0 y
(s)ds
t
2 |y(t)|
2 |y(t)| m1 ,
1
t y
1
y(t) =
1
|y (s)| ds +
0
õ
|y (s)| ds =
(s)ds
r
|y (s)| ds.
t
0
t I
ờ ú t s t trữớ ủ
0 < 1
ỵ sỷ f : I ì R3 R tử 0 < 1
tỗ t m > 0 ổ ử tở s y
y ừ
ự
ỗ ừ
t
t t
U = y C03 (I); y
(3)
(3)
m ợ ồ
tỗ t t t ởt
õ
U
t
C03 (I) H : [0, 1] ì U C03 (I) H(, y) =
L1 F j(y) ởt ỗ t t ở ừ õ
ừ ỹ ồ ữ tr
õ t ở tr
ữủ õ
H(1, .)
U
H(0, .) 0
ừ õ
t
U
ổ
H(, .) ởt ỗ
õ ởt t ở tr
H(, .)
H(1, .) = L1 F j
ừ
t t s tr ừ
f
t ữủ
t ừ t
f : I ì R3 R tử tọ
tỗ t r1 > 0 s pf (t, y, p, 0) > 0 ợ ồ |p| > r1 ồ y
R õ ừ
tọ |y (t)| r1 |y(t)|
r1
2
t I
ự
|y (t)| r1
r1
y = 0
sỷ
ợ ồ
õ
ừ ự
t I sỷ ữủ tỗ t t1 I
y (t1 ) > r1
y (t1 ) < r1
trữớ ủ ỏ tữỡ tỹ s r
y
t2 I
tử tỗ t
t2 (0, 1)
t
tọ
y (t2 ) > r1 , y (t2 ) = 0
s
t trữớ ủ
|y (t1 )| >
y (t1 ) > r1
max {|y (t)| ; t I} > r1
y (t2 ) = max {|y (t)| ; t I}
y (t2 )y (t2 ) 0
t õ
y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), y (t2 )) = y (t2 )f (t2 , y(t2 ), y (t2 ), 0) > 0.
0<1
s r
0 y (t2 )y (t2 ) > 0.
t ợ tt
t2 = 0
tự
y
t tr ợ t t
t = 0
õ
y (0) 0
y (0) > r1
y (0) = 0
tứ t õ
y (0)y (0) = y (0)f (0, 0, y (0), 0) > 0,
s r
y (0) > 0
õ
y
ỡ t ợ
y (t) > y (0) = 0
ữỡ tỹ ữ tr
t > 0
ổ t tr ợ t ừ
y (0)
y
t
0
t > 0
ỡ t ợ
|y (t)|
t
s r
0
t
ợ tt
tt
y (0) < 0
t
y
ó t
0
r
y (0) > r1 > 0
y (0) 0
t ợ
t2 = 1
t tữỡ tỹ t ụ ữủ sỹ t ữ tr
õ
y (t) r1 0,
t I.
ữỡ tỹ
y (t) r1 ,
t I.
|y (t)| r1 ,
t I.
r
ữ tứ ờ t õ
|y(t)| r1 /2,
t I.
f : I ì R3 R tử tọ
tỗ t q L1(I), +
: [0, +) (0, +) tử 1/ t
d
> q
()
tr
0
L1
ợ ồ R r1 tr
r1 r1
(t, y, p) I ì ,
ì [r1 , r1 ] .
2 2
|f (t, y, p, ) q(t)(||),
õ tỗ t r2 > 0 ổ ử tở s ừ
r1
t ợ |y(t)| , |y (t)| r1 t I tọ |y (t)| r2
2
ợ ồ t I
ự
r1 /2
sỷ
|y (t)| r1
y ừ t tọ |y(t)|
ợ
ứ ừ
t I
r2
t õ t
r2 > 0
0
s ự tọ r
tI
tọ
|y (t)| r2
ợ ồ
t I
d
> q
()
sỷ ữủ tỗ t
|y (t)| > r2 y(0) = y(a) = y(1) tỗ t s1 (0, a)
s2 (a, 1) s y (s1 ) = 0 = y (s2 ) r tỗ t t (s1 , +s2 ) tọ
y (t) = 0.
ữ t õ
y C 3 (I)
|y (t)| = 0
|y (t)| > r2
tỗ t
[1 , 2 ] I
tọ ởt tr ỳ
s
L1
y (1 ) = 0, y (2 ) = r2
0 < y (t) < r2 ,
t (1 , 2 ).
y (1 ) = r2 , y (2 ) = 0
t (1 , 2 ).
0 < y (t) < r2 ,
y (1 ) = 0, y (2 ) = r2
r2 < y (t) < 0,
t (1 , 2 ).
y (1 ) = r2 , y (2 ) = 0
r2 < y (t) < 0,
t (1 , 2 ).
t trữớ ủ t trữớ ủ tữỡ tỹ
ứ t õ
|y (t)| = |f (t, y(t), y (t), y (t))| q(t)(|y (t)|),
ợ
t [1 , 2 ]
0<1
t
t I.
y (t) q(t)(y (t))
y (t)
q(t),
(y (t))
õ
2
1
t [1 , 2 ] .
2
y (t)
dt
(y (t))
1
q(t)dt
q(t)dt = q
0
1
L1 .
õ t õ t tự
r2
0
d
q
()
õ t ợ ồ
ữủ
|y (t)| r2 ,
õ t
ự
t trữớ ủ ỏ t t
t I.
ỵ f
r2
L1 .
: I ì R3 R tử tọ
tỗ t t t ởt
y ởt ừ ứ
r1
t õ |y(t)|
|y (t)| r1 ợ ồ t I ứ t õ
2
|y (t)| r2 ợ ồ t I
r1
t r3 = {|f (t, y, p, w)|; t I, |y|
, |p| r1 , |w| r2 }.
2
õ y (3) r. ợ r = max(r1 , r2 , r3 )
t
sỷ
U = {y C03 (I); y
(3)
< 1 + r}
ử t õ
ự
ử
t t
y (t) = tey(t) (y (t) 1)(1 + y (t)2 ),
0 < t < 1,
y(0) = y(a) = y(1) = 0.
õ
ồ
f (t, y, p, w) = tey (p 1)(1 + w2 )
p > 1
ỡ ỳ
q(t) = t
õ
(w) = 1 + w2
pf (t, y, p, 0) > 0
ợ
tọ
ữ t ỵ t tỗ t t t ởt
t ú tổ tr r sỹ tỗ t
ừ t
ỗ t
k0 > 0 tọ f (t, k0 t, k0 , 0) > 0 f (t, k0 t, k0 , 0) < 0
t I
ợ ồ
+
c > 0, l L1 (I)
ỗ t
ợ
0
ồ
dz
= +
(z)
w R t õ
ữủ
s ợ ồ
: [0, +) (0, +)
(t, y, p) I ì [k0 , k0 ] ì [k0 , k0 ]
|f (t, y, p, w)| (l(t) + c|w|)(|w|).
ỵ f : I ì R3 R tử tọ
õ t
ự
ữợ
tỗ t t t ởt
ú t ự t ữợ ữ s
f 1 : I ì R3 R
max(f (t, k0 t, k0 , 0), f (t, y, p, w)), p > k0 ,
f1 (t, y, p, w) = f (t, y, p, w),
k0 p k0 ,
min(f (t, k0 t, k0 , 0), f (t, y, p, w)), p < k0 .
t ồ t ợ t số
y (t) = f1 (t, y(t), y (t), y (t)),
y(0) = y(a) = y(1) = 0,
ợ
0 < 1.
ữợ
t
0 < t < 1,