Chuyên đề thể tích - Giải mẫu - OTDH

CHUYấN TH TCH

Phần 1.
Thể tích khối đa diện
A. Lý thuyết
1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)
2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện
*Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính
đợc
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính
thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích

đáy và áp dụng công thức :V=
3
1
S
đáy
. h
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau:
a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60
o

b) AB = a, SA = l
c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
giải:
1
CHUYấN TH TCH

a) Gọi O là tâm ABC đều
SO (ABC)
S
ABC
=
2
1
a
2
3a
=
4
3
2

a
ABC có SA = SB; ABC = 60
o

SA = AB = SB = a
C
S
A
B
O
a
SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2
=
2

2
2
3
2
3
a
a
a
=
SO = a
3
2
Vậy VSABC = SABC . SO =
3
1
.
4
3
2
a
.
a
3
2
.

3
2
2
a

l

b) Tơng tự câu a đáp số:
VSABC =
3
1
.

4
3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2
- OA
2

= l
2
-
9
4
AA
2
Tam giác vuông SOA có:

sin'.sin
3
1
'
3
1
AASO
AA
SO
==
(2)
Từ (1) (2) ta có:

2
9
4
2
9
1
sin'.sin' lAAAA
=+

O
B
A'
A
C
a

AA
2
(sin
2
+ 4) = 9l
2


4sin
3
2
'
+
=

l
AA
SABC =
)4(sin2
33
4sin3
3

4sin
3
2
1
2
1
2
2
22
..'.
+
++
==


l
ll
BCAA
4sin
sin.
4sin
3
3
1
22
sin..
++
==

ll
SO
2
CHUYấN TH TCH

VSABC =
3
1
SABC . SO =
4sin).4(sin
sin
3
3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB
= a, AC = a
3
. Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC.
Tính VAABC theo a?
Giải.
-Gọi H là trung điểm BC
AH (ABC) (gt)

-Ta có SABC =
3.
2
2
1
2
1
aACAB
=
-Vì AH (ABC) AH AH
Tam giác vuông AHA có:
AH
2
= AA
2
- AH
2
= (2a)
2
-
4
1
.(a
2
+ 3a
2
)
hay AH
2
= 4a

2
- a
2
= 3a
2
AH = a
3
B
C
H
2a
a
a 3
C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.
a
aa
=

Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có
AB = BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh rằng AB (ABC). Tính VSABC
Giải
a)
SABC =
2
2
1
2
1
. aBCBA
=
; SA =a
VSABC =
3
1
SABC .SA =
6
1
a
3
a
C
A
a
a
B'
C'

B
b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB
BS = BB
3
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)
AC’ ⊥ SC
C¸ch 1
2
2
2
1
2
1
2'
a
aSBAB
===
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'
a

SC
SA
SC
==
B’C’
2
= SB’
2
- SC’
2
=
66
''
2
aa
CB
=⇒

⇒S∆AB’C’ =
3462
2
1
2
1
2
..'''.
aaa
CBAB
==
⇒V∆AB’C’ =

363243
1
32
..
aaa
=
C¸ch 2
3
' '
1 1
2 3
3
a
SB SC
SB SC
a
= = =
3
' '
3
3
' ' '
1 1 1
' ' '
6 6 6 36
3
SAB C
SABC
a
V

SA SB SC a
SA B C
V SA SB SC
a
V a
= = = ⇒ = =
Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD
= a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC.
Gi¶i
DÔ thÊy
(SB, (ABC)) = α = SBA
(SB, (SAD)) = β = BSD
∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC
DB = DC
∆SAB cã cos α =
SB
AB
(1)
BC ⊥ AD
BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC)
⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD
a
B
A
C
D
S
4
CHUYấN TH TCH

Tam giác vuông SB có sin =
SB
BD
(2)
Từ (1) (2)

sinsincos
22
aAB
BDAB

==



sin
cos
22
2
2
aAB
AB

=
AB
2
(sin
2
cos
2

) = -a
2
cos
2
AB =


cos
2
sincos
1
22
a

SSAB =BD.AD =
2
2
2 2 2 2
sin sin
cos
cos cos
cos sin cos sin
. .
Sin a
a
AD AB

= =
SA = AB. tan =


22
sincos
sin

a
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

a


22
2
sincos
sin

a
=


22
3
sincos3
cossin

a
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở
cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N
không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp
BAMNC.
Giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có BD AC
(vì ABCD là hình vuông)
(Ax, Cy) (ABCD)
BD (AMNC)
BI (AMNC)
BI =
2
2
2
a
BD
=
x
n

A
D
C
m
B
M
N
Diện tích hình thang AMNC là S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(...
62
2
2
2)(
3
1
3
1
2
nmBIS
a

a
anm
AMNC
+==
+
*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc
vị trí chân đờng cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng
nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy.
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đờng cao
của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng
tròn nội tiếp đáy
5
CHUYấN TH TCH

-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao
của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao
của khối chóp sẽ song song hoc nm trờn với đờng thẳng đó.
-Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc
với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng
thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã
nói ở trên.
*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên
nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC
Giải
A
S

C
B
H
a
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
- Ta có: ABC =

sin..
2
1
ACAB

mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos = 2AB
2
(1-cos ) = a
2
AB =
2
cos1


a
SABC =

24cos1
sin
22
1
2
2
1
cossin
22




aa
AB
==

HA = R =

sin2sin2
aBC
=
Tan giác vuông có tan =
AH
SH
SH =


cos2sin2
tan

aa
=
VSABC =



cos24
cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot..
a
aa
ABC
SHS
==

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =
3
và góc giữa 2 đờng
chéo = 60
o
. các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45
o
. Tính VSABCD

6
CHUYấN TH TCH

Giải
A
B
C
O
D
-Hạ SO (ABCD)
- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4
đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD
- Đặt AC = BD =x.
Ta có S
hcnABCD
=
2
1
AC.BD.sin60
o
=
3.
2
4
3
2
3
2
2
1

==
xx
x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông
cân tại S SO =
1
2
1
=
AC
VSABCD =
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o
, CSA = 120
o
.
a) Chứng minh rằng ABC vuông
b) Tính VSABC
Giải
a)

H
B
A
S
C
a




=
=
o
ASB
SBSA
60
AB = a
-Tam giác vuông SBC có BC
2
= SB
2
+ SC
2
= 2a
2
7
CHUYấN TH TCH

-SAC có AC
2

= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2
- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL

HA = HB = HC H là trung điểm AC
ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a SH

2
= SB
2
- BH
2
=
24
2
aa
SH
=
BH =
2
3
2
a
AC
=
(Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH =
22
aSA
=
)
VSABC =
12
2
6
1
2
1

3
1
3
1
23
.2.....
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
. SAC
và SBD là các tam giác đều có cạnh =
3
.
Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD =
4
6

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a,
BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
2a
3a
C
D
H

K
- Hạ SH (ABCD), H (ABCD)
- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là
tâm đờng tròn nội tiếp đáy
- Gọi K là hình chiếu của H lên AD
- Ta có HK =
a
AD
=
2
- Tam giác vuông SHK có HK = a
SK =
32
2
3
aa
=
(vì SAD đều)
8
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

⇒SH =
23
22
aaa
=−
V× ⋄ABCD ngo¹i tiÕp nªn: AB + CD = AD + BC = 5a
⇒SABCD =
2
2

2.5
2
).(
5a
aa
ADCDAB
==
+
⇒VSABCD =
3
5
2
3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a,
SB = a
3
, (SAB)
⊥
(ABCD). M, N lần lượt là trung ®iÓm AB, BC. TÝnh VSBMDN
Gi¶i
S

A
D
C
H
B
M
N
∆SAB h¹ SH b AB
(SAB) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)
S∆CDN = S∆MDA =
4
1
S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN =
2
1
S⋄ABCD =
2
1
2a.2a = 2a
2
∆SAB cã AB
2
= SA
2
+ SB
2
= 4a
2
⇒ SAB vu«ng t¹i S

⇒
222222
3
4
3
11111
aaaSBSASH
=+=+=
⇒ SH =
2
3a
⇒VSBMDN =
3
1
S⋄BMDN.SH =
2
3
2
3
2
3
1
3
.2
aa
a
=
Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD =
2
1

AD. ∆SBD
vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a.
TÝnh VSABCD
Gi¶i
9
CHUYấN TH TCH

S
H
15a
8a
A
D
C
B
-Trong SBD kẻ SH b BD
Vì (SBD) b (ABCD)
SH b (ABCD)
-Tam giác vuông SBD có
222
111
SDSHSH
+=
hay
222
225
1
64
11
aaSH

+=
hay
aaSH
17
120
289
14400
.
==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1
AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o
-SBD có BD
2
= SB
2
+SD
2
=289a
2
BD = 17a

CBD có BD
2
=2BC
2
(1+
2
1
) = 3BC
2
= 289a
2
BC =
a
3
17
SBCD =
12
3289
2
3
2
3
289
2
1
2
2
1
2
..120sin

a
o
aBC
==
SABCD = 3SBCD =
12
3289
2
a

VSABCD =
3
1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2
a
a
= 170
3
a
3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm
trong mặt phẳng

(ABCD). SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng
lập với (SCD) một góc . Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải
10
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

S
A
D
C
K
B
H
Trong ∆SCD h¹ SH
⊥
CD
V× ∆SCD c©n t¹i S
⇒ H lµ trung ®iÓm CD.
SH
⊥
CD
(SCD)
⊥
(ABCD
⇒ SH
⊥
(ABCD)
Gäi K lµ trung ®iÓm AB
Ta cã HK

⊥
AB
AB
⊥
SH (v× SH
⊥
(ABD))
⇒AB
⊥
(SKH) ⇒ AB
⊥
SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S
DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α
∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos
2
α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα
= 2a2sin
2
αcosα ⇒VSABCD =
23
3
2
.3
1
sinaS
ABCD
SH
=

α
Bµi 14: H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC). ACB =60
o
,
BC = a, SA = a
3
, M lµ trung ®iÓm SB. TÝnh thÓ tÝch MABC
Gi¶i
H
C
A
B
a
M
11
CHUYấN TH TCH

Cách 1.
SA b (ABC)
Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H MH b (ABC)
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
2
3
2
1
a
SA
=
SABC =

3.60tan..
2
2
1
2
1
2
1
aaaBCAB
o
==
VMABC =
42
3
2
2
1
3
1
3
1
3
.3..
a
a
ABC
aMHS
==

Cách 2.

2
1
==
SB
SM
V
V
ASABC
MABC
VMABC =
SABC
V
2
1
mà VSABC =
3
1
SA.SABC =
63.3
3
2
1
2
2
1
3
1
aaa
=
Vmabc =

3
4
1
a
Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA

(ABCD),
AB = a, SA = a
2
. H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng
minh rằng: SC

(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
A
C
O
H
K
a
a
N
F
E
B
D
a


2

S
y
x
AH

SB (gt) (1)
BC

AB (vì ABCD là hình vuông)
BC

SA (vì SA

(ABCD))
BC

(SAB) BC

AH (2)
Từ (1) (2) AH

(SBC AH

SC (3)
Chứng minh tơng tự ta có: SC

AK (4)
12
CHUYấN TH TCH

Từ (3) (4) SC

(AKH)
Gọi {F} = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE

(AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK
+=
AK =
3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS
==

+
Dễ thấy AH =
3
2
a
AKH cân tại A
Dễ thấy SBD có
BD
KH
SD
SK
=
mà SK =
2 2 2 2
2
2
3
3
2
a
SA AK a a = =
SD = a
3

SO
SF
a
a
BD
KH

===
3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF =
3
1
SO
2
1
=
SF
OF
SAC có : OA = OC

2
1
==
SF
OF
SN

OE
OE =
2
1
SN =
2
1
a
SAHK =
2
1
KH.
4
2
2
HK
AK

=
9
22
2
a
V =
=

AHK
.
3
1

SOE
27
22
3
a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(
2
a
,
2
a
, 0)
SKA
:
SAD
SD
SA
SA
SK
=
SK=
3
2a
K(0,
2
3

a
,
2
3
a
)
ABS có
SHSBAS .
2
=
SH=
3
2a
H(
2
3
a
,0,
2
3
a
)
Ta có
)
3
2
,0,
3
2
(

a
aAH
=

)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK
=
13
CHUYấN TH TCH


,0)
2
,
2
(
aa
AO
=
[
AKAH,
] =(
9

4
,
9
22
,
9
22
222
aaa

)
VOAHK=
6
1
|[
AKAH,
].
AO
|=
3
27
2
a
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a
2
,
SA = a, SA

(ABCD). M, N lần lợt là trung điểm AD và SC. {I} = BM AC.
Tính thể tích hình chóp ANIB.

Giải
a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
SA

(ABCD)
Gọi {O} = AC BD
Trong SAC có ON // SA
ON

(ABCD) NO

(AIB)
Ta có NO =
22
1
a
SA
=
Tính SAIB = ?
ABD só I là trọng tâm

SABI =
3
2
SABO =
4
1
3
2
.
SABCD =
3
2
a.a
2
=
6
22
a
SANIB =
3
1
NO.SAIB =
36
2
6
2
23
1
32
..

aa
a
=

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD)

(ABCD), SAD đều. Gi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
14
CHUYấN TH TCH

A
C
N
a
D
P
B
M
F
E
S
y
x
z
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) (ABCD) SE

AD

(SAD)

(ABCD)
SE

(ABCD)
- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) MF // SE. Dễ thấy F EB và F là
trung điểm EB
Ta có MF =
2
1
SE =
4
3
2
3
2
1
.
aa
=
SCNP =
2
8
1
8
1
4
1
aSS

ABCDCBD
==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3
4
3
2
8
1
3
1
3
.
aa
a
=
Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x EN, oy ED, oz ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính đáy bằng
chiều cao bằng a. Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O lấy B. sao
cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OOAB
Giải
15
CHUYấN TH TCH

B
A
A'
O'
O
H
D
Kẻ đờng sinh AA. Gọi D đối xứng với A qua O, H là hình chiếu của B trên
AD.
Ta có BH

AD
BH

AA
BH

(AOOA)
BH là đờng cao của tứ diện BAOO
SAOO =
2
2
a
, AB =
3'
22
aAAAB
=
ABD vuông ở B BD=a
OBD đều BH=

2
3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3a
.
(BCM) SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Giải
16
CHUYấN TH TCH

S
A
D
C

B
N
M
H
Ta có SAB=60
0
SAB vuông tại A có AM =
3
3a
, AB = a ABM = 30
0
Kẻ SH BM thì SH là đơng cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 30
0
= a
BC//(SAD) MN//BC
AD
MN
SA
SM
=
MN =
3
4. a
SA
SMAD
=
SBCMN =
33
10

).(
2
1
2
a
BMBCMN
=+
VSBCMN =
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o
;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lợt là trung điểm SA và
SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
Giải
17
CHUYấN TH TCH

A
D
S
H

M
N
Ta có BC//AD ,BC=
AD
2
1
,MN//AD , MN=
AD
2
1
BC = MN , BC// MN (1)
BC AB
BC SA
BC (SAB) BC AM (2)
Từ (1) và (2) ta có BCNM là hình chữ nhật
Kẻ SH BM thỡ SH (BCNM)
Vsbcnm=
3
1
SBCNM.SH=
3
1
BC.NM.SH=
3
3
a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1

C
1
có ABC vuông. AB = AC = a;
AA
1
= a
2
. M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a.
18
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

H

C
B
C
D
C¸ch 1:
Gäi H lµ H×nh chiÕu cña D lªn (ABC) v× DA = DC = DB = 1 ⇒ H lµ t©m ®-
êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC mµ ∆ABC c©n H ∈ CC’ víi C’ lµ trung ®iÓm AB
S∆ABC =
xxxABCC
x
.4.4'.
2
4
1
42
1
2
1
2
−=−=
HC = R∆ABC =
2
4
2
2
22
4
1
1.4
cossin4

sin2
x
xx
C
x
xx
CC
−
−
===
⇒Tam gi¸c vu«ng HCD cã HD
2
= CD
2
- DC
2

=
2
2
2
4
3
4
1
1
x
x
x
−

−
−
=−

⇒ HD =
2
2
4
3
x
x
−
−
⇒VABCD =
2
2
2 2
3
1 1 1
3 3 4 12
4
. . 4 . . 3
x
x
ABC
x
S HD x x x
−
∆
−

= − = −
C¸ch 2:
B
A
D
M
C'
Gäi M lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD
⊥
ABM
V× ∆ACD vµ ∆BCD ®Òu ⇒ AM = BM =
2
3
VABCD = 2VCBMA = 2.
3
1
CM.S∆ABC =
ABM
S
∆
.
2
1
3
2
S∆ABM =
2
1
MC’.AB =
2

4
2
2
2
2
3
2
1
3)()(. xx
xx
−=+
19
CHUYấN TH TCH

VABCD =
xxx
x
.33
2
12
1
2
43
1
=
b)
SACD=
4
3
d(B,(ACD))=

ACD
ABCD
S
V3
=
xx .3
3
1
2

c)
VABCD =
2 2
2
3
1 1 1
12 12 2 8
3 . .
x x
x x
+
=
Dấu = xảy ra x
2
= 3-x
3
x =
2
3
và thể tích lớn nhất là

8
1
Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ
SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này
là lớn nhất.
GIảI
C
A
S
M
D
B
H
Ta có BM

SH (gt)
BM

SA (Vì SA

( ABCD)
BM

AH
SABM =
2
1
SABCD =
2

1
a
2
Mà SABM =
2
1
AH.BM AH=
22
22
xa
a
BM
a
+
=
SAH vuông ở A có SH=
22
2
222
xa
a
hAHSA
+
+=+
BAH vuông ở H có BH=
22
22
4
222
xa

ax
xa
a
aAHAB
+
=
+
=
20
CHUYấN TH TCH

SABH =
2
1
AH.BH =
2
1
22
3
xa
xa
+
VSABH =
22
3
.
6
1
.
3

1
xa
xha
SAS
ABH
+
=
ha
ax
xha
2
3
12
1
26
1
=
Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D.
Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với
đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng

Hạ SH vuông góc với CM
a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC
b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện
SAKI.
Đáp số
a)V
max
=
12

3
a
b)V
SAKI
=
)sin1(24
2sin
2
3


+
a
Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành
các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm
Bài 25: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một bằng nhau AB = CD =a,
AC = BD = b, AD = BC = c
Tính thể tích ABCD
Giải
H
C
P
Q
R
B
+Dựng PQR sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm PQ, QR, PR.
+SDCR = SBCQ = SPDB =
4
1
SPQR

SBCD =
4
1
SPQR
AD = BC = PR
D là trung điểm PR
AR

AP
21
CHUYấN TH TCH

Tơng tự AP b AQ, AQ b AR
VAPQR =
4
1
SPQRAR
Bài 26: VABCD =
6
1
AD.BC.MN.Sin . Trong đó ABCD là tứ diện có MN là độ dài
của đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đối AD và CB, =(AD, BC)
Hớng dẫn: Dùng hình hộp ngoại tiếp t diện này.
Bài 27: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện
đều bằng . AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC
Giải
C
A
B
S

E
F
a
-Dễ thấy SAB, CAB là các tâm giác cân tại S và C
-Gọi E là trung điểm AB AB b SE
AB b CE
AB b (SCE)
VSABC = VASEC + VBSEC =
3
1
SSEC.(AE+BE) =
3
1
SSEC.AB
Tính SSEC = ?
SEC cân tại E vì ES = EC (SAB = ACB (g.c.g))
Gọi F là trung điểm SC EF b SC
SBC cân tại B vì BC =BS (Vì SAB = CAB (g.c.g))
FS = FC
FBC =
3

Tam giác vuông EBC có CE =


tan
2
Tam giác vuông FBC có BC =
22
EBCE

+
2
cos cos 2cos
( )
a
a
EB

= = =
Sin
2

=
BC
FC
FC = BC sin
2

=
2cos2
sin.


a
Tam giác vuông EFC có
22
CHUYấN TH TCH

EF
2

= EC
2
- FC
2
=
2
22
cos
1
4
cos4
sin
2
4
sin(sintan
2
2
2
2
22
2




=
a
a
a
SSEC =

2
1
EF.SC = EF.FC =
2cos22
22
cos2
sin..sinsin





aa

=
2
22
2
cos2
sinsin.sin.
2
2




a
VSABC =
2
22

2
cos12
3
sinsin.sin.
2




a
một số bài tập có thể giải bằng PP toạ độ vi việc chọn
hệ toạ độ dễ dàng
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt
BD tại O SO

(ABCD), SA = 2
2
. Gọi M là trung điểm SC, (ABM) cắt SD tại
N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Giải
Cách 1:
B
O
C
D
A
S
M
N
Ta có AB // CD (gt)

(ABM) (SCD) = MN
MN // CD N là trung điểm SD
VSABCD =
2
1
SABCD.SO =
2
1
AC.BD.SO =
2822.2.4
2
1
=
2
1
==
SD
SN
V
V
SABD
SABN
VSABN =
2
1
SSABD =
2
28
2
1

.
= 2
2
4
1
2
1
2
1
..
===
SD
SN
SC
SM
V
V
SBCD
SBMN
VSBMN =
4
1
SSBCD =
2
28
4
1
.
=
2

VSABMN = VSABN + VSBMN = 3
2
23
CHUYấN TH TCH

Cách 2: Sử dụng phơng pháp toạ độ
O
S
A
C
D
N
M
B
z
x
y
Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX tia OA, tia oy OB, tia oz OS
Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2
2
), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0;
2
)
Do (ABM) (SCD) = MN
AB // CD
MN//CD
N là trung điểm SD
N(0; -
2
1

;
2
)
SA
= (2; 0; -2
2
);
SM
= (-1; 0; -
2
);
SB
= (0; 1; -2
2
);
SN
= (0; -
2
1
; -
2
)
[
SA
,
SM
] = (0; 4
2
; 0)
VSABM =

6
1
[
SA
,
SM
].SB =
3
22
VSAMN =
6
1
[
SA
,
SM
].SN =
3
2
VSABMN = VSABM + VSAMN =
2
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB = a, AD = b , AA = c
a)Tính thể tích ACBD
b)Gọi M là trung điểm CCTính thể tích MABD.
giải
24
CHUYấN TH TCH

C
B'

D'
C'
A'
A
D
B
x
y
a
b
c
M
a) Cách 1:
Thể tích của khối hộp ABCDABCD là V = abc
VCCDB =
6
1
6
1
2
1
.
3
1
'.
3
1
===

abcabcSCC

BCD
V
Tơng tự ta có: VAABD = VBAB C = VDADC =
6
1
V
VACDB = V - 4.
6
1
V =
3
1
V=
3
1
abc
Cách 2: dùng phơng pháp toạ độ
Chọn hệ toạ độ Axyz nh hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c),
A(0; 0; 0)
DB
= (a; -b; 0);
'DC
= (a; 0; c);
'DA
= (0; -b;c);
[
DB
,
'DC
] = (-bc; -ac; ab)

VACDB =
6
1
|[
DB
,
'DC
].
'DA
| =
3
1
abc
b) Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A(0;0;c) ,
C(a;b;0) , C(a;b;c)
M là trung điểm CC nên M(a;b;
2
c
)
)0;;( baBD
=
,
)
2
;;0(
c
bBM
,
);0;(
'

caBA
=
[
BMBD,
]=
);
2
;
2
( ab
acbc

VBDAM =
6
1
|[
BD
,
BM
].
'BA
| =
4
1
2
3
6
1
=
abc

abc
2) Về thể tích khối lăng tr
Ta thờng áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính
hoặc bổ sung thêm
25