Khai thác mối quan hệ hình học - đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019


✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
✶
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶
✶ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤
❤å❝
✸
✶✳✶✳ Þ t÷ð♥❣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝
✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳ ✸

✳ ✸
✳ ✸
✳ ✶✹

✷ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐
sè
✶✾
✷✳✶✳ Þ t÷ð♥❣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝â t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✳ ✶✾
✳ ✶✾
✳ ✶✾

✳ ✸✼
✳ ✹✸
✳ ✺✵

✺✽
✺✾

ớ ỡ
r sốt q tr tổ ổ ữủ sỹ ừ ở ữợ
ú ù ừ P r ổ q t t ó
st s tớ t t ữợ t
ừ tổ ổ tọ ỏ t ỡ t s s t
ổ ỷ ớ ỡ ổ ỏ
ừ trữớ ồ ồ ồ ụ ữ ổ
t õ ồ ồ t t tr
t tự tr sốt tớ t ồ tỹ t
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ tợ ỗ ổ
ở ú ù ộ ỹ ỳ t t t t tổ
tr sốt q tr ồ t t t s

t


ổ




ớ õ
ỵ ồ t
ồ số ở q trồ sốt ữỡ tr
t P õ t ở ổ ồ õ
ự t ố q ỳ ồ số ởt rt
q t ỗ tớ tổ q õ t tờ t ỡ
õ ú ú t ró ỡ ồ ụ ữ ú

ồ ở ổ ồ
ử t t ừ ữợ t tr tr t ợ rt
q t ú trồ ồ ổ ỳ ổ ợ ỳ
ổ tr ũ ởt ổ ồ ử ừ t ổ
ữợ ừ tớ t ồ
ọ s t ự ử ữợ ồ
ữỡ tr tr trữớ P ở ổ
ự ró rt số ồ õ t
t ỹ ú ồ s t ữủ trú ữỡ tr t
t tự ởt õ tố ữ ữủ õ ồ s
r ổ ở ợ ổ õ ố q tữỡ
trủ q ụ ữ t ổ tr s
P ữ ữủ ró r ừ
ỹ t q tr ồ ự r ồ s t
ố q ồ số ỡ ỗ ữ
ổ r t õ t ổ ồ ồ ổ
t ồ t ổ õ ụ ữ ồ t tt
ổ ồ t ồ số t
số t ổ ữ ú trồ sỹ t ỳ
ồ số tr ụ ữ t




ổ q t tỹ t tổ t r t ố q ỳ
ổ ồ số s õ q trồ ú
t ỡ ở ổ ồ ụ ữ trủ ú ổ t t ồ
s ọ P õ ợ ữợ ợ t ớ
ợ ú ỡ tr q tr ổ t ổ
ỳ ỵ tr tổ qt ồ t t ố q

ồ số ởt số t ồ s ọ ổ
q ự ọ tổ r s õ ró ỡ ố
q ỳ ổ ồ số ố q tữỡ trủ
tr q tr ồ ừ t

ử ử ừ
ử ừ t ố q ỳ ồ
số õ t ữợ t ợ ừ t ữớ
ử t t số t ồ ữủ t
ồ ợ ổ ử số tổ q ởt số t
ồ s ọ t ồ ồ s ọ t t qố ỹ
t tr t ử s

ị tữ t t t ổ ử ừ số t
ồ ữủ
ữ t ởt t t số ồ ồ s ọ
ữ r ớ ử t t ổ ử ừ số
ởt số t ồ ữủ t t t ữỡ
ồ t số ồ s ọ

ở ừ t
ở t t t s ỗ
ữỡ
ữỡ r ữỡ t tự số ởt
số t ồ
ữỡ r ữỡ t tự ồ
ởt số t số

ữỡ

t tự số
ởt số t ồ
ị tữ
ở ữỡ ồ ỵ tữ ử t t ỵ ổ
ử tr số tr q tr t r ớ ởt số t ồ
ữ r ởt số ử sỷ ử tự số ữ r ớ
ởt số t ồ ồ ồ s ọ t ồ ồ s ọ
ữỡ t qố ụ ữ t ồ ồ s ọ ỹ
ữỡ ởt số ữợ ỹ ổ
ởt tr ỳ q trồ tr ỳ ử ố
t ú ở ở ỳ õ t ử t t
ừ số qt õ t t ồ q tr số õ
t ồ s õ q tr sỷ ử ổ ử số t
t ồ

ởt số ử ồ
t ỹ tr ồ
t t tứ 2 t tự số rt q tở s

ợ số ữỡ a b c õ
(a + b + c)

1 1 1
+ +
a b c

9.

✹

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳

▲í✐ ❣✐↔✐

(a + b + c)

1 1 1
+ +
a b c

a a b
b c c
+ + +1+ + + +1−9
b c a
c a b
a b
b c
c a
=
+ −2 +
+ −2 +
+ −2
b a
c b
a c
(a − b)2 (b − c)2 (c − a)2

=
+
+
≥ 0.
ab
bc
ac

−9=1+

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a − b = b − c = c − a = 0 ⇔ a = b = c✳

❇✣❚ ✷✳ ❱î✐ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ a, b, c ❝â

b
c
3
a
+
+
≥ .
b+c c+a a+b
2
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳

▲í✐ ❣✐↔✐

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â

b

c
a
+
+
=
b+c c+a a+b

a
b
c
+1 +
+1 +
+1 −3
b+c
c+a
a+b
1
1
1
= (a + b + c)
+
+
−3
b+c c+a a+b
1
1
1
1
+
+

−3
= [(b + c) + (c + a) + (a + b)]
2
b+c c+a a+b
9
3
≥ −3= .
2
2

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c✳
❈â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
❝❤ù❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ t➻♠ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝✳

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷ñ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔
❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ a✳ ●å✐ ✤÷í♥❣

✈✉æ♥❣ ❣â❝ tø ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷ñt
❧➔ M D, M E, M F ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸✿
1
1
1
❛✮
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
MD ME MF
1

1
1
❜✮
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→
MD + ME ME + MF MF + MD
trà ✤â✳


✺

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✶

√
a 3
●å✐ h =
❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ✈➔ ✤➦t M D = x,
2
M E = y, M F = z ✳ ❚❛ ❝â
SABC = SM BC + SM AC + SM AB
⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h ❦❤æ♥❣ ✤ê✐✳
❛✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â
1 1 1
+ +
(x + y + z)
x y z

√
9
6 3
1 1 1
.
≥9⇒ + + ≥ =
x y z
h
a

❜✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â

1
1
1
+
+
≥9
x+y y+z z+x
√
1
1
1
9
3 3
⇔
+
+
≥
=

.
x+y y+z z+x
2h
a
❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â
M ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ∆ABC ✳
(x + y + y + z + z + x)

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✷✳ ●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❜❛ ❣â❝ ♥❤å♥ ✈î✐

❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ AA1 ; BB1 ; CC1 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
❛✮

AA1
BB1
CC1
+
+
≥9
HA1 HB1 HC1


✻

❜✮

HA1 HB1 HC1
3
+
+

≥
HA
HB
HC
2
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ♥➔♦❄

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✷

●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ S, S1 , S2 , S3 t❤➻

S = S1 + S2 + S3 .
❛✮ ❉➵ t❤➜②

S1 HB1
S2 HC1
S3
HA1
= ;
= ;
= .
AA1
S BB1
S CC1
S

❉♦ ✤â

HA1 HB1 HC1
+
+
= 1.
AA1
BB1
CC1

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷ñ❝

AA1
BB1
CC1
+
+
≥ 9.
HA1 HB1 HC1
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

HA1
HB1
HC1
1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3

S
,
3
❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔
t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳
⇔ S1 = S2 = S3 =


✼

❜✮ ❚ø

HA1
S1
=
❝â
AA1
S
HA1
HA1
S1
S1
=
=
=
.
HA
AA1 − HA1
S − S1
S2 + S3

❚÷ì♥❣ tü

HB1
S2
HC1
S3
=
;
=
.
HB
S1 + S3 HC
S1 + S2

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â

HA1 HB1 HC1
3
+
+
≥ .
HA
HB
HC
2
▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ABC ✤➲✉✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✸✳ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❜❛ ❣â❝ ♥❤å♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥

(O) ✈î✐ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ AA1 ; BB1 ; CC1 ❧➛♥ ❧÷ñt ❝➢t (O) ❧➛♥ ♥ú❛ t↕✐ D; E; F ✳
❳→❝ ✤à♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC s❛♦ ❝❤♦✿
❛✮

AA1 BB1 CC1
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
DA1 EB1 F C1

❜✮

AA1 BB1 CC1
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
AD
BE
CF

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✸

●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ HA1 = DA1 ; HB1 =

EB1 ; HC1 = F C1 ✳


✽

❛✮ ●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ S, S1 , S2 , S3
t❤➻

S = S1 + S2 + S3 .
❉➵ t❤➜②

HA1
S1 EB1
HB1
S2 F C1
HC1
S3
DA1
=
= ;
=
= ;
=
= .
AA1
AA1
S BB1
BB1
S CC1
CC1
S
❉♦ ✤â

DA1 EB1 F C1

+
+
= 1.
AA1 BB1 CC1

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷ñ❝

AA1 BB1 CC1
+
+
≥ 9.
DA1 EB1 F C1
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

EB1
F C1
1
DA1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3
S
,
3
❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔
t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

⇔ S1 = S2 = S3 =

❜✮

AD
BE
CF
HA1
HB1
HC1
+
+
=1+
+1+
+1+
=4
AA1 BB1 CC1
AA1
BB1
CC1
❙✉② r❛

9
AA1 BB1 CC1
+
+
≥ .
AD
BE
CF

4
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ∆ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✹✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥

❦➼♥❤ r✱ ❤➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ✤↕t
❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ ha , hb , hc ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ù♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ a, b, c ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝

ABC ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O)✳
●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, OBC, OAC, OAB ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ S, S1 , S2 , S3 t❤➻
S = S1 + S2 + S3 .


✾

❍➻♥❤ ✹

❉➵ t❤➜②

OK
r
S1
=
= ;
AA1
ha

S

❚÷ì♥❣ tü

r
S2 r
S3
= ;
=
hb
S hc
S

❉♦ ✤â✿

r
r
r
+
+
=1
ha hb hc

✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ❝â

ha + hb + hc = (ha + hb + hc )

1
1

1
+
+
ha hb hc

r ≥ 9r.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ha = hb = hc = 3r, ha + hb + hc = 9r✱ ❧ó❝ ✤â ∆ABC
❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✺✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳

❑➫ AM, BM, CM ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷ñt t↕✐ A1 , B1 , C1 ✳ ❳→❝ ✤à♥❤
✈à tr➼ ❝õ❛ ✤✐➸♠ M ✤➸
AA1
BB1
CC1
❛✮
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
M A1 M B1 M C1


✶✵

❜✮

MA MB MC
.

.
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
M A1 M B1 M C1

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✺

❈→❝❤ ✶✳ ✭❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè✮

●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, M BC, M AC, M AB ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ S, S1 , S2 , S3
t❤➻ S = S1 + S2 + S3 ✳
❛✮ ❙û ❞ö♥❣ ❤➺ q✉↔ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s t❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝

M A1
d(M ; BC)
=
AA1
d(A; BC)
▲↕✐ ❝â

d(M ; BC)
S1
=
d(A; BC)
S

❱î✐ d(M ; BC); d(A; BC) ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✈➔ A ✤➳♥ BC ✳
❙✉② r❛
❚÷ì♥❣ tü

❉♦ ✤â

M A1
S1
=
AA1
S
M B1
S2 M C 1
S3
= ;
=
BB1
S CC1
S
M A1 M B1 M C1
+
+
= 1.
AA1
BB1
CC1

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ❝â

AA1
BB1
CC1
+

+
≥ 9.
M A1 M B1 M C1


✶✶

S
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ S1 = S2 = S3 = ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ∆ABC ✳
3
AA1
❜✮ ✣➦t
= x t❤➻
M A1
AA1
MA
=
− 1 = x − 1.
M A1
M A1
❚÷ì♥❣ tü
MB
BB1
=
− 1 = y − 1,
M B1
M B1
MC
CC1
=

− 1 = z − 1.
M C1
M C1
❚❛ ❝â
1 1 1
+ + = 1 ⇔ xy + yz + zx = xyz.
x y z
❚ø ✤â
AA1 M B M C
.
.
= (x − 1)(y − 1)(z − 1)
M A1 M B1 M C1
= xyz − (xy + yz + zx) + x + y + z − 1 = x + y + z − 1
= (x + y + z)

1 1 1
+ +
x y z

− 1 ≥ 9 − 1 = 8.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳
❚❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ þ ❜ t❤❡♦ ❝→❝❤ s❛✉✿

❈→❝❤ ✷✳ ✭❙û ❞ö♥❣ t➾ sè ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✈➔ ❇✣❚ ❈❛✉❝❤②✮

●å✐ S1 ; S2 ; S3 ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABM, ACM, BCM ✳ ❈❤ó þ
r➡♥❣ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❝ò♥❣ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ t❤➻ t➾ sè ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣ t➾ sè
❤❛✐ ❝↕♥❤ ✤→②✳

❚❛ ❝â

SACM
SABM + SACM
S1 + S2
MA
SABM
=
=
=
=
M A1
SBM A1
SCM A1
SBM A1 + SCM A1
S3
❚÷ì♥❣ tü ❝â

MB
S1 + S3 M C
S2 + S3
=
;
=
.
M B1
S2
M C1
S1
❚ø ✤â✱ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ✤÷ñ❝

S1 + S2 S1 + S3 S2 + S3
MA MB MB
.
.
=
.
.
M A1 M B1 M B1
S3
S2
S1
√
√
√
2 S1 .S2 .2 S1 .S3 .2 S2 .S3
≥
= 8.
S3 .S2 .S1


✶✷

1
❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ S1 = S2 = S3 = .SABC
3
MA
MB
⇒
=2=
❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ∆ABC ✳

M A1
M B1

❈→❝❤ ✸✳ ✭❙û ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s ✈➔ ❇✣❚ ❈❛✉❝❤②✮

◗✉❛ M ❦➫ M D//AB ✈➔ ❝➢t BC t↕✐ D✳ ◗✉❛ M ❦➫ M E//AC ✈➔ ❝➢t BC
t↕✐ E ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❛❧❡s t❛ ❝â✿

MA
BD
EC
BD + EC
BD + EC
=
=
=
=
.
M A1
DA1
EA1
DA1 + EA1
DE
▼➦t ❦❤→❝

MB
BD
BD + DE
=
=

M B1
EC
EC
DC
DE + EC
MC
=
=
.
M C1
BD
BD

❚ø ✤â✱ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✤÷ñ❝

MA MB MC
BD + EC BD + DE DE + EC
.
.
=
.
.
M A1 M B1 M C1
DE
EC
BD
√
√
√
2 BD.EC.2 BD.DE.2 DE.EC

≥
≥ 8.
DE.EC.BD
❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ BD = DE = EC ⇒ M C = 2M C1 , M B = 2M B1 ✳
▲ó❝ ✤â✱ M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✻✳ ❈❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥ ❦➼♥❤ R✳ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â

tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AB ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ trá♥
❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ M A ✈➔ M B ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳

▲í✐ ❣✐↔✐

✣➦t M A = 2x, M B = 2y ✈î✐ x + y ≥ 0 t❤ä❛ ♠➣♥ x + y = R ✭❦❤æ♥❣ ✤ê✐✮ ✭①❡♠
❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ●å✐ S1 ✈➔ S2 t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ M A
✈➔ M B ✳
❉➵ t❤➜② S = S1 + S2 ♥❤ä ♥❤➜t ⇔ P = πx2 + πy 2 = π(x2 + y 2 ) ♥❤ä ♥❤➜t✳
πR2
▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ s✉② r❛ ●❚◆◆ ❝õ❛ S ❜➡♥❣
✱ ❧ó❝ ✤â M trò♥❣
2
✈î✐ t➙♠ O✳


✶✸

❍➻♥❤ ✻

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✼✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD ❝↕♥❤ a✳ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â tr➯♥

❝↕♥❤ AB ✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ M A, M B ✈➲ ❜➯♥ tr♦♥❣ ABCD✳ ❳→❝
✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ S ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD ❧➔ ❧î♥
♥❤➜t✳

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✼

✣➦t M A = x, M B = y ✈î✐ x ≥ 0; y ≥ 0 t❤ä❛ ♠➣♥ x + y = a ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮
●å✐ S1 , S2 t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ M A ✈➔ M B t❤➻ S1 = x2
✈➔ S2 = y 2 ✳
❉➵ t❤➜② S ❧î♥ ♥❤➜t ⇔ S1 + S2 ♥❤ä ♥❤➜t ⇔ P = x2 + y 2 ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚ø ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ 2(x2 + y 2 ) ≥ (x + y)2 ❤❛② 2(x2 + y 2 ) ≥ a2 s✉② r❛ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t
a2
✭●❚◆◆✮ ❝õ❛ S1 + S2 ❜➡♥❣ ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ AB ✳
2




t q t
t q t ởt t tữớ t tr ở
ồ ờ tổ t q t tữớ ỗ ữợ ỹ
q t ự q t ợ q t õ ởt số
t q t ữủ t t tứ ởt t t t số
ỳ t tữớ ũ tự t số ờ
t tr s õ sỷ ử tự ồ qt
ữ r q t ợ q sỷ ử tự số ởt số t
ồ ữủ sỷ ử tr q tr ữ ớ ữ
tự số ồ ữủ sỷ ử ởt số ữợ

t q t r t tồ ở t q t M (x; y) tọ
t t T t ồ t q t số t q
t t tữớ t
M (x; y) õ ử tở t số m ổ
t T q t M (x; y) tọ
t q ữỡ tr t ữỡ tr ừ x, y ữ t
ợ q t Q ừ M ừ t q t Q õ t
ởt ữớ ởt õ ừ t tồ ở ỗ ởt số
rớ r

Q ởt ữớ t ỳ tồ ở (x; y) ừ tở Q

ởt tự õ F (x; y) = 0 tự ữỡ tr ừ
ữớ Q ồ ữỡ tr q t

Q ởt tr R2 t ỳ tồ ở (x; y) ừ tở

Q tữớ õ ữợ t ữỡ tr r Q t
t ữủ ữỡ tr ữớ ừ Q
ũ ữỡ t q t số t õ trữớ s
rữớ ủ M (x; y) ử tở t số m
ữợ tồ ở ừ q t số m ỹ
T t õ

x = x(m) (1)
y = y(m) (2)
ữợ ỷ m tứ (1) (2) ữủ tự ỳ x, y ữỡ
tr q t

F (x, y) = 0

(3)

ữợ ợ q t

t số m t tũ ỵ t q t t ở ữớ

ữỡ tr (3) ỵ ữớ õ (d1 )

t số m t tr () t tứ (1) s r x

t tr (1 )

t minx(m),x(m) r q t ởt ừ ữớ
t (d1 ) tr (1 )

rữớ ủ M (x; y) ổ ử tở t số m
ữợ tứ q t T ố ợ M (x; y)
ố ợ tồ ở (x; y) ừ õ

ữợ t r tự t tự
trỹ t ỳ x, y

ú ỵ t tr trữớ ủ tữớ
ởt số ử ồ ữủ tr tứ ồ
ờ r t t

t ồ ữớ y = f (x) = x 2 + mx

(4)

q t ỹ ỹ t ừ ỗ t số

ớ

ồ x = 0.
m
x2 m
õ f (x) = 1 2 =
.
x
x2
tỗ t tr ỹ ỹ t ữỡ tr f (x) = 0 õ 2
t x2 m = 0 õ t 0

m > 0 ().
õ y = 0 x =




m x = m.

t

t ỹ ứ t t ỹ õ ở

x= m

x<0
1
m = x2

ỹ tr ỗ t số (4) t õ ữỡ tr q
t

x2
= 2x 2.
x
x tọ 1 q t ỹ ởt ừ ữớ
t y = 2x 2 õ ở x < 0.
t ỹ t ứ t t ỹ t õ ở
y =x2+

x=


m

x>0
m = x2

2

ỹ t tr ỗ t số (4) t õ ữỡ tr q
t

x2
= 2x 2.
x
x tọ 2 q t ỹ t ởt ừ ữớ
y =x2+

t y = 2x 2 õ ở x > 0.

t Pr y = x2 m ữớ t y = mxm

t r t A, B t q t tr I ừ t

AB

ớ

ữớ t y = mx m t y = x2 t

Pữỡ tr x2 mx + m = 0 õ
= m2 4m 0 m 0 4 m
()
ồ I(x; y) tở q t t ợ () t õ
1
x = (x1 + x2 )
2
tr õ x1 ; x2 ừ ữỡ tr x2 mx + m = 0

1
m
x = (x1 + x2 ) =
t ỵ t m = 2x.
2
2
I(x; y) tr ỗ t số y = mx m t q ữủ q t
I(x; y)

y = 2x(2x 1) = 2x2 2x.
m tọ 2x 0 4 2x s r x 0 x 2

(1 )
q t t r õ ữỡ tr y = 2x2 2x


✶✼

tr♦♥❣ (α1 ).

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✸✳ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣
y=

x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1
x2 + m2 − m + 1

✈î✐ Ox, Oy ✳

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ A(0; y) ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤ç t❤à ✤➣ ❝❤♦ ✈î✐ Oy ✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
m2 + m + 1
✭✈î✐ x = 0✮ ❞↕♥❣ y = 2
✭➞♥ m✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (m2 −
m −m+1
m + 1)y = m2 + m + 1 ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
3
1
✭❱➻ m2 − m + 1 = (m − )2 + > 0 ✈î✐ ♠å✐ m✮
2
4
⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (y − 1)m2 − (y + 1)m + y − 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
y−1=0
y−1=0
⇔
❤♦➦❝
y+1=0
∆ = (y + 1)2 − 4(y − 1)2 ≥ 0

⇔ y = 1 ❤♦➦❝

y=1
(y − 3)(3y − 1) ≤ 0


 y=1
✭α✮
⇔ y = 1 ❤♦➦❝
1
 ≤ y ≤ 3.

3
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✈î✐ Oy ❧➔ ♠ët ✤♦↕♥ tr➯♥ trö❝
Oy ❝â t✉♥❣ ✤ë t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α✮✳
●å✐ B(x; 0) ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤ç t❤à ✤➣ ❝❤♦ ✈î✐ Ox✳ ❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1
= 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
x 2 + m2 − m + 1
⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
2
1
3
2
2
2
✭✈➻ x + m − m + 1 = x + m −
+ > 0 ✈î✐ ♠å✐ x, m✮
2
4
2
2
⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ m + (2x + 1)m + x − x + 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
⇔ ∆ = (2x + 1)2 − 4(x2 − x + 1) ≥ 0
3
⇔ 8x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ .
(α1 )
8
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✈î✐ Ox ❧➔ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ tr➯♥ trö❝
Ox ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë t❤ä❛ ♠➣♥ (α1 )✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✹✳ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë ❝â

❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤➳♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = −

1
1
✈➔ ✤➳♥ ✤✐➸♠ (0; ) ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
4
4


✶✽

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ A(x; y) ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ q✉ÿ t➼❝❤✳ ❑❤✐ ✤â

1
=
y+
4

x2

1
+ y−
4

2

⇔

1
y+
4

2

1
=x + y−
4
2

2

✭❞♦ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ➙♠✮

⇔ y = x2 .
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ♣❛r❛❜♦❧ y = x2 .

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✺✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè y = x2.

❛✮ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tø ✤â ❝â t❤➸ ❦➫ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ tî✐ ✤ç
t❤à✳
❜✮ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tø ✤â ❝â t❤➸ ❦➫ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✈✉æ♥❣
❣â❝ ✈î✐ ♥❤❛✉ tî✐ ✤ç t❤à✳

▲í✐ ❣✐↔✐

❛✮ ●å✐ A(x0 ; y0 ) ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ q✉ÿ t➼❝❤✳
❚❛ ❝â y = f (x) = x2 ⇒ f (x) = 2x.
❚✐➳♣ t✉②➳♥ ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) q✉❛ A(x0 ; y0 ) ♥➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) ❝â ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤ ❧➔ y = k(x − x0 ) + y0 .
✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) ❧➔ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ ✤ç t❤à ❤➔♠ sè y = f (x) = x2 ❦❤✐ ❤➺
x2 = k(x − x0 ) + y0
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝â ♥❣❤✐➺♠✳
k = f (x) = 2x
⇒ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 = 2x(x − x0 ) + y0 ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
✣➸ q✉❛ ✤✐➸♠ A ❦➫ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✤➳♥ ✤ç t❤à ❤➔♠ sè y = f (x) = x2

⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 = 2x(x − x0 ) + y0 ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳
⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 − 2x0 x + y0 = 0 ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ (1)
⇔ ∆ = x20 − y0 > 0 ⇔ y0 < x20 .
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tø ✤â ❦➫ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ tî✐ ✤ç t❤à ❧➔
♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♥➡♠ ❞÷î✐ ♣❛r❛❜♦❧ y = x2 ✳
❜✮ ●å✐ B(x0 ; y0 ) ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tø ✤â ❝â t❤➸ ❦➫ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥
✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♥❤❛✉ tî✐ ✤ç t❤à✳ ●å✐ k1 , k2 ❧➔ ❝→❝ ❤➺ sè ❣â❝ ❝õ❛ ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥
➜②✳
❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1) ❝â ♥❣❤✐➺♠ 2 ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t x1 ; x2 ✈î✐ k1 =
1
4y0
= −1 ⇔ y0 = − .
2x1 ; k2 = 2x2 t❤ä❛ ♠➣♥ k1 k2 = −1 ⇔ 4x1 x2 = −1 ⇔
1
4
1
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = − ✳
4

ữỡ

t tự ồ
ởt số t số
ị tữ
ở ữỡ ồ ỵ tữ ử t t ỵ ổ
ử tr ồ tr q tr t r ớ ởt số t số
ữ r ởt số ử sỷ ử tự ồ ữ r ớ
ởt số t ồ ồ ồ s ọ t ồ ồ s
ọ ữỡ t qố ụ ữ t ồ ồ s ọ ỹ
ữỡ ởt số ữợ ỹ ổ
ởt tr ỳ q trồ tr ỳ ử ố
t ú ở ở ỳ õ t ử t t
ừ ồ qt õ t t ồ q tr ồ
õ t số ợ sỷ ử ổ ỳ ồ t
t số

ởt số ử ồ
t ự t tự
tỡ ởt tự tr ồ õ t ợ ố tữủ
ừ ồ tố õ ữợ ởt tố t ú tỡ
t tr t qt t ỡ ỳ
t trử tồ ở tr t ổ t tử tr


✷✵

t❤➯♠ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö ♠î✐ ❝❤♦ ✈❡❝tì✳ ❈❤♦ ♣❤➨♣ ①â❛ ✤✐ r❛♥❤ ❣✐î✐ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝
✈➔ ✣↕✐ sè✳

◆❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ♠➔ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❞ü❛ tr➯♥ ✈✐➺❝ →♣ ❞ö♥❣ ✈❡❝tì ✈➔
tå❛ ✤ë ✈❡❝tì t❤ü❝ sü ❞➵ ❤✐➸✉ ✈➔ tr♦♥❣ s→♥❣✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ ✈➟② ❞÷î✐ ✤➙②✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥
s➩ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ♠➔ ✈✐➺❝ sû ❞ö♥❣ ✈❡❝tì ✈➔ tå❛ ✤ë ✈❡❝tì
t↕♦ r❛ ♠ët ❤÷î♥❣ t✐➳♣ ❝➟♥ ♠î✐✱ ✤ç♥❣ t❤í✐ t➠♥❣ ❦❤↔ ♥➠♥❣ t÷ ❞✉② s→♥❣ t↕♦ ✈➔
✈➟♥ ❞ö♥❣ ❧✐♥❤ ❤♦↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤✳

❚r÷î❝ t✐➯♥✱ t→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ①✐♥ ♥➯✉ ❧↕✐ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝➠♥ ❜↔♥ ✈➲ ✈❡❝tì ♥❤÷
s❛✉

✶✮ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì
❛✮ |u + v| ≤ |u| + v|✱

❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❤❛✐ ✈❡❝tì ❝ò♥❣ ❤÷î♥❣ ⇔ ∃k ∈ R∗+ : u = kv ✳
❜✮ ⑤u + v + w| ≤ |u| + |v| + |w|✱
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❜❛ ✈❡❝tì ❝ò♥❣ ❤÷î♥❣ ✈➔ ♠ð rë♥❣ ❝❤♦ n ✈❡❝tì✳
❝✮ ⑤⑤u| − |v|| ≤ |u + v|✱
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❤❛✐ ✈❡❝tì ♥❣÷ñ❝ ❤÷î♥❣ ⇔ ∃k ∈ R∗− : u = kv ✳
❞✮ ⑤u| − |v| ≤ |u| + |v|✱ ❞➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❤♦➦❝ v = 0 ❤♦➦❝ u; v ♥❣÷ñ❝
❤÷î♥❣✳
❡✮ ⑤u.v| ≤ |u|.|v|✱ ❞➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❤❛✐ ✈❡❝tì ❝ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣✳

✷✮ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ tå❛ ✤ë ✈❡❝tì

❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✈î✐ ❤➺ trö❝ tå❛ ✤ë ❖①②✱ ❝❤♦ ❤❛✐ ✈❡❝tì u = (x1 ; y1 );

v = (x2 ; y2 )✳ ❑❤✐ ✤â✿
❛✮ u + v = (x1 + x2 ; y1 + y2 )
❜✮ u − v = (x1 − x2 ; y1 − y2 )
❝✮ ku = (kx1 ; kx2 )(k ∈ R)
❞✮ u.v = |u|.|v|.cos(u.v)

❡✮ u.v = x1 .x2 + y1 .y2
❢✮ ⑤u| =

x21 + y12
❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈î✐ ❤➺ trö❝ tå❛ ✤ë Oxyz ❝❤♦ ❤❛✐ ✈❡❝tì u = (x1 ; y1 ; z1 );
v = (x2 ; y2 ; z2 )✳ ❑❤✐ ✤â✿
❛✮ u + v = (x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )✳
❜✮ u − v = (x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 )✳
❝✮ k.u = (kx1 ; ky1 ; kz1 )(k ∈ R)
❞✮ u.v = x1 .x2 + y1 .y2 + z1 .z2
❡✮ |u| =

x21 + y12 + z12




ởt số ử ồ tr số ớ õ sỷ ử
tỡ tồ ở tỡ ữủ tr tứ t ồ ỗ ữù

ồ s ọ ũ t t ởt tờ t
ờ t ử tỡ t tứ số ồ t
tự ỹ tr ữỡ tr t ữỡ tr ữỡ tr

t ự r ợ ồ t ABC t ổ õ
3
cos A + cos B + cos C . (1)
2

ớ

ỷ ử t t số ỷ ử t tự ữủ
ỡ
õ

AB
A+B
. cos
+ cos C
2
2
C
AB
C
= 2 sin . cos
2 sin2 + 1.
2
2
2

cos A + cos B + cos C = 2 cos

õ cos

AB
1.
2

C
C
0 < C < 180 0 <

< 90 sin > 0
2
2
C
AB
C
2 sin . cos
2 sin .
2
2
2
õ
C
C
2 sin2 + 1
2
2
2
C 1
3
3
cos A + cos B + cos C 2 sin
+ .
2
2
2
2


cos A B = 1

A = B
2

tự r
C 1

C = 60
sin = 0
2
2
= C = 60 ABC
A = B
cos A + cos B + cos C 2 sin

ỷ ử t t số ỷ ử t tự
t

cos A + cos B + cos C

3
A+B
AB
C 3
= 2 cos
cos
+ 1 2 sin2
2
2
2

2
2
C
AB
C 1
= 2 sin cos
2 sin2
2
2
2
2