Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ ĐÀO HẢI AN

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ ĐÀO HẢI AN

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA
CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS LÊ VĂN HIỆN
2. TS. TRẦN THỊ LOAN

HÀ NỘI-2019


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS. Trần Thị Loan. Các kết
quả được phát biểu trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí của các
đồng tác giả khi đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong công trình
luận văn, luận án nào khác.
Nghiên cứu sinh

Lê Đào Hải An

1


LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS
Trần Thị Loan. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy,
Cô, đặc biệt là PGS.TS Lê Văn Hiện, người đã có những định hướng đúng đắn,
chỉ dẫn sát sao và đầy trách nhiệm cho tác giả trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận án. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự
động viên và lòng tin tưởng của Thầy, Cô dành cho tác giả là nguồn động lực vô
cùng lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua những khó khăn trong
nghiên cứu.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học,

Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội và các thầy
giáo, cô giáo của bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường
học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn
các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xemina Phương trình vi phân
và tích phân của bộ môn Giải tích đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tác giả
trong quá trình học tập và làm luận án.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học
Hàng hải Việt Nam, các thầy giáo, cô giáo và các đồng nghiệp tại bộ môn Toán,
khoa Cơ sở-Cơ bản, trường Đại học Hàng hải Việt Nam đã luôn tạo điều kiện
thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Sau cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, những người luôn yêu thương,
chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.
Tác giả
2


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1. Mô hình động lực của mạng nơron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2. Cơ sở toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov . 27
1.2.2. Hệ phương trình vi phân hàm chứa xung . . . . . . . . . . . 29
1.2.3. Hệ dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.4. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
PHI TUYẾN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD CÓ TRỄ VỚI
XUNG BIẾN THIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1. Ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Mô hình mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm chứa trễ và xung
bất ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3. Điều kiện ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1. Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2. Một số kết quả áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3


2.3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4. Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu
ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1. Tính ổn định mũ suy rộng của hệ đóng (2.35) . . . . . . . . . 57
2.4.2. Điều kiện ổn định hóa dạng mũ suy rộng hệ (2.32) . . . . . . 64

2.4.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. NGHIỆM DƯƠNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ĐIỂM CÂN BẰNG ĐỐI
VỚI MÔ HÌNH MẠNG NƠRON QUÁN TÍNH ĐA TRỄ BIẾN THIÊN 71
3.1. Thiết lập sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.1. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2. Tính dương của mạng nơron quán tính có trễ . . . . . . . . . . . . 75
3.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA LỚP HỆ DƯƠNG PHI TUYẾN TRONG MÔ
HÌNH MẠNG BAM ĐA TRỄ BIẾN THIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1. Mô tả mô hình và phân tích sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2. Nghiệm dương của mô hình mạng BAM với trễ biến thiên . . . . . 95
4.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4


4.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5. Mạng nơron BAM dương với đa trễ tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Danh mục công trình công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5


KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, . . . , n}

[n]

tập các số tự nhiên khác không, N0 = N ∪ {0}

N
Rn

không gian Euclide n chiều

Rn+

nón dương {x ∈ Rn : x

x

∞

|x|

Rm×n

0}

maxi∈[n] |xi |, chuẩn max của vectơ x = (xi ) ∈ Rn

(|xi |) ∈ Rn+ với x = (xi ) ∈ Rn

tập hợp các ma trận cỡ m × n

ma trận chuyển vị của ma trận A

A⊤
A>0

ma trận A xác định dương, tức là x⊤ Ax > 0, ∀x = 0

Sn+

tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n

sym(A)

A + A⊤ với A ∈ Rn×n

En

ma trận đơn vị cấp n

diag{d1 , . . . , dn }

ma trận chéo của các phần tử d1 , d2 , . . . , dn

A

0

A≻0
x

y

ξ + (t.ư. ξ+ )

ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j

ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j

xi ≥ yi , ∀i ∈ [n], với x = (xi ) ∈ Rn và y = (yi ) ∈ Rn

maxi∈[n] ξi (t.ư. mini∈[n] ξi ) với ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0

σ(A)

tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

ρ(A)

max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ của A

λmax (A), λmin (A)

max{Reλ : λ ∈ σ(A)}, min{Reλ : λ ∈ σ(A)}

C([a, b], Rn )

tập các hàm giá trị trong Rn liên tục trên [a, b]

xi (tk − 0) (t.ư. xi (tk + 0))

limǫ↓0 xi (tk − ǫ) (t.ư. limǫ↓0 xi (tk + ǫ))

D + v(t)

đạo hàm Dini trên bên phải lim suph→0+

6

v(t+h)−v(t)
.
h


THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

NNs

mạng nơron (neural networks)

RNNs

mạng nơron hồi quy (recurrent neural networks)

GAS

ổn định tiệm cận toàn cục (globally asymptotically stable)

GES

ổn định mũ toàn cục (globally exponentially stable)

GGES

ổn định mũ suy rộng (generalized globally exponentially stable)

UGAS

ổn định tiệm cận toàn cục đều (uniformly globally asymptotically stable)

LMIs

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities)

LKF

phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii

LP

quy hoạch tuyến tính (linear programming)

HNNs

mạng nơron Hopfield

CGNNs mạng nơron Cohen-Grossberg
INNs

mạng nơron quán tính (inertial neural networks)

BAM

bộ nhớ hai chiều kết hợp (bidirectional associative memory)

7


MỞ ĐẦU

1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính các
phương trình vi phân. Được nghiên cứu một cách có hệ thống từ những công
trình đầu tiên của A.M. Lyapunov [63] vào cuối thế kỉ XIX, trải qua lịch sử hơn
100 năm, đến nay lý thuyết này vẫn đang là chủ đề rất được quan tâm nghiên
cứu bởi những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý, hóa học, sinh
thái học hay trí tuệ nhân tạo [1, 2, 54].
Nhiều mô hình trong thực tiễn ứng dụng, từ kinh tế, môi trường đến các
mô hình sinh thái học, vật lý, hóa học, cơ học, điều khiển tự động được mô tả
bởi các phương trình vi phân có trễ [20, 40, 45, 76]. Trong điều khiển kĩ thuật,
các trạng thái trễ xuất hiện một cách tự nhiên trong quá trình truyền tải dữ
liệu cũng như do các hạn chế về mặt công nghệ và thiết bị (băng thông hẹp hay
dung lượng tín hiệu đo quá lớn). Sự xuất hiện của các độ trễ làm thay đổi dáng
điệu nghiệm của hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ, một đặc tính

quan trọng có tính phổ dụng của các mô hình ứng dụng [25, 74, 88]. Bên cạnh
đó, do cấu trúc vô hạn chiều của không gian pha, việc nghiên cứu định tính các
hệ có trễ trở nên khó khăn và phức tạp hơn nhiều so với các hệ phương trình
vi phân thường tương ứng. Vì vậy, chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ứng
dụng trong các mô hình điều khiển các hệ phương trình vi phân có trễ đã và
đang là vấn đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm của giới toán học và kỹ sư trong
vài thập kỉ gần đây. Nhiều kết quả nghiên cứu lý thuyết và ứng dụng về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân có trễ đã được công
bố [4, 26, 33, 37, 50, 51, 69, 73, 103].

8


Với các hệ có cấu trúc đơn giản như lớp hệ tuyến tính với ma trận hằng
số (hệ ô-tô-nôm) hay hệ có trễ hằng số, phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii
(LKF) và cách tiếp cận bằng LMIs [12] là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu
tính ổn định [37, 73]. Tuy nhiên, với các hệ có trễ phi tuyến hay hệ tuyến tính
với ma trận hệ số phụ thuộc thời gian, cách tiếp cận này thường không hiệu
quả. Một cách tiếp cận khác đã và đang được nhiều tác giả khai thác là sử dụng
các kĩ thuật so sánh dựa trên các bất đẳng thức vi-tích phân [34, 49].
Khái niệm mạng nơron (neural networks) xuất hiện khá sớm, vào khoảng
cuối thập niên 1800, khi các nhà khoa học muốn tìm hiểu chức năng ý thức não
bộ của loài người với mong muốn có thể thiết kế các máy tính hoạt động giống
chức năng não bộ, có khả năng học thông qua cơ sở dữ liệu, lưu trữ kinh nghiệm
và sử dụng trong những tình huống phù hợp. Ngày nay, khái niệm mạng nơron
nhân tạo (artificial neural networks) đã được biết đến một cách rộng rãi trong
nhiều ứng dụng công nghệ, đặc biệt trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [18,27]. Một
số dấu mốc về lĩnh vực nghiên cứu này có thể kể đến như
• Năm 1890, mở đầu là một nghiên cứu của William về tâm lý học với sự liên

kết các nơron thần kinh.

• Năm 1943, lần đầu tiên mạng nơron nhân tạo được biết đến khi nhà thần

kinh học Warren McCulloch và nhà toán học Walter Pitts công bố bài báo
mô tả cách thức hoạt động của các nơron và tiến hành xây dựng một mạng
nơron đơn giản bằng các mạch điện. Các nơron được xem như các thiết bị
nhị phân với ngưỡng cố định. Kết quả của mô hình này là các hàm logic
đơn giản như “a or b” hay “a and b”. Họ chỉ ra rằng về nguyên tắc mạng
nơron nhân tạo có thể tính toán bất kỳ một hàm số học hay logic nào.

• Năm 1949, Donald Hebb là người đầu tiên nêu lý thuyết giải thích cơ chế

vật chất của trí nhớ được gọi là Nguyên lý Hebb [29] và nêu ra một phương
pháp học của các nơron nhân tạo.

• Thập niên 1960, gần như đồng thời, một loạt mô hình mạng nơron hoàn
9


hảo hơn được đưa ra như: Perceptron của Rosenblatt, phần tử nơron tuyến
tính thích nghi Adaline (Adaptive Linear Elements) của Windrow, ma trận
học của Steinbuck. Perceptron rất được chú trọng vì nguyên lý giản đơn
nhưng nó cũng có nhiều hạn chế vì như Minsky và Papert đã chứng minh
nó không dùng được cho các hàm logic phức. Bản chất của Adaline là tuyến
tính, tự chỉnh và được dùng rộng rãi cho những bài toán tự thích nghi, tách
nhiễu và vẫn phát triển cho đến ngày nay.
• Những năm đầu thập niên 1980, sinh học thần kinh và tâm lý học thực

nghiệm bắt đầu phát triển rất nhanh với những tiến bộ vượt bậc cùng với

sự ra đời của những chiếc PC đầu tiên, việc nghiên cứu mạng nơron phát
triển rất mạnh mẽ và đã thu được các kết quả quan trọng trong việc mở
rộng khả năng nhận biết và đã có thích ứng trong việc ứng dụng vào công
nghệ máy tính. Nhiều nhà thiết kế máy tính thông minh đã mượn các ý
tưởng từ những kết quả thực nghiệm trong những nghiên cứu về bộ não và
tạo ra được các loại máy có chức năng giống như não bộ với các chi tiết
giống các nơron hoặc tập hợp các nơron và các kết nối giữa các chi tiết này
giống như các synap của các nơron. Ngày nay, lĩnh vực này phát triển rất
sâu rộng và có tác động lẫn nhau rất phức tạp nên việc tìm ra một phương
thức tổ chức chung cũng như những phát hiện về số lượng và mô hình toán
học là một tất yếu được đặt ra. Những đóng góp to lớn cho các mô hình
mạng nơron ở giai đoạn này phải kể đến Grossberg, Kohonen, Rumelhart
và John Hopfield. Đặc biệt, khi nghiên cứu mạng nơron cùng với sự phát
triển về lý thuyết động lực học trong các mô hình toán học đã tìm thấy rất

nhiều ứng dụng thành công trong các lĩnh vực khác nhau. Năm 1982, John
Hopfield tập hợp một số nghiên cứu trước đó và trình bày phân tích toán
học hoàn chỉnh cho ra đời mạng Hopfield rời rạc [38] và mạng Hopfield liên
tục năm 1984 [39].
• Từ 1990 đến nay, hàng loạt các lĩnh vực như điện toán đám mây, tính toán

tối ưu, ứng dụng mạng nơron trong tin học, viễn thông, sinh-y-học, dự báo,
10


thống kê v.v đã đi vào áp dụng và đem lại nhiều kết quả có giá trị.
• Vào năm 2011, khởi nguồn từ một dự án trong chiến lược công nghệ cao

của chính phủ Đức nhằm mục đích thúc đẩy việc điện toán hóa sản xuất mà

không cần sự tham gia của con người đã đánh dấu thế giới chính thức bước
vào cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 (IR4). Vì khả năng học cao cấp, nhớ
lại và khái quát hóa từ các mẫu dữ liệu huấn luyện (neural training), ngày
nay mạng nơron nhân tạo đã trở thành hướng nghiên cứu quan trọng trong
lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, là một trong các yếu tố chính thúc đẩy cuộc cách
mạng số để chuyển hóa toàn bộ thế giới thực thành thế giới số mà “Cuộc
cách mạng công nghiệp 4.0” đang hướng tới.
Các mô hình toán học đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong việc mô tả,
phân tích và giải thích các mô hình thực tiễn. Trong việc mô hình hóa toán học,
các mạng nơron được mô tả bằng các phương trình toán học, hay còn gọi là các
phương trình trạng thái, thông qua các hệ phương trình vi phân phi tuyến có
trễ [89]. Có nhiều mô hình phương trình trạng thái của các mạng nơron, trong
đó mô hình Hopfield (HNNs), Cohen-Grossberg (CGNNs), mạng nơron quán
tính INNs và mạng nơron bộ nhớ hai chiều kết hợp BAM được nghiên cứu rộng
rãi hơn do cấu trúc đặc thù và khả năng ứng dụng trong thực tiễn [16].
Mặc dù rất nhiều kết quả nghiên cứu, cả lý thuyết và ứng dụng, về các mô
hình mạng nơron đã được công bố trong khoảng hai thập kỉ gần đây, lĩnh vực
nghiên cứu định tính về dáng điệu nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối
với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ mô tả các mạng nơron trong
thực tiễn và trí tuệ nhân tạo, vẫn đang là mối quan tâm rất lớn của giới toán
học và kỹ sư. Nhiều vấn đề mở vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu và phát triển,
nhất là với các mô hình có cấu trúc tổng quát hơn và sát với thực tiễn hơn. Việc
phát triển nghiên cứu định tính đối với các lớp hệ như thế gặp nhiều khó khăn
bởi những hạn chế về mặt kĩ thuật và cách tiếp cận hiện có. Đây cũng là lí do và
là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên về tính ổn định và ổn định hóa
11


của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong một số mô hình mạng
nơron trong luận án này.

2. Mục đích, đối tượng và nội dung nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ phương
trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mô hình mạng nơron. Cụ thể hơn, chúng
tôi phát triển các kĩ thuật và phương pháp nghiên cứu để tìm các điều kiện ổn
định đối với mô hình mạng nơron Hopfield có trễ dưới ảnh hưởng của một số
dạng hiệu ứng xung trạng thái; sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng dương
ổn định mũ của lớp mạng INNs và mạng BAM có trễ biến thiên.

2.2. Đối tượng nghiên cứu
Luận án nghiên cứu tính ổn định và một số vấn đề liên quan đối với bốn
lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ sau đây:
1. Mô hình mạng nơron Hopfield chứa trễ bị chặn với hệ số biến thiên dưới
ảnh hưởng của xung bất ổn định
n

x′i (t)

= −di (t)xi (t) +

aij (t)fj (xj (t))
j=1

n

+
j=1

∆xi (tk )

bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), t > 0, t = tk ,

−
−
xi (t+
k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N.

2. Mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với tác động của xung phân phối kiểu
tuần hoàn
n

x′i (t) = −di xi (t) +

n

aij fj (xj (t)) +
j=1

bij gj (xj (qt)) + ui (t), t = tk ,
j=1

∆xi (tk ) = −σik xi (t−
k ), k ∈ N.
12


3. Nghiệm dương và sự tồn tại điểm cân bằng dương ổn định mũ của mô hình
INNs chứa trễ biến thiên
dxi (t)

d2 xi (t)
= − ai
− bi xi (t) +
2
dt
dt

n

cij fj (xj (t))
j=1

n

+
j=1

dij fj (xj (t − τj (t))) + Ii , t ≥ 0, i ∈ [n].

4. Tính ổn định của điểm cân bằng dương của mô hình mạng BAM với trễ
biến thiên không đồng nhất
m

m

x′i (t)

= −αi ϕi (xi (t)) +

yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) +

aij fj (yj (t)) +
j=1
n

j=1
n

cji gi (xi (t)) +
i=1

i=1

bij fj (yj (t − σj (t))) + Ii , i ∈ [n],
dji gi (xi (t − τi (t))) + Jj , j ∈ [m].

2.3. Nội dung nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các nội dung sau
Nội dung 1: Tính ổn định mũ toàn cục của mạng nơron Hopfield không ô-tônôm chứa trễ biến thiên không đồng nhất dưới tác động của xung bất ổn định
Mô hình mạng nơron Hopfield [38] và các biến thể của nó đã và đang là
chủ đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và
ngoài nước trong hơn hai thập kỉ gần đây bởi các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực
như xử lí tín hiệu số và hình ảnh, nhận dạng mẫu, bộ nhớ liên kết, ước lượng
tham số và đặc biệt là trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo [18,21,95]. Trong các ứng
dụng như thế, vấn đề vận hành ổn định của mạng là một yếu tố đặc biệt quan
trọng. Chính vì vậy, tính ổn định là một trong các vấn đề nghiên cứu trọng tâm
của lý thuyết định tính các mô hình mạng nơron [101].
Mặt khác, trong các mô hình mạng nơron, các trạng thái trễ xuất hiện một
cách tự nhiên và phổ biến do nhiều nguyên nhân kĩ thuật như sự hạn chế của
băng thông các kênh kết nối cũng như cấu trúc phân tầng của mạng. Sự xuất

13


hiện của các độ trễ là nguyên nhân dẫn đến dáng điệu phức tạp, hiệu suất hoạt
động kém, thậm chí làm mất tính ổn định của hệ [10, 86]. Hơn nữa, các độ trễ
truyền tải trong một mạng nơron thường phụ thuộc thời gian (trễ biến thiên)
và không đồng nhất, tức là các độ trễ truyền tải từ nơron thứ ith đến nơron
thứ j th trong mạng và ngược lại nói chung là khác nhau. Do đó, nghiên cứu
tính ổn định của mạng nơron với trễ biến thiên không đồng nhất là vấn đề cần
thiết đối với bài toán phân tích và thiết kế mạng nơron nhân tạo. Nhiều kết quả
nghiên cứu về các khía cạnh khác nhau của tính ổn định của một số mô hình
mạng nơron có trễ và các suy rộng của chúng đã được công bố trong những năm
gần đây. Để liệt kê một số kết quả chúng tôi chỉ dẫn độc giả đến một số bài
báo [7, 14, 30, 32, 35, 52, 84, 102] và các tài liệu trích dẫn tại đó.
Bên cạnh sự ảnh hưởng của trễ, trạng thái của nhiều quá trình tự nhiên
trong khoa học, kĩ thuật và đời sống thường bị tác động bởi các yếu tố “nhiễu”
do các thay đổi đột ngột tại các thời điểm nhất định [90] mà ta gọi là các thời
điểm xảy ra xung trạng thái (impulsive instants). Các mô hình như thế thường
được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa xung [72]. Nghiệm của một
phương trình vi phân chứa xung là các quá trình không liên tục do dáng điệu
‘nhảy’ tại các thời điểm xung (nghiệm thường chỉ liên tục từng khúc). Ngoài các
đặc tính cấu trúc của hệ, các yếu tố về cường độ (intensity), tức là độ lớn của
bước nhảy giá trị tại thời điểm xung, tần suất các thời điểm xung v.v ảnh hưởng
rất lớn đến dáng điệu nghiệm của hệ, thậm chí thay đổi hoàn toàn tính chất định
tính của nghiệm so với các hệ không có xung tương ứng. Đối với tính ổn định,
ảnh hưởng của xung có cả tính tương hỗ (xung tăng cường tính ổn định của hệ)
và tính đối kháng (xung làm mất tính ổn định). Trong [61], bằng việc xét cường
độ xung là một hằng số (x(tk + 0) = µx(tk − 0)), các tác giả đề xuất khái niệm

xung ổn định để chỉ trường hợp cường độ xung có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một

(|µ| < 1) và xung bất ổn định ứng với |µ| > 1. Các nghiên cứu về tính ổn định
của phương trình vi phân nói chung, các mô hình mạng nơron có trễ nói riêng,

chủ yếu đề cập đến ảnh hưởng của xung ổn định [5, 59, 77, 85, 94, 99]. Trong bài
14


báo [61], dựa trên cách tiếp cận kiểu tần số xung trung bình, các tác giả đưa ra
một tiêu chuẩn thống nhất đảm bảo tính đồng bộ của mô hình mạng với liên kết
tuyến tính cho cả xung ổn định và bất ổn định. Ý tưởng trong [61] sau đó được
một số tác giả phát triển cho một số mô hình mạng và mạng nơron [58, 98, 100].
Các công trình đã công bố liên quan đến tính ổn định của mạng nơron chứa
xung chủ yếu đề cập đến các mô hình với trọng số kết nối là hằng số và hàm
kích hoạt không phụ thuộc tường minh vào thời gian (mô hình ô-tô-nôm). Rất
ít công trình xét đến tính ổn định của mạng nơron không ô-tô-nôm với trễ biến
thiên không đồng nhất và hiệu ứng xung [60, 90]. Nói riêng, trong [60], một số
điều kiện đủ đảm bảo tính ổn định mũ của một lớp mạng nơron không ô-tô-nôm
với trễ biến thiên dưới ảnh hưởng của xung đã được đề xuất. Cách tiếp cận
trong [60] là thiết lập các điều kiện ổn định mũ của mô hình không chứa xung
và áp đặt các ràng buộc trên cường độ xung để thu được tính ổn định của hệ
chứa xung tương ứng. Cách tiếp cận này đưa đến các điều kiện rất chặt, đồng
thời rất khó phát triển cho các mô hình chứa xung biến thiên bất ổn định.
Trong bài báo [CT1] ở Danh mục công trình công bố của luận án, chúng
tôi nghiên cứu tính ổn định mũ của một lớp mạng nơron không ô-tô-nôm với
trễ biến thiên không đồng nhất dưới tác động của xung bất ổn định. Nội dung
này được trình bày trong Chương 2 của luận án. Cụ thể, chúng tôi xét mô hình
mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm dạng sau đây
n

x′i (t)

= −di (t)xi (t) +

aij (t)fj (xj (t))
j=1

n

+
j=1

∆xi (tk )

bij (t)gj (xj (t − τij (t))) + Ii (t), t > 0, t = tk ,

(1)

−
−
xi (t+
k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ), k ∈ N.

Dựa trên việc phát triển một số kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức
vi phân, chúng tôi thiết lập các điều kiện thông qua tính chất của M-ma trận
đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục của hệ (1).
15


Nội dung 2: Ổn định hóa dạng mũ mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với hiệu
ứng xung phân phối kiểu tuần hoàn

Trễ tỉ lệ là một loại trễ đặc biệt trong lớp trễ biến thiên không bị chặn,
được sử dụng nhiều trong việc mô hình hóa các hệ động lực học trong lĩnh
vực điều khiển hệ thống có cấu trúc mạng [48, 66, 91]. Do cấu trúc nhiều tầng
(multi-layers), quá trình xử lí và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô
tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ được tỉ lệ với thời gian hiện tại. Cụ thể
hơn, khi một mạng nơron với trễ tỉ lệ được sử dụng để mô tả một mô hình ứng
dụng nào đó, động lực của hệ tại thời điểm t được xác định bởi trạng thái x(t)
và x(qt), ở đó 0 < q < 1 là hằng số diễn tả tỉ số thời gian giữa trạng thái hiện
tại và trạng thái quá khứ. Vì qt = t − τ (t) với τ (t) = (1 − q)t → ∞ khi t → ∞,
hàm trễ τ (t) xác định bởi hằng số q được gọi là trễ tỉ lệ. Gần đây, các mô hình

mạng nơron với trễ tỉ lệ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu rất lớn của các
tác giả trong và ngoài nước. Chúng tôi chỉ dẫn độc giả đến một số công bố gần
đây [36, 41, 43, 55, 56, 78, 104–107, 109] và các trích dẫn trong đó.
Bên cạnh khó khăn cơ bản về tính biến thiên, không bị chặn, vấn đề nghiên
cứu định tính các hệ có trễ tỉ lệ thường khó xử lí hơn các lớp trễ khác rất nhiều
bởi các cách tiếp cận truyền thống như phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii
và các biến thể không áp dụng được. Với mô hình ô-tô-nôm không có xung, cách
tiếp cận phổ biến là sử dụng phương pháp đổi biến kết hợp với phương pháp hàm
Lyapunov-Krasovskii [104, 107] và cách tiếp cận bằng LMIs. Tuy nhiên, phương
pháp này rất khó áp dụng (với điều chỉnh nhất định) cho hệ nơron không ô-tônôm với trễ tỉ lệ dưới ảnh hưởng của nhiễu xung trạng thái. Trong [3] và [35,36],
một số kĩ thuật so sánh đã được các tác giả phát triển để nghiên cứu tính ổn
định trong thời gian hữu hạn và nghiên cứu tính tiêu hao của một số lớp mạng
nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ tỉ lệ. Sự ảnh hưởng của xung trạng thái
lên dáng điệu nghiệm của hệ chưa được nghiên cứu trong các công trình nói
trên. Nói cách khác, vấn đề nghiên cứu tính ổn định của mạng nơron với trễ tỉ

16

lệ dưới ảnh hưởng của xung, đặc biệt là xung không đồng nhất, đòi hỏi phải
phát triển các công cụ và kĩ thuật đặc thù. Vì lí do này, cho đến nay rất ít kết
quả nghiên cứu về chủ đề này được công bố. Tính ổn định tiệm cận của mạng
nơron Hopfield ô-tô-nôm có xung với trễ tỉ lệ được nghiên cứu trong [92]. Dựa
trên phương pháp đổi biến [105] và khái niệm ‘độ đo của hàm phi tuyến’ kết
hợp với đánh giá bằng bất đẳng thức Halanay, các điều kiện đủ được đưa ra để
đảm bảo sự tồn tại duy nhất của một điểm cân bằng ổn định tiệm cận. Sử dụng
định lí điểm bất động cho ánh xạ co, tính ổn định mũ suy rộng (ước lượng kiểu
lũy thừa đối với nghiệm) được nghiên cứu cho mô hình mạng nơron có xung và
đa trễ tỉ lệ trong [108]. Tuy nhiên, kết quả của [92, 108] chỉ áp dụng được cho
mô hình chứa xung ổn định. Tính ổn định và áp dụng cho bài toán ổn định hóa
đối với các mô hình mạng nơron có trễ tỉ lệ dưới tác động đồng thời của xung
ổn định và xung bất ổn định vẫn là một vấn đề còn bỏ ngỏ.
Trong bài báo [CT2] của Danh mục công bố của luận án, chúng tôi nghiên
cứu bài toán ổn định hóa mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ
n

n

x′i (t)

= −di xi (t) +

aij fj (xj (t)) +
j=1

j=1

bij gj (xj (qt)) + ui (t), t0 ≤ t = tk ,

(2)

−
−
∆xi (tk ) = xi (t+
k ) − xi (tk ) = −σik xi (tk ),

dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định. Một luật điều
khiển phản hồi trạng thái dạng ui (t) = −ki xi (t), i ∈ [n], ở đó các hệ số phản hồi

ki , i ∈ [n], giới hạn trong một khoảng xác định cho trước. Dựa trên lý thuyết

M-ma trận và việc phát triển một số kĩ thuật so sánh mới, chúng tôi đưa ra các
điều kiện ổn định dạng mũ suy rộng đối với hệ (2). Nội dung này được trình bày
trong phần sau của Chương 2 của luận án.
Nội dung 3: Nghiệm dương và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương đối
với mô hình mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên
Khác với các mô hình mạng nơron cổ điển, ở đó động lực của hệ xác định

bởi các đạo hàm cấp một của trạng thái, mạng nơron quán tính [87] được mô
17


tả bởi các hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp hai chứa các số hạng kiểu
dxi (t)
d2 xi (t)
+
a
+ bi xi (t)
i

dt2
dt

mà ở đó số hạng chứa đạo hàm cấp một của trạng thái thể hiện “quán tính”
của hệ. Khái niệm này có nguồn gốc từ các bài toán trong mô hình dao động
cơ học. Việc đưa các số hạng quán tính vào mô hình mạng nơron có nền tảng
kĩ thuật và sinh học [9, 44]. Mặt khác, các số hạng quán tính cũng gây ra nhiều
khó khăn cho bài toán phân tích dáng điệu tiệm cận các mô hình INNs có trễ.
Chính vì vậy, vấn đề này đã và đang là chủ đề thu hút sự quan tâm lớn của cộng
đồng các nhà nghiên cứu trong và ngoài nước trong vài năm gần đây. Chẳng
hạn, dựa trên một số ước lượng chuẩn ma trận, các bất đẳng thức Halanay suy
rộng và các hàm kiểu Lyapunov, tính tiêu hao và sự hội tụ toàn cục của nghiệm
đã được các tác giả nghiên cứu trong [80, 81, 83, 102] đối với một số mô hình
mạng nơron quán tính với trễ biến thiên. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định
toàn cục của điểm cân bằng đối với một số lớp INNs cũng đã được nghiên cứu
trong [19,42,97]. Trong [82,84], tính ổn định theo nghĩa Lagrange (kiểu ổn định
đầu vào-đầu ra) cũng được nghiên cứu cho INNs có trễ dựa trên phương pháp
hàm Lyapunov–Krasovskii và cách tiếp cận bằng LMIs.
Các hệ dương (positive systems) [13] nói chung, mạng nơron dương (PNNs)
nói riêng được sử dụng để mô tả động lực của rất nhiều lớp hệ trong tự nhiên
và kĩ thuật mà ở đó các biến trạng thái luôn không âm do các đặc tính tự nhiên
của chúng [75]. Chẳng hạn, khi các mạng nơron được thiết kế với mục đích nhận
dạng [67] hay điều khiển [64] các hệ dương, các trạng thái của mạng kế thừa
tính dương của hệ và do đó mạng nơron được thiết kế là một mạng nơron dương.
Cho đến nay mới chỉ có rất ít kết quả nghiên cứu về tính ổn định của mạng
nơron dương có trễ được công bố [57,62]. Gần đây, trong [31], dựa trên lý thuyết
M-ma trận và cách tiếp cận bằng các điều kiện quy hoạch tuyến tính (LP), các
điều kiện đủ được đưa ra đảm bảo tính dương và sự tồn tại duy nhất điểm cân
bằng dương ổn định của mạng nơron Hopfield có trễ biến thiên. Các kết quả
18

nghiên cứu đã công bố không thể áp dụng trực tiếp cho mô hình mạng INNs có
trễ. Nói riêng, trước bài báo [CT3] trong Danh mục công bố của luận án, chúng
tôi chưa tìm thấy công trình nào đề cập đến tính dương và sự tồn tại điểm cân
bằng dương ổn định đối với mô hình mạng nơron quán tính có trễ. Đây cũng là
động lực chính của nghiên cứu trong Chương 3 của luận án dựa trên công trình
[CT3] nói trên. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định mũ toàn cục của điểm
cân bằng dương duy nhất đối với mô hình mạng INNs có trễ biến thiên sau đây
d2 xi (t)
dxi (t)
= − ai
− bi xi (t) +
2
dt
dt

n

cij fj (xj (t))
j=1

n

+
j=1

dij fj (xj (t − τj (t))) + Ii , t ≥ 0, i ∈ [n].

(3)

Mở rộng kết quả từ [31] và dựa trên việc phát triển các kĩ thuật so sánh bằng
các bất đẳng thức vi phân được sử dụng cho các hệ dương [23, 68], chúng tôi
tìm mối liên hệ giữa hệ số tắt dần, hệ số tự kích thích và các trọng số kết nối
đảm bảo tính dương của hệ (3). Dựa trên các điều kiện đưa ra, sau đó chúng tôi
chứng minh sự tồn tại duy nhất của điểm cân bằng dương ổn định mũ đối với
mô hình (3).
Nội dung 4: Nghiệm dương và tính ổn định mũ của mô hình mạng BAM với
trễ biến thiên không đồng nhất
Mạng nơron trong mô hình bộ nhớ hai chiều kết hợp (BAM) được giới
thiệu vào năm 1987 bởi Kosko [46]. Theo đó, thuật ngữ “hai chiều” dùng để
chỉ hai dòng thông tin theo chiều tiếp nhận xuôi (forward) và truy xuất ngược
(backward) [47] trong quá trình tìm kiếm hai chiều giữa các dữ liệu liên kết
được lưu trữ theo cặp. Nói một cách sơ lược, mạng BAM cấu thành từ một số
nơron được sắp xếp thành hai lớp (two layers) gọi là lớp X và lớp Y . Các nơron
trong mỗi lớp được kết nối theo cách mỗi nơron trong lớp này được tích hợp
hoàn toàn đến các nơron trong lớp kia và không có kết nối giữa các nơron trong
cùng một lớp. Cấu trúc này diễn tả quá trình tìm kiếm hai chiều giữa các cặp
dữ liệu lưỡng cực và là sự khái quát hóa mối tương quan tự liên kết Hebb từ
19


một lớp sang các mạch hai lớp liên kết không đồng nhất [15]. Chính vì vậy, mô
hình mạng BAM có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực về nhận dạng mẫu hay
xử lí tín hiệu và xử lí ảnh. Nhiều bài toán cơ bản trong lý thuyết điều khiển hệ
thống, phân tích và thiết kế mạng đã được nghiên cứu cho mô hình mạng BAM
có trễ và một số biến thể của nó. Chẳng hạn, xem [8, 17, 53, 65, 71, 79] và các
trích dẫn trong đó. Tuy vậy, các nghiên cứu về mô hình mạng BAM dương có
trễ nói chung, sự tồn tại và tính ổn định của điểm cân bằng dương nói riêng rất
ít được biết đến. Hơn nữa, một điểm cần được lưu ý là các kết quả đã biết về

mạng BAM có trễ cũng như các mô hình mạng nơron dương khác không thể áp
dụng được cho mạng BAM dương có trễ do cấu trúc tự nhiên của nó.
Trong Chương 4 của luận án chúng tôi nghiên cứu tính dương của nghiệm
và sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ của mô hình mạng BAM với
trễ biến thiên không đồng nhất dạng sau đây
m

m

x′i (t)

= −αi ϕi (xi (t)) +

yj′ (t) = −βj ψj (yj (t)) +

aij fj (yj (t)) +
j=1
n

j=1
n

cji gi (xi (t)) +
i=1

i=1

bij fj (yj (t − σj (t))) + Ii ,

(4)

dji gi (xi (t − τi (t))) + Jj .

(5)

Trong mô hình (4)-(5), tốc độ suy giảm trạng thái các nơron là các hàm phi
tuyến ϕi (xi ) và ψj (xj ). Một cách tiếp cận có hệ thống thông qua các bất đẳng
thức vi phân kết hợp với định lí điểm bất động Brouwer và lý thuyết M-ma trận,
các điều kiện LP được đưa ra đảm bảo sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn
định mũ của hệ (4)-(5). Nội dung này được viết dựa trên bài báo [CT4] trong
Danh mục công trình công bố của luận án.

3. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp các công cụ của giải tích, phương trình vi phân
thường, giải tích ma trận, nguyên lí so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân và
tích phân và một số công cụ nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển toán học.
20


Đặc biệt, trong luận án chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh mới để
thiết lập các điều kiện ổn định thông qua lý thuyết M-ma trận. Các điều kiện
đó được biểu diễn bằng các bài toán LP giúp cho việc kiểm tra tính khả dụng
bằng nhiều công cụ tính toán sẵn có một cách hiệu quả.

4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đã đạt được các kết quả sau đây
1. Thiết lập được các điều kiện đủ thông qua tính chất phổ của M-ma trận
đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục (theo nghĩa đồng bộ hóa) của mô hình
mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ biến thiên không đồng nhất
dưới tác động của xung bất ổn định.

2. Đưa ra một đánh giá mũ suy rộng (dạng lũy thừa) đối với mạng nơron
Hopfield chứa trễ tỉ lệ dưới tác động đồng thời của xung ổn định và xung
bất ổn định phân phối kiểu tuần hoàn.
3. Chứng minh tính dương và đưa ra điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân
bằng dương ổn định mũ đối với INNs đa trễ biến thiên.
4. Thiết lập được các điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn
định mũ của một lớp hệ dương phi tuyến trong mô hình mạng BAM với trễ
biến thiên không đồng nhất.
Các kết quả trên đây đã được công bố trong 04 bài báo trên các tạp chí
quốc tế trong danh mục ISI/Scopus và đã được báo cáo tại
• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-

Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

• Hội nghị khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội.

21


• Xemina tại Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm

Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

5. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và danh
mục Tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương.
• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Cụ thể, chúng tôi giới thiệu

sơ bộ về mô hình toán học của mạng nơron, tính ổn định của hệ phương
trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân chứa xung, lý thuyết hệ dương
và một số kết quả bổ trợ khác.

• Chương 2 nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa dạng mũ đối với hai lớp

phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield có trễ dưới tác
động của dãy xung bất ổn định và xung phân phối kiểu tuần hoàn.

• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu tính dương và sự tồn tại của

điểm cân bằng dương ổn định mũ của lớp phương trình vi phân trong mô
hình INNs chứa trễ biến thiên bị chặn.

• Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại điểm cân bằng dương ổn định mũ của lớp

hệ dương phi tuyến trong mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không
đồng nhất.

22


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu mô hình toán học tổng quát của
mạng nơron từ quan điểm hệ động lực. Mô hình tổng quát này bao hàm các
dạng khác nhau của mô hình mạng nơron hồi quy (RNNs) như mạng Hopfield,
mạng Cohen-Grossberg và mạng BAM. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số
kiến thức về giải tích ma trận, phương trình vi phân thường, phương trình vi

phân chứa xung, lý thuyết ổn định theo Lyapunov, lý thuyết hệ dương và một
số kết quả bổ trợ làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án trong
các chương sau.

1.1. Mô hình động lực của mạng nơron
Mỗi nơron là một đơn vị xử lý thông tin của mạng nơron, là yếu tố cơ bản
cấu tạo nên mạng nơron. Mỗi nơron truyền xung điện chia nhánh dọc theo sợi
trục của chúng. Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng các tác động lên các nơron
thu nhận có thể dẫn đến biến động về điện thế hoạt động ở bên trong nơron.
Điện thế này thay đổi rất chậm và liên tục trong suốt thời gian trên một nhánh
truyền. Từ nhận định trên, Harvey [28,89] đã đưa ra mô hình sinh học của mạng
nơron như Hình 1.1. Đó là một mạng gồm n nơron được kí hiệu là v1 , v2 , . . . vn .
Ta đưa vào biến xi để mô tả trạng thái của nơron vi và một biến Wij để mô tả

sự kết nối giữa hai nơron vi và vj .

• xi được gọi là độ lệch điện thế của nơron vi so với trạng thái cân bằng.

Biến số này mô tả mức độ hoạt hóa của nơron vi . Nó còn được gọi là điện thế
23