BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

NGUYỄN DUY KHÁNH

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát

HÀ NỘI- 2015


Mục lục
Mở đầu

2

Các kí hiệu dùng trong luận văn

4

Lời cảm ơn

5

1 Cơ sở toán học

6

1.1

Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Lý thuyết ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định . . . . . . 11

1.3

Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng 22
2.1

Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến . . . . . . . . . 23

2.2

Ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến . . . . . 37

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

1


Lời mở đầu
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển
thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học

với thời gian liên tục dạng

x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

trong đó x(t) là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(t) là biến điều
khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Những dữ liệu đầu vào có
tác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ
thống. Như vậy ta có thể hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình
toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào ra.
Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là
tìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong
muốn. Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng
của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các
lĩnh vực cơ học, vật lý toán, kĩ thuật, kinh tế... Nói một cách hình tượng,
một hệ thống được gọi là ổn định tại trạng thái cân bằng nào đó nếu
các nhiễu nhỏ của các dữ liệu đầu vào của hệ thống không làm cho hệ
thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Sự nghiên cứu bài
toán ổn định hệ thống được bắt đầu từ thế kỉ thứ XIX bởi nhà toán học
V. Lyapunov và đến nay đã không thể thiếu trong lý thuyết phương trình
vi phân và ứng dụng. Lyapunov đã xây dựng nền móng cho lý thuyết ổn
định, đặc biệt là đưa ra hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của
các hệ phương trình vi phân thường. Đó là phương pháp số mũ Lyapunov
và phương pháp hàm Lyapunov. Trong giai đoạn 1953–1962, việc áp dụng
phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động
2

lực đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu bởi những ứng
dụng hữu hiệu của nó trong hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà
không thể giải quyết được bằng các phương pháp khác. Từ đó đến nay lý
thuyết ổn định Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển rất sôi động
của Toán học và trở thành một bộ phận nghiên cứu không thể thiếu trong
lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đến những năm 60 của thế kỉ XX, cùng
với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên
cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóa
các hệ điều khiển. Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định
hóa của các hệ phương trình vi phân và điều khiển bằng cả hai phương
pháp do Lyapunov đề xuất, đặc biệt là phương pháp hàm Lyapunov đã và
đang trở thành một hướng nghiên cứu thời sự thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu trong nước và quốc tế.
Trên cơ sở các tài liệu về phương trình vi phân luận văn trình bày một
số kết quả về tính ổn định, tiệm cận, ổn định mũ của các hệ với thời gian
liên tục sau đó dựa vào các tính chất ổn định đó xây dựng một số ứng
dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở toán học
Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về hệ phương
trình vi phân, các lý thuyết ổn định của các hệ tuyến tính, phi tuyến
bằng phương pháp hàm Lyapunov, đặc biệt là một số tiêu chuẩn cơ
bản về tính ổn định, đồng thời đưa ra những khái niệm đầu tiên về
bài toán ổn định hóa.
Chương 2: Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng
Trong chương này, tôi trình bày một số định lý quan trọng về tính ổn
định của hệ phương trình vi phân phi tuyến, từ đó xây dựng một số
ứng dụng giải bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi
tuyến.

3


Các kí hiệu dùng trong luận văn
- R+ : Tập các số thực dương.
- Rn : Không gian véctơ thực n chiều với tích vô hướng ., . và chuẩn
Euclide . .
- Rn×m : Không gian các ma trận thực có số chiều n × m.
- AT : Ma trận chuyển vị của A.
- A−1 : là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
- I : Ma trận đơn vị cấp n.
- λmin (A): Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận đối xứng A.
- λ(A): Tập các giá trị riêng của A.

4


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới GS.
TSKH. Vũ Ngọc Phát. Thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo
trong suốt thời gian qua. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, các cô
khoa Toán - Cơ - Tin, khoa sau đại học, trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn này.
Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian thực hiện
không nhiều, kiến thức và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi
không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý
và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.

Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2015
Học viên
Nguyễn Duy Khánh

5


Chương 1

Cơ sở toán học
Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương
trình vi phân, nghiệm của hệ phương trình vi phân, các khái niệm về tính
ổn định của hệ phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov để
nghiên cứu tính ổn định của các hệ phi tuyến, đưa ra một số tiêu chuẩn
cơ bản về tính ổn định của hệ tuyến tính, đồng thời trình bày những khái
niệm đầu tiên về bài toán ổn định hóa.
Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([2], [4], [5],
[6]).

1.1

Hệ phương trình vi phân

Xét phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , t0 + b] ,
x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0,

(1.1)

trong đó

f (t, x(t)) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a} .
Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn:
a) (t, x(t)) ∈ I × D,
b) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1).
Giả sử hàm f (t, x(t)) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dạng
tích phân:
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

6


Định lý 1.1.1 (Tồn tại nghiệm địa phương). Xét hệ phương trình vi phân
(1.1) trong đó giả sử hàm f (t, x) : I × D → Rn là liên tục theo t và thỏa
mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức là

∃K > 0 : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ 0.
Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D ta luôn tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1)
luôn có nghiệm duy nhất trong khoảng [t0 − d, t0 + d].
Định lý 1.1.2 (Tồn tại nghiệm toàn cục). Giả sử f (t, x) : R+ × Rn → Rn
là hàm liên tục theo t và thỏa mãn các điều kiện sau:

∃M0 , M1 sao cho ||f (t, x)| | ≤ M0 + M1 ||x| |,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn ,

∃M2 sao cho f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ M2 x1 − x2 ,

∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .

Khi đó hệ (1.1) luôn tồn tại nghiệm duy nhất trên [0; +∞)
Đối với hệ tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t) + g(t), t ≥ 0,
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,

(1.2)

trong đó A là ma trận hằng số, g(t) : [0; ∞) → Rn là hàm khả tích thì hệ

(1.2) luôn có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cauchy sau:
t

x(t) = e

A(t−t0 )

eA(t−t0 ) g(s)d(s).

x0 +

t0

Đối với không dừng

x(t)
˙
= A(t)x(t) + g(t), t ≥ 0,
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,

(1.3)

trong đó A(t) là hàm đo được hoặc liên tục theo t và ||A(t)|| ≤ m(t),
với m(t) là hàm khả tích và g(t) cũng là hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng
có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên, nghiệm của hệ này không biểu diễn theo
công thức Cauchy như hệ tuyến tính mà thông qua ma trận nghiệm cơ
bản Φ(t, s) của hệ thuần nhất

x(t)
˙
= A(t)x(t),
7

(1.4)


nghiệm của hệ (1.3) được cho bởi
t

x(t) = Φ(t, t0 )x0 +

Φ(t, s)g(s)d(s),

(1.5)

t0

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.4) thỏa mãn hệ phương
trình ma trận

d
Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,
dt
Φ(t, t) = I.
1.2

(1.6)

Lý thuyết ổn định Lyapunov

Trong phần này, luận văn trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản
về tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến, và
nghiên cứu về tính ổn định của chúng bằng phương pháp hàm Lyapunov
đồng thời đưa ra một số tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định của hệ tuyến
tính.
1.2.1

Các khái niệm về ổn định

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

x˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0,
x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0,

(1.7)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái của hệ f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn .
Giả sử hàm f (t, x(t)) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm của
bài toán Cauchy (1.7) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0 luôn có
nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định nếu
với mọi số ε > 0, t0 ≥ 0, tồn tại δ = δ(t0 , ε) > 0 sao cho x(t0 ) = x0 thỏa
mãn ||x0 || < δ thì ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệm
cận nếu nó là ổn định và tồn tại một số δ > 0 sao cho ||x0 || < δ thì

lim ||x(t)|| = 0.

x→∞

8


Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm không của hệ (1.7) được gọi là ổn định mũ

nếu tồn tại các hằng số α > 0, K > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.7)
với x(t0 ) = x0 thỏa mãn

||x(t)|| ≤ K.e−α(t−t0 ) ||x0 ||, ∀t ≥ t0 .
Để ngắn gọn thay vì nói hệ (1.7) là ổn định ta nói nghiệm 0 của hệ là
ổn định.
Ví dụ 1.2.1. Xét tính ổn định của phương trình vi phân

x(t)
˙
= ax(t),

t ≥ 0,

với x(t0 ) = x0 .
Ta có nghiệm x(t) của phương trình trên cho bởi

x(t) = eat x0 ,

t ≥ 0.

Nếu a < 0 hệ đã cho ổn định tiệm cận và ổn định mũ.
Nếu a = 0 thì hệ là ổn định.
1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov

Trong phần này, đối với các hệ trong không gian thực chúng ta sẽ nghiên
cứu tính ổn định của chúng bằng phương phương pháp hàm Lyapunov
(phương pháp thứ 2 Lyapunov) là một phương pháp được áp dụng nhiều

trong việc nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân nhất là các
hệ phi tuyến.
Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến dừng

x(t)
˙
= f (x(t)),

f (0) = 0,

t ∈ R+ .

(1.8)

Xét hàm số V (x) : Rn → R được gọi là xác định dương nếu
a) V (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Rn .
b) V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Định nghĩa 1.2.4. Hàm V (x) : D ⊆ Rn → R, D là lân cận mở tùy ý của

0, gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu
9


a) V (x) là hàm khả vi liên tục trên D.
b) V (x) là hàm xác định dương.

∂V
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D.
∂x
Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm

vào đó bất đẳng thức trong điều kiện (c) là thực sự âm với mọi x nằm
ngoài lân cận 0 nào đó, chính xác hơn:
c) Df V (x) : =

d) ∃c > 0 : Df V (x) < 0, x ∈ D \ {0}.
Bằng cách lựa chọn hàm Lyapunov, ta có định lý sau.
Định lý 1.2.1. Nếu hệ (1.8) có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa, nếu
hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.2.2. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân

x˙ 1 = −x22 x1 ,
x˙ 2 = x21 x2 .
Lấy hàm V (x) = x21 + x22 . Ta có V (x) khả vi liên tục trên R, xác định
dương với mọi x thuộc R.
Vì V˙ (x) = 2x1 x˙ 1 + 2x2 x˙ 2 = −2x21 x22 + 2x21 x22 = 0.
Vậy nghiệm 0 là ổn định.
Ví dụ 1.2.3. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân sau

x˙ 1 = −2x2 + x2 x3 − x31
x˙ 2 = x1 − x1 x3 − x32

x˙ 3 = x1 x2 − x33 .
Xét

V (x) = x21 + 2x22 + x23 ,
V (x) thỏa mãn V (x) ≥ 0, V (x) khả vi liên tục.
Ta có
V˙ (x) = 2x1 x˙ 1 x2 + 4x2 x˙ 2 + 2x3 x˙ 3
= −4x1 x2 + 2x1 x2 x3 − 2x41
+ 4x1 x2 − 4x1 x2 x3 − 4x42 + 2x1 x2 x3 − 2x43 ,

= −2(x41 + 2x42 + x43 ) < 0.
10


Vậy nghiệm 0 của hệ ổn định tiệm cận.
Đối với hệ tuyến tính không dừng (1.7) thì hàm Lyapunov được định
nghĩa tương tự cho hàm hai biến V (t, x). Trước hết ta xét lớp hàm K là
tập các hàm tăng chặt a(.) : R+ → R+ với a(0) = 0.
Hàm V (t, x) : R+ × D → R gọi là hàm Lyapunov nếu:
a) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

∀(t, x) ∈ R+ × D.

∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||),

∂V
∂V
+
f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ × D.
∂t
∂x
Nếu hàm Lyapunov thỏa mãn thêm điều kiện

b) Df V (t, x) =

∀ (t, x) ∈ R+ × D.

c) ∃ a(.) ∈ K : V (t, x) ≤ a(||x||),

d) ∃ γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(||x||), ∀ t ∈ R+ , x ∈ D \ {0}.

thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lý 1.2.2. Nếu hệ phi tuyến không dừng (1.7) có hàm Lyapunov thì
hệ là ổn định. Nếu hàm là chặt thì hệ ổn định tiệm cận.
1.2.3

Một số tiêu chuẩn cơ bản về tính ổn định

Xét hệ tuyến tính

t ≥ 0,

x(t)
˙
= Ax(t),

(1.9)

trong đó A là ma trận cấp n × n. Nghiệm của hệ (1.9) với trạng thái ban
đầu x(t0 ) = x0 cho bởi công thức Cauchy:

x(t) = eA(t−t0 ) x0 ,

t ≥ t0 .

Định lý 1.2.3 (Công thức Sylvester). Cho A là ma trận n × n chiều với
các giá trị riêng λ1 ; λ2 ; . . . ; λn khác nhau. Cho f (λ) là hàm đa thức bậc n
có dạng

n

Ck λk .

f (λ) =
k=0

11


Khi đó

f (A) =

Zk f (λk )

trong đó Zk được xác định bởi

Zk =

(A − λ1 I) . . . (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) . . . (A − λn I)
(λk − λ1 ) . . . (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) . . . (λk − λn )

(1.10)

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ

(1.9), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov.
Định lý 1.2.4. Hệ (1.9) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi phần thực của
tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là

Reλ < 0, với mọi λ ∈ λ(A).

Chứng minh. Từ lý thuyết ma trận và theo công thức sylvester áp dụng
cho f (λ) = eλ , ta có
q

e

At

t

(Zk1 + Zk2 t + ... + Zkαk tαk −1 )eλk ,

=
k=1

trong đó λk là giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk trong
phương trình đa thức đặc trưng của A, Zki là các ma trận hằng số xác
định bởi hệ (1.10). Do đó, ta có đánh giá sau
q

q

αk

At

i−1 Reλk t

||e || ≤

t

e

αk

ti−1 eReλk t ||Zhi ||.

||Zki || =

k=1 i=1

k=1 i=1

Vì Reλk < 0 nên ||x(t)|| → 0 khi t → +∞. Ngược lại nếu hệ là ổn định
mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0 ) = x0 của hệ (1.9) thỏa mãn điều kiện

||x(t)|| ≤ µ||x0 ||e−δ(t−t0 ) ,

(1.11)

với µ > 0, δ > 0 nào đó. Bây giờ, ta giả sử phản chứng rằng có một

λ0 ∈ λ (A) sao cho Reλ0 . Khi đó với véc tơ riêng x0 ứng với λ0 này ta có
Ax0 = λ0 x0 ,
và khi đó nghiệm của hệ ứng với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t, khi đó ta
có

||x0 (t)|| = ||x0 ||eReλ0 t .
12

Vậy nghiệm x0 (t) này tiến tới +∞ khi t → ∞, mâu thuẫn với điều kiện

(1.11). Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.2.4. Xét tính ổn định của hệ

x˙1 = −x1 + 3x2
1
x˙2 = x1 − 2x2
4
Ta có phương trình đặc trưng
−1 − λ
3
1
=0
−2 − λ
4
1
5
suy ra λ1 = − ; λ2 = − . Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận.
2
2
Ví dụ 1.2.5. Xét tính ổn định của hệ

x˙1 = x1 − x2 + x3
x˙2 = x1 + x2 − 3x3

x˙3 = x1 − 5x2 − 3x3
Lập phương trình đặc trưng

λ−1
3
1
3
f (λ) = −1 λ − 1
= 0,
−1
5
λ+3

f (λ) = λ3 + λ2 − 18λ + 12 = 0.
Vì f (0) = 12 > 0; f (1) = −5 < 0, mà hàm f (λ) liên tục trên [0; 1] nên có
ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Như vậy phương trình đặc trưng
có ít nhất một nghiệm với phần thức lớn hơn 0 nên hệ đã cho không ổn
định.
Tính ổn định của hệ (1.9) có quan hệ tương đương với sự tồn tại nghiệm
của một phương trình ma trận, thường gọi là phương trình Lyapunov dạng

AT X + XA = −Y,

(1.12)

trong đó X, Y là các ma trận dạng (n × n) chiều và gọi là cặp nghiệm của

(1.12).
Xét hệ (1.9), từ giờ ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả
các giá trị riêng của A là âm. Theo định lý 1.2.4, điều này tương đương
với hệ (1.9) là ổn định tiệm cận.
13

Định nghĩa 1.2.5. Ma trận A được gọi là xác định dương (A ≥ 0; A > 0)
nếu:
i) Ax, x ≥ 0,

∀x ∈ Rn ,

ii) Ax, x > 0,

x = 0.

trong đó x, y là tích vô hướng của hai véctơ x = (x1 , x2 , ..., xn ) và y =

(y1 , y2 , ..., yn ) xác định bởi
n

x, y =

xi yi .
i=1

Ta có tiêu chuẩn sau
Định lý 1.2.5 (Sylvester condition). Ma trận A cỡ (n × n) là xác định
dương nếu

det(Di ) > 0, i = 1; 2; . . . ; n
trong đó

a a
D1 = a11 ; D2 = a11 a12 ; D3 =

21
22

a11 a12 a13
a21 a22 a23 ; . . . ; Dn = A.
a31 a32 a33

Định lý 1.2.6. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi phương trình (1.12)
có cặp nghiệm X, Y là ma trận đối xứng, xác định dương.
Chứng minh. Giả sử phương trình (1.12) có nghiệm là ma trận X > 0 với

Y > 0. Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (1.9) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ ,
ta xét hàm số
V (x(t)) = Xx(t), x(t) , ∀t ≥ t0 .
Ta có

d
V (x(t)) = X x(t),
˙
x(t) + Xx(t), x(t)
˙
dt
= (XA + AT X)x, x
= − Y x(t), x(t) .
Do đó

t

V (x(t)) − V (x(t0 )) = −

Y x(s), x(s) ds.
t0

14


Vì X là xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, với mọi t ≥ t0 và do đó
t

Y x(s), x(s) ds ≤ V (x0 ) = Xx0 , x0 .
t0

Mặt khác, vì Y là xác định dương nên tồn tại α > 0 sao cho

Y x(t), x(t) ≥ α||x(t)||2 , ∀x(t) ∈ Rn ,
do đó

t

||x(s)||2 ds ≤
t0

Xx0 , x0
,
α

Cho t → +∞ ta được
∞

||x(s)||ds < +∞.

(1.13)

t0

Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A). Thật vậy giả sử có
một số λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0. Lấy x0 ∈ Rn ứng với giá trị riêng λ0 này
thì nghiệm của hệ (1.9) sẽ cho bởi x1 (t) = eλ0 t x0 và do đó
∞

∞
2

e2Reλ0 t dt = +∞,

||x1 (t)|| dt =
t0

t0

vì Reλ > 0, vô lý với điều kiện (1.13).
Ngược lại, giả sử A là ma trận ổn định, tức là Reλ < 0 với mọi λ ∈ λ(A).
Với ma trận Y đối xứng xác định dương, xét phương trình ma trận sau
đây

˙
Z(t)
= AT Z(t) + Z(t)A, t ≥ t0 ,
Z(t0 ) = Y.
Nhận thấy hệ (1.14) có một nghiệm riêng là

Z(t) = eA t Y eAt .
Đặt

t

X=

Z(s)ds.
t0

Vì A là ma trận ổn định nên dễ kiểm tra được rằng tích phân
∞

Z(s)ds < ∞,

X=
t0

15

(1.14)


là xác định và do Y đối xứng nên X cũng là đối xứng. Mặt khác, lấy tích
phân hai vế phương trình (1.14) từ t đến t0 ta có

Z(t) − Y = AT X(t) + X(t)A, ∀t ≥ t0 .
Cho t → +∞ để ý rằng Z(t) → 0 khi t → ∞ và vì A là ổn định, nên
ta được

−Y = AT X + XA,
hay là các ma trận X và Y thỏa mãn phương trình (1.12). Ta cần chứng
minh X là ma trận xác định dương. Thật vậy,
∞

T

Y eA t x, eAt x dt.

Xx, x =
t0

Do Y > 0 và eAt là không suy biến nên

Xx, x > 0 nếu x = 0.
Vậy định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.2.6. Cho ma trận

0 1
A = −6 −5

và X =

p1 p 2
p2 p 3

là nghiệm của phương trình Lyapunov dạng AT X + XA = −I2 . Xét tính
ổn định của ma trận A.
Ta có

0 −6
1 −5

p1 p 2
p1 p2
p2 p 3 + p2 p3

0 1
−1 0
−6 −5 = 0 −1 ,

−6p2
−6p3
−6p2 p1 − 5p2
+
−6p3 p2 − 5p3
p1 − 5p2 p2 − 5p3
−12p2
p1 − 5p2 − 6p3
p1 − 5p2 − 6p3
2p2 − 10p3

=

suy ra

p2 =

1

7
67
; p3 = ; p1 = .
12
60
60
16

=

−1 0
0 −1 ,

−1 0
0 −1 ,


Vì


67 1

12
X =  60
1 7
12 60
là ma trận đối xứng xác định dương nên theo định lý 1.2.6 ma trận A là
ma trận ổn định.


Ví dụ 1.2.7. Cho ma trận

A=

−1 −1
2 −4

và X =

p1 p2
p2 p3 ,

là nghiệm của phương trình Lyapunov dạng AT X + XA = −I2 . Xét tính
ổn định của ma trận A.
Ta có

−1 2
−1 4

p1 p2
p1 p2
p2 p3 + p2 p3

−1 −1
−1 0
2 4 = 0 −1 ,

−p1 + 2p2 −p2 + 2p3
−p1 + 2p2 −p1 + 4p2
−p1 + 4p2 −p2 + 4p3 + −p2 + 2p3 −p2 + 4p3

−2p1 + 4p2
−p1 + 3p2 + 2p3
−p1 + 3p2 + 2p3
−p2 + 8p3

=

=

−1 0
0 −1 ,

−1 0
0 −1 ,

suy ra

−2p1 + 4p2 = −1
−p1 + 3p2 + 4p3 = 0

−2p2 + 8p3 = −1

3
1
suy ra p1 = − ; p2 = ; p3 = 0. hay
2
2


3 1


−
X =  12 2 .
0
2
Vì X là ma trận đối xứng xác định âm nên A không là ma trận ổn định.

17


1.3

Bài toán ổn định hóa

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toán
ổn định hóa cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng
trong thực tiễn. Dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov người
ta tìm lời giải, cũng như các ứng dụng cho bài toán ổn định hóa của hệ
phi tuyến với thời gian liên tục. Phần này sẽ trình bày các vấn đề cơ sở
của bài toán ổn định hóa và một số kết quả chọn lọc về tính ổn định hóa.
Xét hệ điều khiển phi tuyến

x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(1.15)

trong đó, x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , f (t, x(t), u(t)) : R+ × Rn × Rm → Rn ,

f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.15) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm
điều khiển ngược u(t) = h(t, x(t)), h(.) : Rn → Rm , h(0) = 0 sao cho
nghiệm không của hệ đóng

x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),
x(t0 ) = x0 ,

t ≥ 0,

(1.16)

là ổn định tiệm cận.
Đối với hệ tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

t ≥ 0,

(1.17)

được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại điều khiển ngược

u(t) = Kx(t), K ∈ Rn×m ,

sao cho hệ x(t)
˙
= (A + BK)x(t) là ổn định tiệm cận.
Như vậy, bài toán ổn định hóa hệ tuyến tính (1.17) được đưa thành bài
toán tìm ma trận K ∈ Rn×m sao cho ma trận (A + BK) là ổn định, tức
là phần thực của tất cả các giá trị riêng của (A + BK) là âm.
Ta có tiêu chuẩn để hệ (1.17) là ổn định hóa được như sau.

18


Định lý 1.3.1. Hệ (1.17) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối
xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn phương trình Riccati phi tuyến

AT P + P A − P BB T P + Q = 0,
1
và mà trận ổn định hóa là K = − B T P , tức là điều khiển ổn định hóa là
2
u(t) = Kx(t).
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov cho hệ đóng V (x(t)) = P x(t), x(t) .
Ta có

V˙ (x(t)) = 2 P (x(t)),
˙
x(t)
= 2 P (Ax(t) + Bu(t)), x(t)
= 2 P Ax(t) + P Bu(t), x(t)
1
= 2 P Ax(t), x(t) + 2 P Bu(t), x(t) với u(t) = − B T P x(t)
2

T
T
= (A P + P A)x(t), x(t) − P BB P x(t), x(t)
= (AT P + P A − P BB T P )x(t), x(t)
= − (Qx(t), x(t))
≤ −λmin (Q) x(t) 2 .
Vì Q > 0 nên λmin (Q) > 0 và ta có V˙ (x(t)) < 0.
Vậy theo định lý 1.2.4 hệ đã cho ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.3.1. Xét tính ổn định của hệ

x˙ 1 (t) = x1 (t) + 2x2 (t) + 2u(t),
3
x˙ 2 (t) = x1 (t) + x2 (t) + u(t),
4

(1.18)

Theo định lý 1.3.1 hệ (1.18) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận
đối xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn

AT P + P A − P BB T P + Q = 0.
Ta có

A=

1 2
3 ;B = 2 .
1
1
4

19


Ta tìm được nghiệm

1 0
2 0
P = 0 2 ; Q= 0 1 .
Thật vậy, ta có
T

A P =

1 1
3
2
4

1 0
PA = 0 2

1 2
3 ,
2
2

1 0
0 2 =
1 2
3

2
4

1 0
P BB T P = 0 2

1 2
3 ,
2
2

=

2 1 2 1 0
) 0 2
1 (

4 4
= 4 4 ,
suy ra AT P + P A − P BB T P + Q = 0.
Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận với ma trận ổn định hóa là

1
K = − (−1 −1)
2
Ví dụ 1.3.2. Xét tính ổn định của hệ

x˙ (t) = 2x1 (t) + 2x2 (t) + x3 (t) + 2u1 (t) + u2 (t)

 1

1
x˙ 2 (t) = x1 (t) + x3 (t) + u1 (t)

2

x˙ 3 = 3x1 (t) + x2 (t) + 2x3 (t) + u1 (t) + 2u2 (t).
Theo định lý 1.3.1 hệ (1.3.2) là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận
đối xứng P > 0, Q > 0 thỏa mãn

AT P + P A − P BB T P + Q = 0.
Ta có



2 2 1
1

A = 1 0  ; B =
2
3 1 2

20

2 1
1 0 .
1 2


Ta tìm được nghiệm

1 0 0
0 2 0 ; Q=
0 0 1

P =

2 0 0
0 4 0 .
0 0 1

Thật vậy, ta có


2 1 3
1 0
2 0 1
T
A P = 1  0 2
0 0
1
3
2

2 2
1 0 0 
P A = 0 2 0 1 0
0 0 1
3 1

P BB T P =

=

1
0
0
6
4
4

0
2
0
4
4
2

0
2 1
0
1 0
1
1 2
4
2 ,
5

0
0
1

=

2 2 3
2 0 1 ,
1 1 2


1
1
=
2
2

2 2 1
2 0 1 ,
3 1 2

2 1 1
1 0 2

1 0 0
0 2 0
0 0 1

suy ra AT P + P A − P BB T P + Q = 0.
Vậy hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Sau đây là một bổ đề được áp dụng trong chương 2.
Bổ đề 1.3.1 (Schur). Cho ma trận P, Q, M ∈ Rn×n , trong đó Q = QT >

0, ta có

P M
< 0 ⇔ P + M Q−1 M T < 0.
M T −Q
Chứng minh. Xem [6].

21


Chương 2

Ổn định hệ phương trình vi phân
phi tuyến và ứng dụng
Trong thực tế, các hệ động lực phần lớn được mô tả bằng các phương
trình toán học phi tuyến. Để giải bài toán ổn định các hệ phi tuyến,
Lyapunov đưa ra hai phương pháp:
Phương pháp thứ nhất: Nghiên cứu tính ổn định thông qua số mũ
Lyapunov hoặc dựa trên hệ xấp xỉ tuyến tính. Nếu vế phải đủ tốt, ví dụ là
hàm khả vi liên tục, để có thể xấp xỉ hệ đã cho bằng hệ tuyến tính tương
ứng, thì tính ổn định khi đó sẽ được rút ra từ tính ổn định hệ xấp xỉ tuyến
tính.
Phương pháp thứ hai: Phương pháp này dựa vào sự tồn tại của một lớp
hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được thử trực tiếp qua dấu của
đạo hàm theo vế phải của hệ đã cho.
Mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng, phương pháp thứ
nhất đòi hỏi tính khả vi liên tục của hàm vế phải, phương pháp thứ hai lại
rất khó khăn trong việc tìm hàm Lyapunov. Cho đến này chưa có phương
pháp nào hiệu quả tìm hàm Lyapunov mà chỉ dựa vào kinh nghiệm, đặc
thù vế phải.
Trong chương này, tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định của hệ
phương trình phân phi tuyến đồng thời mở rộng các kết quả ổn định cho

các hàm tựa Lyapunov. Từ đó vận dụng các kết quả vào giải quyết các bài
toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển phi tuyến.
Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu ([1], [3], [4]).

22


2.1

Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến

Xét hệ phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t)),

t ≥ 0,

(2.1)

trong đó f (t, x(t)) : R+ × Rn → Rn là hàm phi tuyến cho trước, f (t, 0) = 0
với mọi t ∈ R+ . Như đã nói ở trên, ta luôn giả thiết các điều kiện trên

f (.) sao cho hệ (2.1) có nghiệm x(t) với
x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0.
Định lý sau cho điều kiện đủ để hệ (2.1) là ổn định tiệm cận khi hàm
vế phải được phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễu
phi tuyến đủ nhỏ.
Nếu hàm f (t, x(t)) khả vi liên tục tại x = 0 thì theo khai triển Taylor

bậc một tại x = 0 ta có

f (x(t)) = Ax(t) + g(x(t)),
trong đó

A=

∂f (0)
, g(x) = o(x).
∂x

hay

||g(x)||
= 0.
→0 ||x||

lim
x

Định lý 2.1.1. Xét hệ (2.1) trong đó f (t, x(t)) = Ax(t) + g(x(t)). Giả
sử A là ma trận ổn định và g(x) = o(x) thì hệ là ổn định tiệm cận
Chứng minh. Nghiệm của bài toán Cauchy (2.1) với

f (x(t)) = Ax(t) + g(x(t)),
cho bởi

t
A(t−t0 )

x(t) = e

eA(t−s) g(x(s))ds.

x0 +
t0

Vì A là ma trận ổn định nên tồn tại số K > 0, δ > 0 sao cho

eAt ≤ Ke−δt , ∀t ≥ 0.
23


Ta có đánh giá nghiệm sau đây
t
δ(t−t0 )

x(t) ≤ Ke

x0 +

Ke−δ(t−s) g(x(s)) ds.

t0

Vì

g(x)
= 0,
||x||→0 x

lim

nên với mọi ε > 0 cho trước nào đó tồn tại số δ1 > 0 sao cho với x(t) < δ1
ta có

g(x(t)) ≤ ε x(t) , t ≥ 0.
Do đó
−δ(t−t0 )

x(t) ≤ Ke

t

x0 +

Ke−δ(t−s) ε x(s) ds.

t0

áp dụng bất đẳng Gronwall ta được

x(t) ≤ K x0 e−δ(t−t0 ) e

t
t0

Kεds

≤ K x0 e(Kε−δ)(t−t0 ) ,
Vậy với mọi ε <

∀t ≥ t0 .

δ
thì x(t) dần tới 0 khi t → ∞, hay hệ đã cho ổn định
K

tiệm cận.
Ví dụ 2.1.1. Xét tính ổn định hệ phương trình vi phân sau

1

x˙ 1 (t) = −2x1 (t) + 3x2 (t) − x21 (t) cos2 t,
2
1

x˙ 2 (t) = −3x2 + x22 (t) cos2 t.
2
Ta có

A=

−2 3
0 −3 ,



1 2
2
− x1 cos t

g(t, x(t)) =  12
,
2
2
x cos t
2 2

vì ma trận A có các giá trị riêng là −2; −3 nên A là ma trận ổn định.
Mặt khác

1 2
1 2
cos t x41 (t) + x42 (t) ≤
x (t) ,
2
2
do đó hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
g(t, x(t)) =

24

g(t, x(t)) = o( x(t) )