Đề thi chọn học sinh giỏi và chọn đội tuyển

Đề thi chọn học sinh giỏi và chọn đội tuyển
các trường và các tỉnh năm học 2010-2011
Dãy số
1. (Đề chọn đội tuyển ĐHSP HN) Cho dãy số { } thỏa mãn:
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2. (Đề chọn đội tuyển ĐHSP HN) Cho dãy xác định bởi
a) Tìm giới hạn dãy
b) Chứng minh
3. (Trường THPT chuyên Phan Chu Trinh, Đà Nẵng) Cho dãy số nguyên dương
thỏa mãn: , với mọi .
Tính giá trị của .
4. (Trường THPT chuyên Bến Tre) Tìm công thức tổng quát của dãy số sau:
5. (Trường ĐHKHTN HN) Cho . Xét dãy { } thỏa
Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn khi n tiến tới vô cùng và tìm giới han đó.
6. (Đề chọn đội tuyển tỉnh Hưng Yên) Cho phương trình: với n
nguyên dương. CMR phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm thực với mỗi n
nguyên dương cho trước. Gọi nghiệm đó là . Tìm Lim .
7. (Đề chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh) Dãy số (x
n
) thỏa mãn điều kiện:
nm
1
xxx
nmmn
+
<−−
+

*
, Nnm
∈∀

Chứng minh rằng: (x
n
) là một cấp số cộng.
8. (Đề chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh) Cho dãy
∞
=
0
)(
nn
x
, với
0
0
>
x
,
13
)3(
2
2
1
+
+
=
+
n
nn
n
x
xx

x
, với mọi n
≥
0.
Chứng minh rằng dãy (x
n
) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
9. (Chọn đội tuyển 11, trường THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình)
Cho dãy số : x1 > 0, với mọi n = 1, 2, 3, …. Chứng
minh dãy số có giới hạn. Tính giới hạn đó.