Hướng dẫn giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá- giỏi khối lớp 4

đề tài nghiên cứu khoa học
Hớng dẫn giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh
khá - giỏi khối lớp 4.
Ngời thực hiện:
Trịnh Thị Cẩm Vân
Lớp: CĐ Tiểu học 3E
Trờng CĐSP Hải Dơng
A - Phần khái quát
I, Lý do chọn đề tài:
Tiểu học là cấp học nền tảng đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và
phát triển nhân cách của con ngời, đặt nền móng vững chắc cho giáo dục phổ
thông và cho toàn bộ hệ thống giáo dục quốc dân. Để đạt đợc mục tiêu trên,
nhà trờng Tiểu học đã duy trì dạy học toán, việc giúp các em học tốt môn học,
học có phơng pháp là mục tiêu hàng đầu đợc đặt ra trong mọi tiết học. Để làm
đợc việc đó, ngời giáo viên cần giúp học sinh phân tích bài toán nhằm nhận
biết đợc đặc điểm, bản chất bài toán, từ đó lựa chọn đợc phơng pháp giải thích
hợp.
Giải toán là mức độ cao nhất của t duy. Nó đòi hỏi mỗi học sinh phải
huy động gần hết những vấn đề kiến thức logic đợc thể hiện bằng những ngôn
ngữ toán học. Mỗi bài toán, mỗi dạng toán đều có mối quan hệ chặt chẽ với
nhau. Việc tổ chức hớng dẫn cho học sinh nắm đợc kiến thức trừu tợng, khái
quát của bài toán, dạng toán phải dựa trên những cái cụ thể, gần gũi với học
sinh sau đó học sinh lại vận dụng những nguyên tắc, khái niệm trừu tợng để
giải quyết những vấn đề cụ thể theo đúng con đờng của nhận thức là: Từ trực
quan sinh động đến t duy trừu tợng, rồi từ t duy trừu tợng trở về thực tiễn.
1
ở lớp 4, các em đã đợc học giải các bài toán điển hình bằng phơng pháp
sơ đồ đoạn thẳng nh: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó , Tìm
hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó , Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ
số của hai số đó . Trong quá trình dạy giải toán nâng cao cho học sinh khá -
giỏi lớp 4, ngời giáo viên cần sử dụng triệt để u điểm của phơng pháp giải toán

bằng sơ đồ đoạn thẳng để giúp các em nắm chắc bản chất của mỗi dạng toán,
phát triển t duy và khả năng giải toán các bài toán khó cho học sinh khá - giỏi.
Từ những lý do trên, tôi đã chọn đề tài Hớng dẫn giải toán bằng sơ
đồ đoạn thẳng cho học sinh khá- giỏi khối lớp 4 để tìm hiểu và nghiên cứu
nhằm nâng cao sự hiểu biết về toán học, nâng cao khả năng giải các bài toán
khó cho học sinh.
II, Mục đích nghiên cứu:
Trên cơ sở nghiên cứu cách giải ba dạng toán Tìm hai số khi biết tổng
và hiệu của hai số đó , Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó ,
Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó và hớng dẫn học sinh giải
một số bài toán cơ bản và nâng cao điển hình của ba dạng toán trên, đề tài
nhằm giúp các em học sinh nắm chắc bản chất các dạng toán, nâng cao sự
hiểu biết về toán học, bồi dỡng kỹ năng giải toán nâng cao và phát huy tính
chủ động sáng tạo cho học sinh khá- giỏi khối lớp 4.
III, Đối tợng và khách thể nghiên cứu:
- Đối tợng: Hớng dẫn cách giải toán các bài toán khó ở ba dạng toán
Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó , Tìm hai số khi biết tổng
và tỷ số của hai số đó , Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó
bằng sơ đồ đoạn thẳng.
- Khách thể: Học sinh khá- giỏi khối lớp 4 trờng Tiểu học Thanh Thuỷ,
huyện Thanh Hà, tỉnh Hải Dơng.
2
IV, Giả thuyết khoa học:
Đề tài thành công sẽ là cơ sở cho giáo viên chủ động trong việc hớng
dẫn bồi dỡng giải toán cho học sinh khá - giỏi lớp 4, ngoài ra còn giúp cho học
sinh biết cách lập kế hoạch giải các bài toán khó, nâng cao hiệu quả dạy và
học bồi dỡng học sinh giỏi toán.
V, Nhiệm vụ nghiên cứu:
1, Tìm hiểu cơ sở lý luận của phơng pháp giải toán bằng sơ đồ đoạn
thẳng trong chơng trình Toán 4.

2, Hớng dẫn giải một số bài toán khó ở dạng Tìm hai số khi biết tổng
và hiệu của hai số đó , Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó ,
Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó .
3, Đề ra một số giải pháp, biện pháp nhằm nâng cao hiệu quả bồi dỡng
giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh khá giỏi khối 4.
VI, Các phơng pháp nghiên cứu:
1, Phơng pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết .
2, Phơng pháp quan sát.
3, Phơng pháp đàm thoại.
4, Phơng pháp luyện tập- thực hành.
5, Phơng pháp đánh giá tổng hợp.
VII, Giới hạn và phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu hớng dẫn giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng cho học sinh
khá- giỏi khối 4 trờng Tiểu học Thanh Thuỷ huyện Thanh Hà - tỉnh Hải D-
ơng.
VIII, Kế hoạch nghiên cứu:
3
- Thời gian: Đề tài đợc hoàn thành trong thời gian 5 tháng (từ 01 tháng
12 năm 2008 đến 15 tháng 4 năm 2009 ).
- Một số công việc cụ thể:
+ Lập đề cơng.
+ Thu thập và xử lý thông tin lý thuyết và một số bài toán cụ thể.
+ Hoàn thiện đề tài.
B - Phần nội dung
Chơng 1:Tìm hiểu cơ sở lí luận của phơng pháp giải toán bằng
sơ đồ đoạn thẳng.
Nh chúng ta đã biết đặc điểm t duy của học sinh Tiểu học là từ t duy
trực quan cụ thể đến t duy trừu tợng. Trong đó t duy cụ thể chiếm u thế.
Những hoạt động gây đợc hứng thú cho các em thì các em sẽ chú ý cao hơn và
sẽ nhớ đợc lâu hơn. Do đó, nếu trong dạy giải toán nếu giáo viên biết cách tổ

chức điều khiển hoạt động dạy học một cách nhẹ nhàng, khoa học, biến các
nhiệm vụ học tập của các em bằng các hình thức tạo hứng thú thu hút sự chú ý
của các em thì hiệu quả các tiết dạy Toán đợc nâng cao hơn.
Mỗi bài toán có thể hớng dẫn học sinh giải bằng nhiều phơng pháp khác
nhau. Song với các dạng toán Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
, Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó , Tìm hai số khi biết
hiệu và tỷ số của hai số đó thì giải bằng phơng pháp sơ đồ đoạn thẳng là phù
hợp với đặc điểm tâm sinh lý của các em.
Cái khó của giải toán ở Tiểu học không phải là việc tìm ra đáp số hoặc
lời giải cho một bài toán. Cái khó của giải toán Tiểu học là biết dùng kiến thức
của học sinh Tiểu học và đa ra lời giải phù hợp với t duy của học sinh Tiểu
học. Chính vì vậy phơng pháp sơ đồ đoạn thẳng có vai trò đặc biệt quan trọng
4
trong giải toán Tiểu học. Nhờ sơ đồ đoạn thẳng các khái niệm và quan hệ trừu
tợng của toán học đợc biểu thị trực quan hơn. Ngoài chức năng tóm tắt bài
toán, sơ đồ đoạn thẳng còn giúp trực quan hoá các suy luận, làm cơ sở tìm ra
lời giải bài toán.
Khi giảng dạy loại bài toán này, giáo viên phải chú ý từng phần, từng b-
ớc cụ thể. Khi tóm tắt và giải toán, học sinh phải thể hiện các yếu tố bài toán
qua sơ đồ đoạn thẳng.
- Nhìn vào sơ đồ, học sinh tự nhận biết các yếu tố đã biết và yếu tố phải
tìm (học sinh tự chiếm lĩnh tri thức).
- Nhìn vào sơ đồ, học sinh phát hiện mối quan hệ giữa yếu tố phải tìm
và yếu tố đã biết.
- Học sinh có thể vận dụng các kiến thức đã học để giải toán hay tìm ra
cách giải mới (học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức và kích thích sự phát triển
của t duy). Nh vậy đã hình thành khả năng khái quát hoá, kích thích trí tởng t-
ợng gây hứng thú học tập cho học sinh. Nh vậy hoạt động dạy và học sẽ đạt
kết quả cao không chỉ đối với việc giảng dạy cho học sinh đại trà, mà còn rất
hiệu quả trong việc dạy học bồi dỡng Toán cho học sinh khá - giỏi.

Chơng 2: Hớng dẫn học sinh khá - giỏi giải một số bài toán
cụ thể bằng phơng pháp sơ đồ đoạn thẳng.
1) Dạng toán: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của
hai số đó.
Bài toán 1: ( SGK Toán 4, trang 47)
Tìm hai số khi biết tổng hai số bằng 70 và hiệu hai số là 10.
5
Giáo viên hớng dẫn giải:
B ớc 1:
Đọc kỹ bài toán và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Số lớn:
Số bé:
B ớc 2:
Nhìn trên sơ đồ để tìm quan hệ giữa cái đã biết và cái cha biết.
+ Tìm hai lần số lớn (hoặc hai lần số bé).
+ Tìm số lớn, số bé.
B ớc 3 : Giải
Cách 1:
Số lớn:
Số bé:
Hai lần số bé là:
70 - 10 = 60
Số bé là:
60 : 2 = 30
Số lớn là:
30 + 10 = 40
Đáp số: Số lớn: 40;
6
?
?

10
70
?
?
10
70
Số bé: 30.
Cách 2:
Số lớn:
Số bé:
Hai lần số lớn là:
70 + 10 = 80
Số lớn là:
80 : 2 = 40
Số bé là:
40 - 10 = 30
Đáp số: Số lớn: 40;
Số bé: 30.
B ớc 4
Kiểm tra lại:
40 + 30 = 70
40 - 30 = 10
Chú ý:
Nếu học sinh không giải đợc nh trên giáo viên có thể giúp các em lập
kế hoạch giải nh sau:
7
?
?
10
70

10
Giáo viên
- Hỏi: Bài toán cho biết gì? Yêu cầu
gì?
- Muốn tìm đợc số đó ta phải làm gì?
- Muốn tìm đợc số bé ta phải làm gì?
Bằng cách nào?
-Muốn tìm đợc số lớn ta phải làm gì?
Học sinh
- Tổng hai số là: 70
Hiệu hai số là: 10
Yêu cầu tìm hai số đó.
- Tìm số lớn và số bé.
- Tìm hai lần số bé = Tổng Hiệu
- Số bé = (Tổng Hiệu) : 2
- Số lớn = Số bé + Hiệu
Hoặc: Số lớn = Tổng Số bé.
Lập kế hoạch giải tơng tự với cách giải số 2.
Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
Học sinh không biết tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Học sinh sai lầm trong cách tính. Ví dụ: Không tìm hai lần số bé mà
lấy luôn tổng chia 2 để tìm số bé rồi lại lấy số bé cộng hiệu ra số lớn.
Cách khắc phục:
Phải hớng dẫn học sinh tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Dựa vào đoạn thẳng, hớng dẫn học sinh lập kế hoạch giải từ đó rút ra
qui tắc:
+ Số bé = (Tổng Hiệu) : 2
8
+ Số lớn = Số bé + Hiệu
Hoặc:

+ Số lớn = ( Tổng + Hiệu) : 2
+ Số bé = Số lớn Hiệu
Bài toán 2:( Bài 252, trang 31, Tuyển chọn 400 bài tập toán 4. Bồi d-
ỡng học sinh khá- giỏi)
Có một hộp bi xanh và một hộp bi đỏ, tổng số bi của cả hai hộp là 48
viên bi. Biết rằng nếu lấy ra ở hộp bi đỏ 10 viên và lấy ra ở hộp bi xanh
2 viên bi thì số bi còn lại trong hai hộp bằng nhau. Hỏi mỗi hộp có bao
nhiêu viên bi?
Hớng dẫn
Phân tích đề bài:
Bài toán mới chỉ cho biết tổng số bi, còn cha biết hiệu số bi là bao
nhiêu, nhng theo bài ra: nếu lấy ở hộp bi đỏ 10 viên và lấy ở hộp bi xanh 2
viên thì số bi còn lại trong hai hộp bằng nhau, do đó ta có thể tìm đợc hiệu
số bi.
( Đến đây bài toán trở về dạng cơ bản Tìm hai số khi biết tổng và hiệu
của hai số đó ).
Tóm tắt:
?
viên
Bi xanh: 2
10 48 viên
Bi đỏ:
9
? viên
Bài giải
Số bi đỏ nhiều hơn số bi xanh là:
10 - 2 = 8 ( viên bi )
Số bi xanh là:
( 48 - 8) : 2 = 20 ( viên bi )
Số bi đỏ là:

20 + 8 = 28 ( viên bi )
Đáp số : 20 bi xanh
28 bi đỏ.
Bài toán 3:( Bài 255, trang 32, Tuyển chọn 400 bài tập toán 4.Bồi dỡng
học sinh khá- giỏi)
Tìm 3 số có tổng bằng 175, biết số thứ nhất kém số thứ hai 16 đơn vị,
số thứ hai kém số thứ ba 17 đơn vị.
Bài giải
Tóm tắt ?
Số thứ I:
16
Số thứ II: 175
?
Số thứ III:
17
10
?
Số thứ ba hơn số thứ nhất là:
17 + 16 = 33 ( đơn vị)
Ba lần số thứ nhất là:
176 - 16 - 33 = 126
Số thứ nhất là:
126 : 3 = 42
Số thứ hai là:
42 + 16 = 58
Số thứ ba là:
58 + 17 = 75
Đáp số: 42; 58; 75
Bài toán 4: ( Bài 141, Tuyển chọn các bài toán đố 4 nâng cao.)
Lan và Huệ có tổng cộng 85000 đồng. Lan mua vở hết 10000 đồng,

mua cặp hết 18000 đồng. Huệ mua sách hết 25000 đồng, mua bút hết
12000 đồng, sau khi mua hàng số tiền còn lại của hai bạn bằng nhau.
Hỏi trớc khi đi mua hàng mỗi bạn có bao nhiêu tiền?
Bài giải
Tổng số tiền Lan mua vở và cặp là:
10000 + 18000 = 28000 ( đồng)
Tổng số tiền Huệ mua sách và bút là:
25000 + 12000 = 37000 ( đồng)
11
Số tiền Huệ có nhiều hơn Lan là:
37000 - 28000 = 9000 ( đồng)
Số tiền Huệ có trớc khi mua hàng là:
( 85000 + 9000 ) : 2 = 47000 ( đồng)
Số tiền của Lan có trớc khi mua hàng là:
85000 - 47000 = 38000 ( đồng)
Đáp số: Lan: 38000 đồng
Huệ: 47000 đồng
Bài toán 5: ( Bài 143, Tuyển chọn các bài toán đố 4 nâng cao.)
Tìm hai số có tổng bằng 454, biết rằng nếu thêm một chữ số 4 vào
bên trái số thứ nhất thì đợc số thứ hai.
Bài giải
Hai số có tổng bằng 454 và số thứ nhất có ít hơn số thứ hai một chữ số
nên số thứ nhất phải là số có hai chữ số và số thứ hai phải là số có ba chữ
số.
Gọi số thứ nhất là ab thì số thứ hai là 4ab.
Ta có: 4ab = 400 + ab
4ab - ab = 400
Vậy hiệu hai số cần tìm bằng 400.
Số thứ nhất là:
( 454 - 400) : 2 = 27

Số thứ hai là:
27 + 400 = 427
12
Đáp số: 27; 427
Bài toán 6: ( Bài 384, Tự luyện toán 4)
Tuổi của anh và tuổi của em cộng lại là 34.Anh hơn em 6 tuổi. Tính
tuổi của mỗi ngời?
Tóm tắt: ? tuổi
Tuổi em:
6 34 tuổi
Tuổi anh:
? tuổi
Bài giải
Tuổi của em là:
( 34 - 6 ) : 2 = 14 ( tuổi)
Tuổi của anh là:
14 + 6 = 20 ( tuổi)
Đáp số: anh: 20 tuổi
em: 14 tuổi.
Bài tập đề nghị
1. Tìm hai số chẵn liên tiếp có tổng là 126 ?
2. Tìm hai số lẻ có tổng là 2006 biết rằng giữa chúng còn 3 số lẻ nữa.
13
3. Hai thùng đựng đợc tất cả 36 lít nớc. Nếu lấy bớt 4 lít ở thùng thứ
nhất đổ sang thùng thứ hai thì thùng thứ hai đựng nhiều hơn thùng
thứ nhất 6 lít. Hỏi lúc đầu mỗi thùng đựng bao nhiêu lít nớc?
4. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 360m, chiều rộng bé hơn
chiều dài 20m. Tính diện tích thửa ruộng đó?
5. Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 11. Nếu thay đổi thứ
tự các chữ số thì số đã cho tăng thêm 27 đơn vị. Tìm số đó?

2) Dạng toán: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của
hai số đó.
Bài toán 1:
Lớp 1A có 35 học sinh, trong đó số học sinh nữ bằng
4
3
số học sinh
nam.
Hỏi lớp 1A có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ?
Giáo viên hớng dẫn cách giải
Bớc 1:
Đọc kĩ đề bài và tóm tắt bằng sơ đồ đoạn thẳng:

? học sinh
Học sinh nữ:
Học sinh nam:
Bớc 2: ?học sinh
14
35 học sinh
Nhìn sơ đồ để tìm mối quan hệ giữa cái đã biết và cái cha biết.
Tìm phần tơng ứng với 35 học sinh.
Tìm số học sinh nam và số học sinh nữ.
Bớc 3: Bài giải
Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 ( phần )
Giá trị một phần là:
35 : 7 = 5 ( học sinh)
Số học sinh nam là:
5
ì

4 = 20 ( học sinh )
Số học sinh nữ là:
53 - 20 = 15 ( học sinh )
Đáp số: nam: 20 học sinh
nữ: 15 học sinh
Bớc 4
Kiểm tra
14 + 20 = 35
15 : 20 =
4
3
Chú ý:
Nếu học sinh không giải đợc nh trên giáo viên có thể giúp các em lập kế
hoạch giải nh sau:
15