Hệ thống kiến thức Toán 9 - Kiến thức cơ bản

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 9
KIẾN THỨC CƠ BẢN

JHSMATH.COM


Lời nói đầu
Các em học sinh lớp 9 thân mến!
Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện
vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 9 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó
Series Tự học Toán 9 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo
khoa Toán 9 hiện hành. Mỗi bài gồm 4 mục
• Kiến thức cơ bản hệ thống những kiến thức cần thiết nhất mà các em phải nắm
vững
• Sai lầm cần tránh lưu ý các em những lỗi phổ biến thường mắc phải khi học và
làm toán
• Câu hỏi trắc nghiệm giúp các em vận dụng lí thuyết và tự kiểm tra mức độ nắm
kiến thức của mình
• Ví dụ minh họa được chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức và kĩ năng. Tất cả
các em cần nắm vững những kiến thức nền móng và những kĩ năng thiết yếu trong
các ví dụ cơ bản này
Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơ
bản. Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 9
Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức và
rèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn
Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao cho
ngắn gọn và rõ ràng
Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướng
suy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bài
toán
Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ song song và kí hiệu ∼ để

chỉ đồng dạng. Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiện
hành

2


Mục lục

3


Chương 1
Căn bậc hai. Căn bậc ba
1.1

6

1.2

Căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Căn bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A| . . . . . . . . . . . .

1.3

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương . . . . . . . . .

7

1.4

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương . . . . . . . . . .

7

1.5

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . .

7

1.6

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7

Căn bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1

Căn bậc hai

1.1.1

Căn bậc hai

6

• Số x gọi là căn bậc hai của số a nếu x2 = a
• Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3. Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

1.1.2

Căn bậc hai số học

• Cho số a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
bình phương của nó bằng a
x=

√

• Với a và b không âm để so sánh

1.2

a (a ≥ 0) ⇔

√
√
a và b ta so sánh a và b
√ √
a
√
a2 = |a| tức là

√

a là số không âm mà

x≥0
x2 = a

Căn bậc hai và hằng đẳng thức

• Ta có

√

a2 =

a nếu a ≥ 0
−a nếu a < 0
4

√

A2 = |A|


√
√
√
√
• Cần phân biệt a2 với ( a)2 . Khi viết a2 thì a có thể là số âm còn khi viết ( a)2
thì a phải là số không âm

√
• Điều kiện xác định hay có nghĩa của a là a ≥ 0
• Cách giải các bất phương trình dạng |x| ≤ a và |x| ≥ a với a > 0 như sau
|x| ≤ a ⇔ −a ≤ a ≤ a

1.3

1.5.1

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
√

√
a2 b = |a| b =

√
a2 b nếu a ≥ 0
√
− a2 b nếu a < 0

Với b ≥ 0 thì a b =

Với

1.5.4

√
a √
b nếu a ≥ 0
−a b nếu a < 0

Đưa thừa số vào trong dấu căn
√

1.5.3

√
a
a
= √
a
b

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Với b ≥ 0 thì

1.5.2

√
√ √
a.b = a. b

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Với a ≥ 0 và b > 0 ta có

1.5

x≥a

x ≤ −a

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Với a ≥ 0 và b ≥ 0 ta có

1.4

|x| ≥ a ⇔

Khử mẫu của biểu thức lấy căn
a
xác định ta có
b

a
=
b

√
ab
ab
=
b2
|b|

Trục căn thức ở mẫu

Ta thường nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu. Chú ý ba dạng sau
Biểu thức đã cho Nhân cả tử và mẫu với

√
a
√
b
b
√
√
1
√
a− b
√
a+ b
√
√
1
√
a+ b
√
a− b
Có trường hợp sau khi phân tích tử và mẫu thành nhân tử. Nhân tử chứa căn thức ở mẫu
cũng là một nhân tử ở tử. Khi đó ta trục căn thức ở mẫu bằng cách chia cả tử và mẫu
cho nhân tử chung đó
5


1.6

Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Để rút gọn được biểu thức chứa căn thức bậc hai ta cần chú ý đến

• Rút gọn biểu thức bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử
• Sử dụng các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai để làm xuất hiện những căn
thức đồng dạng
√
√
√
√
• Cộng trừ các căn thức đồng dạng m a + n a − p a = (m + n − p) a

1.7

Căn bậc ba

• Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
√
√
√
• 3 a = x ⇔ x3 = a. Chẳng hạn 3 8 = 2, 3 −27 = −3
• Tính chất
√
√
– a√
√ √
– 3 ab = 3 a. 3 b
√
3
a
a
3

với b = 0
–
= √
3
b
b

6


Chương 2
Hàm số bậc nhất

2.1
2.1.1

2.1

Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

. . . . . . . . .

9

2.2

Hàm số bậc nhất. Đồ thị của hàm số y = ax + b với a = 0 . . .

9

2.3

Đường thẳng và đường thẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . .

10

2.4

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b với a = 0 . . . . . . . . .

10

Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số
Khái niệm hàm số

• y được gọi là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một
giá trị tương ứng của y
• Hàm số có thể được cho bởi bảng hoặc công thức

2.1.2

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các điểm M (x, y) trong mặt phẳng tọa độ
Oxy thỏa mãn y = f (x)

2.1.3

Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f (x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
• Nếu x1 < x2 mà f (x1 ) < f (x2 ) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên R
• Nếu x1 < x2 mà f (x1 ) > f (x2 ) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên R

2.2

Hàm số bậc nhất. Đồ thị của hàm số y = ax + b
với a = 0

• Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các
số cho trước và a = 0
• Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b với a = 0 xác định
với mọi giá trị của x thuộc R. Đồng biến trên R khi a > 0 và nghịch biến trên R
nếu a < 0
7


• Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax+b với a = 0, b = 0
– Vẽ điểm A(0, b) thuộc trục tung
b
– Vẽ điểm B − ; 0
a

thuộc trục hoành

– Vẽ đường thẳng AB

2.3

Đường thẳng và đường thẳng cắt nhau

Cho hai đường thẳng
(d) y = ax + b với a = 0
(d ) y = a x + b với a = 0
• (d)

(d ) ⇔ a = a vb = b

• (d) trùng (d ) ⇔ a = a vb = b
• (d) cắt (d ) ⇔ a = a

2.4

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b với a = 0

• Đường thẳng y = ax + b với a = 0 có hệ số góc là a
• Hai đường thẳng phân biệt nếu song song với nhau thì có hệ số góc bằng nhau và
ngược lại
• Đường thẳng y = ax + b với a = 0 tạo với tia Ox một góc α
– Nếu a > 0 thì α < 90 và a = tan α
– Nếu α < 0 thì α > 90o và −a = tan α trong đó α = 180o − α

8


Chương 3
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

3.1

3.1

Phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.2

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.3

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . .

12

3.4

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . . .

12

Phương trình bậc nhất hai ẩn

• Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c. Trong đó a, b, c
là những số đã biết và a = 0 hoặc b = 0 tức là a và b không đồng thời bằng 0
• Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp giá trị (x, y) của hai ẩn thỏa mãn
phương trình

• Tập nghiệm của phương trình ax + by = c biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một
đường thẳng
a
c
– Nếu a = 0, b = 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số bậc nhất y = − x+
b
b
c
– Nếu a = 0, b = 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số bậc nhất y = đó
b
là đường thẳng vuông góc với trục tung
c
– Nếu a = 0, b = 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số bậc nhất y = đó
a
c
là đường thẳng vuông góc với trục hoành. Chú ý rằng x = không phải là
a
hàm số

3.2

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn
ax + by = c
ax+by =c

(I)

Nghiệm của hệ phương trình là cặp số (x0 , y0 ) nghiệm đúng cả hai phương trình của

hệ
9


• Số nghiệm của hệ (I) là số điểm chung của hai đường thẳng
ax + by = c
ax+by =c

(d)
(d )

Hệ phương trình (I) có thể có nghiệm duy nhất hoặc có vô số nghiệm hoặc vô
nghiệm
• Trong hệ (I) khi các hệ số a , b , c đều khác 0 ta có
a
b
=
a
b
a
b
c
– Hệ có vô số nghiệm ⇔ (d) trùng (d ) ⇔
= =
a
b
c
a
b
c

– Hệ vô nghiệm ⇔ (d) song song (d ) ⇔
= =
a
b
c
– Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ (d) cắt (d ) ⇔

b
a
= được thay bằng
Trong trường hợp các hệ số a , b có thể bằng 0 thì điều kiện
a
b
a
b
ab = a b. Điều kiện
= được thay bằng ab = a b
a
b
• Hệ hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

3.3
3.3.1

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

• Biểu thị một ẩn chẳng hạn x theo ẩn kia từ một phương trình
• Thế biểu thức của x vào phương trình kia rồi tìm giá trị của y
• Thay giá trị tìm được của y vào biểu thức của x để tìm giá trị của x. Nghiệm của

hệ phương trình là cặp số (x, y) vừa tìm được

3.3.2

Giải hệ phương trình bằng phương cộng đại số

• Biến đổi để các hệ số của một ẩn chẳng hạn x có giá trị tuyệt đối bằng nhau
• Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử ẩn x
• Giải phương trình để tìm giá trị của y
• Thay giá trị đó của y vào một phương trình để tìm giá trị của x. Nghiệm của hệ
phương trình là cặp số (x, y) vừa tìm được

3.4

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bước 1 Lập hệ phương trình
• Chọn hai đại lượng chưa biết làm ẩn. Ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn
10


• Biểu thị các đại lượng chưa biết khác theo các ẩn
• Lập hệ hai phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng
Bước 2 Giải hệ phương trình
Bước 3 Nhận định kết quả tức là đối chiếu với điều kiện và trả lời

11

Chương 4
Hàm số y = ax2 với a = 0. Phương
trình bậc hai một ẩn

4.1

4.1

Hàm số y = ax2 với a = 0 và đồ thị của nó . . . . . . . . . . . .

14

4.2

Phương trình bậc hai một ẩn. Công thức nghiệm của phương
trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.3

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.4

Phương trình quy về phương trình bậc hai . . . . . . . . . . .

16

4.5

Giải bài toán bằng cách lập phương trình . . . . . . . . . . . .

17

Hàm số y = ax2 với a = 0 và đồ thị của nó

• Hàm số y = ax2 với a = 0 xác định với mọi giá trị của x thuộc R. Hàm số đó có các
tính chất sau
– Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0. Với mọi
x = 0 thì y > 0 với x = 0 thì y = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0
– Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0. Với mọi
x = 0 thì y < 0 với x = 0 thì y = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0

• Đồ thị của hàm số y = ax2 với a = 0 là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O
– Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành O là điểm thấp nhất của đồ thị
12


– Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành O là điểm cao nhất của đồ thị
• Lưu ý ba nội dung của đồ thị hàm số y = ax2 với a = 0
– Vị trí của đồ thị với góc tọa độ
– Vị trí của đồ thị với trục tung
– Vị trí của đồ thị với trục hoành

4.2
4.2.1

Phương trình bậc hai một ẩn. Công thức nghiệm
của phương trình bậc hai
Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn
a, b, c4 là các số cho trước với a = 0

4.2.2

Giải phương trình bậc hai khuyết

Đưa về phương trình dạng ax2 = m hoặc phương trình tích

4.2.3

Giải phương trình bậc hai

Cách 1 Đưa về phương trình dạng a(x + m)2 = n
Cách 2 Đưa về phương trình tích a(x + m)(x + n) = 0
Cách 3 Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai

4.3
4.3.1

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
Hệ thức Vi-ét

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 , x2 (phân biệt hoặc trùng
b

c
nhau) thì tổng các nghiệm bằng − tích các nghiệm bằng
a
a

 x 1 + x2 = − b
2
a
ax + bx + c = 0, a = 0, ∆ ≥ 0 ⇒
 x1 x2 = c
a
13


4.3.2

Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương
trình bậc hai

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với a = 0
• Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1 và x2 =

c
a

• Nếu a − b + c = 0 thì x1 = −1 và x2 = −

4.3.3

c

a

Áp dụng hệ thức Vi-ét để xác định dấu các nghiệm của
phương trình bậc hai

b
c
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với a = 0. Đặt S = − , P = . Ta có
a
a

4.3.4

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

• Nếu có hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương
trình x2 − Sx + P = 0
• Điều kiện để có hai số đó là S 2 − 4P > 0
• Áp dụng tính nhẩm nghiệm
√
√
√
• Cho phương trình x2 − (2 + 2)x + 2 2 =
√
√0. Hai số 2 và 2 là nghiệm của phương
trình vì tổng của chúng bằng S (bằng 2 + 2) và tích của chúng bằng P (bằng 2 2)

4.4
4.4.1

Phương trình quy về phương trình bậc hai
Phương trình đa thức bậc cao

• Đưa về phương trình tích
• Nhiều trường hợp có thể dùng ẩn phụ
• Trường hợp đặc biệt là phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 với a = 0.
Dùng ẩn phụ y = x2 với y > 0

4.4.2

Lưu ý

• Ở bài hệ thức Vi-ét và ứng dụng ta đã biết cho phương trình ax2 + bx + c = 0 nếu
a + b + c = 0 thì 1 là một nghiệm của phương trình còn nếu a + c = b thì −1 là một
nghiêm của phương trình
• Tổng quát cho phương trình f (x) = 0 trong đó f (x) là một đa thức với biến x
14


– Nếu tổng các hệ số của f (x) bằng 0 thì 1 là một nghiệm của phương trình
f (x) = 0
– Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn của f (x) bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ của f (x) thì −1 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0

4.4.3

Phương trình chứa ấn ở mẫu

Khử mẫu với điều kiện mẫu khác 0

4.4.4

Phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

• Dùng ẩn phụ đặt căn thức chứa ẩn bằng y
• Bình phương hai vế của phương trình có điều kiện kèm theo

4.5

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn
Bước 1 Lập phương trình
• Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn. Ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn
• Biểu thị các đại lượng chưa biết khác theo ẩn
• Lập phương trình bậc hai diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng
Bước 2 Giải phương trình
Bước 3 Nhận định kết quả và trả lời

15


Chương 5
Hệ thức lượng trong tam giác vuông

5.1

5.1

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

18

5.2

Tỉ số lượng giác của góc nhọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

5.3

Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi . . . . . . . . . . . . . . .

19

5.4

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông . . . . .

19

5.5

Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn

20

. . . . .

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam

giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Ngoài định lí Py-ta-go và hệ thức bc = ah
đã biết. Cần nhớ thêm các hệ thức sau

b2 = ab

h2 = b c
1
1
1
= 2+ 2
2
h
b
c

c2 = ac

5.2

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

• Với mọi tam giác vuông có cùng góc nhọn α mỗi tỉ số bên dưới đều không đổi
cạnh đối ÷ cạnh huyền
cạnh đối ÷ cạnh kề

cạnh kề ÷ cạnh huyền
cạnh kề ÷ cạnh đối
16

Ta gọi các tỉ số trên theo thứ tự là sin α, cos α, tan α, cot α
• Quan hệ giữa các tỉ số lượng giác
tan α =

sin α
cos α

cot α =

˙ =1
tan αcotα

cos α
sin α

sin2 α + cos2 α = 1

• Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Nếu B + C = 90o thì sin B = cos C, tan B = cot C
• Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

5.3

Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi

• Khi α tăng thì sin α và tan α tăng, cos α và cot α giảm
• Biết dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi giải hai bài toán
– Cho số đo α. Tìm sin α, cos α, tan α, cot α

– Cho sin α hoặc cos α hoặc tan α hoặc cot α. Tìm số đo α

5.4

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác
vuông

Trong một tam giác vuông
• Cạnh góc vuông = Cạnh huyền × sin góc đối = Cạnh huyền × cos góc kề
• Cạnh góc vuông = Cạnh góc vuông kia × tan góc đối = Cạnh góc vuông kia × cot
góc kề
17


5.5

Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc
nhọn

Trong thực tế của cuộc sống tỉ số lượng giác của góc nhọn có rất nhiều ứng dụng có thể
kể ra một vài ứng dụng thường gặp nhất như tính chiều cao, tính khoảng cách, . . .

18


Chương 6
Đường tròn

6.1

6.1

Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

21

6.2

Đường kính và dây của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . .

22

6.3

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây . . . . . . .

22

6.4

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu
nhận biết tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . .

22

6.5

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau . . . . . . . . . . . . . .

23

6.6

Vị trí tương đối của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . .

23

Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của
đường tròn

• Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó hoặc
khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó
• Đường tròn tâm O bán kính R với R > 0 là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O
một khoảng bằng R
• Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn
• Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác là giao điểm ba đường trung trực của
tam giác đó
– Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông là trung điểm của cạnh
huyền
– Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nó thì
tam giác đó là tam giác vuông
• Đường tròn là hình có tâm đối xứng và có trục đối xứng. Tâm của đường tròn là
tâm đối xứng của đường tròn đó. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của
đường tròn
19


6.2
6.2.1

Đường kính và dây của đường tròn
So sánh độ dài của đường kính và dây

Trong các dây của một đường tròn dây lớn nhất là đường kính

6.2.2

Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

• Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm
của dây ấy
• Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua
tâm thì vuông góc với dây ấy

6.3

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

• Trong một đường tròn
– Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
– Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
• Trong hai dây của một đường tròn
– Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
– Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

6.4
6.4.1

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

6.4.2

Số điểm chung
2
1
0

Hệ thức giữa d và R
dd=R
d>R

Định lí về tính chất của tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính
đi qua tiếp điểm

6.4.3

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

20


6.5

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

• Cho hai tiếp tuyến AB và AC của đường tròn (O). Ta có AB = AC
– AO là tia phân giác của góc BAC
– OA là tia phân giác của góc BOC
• Đường tròn nội tiếp một tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác
đó khi đó tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các
góc trong của tam giác

6.6

Vị trí tương đối của hai đường tròn

6.6.1

Ba vị trí tương đối của hai đường tròn

6.6.2

Tính chất của đường nối tâm

• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối
tâm tức đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

21


Chương 7
Góc với đường tròn

7.1

7.1

Góc ở tâm. Số đo cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

7.2

Liên hệ giữa cung và dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

7.3

Góc nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

7.4

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

7.5

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên
ngoài đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

7.6

Cung chứa góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

7.7

Tứ giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

7.8

Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp . . . . . . . . . .

27

7.9

Độ dài đường tròn, cung tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

7.10 Diện tích hình tròn. Hình quạt tròn . . . . . . . . . . . . . . .

27

Góc ở tâm. Số đo cung

• Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn
• Nếu AOB = α thì sd AmB= α, sd AnB= 360o − α

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180o
• Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sd AB= sd AC +sd CB
22


7.2

Liên hệ giữa cung và dây

• Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau
– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại
– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại
• Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
• Trong một đường tròn
– Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của
dây căng cung ấy. Đường kính đi qua trung điếm của một dây không phải là
đường kính thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy

– Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng
cung ấy và ngược lại

7.3
7.3.1

Góc nội tiếp
Định nghĩa

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây của đường
tròn đó

7.3.2

Định lí

Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

7.3.3

Hệ quả

Trong một đường tròn
• Các góc nội tiếp bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
• Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng
chắn một cung
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

7.4

7.4.1

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
Định lí

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm bằng nửa số đo của cung bị
chắn

7.4.2

Hệ quả

Trong một đường tròn góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau
23


7.5

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh
ở bên ngoài đường tròn

• Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
• Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

7.6
7.6.1

Cung chứa góc
Định nghĩa

Cung chứa góc α (0o < α < 180o ) dựng trên đoạn thẳng AB là cung với mọi điểm M
thuộc cung đó ta đều có AM B = α

7.6.2

Áp dụng công thức vào chứng minh

Nếu một tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc
α thì bốn đỉnh của tứ giác đó nằm trên cùng một đường tròn

7.6.3

Áp dụng công thức cung chứa góc vào tìm quỹ tích

Quỹ tích các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc α không đổi là hai cung
chứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó (0o < α < 180o )
Đặc biệt quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường
tròn đường kính AB

7.7
7.7.1

Tứ giác nội tiếp
Định nghĩa

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn

7.7.2

Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối bằng 180o

7.7.3

Dấu hiệu nhận biết

• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm
24


• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng
nhau
• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

7.8

Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

• Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác gọi là đường tròn ngoại tiếp đa
giác còn đa giác gọi là đa giác nội tiếp đường tròn
• Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác gọi là đường tròn nội tiếp
đa giác còn đa giác gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn
• Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và
chỉ một đường tròn nội tiếp. Tâm của hai đường tròn đó trùng nhau và gọi là tâm
của đa giác đều

7.9

Độ dài đường tròn, cung tròn

• Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi hình tròn) bán kính R đường kính d
C = 2πR hoặc C = πd với π ≈ 3, 14
• Công thức tính độ dài cung no của đường tròn bán kính R
l = 2πR.

7.10

πRn
n
=
360
180

Diện tích hình tròn. Hình quạt tròn

• Công thức tính diện tích hình tròn bán kính R
S = πR2
• Công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R cung no
πR2 .n
lR
S=
hay S =
360
2
với l là độ dài cung no của hình quạt

25