Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 5 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 05:
TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
VỚI RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC:
PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN
Thời lượng: 3 tiết


Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc bất
đẳng thức
Tìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau:
Với các điều kiện ràng buộc bất đẳng thức:

f x

g j x  0
j  1, 2,

Với:

x   x1

x2

xn 

T

,m

2


3

 g j  x   0   g j  x   y 2j  0 


  
 j  1, 2, , m   j  1, 2, , m 

G j  x, y   g j  x   y 2j  0
j  1, 2,

,m
m

L  x, y , λ   f  x     j G j  x , y 
j 1

x   x1

x2

xn  ; y   y1
T

λ   1 2

y2

m 

T

ym  ;
T


4

Giải hệ (n+2m) phương trình sau:
m
 L
g j
f
  x, y , λ  
 x     j  x  ; i  1..n
xi
xi
j 1
 xi
 L
j  1..m
 x, y, λ   2 j y j  0;

 y j
 L

2

x
,
y
,
λ

G
x
,
y

g
x

y

 j   j   j  0; j  1..m
  j

 x1 
 1 
 y1 
 
 
 
x2    2    y2 



x 
;λ 
;y 
 
 
 
 
 
 
 xn 
m 
 ym 

1
 2
 3


5

Tính định thức sau. Tìm nghiệm của phương trình định thức = 0. Nếu tất cả các
nghiệm đều mang dấu – hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực đại, nếu tất cả nghiệm
mang dấu + hoặc 1 số = 0 thì lời giải là cực tiểu. Nếu 1 vài nghiệm mang dấu –, một
số còn lại mang dấu + thì đó không phải là cực trị.

Ma trận Hessian
m

n+m

n+m


m

L11  z

L12

L13

L1 n  m 

G11

G21

Gm1

L21

L22  z

L23

L2 n  m 

G12

G22

Gm 2

L n  m 1

L n  m 2

L n  m 3

G2 n  m 

Gm n  m 

G11

G12

G13

G1 n  m 

0

0

0

G21

G22

G23

G2 n  m 

0

0

0

Gm1

Gm 2

Gm 3

Gm n  m 

0

0

0

n+m

L n  m  n  m   z G1 n  m 

m

n+m

m


6

Biến đổi:
n

n

m 

m

m

m

L11  z

L12

L13

L1n

0

0

0

g11

g 21

g m1

L21

L22  z

L23

L2 n

0

0

0

g12

g 22

gm2

Ln1

Ln 2

Ln 3

Lnn  z

0

0

0

g1n

g2n

g mn

0

0

0

0

21  z

0

0

2 y1

0

0

0

0

0

0

0

22  z

0

0

2 y2

0

0

0

0

0

0

0

2m  z

0

0

2 ym

g11

g12

g13

g1n

2 y1

0

0

0

0

0

g 21

g 22

g 23

g2n

0

2 y2

0

0

0

0

g m1

gm2

g m3

g mn

0

0

2 ym

0

0

0

m

n
 2 L  x, y , λ 
Lij 
xi x j
i, j  1..n

 x ,y ,λ 







g k  x 
g kl 
xl x
k  1..m; l  1..n

n

m

m

m

 Định thức này là 1 hàm đa
thức bậc n có tối đa n nghiệm


7
2
2
2
f
x
,

x
,
x

x

x

x
Cực tiểu hàm số sau:  1 2 3  1
2
3  40 x1  20 x2  min
Với các ràng buộc: x1  50; x1  x2  100; x1  x2  x3  150 n  3
m  3

Biến đổi lại các
ràng buộc:

Hàm Lagrange:

 g1  x1 , x2 , x3    x1  50  0

 g 2  x1 , x2 , x3    x1  x2  100  0

 g3  x1 , x2 , x3    x1  x2  x3  150  0
G1  x1 , x2 , x3 , y1    x1  50  y12  0

 G2  x1 , x2 , x3 , y2    x1  x2  100  y22  0

2

G
x
,
x
,
x
,
y


x

x

x

150

y


 3 1 2 3 3
1
2
3
3 0

L  x, y , λ   f  x1 , x2 , x3     j G j  x1 , x2 , x3 , y j 
3

j 1


L  x, y , λ    x  x  x  40 x1  20 x2   1   x1  50  y
2
1

2
2

2
3

2
1



2   x1  x2  100  y22   3   x1  x2  x3  150  y32 
Hệ PT (1)÷(3) tương đương 9 phương trình:
2 x1  40  1  2  3  0

1  2 x2  20  2  3  0
 4
2 x    0
 3 3

21 y1  0

 2   22 y2  0

 2 y  0
 3 3

5

 x1  50  y12  0

 3   x1  x2  100  y22  0

2

x

x

x

150

y
3 0
 1 2 3

6

Giải hệ
PT tìm
9 ẩn

8

Hệ PT (5) sẽ tương đương với 8 tình huống. Mỗi tình huống sẽ
kết hợp với hệ phương trình (4) và (6). Ta sẽ được 8 hệ
phương trình như sau:
1) Hệ PT 1:

  0
 1
2  0
  0
 3
2 x1  40  1  2  3  0

2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 3 3
 x1  50  y12  0

2

x

x

100

y
 1 2
2 0


2

x

x

x

150

y
3 0
 1 2 3

Vô
nghiệm

9


10

2) Hệ PT 2:

  0
 1
2  0
y  0
 3

2 x1  40  1  2  3  0

2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 3 3
 x1  50  y12  0

2

x

x

100

y
 1 2
2 0

2

x

x

x

150

y

3 0
 1 2 3

Vô
nghiệm


11

3) Hệ PT 3:

  0
 1
 y2  0
  0
 3
2 x1  40  1  2  3  0

2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 3 3
 x1  50  y12  0

2

x

x

100


y
 1 2
2 0

2

x

x

x

150

y
3 0
 1 2 3

Vô
nghiệm


12

4) Hệ PT 4:

  0
 1
 y2  0

y  0
 3
2 x1  40  1  2  3  0

2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 3 3
 x1  50  y12  0

2

x

x

100

y
 1 2
2 0

2

x

x

x

150


y
3 0
 1 2 3

Vô
nghiệm


13

5) Hệ PT 5:

y  0
 1
2  0
  0
 3
2 x1  40  1  2  3  0

2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 3 3
 x1  50  y12  0

2

x

x


100

y
 1 2
2 0

2

x

x

x

150

y
3 0
 1 2 3

Vô
nghiệm


14

6) Hệ PT 6:

y  0

 1
2  0
y  0
 3
2 x1  40  1  2  3  0

2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 3 3
 x1  50  y12  0

2

x

x

100

y
 1 2
2 0

2

x

x

x


150

y
3 0
 1 2 3

Vô
nghiệm


15

7) Hệ PT 7:

y  0
 1
 y2  0
  0
 3
2 x1  40  1  2  3  0

2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 3 3
 x1  50  y12  0

2

x


x

100

y
 1 2
2 0

2

x

x

x

150

y
3 0
 1 2 3

Vô
nghiệm


16

8) Hệ PT 8:



y
y  0
1 0
 
 1
 y2  0
 y2  0
 y  0
y  0
 3
 3
1  20
2 x1  40  1  2  3  0
 

 2  20
2 x2  20  2  3  0
2 x    0
 
 3 3
3  100
 x1  50  y12  0
 x  50
1


2



x

x

100

y

0
x
 1 2
 2  50
2

 
2
 x1  x2  x3  150  y3  0
 x3  50

Đây là điểm
dừng, cần
kiểm tra điều
kiện đủ để
biết về cực
trị


Tính ma trận Δ như slide 6:

17

L  x, y, λ    x12  x22  x32  40 x1  20 x2   1   x1  50  y12 

2   x1  x2  100  y22   3   x1  x2  x3  150  y32 
g1  x1 , x2 , x3    x1  50
g 2  x1 , x2 , x3    x1  x2  100
g3  x1 , x2 , x3    x1  x2  x3  150

2 L
2 L
2 L
 0 L23 
L11  2  2 L12 
0
x1x2
x1
x2 x3

g1
g11 
 1
x1

2 L
2 L
2 L
 0 L31 
L22  2  2 L13 
0

x1x3
x2
x3x1

g1
g12 
0
x2

2 L
2 L
2 L
L33  2  2 L21 
 0 L32 
0
x3
x2 x1
x3x2

g1
g13 
0
x3


g3
g 2
 1
g 21 
 1 g31 

x1
x1
g3
g 2
 1
g 22 
 1 g32 
x2
x2
g 2
g 23 
0
x3

g3
g33 
 1
x3

 x1  50 
 
x   x2   50 
 x3  50 
 

18

 y1  0 
   


y   y2    0 
1   20 
 y3  0 
 
   

λ  2    20 
3  100 
 

0
0
0
0
0
1 1 1
2  z
 0

2

z
0
0
0
0
0

1


1


 0
0
2 z
0
0
0
0 0 1


0
0
0
40

z
0
0
0
0
0


 0
0
0
0
40  z

0
0 0 0


0
0
0
0
0
200

z
0
0
0


 1
0
0
0
0
0
0 0 0


1
0
0
0

0
0 0 0
 1
 1
1
1
0
0
0
0 0 0 


Tính
định
thức
của
ma
trận
này


Tính định thức của ma trận Δ
 40    0 
2
det       40  z   200  z   0  Z   40     0 
 200    0 

19

Cực tiểu tại

ràng buộc

Kết luận: Cực tiểu của hàm f = 10500 với x1*=50, x2*=50, x3*= 50


20

- Phương trình (3) để đảm bảo các điều kiện gj(x) ≤ 0
được thỏa mãn
- Phương trình (2) cho ra kết quả hoặc là λj = 0, hoặc là
yj = 0
- Nếu λj = 0 thì có nghĩa là ràng buộc thứ j không cần
dùng tới và nó có thể được bỏ qua
- Nếu yj = 0 thì có nghĩa là ràng buộc gj(x)=0 hoạt động
tại ngay điểm cực trị
 Ta có thể chia các ràng buộc ra 2 tập hợp con:
 Tập hợp j ϵ J1 khi yj = 0 (ràng buộc hoạt động ngay
điểm cực trị, λj ≠ 0 )
 Tập hợp j ϵ J2 khi λj = 0 (ràng buộc được bỏ qua)


21

f
1   x  
xi

g j

p



j 1
 jJ1 

j

xi

 x   0;

 g j  x   0;
 2  
2
 g j  x   y j  0;

i  1..n

 4
 5
 6

j  J1
j  J2

Hệ phương trình (4)÷(6) thể hiện n+p+(m-p) = n+m phương
trình với n+m ẩn số: xi (i=1..n), λj (jϵJ1 hay j=1..p), yj (jϵJ2 hay
j=(p+1)..(m-p)). Với p – số ràng buộc làm việc.

Giả sử p ràng buộc đầu tiên làm việc, phương trình (4):
g1
g 2
f

x


x


  1   2 x 
xi
xi
xi
 f  1g1  2g 2 

 p

g p
xi

  p g p

x;

i  1..n

7

Trong đó:

gi x1 
f x1 
g x 
f x 
2
i
2


f 
; g j 








f xn 
gi xn 

22

j  1.. p

Phương trình (7) có ý nghĩa rằng: giá trị đối của độ dốc của hàm

mục tiêu f có liên hệ tuyến tính với độ dốc của các ràng buộc
làm việc tại điểm cực trị.


Hướng khả thi (Feasible Direction)

23

Véctơ S được gọi là hướng khả thi từ điểm x nếu có thể tiến một
bước nhỏ dọc theo S mà không rời khỏi ngay lập tức khỏi vùng
hợp lệ. Với các bài toán có các bề mặt ràng buộc đủ mịn ta có
điều kiện sau:
T

S g j  0;

Hàm ràng
buộc lồi

j  1.. p

Hàm ràng buộc
tuyến tính

Góc = 90°

Hàm ràng
buộc lõm

Hàm

lõm

Góc > 90°
Góc > 90°
Góc > 90°
Tích vô hướng < 0 thì góc giữa 2 véc tơ là góc tù


24
Xét trường hợp chỉ có 2 ràng buộc làm việc  p = 2
 7   f  1g1  2g 2
 7
Gọi S là hướng khả thi tại điểm cực trị. Nhân cả 2 vế của (7’) cho
ST, Ta có: ST f   ST g   ST g
8
1

1

2

2

 

Do S là hướng khả thi nên nó phải thỏa mãn các điều kiện:

ST g1  0
 T
S g 2  0

Nếu ST f  0 Giá trị hàm f tăng khi di chuyển dọc theo hướng S
Nếu ST f  0 Giá trị hàm f giảm khi di chuyển dọc theo hướng S
Tìm cực tiểu (min)  λj ≥ 0 (j=1..p)
Tìm cực đại (max)  λj ≤ 0 (j=1..p)

Ý nghĩa của điều này giúp chúng ta tìm thẳng cực tiểu hay
cực đại bằng cách chọn thông qua dấu của các λj


25

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker
m
g j
 L
f
 x     j  x   0; i  1..n
  x, λ  
xi
xi
j 1
 xi
 g  0;
j  1..m
 j j
 g  0;
j  1..m
j

 j  0;

j  1..m


m
g j
 L
f
 x     j  x   0; i  1..n
  x, λ  
xi
xi
j 1
 xi
 g  0;
j  1..m
 j j
 g  0;
j  1..m
j

 j  0;
j  1..m


8
9
10 
11
8
9

10 
12 