Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hoàng Mạng Dũng

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.1 MA TRẬN
Lý thuyết ma trận thực sự ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dù
nhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từ
hàng trăm năm nay

3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN
Một bảng số có m hàng n cột

 a11
a
A   21
 
a
 m1

Các ma trận vuông xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong các
công trình về dạng toàn phương và về các phép thế tuyến tính
Phép nhân hai ma trận vuông cấp 3 được Gauss (Gau-xơ) đưa
ra vào năm 1801
Tên gọi ma trận (Matrix) được nhà toán học Anh Sylvester
(Synvét) đưa ra năm 1850
Cayley (Kê-li) là người đầu tiên mô tả một cách tổng quát các
phép tính với các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858)
Peano là người đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến
tính qua các ma trận. Còn Gauss là người đầu tiên sử dụng ma
trận để nghiên cứu các dạng toàn phương
10/07/2017

1

aij là phần tử ở hàng thứ i và cột j
Ma trận A được gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu các
phần tử aij là các số nguyên (số thực, số phức)
Nếu không chỉ rõ cụ thể thì ta xem A là ma trận thực
10/07/2017

là một ma trận cỡ 23

3

10/07/2017

Ví dụ 3.5 Tìm x, y, z và w thỏa mãn

3.1.2.1. Phép cộng ma trận

 aij 
 b 
 cij  , cij  aij  bij ; i  1, m ; j  1, n
mn  ij  mn
mn

x  y  6
3 x 3 y   x  4
3z 3w   z  w  1 2w  3 

 



3.1.2.2. Phép nhân một số với ma trận

Ví dụ 3.4

10/07/2017

  kaij 

6  4
x  y
x y   x
3


3 
 z w  1 2w  z  w
Thực hiện phép cộng ma trận và nhân một số với ma trận ta được

 2  3 0   0 8 5   2 5 5




9 4  1  3 1 7 6 5 6

mn

4

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

k  aij 

2

Ví dụ 3.2

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Ví dụ 3.3

...

x  y  6
3 x 3 y   x  4
3z 3w   z  w  1 2w  3 

 

3 x  x  4
2 x  4
x  2
3 y  x  y  6
2 y  x  6
y  4







3 z  z  w  1
2 z  w  1
z  1
3w  2w  3
 w  3
 w  3

Mm  n
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu M n

10/07/2017



m  m '

 aij 
 bij 
 n  n '
mn
m 'n '

aij  bij , i  1, m ; j  1, n

mn

Khi m  n ta nói A là ma trận vuông cấp n



5 


am 2

a1n 
a2 n 

 
amn 

Hai ma trận bằng nhau khi cùng cỡ và có các phần tử tương ứng
đều bằng nhau

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m  n được ký hiệu

 0 1

 3 2

...

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Ma trận A cỡ m  n có thể được viết tắt dạng

Ví dụ 3.1

...

được gọi là một ma trận cỡ m  n

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

A   aij 

a12
a22

3 x  x  4
2 x  4
x  2
3 y  x  y  6
2 y  x  6
y  4






3 z  z  w  1
2 z  w  1
z  1
3w  2w  3

 w  3
 w  3

mn

1 1 2  1 0  1 4  1 2 0



2  3  8 10 3 2  4 5
5

10/07/2017

6

1


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực
k, h với mọi ma trận cỡ m  n

Tính chất 3.1
Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ m  n

5) k ( A  B)  kA  kB

1) A  ( B  C )  ( A  B)  C

6) (k  h) A  kA  hA

2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và ký
hiệu 0 thỏa mãn

7)

A0  0 A  A



3) A  ( A)  0 , trong đó  A   a ij
4)

8)

k (hA)  (kh) A
1A  A

Với 8 tính chất này tập

mn

A B  B  A

Hệ các ma trận

10/07/2017

7

ij



i  1, m ; j  1, n là một cơ sở của

Mm  n
8

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.1.2.3 Phép nhân ma trận

Ví dụ 3.6
Ma trận cỡ 2  3 bất kỳ có thể biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến
tính các ma trận Eij

0 10  0 0 0 0a130 1 
 a11 a12 a13   a111 0 0 0 0  0 a12
a
  a11 
   a12 
    a13 
 
 21 a22 a23   0 0 0 0 0 0  0 00 00  0 0 0 0 0 0 0 

cij




aip  


 

pn

là ma trận cỡ m  n được ký hiệu và định nghĩa bởi AB  cij 

mn

k 1

Phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của ma trận tích AB bằng tổng
của tích các phần tử hàng thứ i của ma trận A với các phần tử
tương ứng cột thứ j của ma trận B
10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

 
 
 
  ai1 ai 2
 
 

 

và B  bij 
 

Tồn tại ma trận tích AB khi số cột của ma trận A bằng số hàng
của ma trận B

9

j

m p

cij   aik bkj víi mäi i  1, m ; j  1, n

 a11E11  a12 E12  a13 E13  a21E21  a22 E22  a23E23

10/07/2017

Tích hai ma trận A   aij 
 

p

 00 00 00  0 0 00  0 0 0 0 0 0 0 
 a21 
 
  a22 
  a23 

 a211 00 00  0 a022 10  0 0 0 0a230 1 

10

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

b1 j
b2 j

bpj









Ví dụ 3.7

11

 1 3
 9 15
 1  2 3 

  1 0  

 7 17

 1 2 5 
 2 4

 2
 3 1 4 2 
 

Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tích
các phần tử hàng thứ i của A với các phần tử tương ứng cột
thứ j của B

10/07/2017

E

10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC




i 




M m  n là một không gian véc tơ

Ký hiệu Eij là ma trận cỡ m  n có các phần tử đều bằng 0 ngoại

trừ phần tử ở hàng i cột j bằng 1

 1 3
 1 0   x y  

  z w
 2 4 
10/07/2017

 2 8 4 
 3 12 6 



y  3w 
 x  3z
 x
y 


 2 x  4 z 2 y  4 w
12

2


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chẳng hạn, xét

Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi số
cột của A bằng số hàng của B
Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BA
nếu số cột của B không bằng số hàng của A
Khi A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB và
BA. Mặc dầu vậy chưa chắc có đẳng thức AB  BA
Nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán

10/07/2017

13

 1
2

A 0


 0

0 0  0
3 0  0

0 0  0
    
0 0 0 0 

 1 2
11 4


AB   0 0



 0 0

1
3

B  0


0

2 0  0
0 0  0

0 0  0
    
0 0 0 0 

0  0
3
 3
0  0


0  0   BA   0


   

 0
0 0 0 

6 0  0
0 0  0

0 0  0
    
0 0 0 0 

10/07/2017

14

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Tính chất 3.2
Giả sử A, B, C là các ma trận với số cột số hàng thích hợp để
các phép toán sau xác định được, khi đó ta có các đẳng thức:

5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận In vuông cấp n
có các phần tử trên đường chéo bằng 1 và các phần tử ở vị
trí khác đều bằng 0

1) A(BC)  (AB)C tính kết hợp
2) A(B  C)  AB  AC tính phân phối bên trái phép nhân ma

trận với phép cộng
3) (B  C)A  BA  CA tính phân phối bên phải phép nhân
ma trận với phép cộng
4) Với mọi k  , k(AB)  (kA)B  A(kB)

10/07/2017

Khi đó với mọi ma trận A cỡ m  n ta có

I m A  A  AI n
Ma trận In được gọi là ma trận đơn vị cấp n

15

10/07/2017

16

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Chẳng hạn
Xét ma trận A cỡ 2  3

a a
AI3   11 12
 a21 a22

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Khác với phép nhân các số: tích hai số khác 0 là một số khác 0.

a 

a a
A   11 12 13 
 a21 a22 a23 

Ta có thể tìm được hai ma trận khác 0 có tích là ma trận 0

1 0 0 
a13  
a 
a a
0 1 0    11 12 13   A
a23  
  a21 a22 a23 
0 0 1 

1 0  a11 a12 a13   a11 a12 a13 
I2 A  

A

0 1   a21 a22 a23   a21 a22 a23 

10/07/2017

17

Chẳng hạn

1
2


A  0


 0

2 0  0
4 0  0

0 0  0
    
0 0 0 0 

A, B  0 nhưng
10/07/2017

 2 6
 1 3

B0 0



 0 0

0  0
0  0

0  0
   

0 0 0 

AB  0
18

3


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.1.2.4 Đa thức ma trận

3.1.2.5 Ma trận chuyển vị

Giả sử p(t)  a0  a1t    ak t k là một đa thức bậc k
Với mọi ma trận A vuông cấp n, ta định nghĩa đa thức của ma
trận A như sau:

p( A)  a0 I  a1 A    ak Ak
Ví dụ 3.8

Cho ma trận A cỡ m  n, nếu ta đổi các hàng của ma trận A
thành các cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma
trận mới cỡ n  m, gọi là ma trận chuyển vị của ma trận trên A,
ký hiệu A t

At   cij  , cij  a ji ; i  1, n j  1, m
nm

1 2 
3
 và đa thức p(t )  5  4t  2t
 4 3

Cho ma trận A  

Ví dụ 3.9

 4 1
 4 2 5
A   2 0   At  



 1 0 9
 5 9 

3

1 0 
1 2 
1 2   13 52 
p( A)  5 
  4  4 3  2  4 3  104 117 
0 1 




 

10/07/2017

19

10/07/2017

20

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ

Tính chất 3.3
1) ( A  B)  A  B
t

t

2) (kA) t  kA t
3) ( AB) t  B t A t

t

aij

 



 









 

aij


 
A
At

Nếu A  At thì A được gọi là ma trận đối xứng (A là ma trận
vuông có các phần tử đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất)

A   At thì A được gọi là phản đối xứng (A là ma trận vuông có
các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các
phần tử trên đường chéo thứ nhất bằng 0)
10/07/2017

21

3.1.3.1 Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ
Giả sử V là không gian n chiều với một cơ sở B  {e1, … , en}

{v1, … , vm} là một hệ véc tơ của V có tọa độ trong cơ sở B:
n

v j   aij ei , j  1,..., m
i 1

gọi là ma trận của hệ véc tơ {v1, … , vm} trong cơ sở B.
Ngược lại, với ma trận A cỡ n  m cho trước thì ta có hệ m véc tơ
mà toạ độ của nó trong cơ sở B là các cột của A
10/07/2017

3.1.3.2 Ma trận chuyển cơ sở
Giả sử B  {e1, … , en}, B  {e 1, … , e n} là hai cơ sở của V

 x1 

 u  B  ( x1,..., xn ) u B    

Xét hệ véc tơ

10/07/2017

B  trong cơ sở B
B sang cơ sở B 

Ma trận của hệ véc tơ

chuyển từ cơ sở

 xn 

v1  (4,1,3, 2), v2  (1,2, 3,2), v3  ( x, y, z, t )

Có ma trận trong cơ sở chính tắc

22

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Nói riêng, nếu u  x1e1  ...  xnen

Ví dụ 3.10

nm

có các cột là tọa độ của các véc tơ {v1, … , vm} trong cơ sở B

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

ta ký hiệu

A   aij 

Khi đó ma trận

 4 1 x
 1 2 y



 3 3 z 
 2 2 t 



Nghĩa là nếu e ' j 

n

 tij ei , j  1,..., n
i 1

được gọi là ma trận

thì T  tij 
 

là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B 

B
B'

n
n
n

 n
 n  n

u  V : u   xi ei   x ' j e ' j   x ' j   tij ei      tij x ' j  ei




i 1
j 1
j 1
 i 1
 i 1  j 1


Ta có công thức đổi tọa độ

B
 xi n1  tij  nn  x ' j  n1 u B  tij  B ' u B '
23

10/07/2017

24

4


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Nếu A, A  lần lượt là ma trận của {v1, … , vn} trong cơ sở B và

B  thì

B e1  (1, 0), e2  (0, 1)

Ví dụ 3.11
Hai hệ véc tơ

 x  1 4   4 y  3x 
 y   1 3  x  y 
  



do đó

B e1, e2, B ’  e’1, e’2

với e1  (1, 0) , e2  (0, 1) và e1  (1,1) , e2  (4,3)
là hai cơ sở của không gian véc tơ 2 (Xem ví dụ 2.16 Chương 2)

10/07/2017

10/07/2017

26

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN

Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ
cấp lên các cột hoặc các hàng để đưa ma trận về dạng hình bậc
thang, từ đó suy ra hạng của ma trận. Ví dụ về tính theo cột:

3.1.4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp
Ta gọi hạng của hệ các véc tơ cột của A là hạng của ma trận A
ký hiệu r(A)
Hạng r(S) của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của
một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S hay là chiều của spanS
(xem Định lý 2.16).
Vì vậy khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các
phép biến đổi sơ cấp, thì spanS không đổi do đó hạng của hệ
không thay đổi:
1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ
2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0

Ví dụ 3.12

 1 3 4 2  3c1  c2  c2
A   2 1 1 4  4c1  c3  c3
 1 2 1 2  2c1  c4  c4
c1  c1
c2  c2
c2  c3  c3

3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ
khác của hệ

10/07/2017

27

Vậy r(A)  2

28

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

 1 2
 a 1
B
1 a
1 2


Ví dụ về biến đổi sơ cấp theo hàng:

Ví dụ 3.12

10/07/2017

 1 0 0 0
 2 7 0 0


 1 5 0 0 

 1 0 0 0

 2 7 7 0 


 1 5 5 0 

10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

 1 3 4 2  2h1  h2  h2
A   2 1 1 4  h1  h3  h3
 1 2 1 2 

 3 4 

 1 1

 4 y  3x   3 4   x 
 x  y    1 1  y 

 
 

do đó

25

 u  B '  (4 y  3x, x  y)

Ma trận chuyển từ cơ sở B  sang cơ sở B là T '  

 u B  ( x, y);  u B '  (4 y  3x, x  y)

1 3 4 2 
0 7 7 0 


0 0 0 0 

1 4 

1 3 

 u  B '  (4 y  3x, x  y)   e1 B '  (3,1);  e2 B '  (4, 1)

u  ( x, y)  xe1  ye2  (4 y  3x)e '1  ( x  y)e '2

5
h2  h3  h3
7

B’ e1  (1,1), e2  (4,3)}

Ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B  là T  

B
A  tij  A '
B'

1

1

0
2


1 3 4 2 
0 7 7 0 


0 5 5 0 

29

1  c1  c4 1 1 1 1 2 
c1  c1
c5 
c
1 1 1 cc2 
1 1 1 a 1 c1c  cc2 
 3  c1 
 1 3  c23
c4
0 1 1  c4  c2  0 1 1 1 a  c21c cc4 
c5  c3
1 5  c5



2 1 1 

 2 1 1 1 2 

0 0 0
0 2 a1 3 

1 1 1 a
1 1 3 2 
0

1 0
1 2

0 1
 2 1


Vậy r(A)  2

1 1

10/07/2017

1
c1  c1
1
c2  c3
c3  c2

 ( a  3) c2  ( a  1) c3  2c4  c4  0
(3  2 a ) c2  3c3  2c5  c5 

0 
0 

1 1
0
0 

 2 1 1 2  2a 2  2a 

0
0

1
0
0
1 2  2a 0 
0

0

0

0

Vậy

0

0

2 0

0

0

4 nÕu a  1
r ( B)  
3 nÕu a  1
30

5


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.2 ĐỊNH THỨC
 Định thức của ma trận vuông cấp 2 bằng tích đường chéo
thứ nhất trừ tích đường chéo thứ hai

a11
a21

a12
 a11a22  a12 a21
a22
 Định thức của ma trận vuông cấp n tổng quát được xét trong

chương này
 Ma trận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và hầu
như mọi người đều cho rằng khái niệm định thức phải ra đời sau
khái niệm ma trận, nhưng sự thực ngược lại
 Định thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trình
tuyến tính mà việc làm này đã có một lịch sử lâu đời trước đó
 Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra
vào năm 1693 khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính
10/07/2017

31

 Định thức được tiếp tục phát triển và nghiên cứu qua các
công trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Jacobi (ia-cô-bi)
(Đức), Laplace (Pháp), Vandermonde (Vănđécmông) (Hà Lan) ...
 Cauchy (Cô-si) (Pháp) là người đầu tiên nghiên cứu khái niệm
định thức một cách hệ thống
 Ngoài ứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức
còn được sử dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trận
như: ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, tìm giá trị riêng...
 Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ
 Định thức Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số của
tích phân nhiều lớp
 Định thức Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc
lập tuyến tính của các nghiệm của phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất
10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

32

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC

ax  by  c
Khi giải hệ phương trình tuyến tính 


 a ' x  b' y  c '

ta tính các định thức

D

a

b

a ' b'

 ab'ba ' Dx 

c

b

c ' b'

 cb'bc ' Dy 

Như vậy định thức của ma trận vuông cấp 2:

A

a11

a12

a 21

a 22

a

c

 ac'ca'

a' c'

 a11
A
a 21

a12 

a 22 

 a11a 22  a12 a 21

10/07/2017

Đó là định thức của ma trận vuông cấp n

33

10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

34

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.2.2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐỊNH THỨC

Ví dụ 3.14

2 5 x
3 y 4  2. y.6  5.4.z  x.3.1  x. y.z  5.3.6  2.4.1
z 1 6  12 y  20 z  3x  xyz  90  8
 3x  12 y  20 z  xyz  98

10/07/2017

35

10/07/2017

36

6


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Tương tự

Ví dụ 3.15
Tính định thức

a11

a12

a13

...

a 22

a 23

... a 2 n

a 33

... a 3n

Dn 

a1n



a11
a21 a22
D 'n  a31 a32


an1 an 2



Ví dụ 3.16

2

a nn

Dn  a11...ann
10/07/2017

37

 a11... ann

a33
 
an3

a

b

c

0 7

d

e

0

0

1

f

0

0

0

3

... ann

 2  (7)  (1)  3  42

10/07/2017

38

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Định thức của ma trận A  [ aij ]nn của hệ véc tơ {v1, … , vn}

a11

a12

...

a1n 1

trong cơ sở

a1n

DB v1,..., vn   det A

 (1) n ( n 1) 2 an1...ak ,n k ...a1n

Ví dụ 3.19

an1
Ví dụ 3.18

Hệ véc tơ v1  (2,4,1), v2  (3,6, 2), v3  (1,5,2)

có ma trận trong cơ sở chính tắc B cùa 3 là

4 2 x
3

y

0  (1)

z

0

0

32
2

 2 3 1
A  4 6 5 


1 2 2 

xyz   xyz

10/07/2017

39

DB v1, v2 , v3  det A  49

40

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng

3.2.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC

có hàng thứ k là tổ hợp tuyến tính của
Ma trận C  cij 
  nn

1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu

aij nÕu i  k , m

A   aij  , A '   a 'ij  , a 'ij  akj nÕu i  m
nn
nn

amj nÕu i  k

Vậy

10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

thì

B của không gian véc tơ V cũng được gọi là định

thức của hệ véc tơ {v1, … , vn} và ký hiệu DB{v1, … , vn}. Vậy

a21 a22 ... a2 n 1
 
D "'n  



Đổi chỗ
hai hàng
m và k
cho nhau

hàng thứ k của A   aij 
Nghĩa là

det A '   det A

thì

và B  bij 
nn
  nn
cij  aij  bij nÕu i  k

ckj   akj   bkj ; víi mäi j  1,..., n.

det C   det A   det B

Ví dụ 3.21
Ví dụ 3.20

a

b

c

a'

b'

c'   a'

a " b" c"
10/07/2017

a " b" c"
a

b'

c'

b

c

a

b

c

a'

b'

c'

 a1   a2  b1   b2
41

10/07/2017

 c1   c2

a

b

c

  a' b' c'   a'

a

b

b'

c'

a2 b2

c2

a1 b1

c
c1

42

7


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó

3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì
định thức bằng 0
Ví dụ 3.22

a

b

c

a

a'

b'

c '  k a ' b ' c '  k a ' b ' c '

ka kb kc

b

a

b

c

a

c

b

a

det At  det A

c

b

Ví dụ 3.23

c

a

b

c

a

b

c

a'

b'

c'

 a'

b'

c'  a' b' c'   a' b' c'

a "  a   a ' b "  b   b '

c "  c   c '

a " b"

c"

b

a

b

c

a

c

b

c

b'

c '  b b ' b"

a " b" c"

4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng
khác thì định thức không thay đổi
a

a
a'

b

a' b'

10/07/2017

c
c'

43

a a ' a"
c

c ' c"

6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng
thì cũng đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng
minh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4)
suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột
khác thì định thức không thay đổi
10/07/2017

44

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

7) Định thức của mọi hệ n véc tơ phụ thuộc tuyến tính của không
gian véc tơ n chiều đều bằng 0
Nếu hệ véc tơ v1,..., vn  phụ thuộc tuyến tính thì có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của
các véc tơ còn lại. Chẳng hạn vn  1v1  2v2    n 1vn 1

 det A  DB v1,..., vn 1, vn   DB v1,..., vn 1,1v1   2v2     n 1vn 1

Tách cột cuối thành tổng của n  1 định thức ta được

det A  DB v1,..., vn 1,1v1    DB v1,..., vn 1, n 1vn 1  0    0  0

8) Định thức của một tích bằng tích các định thức

det AB  det A det B

3.2.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC
3.2.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột
Cho ma trận A  [ aij ]nn
Ký hiệu Mij là định thức của ma trận cấp n  1 có được bằng
cách xoá hàng i cột j của ma trận A

a11

a12


... a1 j


a1n





ai1

ai 2

...

aij

ain











anj

ann

an1 an 2

...


Hàng i

Aij  (1)i  j M ij

được gọi là phần bù đại số của aij

Cột j
10/07/2017

45

10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Công thức khai triển định thức của A theo cột thứ j

Công thức khai triển định thức của A theo hàng thứ i

det A  a1 j A1 j  ...  anj Anj
a11

a12

... a1 j

a1n

a11

a12

...




1 j a
ain  a1 j ( 1)
i1









ai 2

...

aij

ain









ai1

ai 2

...

aij





an1 an 2

a1 j

















anj

ann

an1

an 2

...

anj

ann

 ...

a11

a12











ai 2

...

aij

ain





an1 an 2
10/07/2017

det A  ai1 Ai1  ...  ain Ain
Nhận xét 3.5
Công thức khai triển theo cột thứ j và công thức khai triển theo
hàng thứ i (trong đó việc chọn hàng thứ i và cột thứ j là tùy ý) cho
phép tính định thức cấp n theo tổng các số hạng dạng aijAij. Nếu
ở hàng thứ i hoặc cột j có số hạng aij  0 thì aijAij  0. Vì vậy để
tính định thức ta thức hiện các bước sau:

a1n

...

n j a
 anj ( 1)
i1

46

... a1 j

a1n







...

anj

ann

Chọn hàng i hoặc cột j có nhiều phần tử bằng 0 hoặc dễ triệt tiêu
Thực hiện các phép biến đổi để triệt tiêu các phần tử trên hàng
(hoặc cột) đã chọn, cuối cùng trên hàng hoặc cột này chỉ có một
phần tử khác 0
Khai triển theo hàng hoặc cột đã triệt tiêu
47

10/07/2017

48

8


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.26

D

1

2

3

4

1

0

1

2

3 1 1

0

1

5

2

0

 c1  c3  c3
2 c1  c4  c4



1

2

2

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

1

2

0

0

D   1 3 5  2
3 9

2

3 5
3 9

 (2)(3)

1 5
1 9

Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận
vuông cùng cấp B sao cho AB  BA  I

1 7

Khai triển theo hàng thứ 2 ta được
2 2
   
   
D  (1) 21  1  1 4
   
2 1
   
Tiếp tục triệt tiêu hàng thứ nhất của định thức trên ta có

2

3.2.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

2

1 0 0
0
3 1 4 6

Phép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B ở định nghĩa
trên nếu tồn tại thì duy nhất, ta gọi ma trận này là ma trận
nghịch đảo của A, ký hiệu A1

2
6

Điều kiện cần và đủ để ma trận A tồn tại ma trận nghịch đảo là

7

Ma trận nghịch đảo A1 của ma trận A có dạng

 6(9  5)  24

B   Aij 

49

Hàng k

Hàng i

Hàng k

Hàng i























a1n Khai triển theo hàng thứ k
akn
  ak1 Ak1  ...  akn Akn  det A
ain
ann
a1n Khai triển theo hàng thứ k

ain
  ai1 Ak1  ...  ain Akn  0
ain
ann
51

50

det A nÕu i  k
ai1 Ak1  ...  ain Akn  
 ABt  (det A) I
nÕu i  k
0
1
 1

 A
Bt   I  A1 
Bt
det A
 det A 
a b 
Ma trận A  
 vuông cấp 2 với định thức A  ad - bc  0 có
c d 
ma trận nghịch đảo là

t

A1 

Ví dụ 3.31

A11  (1)11
A21  (1) 2 1
A31  (1) 31

A1 

5
0
2
0
2
5

10/07/2017

52

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

2 5 1
A  7 3 2 


 4 1 3 

Ví dụ 3.33

5

 5

0
2
0
2

2
1

5

 40 16 9   40 16 9 
 40 13 5
1 
16 5
2     13 5
3    13 5 3


 

1 
3
1 
 9
2
1   5 2 1
 5

10/07/2017

1  d c 
1  d b 

ad  bc  b a 
ad  bc  c a 

5 7 
1  9 7 
1
A
 có ma trận nghịch đảo A  24  3 5 
3 9 



CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

1 2 3


A  2 5 3 có det A  1


1 0 8
2
3
2 3

1 3
 40 A12  (1)1 2
 13 A13  (1)
1
8
1 8
3
1 3
1
 16 A22  (1) 2  2
5
A23  (1) 2 3
8
1 8
1
1 3
1
3
3 2
 3 A33  (1) 33
 9 A32  (1)
2 3
2
3
t

được gọi là ma trận phụ hợp của A

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

10/07/2017

Ví dụ 3.32

1
Bt
det A

10/07/2017

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

a12
ak 2

ai 2
an 2
a12
ai 2

ai 2
an 2

nn

A1 

Aij là phần bù đại số của phần tử aij của ma trận A  [aij]nn

10/07/2017

a11
ak1

ai1
an1
a11
ai1

ai1
an1

det A det A1  det AA1  det I  1  det A  0

det A  0

53

3
1
5
A21  (1) 21
1
5
A31  (1)31
3
A11  (1)11

có

2
7
 7, A12  (1)1 2
3
4
1
2 2
 14, A22  (1)
3
1
2
 7, A32  (1)32
2
7

det A  56
2
7
 13, A13  (1)13
3
4
2 1
23 2
 2, A23  (1)
4 3
4
1
33 2 5
 3, A33  (1)
2

7 3

3
 5
1
5
 18
1
 29

t

A1 

10/07/2017

 7 13 5 
 7 14 7 
1 
1
14 2
18     13 2
3 



56
56 
3 29 
 7

 5 18 29 
54

9


CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Tìm ma trận nghịch đảo theo phƣơng pháp Gauss-Jordan

Ví dụ 3.34

Để tìm ma trận nghịch đảo A1 ta thực hiện các bước sau:
1) Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A:

1 2 31 0 0

A|I

2) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng
của A | I để đưa ma trận A ở vế trái về ma trận đơn vị

1 2

A I  ..........  I A1

3 h3  h2  h2
h3  h3

55

6

5 3
2 1

Ngược lại, giả sử hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính, ta chứng
minh DB{v1, ... , vn}  0
Vậy hệ {v1, ... , vn} trong không gian véc tơ n chiều là độc lập
tuyến tính khi và chỉ khi DB{v1, ... , vn}  0

B'

Ta cũng chứng minh được nếu T  tij  là ma trận chuyển từ cơ
B
là T

1

57

2 h2  h1  h1
h2  h2
h3  h3

1 0 0 40 16
0 1 0 13
0 0 1 5

9

5 3
2 1

Hệ quả 3.13

Giả sử A là một ma trận cỡ m  n thì

r ( A )  r (At )  min(m , n)
Ví dụ 3.35

 2 1 2 3 
A   2 9 4 7 


 4 3 1 1

2

1 2

2

1

2 9 4  2 9
4 3

1

3
7 0

4 3 1

Vậy r ( A)  2

10/07/2017

58

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC
Ví dụ 3.37

2 1 0 4
 4 2 1 7 

B
 3 1 1 4 
 1 4 3 4 



Tìm hạng của ma trận

A  (a  3)(a  1) 3

 a1 11 113 111 1 1 

 1 a 11 1 3 1 1 
1 1 1 1

A
A  A  

 11 11 a11 111 3 1 

 1 1 1 a 

 1 1  11 11 1 3

 Khi a  3, a  1 thì r ( A)  4;

2

1

0

4 2

1 1

3

1

1

 Khi a 1

 r(A) 1
3 1 1
1 1 1
1 0 0
 Khi a  3, 1 3 1  1 3 1  1 4 0  16
1 1 3 1 1 3 1 0 4

Vậy r(B)  3
10/07/2017

0

Giả sử A  [ aij ] là một ma trận cỡ m  n. Nếu có định thức con
cấp p khác 0 và mọi định thức con cấp p  1 bao quanh nó đều
bằng 0 thì r(A)  p

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Định thức cấp 4 duy nhất | B |  0

0

56

2 1
 20
2 9

10/07/2017

Bao định thức này bởi định thức cấp 3

3 1

0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1

10/07/2017

B'
B
T  tij 
 t 'ij   T 1
B
B'

1 0
1
2 1

0 0

Định lý 3.12

Định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng 0. Do đó nếu
định thức DB{v1, ... , vn}  0 thì hệ {v1, ... , vn} độc lập tuyến tính

2 1

 0 nhưng
4 2

3

3 1

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.2.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC

Ví dụ 3.36

1 2

h1  h1

0 1 0 13
0 0 1 5

2

0 1 3 2 1 0
0 2 5 1 0 1

h2  h2
 h3  h3

1 2 0 14

CHƢƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

B sang B ' thì ma trận chuyển từ cơ sở B ' sang B

0 0

0 1 3 2 1 0
2 h2  h3  h3 0
0 1 5 2 1
h2  h2

3 h3  h1  h1

10/07/2017

3 1

1

h1h1
2 h1  h2 h2
 h1  h3 h3

2 5 30 1 0
1 0 80 0 1
h1  h1

3) Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A1

sở

 1 2 3
A   2 5 3


1 0 8

Tìm A1 với

 r ( A)  3
59

10/07/2017

BÀI TẬP
60

10