Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 6 - Nguyễn Văn Thùy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 3 trang )
Hàm hai biến
Lecture 6
Nguyen Van Thuy
HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa. Hàm 2 biến là một quy tắc gán mỗi
cặp số thực (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 với duy nhất một số thực ký
hiệu 𝑓(𝑥, 𝑦). Tập D được gọi là miền xác định và
miền giá trị của hàm f là tập 𝑇 = *𝑓(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦)𝐷+
𝑦
Đạo hàm riêng và ứng dụng
𝐷
(𝑥, 𝑦)
𝑥
𝑧
𝑓
𝑂
𝑓(𝑥, 𝑦)
11/21/2010
Ví dụ
6-2
Ví dụ
Cho hàm số
f ( x, y )
2 xy
2
x y2
Cho hàm
𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(𝑥 + 𝑦 − 1)
2.1.2 4
2.1.0
0
b) f (1, 0) 2
2
2
1 2
5
1 02
2.0.0 0
: không xác định
c) f (0, 0) 2
0 02 0
a) Tính 𝑓(1,1)
a) f (1, 2)
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
b) Tính 𝑓(𝑒, 1)
c) Tìm và vẽ miền xác định của hàm 𝑓
Tìm và vẽ miền xác định của hàm
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2
d) Miền xác định: 𝐷 = *(𝑥, 𝑦)|(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)+
6-3
11/21/2010
Đồ thị
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-4
Đồ thị
Định nghĩa. Đồ thị của hàm 𝑓 là tập hợp
G {( x, y, z)
3
𝑓 𝑥, 𝑦 =
| z f ( x, y),( x, y) D}
𝑧
Ví dụ. Dùng Maple, vẽ đồ thị hàm số sau
𝑥2 + 𝑦2
plot3d(sqrt(x^2+y^2), x = -10 .. 10, y = -10 .. 10)
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑆
Mặt cong 𝑆
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
O
𝑦
D
𝑥
11/21/2010
(𝑥, 𝑦, 0)
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Miền xác định
6-5
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-6
1
Vẽ đồ thị
Đạo hàm riêng
Ví dụ. Vẽ đồ thị các hàm sau
2
𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
2
𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 2 + 3𝑦 2 )𝑒 −𝑥
Định nghĩa. Đạo hàm riêng của hàm 𝑓 theo
biến 𝑥 tại điểm (𝑎, 𝑏)
2 −𝑦 2
f x' (a, b) lim
h 0
𝑐) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦
Tương tự
f y' (a, b) lim
h 0
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-7
11/21/2010
Đạo hàm riêng
Khi tính
'
x
f , ta xem 𝑦 là hằng số
'
Khi tính f y , ta xem 𝑥 là hằng số
6-8
Ví dụ. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của
hàm số 𝑧 = 𝑥 𝑦
Maple
diff(x^y,x)
Tính f (1, 2), f (1, 2)
diff(x^y,y)
'
y
Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-9
11/21/2010
Đạo hàm riêng
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Ví dụ. Cho hàm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑦 2 + 2𝑥 − 1
'
x
f ( a, b h) f ( a, b)
h
Đạo hàm riêng
Nhận xét
f (a h, b) f (a, b)
h
𝑐) 𝑑𝑧 =
11/21/2010
Định nghĩa
𝑥−𝑦
𝑑𝑥 − 𝑑𝑦
𝑎) 𝑑𝑧 =
𝑥−𝑦
𝑑𝑥 − 𝑑𝑦
2(𝑥 − 𝑦)
6-10
Đạo hàm riêng cấp 2
Câu 259. Tìm vi phân cấp 1 của hàm
𝑧 = ln
Toan C1-Nguyen Van Thuy
𝑑𝑦 − 𝑑𝑥
𝑏) 𝑑𝑧 =
𝑥−𝑦
𝑏) 𝑑𝑧 =
Toan C1-Nguyen Van Thuy
𝑑𝑦 − 𝑑𝑥
2(𝑥 − 𝑦)
6-11
f xx" ( f x' )'x
f xy" ( f x' )'y
f yx" ( f y' )'x
f yy" ( f y' )'y
Câu 268. Tìm vi phân cấp hai 𝑑2 𝑧 của hàm
𝑧 = 𝑥 2𝑦3
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-12
2
GTLN-GTNN địa phương
GTLN-GTNN địa phương
'
x x0
Tìm điểm dừng
fx 0
'
f
0
y
y y0
Tính D f xx" ( x0 , y0 ) f yy" ( x0 , y0 ) ( f xy" ( x0 , y0 )) 2
Nếu 𝐷 < 0: 𝑀(𝑥0, 𝑦0) là điểm yên ngựa
Nếu 𝐷 = 0: chưa có kết luận
Nếu 𝐷 > 0
f ( x0 , y0 ) 0 : 𝑓 đạt GTNN địa phương tại 𝑀(𝑥0, 𝑦0)
f xx" ( x0 , y0 ) 0 : 𝑓 đạt GTLN địa phương tại 𝑀(𝑥0, 𝑦0)
"
xx
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-13
maximize(𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 2 + 2𝑥 + 16𝑦,location)
minimize(𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 2 + 2𝑥 + 16𝑦,location)
−7, *,*𝑥 = 1, 𝑦 = −1+, −7-+
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-15
𝑧 đạt cực đại tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2)
b)
𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và 𝐵(1, −2)
c)
d)
11/21/2010
𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑀 −1,1
c)
𝑧 đạt cực đại tại 𝑁 1, −1
d)
𝑧 đạt cực tiểu tại 𝑁 1, −1
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-14
Ví dụ. Tìm GTLN, GTNN địa phương và
điểm yên ngựa (nếu có) của các hàm số
sau
𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 3𝑥𝑦 2 − 15𝑥 − 12𝑦
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-16
Bài tập
Câu 300. Tìm cực trị của hàm 𝑧 =
𝑥 2 𝑦 + 1 − 3𝑥 + 2 với điều kiện 𝑥 + 𝑦 +
1 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
a)
b)
𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥 2 − 4𝑦 2
Cực trị có điều kiện
𝑧 đạt cực đại tại 𝑀 −1,1
GTLN-GTNN địa phương
Maple
a)
11/21/2010
GTLN-GTNN địa phương
Câu 290. Cho hàm 𝑧 = 𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 10𝑦 2 +
2𝑥 + 16𝑦. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 258 --> câu 307
𝑧 đạt cực tiểu tại 𝐴(−1,0) và đạt cực đại tại
𝐵(1, −2)
𝑧 không có cực trị
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-17
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
6-18
3
