Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến

QUY HOẠCH
TUYẾN TÍNH
HAI BIẾN + …

CHƯƠNG
5B


VÍ DỤ 1
Một xí nghiệp cần sản xuất 3 loại bánh: bánh đậu xanh,
bánh thập cẩm và bánh dẻo. Lượng nguyên liệu đường,
đậu cho một bánh mỗi loại, lượng dự trữ nguyên liệu,
tiền lãi cho một bánh mỗi loại được cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần
sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt
được cao nhất.


VÍ DỤ 1
Gọi x1,x2,x3 lần lượt là số bánh đậu xanh, bánh thập
cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất.
Điều kiện: xj ≥ 0 = 1,2,3
Tiền lãi thu được (ngàn đồng)

f  x   f  x1 , x2 , x3   3 x1  2 x2  2,5 x3
Lượng đường sử dụng và điều kiện:

0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500
Lượng đậu sử dụng và điều kiện:

0,07 x1  0,02 x3  300


VÍ DỤ 1
Vậy ta có mô hình bài toán:

f  x   f  x1 , x2 , x3   3 x1  2 x2  2,5 x3  max
0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500

0,07 x1  0,02 x3  300
 x  0 j  1, 2,3


 j
Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính 3 biến, tìm giá trị
lớn nhất của hàm mục tiêu.


VÍ DỤ 2
Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng
đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g,
130g, 10g. Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có
trong 1g thức ăn A, B, C và giá mua 1kg thức ăn mỗi loại được
cho trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng
thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức
ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu cầu dinh dưỡng mỗi
ngày.

VÍ DỤ 3
Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm là
bàn, ghế và tủ. Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất và giá
bán mỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong bảng sau:

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi
loại cần phải sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất và
tổng doanh thu đạt được cao nhất, biết rằng cơ sở có số lao động
tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất
là 40 triệu đồng và số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6.


VÍ DỤ 4
Một trại cưa các khúc gỗ thành các tấm ván. Có hai loại
ván: ván thành phẩm và ván sử dụng trong xây dựng. Giả
sử, đối với:
Ván thành phẩm cần 2 giờ để cưa và 5 giờ để bào 10m
ván
Ván xây dựng cần 3 giờ để cưa và 3 giờ để bào 10m ván
Máy cưa làm việc tối đa 8 giờ trong ngày và máy bào làm
việc tối đa 15 giờ trong ngày. Nếu lợi nhuận của 10m ván
thành phẩm là 120 (ngàn đồng) và lợi nhuận của 10m ván
xây dựng là 100 (ngàn đồng). Trong ngày, trại cưa phải
cưa bao nhiêu ván mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất.


BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT
1

f  x   c1 x1  c2 x2  ...  cn xn  min (max)

 
 2  ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn   bi  i  1, 2,.., m 
  
 0 
 3 x j  0  j  1, 2,..., n
tuy y 

(1) Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu
(2) là hệ ràng buộc chính
(3) là hệ ràng buộc dấu
(2) Và (3) gọi chung là hệ ràng buộc của bài toán


DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT
Xét bài toán QHTT dạng:
f  x   c1 x1  c2 x2  ...  cn xn  min (max)
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2

..........................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
xj  0


DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT
Đặt:
 a11 a12 ... a1n 



a
a
...
a
2n 
A   21 22
 .................... 


 am1 am 2 ... amn 

 b1 
 
b2 

b
 ... 
 
 bm 

 x1 
 
x2 

x
 ... 
 
 xn 

Ta có dạng ma trận của bài toán QHTT:
f  cT x  min  max 
 Ax  b

x  0

 c1 
 
c2 

c
 ... 
 
 cn 


BÀI TOÁN DẠNG CHÍNH TẮC:
n

f  x    cj x j  min (max)
j 1

n
 aij x j  bi (i  1,m)
 j1
x  0 (j  1,n)
 j

• Các ràng buộc

chính đều là
phương trình
• Các ẩn đều
không âm

Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài
toán dạng chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu
của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và từ
phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối
ưu của bài toán kia


BÀI TOÁN DẠNG CHUẨN TẮC
n

• Các hệ số tự do bi
không âm (bi ≥ 0)
• Trong ma trận hệ số
có đủ m vecto cột
đơn vị: e1, e2,…,em
1 
0 
e1   
 ... 
 
0 

0 
1 
e2   

 ... 
 
0 

f  x    cj x j  min (max)
j 1

 n
 aij x j  bi (i  1,m)
 j 1
x  0 (j  1,n)
 j
0 
0 
em   
 ... 
 
1 


VÍ DỤ 5
Bài toán sau có dạng chính tắc:

260 x1  120 x2  600 x3  max
2 x1  x2  3 x3  500

100 x1  40 x2  250 x3  40000

6 x1  x2
 x1 , x2 , x3  0

VÍ DỤ 6
Xét bài toán QHTT sau:

f  x   2 x1  4 x2  x3  6 x4  max
 x1  x4  x5  12
12 x  x  x  3
 1 3 6
x  x  x  x  6
 1 2 3 4
 x j  0  j  1, 2,...,6 

Bài toán trên có dạng chính tắc hay chuẩn tắc


VÍ DỤ 6
Ma trận hệ số tự do:

12 
 
b  3 
6 
 

• Ma trận hệ số A:
 1 0 0 1 1 0


A  12 0 1 0 0 1 

 1 1 1 1 0 0 


e3

• Ẩn cơ bản thứ nhất là x5.
• Ẩn cơ bản thứ 2 là x6.
• Ẩn cơ bản thứ 3 là x2.

e1 e2


CÁC LOẠI PHƯƠNG ÁN
Định nghĩa. Vec tơ ∈
thỏa tất cả các ràng buộc của
bài toán quy hoạch tuyến tính được gọi là phương án
chấp nhận được.
Định nghĩa. Phương án chấp nhận được làm cho hàm
mục tiêu có giá trị lớn nhất (nếu là bài toán max) hay nhỏ
nhất (nếu là bài toán min) thì được gọi là phương án tối
ưu (PATU).


VÍ DỤ 7
Cho bài toán QHTT:

f  x   120 x1  100 x2  max
2 x1  3x2  8

5 x1  3x2  15

 x  0, x  0
2
 1
Trong các phương án sau phương án nào là phương án
chấp nhận được.

1 
u1   
 2

 2
u2   
 2

1 
u3   
 3

 2
u4   
1 


PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN
Trong bài toán chính tắc. Xét phương án



x  x1 , x2 ,..., xn







Hệ vectơ liên kết với phương án A  A j | x j  0

Trong đó Aj là vec tơ cột thứ j trong ma trận hệ số Amn
Định nghĩa. Phương án cơ bản nếu hệ vecto liên kết với
phương án độc lập tuyến tính
Ẩn xj gọi là cơ bản nếu

>0


PACB TRONG BÀI TOÁN CHUẨN TẮC
Cho ẩn cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k, còn các ẩn không
cơ bản bằng 0, nghĩa là:

x1  0; x2  6; x3  0; x4  0; x5  12; x6  3
Ta được một phương án cơ bản x = (0,6,0,0,12,3) .
Phương án này không suy biến vì có đủ 3 thành phần dương.
Đây là phương án cơ bản ban đầu của bài toán.
Tổng quát, trong bài toán QHTT dạng chuẩn bất kì, khi cho ẩn
cơ bản thứ k bằng hệ số tự do thứ k ( k = 1,2,…,m ), còn các ẩn
không cơ bản bằng 0, ta được phương án cơ bản ban đầu của
bài toán. Nếu sắp xếp lại ta có dạng sau.
0

x   b1 , b2 ,..., bm ,0,0,...,0 


ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bước 1. Kiểm tra ràng buộc chính
• Ràng buộc dạng nhỏ hơn:
ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  bi
•
• Ta cộng thêm ẩn phụ:

ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  xn k  bi
• Ràng buộc dạng lớn hơn:

ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  bi
• Ta trừ đi ẩn phụ:

ai1 x1  ai 2 x2  ...  ain xn  xn  k  bi


ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bước 2. Kiểm tra điều kiện dấu các ẩn số
Nếu có ẩn dạng:

xi  0

ta đổi biến:

Nếu ẩn xi có dấu tùy ý ta đổi biến:

xi   xi

xi  xi  xi

Chú ý:
Các ẩn mới và các ẩn phụ đều không âm.
Hệ số của các ẩn phụ trong hàm mục tiêu là 0.
Khi tìm được PATU của bài toán dạng chính tắc ta chỉ cần
tính giá trị của các ẩn ban đầu và bỏ đi các ẩn phụ thì sẽ
được PATU của bài toán dạng tổng quát đã cho.


VÍ DỤ 8
Đưa bài toán sau về dạng chính tắc:

f  x   2 x1  4 x2  x3  min
4 x1  6 x2  3x3  12
7 x  x  3
 1 3

2 x1  3x2  5 x3  6
 x1  0, x2  0


VÍ DỤ 8
Đáp án:

f  x   2 x1  4 x2   x3  x3   min
4 x1  6 x2  3  x3  x3   x4  12

7 x1   x3  x3  x5  3


2 x1  3x2  5  x3  x3   6
 x  0, x  0, x  0, x  0
2
3
3
 1
 x4  0, x5  0



PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC (ĐỒ THỊ)
Sinh viên tham khảo thêm lý thuyết sách
College Mathematics for Busines – Raymond A. Barnett
Chương 5 phần Linear Programing
Chỉ dùng cho bài toán quy hoạch tuyến tính 2 biến


PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Xét bài toán quy hoach tuyến tính :
2

f  x    c j x j  min  max 
j 1

2

a x
ij

j 1

j

 bi