Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 8 - Nguyễn Văn Thùy

Review-Tích phân xác định

Lecture 8
Nguyen Van Thuy


TÍCH PHÂN

'

x

  f (t )dt   f ( x)
a


Tính chất
'

 v( x)

  f (t )dt   f [v( x)].v '( x)  f [u ( x)].u '( x)


 u ( x)


Tích phân suy rộng



Phương trình vi phân

Công thức Newton-Leibniz
b

 f ( x)dx  F (b)  F (a) : F ( x)

b
a

a

12/16/2010

Review

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-2

Review

S  {( x, y ) | a  x  b, g ( x)  y  f ( x)}
2

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-3

12/16/2010

Tích phân suy rộng loại 1
Định nghĩa

t

a

+∞



𝑡→+∞

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-4

Tích phân suy rộng loại 1




Ví dụ (452). Tính



dx
1 x2
0

I1  

𝑡

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎

a

a

a



Vy  2  xf ( x)dx

Vx    [ f ( x)] dx

A( S )   [ f ( x)  g ( x)]dx
12/16/2010

b

b

b

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn
thì tích phân suy rộng ở vế trái được gọi
là hội tụ. Ngược lại, tích phân suy rộng
được gọi là phân kỳ
12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-5

12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-6

1


Tích phân suy rộng loại 1


Tích phân suy rộng loại 1

Tương tự



𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim

𝑡→−∞

+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑡

𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞

+∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−∞

12/16/2010

𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-7

12/16/2010

Tích phân suy rộng loại 1

I

t

dx
dx
 1
 1 
 lim  2  lim     lim    1  1
2
t

t

t

x
x
 x 1
 t 
1
t


1



Ví dụ



(466) Tính I 




1



t

dx
dx
t
 lim
 lim ln | x | 1  lim  ln | t |   
t 
x t  1 x t 

a) I  1


Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-9

(464) TínhI 

12/16/2010

Tích phân suy rộng loại 1




0

c) I  

d ) I  2e

2

8arctan xdx
1  x2

b) I 

3
3

c) I 

3

24

d )I  
8-10

Chú ý

𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥

+∞

−∞

𝐼=
𝑎

𝑎) 𝐼 = −1 𝑏) 𝐼 = 1 𝑐) 𝐼 = −2 𝑑) 𝐼 = 2

Toan C1-Nguyen Van Thuy



x

Toan C1-Nguyen Van Thuy

0

12/16/2010



2

Tích phân suy rộng loại 1

451. Tính
𝐼=

8-8

dx

 x ln

b) I  2

2 3
a) I 
3

Vậy, tích phân phân kỳ
12/16/2010



e

Vậy, tích phân hội tụ

J

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Tích phân suy rộng loại 1

Ví dụ





0

d
x
d
x
I
, I
2
2
2


1

x
1


x





𝑎

−∞



453. Tính

𝑎>0

8-11

12/16/2010

Hội tụ ⇔ 𝛼 > 1
𝑑𝑥
𝑥𝛼

Phân kỳ ⇔ 𝛼 ≤ 1

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-12

2


Tiêu chuẩn so sánh


Tiêu chuẩn so sánh

Giả sử 0  f ( x)  g ( x), x  a


Nếu



Nếu

 g ( x)dx

f ( x)dx phân kỳ thì

a









 g ( x)dx
a

phân kỳ

lim

x 

a



hội tụ thì





a

sin  x
dx hội tụ khi
Ví dụ (478) Tích phân  2
x 1
0
a) >1
b) <1 c)  tùy ý d) ko có 
Toan C1-Nguyen Van Thuy



8-13

𝐼=
0




𝐼=
0

12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-15

𝑏

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim+


𝜀→0

𝑏

Ví dụ



(467) Tính I  

2

8-16

dx
x 1

3

1

a) I 


𝑏−𝜀
𝜀→0

Toan C1-Nguyen Van Thuy



𝑎+𝜀

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim+
12/16/2010

𝜀

𝑑𝑥
𝑥

12/16/2010

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 không xác định tại 𝑏

𝑎

1

Tích phân suy rộng loại 2

𝑓 không xác định tại 𝑎

𝑎

𝑑𝑥
= lim
𝑥 𝜀→0+

𝜀→0

Tích phân suy rộng loại 2


8-14

1
= lim+2 𝑥
𝜀→0
𝜀
= lim+(2 − 2 𝜀) = 2

1
= +∞
𝑥

lim

d) ko có 

Cách tính
1

𝑑𝑥
𝑥

Nhận xét

𝑥→0+

c) >1

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Tích phân suy rộng loại 2

Xét tích phân
1

b) <1/2

12/16/2010

Tích phân suy rộng loại 2




Khi đó, 2 tích phân  f ( x)dx và  g ( x)dx có
a
a
cùng tính chất


x
Ví dụ (474) Tích phân 
dx
x
(
x


1)( x  2)
3
hội tụ khi
a) <-1

12/16/2010

f ( x)
 L (L0 và hữu hạn)
g ( x)


f ( x)dx hội tụ





Giả sử 0  f ( x)  g ( x), x  a và

3
2

b) I  1

c) I  

1

d )I 

3
4

(472) Tính I   ln xdx
0

a) I  1

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

b) I  0

c) I  1

d )I  2

𝑎

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-17

12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-18

3

Tích phân suy rộng


Maple



Loại 1

Phương trình vi phân tách biến


Dạng
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦

int(f(x),x=a..infinity)



Cách giải

int(f(x),x=-infinity..a)

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

int(f(x),x=-infinity..infinity)


Loại 2



int(f(x),x=a..b)
12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-19









8-21

595. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp
𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = 3𝑥
𝐶
𝑥2

𝑐) 𝑦 = 𝑥 3 + 𝐶𝑥 2

12/16/2010

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑞(𝑥)𝑒

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥 + 𝐶

>with(DEtools)
>dsolve(D(y)(x)+p(x)*y(x)=q(x))
Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-22

Pt vi phân tuyến tính cấp 2


Dạng
𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 (1)



𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶𝑥 2



𝐶
𝑑) 𝑦 = 𝑥 3 + 2
𝑥

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Công thức nghiệm tổng quát

12/16/2010

Phương trình vp tuyến tính cấp 1

𝑎) 𝑦 = 𝑥 +

Dạng

𝑦 = 𝑒−

𝑑)arctan 𝑥 + ln |𝑦 + 1 − 𝑦 2 | = 𝐶



8-20

𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 . 𝑦 = 𝑞(𝑥)

𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
=0
1 + 𝑥2
1 − 𝑦2
𝑎) arcsin 𝑥 + arctan 𝑦 = 𝐶
𝑏) arcsin 𝑥 − arctan 𝑦 = 𝐶

𝑐) arctan 𝑥 + arcsin 𝑦 = 𝐶

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Toan C1-Nguyen Van Thuy

Phương trình vp tuyến tính cấp 1

554. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp

12/16/2010

Maple
>with(DEtools)
>dsolve(D(y)(x)=f(x)/g(y))
12/16/2010

Phương trình vi phân tách biến

𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶



8-23

Cách giải
Lập phương trình đặc trưng
𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0 (2)
Nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt 𝑘1 , 𝑘2 ∈ ℝ
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘2𝑥

12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-24

4


Pt vi phân tuyến tính cấp 2






Pt vi phân tuyến tính cấp 2

Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì nghiệm
tổng quát của (1) là
𝑦 = 𝑒 𝑘0𝑥 𝐶1 𝑥 + 𝐶2

Nếu (2) có hai nghiệm phức 𝑘 = 𝛼 ± 𝑖
thì (1) có nghiệm tổng quát
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 sin 𝛽𝑥
Maple



Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp



617.

𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0



614.

𝑦 ′′ −22𝑦 ′ + 121𝑦 = 0



611.

𝑦 ′′ − 8𝑦 ′ + 41𝑦 = 0

Dsolve(a*(D@@2)(y)(x)+b*D(y)(x)+c*y(x)=0)
12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-25

12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-26

Bài tập


Tích phân suy rộng
449  507



Phương trình vi phân
548  618

12/16/2010

Toan C1-Nguyen Van Thuy

8-27

5