Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 2 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 02:
TỐI ƯU HÀM MỘT BIẾN SỐ
Thời lượng: 3 tiết


2

Cực trị địa phương (tương đối) và toàn cục


Điều kiện cần của cực trị địa phương

3

Nếu hàm số f(x) được xác định trên đoạn [a,b] và có cực trị địa
phương tại x=x* (amột số hữu hạn tại x=x* thì f’(x*) = 0
Đạo hàm f’(x*) không tồn tại khi mà:




f
x

h

f

x
f
x

h

f
x









m  lim
 lim
 m
h 0
h 0
h
h
Độ dốc m-

Độ dốc m+

Tại điểm đầu (x=a) và cuối
đoạn (x=b) giới hạn trên

chỉ tồn tại với h<0 hoặc
h>0, nên đạo hàm là
không xác định tại các
điểm đầu và cuối đoạn.


Điều kiện đủ của cực trị địa phương
f   x   f   x  

 f  n 1  x   0  f  n   x 

n là số chẵn

f

 n

x   0


Cực tiểu

f

n là số lẻ

 n

x   0


Cực đại

Điểm dừng

Điểm uốn
(Inflection Point)

4


Điểm dừng (Stationary point)

Điểm dừng, f’(x)=0

5


Bài tập ví dụ 1
Cho hàm đa thức 1 biến số. Yêu cầu:
1. Tìm tọa độ các điểm dừng (Stationary point).
2. Xác định trong số các điểm dừng, đâu là cực tiểu, đâu là cực đại và đâu là
điểm uốn
3. Vẽ đồ thị hàm số

1) Tính Đạo hàm f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 để tìm các điểm dừng:

f   x   60 x 4  180 x 3  120 x 2  60 x 2  x 2  3x  2   60 x 2  x  1 x  2 
 x1  0
 

 f   x   0   x2  1
 x  2
 3

2) Tính Đạo hàm bậc hai f”(x), xét giá trị và dấu của f”(x*) của các điểm
dừng vừa tìm được

6


f   x   60  x 4  3x 3  2 x 2 

7

 f   x   60  4 x 3  9 x 2  4 x   60 x  4 x 2  9 x  4 

 x2  1
2 là số chẵn và f”(x2*)<0
1 


2
x2* là cực đại địa phương

f
x

60

1


4

1
 9 1  4   60  0



2

f  x2   12
 x3  2
2 là số chẵn và f”(x3*)>0
2 


2

f
x

60

2

4

2
 9  2  4   240  0  x3* là cực tiểu địa phương




3

f  x3   11
 x1  0
Do f”(x1*)=0
3 


2
 Phải tính tiếp f”’(x)

f
x

60

0

4

0
 9  0  4  0



1

f   x   60  4 x 3  9 x 2  4 x 

 f   x   60 12 x 2  18 x  4   120  6 x 2  9 x  2 
3 là số lẻ và f”’(x1*)≠0
 x1  0
 x1* là điểm yên
4 


2
 f   x1   120  6  0  9  0  2   240  0
f  x1   5


Vẽ đồ thị hàm số
/>
8


Các phương pháp số để tìm cực trị hàm 1 biến

Các phương pháp dựa trên độ
dốc. Tức là dựa trên việc giải
phương trình f’(x)=0

9

Việc tính đạo hàm f’(x) cũng
được tính bằng phương pháp
số gần đúng

NHƯ VẬY

10


THỐNG NHẤT VỀ CÁCH TÍNH GẦN ĐÚNG
ĐẠO HÀM BẬC 1 VÀ 2
Thống nhất công thức tính gần đúng đạo hàm bậc 1 và bậc 2
trong các phương pháp như sau khi giải các bài tập trên lớp
cũng như bài tập về nhà:

f  x  0.001  f  x  0.001
f  x 
;
0.002
f  x  0.002   2 f  x   f  x  0.002 
f   x  
2
0.002

11


Phương pháp chia đôi đoạn (Bisection)
f  x

Vùng tìm kiếm 5
Vùng tìm kiếm 4
Vùng tìm kiếm 3
Vùng tìm kiếm 2

Vùng tìm kiếm 1

12


Phương pháp chia đôi đoạn (Bisection)

13


14

Bài tập ví dụ 2

Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) trong khoảng [a, b] bằng pp chia
đôi đoạn với 5 vòng lặp
f  x   5e0.2 x  1.25e 0.8 x  2 x;

 a, b   3, 4

f  x  0.001  f  x  0.001
f  x 
0.002

 SVL

 1
 2

 3

 4

 5

 6

 a, b 
3, 4

3.5, 4

3.5,3.75
3.5,3.625

3.5625,3.625
3.59375,3.625

f a 

f  b 

0.2686
0.18478
0.047057348
0.18478
0.047057348 0.067212957
0.047057348 0.009707888

ab
2

3.5
3.75
3.625
3.5625

m

0.018761715 0.009707888 3.59375

f m

f m

0.047057348
3.144776
0.067212957 3.147233919
0.009707888 3.142434525
0.018761715 3.142718393
0.004549358 3.142354042

0.004549358 0.009707888 3.609375 0.002573567

3.142338591


ba 

1 
0.5 


0.25 
0.125 

0.0625 

0.03125


Sử dụng trang web online vẽ đồ thị
/>
1

4
2

3

15


Sử dụng trang web online vẽ đồ thị

2
1

16


17

2

3

1

5
4


18


19

Vì do khoảng x như nhau, còn khoảng y khác nhau, nên giá trị
biên bên trái của y ta lấy giá trị nhỏ nhất của 2 đồ thị, giá trị biên
bên phải của y ta lấy giá trị lớn nhất của 2 đồ thị


Đồ thị minh họa các vòng lặp
0.18478

0.067213

0.0097
0.01876
0.047

0.2686

20


Phương pháp Newton–Raphson
y  f  x

f   xi 
xi 1  xi 
f   xi 

21

Xuất phát từ 1 điểm x0
đầu tiên, kẻ đường thẳng
đứng cắt với đường cong
y tại 1 điểm. Dựng tiếp
tuyến với y tại điểm đó.
Đường tiếp tuyến sẽ cắt
trục hoành tại điểm x1.
Với điểm x1 ta lại làm như
ở bước x0 lúc đầu. Cứ
như vậy đến khi nào cách
biệt giữa xi+1 và xi nhỏ
hơn một sai số cho phép.


Phương pháp Newton–Raphson

22

23

Bài tập ví dụ 3

Tìm điểm cực trị của hàm số f(x) bằng pp Newton Raphson với x0:
f  x   5e0.2 x  1.25e 0.8 x  2 x ; x0  15;   a, b    5,15

f  x  0.001  f  x  0.001
;
0.002
f  x  0.002   2 f  x   f  x  0.002 
f   x  
0.0022

f   xi 
xi 1  xi 
f   xi 

f  x 

 SVL
xi
f   xi 

15
18.08553
 1
 2 10.49787 6.16248


6.72352
1.83243
 3
 4
4.34713
0.35466

3.64036
0.01673
 5
 6
3.6038 3.1758E-5


f   xi 

f  xi 



4.01711 10.49787 70.42769
4.50212 
1.63272 6.72352 19.81805
3.77436 

0.7711 4.34713 5.74397
2.37639 
0.50181 3.64036 3.27204
0.70676 


0.45769 3.6038
3.14264
0.03656 
0.45597 3.60373 3.14233 6.96493E-5
xi 1

xi 1  xi


Đồ thị minh họa các vòng lặp
18.08553

6.16248

1.83243
0.35466

x4

x3

x2

x1

24


Các trường hợp pp Newton–Raphson

khó hội tụ
f  x

f  x

f  x

f  x

25