Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 5 - Nguyễn Văn Thùy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.15 MB, 4 trang )
Review-Đạo hàm
Lecture 5
Nguyen Van Thuy
Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số 𝑓 tại 𝑎
ĐẠO HÀM, VI PHÂN
f '(a) lim
h 0
Ứng dụng của đạo hàm
Phương trình
𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎))
f ( a h) f ( a )
h
tiếp
tuyến
tại
điểm
𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
11/21/2010
Review-Vi phân của hàm số
Toan C1-Nguyen Van Thuy
4-2
Review-Quy tắc L’Hospital
Tại x=a
𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦 ′ 𝑎 𝑑𝑥
Định lý. Nếu
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
0 ∞
có dạng 0 , ∞ khi 𝑥𝑎 và
𝑓′(𝑥)
tồn tại lim 𝑔′(𝑥) = 𝐴 thì
𝑥→𝑎
Tại x
𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
= lim
=𝐴
𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)
lim
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
4-3
Chú ý: 𝐴 có thể hữu hạn hoặc vô hạn
11/21/2010
Ứng dụng khảo sát hàm số
Toan C1-Nguyen Van Thuy
4-4
Ứng dụng khảo sát hàm số
Tìm tiệm cận
Tìm khoảng tăng, giảm
Tìm cực trị
a)
Có tiệm cận đứng 𝑥 = 0
Tính lồi lõm, điểm uốn
b)
Có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥
c)
Có tiệm cận ngang 𝑦 = −1
d)
Không có tiệm cận
thị hàm số này
Viết phương trình tiếp tuyến và pháp
tuyến
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Câu 206. Cho hàm số 𝑦 =
5-5
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
ln 𝑥+1 +𝑥 2
.
𝑥−𝑥 2
Đồ
5-6
1
Ứng dụng khảo sát hàm số
Ứng dụng khảo sát hàm số
Câu 178. Cho hàm số 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥.
Khẳng định nào sau đây đúng
a)
𝑦 tăng trên ℝ
b)
𝑦 giảm trên ℝ
c)
𝑦 tăng trên (1, +∞), giảm trên 0,1
d)
𝑦 tăng trên (0, +∞)
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-7
𝑓’(0) = 𝑃’(0)
𝑓’’(0) = 𝑃’’(0)
…
𝑛
(0) = 𝑃
𝑛
(0)
Đa thức Maclaurin cấp n của hàm 𝑓
𝑓′(0)
𝑓′′(0) 2
𝑓 𝑛 (0) 𝑛
𝑃 𝑥 =𝑓 0 +
𝑥+
𝑥 +⋯+
𝑥
1!
2!
𝑛!
11/21/2010
y đạt cực đại tại 𝑥 =
b)
y đạt cực tiểu tại 𝑥 = 8
c)
y đạt cực đại tại 𝑥 =
d)
y đạt cực tiểu tại 𝑥 = 16
1
1
16
1
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-8
Đa thức Maclaurin
Bài toán. Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao
cho
𝑓
1
8
a)
11/21/2010
Đa thức Maclaurin
Câu 183. Cho hàm số 𝑦 = 2ln(1 + 4𝑥 2 ) −
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2𝑥. Khẳng định nào sau đây đúng
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-9
Đa thức Maclaurin
Ví dụ. Tìm đa thức Maclaurin của hàm
𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 đến 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3
Kết quả
𝑔 𝑥 =1+𝑥
𝑥 =1+𝑥+
𝑥2
2!
𝑝 𝑥 =1+𝑥+
𝑥2
2!
11/21/2010
−
𝑥3
3!
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-10
Đa thức Maclaurin
Xung quanh
tiếp điểm
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-11
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-12
2
Khai triển Maclaurin
Các khai triển Maclaurin cơ bản
Khai triển Maclaurin của hàm 𝑓(𝑥)
𝑓′(0)
𝑓′′(0) 2
𝑓𝑛 0 𝑛
𝑃 𝑥 =𝑓 0 +
𝑥+
𝑥 +⋯+
𝑥
1!
2!
𝑛!
𝑛
+ 𝑂(𝑥 )
𝑂 𝑥
𝑛
: vô cùng bé cấp cao hơn 𝑥
𝑛
Với 𝑥 rất gần 0 thì
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
𝑥3
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 −
𝑥2
2!
𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 +
𝑥3
3
3!
+
𝑥4
4!
+𝑂
𝑥3
3
+ 𝑂 𝑥5
𝑥4
−
𝑥4
4
+
𝑥2
2
+
𝑂(𝑥 4 )
1
1+𝑥
= 1 − 𝑥 + 𝑥2 +
1
1−𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 +
𝑂(𝑥 2 )
𝑂(𝑥 2 )
+ 𝑂(𝑥 4 )
11/21/2010
ln 1 + 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3
3
+ 𝑂 𝑥4
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 −
5-13
+ 𝑂(𝑥 2 )
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-14
Khai triển Maclaurin
Câu 238. Viết khai triển Maclaurin của
hàm 𝑦 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 đến số hạng 𝑥 3
a)
𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
+ 𝑂 𝑥3
b)
𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
6
+ 𝑂 𝑥3
c)
𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
−
𝑥3
6
+ 𝑂 𝑥3
d)
𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3
+ 𝑂 𝑥3
11/21/2010
Maple
taylor(exp(sin(x)),x=0,3)
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-15
11/21/2010
Khai triển Maclaurin
𝑥2
2!
Khai triển Maclaurin
+
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 −
𝑓′(0)
𝑓′′(0) 2
𝑓
0 𝑛
𝑥+
𝑥 + ⋯+
𝑥
1!
2!
𝑛!
𝑥
1!
𝑛
𝑓 𝑥 ≈𝑓 0 +
𝑒𝑥 = 1 +
tương đương với
𝑥3
𝑏)
3
𝑥3
𝑐) −
6
𝑥2
2
𝑥3
𝑑)
6
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-16
Bài toán. Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao
cho
𝑓’(𝑎) = 𝑃’(𝑎)
𝑓’’(𝑎) = 𝑃’’(𝑎)
…
𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑃 𝑛 (𝑎)
Đa thức Taylor cấp n của 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎
𝑃 𝑥 =𝑓 𝑎 +
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
Đa thức Taylor
Câu 249. Khi 𝑥 → 0, VCB 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑥 −
𝑥3
𝑎) −
3
GeoGebra
KhaitrienTaylor(exp(sin(x)),0,3)
5-17
11/21/2010
𝑓′ 𝑎
𝑓 𝑛 (𝑎)
(𝑥 − 𝑎) + ⋯ +
(𝑥 − 𝑎)𝑛
1!
𝑛!
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-18
3
Khai triển Taylor
Khai triển Taylor của hàm 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 =
0
Áp dụng khai triển cơ bản
𝑓
𝑘
𝑘!
𝑎
Ví dụ. Viết khai triển Maclaurin của hàm
số sau đến cấp 3
(𝑥 − 𝑎)𝑘 +𝑅𝑛 (𝑥)
𝑓 𝑥 =
Phần dư
𝐷ạ𝑛𝑔 𝑃𝑒𝑎𝑛𝑜: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑂 𝑥 − 𝑎
𝐷ạ𝑛𝑔 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝑅𝑛 𝑥 =
11/21/2010
𝑛
𝑓 𝑛+1 𝑐
𝑛+1 !
Toan C1-Nguyen Van Thuy
(𝑥 − 𝑎)𝑛+1
5-19
𝑠𝑖𝑛𝑥
1−𝑥
Ví dụ. Viết đa thức sau dưới dạng đa
thức theo 𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑥 2 + 7
Bài tập: 238 257
11/21/2010
Toan C1-Nguyen Van Thuy
5-20
4
