Dạy học khám phá khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ với sự trợ giúp của phần mềm dạy học Maple

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Số 12 (37) - Tháng 2/2016

Dạy học khám phá khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức
hữu tỉ với sự trợ giúp của phần mềm dạy học Maple
To sketch graphs of rational fractional functions with the help of software in
teaching mathematics Maple according to teaching and learning discovery
TS. Phan Anh Tài,
Trường Đại học Sài Gòn
ThS. Nguyễn Ngọc Giang,
Thành phố Hồ Chí Minh
Ph.D. Phan Anh Tai,
Sai Gon University
M.S. Nguyen Ngoc Giang,
Ho Chi Minh City
Tóm tắt
Bài viết đưa ra một số quan điểm về dạy học khám phá cũng như quy trình dạy học khám phá giải tốn
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với sự trợ giúp của Maple.
Từ khóa: phần mềm dạy học Maple, dạy học khám phá, hàm phân thức hữu tỉ….
Abstract
The article gives some points of view on the method of teaching and learning discovery as well as the
process of sketching graphs of rational fractional functions with the help of Maple according to
discovery learning.
Keywords: software in teaching mathematics Maple, teaching and learning discovery, rational
fractional function…

1. Đặt vấn đề
Dạy học khám phá là phương pháp
dạy học lấy học sinh làm trung tâm. Thơng
qua dạy học khám phá, người học khơng

chỉ lĩnh hội được các kiến thức mà còn xây
dựng được hướng đi riêng cho mình. Dạy
học khám phá là phương pháp dạy học hỗ
trợ việc phát triển năng lực nhận thức riêng
của người học. Với phương tiện dạy học là
bảng đen phấn trắng thì học sinh rất hạn
chế trong việc dự đốn kiến thức, tính tốn

những phép tính phức tạp, kiểm chứng bài
tốn, … Việc sử dụng phần mềm dạy học
với các chức năng phương tiện khắc phục
được các nhược điểm này. Trong bài viết,
chúng tơi sẽ đề cập đến những điều vừa nói
qua việc dạy học khám phá khảo sát và vẽ
đồ thị hàm phân thức hữu tỉ với sự trợ giúp
của phần mềm Maple.
2. Nội dung
2.1. Dạy học khám phá
Theo Bùi Văn Nghị [1, tr.159]: “Khám
101


phá là quá trình hoạt động và tư duy, có thể
bao gồm quan sát, phân tích, nhận định,
đánh giá, nêu giả thiết, suy luận, … nhằm
đưa ra những khái niệm, phát hiện ra những
tính chất, quy luật, .. trong các sự vật, hiện
tượng và các mối liên hệ giữa chúng.”
Thực hiện đổi mới phương pháp dạy
học theo định hướng hoạt động hóa người

học. Hoạt động dạy học, trong đó người
dạy tổ chức và người học tiến hành hoạt
động học tập tự giác, tích cực, chủ động và
sáng tạo. Phương pháp dạy học khám phá
[1, tr.160], “trong đó dưới sự hướng dẫn
của giáo viên, thông qua các hoạt động,
học sinh khám phá ra một tri thức nào đấy
trong chương trình môn học”, đáp ứng
được đòi hỏi của việc đổi mới phương
pháp dạy học.
Trong phân loại dạy học khám phá,
người ta đã thống nhất là có ba loại khám phá:
1. Khám phá dẫn dắt: Vấn đề và đáp án
do giáo viên đưa ra, học sinh tìm cách lí giải.
2. Khám phá hỗ trợ: Vấn đề do giáo
viên đưa ra và học sinh tìm đáp án trả lời.
3. Khám phá tự do: Vấn đề và đáp án
do học sinh tự khám phá.
2.2. Giới thiệu về phần mềm Maple
Phần mềm tính toán hình thức Maple là
phần mềm do Đại học Waterloo (Canada)
cho ra đời vào năm 1980. Kể từ thời điểm
này, nhiều trường Đại học trên thế giới đã
thay đổi hẳn cách dạy học toán. Song song
với cách giải toán truyền thống là cách giải
bằng Maple. Với hơn 2500 hàm thì phần
mềm Maple giúp cho việc giải toán trở nên
dễ dàng và nhanh hơn nhiều so với cách giải
toán truyền thống. Ưu điểm của dạy học
giải toán nhờ sự trợ giúp của Maple là tính

chính xác cao, xử lí tốt các bài toán với tính
toán phức tạp, …
Maple có các khái niệm cơ bản sau:
1. Lệnh

Giao diện trực tiếp giữa người và máy
thông qua việc gõ các lệnh sau dấu [>.
2. Lệnh gán
Việc gán tên một hằng, một biến, một
biểu thức được thông qua lệnh gán (:=).
Khi đó hằng, biến, biểu thức vế trái được
gán tên ở vế phải.
Tên trong Maple được bắt đầu bằng
một chữ cái, độ dài tối đa 496 kí tự và
không có khoảng trống.
Có thể đặt các tên như sau: a, a1, a2,
A1 (khác với a1), ab, abc, xy, xyz, …,
nghiem, Nghiem_cua_da_thuc,…
3. Hàm
Có nhiều cách xây dựng hàm. Khi sử
dụng kí hiệu ánh xạ, việc gán giá trị cho
hàm và việc thiết lập hàm hợp dễ hơn.
4. Gói thủ tục
Đối với một số lĩnh vực đặc thù,
Maple tạo nên các gói thủ tục (package).
Đó là một tập hợp các hàm (chương trình
viết sẵn) dành riêng cho lĩnh vực đó. Khi
sử dụng đến lĩnh vực nào, cần nạp gói thủ
tục cho phần ấy bằng lệnh With(Tên gói
thủ tục).

2.3. Quy trình dạy học khám phá
giải toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm
phân thức hữu tỉ với sự trợ giúp của Maple
Bước 1 (Giải toán bằng Maple). Giáo
viên giải toán bằng Maple (thao tác trên
máy tính với sự trợ giúp của phần mềm dạy
học Maple), cho học sinh quan sát các kết
quả trên Maple. Cho học sinh nhận xét.
Bước 2 (Giải toán bằng phương pháp
toán học). Từ nhận xét ở bước 1, học sinh
giải toán bằng phương pháp toán học
Bước 3 (So sánh các kết quả giải bằng
Maple và kết quả giải bằng phương pháp
toán học). So sánh kết quả cách giải toán
bằng phương pháp toán học và cách giải
với sự trợ giúp của phần mềm dạy học
Maple để thấy sự chính xác của việc giải
102


bài toán.
Như vậy với sự trợ giúp của phần
mềm dạy học Maple, học sinh phát hiện
cách giải bài toán khá dễ dàng và kết quả
chính xác.
2.4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Cho hàm số

z:=solve(diff(Y,x)=0,x):solve(diff(Y,x

)=0,{x});
print(`Ham so dong bien tren mien`);
solve(diff(Y,x)>0);
print(`Ham so nghich bien tren mien:`);
solve(diff(Y,x)<0);
print(`Gia tri cuc dai, cuc tieu cua ham
so:`);
Ymax_min:=extrema(Y,{},x);
print(`Dao ham cap hai`); z:=simplify
(diff(Y,x$2));
print(`Toa do diem uon neu co:`);
solve({z=0,Y=y},{x,y});
u:=limit(Y/x,x=infinity):v:=limit(Yu*x,x=infinity):
print(`Tiem can hai nhanh vo tan:`);
if u = infinity or u = -infinity then
Limit (f(x), x=infinity)=limit(Y,x=infinity);
Limit(f(x),x=-infinity)
=limit(Y,x=infinity) else x=a; y=u*x+v; fi;
print(`Cac giao diem do thi voi Ox, Oy:`);
intercept(y=Y, y=0, {x, y});intercept
(y=Y,x=0,{x,y});

(2m  1)x  m 2
y=
(1) (m là tham số)
x 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
của hàm số (1) ứng với m = –1.
(Đề thi Đại học - Cao đẳng Khối D
năm 2002)

Bước 1. Giải toán bằng Maple
> restart;
with(student):
Y:=(-3*x-1)/(x-1):#Nhập vào biểu
thức f(x) sau dấu =
# Nhập vào các miền giới hân của Ox và
Oy (x từ m .. n, y từ p..q)
m:=-5:n:=7:p:=-8:q:=4 :
#.. NAP XONG ENTER DE CHAY
CHUONG TRINH.
print(`----------------------------------`);
print(`--------BAI GIAI-------------`);
y=Y;print(`tap xac dinh :`);
Y:=simplify(Y):a:=solve(denom(Y)=0,
x):
if (type(denom(Y),realcons) =true) or
(coeff(denom(Y),x^2)
<>0
and
type(a[1],realcons) =false) then D = R; fi;
if coeff(denom(Y),x^2)=0 and coeff
(denom (Y),x) <> 0 then
D={x<>a};fi;
if coeff(denom(Y),x^2)<>0 and type
(a[1],realcons)=true then D={x<>a};fi;
print(`Dao ham cua ham so:`);
dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x)));
print(`Giai phuong trinh y' = 0 ta duoc
nghiem:`);
103

- Bảng biến thiên:
x

–

y’

1

+

+

+
–3

+
y
>plot({Y,u*x+v}, x=m..n,p..q,color=red);

–3

–

- Giao với các trục: x = 0  y = 1; y = 0
x=–

1

3

- Đồ thị:

Bước 2. Giải toán bằng phương pháp
toán học
Khi m = –1, ta có :
y=

Bước 3. So sánh các cách giải bằng
Maple và giải bằng phương pháp toán học
cho ta kết quả giống nhau.
Ví dụ 2
Cho hàm số:

3x  1
4
 3 
x 1
x 1
- Tập xác định: R\{1}
- Chiều biến thiên:

y’ =

mx2  x  m
y=
(1) (m là tham số)
x 1

4
 0 x  1
(x  1)2

 hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận :
x = 1 là tiệm cận đứng
lim y   ; lim   .

x 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
hàm số (1) khi m = –1.
(Đề thi Đại học – Cao đẳng Khối A
năm 2003)
Khác với phương pháp toán học,
phương pháp giải bằng Maple chỉ cần thay
đổi hàm số y ở ví dụ 2 cho ví dụ 1 là có ngay
kết quả. Đây là lợi thế rất lớn của Maple so
với phương pháp toán học thông thường.

vì

x 1

y = –3 là tiệm cận ngang vì

lim y  3
x 

104


Bước 1. Giải toán bằng Maple
> restart;
with(student):
Y:=(-x^2+x-1)/(x-1):#Nhập vào biểu
thức f(x) sau dấu =
# Nhập vào các miền giới hân của Ox
và Oy (x từ m .. n, y từ p..q)
m:=-6:n:=6:p:=-8:q:=4 :
#.. NAP XONG ENTER DE CHAY
CHUONG TRINH.
print(`----------------------------------`);
print(`--------BAI GIAI-------------`);
y=Y; print(`tap xac dinh :`);
Y:=simplify(Y):a:=solve(denom(Y)=0,x):
if (type(denom(Y),realcons)=true) or
(coeff(denom(Y),x^2)<>0 and type(a[1],
realcons)=false) then D = R; fi;
if coeff(denom(Y),x^2)=0 and coeff
(denom(Y),x) <> 0 then D={x<>a};fi;
if coeff(denom(Y),x^2)<>0 and type
(a[1],realcons)=true then D={x<>a};fi;
print(`Dao ham cua ham so:`);
dy/dx=factor(simplify(diff(Y,x)));
print(`Giai phuong trinh y'=0 ta duoc
nghiem:`);
z:=solve(diff(Y,x)=0,x):solve(diff(Y,x
)=0,{x});

print(`Ham so dong bien tren mien`);
solve(diff(Y,x)>0);
print(`Ham so nghich bien tren
mien:`); solve(diff(Y,x)<0);
print(`Gia tri cuc dai, cuc tieu cua ham
so:`);
Ymax_min:=extrema(Y,{},x);
print(`Dao ham cap hai`);
z:=simplify(diff(Y,x$2));
print(`Toa do diem uon neu co:`);
solve({z=0,Y=y},{x,y});
u:=limit(Y/x,x=infinity):v:=limit(Yu*x,x=infinity):
print(`Tiem can hai nhanh vo tan:`);

if u = infinity or u = -infinity then
Limit(f(x),x=infinity) =limit(Y,x=infinity);
Limit(f(x),x=-infinity)=limit(Y,x=infinity) else x=a; y=u*x+v;fi; print(`Cac
giao diem do thi voi Ox, Oy:`);
intercept(y=Y, y=0, {x, y});intercept
(y=Y,x=0,{x,y});

>plot({Y,u*x+v}, x=m..n,p..q,color=red);

105


Khi m = –1

x 2  x  1
1

y
 x 
x 1
x 1
Tập xác định: R\{1}

* y’ = –1 +

1
 x 2  2x
;

(x  1) 2
(x  1) 2

x  0

y’ = 0  
x  2

1
0
x  x  1

* lim[y  ( x)]  lim
x 

Tiệm cận xiên của đồ thị là y = –x.
* lim y    Tiệm cận đứng của

Bước 2. Giải toán bằng phương pháp
toán học

x 1

đồ thị là x = 1.

Bảng biến thiên:
x

–

y’

–

0

+

y

0

1
+

CT

+

–

–3
–

Đồ thị không cắt trục hoành.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 1)

+

0

+

1

CĐ

–

Bước 3. So sánh các cách giải bằng
Maple và giải bằng phương pháp toán học
cho ta kết quả giống nhau.
3. Kết luận
Chúng ta vừa có khám phá thú vị về
giải toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân
thức hữu tỉ với sự trợ giúp của phần mềm
dạy học Maple. Việc sử dụng phần mềm
dạy học giúp người học khám phá tri thức:

là kiến thức, kĩ năng các em cần tìm hiểu.
Cụ thể là người học có thể dự đoán kiến
thức, tính toán những phép tính phức tạp,
kiểm chứng kết quả giải toán, … với sự trợ
giúp của phần mềm dạy học.
Bài viết này cần có trao đổi gì thêm?
Mong được sự chia sẻ của bạn đọc.

y

1
O
-1

2

x
1 2

-3

106


tính maple với các chuyên đề: Số học – Đại số
- Giải tích – Hình Giải Tích, Nxb Đà Nẵng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào
thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ

thông, Nxb Đại học sư phạm.

3. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần
Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng
Hùng Thắng (2011), Giải tích 12 nâng cao,
Nxb Giáo dục.

2. Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng,
Nguyễn Việt Hà (1998), Giải toán trên máy

Ngày nhận bài: 11/01/2016

Biên tập xong: 15/02/2016

107

Duyệt đăng: 20/02/2016