Chuyên đề HSG: Một số dạng bài toán trong cơ học vật rắn nâng cao

MỤC LỤC
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Phạm vi nghiên cứu
2. NỘI DUNG
2.1. Thực trạng của đề tài
2.2. Cơ sở lý thuyết về chuyển động vật rắn
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.4. Kết quả
3. KẾT LUẬN
3.1. Kết luận
3.2. Đề xuất
Tài liệu tham khảo

Trang 1

Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 3
Trang 3
Trang 3
Trang 4
Trang 16
Trang 38
Trang 38

Trang 38
Trang 39
Trang 40


1. PHẦN MỞ ĐẦU.
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
-Chúng ta biết rằng nội dung và kiến thức sách giáo khoa trong
chương trình phổ thông không đáp ứng đủ kiến thức dành cho việc ôn thi học
sinh giỏi cấp Tỉnh, vì thế muốn dạy ôn học sinh giỏi giáo viên cần tham khảo
thêm tài liệu nâng cao rồi tìm ra phương án phù hợp nhất để dạy cho học sinh.
- Nghiên cứu phần cơ học, tôi nhận thấy có nhiều phương pháp giải
khác nhau, nhiều kiến thức cần áp dụng trong khi giải quyết bài toán cơ học.
- Để góp phần giúp học sinh tiếp cận và hướng dẫn các em tự nghiên
cứu sâu thêm phần cơ học trong chương trình chuyên, tôi đã tiến hành nghiên
cứu đề tài:" Một số dạng bài toán trong cơ học vật rắn". Hi vọng đề tài
này sẽ làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của giáo
viên, và việc tự học của học sinh, góp phần nhằm nâng cao chất lượng học
sinh giỏi môn Vật Lí hiện nay.
1. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Hệ thống hóa các kiến thức chuyên sâu phần cơ học vật rắn.
Trình bày các phương pháp đặc trưng giải quyết các bài toán cơ học
trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi.
Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán cơ học thông qua hệ thống
bài tập ví dụ và bài tập tự giải.
1. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Học sinh giỏi bộ môn cấp trường, các tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi
môn Vật Lí của trường và đồng nghiệp.
-Nghiên cứu các tài liệu chuyên môn, sách giáo khoa, sách bài tập, sách
bồi dưỡng học sinh giỏi, sách vật lí đại cương và các nguồn tài liệu khác trên

internet.
1. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Phương pháp quan sát: Người thực hiện đề tài tự tìm tòi, nghiên cứu,
tổng hợp kiến thức từ các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, các đề thi học sinh

Trang 2


giỏi cấp tỉnh, học sinh giỏi cấp quốc gia, kinh nghiệm giảng dạy của bản thân
và các đồng nghiệp.
2. Phương pháp trao đổi, thảo luận: Từ kết quả nghiên cứu, người thực
hiện đề tài tiến hành trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để
hoàn thiện đề tài.
3. Phương pháp thực nghiệm: Giáo viên tiến hành dạy theo phương
pháp đã nghiên cứu trong đề tài.
4. Phương pháp điều tra: Giáo viên ra các bài tập áp dụng để kiểm tra
đánh giá kết quả và kiểm tra sự tiếp thu của học sinh, đồng thời giáo viên ra
các bài tập tự giải để học sinh giải, sau mỗi chuyên đề giáo viên cho học sinh
một bài kiểm tra. Kết quả bài kiểm tra cũng đã thể hiện sự tiếp thu kiến thức
học sinh.
1. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Đề tài tập trung nghiên cứu các dạng bài tập có liên quan với nhau
trong cơ học vật rắn .
Nghiên cứu các định luật bảo toàn, chứng minh vật dao động điều hòa,
các công thức động học, động lực học, moomen quán tính . . .
2. NỘI DUNG.
2.1. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.
Mỗi đề thi học sinh giỏi đều có 2 câu cơ học, mỗi vòng một câu chính
vì thế số câu cơ học chiếm 25% tổng điểm.
Mỗi câu cơ học tích hợp rất nhiều kiến thức khác nhau, chẳng hạn

như : chứng minh vật dao động điều hòa, tìm mô men quán tính, tìm vận tốc,
thời gian quãng đường, dùng các định luật bảo toàn để giải . . .
Một số sách tham khảo chỉ đưa ra các định lí, định luật chưa chi tiết và
chưa đưa ra những phương pháp để vận dụng trong một bài toán có thể vận
dụng nhiều định luật hay định lí.
Chính vì lí do đó người thực hiện đề tài cần hệ thống lại các kiến thức
có liên quan với nhau để giải các bài toán cơ học. Đồng thời đưa ra một số
phương pháp và một số dạng bài tập để học sinh vận dụng.
Trang 3


2. 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CHUYỂN ĐỘNG VẬT RẮN.
A - KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CỦA VẬT RẮN VỀ MẶT
ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC.
1- Chuyển động phẳng :
- Chuyển động phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mọi điểm
của vật chuyển động song song với một mặt phẳng cố định cho trước. Hay nói
cách khác, chuyển động phẳng có thể xem là chuyển động tổng quát của hai
chuyển động thành phần: chuyển động tịnh tiến và quay hoặc vừa quay vừa
tịnh tiến.
2- Khảo sát chuyển động phẳng về mặt động lực học.
Công thức phân bố vận tốc của các điểm trong vật rắn.



v B v A    AB

(2.1)

- Vậy vận tốc của bất kì một điểm bất

y

kì trên vật bằng tổng vec tơ vận tốc

B

của một điểm khác nào đó trên vật mà

A

ta chọn làm cực và vận tốc của điểm
ấy trong chuyển động quay quanh
O

cực. ( Hình vẽ 1)

Hình vẽ 1: Sự phân bố vận tốc

x

3- Phương trình động lực học của chuyển động quay tương đối.

 
M  ri .Fi  I
i

(3.1)

4-Chuyển động lăn không trượt

* Định nghĩa chuyển động lăn không trượt.
Một vật rắn hình cầu hoặc hình trụ lăn không trượt trên bề mặt S của
một vật rắn khác, nếu tại mọi thời điểm vận tốc của điểm K của vật rắn tiếp
xúc với S bằng không ( vk = 0 ) ( xét hệ qui chiếu gắn với S )
* Điều kiện lăn không trượt




v K vG    GK 0
v K vG  R 0  vG R

Trang 4


- Vậy trong chuyển động lăn không trượt, đường đi được của khối tâm bằng
đường đi được bao quanh khối tâm của caác điểm tiếp xúc của vật với mặt
đường.
* Điều kiện lăn có trượt

v K 0  vG R

5- Mô men quán tính của một số trường hợp :
+ Chất điểm chuyển động tròn, vành tròn hình trụ rỗng, mỏng, có trục quay
đối xứng

I = mr2

+ Đĩa tròn hay hình trụ đặc, có trục quay đối xứng : I =
+ Quả cầu đặc, có trục quay đi qua tâm : I =

1
mr2
2

2
mr2
5

+ Thanh mảnh, có trục quay là đường trung trực của thanh : I =
+ Thanh mảnh , trục đi qua đầu thanh và vuông góc : I=

1
mr2
12

1 2
ml
3

+ Mô men quán tính của vật rắn đối với trục  bất kì ( định lí về trục song
song), còn gọi là định lí Stenow- Huyghen ( Hình vẽ 2)
I K  I G  md 2

d là khoảng cách giữa hai trục đi qua K và G
K là tâm quay tức thời
y

G
K=O

Hình vẽ 2: Tìm IK biết IG

+ Định lí về trục vuông góc ( Hình vẽ 3)
I Z I X  I Y

Trang 5

x


z

yi

xi

y

mi

x

Hình vẽ 3: Momen quán tính một vật mỏng, phẳng trong mặt phẳng Oxy
6- Vị trí khối tâm : ( Hình vẽ 4)
- Xem vật rắn là hệ chất điểm, vị trí khối tâm của vật được xác định bằng
công thức :




 m1 r1  m2 r2  .....  m N rN

1
rG 
  mi ri
m1  m2  .....  m N
m

rG là vectơ vị trí khối tâm

y

mi


ri

G


rG

mN


rN
O

x
Hình vẽ 4: Vị trí khối tâm vật rắn

Hay suy ra tọa độ của khối tâm trên ox, oy là
1
 mi x i
m
1
y G   mi y i
m

xG 

(*)

Trang 6






- Nếu chọn gốc tọa độ trùng với khối tâm , thì rG = 0




m r

i iG



0

(**)

- Từ hình vẽ 4 ta có :
  
ri rG  riG

(***)

7- Dao động con lắc vật lí .
* Định nghĩa con lắc vật lí.
Con lắc vật lí là một vật rắn dao động quanh một trục cố định không đi qua
khối tâm và vuông góc với mặt phẳng trên đó vật dao động .
*Lập phương trình dao động bằng phương pháp động lực học .
- Vị trí cân bằng là OO1 ( Hình vẽ 5)
O



OG = d

d.sin
G

P
 <0

x
 >0

O1

Hình vẽ 5: Dao động con lắc vật lý
- Mô men lực P làm vật quay trở về vị trí cân bằng
- Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay vật rắn ta có :
M P / O  I O   I O . t
 mgd sin   I O t

-Khi  rất bé thì sin  
 mgd  I O t

  
mgd

2
Đặt   I
O



mgd
 0
IO

    2 0

Trang 7

- Vậy con lắc vật lí dao động điều hòa với


mgd
I
 T 2
I
mgd

*Lập phương trình dao động bằng phương pháp năng lượng
- Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng . Thế năng của vật ở vị trí li độ góc  là
Wt mgd 1  cos  

- Động năng của vật ở vị trí li độ góc  là :
1
1
2
Wđ  I o  2  I o  
2
2

- Nếu bỏ qua mọi ma sát thì cơ năng bảo toàn:
1
1
2
W  I o    mgd 2 const
2
2

(7.1)

- Phương trình (7.1) chứng tỏ vật dao động điều hòa, để tìm  ta lấy đạo hàm
theo thời gian phương trình (7.1)
dW
 I o    mgd  0
dt

  



mgd
 0
Io

- Phương trình (7.2) cho ta



(7.2)
mgd
Io

B - CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN .
1- CƠ NĂNG VÀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG .
a- Thế năng của một vật rắn .
- Xét một vật chuyển động phẳng song song với một mặt phẳng O thẳng đứng
( Hình vẽ 6 ). Chọn mốc thế năng tại O.
- Thế năng của một vật bằng tổng thế năng của các chất điểm tạo nên vật:
 t  mi gz i  g  mi z i

- Theo công thức (*)

m z

i i

mz G

- Thế năng của một vật rắn bằng thế năng của toàn bộ khối lượng của vật tập
trung tại khối tâm .
 t mgz G mghG

Trang 8

(1)


z
Z

m

1

1

Z

G

G

O

x

Hình vẽ 6

b-Động năng của vật rắn chuyển động phẳng tổng quát .
- Động năng của vật rắn bằng tổng động năng của các chất điểm tạo nên vật.
  2
1
1
mi vi2   mi  vG  viG 

2
2

 
vì theo công thức (***) (vi ) 2 vi2 (vG  viG ) 2
d 



d 

1 2
vG
2

m

i


 vG



m v
i

iG



1
2

2
iG

m v
i

- Đạo hàm công thức (**) theo thời gian


m

v

0
 i iG
1
1
2
 d  mvG2   mi  riG  
2
2

- Kết quả là

1
1
 d  mvG2  I G  2
2
2

(2 )

-Động năng của vật rắn bao gồm động năng của chuyển động tịnh tiến vơí vận
tốc của khối tâm và động năng của chuyển động quay quanh khối tâm.
- Nếu xem chuyển động của vật là chuyển động quay thuần túy quanh tâm
quay tức thời K thì động năng của vật là
1
đ  I K 2
2

c- Định lí độ biến thiên thế năng.

- Độ biến thiên động năng của một vật rắn bằng công của các ngoại lực tác
dụng lên vật.

Trang 9


E đ  Angl

(3 )

d- Cơ năng. Định luật bảo toàn cơ năng.
  đ   t

(4 )

1
1
 mghG  mvG2  I G  2
2
2

(5 )

- Điều kiện để cơ năng của vật được bảo toàn là
- Không có ma sát và lực cản của môi trường.
- Nếu có ma sát thì phải là ma sát nghỉ.
Khi ấy cơ năng của vật được bảo toàn . Nó chỉ biến đổi từ thế năng sang động
năng và ngược lại.
  đ   t const

Hay

(6)

 d   t

2- ĐỘNG LƯỢNG. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ĐỘNG LƯỢNG
a- Động lượng
- Động lượng của vật rắn bằng tổng động lượng của các chất điểm cấu tạo nên
vật .

- Số hạng
và vì



m v

i iG



p   mi v i

(7)


 



p  mi (vG  viG ) mvG   mi viG

(8)

là động lượng chuyển động quay của vật quanh khối tâm,



m
v

0
 i iG nên


p  mv G

(9)

- Động lượng của vật rắn chuyển động phẳng bằng động lượng chuyển động
tịnh tiến của nó với khối tâm.
b- Định lý biến thiên động lượng




- Từ công thức p mvG , ta suy ra :





p mvG

maG  F ngl
t
t

Trang 10

(10)




p  Fngl .t

(11)

- Độ biến thiên động lượng của vật rắn bằng tổng xung lượng của các ngoại
lực tác dụng lên vật .
c- Định luật bảo toàn động lượng
- Từ công thức (11) ta suy ra, nếu không có ngoại lực tác dụng vào vật rắn
hoặc khi tổng các ngoại lực vào vật rắn bằng không thì động lượng của vật
rắn được bảo toàn


p mvG const

(12)

- Khối tâm chuyển động thẳng đều, còn mọi điểm chuyển động tròn xung
quanh khối tâm.
3- MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN
ĐỘNG LƯỢNG
a- Mômen động lượng .
- Momen động lượng của chất điểm m đối với một điểm O được xác
định bằng biểu thức :



LO r  mv

(13)

Trong đó r OM , Với M là vị trí của chất điểm ( Hình vẽ 7)














- Về độ lớn ta có : LO  r  mv  r . mv . sin  r , mv 

 LO dmv




Trong đó d là khoảng cách từ điểm O đến giá của vec tơ động lượng p mv
M
d


r

O
Hình vẽ 7

Trang 11


m.v


- Mô men động lượng của một vật rắn đối với một trục quay cố định  như đã


L I  

biết

(14)

b- Định lý KơNic
-Xét một vật chuyển động phẳng trong mặt phẳng Oxy ( Hình vẽ 8)
- Theo định nghĩa mô men động lượng đối với trục Oz và đối với trục G
lần lượt là



LG  riG  mi viG

(15)




LO  ri  mi vi

(16)


 
 
 LO   rG  riG   mi  vG  viG 



LO rG 

 m v
i

G


 rG 



m v

i iG





   mi riG   vG   riG  mi viG




 LO  LG  OG  m vG

(17)

y
mi

ri



riG

G

rG

O

Hình vẽ 8: Vật chuyển động
phẳng trong mặt phẳng Oxy

x

Công thức (17) gọi là định lí KơNic. Định lý này cho ta tìm mô men động
lượng của một vị trí bất kì, nếu biết mô men động lượng đi qua khối tâm .
c- Định lí biến thiên mô men động lượng
Trang 12


- Lấy đạo hàm biểu thức (13) theo thời gian, ta được


dL d 
  r  mv
dt dt






  
 dr
  dmv 
   mv    r 
  v  mv   r  F
dt 
 dt





 
dL
M
Vì v  mv 0 nên :
dt



(18 )



- Mở rộng cho hệ vật rắn ( cho hệ chất điểm ) :



dL
 M ngl   M nl

dt


Vì  M nl 0

Hay



L   M ngl. t



( 19 )


dL
 M ngl
dt

nên



( 20 )
( 21 )

- Độ biến thiên mô men động lượng của một vật rắn hay của hệ chất điểm
bằng tổng các mô men xung lượng của các ngoại lực.
d- Định luật bảo toàn môn men động lượng

Từ công thức (21) ta suy ra, nếu


M
 ngl .t

=0

thì


L const

- Nếu không có ngoại lực tác dụng vào vật hoặc nếu tổng mô men xung lượng
của các ngoại lực bằng không thì mô men động lượng của vật rắn được bảo
toàn.
C - SỰ VA CHAM GIỮA CÁC VẬT RẮN
1 - CƠ CHẾ CỦA SỰ VA CHẠM
- Khi hai vật va chạm nhau thì chúng biến dạng nhẹ, bị dẹt đi và lúc đó
chúng có cùng vận tốc. Sau đó chúng lấy lại hình dạng ban đầu với mức độ
nhiều ít khác nhau và xảy ra sự nhảy lùi ra xa nhau. Như vậy sự va chạm bao
gồm 2 pha, pha nén và pha dãn.
- Thời gian va chạm tuy khồn bằng không nhưng rất nhỏ so với toàn bộ
thời gian dùng để phân tích hiện tượng. Do đó có thể coi sự va chạm xảy ra tại
một chỗ trong không gian. Ngoài ra sự biến thiên vận tốc của hai vật thì lớn vì
chúng tác dụng vào nhau những lực lớn .
2- CÁC ĐỊNH LÍ BIẾN THIÊN ÁP DỤNG CHO SỰ VA CHẠM CỦA
HAI VẬT RẮN
Trang 13

 p  F .t


LG  M G t

(1)
(2)

- Công thức (1) liên quan đến chuyển động tịnh tiến của khối tâm, còn công
thức 2 liên quan đến chuyển động quay quanh khối tâm.
3 - KHẢO SÁT SỰ VA CHẠM VỀ PHƯƠNG DIỆN NĂNG LƯỢNG
a- Định lí về động năng
E đ  Angl  Anl

- Trong đó công của ngoại lực thì không đáng kể vì các ngoại lực không lớn
còn công của các lực va chạm thì công âm vì ngay cả khi không có ma sát thì
bị biến dạng tại chỗ tiếp xúc, và như vậy hệ tiêu thụ một động năng:
 đ   0

b- Sự va chạm đàn hồi và không đàn hồi
Định nghĩa
- Sự va chạm là đàn hồi khi động năng toàn phần của hai vật được bảo toàn
 đ 0

Trong tất cả các trường hợp khác , sự va chạm là không đàn hồi. Phần động
năng mất đi cho phép thay đổi tính chất của hai vật bằng cách làm cho chúng
biến dạng, làm vỡ chúng thành các mảnh hay làm tăng nhiệt độ của chúng
Hệ số phục hồi năng lượng
- Va chạm không đàn hồi đặc trung bởi một tỉ số :

 đ/

đ

với hệ số phục hồi 0 <  <1

trong đó  đ và  đ/ là động năng của vật trước và sau va chạm.
 = 1 : va chạm đàn hồi
 = 0 : va chạm hoàn toàn không đàn hồi .

Hệ số phục hồi thành phần pháp tuyến của vận tôc tương đối

(v1/ 

e= 
(v1 



v 2/ ) n
u n/




v2 ) n
un

Cách xác định hệ số phục hồi bằng thực nghiệm

Trang 14

(3)


- Người ta thả rơi một quả cầu từ độ cao h xuống một tấm nằm ngang được
giữ yên và đo chiều cao h/ nảy lên :
2

v1/
h/
 2 
h
v1

;

e

v1/
 
v1

4. MỘT SỐ KIỂU VA CHẠM
a -Va chạm trực diện ( Hình vẽ 9)
- Sự va chạm được gọi là trực diện nếu như :
+ Sự tiếp xúc xảy ra trên đường thẳng nối hai khối tâm G1 và G2.
+ Pháp tuyến chung ở chỗ tiếp xúc là đường thẳng nối G1 và G2
+ Lúc va chạm hai vật chuyển động tịnh tiến song song với hai đường thẳng
này.

G1


 F

G1

Hình vẽ 9: Va chạm trực diện đàn hồi

b. Va chạm thẳng nhưng không xuyên tâm ( hình vẽ 10)
- Trong trường hợp này hai vật chuyển động tịnh tiến song song với đường va
chạm nhưng đường này không đi qua hai khối tâm .



F  F
d 2 ,G 2
G1 , d1

Đường
va chạm

+

Hình vẽ 10: Va chạm thẳng không xuyên tâm

Trang 15

2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
2.3.1. Giải pháp thực hiện
Qua những năm ôn thi đội tuyển HSG của trường dự thi các kì thi khác
nhau, kinh nghiệm của cá nhân cho thấy, để học sinh có những kĩ năng cần
thiết để giải bài toán về chuyển động của vật rắn thì tôi thường thực hiện như
sau:
Đầu tiên, hướng dẫn học sinh hiểu thật sâu kiến thức trong sách giáo
khoa nâng cao lớp 10 và 12 về phần chuyển động cơ học vật rắn, kết hợp với
cơ học chất điểm, phần tĩnh học vật rắn. Yêu cầu học sinh giải và hiểu được
tất cả các dạng bài tập chuyển động của vật rắn trong sách giáo khoa, học sinh
phải chứng minh được tất cả các công thức về các đại lượng liên quan đến
chuyển động của vật rắn, vận dụng các định luật bảo toàn.
Sau khi học sinh đã hiểu sâu về những kiến thức cơ bản, tôi giải các bài
tập mẫu (đã đề cập ở phần sau ) với nhiều dạng bài tập khác nhau, đa dạng về
các hướng tiếp cận, kết hợp các phương pháp giải khác nhau, dần dần giúp
học sinh tiếp cận được các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Sau cùng, tôi cung cấp cho học sinh một hệ thống bài tập có đáp số để
học sinh tự rèn luyện ở nhà, trong quá trình học sinh tự luyện thì giữa học
sinh và giáo viên có sự trao đổi thường xuyên với nhau để giải đáp những
thắc mắc kịp thời.
2.3.2. Tổ chức thực hiện.
a - Dạng toán vận dụng phương pháp động lực học.
-Định hướng về mặt phương pháp giải:
+ Phân tích các lực tác dụng.
+ Vận dụng định luật II NiuTơn.
+Phương trình động lực học của chuyển động quay tương đối.
+ Công thức động học chất điểm.
+ Định luật bảo toàn cơ năng ( gồm cả chuyển động quay).

Trang 16

Bài toán 1: Một hình trụ đồng chất khối tâm C, bán kính R, momen quán
1
2

tính I = mR 2 đối với trục của nó. Được đặt không vận tốc đầu trên mặt phẳng
nghiêng góc  . Gọi f là hệ số ma sát trượt giữa hình trụ và mặt phẳng
nghiêng.
1) Xác định gia tốc hình trụ. Chứng tỏ rằng có trượt hay không là tuỳ theo giả
thiết của  so với giả thiết  0 nào đó cần xác định.
2) Tìm sự biến thiên động năng giữa các thời điểm t, 0. Xét hai trường hợp
 <  0 và  >  0

Giải

y

1) Xác định gia tốc hình trụ
Giả sử trụ lăn không trựơt:

N

Psin  -Fms=ma

P

Fms

1

a
Fms.R = I   mR 2
2
R

Suy ra: Fms =

C

O



1
2
ma ; a = g sin 
2
3

2
Điều kiện: Fms= mg sin   fmg cos   tg 3 f
3

Tức là   0 với tg 0 = 3f thì trụ lăn không trượt.
Trường hợp  >  0
a2 =


Fms là ma sát trượt . Ta có: Fms = fmgcos  .

mg sin   Fms
= g(sin  - fcos  ).
m
Fms.R 2 fg

cos
I
R

2) Sự biến thiên động năng.
Trường hợp  <  0 ở thời điểm t:

v = at =
 .t 

Động năng: Eđ =

mv2 I  2

2
2

- Trường hợp  >  0

2
g sin  .t
3R

Bảo toàn năng lượng

ở thời điểm t:

Trang 17

2
g sin  .t
3

E 0

x


v = g(sin  - fcos  ).t


2 fg cos 
t
R

Biến thiên năng lượng:
 a t2

1
E  Ams  Fms  2  S q   fmg cos . g  sin   3 f cos t 2
2
 2

1
2

Với S q = .t  R
1
E  mg 2 f cos  sin   3 cos 2  t 2
2



S  S 2  S1



Với S2 là độ dịch của C, S1 là quãng đường trụ quay.

Bài toán 2: Một viên bi có khối lượng m, bán kính R lăn không trượt , trên
mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng  , so với mặt phẳng ngang như hình vẽ.
Hệ số ma sát nghĩ là  n . Hệ số ma sát lăn coi như bằng 0. Hỏi góc nghiêng 
lớn nhất bằng bao nhiêu để viên bi lăn không trượt?
Giải
- Phân tích lực tác dụng lên vật rắn .
- Vận dụng định luật II NiuTơn cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động
quay
- Chọn chiều dương cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay như hình
vẽ.
- Áp dụng định luật II NiuTơn cho chuyển động tịnh tiến .
ox : Psin  -Fms = ma

(1)

oy : N - Pcos 

(2)

=0

- Áp dụng định luật II NiuTơn cho chuyển động quay.
Fms.R = I 

(3)

- Điều kiện lăn không trượt
a R

(4)

- Mô men quán tính I =


5
mR2
12

2
a
5
mR 2  Fms R  ma  Fms
5
R
2

Trang 18

(5)


- Thay (5) vào (1) ta suy ra
7
Fms mg sin 
2
2
Fms  mg sin    n N
7
2
mg sin   n mg cos   tan  3,5 n
7

Bài toán 3 : Một quả cầu lăn không trượt không vân tốc đầu tư đỉnh của một
mặt phẳng nghiêng  so với

y

phương ngang và có chiều dài l .
Xác định vận tốc của tâm quả

N

cầu tại chân mặt phẳng nghiêng .

C

O

P

Fms

a) Bằng phương pháp động lực



học .
b) Bằng phương pháp năng lượng.
Giải
a) Bằng phương pháp động lực học (giống bài toán 2)
v

10 gl sin 
7

b) Bằng phương pháp năng lượng.
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng :
 t max  đ max  mgh 

Với  

vG
R

(2)

2
5

và I G  mR 2

mvG2 1
 I G 2
2
2

(3)

- Thay (2) và (3) vào (1) ta được :
2
mvG2 1 2
2 vG
mgh 
 . mR . 2
2
2 5
R



v

10 gl sin 
7

Trang 19

(1)

x


b- Dạng toán vận dụng các định luật bảo toàn của chuyển
động quay và vận dụng phương trình động lực học của
chuyển động quay tương đối.
-Định hướng về mặt phương pháp giải:
+ Với bài toán va chạm dùng định luật bảo toàn động lượng và động
năng.
+ Mô men quán tính.
+ Định luật bảo toàn cơ năng trong chuyển động quay.
+ Mô men động lượng của một điểm qua trục quay bất kì.
Bài toán 1 : Một thanh đồng chất OA ,dài l ,khối lượng M, quay không ma
sát xung quanh đầu O cố định của nó . Lúc đầu thanh được giữ nằm ngang ,
sau được thả rơi không vận tốc đầu

O

.Khi thanh rơi vị trí thẳng đứng , đầu
A của nó đập vuông góc vào vật B có
kích thước nhỏ và có khối lượng m
,đặt trên một giá đỡ (Hình vẽ ) . Hãy
xác định vận tốc của hai vật sau va

B

chạm . Xét hai trường hợp :

A

a) Va chạm là hoàn toàn mềm.
b) Va chạm là hoàn toàn đàn hồi
Giải
- Giai đoạn thanh rơi xuống :
Mg

- Suy ra

l 1
1 1
 I O 12  . Ml 212
2 2
2 3

1 

3g
l

(1)

- Khi giai đoạn đầu A của thanh va vào vật B . Tổng mô men của các ngoại
lực tác dụng vào hệ đối với O bằng 0.
- Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng cho hệ :
I O 1  I O 2  mv B l

Trang 20

Hay

1  2 

3mv B
Ml

(2)

a- Nếu va chạm mềm thì sau va chạm vA=vB
VB=  2 l

(3)

- Giải phương trình 1,2,3 ta được :
2 

M
3g
M  3m l

VB 

M
3gl
M  3m

b- Nếu va chạm đàn hồi thì động năng của hệ bảo toàn

1
1
1
I O 12  I O  22  mVB2
2
2
2

Suy ra
12  22 

3m V B2
.
M l2

(4)

Giải hệ phương trình 1,2, 4 ta được :
VB 

2M
3gl
M  3m

2 

M  3m 3g
M  3m l

- Biện luận

+ Nếu M > 3m thì  2 >0 thanh tiếp tục đi sang trái .
+ Nếu M = 3m , thanh đứng yên.
Nếu M < 3m thì  2 < 0 thanh , thanh bật trở lại .
Bài toán 2 : Một quả bóng rổ có khối lượng m, bán kính R và mô men quán
tính IG đối với khối tâm . Bóng được làm quay với vận tốc góc  O xung quanh
một trục nằm ngang đi qua khối tâm . Khối tâm lúc đầu đứng yên ở độ cao h
so vói sàn nhà. Thả cho bóng vừa rơi vùa quay và sau đó va chạm với sàn . Bỏ
qua sức cản không khí ( Hình vẽ )
a- Gọi  đ là động năng của bóng ngay trước khi nó va chạm với sàn . Hãy
1

viết động năng trước va chạm theo các dữ kiện đã cho
Trang 21


b- Ngay sau khi lần nhảy lên đầu tiên , bóng không quay nữa và động
năng của nó bằng E đ trong đó   1 , là một hệ số đã biết . Hỏi thành phần
1

năng ngang và thành phần thẳng đứng của vận tốc ngay sau khi va chạm lần
nảy lên đầu tiên ?

o

G

h

Giải
- Khi bóng rơi động năng quay của bóng không đổi, động năng tịnh tiến tăng

vì thế năng giảm. Động năng của quả bong sắp chạm đất
1
1
1
 đ 1  I G  02  mv 02  I G  02  mg (h  R )
(1)
2
2
2


-Khi va với sàn, bóng chịu phản lực vuông góc N và phản lực tiếp tuyến Fms

- Vì mô men lực đối với A bằng không , nên áp dụng định luật bảo toàn mô
men động lượng đối với điểm A


L/A  L A



L/A  LG  GA  mvG










vì GA  mvG 0 nên L/A  LG  I G  0
Hay
vX 

Rmv X  I G  0
I G0
Rm

(2)

Theo đề bài động năng ngay sau va chạm

Trang 22


1
 đ 1  mv X2  vY2 
2

(3)

- Giải 1, 2, 3 ta được:
vY  2  g ( h  R ) 

I G  02
m

I 


  G2 
mR 


 
R


N
A


Fms

Bài toán 3: Từ mức cao nhất của một mặt phẳng nghiêng, một hình trụ
đặc và một quả cầu đặc có cùng khối lượng và bán kính, đồng thời bắt đầu lăn
không trượt xuống dưới. Tìm tỷ số các vận tốc của hai vật tại một một mức
ngang nào đó.

A

Giải
Gọi vc là vận tốc của quả cầu sau khi lăn xuống
được độ cao h.

B

vT là vận tốc của hình trụ sau khi lăn xuống được độ
cao h.

Khi quả cầu, hình trụ lăn không trượt xuống dưới, thì điểm đặt của lực ma sát
tĩnh nằm trên trục quay tức thời, mà tại đó vận tốc của các điểm tại bằng
không và không ảnh hưởng tới cơ năng toàn phần của vật.
Vai trò của lực ma sát ở đây là đảm bảo cho vật lăn thuần tuỳ không trượt và
đảm bảo cho độ giảm thế năng hoàn toàn chuyển thành độ tăng động năng
tịnh tiến và chuyển động năng quay của vật.

Trang 23


r

r

Vì các lực tác dụng lên hình trụ đặc và quả cầu đều là : p ( lực thế ),  ( theo
r

r

r

phương pháp tuyến) và lực ma sát tĩnh Fms . Ta có  và Fms không sinh công
� Acác lực không thế = 0 � cơ năng của hệ được bảo toàn.

Như vậy ta có thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho chuyển động của
quả cầu và hình trụ:
2

Với quả cầu:

mgh =

2

mvc



2

 cc

2

Với hình trụ:
Trong đó:

c 
 

2

mv

mgh =



2

2mR

2

2

  

2

;

(2)

2

; c 

5
mR

(1)

2

 

vc
R
v

R
2

Thay vào ( 1 ) và ( 2 ) ta có:

mgh =
2

�

vc
2


v



7 mvc
10
15
14

�

2

;
vc
v

mgh =


3mv
4

15
14

Bài toán 4: Một lăng trục lục giác đều cạnh a, khối lượng m phân bố đều.
Mômen quán tính của lăng trụ là I =

5
ma2 các mặt của lăng trụ hơi lõm để
12

khi lăn trên mặt phẳng nghiêng lăng trụ tiếp xúc mặt phẳng nghiêng bằng các
cạnh coi là vật rắn. Gọi 1 ,  2 lần lượt là vận tốc góc của lăng trụ ngay trước
2

và sau va chạm. Tìm tỉ số  biết ma sát đủ lớn để khối trụ lăn nhưng không
1
D
nảy lên.
E
Giải
C
O vuur
0

a
Ngay trước va chạm lăng trụ quay với 1 ,
F
B
mômen động lượng đối với trục quay 0 là :
A
L0  I 1 

5 2 r
ma 1;v0  OB do trước va chạm, lăng trụ quay quanh B
2

Đối với trục quay A: Ngay trước va chạm :
Trang 24


LA  L0  a.mv0 sin300 
LA 

mav0
5
ma2.1 
12
2

5
1
11
ma21  ma21  ma21
12

2
12

(1)
Ngay sau va chạm lăng trụ quay quanh A với  2 , đối với (A):
5
17
L'A  I A.  ( ma2  ma2 ).2  ma22
12
12

(2)
Mômen động lượng bảo toàn vì coi như có phản lực N (va chạm) và F ms qua
ur

trục quay, suy ra mômen bằng 0 (mômen của vectơ p trong thời gian rất nhỏ
ta bỏ qua)
LA  L'A �

2
11

1
17

c- Dạng toán chứng minh vật dao động điều hòa.
-Định hướng về mặt phương pháp giải:
+ Phân tích các lực tác dụng vào vật
+ Xét vật ở thời điểm ban đầu.
+ Xét vật ở thời điểm li độ x

+ Đưa về dạng vi phân .
+Kết luận vật dao động điều hòa
Bài toán 1: Cho cơ hệ gồm hai vật có khối lượng m 1 và m2 được nối với
nhau bằng một lò xo rất nhẹ có độ cứng k, chiều dài tự nhiên l 0. Hệ được đặt
r

trên một mặt phẳng ngang trơn nhẵn. Một lực F không đổi có phương nằm
ngang (dọc theo trục của lò xo) bắt đầu tác dụng vào vật m2 như hình vẽ.
a, Chứng tỏ các vật dao động điều hoà. Tính biên độ và chu kỳ dao động
của mỗi vật.
m 1
Fq t 1

Fd h 1

m 2

F q t2

F
Fd h 2

x1

Trang 25

O 1

O 2

x 2