Hệ thống kiến thức Toán 7 Kiến thức cơ bản

.

HỆ THỐNG KIẾN THỨC
TOÁN 7
Kiến thức cơ bản

JHSMATH.COM


Lời nói đầu
Các em học sinh lớp 7 thân mến!
Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện
vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 7 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó
Series Tự học Toán 7 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo
khoa Toán 7 hiện hành. Mỗi bài gồm 4 mục
• Kiến thức cơ bản hệ thống những kiến thức cần thiết nhất mà các em phải nắm
vững
• Sai lầm cần tránh lưu ý các em những lỗi phổ biến thường mắc phải khi học và
làm toán
• Câu hỏi trắc nghiệm giúp các em vận dụng lí thuyết và tự kiểm tra mức độ nắm
kiến thức của mình
• Ví dụ minh họa được chọn lọc phù hợp với Chuẩn kiến thức và kĩ năng. Tất cả
các em cần nắm vững những kiến thức nền móng và những kĩ năng thiết yếu trong
các ví dụ cơ bản này
Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơ
bản. Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 7
Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức và
rèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn
Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao cho
ngắn gọn và rõ ràng
Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướng

suy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bài
toán
Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu để chỉ song song và kí hiệu ∼ để
chỉ đồng dạng. Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiện
hành

2


Mục lục
1 Số hữu tỉ. Số thực
1.1 Tập hợp Q các số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cộng, trừ số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Nhân, chia số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia
1.5 Lũy thừa của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau . . . . . . . . . . . .
1.8 Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuấn hoàn .
1.9 Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai . . . . . . . . . . . .
1.11 Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
số thập phân
. . . . . . . .

. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
7
8
8
8
8
9
9
9
10

2 Hàm số và đồ thị
2.1 Đại lượng tỉ lệ thuận . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . .
2.1.2 Tính chất . . . . . .
2.2 Một số bài toán về đại lượng
2.3 Đại lượng tỉ lệ nghịch . . . .
2.3.1 Định nghĩa . . . . .
2.3.2 Tính chất . . . . . .

2.4 Một số bài toán về đại lượng
2.5 Hàm số . . . . . . . . . . .
2.6 Mặt phẳng tọa độ . . . . . .
2.7 Đồ thị của hàm số y = ax .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

11
11
11
11
11
12
12
12
12
12
12
13

.
.
.
.
.
.

.

15
15
15
15
15
15
16
16

. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
tỉ lệ thuận
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
tỉ lệ nghịch
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

3 Thống kê
3.1 Thu thập số liệu thống kê. Tần số . . .
3.1.1 Bảng số liệu thống kê . . . . . .
3.1.2 Dấu hiệu . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Tần số của giá trị . . . . . . . .
3.2 Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu .
3.3 Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Số trung bình cộng . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

4 Biểu thức đại số
17
4.1 Khái niệm về biểu thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Giá trị của một biểu thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3


4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9

Đơn thức . . . . . . . . . . .
Đơn thức đồng dạng . . . . .
Đa thức . . . . . . . . . . . .
Cộng, trừ đa thức . . . . . . .
Đa thức một biến . . . . . . .
Cộng, trừ đa thức một biến .
Nghiệm của đa thức một biến

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

17

18
18
18
18
19
19

5 Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song
5.1 Hai góc đối đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Tính duy nhất của đường vuông góc . . . . . .
5.2.3 Đường trung trực của đoạn thẳng . . . . . . . .
5.3 Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng
5.3.1 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song .
5.5 Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song . . . . . . . .
5.5.1 Tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song . . . .
5.5.2 Tính chất hai đường thẳng song song . . . . . .
5.6 Từ vuông góc đến song song . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song
5.6.2 Ba đường thẳng song song . . . . . . . . . . . .
5.7 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

20
20
20
20
21
21
21
21
22
22
23
23
23
23
23
24
24
24
25
25

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

26
26
26
27
27
27
27
28
28
28
29
29

29
30
30
31
31
32
32

6 Tam giác
6.1 Tổng ba góc của một tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Tổng ba góc của một tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Áp dụng vào tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Góc ngoài của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Hai tam giác bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Trường hợp bằng nhau thức nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh . . .
6.4 Trường hợp bằng nhau thức hai của tam giác: cạnh - góc - cạnh . . . . .
6.5 Trường hợp bằng nhau thức ba của tam giác: góc - cạnh - góc . . . . . .
6.5.1 Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Trường hợp bằng nhau cạnh huyền-góc nhọn của tam giác vuông
6.6 Tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Tam giác vuông cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Định lí Py-ta-go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Định lí Py-ta-go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Định lí Py-ta-go đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . .
4

7 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Các đường đồng quy của tam
giác
7.1 Quan hệ giữa các góc và cạnh đối diện trong một tam giác . . . . . . . . .
7.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu .
7.3 Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác . . . . .
7.4 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Tính chất tia phân giác của một góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Tính chất ba đường phân giác của một tam giác . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Tính chất ba đường trung trực của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Tính chất ba đường cao của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

33
33
34
34
34
35
36
36
37
38


Chương 1
Số hữu tỉ. Số thực
1.1

Tập hợp Q các số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Cộng, trừ số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Nhân, chia số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia
số thập phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Lũy thừa của một số hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6

Tỉ lệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.8

Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuấn hoàn . . .

9

1.9

Làm tròn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.10 Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.11 Số thực

1.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Tập hợp Q các số hữu tỉ

• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số

a
với a, b là các số nguyên và b = 0.
b

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là Q
• Ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số. Trên trục số điểm biểu diễn số hữu
tỉ x gọi là điểm x
• Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh
hai phân số đó. Nếu x < y thì điểm x ở bên trái điểm y
• Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương. Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.
Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ âm cùng không là số hữu tỉ dương

1.2

Cộng, trừ số hữu tỉ

• Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng một phân số có
cùng một mẫu dương rối áp dụng quy tắc cộng trừ, phân số
6

• Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp,
cộng với số 0. Mọi số hữu tỉ đều có một số đối
• Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đồi dấu
số hạng đó x + y = z ⇒ x = z − y

1.3

Nhân, chia số hữu tỉ

• Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rối áp
dụng quy tắc nhân, chia phân số
• Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp,
nhân với số 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Mỗi số hữu tỉ
khác 0 đều có một số nghịch đảo
• Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y = 0) gọi là tỉ số của hai số x
x
và y. Kí hiệu hay x : y
y

1.4

Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ,
nhân, chia số thập phân

• Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ x kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến điểm
0 trên trục số
x khi x ≥ 0
|x| =
−x khi x < 0
Với mọi x ∈ Q ta luôn có |x| ≥ 0 và |x| ≥ x

• Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân ta có thể viết chúng dưới dạng phân số
thập phân rồi làm theo quy tắc các phép tính đã biết về phân số
• Trong thực hành ta thường cộng trừ nhân chia hai số thập phân theo các quy tắc
về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như với số nguyên
• Khi chia số thập phân x cho số thập phân y (y = 0) ta áp dụng quy tắc. Thương
của hai số thập phân x và y là thương của |x| và |y| với dấu + đằng trước
nếu x và y cùng dấu và dấu − đằng trước nếu x và y trái dấu

1.5

Lũy thừa của một số hữu tỉ

• Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x là tích của n thừa số x
xn = x.x...x với x ∈ Q, n ∈ N, n > 1
n

Quy ước x1 = x và x0 = 1 với x = 0
• Nhân hai lũy thừa cùng cơ số xm .xn = xm+n
• Chia hai lũy thừa cùng cơ số xn : xm = xm−n (x = 0, m ≥ n)
7


• Lũy thừa của lũy thừa (xm )n = xmn
• Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa (x.y)n = xn .y n
• Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa

1.6

Tỉ lệ thức

1.6.1

Định nghĩa

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

x
y

n

xn
= n (y = 0)
y

a
c
= . Ta còn viết a : b = c : d. Trong đó a và d gọi
b
d

là ngoại tỉ còn b và c gọi là trung tỉ

1.6.2

Tính chất

a
c
= thì ad = bc. Tức là trong một tỉ lệ thức tích các ngoại

b
d
tỉ bằng tích các trung tỉ

• Tính chất cơ bản nếu

• Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì có có các tỉ lệ thức
c a
b d
c d
b
a
= , = , = , =
b
d c
d b
a c
a
• Từ tính chất này ta suy ra có thể hoán vị các số hạng của một tỉ lệ thức. Trong tỉ
a
c
lệ thức
=
ta có thể
b
d
a
b
=
c

d
d
c
– Hoán vị các ngoại tỉ cho nhau =
b
a
– Hoán vị các trung tỉ cho nhau

– Hoán vị các trung tỉ cho nhau các ngoại tỉ cho nhau

1.7

d
b
=
c
a

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

• Từ

a
c
a
c
a+c
a−c
= ta suy ra = =
=

(b = d & b = −d)
b
d
b
d
b+d
b−d

a
c
m
a
c
m
a+c+m
a−c+m
= =
ta suy ra = =
=
=
(giả thiết các tỉ
b
d
n
b
d
n
b+d+n
b−d+n
số đều có nghĩa)

• Từ

a
b
c
• Khi có dãy tỉ số = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 7. Ta cũng viết
2
3
7
a:b:c=2:3:7
8


1.8

Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuấn
hoàn

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương và mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và
5 thì phân số đó viết được dưới dạng thập phân hữu hạn. Chẳng hạn
7
= 0, 35
20

1
= 0, 5
2

3

= 0, 12
25

• Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì
phân số đó viết được dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn. Chẳng hạn
1
= 0, 333... = 0, (3)
3

4
= 0, 2666... = 0, 2(6)
15

• Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn
tuần hoàn. Ngược lại mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn
một số hữu tỉ

1.9

Làm tròn số

• Để dễ nhớ, dễ ước lượng và dễ tính toán với các số có nhiều chữ số (kể cả số thập
phân vô hạn) người ta thường làm tròn số
• Quy ước
– Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên bộ
phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng
các chữ số 0
– Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cộng
thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường hợp số nguyên
thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng số 0

1.10

Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai

• Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp
các số vô tỉ được kí hiệu là I
• Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a
• Số dương a có đúng hai căn bậc hai là
• Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0
• Số âm không có căn bậc hai
9

√

√
a và − a


1.11

Số thực

• Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là
R
√
√
• Với a, b là hai số thực dương ta có nếu a > b thì a > b
• Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số. Ngược lại mỗi điểm trên trục
số đều biểu diễn một số thực. Như vậy có thể nói rằng các điểm biểu diễn số thực

đã lấp đầy trục số

10


Chương 2
Hàm số và đồ thị

2.1
2.1.1

2.1

Đại lượng tỉ lệ thuận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Đại lượng tỉ lệ nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch . . . . . . . . . . . .

12

2.5

Hàm số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.6

Mặt phẳng tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.7

Đồ thị của hàm số y = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Đại lượng tỉ lệ thuận
Định nghĩa

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là hằng số khác 0)
thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k

2.1.2

Tính chất

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại
lượng kia
• Cụ thể
y1
y2
y3
=
=
= ···
x1
x2
x3
x1
y1 x 1
y1
= ,
= ,···
x2
y2 x 3
y3

2.2

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Hai dạng toán thường gặp
• Dạng 1 Toán về hai đại lượng tỉ lệ thuận. Trong đó biết hai giá trị của một đại
lượng và một giá trị tương ứng của đại lượng kia. Tìm giá trị tương ứng còn lại
• Dạng 2 Chia một số thành nhiều phần tỉ lệ thuận với một số cho trước
11


2.3
2.3.1

Đại lượng tỉ lệ nghịch
Định nghĩa

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y =

a
hay xy = a (a là một hằng
x

số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a

2.3.2

Tính chất

• Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương
ứng của đại lượng kia
• Cụ thể

x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = · · ·
y2 x1
y3
x1
= ,
= ,···
x2
y 1 x3
y1

2.4

Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Hai dạng toán thường gặp về hai đại lượng tỉ lệ nghịch
• Dạng 1. Biết hai giá trị của một đại lượng và một giá trị tương ứng của đại lượng
kia. Tìm giá trị tương ứng còn lại
• Dạng 2. Biết hai giá trị của một đại lượng và tổng (hiệu) hai giá trị tương ứng của
đại lượng kia. Tìm hai giá trị tương ứng đó

2.5

Hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x
ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của
x và x gọi là biến số
• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng.
Hàm số có thể cho bằng bảng, bằng công thức, . . .
• Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = f (x), y = g(x), . . . Với y = f (x) ta viết

f (3) để chỉ giá trị của hàm số tại x = 3

2.6

Mặt phẳng tọa độ

• Mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định bởi hai trục số vuông góc với nhau. Trục
hoành Ox và trục tung Oy. Điểm O là gốc tọa độ
12


Hai trục tọa độ chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư I, II, III và IV
• Trên mặt phẳng tọa độ
– Mỗi điểm M xác định một cặp số (x0 , y0 ). Ngược lại mỗi cặp số (x0 , y0 ) xác
định một điểm M
– Cặp số (x0 , y0 ) gọi là tọa độ của điểm M . x0 là hoàng độ và y0 là tung độ của
điểm M
– Điểm M có tọa độ (x0 , y0 ) được kí hiệu là M (x0 ; y0 )

2.7

Đồ thị của hàm số y = ax

• Đồ thị của hàm số y = f (x) làm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị
tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ
• Đồ thị của hàm số y = ax với a = 0 là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

13

• Vì đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ nên khi vẽ ta chỉ cần
xác định thêm một điểm A thuộc đồ thị và khác điểm gốc O. Muốn vậy ta cho x
một giá trị khác 0 và tìm giá trị tương ứng của y
• Cặp giá trị đó là tọa độ của điểm A. Đường thẳng OA là đồ thị của hàm số đã cho

14


Chương 3
Thống kê

3.1
3.1.1

3.1

Thu thập số liệu thống kê. Tần số . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.2

Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu . . . . . . . . . . . . . .

15

3.3

Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.4

Số trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Thu thập số liệu thống kê. Tần số
Bảng số liệu thống kê

Khi điều tra nghiên cứu một vấn đề hay một hiện tượng người ta cần thu thập các số liệu
và ghi lại chúng trong một bảng gọi là bảng số liệu thống kê ban đầu

3.1.2

Dấu hiệu

• Vấn đề hay hiện tượng được điều tra gọi là dấu hiệu (thường được kí hiệu là X, Y, . . . )
• Khi điều tra về một dấu hiệu ứng với mỗi đơn vị điều tra có một số liệu tương ứng
gọi là giá trị của dấu hiệu đó (giá trị của dấu hiệu thường được kí hiệu là x). Số các
giá trị của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra (thường được kí hiệu là N )

3.1.3

Tần số của giá trị

Trong dãy giá trị của một dấu hiệu một giá trị có thể có mặt một hay nhiều lần. số lần
xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu gọi là tần số của giá trị đó (tần
số của giá trị thường được kí hiệu là n)

3.2

Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu

• Từ bảng số liệu thống kê ban đầu có thể lập bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu
(bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu). Bảng “tần số” có thể viết theo hàng
ngang hoặc cột dọc
• Bảng “tần số” viết theo hàng ngang là một khung hình chữ nhật có hai dòng
– Dòng trên ghi các giá trị khác nhau của dấu hiệu theo thứ tự tăng dần
15


– Dòng dưới ghi các tần số tương ứng với các giá trị đó
• Bảng “tần số” giúp người điều tra có những nhận xét chung về sự phân phối các giá
trị của dấu hiệu và tiện cho việc tính toán

3.3

Biểu đồ

• Dựa trên bảng “tần số” ta có thể dựng biểu đồ. Biểu đồ cho ta một hình ảnh cụ thể
về giá trị của dấu hiệu và tần số
• Các loại biểu đồ thường gặp là biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ chữ nhật và biểu đồ
hình quạt

3.4

Số trung bình cộng

• Cho bảng “tần số”
Giá trị (x)
Tần số (n)

x1
n1

x2
n2

x3
n3

···
···

xk
nk

N = n1 + n2 + n2 + · · · + nk

Số trung bình cộng X của dấu hiệu được tính theo công thức
X=

x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + · · · + xk nk
N

• Trong đó
– x1 , x2 , x3 , · · · , xk là các giá trị đôi một khác nhau của dấu hiệu X
– n1 , n2 , n3 , · · · , nk là các tần số tương ứng

– N là số các giá trị
• Số trung bình cộng thường được dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu đặc biệt là khi
muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại
• Mốt của dấu hiệu (kí hiệu Mo ) là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng “tần số”

16


Chương 4
Biểu thức đại số

4.1

4.1

Khái niệm về biểu thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.2

Giá trị của một biểu thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.3

Đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.4

Đơn thức đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.5

Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.6

Cộng, trừ đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.7

Đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.8

Cộng, trừ đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.9

Nghiệm của đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Khái niệm về biểu thức đại số
4
gồm các số và các chữ nối với nhau bởi
2y + 3
dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) là các biểu thức đại số

• Các biểu thức 3x, 2a − 5, −4(x2 + 1),

• Các chữ trong biểu thức đại số gọi là biến số. Gọi tắt là biến
• Một biểu thức số cũng là một biểu thức đại số

4.2

Giá trị của một biểu thức đại số

Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến
• Ta thay các giá trị cho trước vào biểu thức
• Rồi thực hiện các phép tính

4.3

Đơn thức

• Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các
số và các biến
17


• Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã
được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương
• Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn
thức đó. Số 0 được coi là đơn thức không có bậc. Số thực khác 0 là các đơn thức
bậc 0
• Để nhân hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau

4.4

Đơn thức đồng dạng

• Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến
• Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng
• Muốn cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau
và giữ nguyên phần biến

4.5

Đa thức

• Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong một tổng gọi là một
hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức được coi là một đa thức
• Thu gọn đa thức là đưa đa thức về dạng không còn hai hạng tử nào đồng dạng
• Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức
đó. Số 0 được gọi là đa thức không (đa thức này không có bậc)

4.6

Cộng, trừ đa thức

Khi cộng hoặc trừ đa thức ta thường làm như sau
• Viết hai đa thức trong dấu ngoặc
• Bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc
• Thu gọn đa thức

4.7

Đa thức một biến

• Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. Mỗi số được coi
là một đa thức một biến
• Đa thức của biến x được kí hiệu A(x), B(x), · · · Giá trị của đa thức A(x) tại x = 5
được kí hiệu A(5)
• Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của
biến trong đa thức đó
• Để thuận lợi trong tính toán, người ta thường sắp xếp các hạng tử của đa thức một
biến theo lũy thừa tăng dần hoặc giảm của biến
18


• Hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất. Hệ số của lũy thừa bậc
0 của biến gọi là hệ số tự do. Chẳng hạn đa thức −3x2 + 4x − 5 có hệ số cao nhất
là −3 và hệ số tự do là −5
• Trong biểu thức đại số có những chữ đại diện cho các số xác định cho trước ta gọi
chúng là hằng số (gọi tắt là hằng). Chẳng hạn đa thức bậc hai ax2 + bx + c (a = 0)

có biến x còn các hằng số là các số a, b, c

4.8

Cộng, trừ đa thức một biến

Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau
• Cách 1 Cộng trừ đa thức theo “hàng ngang” đã học
• Cách 2 Cộng trừ đa thức theo “cột dọc”. Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng
theo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến rồi thực hiện phép tính
Đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột

4.9

Nghiệm của đa thức một biến

• Số a là một nghiệm của đa thức một biến P (x) nếu P (a) = 0
• Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, . . . hoặc không
có nghiệm nào
• Một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm

19


Chương 5
Đường thẳng vuông góc. Đường
thẳng song song

5.1
5.1.1

5.1

Hai góc đối đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

5.2

Hai đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

5.3

Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng . . . .

22

5.4

Hai đường thẳng song song

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

5.5

Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song . . . . . . . . . . . .

23

5.6

Từ vuông góc đến song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

5.7

Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Hai góc đối đỉnh
Định nghĩa

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia

5.1.2

Tính chất

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau AOC và BOD đối đỉnh ⇒ AOC = BOD

20


5.2

5.2.1

Hai đường thẳng vuông góc
Định nghĩa

Hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và một trong các góc tạo thành
là góc vuông (khi đó cả bốn góc là góc vuông) AB ⊥ CD tại O ⇔ AOC = 90o

5.2.2

Tính duy nhất của đường vuông góc

Qua một điểm cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng
cho trước

5.2.3

Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại
trung điểm của nó
21


Trên hình đường thẳng xy là đường trung trực của AB (ta có xy ⊥ AB và OA = OB)

5.3

Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường
thẳng

Hình bên dưới ta có

• Hai góc so le trong A1 và B3 , A4 và B2
• Bốn cặp góc đồng vị A1 và B1 , A2 và B2 , A3 và B3 , A4 và B4
• Hai cặp góc trong cùng phía A1 và B2 , A4 và B3

5.3.1

Tính chất

Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc
so le trong bằng nhau thì
• Hai góc so trong còn lại bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
Khi đó ta cũng có hai góc trong cùng phía bù nhau Hình bên dưới ta có A4 = B2
22




 A1 = B3
⇒
A1 = B1 , A2 = B2 , A3 = B3 , A4 = B4

 A + B = 180o , A + B = 180o
1
1
4
3

5.4
5.4.1

Hai đường thẳng song song
Định nghĩa

Hai đường thẳng song song (trong mặt phẳng) là hai đường thẳng không có điểm chung

5.4.2

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

• Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một góc so le trong
bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song A1 = B1 ⇒ a b
• Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc đồng vị
bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song A2 = B2 ⇒ a b
Lưu ý Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một cặp góc trong
cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng đó song song A1 + B2 = 180o ⇒ a b

5.5
5.5.1

Tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song
Tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường
thẳng đó
23

5.5.2

Tính chất hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì
• Hai góc so le trong bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau
Hình bên dưới ta có

a

5.6
5.6.1



 A1 = B1
b⇒
A3 = B1

 A + B = 180o
2
1

Từ vuông góc đến song song
Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song

Nếu hai đường thẳng (phân biệt) cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng

song song với nhau a ⊥ b và b ⊥ c ⇒ a b

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng
vuông góc với đường thẳng kia a b và c ⊥ a ⇒ c ⊥ b
24


5.6.2

Ba đường thẳng song song

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau a b và b c ⇒ a b

5.7

Định lí

• Một tính chất được khẳng định là đúng bằng lập luận được gọi là một định lí. Giả
thuyết của định lí là điều cho biết và kết luận là điều được suy ra
• Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thuyết suy ra kết luận

25