Tiểu luận cao học môn toán: Cấu trúc đại số

Tiểu luận cao học môn toán: Cấu trúc đại số

MÅÍ ÂÁƯU.C u trục âải s â üc xạc âënh b i vi ûc cho tr n t ûpáú äú ỉå åí ã ã á n n m üt hay nhi u phẹp toạn trong hay ngoa i tho a mn cạcãư ä ãư ì í ti n â â cho. Ngoa i ra chụng ta cọ th x y d ûng m üt c ãư ì ãø á ỉ ä áú trục âải s bà ng cạch l y â i ng ùu m üt c u trục â cọ. äú ò áú äú á ä áúải s la m üt c u trục phong phụ, nọ cọ c u trục äú ì ä áú áú m âun (phẹp toạn c üng va phẹp nh n ngoa i) â ng th i cngä ä ì á ì äư åì cọ c u trục va nh (phẹp nh n trong). y la c u trục â üc sáú ì á Âá ì áú ỉå ỉí dủng nhi u trong toạn hc hi ûn âải. ãư ã i âải s la m üt c u trục â üc x y d ûng tr n vi ûcÂäú äú ì ä áú ỉå á ỉ ã ã l y â i ng ùu cu a âải s th ng qua ng n ng ỵ tenx . Chênh vçáú äú á í äú ä ä ỉ å v ûy c u trục na y r t g n v ïi c u trục âải s .á áú ì áú áư å áú äú Trong ti u lu ûn na y chụng t i trçnh ba y m üt s âënhãø á ì ä ì ä äú nghéa va tênh ch t c ba n cu a â i âải s â ng th i â a ra cạcì áú å í í äú äú äư åì ỉ vê dủ â minh hoả cho âënh nghéa, tênh ch t âọ cng nhãø áú ỉ vi ûc so sạnh hai c u trục nọi tr n.ã áú ã Ti u lu ûn na y la s û c gà ng cu a ba n th n chụng t iãø á ì ì ỉ äú õ í í á ä trong quạ trçnh ti p thu, hc t ûp, tham kha o cạc ta i li ûu.ãú á í ì ã Tuy nhi n, ti u lu ûn cng co n nhi u hản ch . ã ãø á ì ãư ãú Mong â üc s û th ng ca m cu a qu th y c .ỉå ỉ ä í í áư ä Xin ch n tha nh ca m n! á ì í å1 I. TỌM TÀÕT L THUÚT1. Têch tenxå1.1. ënh nghéa: Cho MÂR; RN la cạc m dunì ä Càûp ( T, τ) bao g m: T nhọm abenäư τ: M x N → T la ạnh xả song tuy n tênh ì ãú â üc gi la têch tenx cu a M va N n u v ïi mi nhọmỉå ì å í ì ãú å aben A va v ïi mi ạnh xả song tuy n tênh.ì å ãúβ: M x N → A T n tải duy nh t Z - â ng c u f: T äư áú äư áú → A sao cho gia n â sau giao hoạn: í äư M x N → T f β A2. Âải säú v âäúi âải säú:ải s hay â i âải s â üc x y d ûng tr n m üt va nh c äú äú äú ỉå á ỉ ã ä ì å s R. ph n na y ta chè xẹt R la va nh giao hoạn cọ â n vë 1 åí ÅÍ áư ì ì ì å ≠ 0.2.1.Âải säú.2.1.1. ënh nghéa: Chụng ta chè xẹt âënh nghéa cu a âải s í äú qua ng n ng ỵ tenx (mủc âêch la â l y â i ng ùu).ä ỉ å ì ãø áú äú á2τ ënh nghéa: M üt R - m âun A â üc gi la R - âải s n ä ä ỉå ì äú ãú t n tải m üt â ng c u R - m âunäư ä äư áú ä µ: A ⊗RA → A(µ â üc gi la phẹp nh n cu a A).ỉå ì á í2.2. Âäúi âải säú.L y â i ng ùu cu a âënh nghéa âải s ta cọ âënh nghéấú äú á í äú â i âải s .äú äú2.2.1. ënh nghéa: M üt R - m nâun C â üc gi la R- â i ä ä ỉå ì äú âải s n u t n tải m üt R- â ng c u äú ãú äư ä äư áư ∆: C → C ⊗R C(∆ â üc gi la â i nh n cu a C)ỉå ì äú á í2.3. Nháûn xẹt:-µ (∆) la cạc R- â ng c u ì äư áú ⇒ A ⊗ A (C ⊗ C)la cạc m âun ì ä ⇒ A (C) la cạc song m âun âi u na y â ücì ä ãư ì ỉå gia i thêch b i R la va nh giao hoạn.í åí ì ì- R- âải s A r t g n v ïi R- â i âải s C. äú áú áư å äú äúi u na y do kha nàng l ûp â üc m üt têch cạc R- â ng ãư ì í á ỉå ä äư c u t C.áú ỉìCủ th : T n tải R- â ng c u.ãø äư äư áúHomR (C, A) ⊗ HomR (C, A) → Hom (C, A) f ⊗ g [C → C ⊗ C → A ⊗ A → A]3. Tênh cháút ca âäúi âải säú:Cạc âải s â üc ph n loải tuy theo tênh ch t cu a phẹpäú ỉå á ì áú í nh n trong nọ. i u na y cng â üc di ùn âảt theo ng n ng ỵá  ãư ì ỉå ã ä ỉ tenx va bà ng cạch l y â i ng ùu ta cu ng cọ cạc tênh ch tå ì ò áú äú á ì áú t ng ïng cu a â i âải sỉå ỉ í äú äú3.1. Tênh âäúi kãút håüp.3∆f ⊗ gµ 3.1.1. ënh nghéa: Cho  ∆: C → C ⊗ C la m üt â i âải s . Cì ä äú äú â üc gi la â i k t h üp n u v ïi mi R- âải s k t h üp ỉå ì äú ãú å ãú å äú ãú å µ : A ⊗ A → A, HomR (C, A) la m üt âải s k t h üp.ì ä äú ãú åNh ûn xẹt: Tênh â i k t h üp cu a â i âải s â ücá äú ãú å í äú äú ỉå chuy n qua tênh k t h üp cu a âải s Homãø ãú å í äúR (C, A).3.1.2. M ûnh â . ã ãưCạc âi u ki ûn sau la t ng â ng â i v ïi R- â i âải s C.ãư ã ì ỉå ỉå äú å äú äú (1) C la â i k t h üp. ì äú ãú å(2) Gia n â la giao hoạní äư ìC C ⊗R C id ⊗ ∆ C ⊗R C C ⊗R C ⊗R CNghéa la (id ì ⊗ ∆)o ∆ = (∆ ⊗ id)o ∆ 3.2. Tênh âäúi giao hoạn.3.2.1. ënh nghéa: Cho  ∆ : C → C ⊗R C la â i âải s .ì äú äúC â üc gi la â i giao hoạn n u v ïi mi R- âải s giaå ì äú ãú å äú hoạn µ : A ⊗R A → A, Hom (C, A) la âải s giao hoạn.ì äúNh ûn xẹt: Tênh â i giao hoạn cu a â i âải s â ücá äú í äú äú ỉå chuy n qua tênh giao hoạn cu a âải s Hom (C, A).ãø í äú3.2.2. M ûnh â : Cạc âi u ki ûn sau la t ng â ng â i v ïiã ãư ãư ã ì ỉå ỉå äú å â i âải s Cäú äú(1) C la â i giao hoạn.ì äú(2) Gia n â sau la giao hoạn.í äư ìC ∆ C ⊗R C τ4∆∆ ⊗ id ∆ C ⊗R CTrong âọ: τ: C ⊗R C → C ⊗R C x ⊗ y → y ⊗ x3.3. Âäúi âån vë.3.3.1. ënh nghéa: Cho  ∆: C → C ⊗R C la m üt â i âải s .ì ä äú äúM üt R- â ng c u ä äư áú ε: C → R â üc gi la â i â n vë cu a Cỉå ì äú å í n u v ïi mi R- âải s cọ â n vë A, R- âải s Homãú å äú å äúR (C, A) l m üt âải s cọ â n vë âàûc bi ût ä äú å ã ε la â n vë cu a Homì å íR (C1, R).3.3.2. M ûnh â .ã ãưCạc âi u ki ûn sau la t ng â ng â i v ïi R- â i âải s C.ãư ã ì ỉå ỉå äú å äú äú(1) C cọ â i â n vë äú å ε: C → R(2) Gia n â sau giao hoạn:í äưR ⊗R C C ⊗R C C ⊗R R ∆1−lυ C1−rυTrong âọ: lυ(r ⊗ c) = r c va ìrυ(c ⊗ r) = c rNghéa la : ì (ε ⊗ id) o ∆ = 1−lυ( id ⊗ ε) o ∆ = 1−rυII. CẠC VÊ DỦ1. Âäúi âải säú: Vê dủ 1: R va nh b t ky thç R la Z- â i âải s .ì áú ì ì äú äú Ch ïng minh: R-Z modunỉ Xẹt R- â ng c u: äư áú ∆: R → R ⊗ZR r → r ⊗ r0 ;(r0 ∈R)5ε ⊗ idid ⊗ ε ∆(r1+ r2) = (r1+ r2) ⊗ r0 = r1⊗ r0 + r2⊗ r0 = ∆ (r1) + ∆ (r2) ∆ (z.r) = z.r ⊗ r0 = (r + r + r + r) ⊗ r0 = z.( r ⊗ r0 ) =z.∆(r) z l n áư Vê dủ 2: R la va nh giao hoạn cọ â n vë 1ì ì å ≠ 0 t R la R - â iỉì ì äú âải s . äú Ch ïng minh: R la R-m âunỉ ì äXẹt R-â ng c ư áú∆: R → R ⊗ R r → r ⊗ 1 ∆(r1+ r2) =(r1+ r2) ⊗1= r1⊗1+ r2⊗1=∆ (r1) + ∆ (r2) ∆ (r.r’) = (r.r’) ⊗1 = r ⊗ r’.1 = (r ⊗ 1) r’ = ∆ (r) r’Vê dủ 3: Cho F la R- m âun t û do v ïi c s fì ä ỉ å å å íx X X la t ûp na o âọì á ì Khi âọ : F la R- â i âải sì äú äúXẹt ∆: F → F ⊗ F fx → fx ⊗ fx0 Vê dủ 4: Cho R la va nh giao hoạn cọ â n vë 1ì ì å ≠ 0. Va nh âa th ïc m üt bi n R [x] cu ng phẹp nh n v h ïngì ỉ ä ãú ì á ä ỉå th ng th ng cu a âa th ïc la m üt R- â i âải s .ä ỉåì í ỉ ì ä äú äú Xẹt ∆: R [x] → R [x] ⊗ R[x] f(x) → f ( x) ⊗ f0(x) T ng quạt: Va nh âa th ïc n bi n cng la R _â i âải s . äø ì ỉ ãú ì äú äúVê dủ 5: R-modun Mn(R) = { }njiRanxnaijij 1,,,)( =∈ cu ng v ïi phẹp nh nì å á th ng th ng cạc ma tr ûn vu ng c p n la m üt R-â i âải s .ä ỉåì á ä áú ì ä äú äúXẹt ∆ : Mn(R) → Mn(R) ⊗ Mn(R)6 A → A ⊗ I2. Âäúi kãút håüpVê dủ 1:R la va nh giao hoạn cọ â n vë 1 ì ì å ≠ 0 . R la â i âải s va Rì äú äú ì la â i k t h üpì äú ãú å ∆ R R ⊗R R∆ id ⊗ ∆ ∆ ⊗ id R ⊗R R R ⊗R R ⊗R RTrong âọ: ∆ (r) = r ⊗ 1 s â tr n giao hoạnå äư ã3. Âäúi giao hoạnVê dủ 1:R la va nh giao hoạn cọ â n vë 1ì ì å ≠ 0 . R la R-â i âải s va Rì äú äú ì la â i giao hoạnì äúXẹt R-â ng c u äư áú ∆(r) = r ⊗ 1 va ì τ(x ⊗ y) = y ⊗ x s â sa äư giao hoạn ∆R R ⊗R R τ∆ R ⊗R R (∆(r) = r ⊗ 1= 1⊗ r = τ∆(r) ) 4 . Âäúi âån vë Vê dủ 1: à ng c u chênh tà c R  ó áú õ → R ⊗R R xạc âënh m üt R-â i âải sä äú äú tr n R ãv ïi â n vë R å å → R nh la â i â n vëỉ ì äú å7 Vê dủ 2: F la ì R- m âun t û do v ïi c s fä ỉ å å åíx X .X la t ûp na o âọì á ì F la R- â i âải s v ïi R-â ng c äú äú å äư áú ∆: F → F ⊗R F , fx → fx ⊗ fx Khi âọ â i â n vë la â ng c u äú å ì äư áú ε : F → R fx →1 (ε ⊗ id)∆(fx) = (ε ⊗ id)(fx ⊗ fx) = 1⊗ fx = 1−lυ(fx) (id ⊗ ε)∆(fx) = (id ⊗ ε)(fx ⊗ fx) = fx ⊗ 1= 1−rυ(fx) 8 TA I LI U THAM KHA ÃÛ Í1-L Vàn Thuy t, Cạc c u trục ải s c ba n, NXB GD 1999ã ãú áú  äú å í2-Nguy ùn H ỵu Vi ût H ng, ải s âải c ng, NXB GD 1998ã ỉ ã ỉ  äú ỉå3-Frank W Anderson, Kent R Fuller Rings and Categories of Modules9 123doc.vn