Tiểu luận cao học môn toán: Cấu trúc đại số

MÅÍ ÂÁƯU.
C u trục âải s â üc xạc âënh b i vi ûc cho tr n t ûpáú äú ỉå åí ã ã á
n n m üt hay nhi u phẹp toạn trong hay ngoa i tho a mn cạcãư ä ãư ì í
ti n â â cho. Ngoa i ra chụng ta cọ th x y d ûng m üt c ãư ì ãø á ỉ ä áú
trục âải s bà ng cạch l y â i ng ùu m üt c u trục â cọ. äú ò áú äú á ä áú
ải s la m üt c u trục phong phụ, nọ cọ c u trục äú ì ä áú áú
m âun (phẹp toạn c üng va phẹp nh n ngoa i) â ng th i cngä ä ì á ì äư åì
cọ c u trục va nh (phẹp nh n trong). y la c u trục â üc sáú ì á Âá ì áú ỉå ỉí
dủng nhi u trong toạn hc hi ûn âải. ãư ã
i âải s la m üt c u trục â üc x y d ûng tr n vi ûcÂäú äú ì ä áú ỉå á ỉ ã ã
l y â i ng ùu cu a âải s th ng qua ng n ng ỵ tenx . Chênh vçáú äú á í äú ä ä ỉ å
v ûy c u trục na y r t g n v ïi c u trục âải s .á áú ì áú áư å áú äú
Trong ti u lu ûn na y chụng t i trçnh ba y m üt s âënhãø á ì ä ì ä äú
nghéa va tênh ch t c ba n cu a â i âải s â ng th i â a ra cạcì áú å í í äú äú äư åì ỉ
vê dủ â minh hoả cho âënh nghéa, tênh ch t âọ cng nhãø áú ỉ
vi ûc so sạnh hai c u trục nọi tr n.ã áú ã
Ti u lu ûn na y la s û c gà ng cu a ba n th n chụng t iãø á ì ì ỉ äú õ í í á ä
trong quạ trçnh ti p thu, hc t ûp, tham kha o cạc ta i li ûu.ãú á í ì ã
Tuy nhi n, ti u lu ûn cng co n nhi u hản ch . ã ãø á ì ãư ãú
Mong â üc s û th ng ca m cu a qu th y c .ỉå ỉ ä í í áư ä
Xin ch n tha nh ca m n! á ì í å
1
I. TỌM TÀÕT L THUÚT
1. Têch tenxå
1.1. ënh nghéa: Cho MÂ
R
;
R
N la cạc m dunì ä
Càûp ( T, τ) bao g m: T nhọm abenäư
τ: M x N → T la ạnh xả song tuy n tênh ì ãú

â üc gi la têch tenx cu a M va N n u v ïi mi nhọmỉå ì å í ì ãú å
aben A va v ïi mi ạnh xả song tuy n tênh.ì å ãú
β: M x N → A
T n tải duy nh t Z - â ng c u f: T äư áú äư áú → A
sao cho gia n â sau giao hoạn: í äư
M x N → T
f
β
A
2. Âải säú v âäúi âải säú:
ải s hay â i âải s â üc x y d ûng tr n m üt va nh c äú äú äú ỉå á ỉ ã ä ì å
s R. ph n na y ta chè xẹt R la va nh giao hoạn cọ â n vë 1 åí ÅÍ áư ì ì ì å ≠
0.
2.1.Âải säú.
2.1.1. ënh nghéa: Chụng ta chè xẹt âënh nghéa cu a âải s í äú
qua ng n ng ỵ tenx (mủc âêch la â l y â i ng ùu).ä ỉ å ì ãø áú äú á
2
τ
ënh nghéa: M üt R - m âun A â üc gi la R - âải s n ä ä ỉå ì äú ãú
t n tải m üt â ng c u R - m âunäư ä äư áú ä
µ: A ⊗
R
A → A
(µ â üc gi la phẹp nh n cu a A).ỉå ì á í
2.2. Âäúi âải säú.
L y â i ng ùu cu a âënh nghéa âải s ta cọ âënh nghéấú äú á í äú
â i âải s .äú äú
2.2.1. ënh nghéa: M üt R - m nâun C â üc gi la R- â i ä ä ỉå ì äú
âải s n u t n tải m üt R- â ng c u äú ãú äư ä äư áư ∆: C → C ⊗
R

C
(∆ â üc gi la â i nh n cu a C)ỉå ì äú á í
2.3. Nháûn xẹt:
-µ

(∆) la cạc R- â ng c u ì äư áú ⇒ A ⊗ A (C ⊗ C)
la cạc m âun ì ä ⇒ A (C) la cạc song m âun âi u na y â ücì ä ãư ì ỉå
gia i thêch b i R la va nh giao hoạn.í åí ì ì
- R- âải s A r t g n v ïi R- â i âải s C. äú áú áư å äú äú
i u na y do kha nàng l ûp â üc m üt têch cạc R- â ng ãư ì í á ỉå ä äư
c u t C.áú ỉì
Củ th : T n tải R- â ng c u.ãø äư äư áú
Hom
R
(C, A) ⊗ Hom
R
(C, A) → Hom (C, A)
f ⊗ g [C → C ⊗ C → A ⊗ A → A]
3. Tênh cháút ca âäúi âải säú:
Cạc âải s â üc ph n loải tuy theo tênh ch t cu a phẹpäú ỉå á ì áú í
nh n trong nọ. i u na y cng â üc di ùn âảt theo ng n ng ỵá Â ãư ì ỉå ã ä ỉ
tenx va bà ng cạch l y â i ng ùu ta cu ng cọ cạc tênh ch tå ì ò áú äú á ì áú
t ng ïng cu a â i âải sỉå ỉ í äú äú
3.1. Tênh âäúi kãút håüp.
3
∆
f ⊗ g
µ
3.1.1. ởnh nghộa: Cho : C C C la m ỹt õ i õaỷi s . Cỡ ọ ọỳ ọỳ
õ ỹc goỹi la õ i k t h ỹp n u v ùi moỹi R- õaỷi s k t h ỹp ổồ ỡ ọỳ óỳ ồ óỳ ồ ọỳ óỳ ồ à :

A A A, Hom
R
(C, A) la m ỹt õaỷi s k t h ỹp.ỡ ọ ọỳ óỳ ồ
Nh ỷn xeùt: Tờnh õ i k t h ỹp cu a õ i õaỷi s õ ỹcỏ ọỳ óỳ ồ ớ ọỳ ọỳ ổồ
chuy n qua tờnh k t h ỹp cu a õaỷi s Homóứ óỳ ồ ớ ọỳ
R
(C, A).
3.1.2. M ỷnh õ . ó óử
Caùc õi u ki ỷn sau la t ng õ ng õ i v ùi R- õ i õaỷi s C.óử ó ỡ ổồ ổồ ọỳ ồ ọỳ ọỳ
(1) C la õ i k t h ỹp. ỡ ọỳ óỳ ồ
(2) Gia n õ la giao hoaùnớ ọử ỡ
C C
R
C
id
C
R
C C
R
C
R
C
Nghộa la (id ỡ )
o
= ( id)
o

3.2. Tờnh õọỳi giao hoaùn.
3.2.1. ởnh nghộa: Cho : C C
R

C la õ i õaỷi s .ỡ ọỳ ọỳ
C õ ỹc goỹi la õ i giao hoaùn n u v ùi moỹi R- õaỷi s giaoổồ ỡ ọỳ óỳ ồ ọỳ
hoaùn
à : A
R
A A, Hom (C, A) la õaỷi s giao hoaùn.ỡ ọỳ
Nh ỷn xeùt: Tờnh õ i giao hoaùn cu a õ i õaỷi s õ ỹcỏ ọỳ ớ ọỳ ọỳ ổồ
chuy n qua tờnh giao hoaùn cu a õaỷi s Hom (C, A).óứ ớ ọỳ
3.2.2. M ỷnh õ : Caùc õi u ki ỷn sau la t ng õ ng õ i v ùió óử óử ó ỡ ổồ ổồ ọỳ ồ
õ i õaỷi s Cọỳ ọỳ
(1) C la õ i giao hoaùn.ỡ ọỳ
(2) Gia n õ sau la giao hoaùn.ớ ọử ỡ
C C
R
C

4

id
∆ C ⊗
R
C
Trong âọ: τ: C ⊗
R
C → C ⊗
R
C
x ⊗ y → y ⊗ x
3.3.
Âäúi âån vë.

3.3.1. ënh nghéa: Cho  ∆: C → C ⊗
R
C la m üt â i âải s .ì ä äú äú
M üt R- â ng c u ä äư áú ε: C → R â üc gi la â i â n vë cu a Cỉå ì äú å í
n u v ïi mi R- âải s cọ â n vë A, R- âải s Homãú å äú å äú
R
(C, A) l
m üt âải s cọ â n vë âàûc bi ût ä äú å ã ε la â n vë cu a Homì å í
R
(C
1
, R).
3.3.2. M ûnh â .ã ãư
Cạc âi u ki ûn sau la t ng â ng â i v ïi R- â i âải s C.ãư ã ì ỉå ỉå äú å äú äú
(1) C cọ â i â n vë äú å ε: C → R
(2) Gia n â sau giao hoạn:í äư
R ⊗
R
C C ⊗
R
C C ⊗
R
R
∆
1
−
l
υ
C
1−

r
υ
Trong âọ:
l
υ
(r ⊗ c) = r c va ì
r
υ
(c ⊗ r) = c r
Nghéa la : ì (ε ⊗ id)
o
∆ =
1
−
l
υ
( id ⊗ ε)
o
∆ =
1−
r
υ
II. CẠC VÊ DỦ
1. Âäúi âải säú:

Vê dủ 1
: R va nh b t ky thç R la Z- â i âải s .ì áú ì ì äú äú
Ch ïng minh: R-Z modunỉ
Xẹt R- â ng c u: äư áú
∆: R → R ⊗

Z
R
r → r ⊗ r
0
;(r
0
∈
R)
5
ε ⊗ id
id ⊗ ε