SKKN Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
1.1. Lý do chọn đề tài :
Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số câu hỏi có nội dung liên quan tới
tích phân :
Năm
Mã đề
Số câu hỏi

2017
101
3

102
3

103
3

2018
101
5

102
5

103
5

2019

101
5

102
5

103
5

Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần
Các câu liên quan tới tích phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là
hàm số ẩn, tích phân có lien quan đến phương trình vi phân…
Bài toán tích phân của hàm số khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường
lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ. Do đó, các em phải biết chuyển một
bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh
phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán...
Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành
cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia”. Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các
phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh
từng bước tiếp cận,làm quen và thành thạo các dạng toán.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho giáo viên và các em học sinh trong việc
dạy - học, ôn tập để kiểm tra đánh giá và thi THPT Quốc Gia đạt kết quả cao.
1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. Cập nhật kiến
thức, dạng toán mới trong đề thi THPT Quốc gia các năm gần đây.
Tìm hiểu các phương pháp tính tích phân, xây dựng theo hệ thống kiến thức, bài tập có
phân theo các mức độ phù hợp từng đối tượng học sinh.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
*Đối tượng nghiên cứu:

1


Một số phương pháp tính tích phân: Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa, đổi
biến số, tích phân từng phần, phương pháp tính tích phân có liên quan đến phương
trình vi phân dành cho học sinh lớp 12 và ôn thi THPT Quốc Gia.
*Phạm vi nghiên cứu:
Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thông, có sự mở rộng phù hợp với nội
dung chương trình thi trung học phổ thông quốc gia năm 2020.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu.
Phân tích, đề xuất phương án giải quyết bài toán.
Thực nghiệm sư phạm qua công tác ôn luyện thi trung học phổ thông quốc gia của cá
nhân tôi trong thời gian từ tháng 1 năm 2019 đến tháng 1 năm 2020.
2. Tên sáng kiến
“ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia”
3. Tác giả sáng kiến
Họ và tên: Trần Thị Hương
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên Lạctỉnh Vĩnh Phúc
Số điện thoại: 0974 361 811. Emai:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
Họ và tên: Trần Thị Hương
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu- xã Trung Nguyên- huyện Yên Lạctỉnh Vĩnh Phúc
Số điện thoại: 0974 361 811. Emai:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Lĩnh vực: Phương pháp tính tích phân.
Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Một số phương pháp tính tích phân dành cho Học
sinh ôn thi THPT Quốc Gia.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng

2


Chuyên đề : “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho học sinh ôn thi THPT
Quốc Gia” được dạy thực nghiệm tháng 1 /2017 tại trường THPT Đồng Đậu .
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Cơ sở lý luận
7.1.1. Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm:
(Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) cơ bản mở rộng là từ HSSC cơ bản ta thay biến x
bởi ax + b)
Nguyên hàm của HSSC Nguyên hàm của HSSC mở rộng

Nguyên hàm của hàm

thường gặp

số hợp (với u = u(x) )

thường gặp

∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

x α +1
+C
α +1

1

∫ du = u + C
α
∫ (ax + b) dx =

1

1 (ax + b) α +1
+C
a α +1
1

∫ x dx = ln x + C

∫ (ax + b) dx = a ln ax + b + C

∫e

∫x

x

dx = e x + C

x
∫ a dx =

ax
+C
ln a

ax + b

α
∫ u du =

dx =

1

∫ u du = ln u + C

∫e

1 ax+b
.e
+C
a

1 a px+ q
+C
p ln a

px+ q
∫ a dx =

u α +1
+C
α +1

u

du = e u + C

u
∫ a du =

au
+C
ln a

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

∫ sin udu = − cos u + C

dx = tan x + C

1
1
∫ cos2 ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C

1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

∫ cos udu = sin u + C

1

1

1

1

2

1
2

u

1

∫ sin

2

u

dx = tan u + C

dx = − cot u + C

7.1.2. Tích phân
f

7.1.2. 1. Định nghĩa: Cho hàm số
Nếu

F

liên tục trên

f

là một nguyên hàm của

trên

K

K

a, b

và

là hai số bất kỳ thuộc

K

.

F (b) − F (a)

thì hiệu số

3

được gọi là tích phân


b

f

của

từ

a

đến

b

∫ f ( x)dx
a

và kí hiệu là

f

tích phân của

b

trên đoạn

. Trong trường hợp

[ a; b ]

Người ta dùng kí hiệu

nguyên hàm của

K

trên

a

, ta gọi

F (b) − F (a)

để chỉ hiệu số

. Như vậy Nếu

b

f

∫ f ( x)dx
là

.

b

F ( x) a

a

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

F

là một

= F (b) − F (a )

a

thì

.

Lưu ý:
a

-

Quy ước: + Nếu

a=b

ò f ( x ) dx = 0
a

thì
b

a

ò f ( x) dx =-

a>b

a

ò f ( x ) dx

+ Nếu
thì
- Tích phân không phụ thuộc vào biến số:
b

b

b

b

ò f ( x) dx = ò f ( t ) dt = ò f ( u ) du = ...
a

a

a

7.1.2.2. Tính chất:
f,g

a) Giả sử

liên tục trên
a

1)

K

∫

b

f ( x )dx = 0

2)

a

∫
a

a , b, c

và

là ba số bất kì thuộc
a

b

∫[
a

3)

b

;
4)

b

f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx

∫
a

b

b

c

b

a

a

a

b

b

a

a

5) ∫ kf ( x)dx =k ∫ f ( x )dx

Chú ý:
với mọi

c

f ( x) dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x) dx

;

- Nếu

. Khi đó ta có

;

f ( x) + g ( x) ] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

F ′( x) = f ( x)

K

x∈K

thì

F ( x) = ∫ f ( x) dx

4

với

k∈R

.


b

∫ ( f ( x) ) ′ dx = f ( x)

b
a

a

- Ta có:
f

b) Với hàm số

liên tục và số thực dương

a

, ta có hai tính chất sau đây:
a

f

- Nếu

là hàm số lẻ trên đoạn

[ −a ; a ]

∫

f ( x)dx = 0

−a

thì

.

a

f

- Nếu

là hàm số chẵn trên đoạn

[ −a ; a ]

∫

thì

−a

a

f ( x) dx = 2 ∫ f ( x) dx
0

.

7.1.3. Các công thức tính tích phân.
f

7.1.3.1. Định nghĩa: Cho hàm số
Nếu

F

liên tục trên

f

là một nguyên hàm của

trên

K

a, b

K

và

là hai số bất kỳ thuộc

của

từ

a

đến

b

thì hiệu số

được gọi là tích phân

a

f

tích phân của

b

∫ f ( x)dx
và kí hiệu là

trên đoạn

. Trong trường hợp

[ a; b ]

Người ta dùng kí hiệu

nguyên hàm của

trên

K

∫ f ( x)dx
a

, ta gọi

F (b) − F (a)

để chỉ hiệu số
b

f

a
là

.

b

F ( x) a

.

F (b) − F (a)

b

f

K

∫ f ( x)dx = F ( x)

. Như vậy, Nếu
b
a

F

là một

= F (b) − F (a )

a

thì

.
b

u( b)

a

u( a)

∫ f [ u ( x)] u '( x)dx = ∫

f (u )du

7.1.3.2. Công thức đổi biến số:

Trong đó:

u = u ( x)

sao cho hàm số hợp

là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số
f u ( x ) 

xác định trên K và a, b thuộc K.

5

y = f ( u)

liên tục và


7.1. 3.3. Công thức tích phân từng phần
b

u ( x)

Nếu

v ( x)

và

là các hàm số liên tục có đạo hàm trên

[ a; b ]

∫ udv = uv
thì

a

b
a

b

− ∫ vdu
a

.

7.2. Thực trạng
Một số em khi giải bài toán tích phân còn gặp khó khăn trong việc biến đổi cũng như
còn sai sót trong quá trình giải và còn lúng túng không biết cách giải bài toán tích phân
hàm ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân. Xuất phát từ tình hình thực
tế đó, tôi cảm thấy cần thiết hệ thống lại lý thuyết và phương pháp giải để cho học sinh
nắm vững là điều rất quan trọng. Cho nên đề tài này cần được nghiên cứu và phát triển
cho học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia.
7.3. Các biện pháp tiến hành
Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân có trong đề thi THPT QG thì cần
phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài toán tích phân dựa vào kiến thức cơ
bản như sau:
Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản

Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp

Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết
được dạng tích phân thì sẽ dễ dàng biết cách tính. Để nhận dạng tích phân cần tính, có

6


thể nên tạo thành thói quen tự đặt cho mình lần lượt những câu hỏi về hàm số dưới dấu
tích phân theo thứ tự như sau:
ST
T
1.
2.
3.

4.

5.
6.
7.
8.

Câu hỏi

Phương pháp tính đúng như câu hỏi đặt ra

Có phải dạng cơ bản không
Có phân tích, biến đổi đại số, biến
đổi lượng giác,… đưa về dạng cơ

bản được không?
Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai
khác hằng số hoặc chỉ sai khác hệ
số của biến số không?
Có thừa số nào hoặc biểu thức nào
là đạo hàm đúng hoặc gần đúng
(chỉ sai khác hệ số) của biểu thức
khác trong hàm số dưới dấu tích
phân không?
Có thuộc loại tích phân hữu tỷ
không?
Có thuộc loại tích phân hàm số
lượng giác không?
Có thuộc loại tích phân các hàm vô
tỷ không?

Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản
Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp dụng công
thức
Dùng phương pháp đổi biến số

Dùng phương pháp đổi biến số
Dùng phương pháp tích phân các hàm hữu tỷ
đã học
Dùng phương pháp tích phân các hàm lượng
giác đã học
Dùng phương pháp tích phân các hàm vô tỷ đã
học
Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến số, nếu
không được, nên nghĩ đến việc dùng phương

pháp tích phân từng phần

Ngoài các loại trên?

Giáo viên tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải, cho ví dụ minh hoạ để học sinh tham
khảo. Sau mỗi dạng toán có phần bài tập tự luyện tổng hợp để học sinh làm.
Đối với dạng toán về tính tích phân, tôi chia ra thành các dạng như sau :
7.3.1. Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa
7.3.1.1. Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa..
a, Phương pháp: Biến đổi hàm số trong dấu tích phân về dạng tổng, hiệu các hàm
số có thể tìm được nguyên hàm và định nghĩa để suy ra giá trị của tích phân.
b, Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: ( THPT QG 2019-MĐ 102 ).
1

Biết

∫

f ( x ) dx = 3

0

1

và

∫ g ( x ) dx = −4
0

A. −7 .

1

khi đó

B. 7 .

∫  f ( x ) + g ( x )  dx
0

C. −1 .

Lời giải: Chọn đáp án C

7

bằng
D. 1 .


Ta có

1

1

1

0

0

0

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 3 − 4 = −1

Ví dụ 2: Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên đoạn

[ −6;5]

.

có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và

5

I = ∫  f ( x ) + 2  dx
−6

nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị

A.

3π − 12

B.

2π + 32

C.

2π + 8

D.

3π + 12

Lời giải: Chọn đáp án B
x+4
 2


2
1+ 4 − x
 2x −1

f ( x) = 
 3

Ta có:

khi − 6 ≤ x ≤ −2
khi − 2 ≤ x ≤ 2
khi 2 ≤ x ≤ 5

5

−2

2

5

5

−6

−6

−2

2

−6

I = ∫  f ( x) + 2 dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + ∫ 2dx

=

−2

2

)

(

5

5

x+ 4
2x − 1
2
∫−6 2 dx+−∫2 1+ 4 − x dx+ ∫2 3 dx + 2−∫6 dx = 2π + 32

Ví dụ 3. ( Đề thi minh họa THPT QG 2018-2019-BGD )
1

xdx

∫ ( x + 2)

2

= a + b ln 2 + c ln 3

0

Cho

A.

−2

.

với
B.

−1

a b c

, ,

là các số hữu tỷ. Giá trị của

.

C.

Lời giải: Chọn đáp án B

8

2

.

3a + b + c

bằng
1

D. .


1
1
x + 2) − 2
(
dx
2dx
∫0 ( x + 2 ) 2 = ∫0 ( x + 2 ) 2 dx = ∫0 x + 2 − ∫0 ( x + 2 ) 2
1

1

xdx

= ln ( x + 2 )

Vậy

1
0

( x + 2)
− 2.
−1

−1 1

0

2
1
= ln 3 − ln 2 + − 1 = − − ln 2 + ln 3
3
3

.

1
a = − ; b = −1; c = 1 ⇒ 3a + b + c = −1
3

.

Ví dụ 4: ( THPT QG 2019- MĐ 101 ).
π
4

f ( x)

Cho hàm số

f ( 0) = 4

. Biết

và

f ′ ( x ) = 2 cos 2 x + 1 ∀x ∈ ¡

,

∫ f ( x ) dx
0

, khi đó

bằng

A.

π2 +4
16

.

B.

π 2 + 14π
16

.

C.

π 2 + 16π + 4
16

.

D.

π 2 + 16π + 16
16

.

Lời giải: Chọn đáp án C
1
f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ 2 cos 2 x + 1 dx = ∫ ( 2 + cos 2 x ) dx = 2 x + sin 2 x + C
2

(

Ta có

Theo bài

)

1
f ( 0 ) = 4 ⇔ 2.0 + .sin 0 + C = 4 ⇔ C = 4
2

. Suy ra

.

1

f ( x ) = 2 x + sin 2 x + 4
2

.

Vậy:
π
4

∫
0

π
4

π

2
  1  π 2 + 16π + 4
1
cos 2 x



 4 π
f ( x ) dx = ∫  2 x + sin 2 x + 4 ÷dx =  x 2 −
+ 4x ÷ = 
+ π ÷−  − ÷ =
2
4

16


 0  16
  4
0

7.3.1.2. Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
b

∫ f ( x ) dx
a, Phương pháp: Để tính
- Xét dấu

f ( x)

trên

[ a; b]

a

thì thực hiện:

.

- Dùng tính chất phân đoạn của tích phân rồi tính tích phân trên đoạn..
b, Các ví dụ minh họa:

9

e

b

∫ ln x dx = a + e .
Ví dụ 1: Biết
2+

A.

1
e

2
e

Giá trị của

.

B.

2
e

a+b

là

.

C.

2

2−

.

D.

Lời giải: Chọn đáp án D
e

e

1
e

1
e

I = ∫ − ln xdx + ∫ ln xdx

Để ý rằng nguyên hàm của lnx là

x ( ln x − 1)

I = − x ( ln x − 1) 1 + x ( ln x − 1) 1
1

e

e

Do đó:

1
2
( −2 ) + e − e + 1 = 2 − .
e
e

= 1+

a = 2; b = −2; a + b = 0

Vậy

π
2

I = ∫ 1 − sin 2 xdx = a 2 + b

Ví dụ 2: Biết
A.

0

0

. Khi đó

.

B.

4

.

C.

Lời giải: Chọn đáp án A
π
2

( cos x − sin x )

I=∫
0

2

π
2

dx = ∫ cos x − sin x dx

0

π
4

π
2

0

π
4

= ∫ ( cos x − sin x ) dx + ∫ ( cos x − sin x ) dx
= ( cos x + sin x )

π
4
0

− ( cos x + sin x )

π
2
π
4

a+b

= 2 2 − 2.

a = 2; b = −2; a + b = 0

Khi đó
7.3.1.3. Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn

10

bằng
−4

.

D.

2

.

2
e

.


a, Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, các tính chất tích phân
F ′( x) = f ( x)

- Nếu

với mọi

x∈K

F ( x) = ∫ f ( x) dx

thì

- Các công thức về đạo hàm:
1) u ′.v + u.v′ = ( uv ) ′

3)

u′
=
2 u

( )
u

2)

;

′

u′v − uv′  u ′
= ÷
v2
v

4) nu u ′ = ( u ) ′
n −1

;

;
5) −

n

;

u ′  1 ′
= ÷
u2  u 

.

- Giải bằng công thức giải nhanh ( nếu có)
f ′ ( x ) = kf ( x ) ( k ∈ ¡ ) ⇒ f ( x ) = Ce kx

+
+
+

.
f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) = k ( x ) ⇒ ∫ f ′ ( x ) g ( f ( x ) ) dx = ∫ k ( x ) dx

.

f ′ ( x ) + g ( x ) f ( x ) = k ( x ) ⇔ eG ( x ) f ′ ( x ) + g ( x ) e G ( x ) f ( x ) = k ( x ) e G ( x )

(

⇔ eG ( x ) f ( x )

.

) ′ = k ( x ) e ( ) ⇒ e ( ) f ( x ) = ∫ k ( x ) e ( ) dx ⇔ f ( x ) = e ( ) ∫ k ( x ) e ( ) dx
G x

G x

G ( x)

(trong đó

−G x

G x

G x

.

g ( x)

là một nguyên hàm của

)

b, Các ví dụ minh họa:
2

y = f ( x)

Ví dụ 1: Cho hàm số

∫ f ( x)dx

[−2; 2]

lẻ và liên tục trên đoạn

. Tích phân

−2

bằng
A.

1

B.

2

C.

−1

D.

0

Lời giải: Chọn đáp án D
Sử dụng tính chất tích phân của hàm số lẻ
y = f ( x)

Ví dụ 2: Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên đoạn

11

 π
 0; 2 

và thỏa mãn


π
2

π
2

π
2

I = ∫  f ( x ) .sin x ′ dx

∫ f ' ( x ) .sin xdx = 1 ∫ f ( x ) .cos xdx = −1
0

,
A.

0

0

Nhận xét: Ta có

0

. Giá trị
B.

−1

là
C.

3

D.

−2

 f ( x ) .sin x ′ = f ′ ( x ) sin x + f ( x ) .cos x

Lời giải: Chọn đáp án A
Ta có:
π
2

π
2

0

0

I = ∫  f ( x ) .sin x ′ dx = ∫ ( f ′ ( x ) .sin x + f ( x ) .cos x ) dx

π
2

π
2

0

0

= ∫ f ′ ( x ) .sin xdx +

∫ f ( x ) .cos xdx = 1 − 1 = 0.

Ví dụ 3: Cho hàm số
1

∫e
Biết rằng

0

A.

x

f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

 f ( x ) + f ' ( x )  dx = ae + b

. Khi đó
7

Nhận xét: Ta có

B.

[ 0;1]

, thỏa mãn

f ( 0 ) = f ( 1) = 1

a 2018 + b 2018

−1

là
C.

2

D.

5

e x  f ( x ) + f ′ ( x )  = e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) = e x f ( x ) ′

Lời giải: Chọn đáp án C
1

1

1

0

0

0

′
x
x
x
∫ e  f ( x ) + f ′ ( x )  dx = ∫ e f ( x )  dx = e f ( x ) 

Ta có
a = 1, b = −1

Suy ra

. Do đó

a 2018 + b 2018 = 2

.

12

= ef ( 1) − f ( 0 )

f ( 0 ) = f ( 1) =1

=

e − 1.

.

Ví dụ 4: Cho hàm số

y = f ( x)

[ 0; 2]

có đạo hàm trên

và thỏa đẳng thức sau đây

2

f ( x ) + 2 f ( 2 − x ) = 4 − x2

0

A.

B.

∫ f ′ ( x ) dx
. Tích phân

0

bằng

3

C.

7

D.

2

Lời giải: Chọn đáp án D
2

∫ f ′ ( x ) dx = f ( x )
0

2
0

= f ( 2) − f ( 0 )

Ta có

Với

.

x=0
2

∫
0

và

x=2

ta có hệ phương trình

2

 f ( 0 ) = − 3
 f ( 0 ) + 2 f ( 2 ) = 2
⇔

 f ( 2) = 4
 2 f ( 0 ) + f ( 2 ) = 0

3

.

f ′ ( x ) dx = f ( x ) 0 = f ( 2 ) − f ( 0 ) = 2
2

Do đó

.
f ( x)

Ví dụ 5: Cho hàm số

liên tục, không âm trên

R

và thỏa mãn
1

f ( x). f ′( x) − 2 x. f 2 ( x) + 1 = 0

với
A.

0

∀x ∈ R

B.

f 2 ( x) + 1

Nhận xét: Từ giả thiết có
uu′
u +1
2

=

(

u2 +1

f (0) = 0

và

3

f ( x). f ′( x)

I = ∫ f ( x)dx

. Tích phân
C.

7

= 2x

, biểu thức vế trái có dạng

)′

Lời giải: Chọn đáp án D

13

0

bằng
D.

2


f ( x ). f ′( x ) − 2 x. f 2 ( x ) + 1 = 0 ⇔

f ( x). f ′( x)

= 2x ⇔

f 2 ( x) + 1

)

(

′
f 2 ( x) + 1 = 2 x

Ta có
f 2 ( x) + 1 = ∫ 2 xdx ⇔

⇒

f 2 ( x) + 1 = x 2 + c

f (0) = 0 ⇒ c = 1

. Do

nên ta có

f 2 ( x) + 1 = x 2 + 1 ⇔ f 2 ( x) + 1 = ( x 2 + 1) ⇔ f 2 ( x) = x 2 ( x 2 + 2 ) ⇔ f ( x) = x
2

1

f ( x)

(Vì

không âm trên

R

0

−

A.

. Giá trị của

f ( x) ≠ 0

f ( 1)

x + 2dx = ∫ x x 2 + 2dx
2

0

0

). Khi đó
1

1

x∈¡

1

I = ∫ f ( x)dx = ∫ x

1
1 2
= ∫ x 2 + 2d ( x 2 + 2) = . ( x 2 + 2 )
20
2 3

Ví dụ 6: Cho hàm số

1

(

1
x + 2 = 3 3 − 2 2

3

0
2

f ( 2) = −

thỏa mãn

1
5

và

)

f ′ ( x ) = x3  f ( x ) 

B.

0

f ′( x)

Nhận xét: Từ giả thiết ta có

(

f ( x) )

2

C.

4
5

= x3

, biểu thức vế trái có dạng

Lời giải: Chọn đáp án C
2
2
f ′( x)
f ′( x)
2
3
3
′


f ( x) = x  f ( x)  ⇒ 2
=x ⇒∫ 2
dx = ∫ x 3dx
f ( x)
f ( x)
1
1

2


1 
15
1
1
15
4
⇔ −
= ⇔−
+
= ⇔ f ( 1) = −
 f ( x) ÷
÷
f ( 2 ) f ( 1) 4
5

1 4
y = f ( x)

Ví dụ 7: Cho hàm số

2

với mọi

bằng?

1
4

Ta có:

x2 + 2

liên tục trên

[ 0;1]

x2 f ( x ) + f ( 1 − x ) = 2x − x4.

14

và thỏa mãn

D.
u ′  −1 ′
= ÷
u2  u 

2


1

I = ∫ f ( x ) dx
0

là

Tích phân

A.

2
3

B.

Nhận xét: Từ giả thiết thay

x

bằng

−1

C.

3

D.

−2

1− x

xác định biểu thức quan hệ của

f ( 1− x) ; f ( x)

f ( x)

rồi kết hợp với giả thiết xác định hàm số
Lời giải: Chọn đáp án A
Từ giả thiết, thay

x

bằng

1− x

ta được

( 1− x)

2

f ( 1− x) + f ( x) = 2( 1− x) − ( 1− x)

⇔ ( x 2 − 2 x + 1) f ( 1 − x ) + f ( x ) = 1 + 2 x − 6 x 2 + 4 x3 − x 4 . ( 1)

x2 f ( x ) + f ( 1 − x ) = 2x − x 4 ⇔ f ( 1 − x ) = 2 x − x4 − x2 f ( x ) ( 2)

Ta có

( 1)

( 2)
Thay

(x

2

vào

ta được

− 2 x + 1)  2 x − x 4 − x 2 f ( x )  + f ( x ) = 1 + 2 x − 6 x 2 + 4 x 3 − x 4

⇔ ( 1 − x 2 + 2 x3 − x 4 ) f ( x ) = x 6 − 2 x5 + 2 x3 − 2 x 2 + 1
⇔ ( 1 − x 2 + 2 x3 − x 4 ) f ( x ) = ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 2 + 2 x3 − x 4 )
⇔ f ( x ) = 1 − x2 .
1

I =∫
0

1

1

1 
2

f ( x ) dx = ∫ ( 1 − x ) dx =  x − x 3 ÷ = .
3 0 3

0

2

Vậy

f ( x)

Ví dụ 8: Cho hàm số

f '( x )

có đạo hàm

liên tục trên R

f '( x )

và có đồ thị của hàm số

như hình vẽ, Biết

3

∫ ( x + 1) f '( x )dx = a
0

và

15

4

1


0

3

3

f '( x ) dx = b, f '( x ) dx = c, f (1) = d .
1

bng
A.
C.

f ( x )dx
Tớch phõn

a + b + 4c 5d .

0

B.

a + b 4c + 3d

D.

a + b 3c + 2d
a b 4c + 5d .

Li gii: Chn ap an C
3

3

0

0

3

3

3

0

0

( x + 1) f '( x)dx = ( x + 1)d ( f ( x ) ) = ( x + 1) f ( x) 0 f ( x)dx = 4 f (3) f (0) f ( x)dx;
1

1

0

0

b = f '( x ) dx = f '( x )dx = f (1) f (0) = d f (0) f (0) = d b;
3

3

1

1

c = f '( x ) dx = f '( x ) dx = f (1) f (3) = d f (3) f (3) = d c;
3

f ( x )dx = 4( d c ) ( d b) a = a + b 4c + 3d .
1

7.3.1.4. Bi tp t gii: Tớnh tớch phõn bng inh nghia.

MC NHN BIT
Cõu 1.

Cho hm s

f ( x)

ộ0;1ự f ( 0) = 1 f ( 1) = - 1
ỳ,
ở ỷ
cú o hm trờn ờ

,
.

1

Tớnh

I = ũ f Â( x) dx
0

A. I = 1.
Cõu 2.

.
C. I = - 2.

B. I = 2.

D. I = 0 .

Cho cỏc s thc a , b v cỏc mnh :

Mnh 1:

b

a

a

b

ũ f ( x) dx = - ũ f ( x) dx

. Mnh 2:
2

b

a

a

b

ũ 2f ( x) dx = 2ũ f ( x) dx

ổb
ử
ữ
ỗ
2
ữ
ỗ
f
x
d
x
=
f

x
d
x
ữ
(
)
(
)
ỗ
ũ
ũ
ữ
ỗ
ữ
ố
ứ
a
a
Mnh 3:
. Mnh 4:
b

16

b

b

a

a

ũ f ( x) dx = ũ f ( u) du

.

.


Gọi m là số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên. Tìm m .
A. m = 4 .

C. m = 2.

B. m = 3 .

D. m = 1.

p
6

Câu 3.

Tích phân

I = ò sin2 xdx
0

p
3

+
A. 12 8 .
p
12

p
B. 12

3
8 .

C.

-

p
3
+
12
8 .

D.

3
4 .
2

Câu 4.

có giá trị là

Tích phân

(

) (

)

I = òé
3x3 - x2 - 4x + 1 - 2x3 + x2 - 3x - 1 ù
dx
ê
ú
ë
û
1

13
A. 12 .

5
B. 12 .

có giá trị là

2
C. 3 .

D.

B. 2.

C. 8 .

D. 4 .

B. –1.

1
C. 2 .

-

5
12 .

4

Câu 5.

Tích phân

I = ò x - 2 dx
0

A. 0 .
1

Câu 6.

Kết quả của

dx

òx

là:

1

A. 0 .
1

Câu 7.

Tích phân

0

2

bằng
B. ln3 .

1

Tích phân
A. I = 1.

D. Không tồn tại.

dx

òx -

A. - ln2.

Câu 8.

bằng:

I =ò
0

dx
x - 5x + 6
2

B.

C. - ln3.

D. ln2.

C. I = ln2.

D.

bằng

I = ln

4
3.

I = - ln2.

17


Câu 9.

Cho hàm số

f ( x)

é0;1ù f ( 0) = 1 f ( 1) = - 1
ë ú
û,
có đạo hàm trên ê
,
.

1

I = ò f ¢( x) dx

Tính

0

.
B. I = 2.

A. I = 1.

C. I = - 2.

D. I = 0 .

C. I = 2.

D.

1

Câu 10. Tính tích phân:

A.

I =

I = ò 3x dx.
0

2
ln3 .

B.

I =

1
4.

3
ln3 .

I =

p
2

Câu 11. Kết quả của tích phân

A. I = 1.

I = ò cosxdx
0

bằng bao nhiêu?
C. I = 0 .

B. I = - 2.

D. I = - 1

.
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

4

Câu 12. Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên ¡ và

ò f ( x)dx = 2.
- 2

Mệnh đề nào sau đây là

sai?
2

A.

3

ò f ( 2x)dx = 2.

B.

- 1
2

C.

D.

- 1

f ( x)

- 3
6

ò f ( 2x)dx = 1.

Câu 13. Cho hàm số

) x = 2.
ò f ( x + 1d
1

ò 2 f ( x - 2)dx = 1.
0

é1;2ù f ( 1) = 1
f 2 =2
ë ú
û,
có đạo hàm trên đoạn ê
và ( )
. Tính

2

I = ò f ¢( x) dx.

1

18


A. I = 1.

B. I = - 1.

C. I = 3 .

4

. Tính tích phân

0

A. I = 32 .
I =ò

Câu 15. Biết

I = ò f ( 2x) dx.
0

C. I = 16 .

B. I = 8 .

4

3

7
2.

2

ò f ( x) dx = 16

Câu 14. Cho

D.

I =

dx
= a ln2 + bln3 + c ln5,
x +x
2

D. I = 4 .

với a, b, c là các số nguyên. Tính

S = a + b + c.

A. S = 6.

B. S = 2 .

Câu 16. Cho hàm số

y = f ( x)

a

é ù

ëa;cú
û và a < b < c. Biết
liên tục trên đoạn ê

a

ò f ( x) dx = - 10 ò f ( x) dx = - 5
,

b

D. S = 0.

C. S = - 2 .

c

A. 15 .

b

. Tính

ò f ( x) dx.
c

B. - 15.

C. - 5.

B. e- 1.

e2 - 1
C. 2 .

D. 5.

1

I = òe2xdx

Câu 17. Tính

0

.

2

A. e - 1.
Câu 18. Biết

F ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

f ( x)

D.

e+

1
2.

éa;bù
ë ú
ûvà
trên ê

b

2F ( a) - 1 = 2F ( b)

. Tính

A. I = - 1.

I = ò f ( x) dx
a

.
C. I = - 0,5.

B. I = 1.

D.

I = 0,5.
2

Câu 19. Cho

3

3

ò f ( x) dx = 3 ò f ( x) dx = 2 ò f ( x) dx = 4

A. 9.

1

,

,

5

B. 5.

2

5

. Tính

C. 24.

19

ò f ( x) dx
1

.

D. - 24 .


1

Cõu 20. Tớnh tớch phõn

I =ũ
0

4
dx
2x + 1

A. I = 2ln3 .

C. 2ln2.

B. 4ln3.

2

Cõu 21. Cho

.

ũ f ( x) dx = 3
0

2

.Khi ú

A. 2.

ũ ộờở4f ( x) 0

3ự
dx
ỳ
ỷ

B. 4 .

D. 4ln2.

bng
C. 6.

D. 8 .

MC VN DNG
1

2x2 + 5x - 2
I =ũ 3
dx
x + 2x2 - 4x - 8
0

Cõu 22. Tớnh

A.
C.

I =

1
+ ln12.
6

I =

1
- ln3 + 2ln2.

6

B.
D.

I =

1
3
+ ln .
6
4

I =

1
3
- ln .
6
4

2

ổx - 1ử
ữ dx = a + b ln2 + c ln3, a,b,c ẻ Ô
(
)
ữ
ũỗỗỗốx + 2ứữ
ữ

1

Cõu 23. Bit

.

0

. ng thc no sau õy

ỳng?
A.

2( a + b + c) = 7.

B.

2( a + b - c) = 7.

C.

2( a + b - c) = 5.

D.

2( a + b + c) = 5.

2

Cõu 24. Bit rng

x- 1

a

ũ x + 3 dx = 1+ 4ln b
1

a
vi a,b ẻ Â v b l phõn s ti gin thỡ

giỏ tri ca 2a + b l bao nhiờu?
A. 0.

C. 14 .

B. 13.
2

1

1

D. - 20.

a

a
ũ x ( x + 1) dx = 2 + ln b
Bit

vi a,b l cỏc s nguyờn dng v b
2

Cõu 25.

1

s ti gin. Tớnh a + b.
A. a + b = 7 .

B. a + b = 5.

a +b = 4.

20

C. a + b = 9.

D.

l phõn


b

Câu 26. Giả sử

b

ò f (x)dx = 2

a

và

c

ò f (x)dx = 3
c

và a < b < c thì

ò f (x)dx
a

bằng bao

nhiêu?
A. 5.

B. 1.
3

òx

2

Câu 27. Biết rằng

2

D. –5 .

C. –1.

x- 3
dx = a ln2 + b
- 2x + 1

với a,b Î ¢ . Chọn khẳng định đúng

trong các khẳng định sau:
a
1
=2.
A. b
2

b
=- 1
B. a
.

1

1

2a
=- 1
C. b
.

D. a = 2b.

a

a
ò x ( x + 1) dx = 2 + ln b
Biết
với a,b là các số nguyên dương và b
2

Câu 28.

1

là phân

số tối giản. Tính a + b.
A. a + b = 7 .

B. a + b = 5.

C. a + b = 9.

D.

a +b = 4.
5

Câu 29. Biết

I =ò
1

2 x - 2 +1
dx = 4 + a ln2 + bln5
x

A. S = 9.

B. S = 11.

C. S = - 3 .

0

. Đẳng thức nào sau đây

đúng?
A.

2( a + b + c) = 7.

B.

2( a + b - c) = 7.

C.

2( a + b - c) = 5.

D.

2( a + b + c) = 5.

1

Câu 31. Tính

A.

I =ò

I =

D. S = 5.

2

æx - 1ö
÷ dx = a + b ln2 + c ln3, a,b,c Î ¤
(
)
÷
òçççèx + 2ø÷
÷
1

Câu 30. Biết

với a,b Î ¢ . Tính S = a + b .

0

2x2 + 5x - 2
dx
x3 + 2x2 - 4x - 8

.

1
+ ln12.
6

B.

21

I =

1
3
+ ln .
6
4


C.

I =

1
- ln3 + 2ln2.
6

D.

I =

1
3
- ln .
6
4

MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
6+ 2
2

Câu 32. Tính tích phân

ò
1

- 4x4 + x2 - 3
2
dx =
a 3 + b + cp + 4
4
8

x +1

(

)

. Với a , b , c

2
4
là các số nguyên. Khi đó biểu thức a + b + c có giá trị bằng

A. 20.

B. 241.

Câu 33. Cho hàm số

y = f ( x)

C. 196 .

D. 48 .
é ù

ë0;1ú
û thỏa
có đạo hàm liên tục trên đoạn ê
1

2f( 1) -

( 0) = 1. Tính

A. I = 1.

ù.2x dx
I = òé
êf ( x) ln2 + f ¢( x) û
ú
ë
0

C. I = 2

B. I = 0.

D.

I = - 1.

Câu 34. Cho hàm số
2f( 1) -

y = f ( x)

é ù

ë0;1ú
û thỏa

có đạo hàm liên tục trên đoạn ê

( 0) = 1.
1

I = òé
f x ln2 + f ¢( x) ù
.2x dx
ê
ú
ë( )
û

Tính
A. I = 1.

0

C. I = 2

B. I = 0.

D.

I = - 1.
6+ 2
2

Câu 35. Tính tích phân

ò
1

- 4x4 + x2 - 3
2
d
x
=
a 3 + b + cp + 4
8
x4 + 1

(

)

. Với a , b , c

2
4
là các số nguyên. Khi đó biểu thức a + b + c có giá trị bằng

A. 20.

B. 241.

C. 196 .

22

D. 48 .


Câu 36: Cho hàm số

y = f ( x)

có đồ thị là đường
9

∫ f ( x ) dx

gấp khúc như hình vẽ bên. Tính
A. 18
B. 2
C. 0
D. 16

0

.

[ −3;5]

y = f ( x)

Câu 37: Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một
3

( P ) : y = ax 2 + bx + c
phần của
bằng
A.
C.

). Tích phân

53
.
2

B.

95
.
7

D.

∫ f ( x ) dx
−2

61
.
3
97
.
6

7.3.2. Phương pháp đổi biến số.
x =ϕ ( t)

7.3.2.1. Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến
Phương pháp này thường dùng cho tích phân chứa hàm số bậc 2 trong căn bậc 2
a, Dấu hiệu
Dấu hiệu
1

f ( x)

Nếu hàm

chứa

Nếu hàm

chứa

có

a2 − x2

2

f ( x)

a2 + x2
f ( x)

3
Nếu hàm

chứa

Đặt

x2 − a2

đặt

 dx = d ( a sin t ) = a cos t dt
→
2
2
2
2
2
x = a sin t
 a − x = a − a sin t = a cos t

thì
có

thì

đặt

có

thì

đặt

adt

dx
=
d
a
tan
t
=
(
)

cos 2 t

→
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a
x = a tan t

cos t
−a cos tdt

dx = sin 2 t

→
2

a
 x 2 − a 2 = a 2 cos t
x=

sin t
sin 2 t

23


f ( x)

4
Nếu hàm

+ Đặt

xác định trên
+ Biến đổi

đặt

a+x
a−x

chứa
b, Phương pháp:
x = u( t)

có

sao cho

[α,β ]

dx = d ( a cos 2t ) = −2a sin 2tdt

→ a+x
1 + cos 2 t
cos 2 t
=
=

1 − cos 2 t
sin 2 t
 a−x
x = a cos 2t

thì

u( t)

là hàm số có đạo hàm liên tục trên

[ α , β ] , f u ( t ) 

được

u ( α ) = a, u ( β ) = b.

với

f ( x ) dx = f u ( t )  u ' ( t ) dt = g ( t )
b

+ Tìm nguyên hàm

G( t)

β

∫ f ( x ) dx = G ( t ) α
suy ra

a

c, Các dạng thường gặp:
Hàm số có chứa
Hàm số có chứa

a2 − x2
a2 + x2

x −a
2

Hàm số có chứa

thì đặt
thì đặt

thì đặt

a
cos t

( k > 0)

Hàm số có chứa

hoặc acost

x = a tan t
x=

2

x ( k − x)

x = a sin t

thì đặt

hoặc acott
x=

hoặc

a
sin t

x = k sin 2 t .

d, Các ví dụ minh họa:
1

Ví dụ 1 : Khi đổi biến

x = 3 tan t

I =∫
0

, tích phân

24

dx
x +3
2

trở thành tích phân nào?


π
6

π
3

I = ∫ 3dt

I=∫

0

0

A.

.

π
6

3
dt
3

I = ∫ 3tdt
0

B.

C.

.

D.

π
6

1
I = ∫ dt
t
0

.
Lời giải: Chọn đáp án B
2
x = 3 tan t ⇒ dx = 3 ( 1 + tan t ) dt

Đặt

x=0

Khi

thì
1

I =∫
0

Ta có

t =0

dx

x +3 =
2

1

∫

−1

Ví dụ 2: Tích phân
A.

; Khi
π
6

thì

3 ( 1 + tan 2 t )

∫ 3 ( 1 + tan t )
2

( 1+ x )
2

2

=

π
6

.
π
6

dt

=

0

dx

2

x =1

t=

.

∫
0

3
dt
3

1  a. π

+ b  (a, b ∈ ¥)

2 2


. Giá trị biểu thức
B.

−1

C.

Lời giải: Chọn đáp án A
x = tan t ⇒ dx =

Đặt

x = −1 ⇒ t = −
π
4

π
4

dt
cos 2 t

π

 π
− < t < ÷
2
 2

π
π
; x =1⇒ t =
4
4
π

1 + cos 2t
1 1
1 π 
4
cos
tdt
=
dt
=
t
+
sin
2
t
=  + 1
∫π
∫π 2



2 2
 −π 2  2 
−
−
4

2

4

4

25

3

a 2 + b2

D.

bằng
−2