SKKN XAC DINH TAM HINH CAU 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ……………
TRƯỜNG THPT …………………

BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN
CẤP CƠ SỞ PHỤC VỤ THI ĐUA KHEN THƯỞNG NĂM 2020

GIẢI PHÁP:
XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆT

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
Họ và tên: ………………..- Học vị, chức vụ: Thạc sĩ, GV Toán.

………………., 2020

1


MỤC LỤC

CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP
1.1. Sự cần thiết hình thành giải pháp
Bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc
biệt là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi học kì THPT QUỐC GIA. Qua thực
tế giảng dạy tôi thấy: Nhiều học sinh tỏ ra lung túng khi gặp bài toán này.
Bài viết này cùng trao đổi với các em và quý đồng nghiệp một vài kỹ thuật xác định
tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc biệt. Các dạng hình
thường gặp liên quan đến bài toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
một số hình chóp đặc biệt là: Các đỉnh của hình chóp cùng nhìn một đoạn dưới một
góc vuông, hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, hình chóp có cạnh bên vuông với
đáy, hình chóp có mặt bên vuông với đáy.

1.2 Mục tiêu của giải pháp
Mục tiêu của giải pháp là nâng cao trình độ chuyên môn cho bản thân, hướng
đến nâng cao chất lượng giảng dạy của cá nhân, góp phần nâng cao tỷ lệ học sinh đạt
điểm cao trong môn Toán của nhà trường trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp đến. Trước
thực tiễn bản thân được nhà trường tin tưởng và giao cho giảng dạy môn toán lớp
12a4, 12A8, có nhiều em lại có nguyện vọng đậu vào những trường Cao đẳng, Đại
học, do đó đặt ra cho giáo viên phải có những phương pháp tối ưu để giúp các em đạt
được ước mơ. Trong bài toán xác định tâm, tính tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
là bài toán khó đối với học sinh nên điều đó càng thúc đẩy bản thân tìm tòi để hình
thành giải pháp cho bản thân, đồng thời giúp các em có nhìn tốt hơn về hình học
không gian.

2


1.3 Phương pháp thực hiện
Trong quá trình hình thành giải pháp cá nhân đã kết hợp các phương pháp dưới
đây:
Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng sử dụng các phương pháp giải
phương trình vô tỷ đã biết để áp dụng giải một bài toán cụ thể. Trong thực tiễn giảng
dạy
Phương pháp tổng hợp: sử dụng tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn ra trên lớp,
cùng với đóng góp của quý thầy cô.
Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những kết quả
thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ, với học sinh.
Phương pháp hình ảnh hóa: sử dụng hình ảnh trực quan, mô phỏng hình học không
gian trên máy tính cho học sinh dễ hình dung và tiếp cận.
1.4 Đối tượng và phạm vi áp dụng:
Nội dung của giải pháp này hướng đến đối tượng là học sinh trung bình khá của
các lớp thường và trọng tâm là phục vụ cho các em học sinh dự thi kì thi THPT quốc

gia. Chúng ta biết rằng bộ môn hình học nói chung, cũng như hình học không gian nói
riêng, đa số các em đều nắm một cách mơ hồ và rất khó khăn trong quá trình nhận
dạng cũng như để giải nó. Vì vậy khi thực hành giải pháp này tôi đưa ra một số dạng
toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc biệt. Mục
tiêu cuối cùng là giúp cách em xác định được tâm cũng như tính được nó.
Tùy thuộc vào đặc điểm dạy học của từng trường, tùy vào phương pháp lên lớp
của mỗi giáo viên để đưa ra các cách thức khác nhau để thực hiện giải pháp này. Theo
cá nhân tác giả thấy rằng nếu chúng ta thực hiện theo giải pháp này thì học sinh không
thụ động mà các em được là chủ trong vấn đề tiếp nhận kiến thức, mặt khác tôi đã thấy
rằng“Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc biệt
”sẽ tạo hứng thú, khơi dậy niềm đam mê học hình học không gian của học sinh và
cũng trang bị thêm hành trang cho các em với kì thì THPT QUỐC GIA 2020 sắp tới.

3


CHƯƠNG 2
QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH GIẢI PHÁP
Trường THPT Hòa Hội là một trường vùng sâu, vùng xa của tỉnh, chất lượng
học tập của học sinh còn thấp so với mặt bằng chung của tỉnh BRVT, học sinh thuộc
nông thôn, ở nhà các em còn phải phụ giúp gia đình các việc nhỏ nên các em chưa
hẳn đã sử dụng toàn bộ thời gian cho việc học; Đây là trở ngại vô cùng lớn cho quá
trình dạy học của giáo viên và học sinh. Tuy nhiên trong các kì thi (tốt nghiệp THPT
trước đây và THPT Quốc gia hiện nay), trường THPT Aaaaaa đều có những thành tích
khá cao. Đây là sự động viên lớn lao cho giáo viên có thêm động lực để xây dựng các
giải pháp, sáng kiến áp dụng vào dạy học.
2.1 Thực trạng
2.1.1 Thuận lợi

Nhìn chung phần lớn học sinh tại trường THPT Aaaaaa đều ngoan và lễ phép,

có ý thức kỹ luật trong học tập. Đây chính là cơ sở quan trọng nhất để giáo viên có thể
tiến hành được những giải pháp thúc đẩy quá trình dạy – học.
Đội ngũ giáo viên có sự nhiệt tình và tận tụy với nghề nên có sự đầu tư lớn
trong công tác bổi dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo các học sinh trung bình yếu.
Đặc biệt là sự quan tâm của nhà trường vào ôn thi học sinh dự thi THPT Quốc
gia, xác định đây là bộ mặt của nhà trường nên đã có những ưu đã thoả đáng cho
những giáo viên tỷ lệ cao trong các kỳ thi, điều này làm cho đội ngũ giáo viên an tâm,
nhiệt tình hơn trong công việc.
2.1.2 Khó khăn

Học sinh có những khác biệt về cách nhận thức, hoàn cảnh gia đình, kinh tế,
lười học hoặc thiếu sự quan tâm của cha mẹ,... Những điều này đã ảnh hưởng nhiều
đến vấn đề học tập của học sinh, từ đó dẫn đến các em chán nản việc học, và hỏng
kiến thức.
Trong một lớp học do có nhiều đối tượng học sinh nên giáo viên khó quản lí và
bao quát được từng loại học sinh, đặc biệt là phân loại kiến thức sao cho phù hợp với
từng cấp độ, năng lực đối tượng.

4


Mặt khác, học sinh còn bị ảnh hưởng bởi cách truyền thụ trước đây, nên ỷ lại,
lười suy nghĩ, không chuẩn bị bài ở nhà, trong giờ học thì lơ là không tập trung,... làm
giảm khả năng tư duy của học sinh.
2.2 Mâu thuẫn
Nhìn chung, giáo viên chủ yếu là đội ngũ đang còn trẻ, có lòng nhiệt tình và
say mê với nghề. Tuy nhiên, do kinh nghiệm còn non nên nhiều lúc chưa có sự định
hướng rõ ràng về phương pháp dạy. Dẫn đến sự ngộ nhận về năng lực học sinh nên
thường có những yêu cầu quá cao kiến thức đối với học sinh, điều này làm cho học
sinh có thể bị áp lực đôi khi có thể học sinh rơi vào tình trạng “mất niềm tin” vào bản

thân.
Đối với học sinh, các em đều có tinh thần học tập, tuy nhiên, do chưa có sự
định hướng về cách học, một phần là các em đã thụ động tiếp thu kiến thức trong một
thời gan quá dài (cấp 1, 2) điều này dẫn đến một số học sinh bì hổng kiến thức dó đó
khi gặp những vấn đề đòi hỏi phải có những lập luận cao, đòi hỏi phải có trí tưởng
tượng trong không gian thì học sinh dễ thất bại. Vì vậy việc hình thành một giải pháp
là điều tất yếu.
2.3 Giải pháp đề xuất
Để giải quyết bài toán nâng cao chất lượng học sinh chung của toàn trường,
trong đó có đối tượng học sinh trung bình khá; với mục tiêu nâng cao tỷ lệ học sinh
đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia, thì yếu tố cần thiết chính là sự mạnh dạng
của giáo viên trong việc thực hiện các giải pháp để nâng cao trình độ cho học sinh.

5


CHƯƠNG 3
NỘI DUNG GIẢI PHÁP
3.1. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU
NGOẠI TIẾP MỘT SỐ HÌNH CHÓP.
Định nghĩa: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của
hình chóp. Nếu khoảng cách từ điểm I đến tất cả các đỉnh của hình chóp bằng nhau thì
điểm I được gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính chính là khoảng cách
từ điểm I đến 1 đỉnh bất kì của hình chóp.
Như vậy việc tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tôi sẽ trình bày qua 3
phương pháp sau:
Phương pháp 1: Tìm một điểm cách đều các đỉnh của hình chóp.
Khi đó, điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là tâm và bán kính chính là độ dài từ
điểm đó đến một đỉnh bất kì của hình chóp.
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A ,

BC = 2a

0

góc ABC bằng 60 và M là trung điểm BC ,

SM ⊥ (ABC)

và

SB = a 2

. Xác

định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Lời Giải:
 Phân tích: Cho học sinh vẽ hình, dự đoán điểm mà sẽ cách đều các đỉnh của hình
chóp, cho học sinh tính độ dài các cạnh SM, BM,CM, AM từ đó rút ra được kết luận gì?

Xét

∆SBM

SM = SB 2 − BM 2 = (a 2) 2 − a 2 = a

vuông tại M có
⇒ MB = MC = a
M là trung điểm BC
.
Xét tam giác ABC vuông tại A :

Ta có :

.

1
3
AB = BC.c os600 = 2a. = a; AC = BC.sin 60 0 = 2 a.
=a 3
2
2

6

.


AM 2 =

Khi đó
⇒

2(AB2 + AC2 ) − BC 2
= 2
a ⇒ AM = a
4

AM = BM = CM = SM = a  

.

nên M cách đều các đỉnh của hình chóp S.ABC
R = SM = a
M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính
.
2a

Bài toán 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên và
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

·
SAO
= 450

. Xác

Lời Giải:
 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, dự đoán điểm nào sẽ là điểm cách đều các
đỉnh của hình chóp, thông thường điểm đó sẽ ít nằm trên cạnh bên của hình chóp, tính
SO, OA, OB, OC , OD

độ dài các cạnh

từ đó xem nó có đặc điểm gì? Từ đó suy ra tâm và

tính được bán kính mặt cầu.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD mà S.ABCD là hình chóp đều
Xét tam giác SOA vuông cân tại O .
⇒ sin 450 =
⇒ ∆SOA

SO
⇒ SO = SA.sin 450 = a 2
SA

vuông cân tại O.

⇒ SO = AO = a 2 ⇒ AC = 2 AO = 2 a 2

AC = AB 2 ⇒ AB =

Do
Ta có

.

.

AC 2a 2
=
= 2a
2
2

OA = OB = OC = OD

.

(vì O là tâm của hình vuông ABCD).

7

⇒ SO ⊥ (ABCD)


Mà

SO = AO = a 2 ⇒ SO = OA = OB = OC = OD = a 2

nên O cách đều các đỉnh của

hình chóp S.ABCD.
⇒

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính

R = SO = OA = OB = OC = OD = a 2

.
Tuy nhiên nhược điểm phương pháp này là khi dự đoán sai tâm thì mất rất nhiều thời
gian để tính toán? Chỉ sử dụng phương pháp này khi hình chóp đặc biệt và dễ dàng xác
định được ngay các độ dài của nó.
Phương pháp 2: Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông.
Khi đó: trung điểm của đoạn đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính
chính là một nửa độ dài đoạn đó.

Bài toán 3: Cho lăng trụ đứng
AC = a, BC = a  ,

ngoại tiếp tứ

( AC’, ( A’B’C’) ) = 60

ABC’B’

ABC. A’B’C’

đáy tam giác ABC vuông tại C.

0

. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu

.

Lời Giải:
 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, dự đoán đỉnh nào sẽ nhìn các cạnh của
hình chóp dưới một góc vuông? Thông thường điểm đó sẽ ít nằm trên cạnh bên của
hình lăng trụ đứng, tính độ dài các cạnh OA,OB,OC,OD từ đó xem nó có đặc điểm gì?

Ta có:

B ' C ' ⊥ A ' C '
0
·
 ⇒ B ' C ' ⊥ (AA ' C ' C ) ⇒ B'C' ⊥ C'A ⇒ AC’B’ = 90
B ' C ' ⊥ CC ' 

8

.


Ta có:

AC ⊥ BC 
0
·
 ⇒ AC ⊥ ( BB ' C ' C ) ⇒ AC ⊥ B ' C ⇒ ACB’ = 90
AC ⊥ CC '
·ABB’ = ·AA ' B’ = 900

Mặt khác:
.
Suy ra: AB’ cùng nhìn các đỉnh A’, B, C’, C dưới một góc vuông.
R=

A, B, C’, B’

Suy ra
Ta có:

cùng nằm trên mặt cầu tâm I là trung điểm AB’ và

AA ' ⊥ (A'B'C')

Xét tam giác AA’C’ vuông tại A’
Xét tam giác ABC vuông tại C
Xét tam giác

.

nên A’C’ là hình chiếu vuông góc của AC’ trên (A’B’C’) do đó

góc giữa AC’ và (A’B’C’) chính là góc

AA ' B '

AB '
2

vuông tại

·AC’ A’ = 600

.

⇒ AA ' = A'C'.tan 600 = a 3

⇒ AB = AC 2 + BC 2 = 2a

.

.

A ' ⇒ AB ' = AA '2 + A ' B '2 = 3a 2 + 4a 2 = a 7

.

AB '

R=
=a 7
2

Vậy bán kính
.
Phương pháp 3: Tìm giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và đường
trung trực của một cạnh bên (hoặc mặt phẳng trung trực của một cạnh bên).
Để áp dụng phương pháp này các em cần nắm một số khái niệm và tính chất sau.
a. Khái niệm: Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường thẳng đi qua tâm của
đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đó.
Tính chất:
 Mọi điểm nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác thì cách đều các đỉnh của đa
giác đó.
 Tập hợp tất cả các điểm cách đều các đỉnh của đa giác được gọi là trục đường tròn
ngoại tiếp đa giác đó.
b. Đường trung trực của một cạnh bên của hình chóp là đường thẳng đi qua trung
điểm và vuông góc với cạnh bên đó.
c. Cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác
 Đa giác là hình vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của hai đường
chéo

9


A

B

O

C

D

 Đa giác là hình chữ nhật thì tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của hai đường
chéo
C

B
O

 Đa giác là tam giác đều thì tâm đường tròn ngoại
D tiếp là giao điểm của ba đường
A

trung tuyến (trọng tâm).
C

O
B
A

 Đa giác là tam giác vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh
huyền.
A

B
C

O

 Đa giác là tam giác thường thì tâm đường tròn
ngoại tiếp là giao điểm của hai đường

trung trực của hai cạnh tam giác.

O
I

2a

Bài toán 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên và
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Lời Giải:

10

·
SAO
= 450

. Xác


 Phân tích: Như vậy với phương pháp 1 thì ta cho HS đi dự đoán ra điểm O. Từ đó
tính khoảng cách từ O đến các đỉnh của hình chóp xem có bằng nhau hay không, sau
đó mới kết luận được tâm O. Do đó, đây là điểm hạn chế của phương pháp này. Sau
đó, chúng ta sẽ cho HS tự xác định tâm.
Bước đầu tiên, cho HS dựng trục đường tròn của đa giác đáy. Do đáy là hình
vuông nên học sinh rất dễ dàng xác định được trục đường tròn là đường thẳng đi qua
tâm của hình vuông và vuông góc với đáy. Vì đây là hình chóp tứ giác đều nên trục

đường tròn của đáy cũng đi qua S.
Bước thứ hai cho HS dựng đường trung trực cạnh bên bất kì, ta chọn SA.
Do tam giác SAO vuông cân tại O nên trung trực của SA sẽ cắt SO tại O. Do đó, điểm
R=

O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và

AO
=a 2
2

.

Như vậy, qua phương pháp này HS chỉ cần suy luận và lập luận thì dễ dàng xác
định được tâm O và tính được bán kính mà không cần sử dụng đến dự đoán và tính
toán khá nhiều như phương pháp 1. Nhưng ở phương pháp này đòi hỏi HS phải nhớ
một số tính chất đặc biệt của một số hình chóp đặc biệt. Từ đó, sẽ giúp HS suy luận
nhanh hơn và việc tìm tâm cũng như tính bán kính cũng dễ dàng hơn. Do đó, phần tiếp
theo sau đây tôi sẽ đưa ra một số cách tìm tâm và tính bán kính ở một số hình chóp có
tính chất đặc biệt.

11


3.2. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP DỰA
VÀO MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆT.
DẠNG 1: HÌNH CHÓP ĐỀU.
B1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (phải vuông góc với mặt phẳng chứa
đa giác đáy).
B2: Dựng đường trung trực của một cạnh bên của hình chóp (phải đồng phẳng với trục

đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy) và cắt trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ở đâu
thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
B3: Tính bán kính

Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và
cạnh bên 2a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC.
Lời Giải:
 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy, dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, dựng đường trung trực của một cạnh
bên của hình chóp. Từ đó suy ra tâm và tính được bán kính mặt cầu.

Vì

SO ⊥ (ABC)

nên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua O và

vuông góc với đáy (ABC) chính là đường thẳng SO.

⇒ (P) ∩ SO = I

Gọi (P) mặt phẳng trung trực của cạnh SC
Do đó: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Mà
Xét

SI = IA = IB = IC  R = SI

∆SMI : ∆SOC

⇔

.

SI
SC
SM .SC
=
⇔ SI =
SM SO
SO

12

.

.


CO =

2
2a 3 a 3
CN =
=
3
3 2
3

⇒ CN =

Ta có
(vì tam giác ABC đều cạnh a
Xét tam giác SOC vuông tại O
⇒ SO = SC 2 − CO 2 = 4a 2 −

SM =

Hơn nữa, ta có

a 3
2

)

a 2 a 33
=
3
3

1
SC = a
2

R = SI =

. Suy ra

SM .SC

a.2a
2a 33
=
=
SO
11
a 33
3

.

Bài toán 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,

cạnh đáy a, cạnh bên

a 3
2

. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp S.ABCD.
Lời Giải:
 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy, dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, dựng đường trung trực của một cạnh
bên của hình chóp. Từ đó suy ra tâm và tính được bán kính mặt cầu.

O là tâm của hình vuông ABCD mà S.ABCD là hình chóp đều
⇒ SO = SA2 − AO 2 =

⇒ SO ⊥ (ABCD)

3a 2 a 2 a
−
=
4
2 2

Xét tam giác SAO vuông tại O
.
Gọi H là trung điểm của SA . Kẻ đường trung trực của cạnh SA trong mặt phẳng
IS = IA 

(SAO) cắt đường thẳng SO tại I. Ta có
(1)
A, B , C , D  ⇒ IA = IB = IC = ID  
I ∈ SO
Mặt khác
nên I cách đều 4 điểm
(2)
Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính
13

R = IS


Xét

∆SHI : ∆SOA

(vì có chung góc S)

a 31 a 3
.
IS SH
SA.SH
3a
⇒
=
⇒ IS =
= 2 2 2 =
a
SA SO
SO
4
2

⇒ R = IS=

3a
4

.
Qua các ví dụ trên tôi rút ra một vài chú ý để HS vẽ hình chính xác hơn khi vẽ tâm của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Đối với hình chóp tam giác đều cạnh đáy a
SO =

TH1: Chiều cao hình chóp là

3

a
3

thì chắcd chắn tâm mặt cầu sẽ trùng với tâm
S

của đa giác đáy.

3
a
3

A

a

3
a
3

TH2: Chiều cao hình chóp là SO >

C

O

M
B

thì chắc chắn tâm mặt cầu sẽ nằm trên đoạn

d
S

SO.
l
M
A

C

I

O
M trung trực cạnh SA)
(Với d là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và l đường
3
B
a

a

TH3: Chiều cao hình chóp là SO <

3

l

SO.

thì chắc chắn tâm mặt cầu sẽ nằm ngoài đoạn

S

M
C

A

a

O

M

B
(Với d là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và l đường trung trực cạnh SA)
Đối với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
I

14


TH1: Cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng

2
a
2

, khi đó tâm mặt cầu sẽ trùng với tâm của

đa giác đáy.

TH2: Cạnh đáy bằng

TH3:Cạnh đáy bằng

a( a > 0 )

a( a > 0 )

, SO>

, SO<

2
a
2

2
a
2

, khi đó tâm mặt cầu sẽ nằm trên đoạn SO

, khi đó tâm mặt cầu sẽ nằm ngoài đoạn SO.

Do hình thức thi cử THPT Quốc gia năm 2020 vẫn là hình thức trắc nghiệm 100% nên
tôi trang bị cho HS thêm các công thức giúp tính nhanh bán kính trong các hình chóp
đặc biệt như sau:
Nếu hình chóp đều khi biết độ dài đường cao và độ dài cạnh bên thì bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp là:

15


R=

canhben 2
2.duongcao

.
Như vậy việc tính bán kính ở hai bài toán trên sẽ dễ dàng hơn khi chỉ việc ráp
công thức. Vậy tại sao không dạy theo kiểu áp dụng công thức cho nhanh mà tôi vẫn
chọn giải pháp là dạy song song cả hai, một mặt khi học sinh quên công thức hoặc khi
học sinh vận dụng cao vào các bài tập khác để HS còn biết làm. Đối với việc bài toán
cho sẵn dữ liệu như trên thì việc tính bán kính nên chọn giải pháp áp dụng công thức
cho nhanh, còn đề bài cho dữ liệu khác thì HS phải biết vận dụng để tính toán và tùy
vào từng ngữ cảnh của các bài toán khác nhau nữa. Nhưng điểm hạn chế công thức
này chính là vẫn không biết tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm ở đâu? Và khi gặp câu trắc hỏi
liên quan tới xác định tâm thì chắc chắn rằng HS sẽ không biết xác định? Đó là lí do
mà tôi chọn giải pháp dạy song song.
DẠNG 2: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG VỚI ĐÁY.

Giả sử cho hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy.
B1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Ix//SA
B2: Từ trung điểm J của SA kẻ song song với AI cắt Ix tại O
⇒

O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
B3: Tính bán kính
Tứ giác AIOJ vuông tại A, I, J nên tứ giác AIOJ là hình chữ nhật

Xét

∆

AIO vuông tại I. Từ đó, suy ra

R = AO = AI 2 + IO 2

SA = 2a

.

Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABC có
và SA vuông góc với đáy,
đáy là tam giác đều cạnh a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC.
Lời giải

16


 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy, dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, dựng đường trung trực của một cạnh
bên của hình chóp. Từ đó suy ra tâm và tính được bán kính mặt cầu.

Gọi O là tâm của đa giác đáy.
Qua O dựng đường thẳng Ox // SA mà

SA ⊥ ( ABC ) ⇒ Ox ⊥ ( ABC )

⇒

Ox là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Gọi J là trung điểm SA.
Qua J kẻ đường thẳng // AO và cắt Ox tại I
⇒

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bán kính R=AI
OI = AJ =

Vì tứ giác AOIJ là hình chữ nhật nên
Vì

∆

Xét

AO =

ABC đều cạnh a nên suy ra

∆

⇒ R = AI =

a 3
3

SA 2a
=

=a
2
2

.

AO 2 + OI 2 = (

AOI vuông tại O

a 3 2
2a 3
) + a2 =
3
3

.

SC = 2a 2

Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABC có
và SA vuông góc với đáy,
đáy là tam giác vuông cân tại B. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABC.
Lời giải
 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy, dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, dựng đường trung trực của một cạnh
bên của hình chóp. Từ đó suy ra tâm và tính được bán kính mặt cầu.

17

Gọi I là trung điểm cạnh SC
Dựng IM // SA

⇒

⇒

I cách đều S và C

M là trung điểm AC

⇒

M là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác

đáy(vì đáy ABC là tam giác vuông nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của
cạnh huyền)
⇒

MI là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
d ∩ MI = I
Gọi d là đường trung trực cạnh SC suy ra
R = SI =

Vậy I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và

Bài toán 5: Cho hình chóp tứ giác
SA = 2a

S . ABCD

SC
=a 2
2

.

có SA vuông góc với đáy,

, đáy là hình vuông cạnh a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp

S . ABCD

.

Lời giải
 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy, dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, dựng đường trung trực của một cạnh
bên của hình chóp. Từ đó suy ra tâm và tính được bán kính mặt cầu.

Gọi O là tâm của đa giác đáy. Qua O dựng đường thẳng Ox // SA
18

⇒ Ox ⊥ ( ABCD)

⇒

Ox là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Gọi J là trung điểm SA qua J kẻ đường thẳng d //AO
⇒

⇒ d ∩ Ox = I

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

⇒ R = SI = IA = IB = IC = ID

.
OI = AJ =

Vì tứ giác AOIJ là hình chữ nhật nên
∆AOI

SA
=a
2

R = AO 2 + OI 2 = (

.

a 2 2
a 6
) + (a ) 2 =

2
2

Xét
vuông tại O. Suy ra:
.
Nếu hình chóp đều khi có cạnh bên vuông góc với đáy bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp là:
2

h
R =  ÷ + r2
 2

,
Với h là độ dài đường cao của hình chóp, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy.
Sau đây sẽ minh họa lại cách tính bán kính của bài toán 5: Cho hình chóp tứ giác

S . ABCD

có SA vuông góc với đáy,

SA = 2a

, đáy là hình vuông cạnh a. Xác định

tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . ABCD

.

Lời giải:
r=

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là:

AC a 2
=
2
2

.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
2

2
2
a 6
 SA 
 2a   a 2 
2
R= 
=
÷
÷ + r =  ÷ + 
÷
2

 2 
 2   2 

.

Như vậy việc tính bán kính sẽ nhanh hơn rất nhiều, nhưng như đề cập ở trên thì nhược
điểm vẫn không biết tâm nằm ở đâu. Cho nên việc dạy cho HS cách tìm tâm cũng là
cần thiết khi xử lí các câu trắc nghiệm liên quan đến tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.

19


20


DẠNG 3: HÌNH CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG VỚI ĐÁY
Giả sử cho hình chóp S.ABCD có (SAB) vuông góc với đáy (ABCD).

B1: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy là Ox và trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác SAB gọi là Jy.
B2: Giao của Ox và Jy là I.
⇒

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính R=IS=IA=IB=IC=ID
Tứ giác HOIJ là hình chữ nhật .
2
2
⇒ R = IB = BO + OI

BO 2 + HJ 2

=

.

Bài toán 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Xác định tâm
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Lời giải
 Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình, xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy, dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ABCD, dựng trục đường tròn ngoại
tiếp đa giác SAB. Từ đó suy ra tâm và tính được bán kính mặt cầu.

21


Ta có

(SAB) ⊥ (ABCD)

(SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
SH ⊥ AB,SH ⊂ (SAB)

SH =

Vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a nên suy ra
Gọi O, J lần lượt là tâm của đa giác ABCD và SAB.

AB 3 a 3

=
2
2

.

Ox, Jy

Gọi

lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác ABCD và SAB

⇒ Ox  ∩Oy = I
⇒

I cách đều các đỉnh của hình chóp S.ABCD nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp và bán kính
Tứ giác

HOIJ

R = IS = IA = IB = IC = ID.

là hình chữ nhật
⇒ BO =

ABCD là hình vuông

1

a 3
OI = HJ = SH =
3
6

1
a 2
BD =
2
2

.

.

⇒ R = BI = BO 2 + OI 2 = (

a 2 2 a 3 2 a 21
) +(
) =
2
6
6

Xét tam giác BOI vuông tại O
.
Nếu hình chóp đều khi có mặt bên vuông góc với đáy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là:
2
2

R = Rben
+ rday
−

giaotuyen 2
4

,

Rben , rday

Với

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy,
giaotuyen là độ dài đoạn thẳng chung của mặt bên vuông góc với đáy.

Sau đây sẽ minh họa cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp của bài toán 6.
Rben =

Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy lần lượt là
2

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

a 3
a 2
rday =
3
2

,

2

 a 3   a 2  a 2 a 21
R = 
÷
÷
÷ + 
÷ − 4 = 6
 3   2 

22

.

.


Như vậy việc áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp sẽ
giúp HS tìm nhanh và chính xác. Bên cạnh đó, ta cũng không quên chỉ HS cách xác
định tâm của mặt cầu ngoài tiếp hình chóp trong một vài trường hợp hợp hình chóp
đặc biệt, để HS có thể vận dụng vào một số bài toán liên quan. Qua những phương
pháp trên giúp HS phản ứng nhanh với đề thi THPT Quốc gia để áp ứng yêu cầu của
một bài toán trắc nghiệm.
3.3. MỘT SỐ BÀI TẬP HỌC SINH TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên tạo với
đáy các góc 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh b và

SA = a  

vuông góc với đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao

SO = 2a

, góc giữa cạnh

bên và đáy là 600. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , mặt bên SAB
là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Xác định
tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định
tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
3.4 HIỆU QUẢ GIẢI PHÁP
Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT Aaaaaa trong những năm qua, khi áp
dụng các phương pháp như vừa nêu trên, tôi đã thấy có sự chuyển biến rõ rệt. Các em
đã tự tin hơn trong việc xác định tâm và tính bán kính. Trong học tập các em đã mạnh
dạn phát biểu ý kiến, biết cách đưa ra các phương pháp giải bài toán nhanh hơn. Đặc
biệt, các em đã bỏ qua được mặc cảm tự ti, biết trao đổi những chỗ mình chưa hiểu, từ
đó các em hiểu vấn đề sâu hơn, chắc chắn hơn. Sự tiến bộ của các em biểu hiện cụ thể
qua điểm số, qua việc học sinh có ý thức học bài ở lớp cũng như ở nhà, và đặc biệt tạo
ra một phong trào học sôi nổi và nghiêm túc trong các giờ học trên lớp.
Một điều quan trọng nữa là với sự tự tin đó các em đã làm được bài toán xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp trong các đề thi thử của một số trường

23


trong cả nước đó là tiền đề để giải bài toán này trong đề thi THPT Quốc gia. Tôi nhận
thấy rằng, khi có sự đầu tư thật tốt cho các em chúng ta sẽ gặt được thành công nhất
định.

CHƯƠNG 4
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
4.1. Ý nghĩa của giải pháp
Chúng ta biết rằng bộ môn hình học nói chung, cũng như hình học không gian
nói riêng, đa số các em đều nắm một cách mơ hồ và rất khó khăn trong quá trình nhận
dạng cũng như để giải nó. Vì vậy khi thực hành giải pháp này tôi đưa ra một số dạng
toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp đặc biệt là:
Các đỉnh của hình chóp cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông, hình chóp có các
cạnh bên bằng nhau, hình chóp có cạnh bên vuông với đáy, hình chóp có mặt bên
vuông với đáy. Mục tiêu cuối cùng là giúp cách em xác định được tâm cũng như tính
được nó và đây cũng là giải pháp góp phần nhỏ trong mục tiêu thi THPT Quốc Gia của
các em sắp tới.
4.2. Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển
Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy các em rất khó khăn trong việc xác định
tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, đôi khi các em không biết xác định như thế nào
và phải bắt đầu từ đâu. Từ đó, tôi đã đưa ra các trường hợp đặc biệt nhất của hình
chóp, giúp các em cô động kiến thức và đặc biệt đây là các dạng bài thường rất hay
gặp trong kì thi THPT Quốc Gia. Bước đây áp dụng thì gặp khá nhiều khó khăn vì đòi
hỏi các em phải nhớ dạng của các hình chóp đặc biệt, nhưng sau khi các em làm quen
và ghi nhớ dạng thì việc giải rất dễ dàng, rút ngắn được thời gian giải.
Hướng phát triển sắp tới cho cách xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là tìm ra cách nào để các em dễ ghi nhớ các dạng nhất. Đưa ra thêm một số
phương pháp giải nhanh trắc nghiệm khi gặp các bài toán này.

24


4.3. Đề xuất và kiến nghị
Vấn đề đổi mới phương pháp trong giờ học trong trường phổ thông đang là vấn
đề cực kì quan trọng và cấp thiết. Để dạy toán học trong nhà trường phổ thông có hiệu
quả tôi đề nghị một số vấn đề sau:
Đối với giáo viên: Phải kiên trì, đầu tư chuyên môn ,vận dụng sáng tạo phương
pháp dạy toán học, để có bài giảng thu hút được học sinh.
Đối với học sinh: tài liệu này nên photo để trong thư viện để cho HS tham khảo.
Đối với Sở GD & ĐT: Cần trang bị cho giáo viên thêm những tài liệu tham
khảo cần thiết để bổ sung, hỗ trợ cho giáo viên trong quá trình giảng dạy. Với những
sáng kiến kinh nghiệm hay, theo tôi nên phổ biến để cho các giáo viên được học tập và
vận dụng. Có như thế tay nghề và vốn kiến thức của giáo viên sẽ dần được nâng lên.
Với thực trạng học toán và yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, có thể coi
đây là một quan điểm của tôi đóng góp ý kiến vào việc nâng cao chất lượng học môn
toán trong thời kỳ mới. Mặc dù đã cố gắng song không thể tránh được các thiếu sót,
rất mong được sự đóng góp ý kiến của các cấp lãnh đạo, của các bạn đồng nghiệp để
đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.Tôi xin chân thành cảm ơn!
Aaaaaa, ngày 02 tháng 02 năm 2020
Người viết đề tài
Thái Văn Dương

25