Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


LÊ THÚY AN

PHƢƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn
Phản biện 2: PGS. TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


✶

▼Ð ✣❺❯
✶✳ ❚➼♥❤ ❝➜♣ t❤✐➳t ❝õ❛ ✤➲ t➔✐
❍➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣
❤➺ t❤è♥❣ t♦→♥ ❤å❝✳ ❑❤✐ ♠æ ❤➻♥❤ ❤â❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤ü❝ t➳✱ ♥❤✐➲✉
❜➔✐ t♦→♥ ❞➝♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❦❤✐ ❣✐↔✐
❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ①✉➜t
❤✐➺♥ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ tr ộ ữợ t
t ỡ ♥ú❛✱ ❦❤✐ rí✐ r↕❝ ❤â❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥✱
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝ô♥❣ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈✐➺❝
ữỡ tr t t õ tữợ ợ
é ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ❧ỵ♣ ✽✱ ✾✱ ✶✵✱ ♠➦❝ ❞ị ❝→❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ①✉➜t
❤✐➺♥ ❦❤→ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ♥❤÷♥❣ ✤➣ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ t❤➜② ✤÷đ❝ ù♥❣ ❞ư♥❣
❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔♦ ✤í✐ sè♥❣ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✳
❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠æ♥ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ❆✶ ð
❤➺ ❝❛♦ ✤➥♥❣✱ ✤↕✐ ❤å❝ tr♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐ ✹✺✲✻✵ t✐➳t ♥➯♥ ❝❤➾ ❝â t❤➸ ❝✉♥❣
❝➜♣ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ❤❛✐ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤â ❧➔
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss✱ tø ✤â ❣✐ó♣ ❝❤♦ s✐♥❤
✈✐➯♥ ❝õ♥❣ ❝è ❝→❝ ❦ÿ ♥➠♥❣ ✈➲ ✤à♥❤ t❤ù❝✱ ✈➲ ❤↕♥❣ ♠❛ tr➟♥✳ Ù♥❣
❞ư♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠æ♥ ❤å❝ ♥➔② t❤➸ ❤✐➺♥ rã
♥❤➜t t❤æ♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝ tì ✈➔
t t
ỵ tt ữỡ tr t t õ ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣

✷
❦❤æ♥❣ ♥❤ú♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ♠➔ ❝á♥ tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤
✈ü❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ✈➔ ❝↔ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳✳
▲➔ ♠ët ❣✐↔♥❣ ✈✐➯♥ tr÷í♥❣ ❝❛♦ ✤➥♥❣✱ tỉ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉
s➙✉ ❤ì♥ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr t t
ỗ ỡ s ỵ tt ữỡ ❣✐↔✐ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣✮ ♥❤➡♠ ♥➙♥❣
❝❛♦ tr➻♥❤ ✤ë ❝❤✉②➯♥ ♠ỉ♥ ữủ sỹ ữợ ừ t

Pữỡ ữỡ
tr t t ự ử
ữợ tổ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✏

✑ ❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❚❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳

✷✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t
ữủ tỗ t ừ ữỡ tr➻♥❤
t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ❜è♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✣÷❛ r❛ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥❤÷
✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤
tr♦♥❣ ♠ỉ♥ ❤å❝ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣❀ t➻♠ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ tr♦♥❣
❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦✐♥❤ t➳❀ t➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐✳

✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐
❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ t➻♠ ❤✐➸✉ ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ự ừ t ỵ tt số
ởt sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✸

✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❚❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤đ♣✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤➲ t ờ sr
ừ t ữợ ❞➝♥ ✤➸ tr❛♦ ✤ê✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤❛♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐
❳➙② ❞ü♥❣ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝
❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔ ù♥❣ ử ừ ữỡ
tr t t
õ ró ỵ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t✉②➳♥ t➼♥❤ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣ ð ❜➟❝ ❝❛♦ ✤➥♥❣✳

✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ▼ð ✤➛✉✱ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥
✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿
❈❤÷ì♥❣ ✶ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥✳
❈❤÷ì♥❣ ✷ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
❈❤÷ì♥❣ ✸ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t✉②➳♥ t➼♥❤✳
❚r♦♥❣ ♠é✐ ❝❤÷ì♥❣ s➩ ✤÷❛ ✈➔♦ ❝→❝ ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t✐➯✉ ❜✐➸✉✳




ì

r ữỡ t ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ♥❤÷
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥
✤➳♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✤➳♥ ❝ü❝ trà ❝õ❛ ❤➔♠ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥
♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣❀ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥
❝➛✉✱ ❝✉♥❣ ✈➔ tr↕♥❣ t t trữớ

Pì

P ởt ỗ

m

ởt

ữỡ tr t t

ữỡ tr t ợ

n

õ

tờ qt ữ s


a11 x1 +





 a21 x1 +






a12 x2 + ... +

a1n xn =

b1

a22 x2 + ... +

a2n xn =

b2

✳
✳
✳

✭✶✳✶✮

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm ,

tr♦♥❣ ✤â

aij ∈ R, i = 1, m, j = 1, n ❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè ❝õ❛ ➞♥✱ bi ∈ R, i = 1, m

❣å✐ ❧➔ ❤➺ sè tü ❞♦✱

xi , i = 1, n

❧➔ ❝→❝ ➞♥✳


✺
◆➳✉

b1 = b2 = ... = bm = 0

t❤➻ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ❧➔

tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳

❚❛ ♥â✐ ♠ët ❜ë

♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ♥➳✉ t❛ t❤❛②

❤➺ ♣❤÷ì♥❣

(α1 , α2 , ..., αn )

x1 = α1 , ..., xn = αn

❧➔ ♠ët

✈➔♦ ❤➺ ✭✶✳✶✮

t❤➻ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr♦♥❣ ❤➺ ✭✶✳✶✮ ✤➲✉ t❤ä❛✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✳

✭◆❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣✮

✶✳✷✳ ❉❸◆● ▼❆ ❚❘❾◆ ❱⑨ ❉❸◆● ❱❊❈❚❒ ❈Õ❆ ❍➏
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍
❳➨t ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮✳ ❚❛ ✤➦t



a11





a12

...

a1n


 a21 a22

A=
✳
 ✳✳
✳
✳
 ✳
am1 am2

...



a2n 
 x2

 ✳
,
X
=
✳

 ✳
✳
✳

 ✳
amn
xn

✳✳

✳

...



x1








 b
 , B =  ✳2

 ✳

 ✳
bm

...

a1n

b1


 a21 a22
A = [A |B ] = 
✳
 ✳✳
✳
✳
 ✳
am1 am2

...

a2n

✳✳

✳
✳
✳


b2 

✳ .
✳
✳ 
bm

▼❛ tr➟♥

A, X, B, A

✳

...

amn




,





a12

a11

b1

❧➛♥ ❧÷đt ❣å✐ ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè✱ ♠❛ tr➟♥

➞♥✱ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè tü ❞♦✱ ♠❛ tr➟♥ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❤➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮✳


✻
❍➺ P❚❚❚ ✭✶✳✶✮ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ♥❤÷ s❛✉✿









a12

...

a1n

b1




 a21 a22
 ✳
✳
 ✳
✳
✳
 ✳
am1 am2

...


 
a2n   x2   b2
 ✳  =  ✳
✳
 ✳   ✳
✳
✳
 ✳   ✳
amn
xn
bm







a11

✳✳

✳

...

x1

✭✶✳✷✮

❤❛②

A.X = B.

✭✶✳✸✮

❉↕♥❣ ✭✶✳✷✮ ❤❛② ✭✶✳✸✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔

❞↕♥❣ ♠❛ tr➟♥

❝õ❛ ❤➺

P❚❚❚✳
▼ët ❝→❝❤ ❦❤→❝ ✤➸ P t ữợ

n

aij xj = bi , i = 1, .., m.

✈❡❝tì✳ ❚ø ❤➺ ✭✶✳✶✮ t❛ ❝â✿

j=1
◆➳✉ ❝♦✐ ♠é✐ ❝ët ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥
❣✐❛♥

Rm

A

♥❤÷ ♠ët ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣

❝❤➥♥❣ ❤↕♥✿

αj = (a1j , a2j , .., amj )T , j = 1, n, β = (b1 , b2 , .., bm )T
t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ❝â t❤➸ t ữợ



a11


a21
x1
...

am1






a12

+ x2  a22

 ...


am2



a1n





 + ... + xn  a2n

 ...


amn

α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn = β

✭✶✳✶✮✳



✈➔ ❣å✐ ❧➔

b1



 
  b2
=
  ...
 
bm











❞↕♥❣ ✈❡❝tì

❝õ❛ ❤➺


✼

✶✳✸✳ ❈⑩❈ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❚×❒◆● ✣×❒◆● ❱⑨
▼➮■ ▲■➊◆ ❍➏ ❱❰■ ❈⑩❈ P❍➆P ❇■➌◆ ✣✃■ ❙❒ ❈❻P

❱➋ ❍⑨◆● ❈Õ❆ ▼❆ ❚❘❾◆
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳

❍❛✐ ❤➺ P❚❚❚ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣

♥➳✉ ❝❤ó♥❣ ❝â ❝ị♥❣ t➟♣ ❤đ♣ ♥❣❤✐➺♠✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳

▼ët ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ờ tữỡ ữỡ ố ợ

P õ ổ t❤❛② ✤ê✐ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤➣ ❝❤♦✳

❈→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ờ tữỡ ữỡ ố ợ P
ờ ộ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺✳
✭✷✮ ◆❤➙♥ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤➺ ợ ởt số tỹ
ổ
ở ởt ữỡ tr ♠ët tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛
❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❦❤→❝ tr♦♥❣

t

ữỡ ự ợ ờ tữỡ

ữỡ tr➯♥ ❤➺ P❚❚❚ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛
tr➟♥ ♠ð rë♥❣✿
✭✶✮ ✣ê✐ ❝❤é ❤❛✐ ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥✳
✭✷✮ ◆❤➙♥ ♠ët ❤➔♥❣ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ✈ỵ✐ ♠ët sè t❤ü❝ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣✳
✭✸✮ ❈ë♥❣ ✈➔♦ ♠ët ❤➔♥❣ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♥❣
❦❤→❝✳

✽

✶✳✹✳ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ✭❉❯❨ ◆❍❻❚✮ ◆●❍■➏▼ ❈Õ❆ ❍➏
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍
ỵ ỵ rr ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✶✳✶✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
tr♦♥❣ ✤â


...

a1n

b1


 a21 a22
A = [A |B ] = 
✳✳✳
 ✳✳

am1 am2

...

a2n

...

amn


b2
.

bm



ứ ỵ t s r❛✿

•

◆➳✉

r (A) < r A

•

◆➳✉

r (A) = r A = r = n

t❤➻ ❤➺ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♥❣❤✐➺♠✳

•

◆➳✉

r (A) = r A = r < n

t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✈æ sè

ú ỵ





a12

ú ỵ

a11

r (A) = r A

t ✈ỉ ♥❣❤✐➺♠✳

✭✣à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝ì sð✱ ➞♥ ❝ì ❜↔♥✱ ➞♥ ❦❤ỉ♥❣

❝ì ❜↔♥✮

❈→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤
t❤✉➛♥ ♥❤➜t

✶✳✺✳ ▼❆ ❚❘❾◆ ✣➮■ ❳Ù◆●✱ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❉×❒◆●
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✶✳

✭▼❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✷✳

✭▼❛ tr➟♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✮


✾

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳✸✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳✶✳ ▼ët ♠❛ tr➟♥ A = (aij )n ✤è✐ ①ù♥❣ ❧➔ ①→❝
✭▼❛ tr➟♥ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✮

✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝→❝ ❣✐→ trà r✐➯♥❣ ừ A ữỡ

ú ỵ
t

A1

ữỡ

n

tr ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣

❝ơ♥❣ ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ự ữỡ

ú ỵ
m

A



mìm

t



AT CA



A

C

ởt tr ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤

❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣

m×n

❝â ❤↕♥❣

n

❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳

✶✳✻✳ ❈Ü❈ ❚❘➚ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ◆❍■➋❯ ❇■➌◆
✶✳✻✳✶✳ ❈ü❝ trà tü ❞♦
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✶✳
●✐↔ sû ❤➔♠
✈➔ ✤✐➸♠

✭❈ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮

f (x) = f (x1 , .., xn )

xo = (xo1 , .., xon ) ∈ D✳

①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t➟♣

❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ ❤➔♠

✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✭❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✮
❧➙♥ ❝➟♥

t↕✐ ✤✐➸♠

U (xo , δ) = {x : 0 < ρ (x, xo ) < δ}

∀x ∈ U (xo , δ) ∩ D

f (x)
xo

❝õ❛ ✤✐➸♠

❝â

D⊂ Rn

ỹ

tỗ t

xo

s

tọ t tự

f (xo ) ≥ f (x)

(f (xo ) ≤ f (x))

❈ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❝❤✉♥❣
❧➔ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❝á♥ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ t↕✐ ✤â ❤➔♠ ✤↕t ✤÷đ❝
❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳


✶✵

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✷✳

✭❈ü❝ trà t♦➔♥ ❝ư❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳✶✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝õ❛ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✸✳

✭❉↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➜✉✮

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳✷✳ ✭✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝õ❛ ❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣

❦❤ỉ♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮ ●✐↔ sû t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ♥➔♦ ✤➜② ❝õ❛ ✤✐➸♠ ❞ø♥❣ xo
❤➔♠ f (x) ❦❤↔ ✈✐ ❤❛✐ ❧➛♥ ✈➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐
∂ f (x)
o
∂x ∂x (i, j = 1, .., n) ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ x ✳ ◆➳✉ t↕✐ ✤✐➸♠ ♥➔② ✈✐ ♣❤➙♥ ❝➜♣
n
∂ f (x)
❤❛✐ d2 f (xo ) =
∂x ∂x .dxi dxj ❧➔ ❞↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ①→❝ ✤à♥❤
i,j=1
❞➜✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❜✐➳♥ dx1 , .., dxn t❤➻ t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠ f (x) ✤↕t ✤÷đ❝
❝ü❝ trà ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ d2 f (xo ) < 0 t❤➻ t↕✐ ✤✐➸♠ xo ❤➔♠
f (x) ✤↕t ❝ü❝ ✤↕✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ ❝á♥ ♥➳✉ d2 f (xo ) > 0 t❤➻ t↕✐ ✤✐➸♠ xo
❤➔♠ f (x) ✤↕t ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ữỡ
2

i

j

2

i

j

ỹ tr õ

ỗ



ỹ tr ♣❤÷ì♥❣ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✺✳

✭❈ü❝ trà t♦➔♥ ❝ư❝ ❝â

ỹ t ữỡ ừ ỗ tr t➟♣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻✳✻✳

✭✣÷í♥❣ t❤➥♥❣✱ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣✮

ỗ



ỗ

f C 2 õ f ỗ tr t ỗ

ự t t ởt tr ♥➳✉ ♠❛ tr➟♥ ❍❡ss✐❛♥ F
✭♠❛ tr➟♥ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐✮ ❧➔ ♥û❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ tr♦♥❣
Ω✳
Ω

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✻✳✹✳ ỗ f : Rn R {+} t

ỗ rộ D Rn õ x∗ ∈ D ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣
❝õ❛ ❤➔♠ f t❤➻ x∗ ❝ơ♥❣ ❧➔ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱
t➟♣ ❤đ♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f ởt t ỗ

t trữớ
ỵ tt


õ

♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✷✳

✭▲÷đ♥❣ ❝➛✉✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✸✳

✭✣÷í♥❣ ❝➛✉✮

◗✉✐ ❧✉➟t ❝➛✉✿

❑❤✐ ❣✐→ ♠ët ♠➦t ❤➔♥❣ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❤↕

①✉è♥❣ ✭tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝→❝ ②➳✉ tè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✮ t❤➻ ❧÷đ♥❣ ❝➛✉
♠➦t ❤➔♥❣ ✤â s➩ t➠♥❣ ❧➯♥ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳




ỵ tt


õ

✶✳✼✳✺✳

✭▲÷đ♥❣ ❝✉♥❣✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳✻✳

✭✣÷í♥❣ ❝✉♥❣✮

◗✉✐ ❧✉➟t ❝✉♥❣✿

❑❤✐ ❣✐→ ♠ët ♠➦t ❤➔♥❣ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ t➠♥❣

❧➯♥ ✭tr♦♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝→❝ ②➳✉ tè ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✮ t❤➻ ❧÷đ♥❣ ❝✉♥❣
♠➦t ❤➔♥❣ ✤â s➩ t➠♥❣ ❧➯♥ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✳

✶✳✼✳✸✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣
✣à♥❤ t trữớ



ỵ tữ ð ✤â ❝↔ ❣✐→ ❝↔ ✈➔ ❧÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛✱ ❞à❝❤ ✈ö ✤➲✉ ❝➙♥
❜➡♥❣✳
❈â ✷ ♥❤➙♥ tè ✤➸ ✤↕t ✤➳♥ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝õ❛ t❤à tr÷í♥❣✿

●✐→ ❝➙♥ ❜➡♥❣✿

▼ù❝ ❣✐→ t↕✐ ✤â ❧÷đ♥❣ ❝➛✉ ✤ó♥❣ ❜➡♥❣ ❧÷đ♥❣

❝✉♥❣✳

▲÷đ♥❣ ❝➙♥ ❜➡♥❣✿

▲÷đ♥❣ ❤➔♥❣ ❤â❛ ❤♦➦❝ ❞à❝❤ ✈ư ♠➔ ♥❣÷í✐

t✐➯✉ ❞ị♥❣ s➤♥ s➔♥❣ ♠✉❛ ✈➔ ♥❣÷í✐ ❜→♥ s➤♥ s➔♥❣ ❜→♥ t↕✐ ✤✐➸♠ ❣✐→
❝➙♥ ❜➡♥❣✳

❳→❝ ✤à♥❤ tr↕♥❣ t ỗ t
ỹ ừ t tr÷í♥❣

ì

Pì PP
Pì
ữỡ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t t ỗ ữỡ rr ữỡ
ss ữỡ tỷ ữỡ s ợ ộ
ữỡ ợ t ỡ s ỵ tt ừ ữỡ ữợ
ữỡ tr t t ử ồ

Pì PP
ỡ s ỵ tt ừ ữỡ rr
ỵ ỵ rr

rr AX = B ✱ tr♦♥❣ ✤â


a11





a12

...

a1n


 a21 a22
A=
✳✳✳
 ✳✳
 ✳
an1 an2

...



a2n 
 x2

✳✳✳  , X =  ✳✳✳


ann
xn

✳✳✳
...

x1





b1







 b 
 , B =  ✳2  .

 ✳ 

 ✳ 
bn

❍➺ ❈r❛♠❡r ❧✉ỉ♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ✤÷đ❝✱ ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜➡♥❣
A
❝ỉ♥❣ t❤ù❝ xj = det
det A , (1 ≤ j ≤ n) , tr♦♥❣ ✤â Aj ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠❛ tr➟♥
s✉② r❛ tø A ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② ❝ët t❤ù j ❜ð✐ ❝ët tü ❞♦ B ✳
j




ữợ ữỡ tr ữỡ
rr

Pì PP
Pữỡ rr ử ữủ ❝→❝ ❤➺ P❚❚❚
❦❤ỉ♥❣ s✉② ❜✐➳♥✳ ❚❤➳ ♥❤÷♥❣ r➜t ♥❤✐➲✉ ❤➺ P❚❚❚ ♠➔ ♥❣÷í✐ t❛ ❣➦♣
❧↕✐ s✉② ❜✐➳♥✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss t s tr ữợ õ
ữ õ t ử P tũ ỵ ữủ ✤✐➸♠ ❝õ❛
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥➔② ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷❛ r❛ ✤÷đ❝ t❤ỉ♥❣ t
ừ ữỡ tr trữợ õ

ỡ s ỵ tt ừ ữỡ ●❛✉ss
❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ tr➯♥ ❤➺ P
ởt ữỡ tr ợ tữỡ ữỡ ợ ữỡ
tr ụ tr rở ♠❛ tr➟♥ ❜➟❝ t❤❛♥❣✳
❳➨t ❤➺ P❚❚❚ tê♥❣ q✉→t✿


a11 x1 +




 a21 x1 +






a12 x2 + ... +

a1n xn =

b1

a22 x2 + ... +

a2n xn =

b2

✳
✳
✳

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm .

●✐↔ sû ❝â ♠ët ❤➺ sè

aij = 0✳

◆➳✉ ❝➛♥ ❝â t❤➸ ✤ê✐ ❝❤é ❝→❝

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ✤→♥❤ sè ❧↕✐ ❝→❝ ➞♥✱ ♥➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ t➼♥❤ tê♥❣
q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❝♦✐

a11 = 0✳

❑❤✐ ✤â✱ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

i1
aa11

ợ

rỗ ở ữỡ tr tự

i = 2, . . . , m t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t÷ì♥❣


a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn




a22 x2 + ... + a2n xn

........ .. ... ..
........




a x + ... + a x

i

ữủt ợ

ữỡ õ

=

b1

=

b2

..

...

mn n

= bm .

▲➦♣ ❧↕✐ ❧➟♣ ❧✉➟♥ tr➯♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➺ ỗ

(m 1)

m2 2

tr ố ợ

ữỡ

x2 , ..., xn .

ởt số ỳ ữợ P

AX = B

ữủ ữ

ởt tữỡ ữỡ ợ tr ♠ð rë♥❣ ❝â ❞↕♥❣✿



a11

∗

···

···

∗

∗

···

∗

b1




















0

a22

···

···

∗

∗

···

∗

b2

0

0

a33 · · ·

∗

∗

···

∗

b3

···

···

···

∗

∗

···

∗

...

0

0

0

· · · arr

∗

···

∗

br

0

0

0

···

0

···

0

br+1

···

···

···








,








0

0

0

tr♦♥❣ ✤â

···

0

· · · · · · ... · · · · · ·

...

···

bm

aii = 0 (i = 1, .., r)✱

0

···

0

❝→❝ ❞➜✉

∗

0

❝â t❤➸ ❧➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤→❝

0✳
◆➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ sè

br+1 , ..., bm

❦❤→❝

0

t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✈æ

♥❣❤✐➺♠✳
◆➳✉

br+1 = ... = bm = 0✱

t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳ ▼é✐

♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❣→♥ ❝❤♦
♥❤ú♥❣ ❣✐→ trà tũ ỵ tở

xr+1 , ..., xn

R n > r rỗ t x1 , ..., xr

✶✻
t❤❡♦ ♥❤ú♥❣ ❣✐→ trà ✤➣ ❣→♥ ❝❤♦
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù

x1

r✱ xr−1

xr+1 , ..., xn ✳

❈ư t❤➸

xr

✤÷đ❝ t➻♠ tø

✤÷đ❝ t➻♠ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤ù

r − 1✱✳✳✳✱

✤÷đ❝ t➻♠ tø ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tù ♥❤➜t✳

◆❤➟♥ t

ữỡ ự ợ ờ tữỡ

ữỡ tr ❤➺ P❚❚❚ ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ sì ❝➜♣ ✈➲ ❤➔♥❣ tr➯♥ ♠❛
tr➟♥ ♥➯♥ ✤➸ ❝❤♦ ❣å♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔✐ ❤➺ P❚❚❚✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❣❤✐
♥❤➟♥ sü ❜✐➳♥ ✤ê✐ ❝õ❛ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ♠ð rë♥❣✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✷✳

◆➳✉

A

❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✈✉ỉ♥❣ ❝➜♣

n

❝â ✤à♥❤

t❤ù❝ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣ t❤➻ ❤➺ P❚❚❚ ✤÷đ❝ ữ t tr ợ
tr rở ❝â ❞↕♥❣✿




¯b1
¯b2 

.
... 

¯bn

a
¯11 a
¯12 · · · a

¯1n


 0

 ···

0

a
¯22 · · · a
¯2n
···

···

···

0

0

a
¯nn

❑❤✐ ✤â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ✤÷đ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝



 xn =

bn
ann


 xk =

1
akk

n

bk −

akj .xj
j=k+1

,

k = n − 1, .., 1.




ữợ ữỡ tr ữỡ
ss
Pì PP


ỡ s ỵ tt ừ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤➙♥ tû

❈❤♦ ❤➺ P❚❚❚

AX = B ✱ tr♦♥❣ ✤â A = (aij )n ✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛

♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❤➙♥ tû

LU

❝õ❛ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥ ❝â ❞↕♥❣

❧➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè

A t❤➔♥❤ t➼❝❤

A = L.U ✱ L ❧➔ tr t ữợ U

tr t tr ũ ợ
ữỡ tr

A

AX = B

s ✤÷❛ ✈➲ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ❤❛✐

❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ❧➔ ♠❛ tr➟♥ t❛♠ ❣✐→❝✿

LY = B
UX = Y .

ỵ ởt tr ❝➜♣ ♥ t❤ä❛ ♣❤➨♣

♣❤➙♥ t➼❝❤ ▲❯ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❝♦♥ ❝❤➼♥❤ ❝➜♣
k, k = 1, ..., n − 1 ❝õ❛ ♥â ✤➲✉ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ P❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❧➔ ❞✉②
♥❤➜t ♥➳✉ t❛ ②➯✉ ❝➛✉ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ▲ ✭❤♦➦❝ ❯✮ ✤➲✉
❜➡♥❣ ✶✳




P r tr ữỡ
rt
ợ ữỡ ♣❤→♣ ❈r♦✉t t❛ ❝❤♦
❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛

lij







 uij

tø ✤â t➻♠

L, U ✳ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥

t❛ ❝â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷đ❝ lij


li1 = ai1 ,




1j

u
= al11
,


 1j

uii = 1, i = 1, n✱

(i ≥ j) , uij (i < j)

♥❤÷ s❛✉✿

∀i = 1, n
∀j = 2, n
j−1

= aij −

1

lik .ukj ,

✭✷✳✷✮

k=1

=

1
lii

i−1

aij −

lik .ukj , 1 < i < j n.
k=1

ữợ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❈r♦✉t
✷✳✸✳✹✳ P❤➙♥ r➣ ♠❛ tr➟♥ ữỡ
tt
ợ ữỡ tt t lii
♣❤➛♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛
t❛ ❝â t❤➸ ①→❝ ✤à♥❤ lij



u1j






li1



uij








 lij

L, U ✳ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ♥❤➙♥ ❤❛✐ ♠❛ tr➟♥

(i > j)✱ uij (i ≤ j)

♥❤÷ s❛✉✿

∀j = 1, n

= a1j ,
=

= 1, i = 1, n✱ tø ✤â t➻♠

ai1
u11 ,

∀i = 2, n
i−1

= aij −

lik .ukj ,

1
k=1

=

1
ujj

j−1

aij −

lik .ukj
k=1

, 1 < j < i ≤ n.

✭✷✳✸✮




ữợ ữỡ tr ữỡ
tt
Pì PP
ỡ s ỵ tt ừ ữỡ s
ỵ ỵ s A tr ố

ự ữỡ t tỗ t ởt tr t ữợ
D s A = D.DT .
▼❛ tr➟♥



d11





di1




dii










 dij

=
=

D = (dij )n
√

a11
ai1
d11 ,

∀i = 2, n
i−1

=

aii −
k=1

=

✤÷đ❝ t➻♠ t❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ s❛✉✿

1
djj .

d2ik ,

∀i = 2, n

✭✷✳✹✮

j−1

aij −

dik .djk

, 2 ≤ j < i n.

k=1

ữợ ữỡ tr ữỡ
❈❤♦❧❡s❦②




ì

ệ ế Pì

ữỡ s tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✳

✸✳✶✳ ▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❱❊❈❚❒ ❱⑨ ⑩◆❍ ❳❸ ❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍
✸✳✶✳✶✳ ❇✐➸✉ t❤à t✉②➳♥ t➼♥❤✱ tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤
✸✳✶✳✷✳ ✣ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✲ P❤ö t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤
✸✳✶✳✸✳ ❚å❛ ✤ë ❝õ❛ ✈❡❝tì✱ ♠❛ tr➟♥ ✤ê✐ ❝ì sð
✸✳✶✳✹✳ ❈ỉ♥❣ t❤ù❝ ①→❝ ✤à♥❤ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤
✸✳✶✳✺✳ ▼❛ tr➟♥ ✈➔ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tå❛ ✤ë ❝õ❛ →♥❤ ①↕
t✉②➳♥ t➼♥❤
✸✳✷✳ ▼➷ ❍➐◆❍ ❈❹◆ ❇➀◆● ❚❍➚ ❚❘×❮◆●
P❤➛♥ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔♦ t➻♠
✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ t❤✉ë❝ ❜ë ♠æ♥ ❑✐♥❤ t➳ ✈✐ ♠æ✳


✷✶

✸✳✷✳✶✳ ❚❤à tr÷í♥❣ ❧÷✉ ❤➔♥❤ ♠ët ❧♦↕✐ ❤➔♥❣ ❤â❛
✸✳✷✳✷✳ ❚❤à tr÷í♥❣ ❧÷✉ ❤➔♥❤ ♥❤✐➲✉ ❧♦↕✐ ❤➔♥❣ ❤â❛
✸✳✸✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➮■ ×❯
✸✳✸✳✶✳ P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥
❇➔✐ t♦→♥ ✶✿

❚➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ sè

1
f (x) = xT Ax − xT b,
2

tr♦♥❣ ✤â ♠❛ tr➟♥

b ∈ Rn

A

❝➜♣

n

∀x ∈ Rn ,

❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱

✤÷đ❝ ①❡♠ ♥❤÷ ✈❡❝tì ❝ët ✳

✣➙② ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐ tü ❞♦✳

❇➔✐ t♦→♥ ✷✿

❚➻♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ ❤➔♠ sè

1
f (x) = xT Ax − xT b,
2
✈ỵ✐

x

t❤ä❛ ♠➣♥

❤↕♥❣ ❧➔

m ≤ n✱

b ∈ Rn ✱ d ∈ Rm

Cx = d✱
❝á♥

A

tr♦♥❣ ✤â

C

❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣

∀x ∈ Rn ,

tr

n

mìn

õ

ố ự ữỡ

ữủ ♥❤÷ ❝→❝ ✈❡❝tì ❝ët✳

✣➙② ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✳
❚r♦♥❣ ❝↔ ✷ ❜➔✐ t♦→♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ t➻♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔
✤õ ✤➸

f

❝â ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝✳

✸✳✸✳✷✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❇➔✐ t♦→♥ ✭✶✮ ✤÷❛ r❛ ð ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉


✷✷

▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✸✳✶✳ ❈❤♦ ♠ët ❤➔♠ ❜➟❝ ❤❛✐
1
f (x) = xT Ax − xT b.
2

◆➳✉ A ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ t❤➻ f (x) ❝â
❞✉② ♥❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤
Ax = b✳ ●✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ f (x)
1
f A1 b = bT A1 b.
2

ú ỵ
cR

f (x)

◆➳✉

❝â ❝❤ù❛ ♠ët sè ❤↕♥❣ ❧➔ ❤➡♥❣ sè

✤➸

1
f (x) = xT Ax − xT b + c,
2
t❤➻ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ▼➺♥❤ ✤➲ ✭✸✳✸✳✶✮ ✈➝♥ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣
❞✉② ♥❤➜t ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ư❝

x = A−1 b✱

f (x)

❝â

♥❤÷♥❣ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t ❧➔

1
f A−1 b = − bT A−1 b + c.
2
❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤✉②➸♥ q✉❛ ①➨t ❇➔✐ t♦→♥ ✭✷✮ tù❝ ❧➔

min f (x)

Cx=d
tr♦♥❣ ✤â

f (x) = 21 xT Ax − xT b, ∀x ∈ Rn

✤è✐ ①ù♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✱

m ≤ n✱ b ∈ Rn , d ∈ Rm

C

✈➔

❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝➜♣

A

❧➔ tr

mìn

n

õ

ữủ ữ tỡ ❝ët✮✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✷✮ ✤➣ ♥➯✉ ❧✉æ♥ ❝â ❞✉② ♥❤➜t
✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ t♦➔♥ ❝ö❝✳

✷✸

❑➌❚ ▲❯❾◆
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✧

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈➔

ù♥❣ ❞ư♥❣✧ ✤➣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿

✶✳ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥
t➼♥❤❀ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ỹ tr
tỗ t ❝ü❝ trà✳
✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❜è♥ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥
t➼♥❤✱ tr♦♥❣ ✤â
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈r❛♠❡r ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ❈r❛♠❡r✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ●❛✉ss ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥
t➼♥❤ tũ ỵ
Pữỡ tỷ ữủ ũ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ♠➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤à♥❤ t❤ù❝ ❝♦♥ ❝❤➼♥❤
✤➲✉ ❦❤→❝ ❦❤ỉ♥❣✳
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈❤♦❧❡s❦② ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ ❝❤♦ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝â ♠❛ tr➟♥ ❤➺ sè ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ ①→❝ ✤à♥❤
❞÷ì♥❣✳
✸✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❜❛ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤✿
●✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì ✈➔ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥
t➼♥❤ t❤✉ë❝ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❝❛♦ ❝➜♣✳
❚➻♠ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ t❤à tr÷í♥❣ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳ ✈✐ ♠ỉ✳