Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tintinh thể hỗn độn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Vương Thị Mỹ Hạnh

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG CÁC HỆ SỐ ĐÀN HỒI
ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH CƠ HỌC

Hà Nội-2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Vương Thị Mỹ Hạnh

ĐÁNH GIÁ VÀ MÔ PHỎNG CÁC HỆ SỐ ĐÀN HỒI
ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 9440107

LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TSKH. Phạm Đức Chính
2. TS. Lê Hoài Châu

Hà Nội – 2020



i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi, mọi số liệu
và kết quả trình bày trong luận án hoàn toàn trung thực và chưa có tác giả khác công
bố ở bất kỳ công trình nào từ trước tới nay.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về các nội dung khoa học trong công
trình nghiên cứu này.

Nghiên cứu sinh

VƢƠNG THỊ MỸ HẠNH


ii

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành luận án một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự nỗ lực cố
gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng như sự
động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu.
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy GS. TSKH Phạm
Đức Chính, người đã trực tiếp định hướng nghiên cứu, tận tình hướng dẫn và tạo
những điều kiện tốt nhất để tôi có thể học hỏi và hoàn thành luận án này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến TS. Lê Hoài Châu, mặc dù có khó khăn về
khoảng cách địa lý nhưng thầy đã hướng dẫn và giúp đỡ tôi rất nhiều trong nội dung
phương pháp số của luận án.
Xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô đã từng giảng dạy tôi trong lĩnh vực
nghên cứu Cơ học, giúp tôi có thêm kiến thức để áp dụng trong luận án.
Cảm ơn Học Viện Khoa học và Công Nghệ, cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Cơ
học đã tạo điều kiện để tôi tập trung nghiên cứu.
Cảm ơn các anh chị trong nhóm Seminar và các anh chị em đồng nghiệp đã
giúp đỡ tôi rất nhiều về tài liệu khoa học, thời gian và kinh nghiệm.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình của tôi, những người đã luôn sát
cánh cùng tôi trong mọi khó khăn, động viên, khích lệ để tôi có thể chuyên tâm
nghiên cứu.


iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN......................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT...................................................... v
DANH MỤC CÁC BẢNG....................................................................................... viii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ................................................................................... ix
MỞ ĐẦU...................................................................................................................... 1
1. Lý do lựa chọn đề tài............................................................................................. 1
2. Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu của luận án.................................................... 2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận án.......................................................... 3

4. Những đóng góp mới của luận án.......................................................................... 3
5. Bố cục luận án....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN...................................................................................... 6
1.1. Tổng quan về vật liệu đa tinh thể........................................................................ 6
1.2. Lịch sử nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể................................. 12
1.3. Phương pháp nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể........................20
1.4. Kết luận chương 1............................................................................................ 21
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG CÁC ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VẬT
LIỆU ĐA TINH THỂ HỖN ĐỘN D CHIỀU.......................................................... 23
2.1. Các công thức xuất phát................................................................................... 23
2.2. Mô đun đàn hồi khối vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều................................35
2.3. Mô đun đàn hồi trượt vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều...............................49
2.4. Kết luận chương 2............................................................................................ 52
CHƢƠNG 3: ĐÁNH GIÁ CÁC MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ CHO CÁC ĐA
TINH THỂ HỖN ĐỘN TỪ CÁC LỚP ĐỐI XỨNG TINH THỂ CỤ THỂ..........53
3.1. Các đa tinh thể 2 chiều...................................................................................... 53


iv
3.2. Các đa tinh thể 3 chiều...................................................................................... 69
3.3. Kết luận chương 3............................................................................................ 83
CHƢƠNG 4: ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PTHH VÀ SO SÁNH VỚI CÁC
ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐA TINH THỂ CỤ THỂ........................ 84
4.1. Các công thức xuất phát................................................................................... 84
4.2. Quy trình tính toán PTHH................................................................................ 85
4.3. Áp dụng cho đối xứng tinh thể cụ thể............................................................... 91
4.4. Kết quả PTHH và so sánh................................................................................. 93
4.5. Kết luận chương 4........................................................................................... 102
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO.....................................103
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ.......................105

TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 106
PHỤ LỤC................................................................................................................ 115


v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
1. Ký hiệu thông thƣờng
2D, 3D: không gian 2 chiều, 3 chiều.
d: số chiều không gian
E: mô đun Young
G: mô đun trượt (mô đun cắt)
n: véc tơ pháp tuyến
U: trường chuyển vị
U e : trường chuyển vị trên biên
d
x  xi 

: vị trí trong không gian d chiều

i1

ε: trường biến dạng.
σ : trường ứng suất.

 : hệ số Poison.

λ : hệ số Lame
τ e : lực biên cho trước
ij : toán tử Kronecker.

  : hàm thế điều hòa
  : hàm song điều hòa
Vu : biên cho chuyển vị
V : biên cho lực

2. Ký hiệu riêng trong lĩnh vực luận án
A , B : Các tham số thống kê bậc ba về hình học pha vật liệu.




Ceff : ten xơ hệ số đàn hồi (độ cứng) vĩ mô/ hiệu quả.
C : ten xơ hệ số đàn hồi (độ cứng) thành phần pha α.
I : hàm chỉ số hình học pha α
K eff : mô đun đàn hồi diện tích vĩ mô vật liệu 2D.

k eff : mô đun đàn hồi thể tích (khối) vĩ mô vật liệu 3D (d chiều).


vi
kV : đánh giá mô đun đàn hồi thể tích (khối) của Voigt cho vật liệu 3D (d chiều)
kR : đánh giá mô đun đàn hồi thể tích (khối) của Ruess cho vật liệu 3D (d chiều)
KV : đánh giá mô đun đàn hồi diện tích của Voigt cho vật liệu 2D
KR : đánh giá mô đun đàn hồi diện tích của Ruess cho vật liệu 2D
kU : đánh giá trên mô đun đàn hồi thể tích (khối) của HS cho vật liệu 3D (d chiều)
HS

k L : đánh giá dưới mô đun đàn hồi thể tích (khối) của HS cho vật liệu 3D (d chiều)
HS

KU : đánh giá trên mô đun đàn hồi diện tích của HS cho vật liệu 2D
HS

K L : đánh giá dưới mô đun đàn hồi diện tích của HS cho vật liệu 2D
HS

k U : đánh giá trên mô đun đàn hồi thể tích (khối) của luận án cho vật liệu 3D (d

chiều)
k L : đánh giá dưới mô đun đàn hồi thể tích/ khối của luận án cho vật liệu 3D (d

chiều)
K U : đánh giá trên mô đun đàn hồi diện tích của luận án cho vật liệu 2D
K L : đánh giá dưới mô đun đàn hồi diện tích của luận án cho vật liệu 2D

 eff : mô đun đàn hồi trượt vĩ mô.
V : đánh giá mô đun đàn hồi trượt của Voigt

R : đánh giá mô đun đàn hồi trượt của Ruess

 U : đánh giá trên mô đun đàn hồi trượt của HS
HS
L

 : đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt của HS
HS

 U : đánh giá trên mô đun đàn hồi trượt của luận án
 L : đánh giá dưới mô đun đàn hồi trượt của luận án

f , g , f 2 , g 2 : các tham số hình học pha vật liệu
1

1

b , f U , g U : các giá trị các biến b, f , g đạt được ứng với đánh giá trên của luận án
U
1
1
1

1

L

b , f1

L

, g1L : các giá trị các biến b, f1 , g1 đạt được ứng với đánh giá dưới của luận án

: trung bình thể tích trên miền V
:

trung bình thể tích trên miềnV

v : tỷ lệ thể tích pha α

vii
α, β, γ: các pha của vật liệu (chỉ hướng của các tinh thể)
S: ten xơ hệ số đàn hồi mềm
S  : ten xơ hệ số đàn hồi mềm thành phần pha α.
Sk ,
S : tương ứng là các tham số phân tán của hệ số đàn hồi khối/ thể tích/ diện tích

và trượt vĩ mô của vật liệu đa tinh thể ngẫu nhiên
S LA

LA

, S
Luận án

: các tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích/thể tích và trượt của

S cir

: các tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích/ thể tích và trượt của

k

cir

, S
tinh thể dạng hạt tròn.
k

S VR

VR

: các tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích/ thể tích và trượt của

, S
Voigt- Reuss
k

S HS
k

HS

: các tham số phân tán cho mô đun đàn hồi diện tích/ thể tích và trượt của

, S

Hashin-Strickman
3. Chữ viết tắt
HS: Hashin-Strickman
NCS: nghiên cứu sinh
PĐC: Phạm Đức Chính
PTHH: phần tử hữu hạn
RVE: phần tử đặc trưng (representative volum element)
SC: tự tương hợp (self-consistent)
V-R: Voigt- Reuss


viii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1: Các mạng Bravais …………………………………………............…….....9
Bảng 1.2: Quan hệ giữa các cặp hệ số mô đun đàn hồi ……………................….. 24
Bảng 3.1: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể orthorhombic 2D ……….............…... 59
Bảng 3.2: Kết quả mô đun đàn hồi diện tích orthorhombic 2D...................................... 61
Bảng 3.3: Kết quả mô đun đàn hồi diện tích square............................................................ 66
Bảng 3.4: Kết quả mô đun đàn hồi trượt square.................................................................... 66
Bảng 3.5: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể tetragonal 2D............................................... 69
Bảng 3.6: Kết quả mô đun đàn hồi diện tích tetragonal 2D............................................... 69
Bảng 3.7: Kết quả mô đun đàn hồi trượt tetragonal 2D...................................................... 70
Bảng 3.8: Các hệ số đàn hồi một số tinh thể tetragonal 3D............................................... 80
Bảng 3.9: Kết quả mô đun đàn hồi thể tích tetragonal 3D................................................. 81
Bảng 3.10: Kết quả mô đun đàn hồi trượt tetragonal 3D.................................................... 82


ix

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Ứng dụng của vật liệu đa tinh thể.............................................................................. 6
Hình 1.2: Mô hình vật liệu đa tinh thể hỗn độn........................................................................ 6
Hình 3.1: Đối xứng tinh thể orthorhombic ……………………………………….. 55
Hình 3.2: Quy trình tính các đánh giá bằng Matlab.............................................................. 60
Hình 3.3: Đối xứng tinh thể tetragonal … ……………………………………….. 67
Hình 4.1 (a-e): Kích thước RVE …............................................................................................ 87
Hình 4.2: Quy trình tính toán bằng phương pháp PTHH................................................... 88
Hình 4.3: Kết quả PTHH cho mô đun trượt square Cu........................................................ 95
Hình 4.4: Kết quả PTHH cho mô đun trượt square Pb....................................................... 96
Hình 4.5: Kết quả PTHH cho mô đun trượt square Li......................................................... 97
Hình 4.6: Kết quả PTHH cho mô đun diện tích orthorhombic 2D S(1).......................97

Hình 4.7: Kết quả PTHH cho mô đun diện tích orthorhombic 2D TiO2......................98
Hình 4.8: Kết quả PTHH cho mô đun diện tích orthorhombic 2D U(1)....................... 98
Hình 4.9: Kết quả PTHH cho mô đun trượt orthorhombic 2D S(1)..............................99
Hình 4.10: Kết quả PTHH cho mô đun trượt orthorhombic 2D S(3)............................99
Hình 4.11: Kết quả PTHH cho mô đun diện tích tetragonal 2D BaTiO3...................100
Hình 4.12: Kết quả PTHH cho mô đun diện tích tetragonal 2D Hg2Cl2....................100
Hình 4.13: Kết quả PTHH cho mô đun diện tích tetragonal 2D In............................... 101
Hình 4.14: Kết quả PTHH cho mô đun trượt tetragonal 2D Hg2Cl2............................101
Hình 4.15: Kết quả PTHH cho mô đun trượt tetragonal 2D In...................................... 102


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
a. Nguyên nhân khách quan
Phần lớn trong số 90 nguyên tố hóa học và hơn 3000 khoáng chất trong tự
nhiên đều có dạng tinh thể. Trong chế tạo, các vật liệu có cấu trúc tinh thể được sử
dụng nhiều và cho hiệu quả cao. Ngoài ra, vật liệu đa tinh thể còn được ứng dụng
rất nhiều trong sản xuất các sản phẩm phục vụ mọi mặt của đời sống con người. Với
những ưu điểm là có sẵn trong tự nhiên, dễ dàng trong chế tạo và có tính ứng dụng
cao, trong tương lai vật liệu đa tinh thể sẽ ngày càng được sử dụng rộng rãi.
Trong quá trình chế tạo và sử dụng, ta cần quan tâm lớn đến các tính chất đàn
hồi của vật liệu này. Mô đun đàn hồi vĩ mô của vật liệu đa tinh thể phụ thuộc vào các
tính chất của từng đơn tinh thể thành phần cấu thành, hình học và tương tác giữa
chúng. Do đó việc nghiên cứu các tính chất này là cần thiết và có ý nghĩa khoa học
lẫn thực tiễn, giúp giải thích được mối quan hệ giữa tính chất vĩ mô của vật liệu với
các tính chất và hình học vi mô của các đơn tinh thể, giúp thiết kế vật liệu với các
tính chất theo yêu cầu.
Hướng nghiên cứu “đồng nhất hóa vật liệu” hình thành từ thế kỷ 19, trải qua

nhiều năm phát triển đã đạt được nhiều thành tựu nổi bật với các kết quả ngày càng
tốt hơn. Những kết quả giải tích cho các hệ số đàn hồi của vật liệu đa tinh thể tiêu
biểu như: Voigt, Ruess, Hill, Paul, Hashin-Strikman, Phạm Đức Chính... Tuy nhiên
những kết quả mô phỏng số cụ thể chưa nhiều và mới có công bố của Lê Hoài Châu áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) trong nghiên cứu mô đun trượt của
đa tinh thể cấu tạo từ vô số các đơn tinh thể có cấu trúc square liên kết hỗn độn với
nhau (gọi tắt là đối xứng tinh thể square).
Câu hỏi đặt ra là: những đánh giá trên có phải là những kết quả tốt nhất, có tồn
tại hay không các đánh giá tốt hơn, làm thế nào để xây dựng được các đánh giá có thể
đáp ứng được những yêu cầu ngày càng cao của cuộc sống con người, những tính
toán số cho mô đun đàn hồi như thế nào, liệu có khác biệt nhiều so với các kết quả
giải tích, …?
Do đó, việc nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể là một vấn đề có
ý nghĩa lớn trong lĩnh vực khoa học vật liệu nói riêng và cơ học nói chung.
b. Nguyên nhân chủ quan


2
Lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu là hướng nghiên cứu lâu năm của thầy hướng
dẫn Phạm Đức Chính cùng nhóm nghiên cứu Cơ học Vật liệu ở Viện Cơ học và đã
có nhiều kết quả công bố.
Bản thân NCS đã hoàn thành luận văn thạc sỹ về đồng nhất hóa hệ số dẫn
nhiệt vật liệu tổ hợp đẳng hướng và đã có kết quả công bố trong lĩnh vực này. Nhận
thấy nghiên cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể rất có ý nghĩa, tuy có nhiều điểm tương
đồng nhưng phức tạp hơn nhiều so với hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổ hợp. Trong quá
trình nghiên cứu, NCS cùng thầy hướng dẫn đã có một số kết quả nhất định.
Từ những lý do trên, NCS đã lựa chọn đề tài “Đánh giá và mô phỏng các hệ
số đàn hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn” làm luận án nghiên cứu.
2. Mục tiêu, phƣơng pháp nghiên cứu của luận án
a. Mục tiêu
Luận án nhằm tìm ra các đánh giá tốt hơn các đánh giá đã có, đưa ra được

các kết quả đánh giá giải tích và các kết quả mô phỏng số cụ thể.
b. Phương pháp
NCS tiếp cận bài toán bằng đường hướng năng lượng (tức là thông qua các
nguyên lý năng lượng cực tiểu và bù cực tiểu) và sử dụng cả 2 phương pháp cơ bản:


Phương pháp giải tích: Tìm lời giải bài toán thông qua việc tìm cực trị của các
phiếm hàm năng lượng trên miền phần tử đặc trưng V ( gọi tắt là Đường hướng biến
phân). Đây là phương pháp truyền thống mà các tác giả đi trước đã sử dụng. Cụ thể
là: chọn một hoặc nhiều trường thử khả dĩ cho ứng suất, biến dạng hoặc các hệ số
đàn hồi (trường này có thể là hằng số hoặc có nhiều tham số biến thiên), đặt vào các
phương trình cơ học của bài toán, tìm các điều kiện ràng buộc, biến đổi và đi đến
các đánh giá cho các hệ số đàn hồi đa tinh thể. Phương pháp này luận án sử dụng
trong chương 2 và chương 3.

Phương pháp số: áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa
đối với vật liệu đa tinh thể hỗn độn. Các bước tiến hành tuân theo trình tự phương
pháp PTHH nói chung. Trong luận án sử dụng ngôn ngữ lập trình Python và Matlab
để xây dựng lưới phần tử, tính toán các ma trận, mô phỏng các hệ số đàn hồi vật
liệu đa tinh thể. Phương pháp này NCS sử dụng trong chương 4, các chương trình
tính toán được liệt kê trong phần Phụ lục.


3
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu của luận án
a. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các hệ số đàn hồi vĩ mô của đa tinh thể hỗn độn trong không gian
d chiều (bao gồm mô đun đàn hồi khối k và mô đun đàn hồi trượt µ).
b. Phạm vi nghiên cứu
Đối với các đánh giá, luận án xét vật liệu đa tinh thể tổng quát trong không

gian d chiều, và tính toán cụ thể với các đối xứng tinh thể 2 chiều, 3 chiều.
Đối với mô phỏng số, luận án chỉ xét các vật liệu đa tinh thể 2D và giới hạn
với dạng hình học hexagonal, lý do là: dạng hình học hexagonal có tính đối xứng
cao (gần với dạng hình tròn) nên nghiên cứu thuận tiện hơn; các nghiên cứu với vật
liệu đa tinh thể 3D, dạng hình học pha khác hoặc dạng hỗn độn hoàn toàn là bài
toán rất phức tạp, chưa có kết quả công bố trong nước và thế giới nên khó khăn
trong vấn đề đối chiếu so sánh.
4. Những đóng góp mới của luận án
a. Lý thuyết:




Các trường khả dĩ luận án đưa ra cho không gian d chiều là mới và tổng quát
hơn so với kết quả 3 chiều của Pham.
Các đánh giá và các kết quả tính toán cụ thể cho các mô đun đàn hồi vĩ mô
vật liệu đa tinh thể hỗn độn d chiều trong luận án là mới và tốt hơn so với
các đánh giá trước đây (Voigt, Ruess, Hashin-Strikman, Pham).

b. Mô phỏng số:




Các kết quả mô phỏng số cho mô đun đàn hồi diện tích và trượt của các đa
tinh thể 2 chiều từ các đối xứng tinh thể square, orthorhombic, tetragonal
đã được NCS và thầy hướng dẫn công bố trong thời gian làm luận án.
Các chương trình và kết quả tính toán PTHH trong luận án cho thấy các
kết quả số hội tụ vào các đánh giá của chúng tôi, các kết quả này là mới và
chưa có một công bố nào khác tương tự trước đó.

5. Bố cục luận án
Luận án bao gồm các nội dung chính sau:
Mở đầu


4
Trình bày tóm tắt về ý nghĩa, mục tiêu, phương pháp, đối tượng nghiên cứu
và những đóng góp của luận án.
Chương 1: Tổng quan
Trình bày ứng dụng và các khái niệm cơ bản về vật liệu đa tinh thể. Tóm tắt
quá trình phát triển, cơ sở khoa học, các đánh giá điển hình và phương pháp tiếp cận
của các tác giả đi trước trong nghiên cứu các hệ số đàn hồi đa tinh thể.
Chương 2: Xây dựng các đánh giá mô đun đàn hồi vật liệu đa tinh thể hỗn độn d
chiều
Áp dụng đường hướng biến phân để xây dựng đánh giá cho các hệ số đàn hồi
vĩ mô tổng quát, các bước nghiên cứu được tóm lược như sau:
Chọn các trường khả dĩ cho ứng suất và biến dạng (tổng quát hơn trường
phân cực Hashin- Strikman đã sử dụng).
Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu (và bù cực tiểu), phương pháp nhân
tử Lagrange kết hợp tìm cực trị phiếm hàm năng lượng, tối ưu theo các tham số hình
học vật liệu.
Chương 3: Đánh giá các mô đun đàn hồi vĩ mô cho các đa tinh thể hỗn độn từ
các lớp đối xứng tinh thể cụ thể
Sử dụng các công thức đánh giá đã xây dựng trong Chương 2 để cụ thể hóa
cho các lớp đa tinh thể 2D (square, orthorhombic 2D, tetragonal 2D) và 3D
(tetragonal 3D).
Sử dụng ngôn ngữ Matlab tính toán ra các giá trị cụ thể của mô đun đàn hồi
diện tích, thể tích và mô đun trượt vĩ mô ứng với các giá trị tham số hình học vật
liệu.

Lập bảng so sánh với đánh giá của Voigt, Reuss, Hashin- Strikman, đánh giá
mới của luận án, giá trị tự tương hợp và rút ra nhận xét.
Chương 4: Áp dụng phương pháp PTHH và so sánh với các đánh giá cho một số
mô hình đa tinh thể cụ thể
Trình bày tóm tắt về cơ sở khoa học, quy trình tính toán bằng phương pháp
PTHH cho bài toán đồng nhất hóa, các bước biến đổi trung gian cho một số đa tinh
thể 2D.


5
Sử dụng ngôn ngữ Python, Matlab để mô phỏng các giá trị mô đun đàn hồi vĩ
mô 2D, vẽ hình so sánh với các kết quả đánh giá đã có (bao gồm cả kết quả mới của
luận án) và đưa ra nhận xét.
Kết luận
Trình bày các kết quả luận án đã đạt được, hướng nghiên cứu tiếp theo của
NCS cũng như các vấn đề mở ra từ luận án.
Ngoài ra, cuối luận án gồm các phần sau: Danh mục các công trình đã công
bố liên quan đến luận án; Danh mục tài liệu tham khảo; Phụ lục giới thiệu sơ lược
về các ngôn ngữ lập trình sử dụng trong luận án, trích dẫn một số chương trình tính
toán cụ thể NCS đã sử dụng.


6
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN
Trong chương này luận án sẽ trình bày tổng quan về vật liệu đa tinh thể, tình
hình nghiên cứu các hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu này theo quá trình phát triển.
Các cơ sở khoa học, các kết quả đánh giá và phương pháp nghiên cứu chung cũng
được thảo luận.
1.1. Tổng quan về vật liệu đa tinh thể
Chất rắn là một trạng thái của vật chất, ở điều kiện nhiệt độ và áp suất cố

định, chất rắn giữ nguyên được thể tích riêng và hình dạng riêng xác định. Chất rắn
chia làm hai loại: chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình. Chất lỏng và các vật
chất phi tinh thể trong một số điều kiện thích hợp cũng có thể chuyển biến thành
tinh thể.
Ngày nay, vật liệu đa tinh thể đang được sử dụng nhiều trong mọi lĩnh vực
như chế tạo máy, vật liệu xây dựng, đồ gia dụng sinh hoạt hàng ngày…

Hình 1.1: Ứng dụng của vật liệu đa tinh thể

a. Mô hình đa tinh thể 2D

b. Mô hình đa tinh thể 3D

Hình 1.2(a, b): Mô hình vật liệu đa tinh thể hỗn độn


7
Hình 1.2 là mô hình tổng quát của vật liệu đa tinh thể hỗn độn nói chung: các màu
sắc khác nhau đặc trưng cho các hướng khác nhau của tinh thể, các tinh thể được
sắp xếp ngẫu nhiên và lấp kín trong không gian vật liệu. Các số (từ 0 đến 1) trên các
trục của mô hình là ký hiệu kích thước (không mất tính tổng quát, ta chọn kích
thước là 1 đơn vị diện tích hoặc thể tích tương ứng với không gian 2D và 3D).
Các đặc điểm và tính chất chung của vật liệu đa tinh thể sẽ được trình bày cụ
thể ở phần dưới đây.
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Các tài liệu tham khảo chung về đa tinh thể có rất nhiều từ các sách giáo
khoa, giáo trình [1-10], trang bách khoa toàn thư mở hay các bài giảng liên quan, …
Vật liệu đa tinh thể là vật liệu được cấu tạo từ những hạt đơn tinh thể thường
có sắp xếp hỗn độn (chủ yếu là tinh thể chất rắn). Tinh thể hay cấu trúc tinh thể là
dạng cấu trúc sắp xếp theo một trật tự hình học không gian xác định được tạo bởi

các nguyên tử, ion chất rắn liên kết với nhau bằng lực tương tác nguyên tử. Tinh thể
của mỗi chất có hình dạng đặc trưng xác định.
Chất rắn có cấu trúc tinh thể còn được gọi là chất rắn kết tinh. Kích thước
tinh thể của một chất tuỳ thuộc quá trình hình thành tinh thể (kết tinh) diễn biến
nhanh hay chậm (tốc độ kết tinh càng nhỏ, tinh thể có kích thước càng lớn).
Mỗi chất rắn kết tinh ứng với mỗi cấu trúc tinh thể có một nhiệt độ nóng
chảy xác định không đổi ở mỗi áp suất cho trước. Ở áp suất 1atm: nước đóng đá
0

0

chuyển từ trạng thái rắn sang lỏng (nóng chảy) ở 0 C, thiếc nóng chảy ở 232 C, sắt
0

nóng chảy ở 1538 C.
Tinh thể chất rắn gồm hai dạng: đơn tinh thể và đa tinh thể (trong đó các chất rắn
hầu như đều có cấu trúc đa tinh thể ở dạng vĩ mô).
Đơn tinh thể (monocrystal hay single crystal): Là tinh thể chất rắn (hay còn
gọi là chất rắn kết tinh) được cấu tạo từ cùng một cấu trúc tinh thể, tức các hạt
nguyên tử của nó sắp xếp trong cùng một mạng tinh thể chung.
Chất rắn đơn tinh thể có tính chất vật lý (mô đun đàn hồi, hệ số dẫn, nở dài,
độ bền, …) dị hướng (tức là tính chất không giống nhau theo các hướng khác nhau).


8
Các chất đơn tinh thể có nhiều ứng dụng như: Si, Ge dùng trong các linh kiện bán
dẫn; vàng, bạc, đồng… được dùng trong các bảng mạch điện tử của ngành công
nghiệp hiện đại.
Đa tinh thể (polycrystal): là tinh thể chất rắn được cấu tạo từ vô số các đơn
tinh thể rất nhỏ liên kết hỗn độn và liên tục với nhau (hầu hết các kim loại và hợp

kim là chất đa tinh thể). Chất rắn đa tinh thể hỗn độn có tính chất vật lý giống nhau
theo mọi hướng gọi là tính đẳng hướng.
Các kim loại, hợp kim cũng như gốm đa tinh thể được sử dụng phổ biến trong cuộc
sống sinh hoạt hàng ngày, trong xây dựng, công nghiệp luyện kim, chế tạo máy,
trong khoa học kỹ thuật …
Tinh thể chất rắn được cấu tạo từ cùng một loại phân tử nhưng có cấu trúc
tinh thể khác nhau thì tính chất vật lý cũng khác nhau. Ví dụ điển hình là kim cương
và than chì: tuy cùng được cấu tạo từ cacbon (C) nhưng cấu trúc mạng tinh thể kim
cương và than chì hoàn toàn khác nhau nên tính chất vật lý của chúng cũng khác
nhau rõ rệt. Kim cương là chất rắn đơn tinh thể rắn nhất hiện nay, có tính không dẫn
điện, còn than chì rất mềm, có thể bẻ gãy dễ dàng bằng tay và có tính dẫn điện. Do
đó, kim cương ngoài việc được dùng làm đồ trang sức, do tính chất vật lý rất cứng
nên được dùng làm mũi khoan địa chất, dao cắt, đá mài…
Trong chất rắn, các nguyên tử, ion, phân tử có khuynh hướng sắp xếp để đạt độ trật
tự cao nhất (đối xứng). Khi xét đến cấu trúc tinh thể, ta cần quan tâm đến khái niệm
mạng không gian và ô cơ sở.
Mạng không gian: là sự phát triển khung tinh thể trong không gian ba chiều,
trong đó các nguyên tử (hoặc phân tử) được nối với nhau bằng các đường thẳng.
Giao điểm của các đường thẳng được gọi là nút mạng. Mỗi nút mạng đều được bao
quanh giống nhau.
Ô cơ sở (unit cell): là mạng tinh thể nhỏ nhất mà khi tịnh tiến nó theo hướng
của ba trục tinh thể thì ta có thể thu được toàn bộ tinh thể. Mỗi ô cơ sở được đặc
trưng bởi các thông số sau:


Hằng số mạng: a, b, c, α, β, γ (xem Bảng 1.1);


9


Độ đặc khít: là thể tích các hạt trên tổng thể tích tinh thể;



Số phối trí (hay còn gọi là số sắp xếp hoặc số tọa độ) là số lượng nguyên tử

cách đều gần nhất một nguyên tử đã cho. Số sắp xếp càng lớn chứng tỏ mạng tinh
thể càng dày đặc;


Số đơn vị cấu trúc: là số hạt nguyên tử, phân tử trong 1 ô cơ sở.

1.1.2. Cấu trúc tinh thể và tính chất
Cấu trúc tinh thể hay tinh thể là cấu trúc tạo bởi các hạt (phân tử, nguyên tử,
ion) liên kết chặt với nhau bằng những lực tương tác và sắp xếp theo một trật tự
hình học không gian xác định gọi là mạng tinh thể, trong đó mỗi hạt luôn dao động
nhiệt quanh vị trí cân bằng của nó.
Một cấu trúc tinh thể cấu tạo từ một ô cở sở có nhiều các nguyên tử sắp xếp
theo một cách đặc biệt, vị trí của chúng được lặp lại một cách tuần hoàn trong
không gian ba chiều theo mạng Bravais. Tất cả các vật liệu có cấu trúc tinh thể đều
thuộc vào một trong 7 hệ tinh thể hay 14 mạng Bravais này. Trong trường hợp tổng
quát, vật liệu có 81 hệ số đàn hồi, nhưng khi cấu trúc hình học của các tinh thể càng
đối xứng thì số hệ số đàn hồi độc lập càng giảm (tính dị hướng theo tính chất đàn
hồi giảm, xem Bảng 1.1). Do tên gọi của 7 hệ tinh thể này khi dịch sang tiếng Việt
có chút khác biệt và mỗi tài liệu sử dụng một cách gọi khác nhau nên luận án sử
dụng từ gốc để đảm bảo tính khoa học và thống nhất.
Bảng 1.1: Các mạng Bravais
Các hệ tinh thể/

Các mạng Bravais

Số hệ số đàn hồi độc lập
Đơn giản
1. Triclinic
(Ba nghiêng)
21


10
Đơn giản

Tâm đáy

2. Monoclinic
(Đơn nghiêng)

13

Đơn giản

Tâm đáy

Đơn giản

Tâm khối

3. Orthorhombic
(Trực thoi)
9

4. Tetragonal
(Bốn phương)
6 hoặc 7

Đơn giản
5. Trigonal
(Mặt thoi, ba phương)
6 hoặc 7

6. Hecxagonal

Đơn giản

Tâm khối

Tâm diện


11
(Lục phương)
5

Đơn giản

Tâm khối

Tâm diện

7. Cubic

(Lập phương)
3

Nhận xét Bảng 1.1:
Triclinic là dạng tổng quát nhất, các mặt là các hình bình hành. Monoclinic
có 1 mặt phẳng gương. Orthorhombic có 3 trục đối xứng hoặc 1 trục xoay hai lần và
hai mặt phẳng gương. Tetragonal có 1 trục quay bốn lần. Trigonal có 1 trục quay ba
lần. Hexagonal có 1 trục quay sáu lần. Cubic có 4 trục quay ba lần. Đôi khi tinh thể
trigonal và hexagonal được nhóm lại thành một họ hexagonal trong 6 hệ tinh thể
tương ứng.
Với mỗi cấu trúc tinh thể có thể có các mạng Bravais khác nhau: dạng đơn
giản là các hạt nguyên tử chỉ sắp xếp trên các nút mạng của tinh thể (là dạng đơn
giản nhất); dạng tâm khối có thêm 1 hạt tại tâm của tinh thể; dạng tâm diện có thêm
các hạt tại các tâm của các mặt bên tinh thể (là dạng có độ đặc khít cao nhất). Thực
tế khi vẽ hình miêu tả riêng một nhân tuần hoàn của tinh thể thì các hạt sắp xếp ở
các nút mạng này chỉ là ½, ¼, … của các hạt, còn khi vẽ hình các tinh thể sắp xếp
tuần hoàn (vật liệu) thì các hạt này mới có hình dạng đầy đủ.
Ứng với mỗi cấu trúc tinh thể có các hệ số đàn hồi độc lập nhất định, tinh thể
nào có tính đối xứng càng cao thì số hệ số đàn hồi độc lập càng nhỏ. Cụ thể: trong
bảng 1.1, tinh thể triclinic có 21 hệ số đàn hồi độc lập, còn tinh thể cubic có cấu trúc
hình học đối xứng cao nhất nên có 3 hệ số đàn hồi độc lập, trong khi vật liệu đẳng
hướng có 2 hệ số đàn hồi độc lập. Trong trường hợp không yêu cầu độ chính xác
cao, đôi khi người ta coi tinh thể cubic là đẳng hướng với tính chất đàn hồi.


12
1.2. Lịch sử nghiên cứu các hệ số đàn hồi vật liệu đa tinh thể
1.2.1. Sơ lược quá trình phát triển hướng nghiên cứu
Vật liệu đa tinh thể là tập hợp của một số lượng lớn các tinh thể riêng lẻ được
liên kết với nhau theo một quy luật nhất định. Các tính chất vĩ mô hay hiệu quả/

hiệu dụng (macroscopic effective properties) của vật liệu này phụ thuộc vào các tính
chất tương ứng của các tinh thể thành phần cũng như cấu trúc hình học vi mô của
chúng. Các phương pháp đồng nhất đã được phát triển để mô tả về mặt toán học tất
cả các tính chất hiệu quả của các đa tinh thể một pha (uniphase) dựa trên tất cả các
dạng hình học có thể có, cụ thể như Milton 2001 [11], Avellaneda 1989 [12],
Avellaneda 1996 [13]. Trong thực tế, các vật liệu đa tinh thể gồm các tập hợp tinh
thể ngẫu nhiên và có nhiều hơn các đặc tính vĩ mô có thể được lập bảng để sử dụng
trong nghiên cứu và ứng dụng. Xấp xỉ tự tương hợp (self-consistent approximation,
ký hiệu: SC) [14, 15, 16], tương ứng với ít nhất một thông số hình học thực tế, từng
được coi là xấp xỉ tốt nhất liên quan đến các tính chất của tinh thể và vật liệu tổ hợp
ngẫu nhiên Bruggenman 1935 [17], Kröner [18], Pham 1998 [19]. Tuy nhiên, do
hình dạng không xác định của các tổ hợp ngẫu nhiên trong thực tế nên có một số bất
ổn trong các tính chất vĩ mô quan sát được và việc đánh giá những giá trị phân tán
này cũng là trọng tâm của nhiều nghiên cứu [20–28]. Một cách tiếp cận phổ biến
cho vấn đề này là sử dụng phương pháp biến phân [29- 54], tức là xây dựng các
trường thử nghiệm thích hợp và thay vào trong nguyên lý năng lượng cực tiểu và bù
cực tiểu, sau đó khai thác các giả thuyết ngẫu nhiên của vật liệu đẳng hướng vĩ mô
để nhận được đánh giá trên và dưới của các tính chất hiệu quả. Các giả thuyết về
đẳng hướng thống kê và đối xứng hình học cơ sở đã được sử dụng để thu hẹp các
biên đánh giá từ bậc một [55- 59] đến bậc hai [60- 66], và bậc ba [67- 79]. Các đánh
giá bậc ba xuất hiện các tham số hình học độc lập mô tả đa tinh thể ngẫu nhiên. Các
giả thuyết khác cũng đã được đề xuất để xây dựng các biên hẹp bậc cao bất kỳ
(arbitrary high order) ứng với các cấu trúc tương ứng như cách tiếp cận của Kröner
[18], tuy nhiên, các giả thuyết đó dường như không tự nhiên và áp đặt các hạn chế
lên hình học pha của môi trường vật liệu tổ hợp (composite) (McCoy 1981 [25]).
Cách tiếp cận thông qua thành phần nhiễu chỉ ra rằng để xác định tính chất vĩ mô thì
đòi hỏi phải có các thông tin thống kê bậc ba hoặc cao hơn về hình dạng và vị trí


13

của các thành phần không đồng nhất, tuy nhiên, thông tin này dường như không xác
định đối với các đa tinh thể ngẫu nhiên trong thực tế. Trong [18] dữ liệu thực
nghiệm cho mô đun đàn hồi trượt (shear elastic modulus) của một số lớn các tinh
thể cubic thực tế được thu thập nhằm kiểm tra xem tính chất vĩ mô có nên tập trung
trong khoảng biên đánh giá bậc cao đối với giá trị SC hay không. Bên cạnh đó, các
dữ liệu thực nghiệm cho một số lớn các đa tinh thể [33, 34] đã chỉ ra rằng giá trị mô
đun đàn hồi vĩ mô không tập trung quanh giá trị SC mà phân tán gần như thống nhất
trong một khoảng so với các đánh giá bậc ba. Do đó các đánh giá bậc ba là các đánh
giá tốt nhất cho tính chất vĩ mô của đa tinh thể cũng như vật liệu tổ hợp. Các nghiên
cứu trong lĩnh vực này đã được đề cập trong nhiều công trình khoa học [79- 92].
1.2.2. Các đánh giá điển hình
Những nghiên cứu đầu tiên về mô đun đàn hồi của vật liệu đa tinh thể được
thực hiện vào cuối thế kỷ 19- đầu thế kỷ 20. Dưới đây là một số các đánh giá tiêu
biểu và được sử dụng rộng rãi trong nhiều tài liệu nghiên cứu.
a. Đánh giá Voigt- Ruess- Hill
Năm 1928, Voigt [55], đã đưa ra những công thức trung bình cộng số học
của các mô đun đàn hồi thành phần d chiều để tính xấp xỉ các mô đun đàn hồi của
vật liệu đa tinh thể trong trường hợp tổng quát:
k  1 C



d

V



2



1

 


iijj

d 2 d2

V

C







1

 C







(1.1)



d

ijij

Equation Chapter 1 Section 1

iijj



kV, µV: tương ứng là các đánh giá cho mô đun đàn hồi khối và trượt Voigt.
Sau đó 1 năm, Reuss [56] cũng xây dựng thành công công thức đánh giá cho
các mô đun này, mà trong không gian d chiều có dạng:



 1
k R  Siijj 




R




4


d

2

d2




S

ijij



1
d



S

1

iijj 




kR, µR: tương ứng là các đánh giá cho mô đun đàn hồi khối và trượt Reuss.

(1.2)