SKKN một số bài TOÁN về cực TRỊ HÌNH học KHI GIẢI bài tập PHẦN PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

MỤC LỤC
Mục Lục…………………………………………………………………………1
1. Lời giới thiệu………………………………………………………….………2
2. Tên sáng kiến……………………………………………………………...…..2
3. Tác giả sáng kiến………………………………………………………...……2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……………………………………………...……2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến…………………………………………………...2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử……………………..2
7. Mô tả bản chất của sáng kiến…………………………………………………3
- Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan.
- Một số bài toán cực trị hình học.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có)............................................................... 19
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.............................................................. 19
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần
đầu, kể cả áp dụng thử.............................................................................................................. 19
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến
lần đầu............................................................................................................................................. 20

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Bài toán cực trị hình học trong chương Phương pháp tọa độ trong không gian là dạng
toán hay và khó. Để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học
không gian, mối liên hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
Là dạng toán xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây và trong đề
tham khảo thi THPT Quốc gia năm 2019 của Bộ Giáo Dục – Đào Tạo, nhiều em học sinh
còn lúng túng không biết hướng làm bài. Để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp

dạng toán này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó. Nhằm mục đích
giúp học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành
lối tư duy giải quyết vấn đề
Giúp các em hoàn thành tốt bài thi THPT Quốc gia môn Toán, tiền đề để các em bước
tiếp vào tương lai.

II. TÊN SÁNG KIẾN:
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHI GIẢI BÀI TẬP PHẦN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà - Gia Khánh - Bình Xuyên Vĩnh Phúc
- Số điện thoại:0975 009 619
Email: Nguyenthithuybinh.
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Sáng kiến được áp dụng trong quá trình giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia
môn Toán lớp 12
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU

Một số bài toán cực trị hình học trong Phương pháp tọa độ trong không gian đươcc̣
áp dungc̣ lần đầu năm hocc̣ 2017 – 2018 khi giảng daỵ ôn thi THPT Quốc gia cho
2


hocc̣ sinh lớp 12 . Kết quả: Hocc̣ sinh nắm đươcc̣ nôịdung vàbiết vâṇ dung,c̣ bước đầu
thu đươcc̣ môṭsốkết quảkhảquan.
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
1. Nội dung của sáng kiến

Phần I. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1, Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
+
(α)
Chú ý: +

≠

và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì
là vectơ pháp tuyến của (α) thì

được gọi là vectơ pháp tuyến của mp

(k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (α)

+ nếu

),

không cùng phương và có giá song song hoặc nằm

trên
(α) thì
vectơ pháp tuyến của (α) là
của mặt
phẳng

2, Phương trình tổng quát

2

2

2

( A + B + C ≠ 0)

+ Phương trình tổng quát của (α) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0

Chú ý:
+ Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz +D = 0 thì (α) có một vectơ pháp tuyến

(A; B; C)
là

(A; B; C) thì

+ Nếu (α) qua M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến là

phương trình (α) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 3, Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có
vecto chỉ phương a = ( a1 ; a 2 ; a3 ) là:
x

trong đó t là tham số.

= x0 + ta1



y = y0 + ta2

 z = z 0 + ta3

Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của ∆ dưới dạng chính tắc:
x − x0 = y − y0 = z − z0
a
a
a
1

2

3

Phần 2: Một số bài toán cực trị hình học
Bài toán 1: Viết phương trinhh̀ mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d vàcách môṭđiểm
M ∉d môṭkhoảng lớn nhất.
Giải
3


+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P
+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d
Ta có:
MH MK
khi H trùng K

M

d

H
K

VD1: Viết phương trình mp (P) chứa đường thẳng d:
(2;1;1) môṭkhoảng lớn nhất.
Giải
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)
+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d

x −1 = y = z + 2
2

1

−1

va cach M
̀

VD2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm A (1;-2;1) song song với đường thẳng d:
x = y −1 = z va cach gốc toạ đô c̣môṭkhoang lơn nhất.
2

2

̀

̉

Giải
+ (P) chứa d’: qua A, // d. Phương trình d’:

d

+ K là hình chiếu của O trên d’

d’

+ Tìm được t = 1/9

VD3: Viết phương trinh̀ măṭphẳng (P) đi qua O, vuông góc với măṭphẳng (Q) : 2x – y +
1
z – 1 = 0 vàcách điểm M ( ( 2 ; 0; 2) ) môṭkhoảng lớn
nhất. Giải

4


+ (P) chứa đường thẳng d: qua O, vuông góc với (Q).

+ Phương trình d:
+ K là hình chiếu của M trên d .

Tìm được t = 3/4.
Bài toán 2: Phương trinhh̀ măṭphẳng (P) chứa đường d, taọ với đường thẳng d’ (d’
không song song với d) môṭgóc lớn nhất.
Giải
+ Lấy K

d. Kẻ KM // d’.

+ Gọi H là hình chiếu của M trên (P), I là hình chiếu của M trên d.

Bước 1: Lấy K thuộc d. Đường thẳng qua K, // d’.
Bước 2: Lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng, tìm hình chiếu I của M trên d.
5


Bước 3: (P) qua I, vuông góc với IM.
VD1: Viết phương trinh măṭphẳng (P) chưa d:
d’: x + 1 = y = z −1

̀

1

2

x − 1 = y + 1 = z −2 taọ vơi đương thẳng
̀
2
1
2

môṭgoc lơn nhất.

1

Giải
+ Lấy K(1; - 1; 2)

+ Lấy M(2; 1; 3)
Tìm được điểm I. Mp (P): qua I, vuông góc MI có phương trình: x – 4y + z – 7 = 0.
VD2: Viết phương trinh̀ măṭphẳng đi qua O vàvuông góc với măṭphẳng (P) : 2x + y – z
– 1 = 0 và tạo với trucc̣ Oy môṭgóc lớn nhất.
Giải
+

chứa đường thẳng : qua O, vuông góc với mặt phẳng (P);

VD3: Viết phương trinh măṭ phẳng đi qua
x −1
2

=

y
1

=

z −2
3

̀

O, song song vơi

đường thẳng d:

va taọ vơi măṭphẳng (P) : x + 2y – z + 1 = 0 môṭgoc nhỏnhất.
̀

6


Giải
+ Gọi a là đường thẳng qua O, // d

+

qua O, vuông góc với (P) có PT:

Gọi I là hình chiếu của M trên a
VD4: Viết phương trình măṭphẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) vàtaọ với trucc̣ Ox
môṭgóc lớn nhất.
Giải

Từ đó tìm được t = 1/18.
Bài toán 3: Viết phương trinhh̀ đường thẳng d đi qua môṭđiểm A cho trước và nằm
trong mặt phẳng (P) cho trước vàcách môṭđiểm M cho trước môṭkhoảng nhỏnhất
(AM không vuông góc với (P)).
Giải
+ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và d.

7

Ta có MK

MH

(MK)min khi K

H

+ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P)

d qua A và H

VD1: Viết phương trinh̀ đường thẳng d đi qua gốc toạ đô O
c̣ , nằm trong măṭphẳng (P) :
2x – y + z = 0 vàcách điểm M (1;2;1) môṭkhoảng nhỏnhất.
Giải
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P).
+ Đường thẳng qua M, vuông góc với (P):

+ Xét hệ:

VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua O.song song với măṭphẳng (P) :
2x – y – z + 1 = 0 vàcách điểm M (1;-1;2) môṭkhoảng nhỏnhất.
Giải
+ Vì d qua O, // (P) nên d nằm trong mặt phẳng

qua O, // (P)

+ Gọi H là hình chiếu của M trên
+ Xét hệ:

8


Vậy PT đường thẳng d là:

VD3: Tìm căpc̣ sốnguyên dương (a,b) nhỏnhất đểkhoảng cách từ O đến đường thẳng
x = 1 + a +
at

d: y = 2 + b + bt



(a ≠ 0) nho nhất.
+ (2a - b)t

̉

z = 1 + 2a −b
Giải
+ d qua A(1; 2; 1) cố định,
d nằm trong (P): qua A, vecto pháp tuyến

+ Gọi H là hình chiếu của O trên (P)

Từ đó tìm được a = 8; b = 11.
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A cho trước, nằm trong
măṭ phẳng (P) và cách điểm M (M khác A, MA không vuông góc với (P)) môṭ
khoảng lớn nhất.

Giải
+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d

9


+ Mà
VD1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;1;-1) cho trước, nằm trong măṭ
phẳng (P) : 2x – y – z = 0 và cách điểm M( 0;2;1) môṭkhoảng lớn nhất.
Giải

VD2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ đô O
c̣ , vuông góc với đường thẳng
d1 : x − 1 = y − 1 = z +1
2

3

Giải
+

d nằm trong

−1

va cach điểm M (2;1;1) môṭkhoang lơn nhất.
̀

̉

qua O, vuông góc d1

VD3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;0;2), song song với măṭphẳng
(P) : 2x – y + z – 1 = 0 vàcách gốc toạ đô c̣O môṭkhoảng lớn nhất.
Giải
+ d nằm trong

qua A, // (P)

x = 1 − 2a + at

VD4: Tim a để đương thẳng d:̀̀



y = -2 + 2a + (1-a)t


(a la tham số) cach điểm̀ M

1

( 2 ,1, 4) môṭkhoảng lớn nhất.

Giải
+ d luôn đi qua điểm A(1; 0; 3)
+

Từ đó tìm được a = 4/3.
10

Bài toán 5: Cho măṭ phẳng (P) vàđiểm A∈ (P) , vàđường thẳng d (d cắt (P) và d không vuông góc với (P)). Viết phương trinh h̀ đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong

(P) vàtạo với d môṭgóc nhỏnhất.
Giải
+ Từ A, vẽ

// d

+ Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của M trên (P) và d’.
+ Lấy điểm M thuộc

Bước 1: Viết

qua A, // d

Bước 2: Lấy M thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P)
Bước 3: d’ qua A và H.
VD1: Viết phương trinh̀ đường thẳng đi qua gốc toạ đô c̣O, nằm trong măṭphẳng (P) : 2x
x

– y – z = 0 vàtaọ vơi đường thẳng d:

Giải

2

y −1

= −

z +1

1

=

2

môṭgoc nhỏnhất.

+ : qua O, // d

+ Lấy M(2; -1; 2) thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P).

11


+ Xét hệ phương trình:

VD2: Viết phương trinh đương thẳng d’ đi

x −1
2

=

y −1
2

=

z +1

̀

̀

qua O, vuông goc vơi đương thẳng d:
̀

va taọ vơi măṭphẳng (P) : x – y + 2z – 1 = 0 môṭgoc lơn nhất.
̀

1

Giải
+ d’ nằm trong mặt phẳng

: qua O, vuông góc với d

+ d’ tạo với đường thẳng a (vuông góc với (P)) một góc nhỏ nhất.

VD3: Viết pt đương thẳng đi qua gốc toạ đô O
c̣ , cắt đương thẳng d:
̀

̀

vơi trục Oy môṭgóc nho nhất.
̉

x = y −1 = z va taọ
̀
1
2 3

Giải
+ Mp

đi qua O, chứa đường thẳng d.

Ta có: M(0; 1; 0) thuộc d

Vậy

nên Oy nằm trong

. Trong

: đường thẳng qua O, tạo với trục Oy góc

nhỏ nhất là góc
Bài toán 6: Cho măṭphẳng (P) vàđiểm A∈ (P) , vàđường thẳng d cắt (P) taịđiểm

M khác A. Viết pt đường thắng d’ nằm trong (P) đi qua A vàkhoảng cách giữa d và d’
lớn nhất.
Giải
+ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d, // d’

12


+ K là hình chiếu của A trên d.
Ta có: AK vuông góc với (Q) nên AK vuông góc với d’
VD: Cho măṭphẳng (P) : 2x + y + z – 3 = 0 va đương thẳng d’:
̀

x −1 = y = z
1

2

. Viết

1

phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) vàkhoảng cách giữa d vàd’ lớn nhất.
Giải
+ K là hình chiếu của A trên d’

Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d // (P). Viết phương trinhh̀ đường d
thẳng d' nằm trong (P), d’ và cách môṭkhoảng nhỏnhất
Giải
+ Lấy A là một điểm thuộc d. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên (P).

13

+ d’ là đường thẳng qua A’ và song song với đường thẳng d.
VD: Cho măṭphẳng (P) : 2x – y + z + 1 = 0. Viết phương trinh̀ d nằm trong mp (P), song
song với mặt phẳng (Q) : x – 2y + z + 2 = 0 vàcách gốc O môṭkhoảng nhỏnhất.
Giải
+ d đi qua hình chiếu H của O trên (P)
+ d là giao của (P) với (Q’) trong đó (Q’) // (Q).

Một số bài toán khác
VD1: Viết pt mặt phẳng đi qua điểm A (1;0;-2) vàcách điểm M (2;1;1) môṭkhoảng lớn
nhất.
HD:

VD2: Cho đương thẳng d: x −1 = y = z −1 , viết phương trinh đương thẳng d’ song song
̀

2

1

2

̀

̀

với d, cách d môṭ khoảng bằng 3 và cách điểm K (-3;4;3) môṭ khoảng lớn nhất (nhỏ nhất).

Giải
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua K, vuông góc với d, cắt d tại I, cắt d’ tại M

14


+ Trong (P) tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính = 3, cách K một khoảng lớn nhất,
nhỏ nhất.
+ (P): 2(x + 3) + 1(y – 4) + 2(z – 3) = 0 . Vì
Ta có IK = 6 > 3
Vậy

VD3: Cho đương thẳng d x − 3 = y − 3 = z − 3
̀

cach d môṭkhoang bằng

−2

̉

1

: .Viết pt đương thẳng d’ song song vơi d,

1

va cach đương thẳng ∆:
̀

̀

x − 2 = y = z −1

1 −2
1

môṭkhoang nho
̉

nhất ( lớn nhất).
Giải
+ Gọi d’ là đường sinh của mặt trụ: trục d, bán kính
+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa

và song song với d (d’// d và d’ // ).

Khi (P) cắt mặt trụ thì d’ là giao của mặt trụ với mp(Q) chứa d và vuông góc (P).

+ Gọi M(x; y; z) là giao của IH với mặt trụ (gần (P) nhất).

15


x = 3 +
2t

VD4: Cho đương thẳng d:̀  y = 2 + t . Viết phương trinh mp (P) song song va cach d môṭ̀̀
z = 2 +
t

khoảng R = 2

vàcách M (0;1;2) môṭkhoảng nhỏnhất ( lớn nhất ).

Giải
+ (Q): qua M, vuông góc với d và cắt d tại I
+ Đường thẳng qua M, vuông góc với (P) và cắt (P) tại A. Gọi B’ là hình chiếu vuông
góc của I trên (P).
Ta thấy: I, M, B, A thuộc (Q) và

2

2

2

VD5: Cho măṭcầu (S): (x + 1) + (y – 4) + z = 8 vàđiểm A (3;0;0) , B (4;2;1). GoịM
làđiểm thuôcc̣ măṭcầu (S). Tính giátrị nhỏnhất của biểu thức MA + 2MB
Giải
+ M(a; b; c) thuộc mặt cầu (S), ta có:


16


+ Kiểm tra được B’ nằm trong mc(S), B nằm ngoài mc(S).
Vậy MA + 2MB = 2(MB’ + MB)
YCBT: (MB’ + MB) min khi: B’, M, B thẳng hàng

.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 3) và cách gốc tọa độ O một

khoảng lớn nhất. (P) đi qua điểm nào sau đây?
A. M (0; 2; -1)

B. M (1; 1; 1)

Câu 2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng

C. M (3; 2; 1)

D.M(-1;1;1)

và tạo với trục Oz một góc

lớn nhất. Hỏi mp(P) đi qua điểm nào dưới đây?
A. M (1; 3; 2)

B. M (2; 1; 0)

C. M (4; 1; 1)

D. M (1; 1; 1)

Câu 3. Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oyz) và cách điểm
M(1; - 2; 1) một khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung.

Câu 4. Cho đường thẳng d:

(a, b là các tham số đã biết). Biết

khoảng cách giữa d và Ox lớn nhất. Tính

Câu 5. Cho mặt phẳng (P):

và đường thẳng

. Gọi d’ là

đường thẳng nằm trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất. Hỏi
d’ đi qua điểm nào sau đây?

17


Câu 6. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (P):
và tạo với trục Ox một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào
sau đây?

Câu 7. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng

và cách điểm A (- 1; 2; 3) một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) song song với đường thẳng nào
sau đây?

Câu 8. Cho mặt phẳng (P):
. Gọi d là đường thẳng đi qua
A, nằm trong (P) và cách O một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?

Câu 9. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1; 2; - 1), vuông góc với trục Ox và cách điểm
M(2; 1; - 2) một khoảng nhỏ nhất. Một vecto chỉ phương của d là:

Câu 10. Cho mặt phẳng (P):

. Gọi d là đường thẳng đi
qua A, nằm trong (P). Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d.

18


2. Khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sau khi hướng dẫn học sinh một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập
phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi thấy học sinh đã giải quyết tốt các bài
tập về viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong không gian và
nâng cao được kết quả thi THPT Quốc gia năm học 2017 - 2018
Chuyên đề giúp các em có được cái nhìn tổng quan về phương pháp tọa độ trong
không gian nói chung và một số bài toán về cực trị hình học nói riêng. Tạo hứng thú say
mê học tập trong bộ môn Toán. Từ đó phát huy được khả năng tự giác, tích cực của học
sinh, giúp các em tự tin vào bản thân khi gặp bài toán cực trị hình học. Đó chính là mục
đích mà tôi đặt ra.
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT: không có
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:
- Học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về vecto pháp tuyến của mặt phẳng; vecto chỉ
phương của đường thẳng; phương trình tổng quát của mặt phẳng và phương trình tham
số, phương trình chính tắc của đường thẳng...
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC
1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tác giả:
- Sáng kiến đã xây dựng và lựa chọn một hệ thống các bài tập cực trị hình học về
viết phương trình mặt phẳng và viết phương trình đường thẳng khi giải bài tập phần
phương pháp tọa độ trong không gian, mức độ vận dụng khi ôn thi THPT Quốc Gia.
- Bước đầu nghiên cứu sử dụng hệ thống bài tập này theo hướng tích cực thể hiện qua
sự thích thú say mê bộ môn. Học sinh có thể vận dụng để giải nhanh bài toán cực trị hình học
tọa độ không gian bằng cách tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị (số đo

góc, khoảng cách, độ dài) xảy ra.
2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tổ chức, cá nhân: không có

19


XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/ CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG
THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU.
Số

Tên tổ

TT

chức/cá nhân

1

NguyễnThị
Thảo

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

Giáo viên Trường THPT
Quang Hà

Quá trình ôn thi THPT Quốc
gia năm học 2017 – 2018.

Bình Xuyên, ngày...tháng...năm 2019

Bình Xuyên, ngày...tháng....năm 2019

PHÓ HIỆU TRƯỞNG

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Nguyễn Thị Thúy Bính
Nguyễn Viết Ngọc

20