ÔN toán lớp 12 phương pháp tọa độ trong không gian

TÀI LIỆU LỚP 12
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ KG.
1. Vectơ trong không gian:
a. Các tính chất:
Cho các vectơ
1 1 1 1 2 2 2 2
( ; ; ), u ( ; ; )u x y z x y z
= =
ur uur
và số k tuỳ ý, ta có:
1)
1 2 1 2 1 2 1 2
, ,u u x x y y z z= ⇔ = = =
ur uur
2)
1 2 1 2 1 2 1 2
( ; ; )u u x x y y z z
± = ± ± ±
ur uur
3)
1 1 1 1
( ; ; )ku kx ky kz=
ur
4)
1 2 1 2 1 2 1 2
.u u x x y y z z
= + +
ur uur
5)
2

2 2 2
1 1 1 1 1
u u x y z= = + +
ur ur
6)
( )
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cos ,
.
x x y y z z
u u
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
ur uur
với
1 2
0, 0u u
≠ ≠
ur r uur r
7)
1 2 1 2 1 2 1 2
0u u x x y y z z⊥ ⇔ + + =
ur uur
.
b. Toạ độ của vectơ và toạ độ của hai điểm mút:

Cho hai điểm
( )
A
x ; ;
A A
A y z
và
( )
; ;
B B B
B x y z
, ta có:
1)
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
2)
( ) ( ) ( )
2 2 2
AB
B A B A B A
x x y y z z
= − + − + −
c. Tích có hướng của hai vectơ:
ĐN: Cho hai vectơ
( ; ; ), v ( '; '; ')u a b c a b c= =
r r

, ; ;
' ' ' ' ' '
b c c a a b
u v
b c c a a b
 
 
=
 ÷
 
 
r r
.
Tính chất:
1)
[ , ] [ , ]u v u và u v v⊥ ⊥
r r r r r r
2)
[ , ] . .sin( , )u v u v u v=
r r r r r r
3)
[ , ] 0u v =
r r
và u v⇔
r r
cùng phương.
2. Các phương trình:
Trang
1

TÀI LIỆU LỚP 12
a. Phương trình mặt cầu:
- Mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R có phương trình:

2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
.
- Phương trình
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
là phương trình mặt cầu
khi và chỉ khi
2 2 2
0a b c d+ + − >
.
Khi đó tâm
( ; ; )I a b c− − −
, bán kính
2 2 2
R a b c d
= + + −
.
b. Phương trình mặt phẳng:
- Mặt phẳng đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z
nhận
( ; ; ) 0n A B C= ≠
r r

làm vectơ pháp tuyến
có phương trình:

0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =
.
- Phương trình
0Ax By Cz D+ + + =
với
2 2 2
0A B C+ + >
đều là phương
trình của một mặt phẳng xác định.
- Phương trình mặt phẳng đi qua
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )M a N b P c
với
0abc ≠

có dạng:
1
x y z
a b c
+ + =
được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
- Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

( ) : 0Ax By Cz D
α
+ + + =

( ) : ' ' ' 0A x B y C z D
β
+ + + =
1)
( )
α
cắt
( ) : : ': ': 'A B C A B C
β
⇔ ≠
.
2)
( ) / /( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
3)
( ) ( )
' ' ' '
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
c. Phương trình đường thẳng:
- Đường thẳng đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z

nhận
( ; ; ) 0u a b c= ≠
r r
làm vectơ chỉ phương
có:
+ Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

+ Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
với
0abc ≠
.
Trang

2
TÀI LIỆU LỚP 12
- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d đi qua M có vectơ chỉ phương
u
r
và
d’ đi qua M’ có vectơ chỉ phương
'u
ur
:
1)
[ , '] 0
'
[ , '] 0
u u
d d
u MM

=

≡ ⇔

=


r ur
r uuuuur
2)
[ , '] 0
/ / '

[ , '] 0
u u
d d
u MM

=

⇔

≠


r ur
r uuuuur
3) (d) cắt (d’)
[ , '] 0
[ , ']. ' 0
u u
u u MM

≠

⇔

=


r ur
r ur uuuuur
4) d và d’ chéo nhau

, ' và 'u u MM⇔
r ur uuuuur
không đồng phẳng

[ , ']. ' 0u u MM⇔ ≠
r ur uuuuur
.
3. Các công thức tính diện tích, thể tích và khoảng cách:
a. Các công thức tính diện tích:
- Diện tích hình bình hành
ABCD
:

[ , ]S AB AD=
uuur uuur
.
- Diện tích tam giác ABC:

1
[ , ]
2
S AB AC=
uuur uuur
.
b. Các công thức tính thể tích:
- Thể tích của hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành:

[ , ]. 'V AB AD AA=
uuur uuur uuur
.

Suy ra đường cao của lăng trụ là:
[ , ]. '
[ , ]
AB AD AA
h
AB AD
=
uuur uuur uuur
uuur uuur
- Thể tích của hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’:

1
[ , ]. '
2
V AB AC AA=
uuur uuur uuur
.
Suy ra đường cao của lăng trụ là:
[ , ]. '
[ , ]
AB AD AA
h
AB AC
=
uuur uuur uuur
uuur uuur
Trang
3
TÀI LIỆU LỚP 12
- Thể tích của hình tứ diện ABCD:

1
[ , ].
6
V AB AC AD=
uuur uuur uuur
.
Suy ra đường cao của lăng trụ là:

[ , ]. [ , ].
; ;
[ , ] [ , ]
D A
AB AC AD AB AC AD
h h
AB AC BC BD
= =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

[ , ]. [ , ].
;
[ , ] [ , ]
B C
AB AC AD AB AC AD
h h
AC AD AB AD
= =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

c. Các công thức tính khoảng cách:
- Khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
đến mặt phẳng (P):
0Ax By Cz D+ + + =
:

( )
0 0 0
,( )
2 2 2
M P
Ax By Cz D
d
A B C
+ + +
=
+ +
.
- Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a có vectơ chỉ phương
u
r
và
0
M a∈
:

( )

0
,
[ , ]
| |
M a
u MM
d
u
=
r uuuuur
r
.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ lần lượt có vectơ chỉ
phương
và 'u u
r ur
:

( )
, '
[ , ']. '
[ , ']
d d
u u MM
d
u u
=
r ur uuuuur
r ur
.

B.BÀI TẬP:
Bài 1: Cho bốn điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1A B C
,
( 2;1; 2)D − −
a. Chứng minh rằng A, B, C, D là các đỉnh của một hình tứ diện.
b. Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của tứ diện đó.
c. Tính thể tích của tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Trang
4
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đường cao
SA h=
, đáy là tam giác vuông tại C,
, AC b BC a= =
. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho
1
3
SN SB=
uuur uur
.
a. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b.Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu biết:
a. Đi qua
( ) ( ) ( )
0;8;0 , 4;6;2 , 0;12;4A B C
và có tâm nằm trên mặt phẳng

( )
Oyz
.
b. Có bán kính bằng 2 và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)và có tâm nằm trên tia Ox
c. Có tâm
( )
1;2;3I
và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz).
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
a. Đi qua ba điểm
(2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)M N P− −
.
b. Đi qua ha điểm
(1;1; 1), (5;2;1)A B−
và song với trục Oz.
c. Đi qua điểm
(3;2; 1)A −
và song song với mặt phẳng
( ) : 5 0x y z
α
− + =
.
d. Đi qua hai điểm
( )
0;1;1 ,A
( 1;0;2)B −
và vuông góc với
( ) : 1 0x y z
α
− + + =

.
e. Đi qua
( )
; ;M a b c
(với
0abc ≠
) và song song với một mặt phẳng tọa độ.
f. Đi qua
( )
1;2;3G
và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho G là trọng tâm
ABC∆
.
g. Đi qua
( )
2;1;1H
và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm
ABC∆
.
Bài 5: Cho hai mặt phẳng có phương trình :
( ) : 2 3 6 0x my z m
α
− + − + =
và
( ) : ( 3) 2 (5 1) 10 0m x y m z
β
+ − + + − =
. Với giá trị nào của m thì:
a. Hai mặt phẳng đó song song.
b. Hai mặt phẳng đó trùng nhau.

c. Hai mặt phẳng đó cắt nhau.
d. Hai mặt phẳng đó vuông góc.
Bài 6: Tìm điểm M trên trục Oz trong các trường hợp sau:
a. M cách đều
( )
2;3;4A
và mặt phẳng
2 3 17 0x y z+ + − =
.
b. M cách đều hai mặt phẳng
1 0x y z+ − + =
và
5 0x y z+ − + =
.
Bài 7: Cho bốn điểm
( ) ( ) ( )
1;6;2 , 4;0;6), 5;0;4 , 5;1;3A B C D
.
a. Chứng minh bốn điểm đó không đồng phẳng.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
d. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Trang
5
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm
)1;5;5(C ),5;2;4(B ),3;5;1(A −−
,
( )
1;2;4D

.
a. Chứng tỏ A, B, C, D không đồng phẳng.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, B, C, D. Xác định tâm và bán kính của
mặt cầu (S).
c. Viết phương trình mp
( )
α
đi qua A, B, C và tính khoảng cách từ D đến
( )
α
.
d. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với (S).
e. Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của (S) với các mặt phẳng tọa độ.
Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng
4 3 12 1 0x y z+ − + =

và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
2 4 6 2 0x y z x y z+ + − − − − =
.
Bài 10:Cho tứ diện OABC trong đó OAB, ABC, OCA là các tam giác vuông tại O.
Gọi
, ,
α β γ
lần lượt là góc giữa (ABC) với các mặt (OAB), (OBC), (OCA). Bằng
phương pháp tọa độ, hãy chứng minh:
a. Tam giác ABC có ba góc nhọn.
b.
2 2 2
cos cos cos 1

α β γ
+ + =
Bài 11: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mỗi mặt
phẳng tọa độ biết
1 2 3
:
2 3 1
x y z
d
− + −
= =
.
Bài 12: cho đường thẳng
: 8 4
3 2
x t
d y t
z t
=


= +


= +

và mặt phẳng
( ) : 7 0P x y z+ + − =
.
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P).

b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P).
Bài 13: Viết phương trình đường thẳng đi qua
(1; 1;1)A −
và cắt cả hai đường
thẳng:

1 2
:
3
x t
d y t
z t
= +


=


= −


': 1 2
2
x t
d y t
z t
=


= − −



= +

Trang
6
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 14: Viết phương trình đường thẳng d song song với d
1
và cắt cả hai đường
thẳng d
2
và d
3
, biết phương trình của d
1
, d
2
, d
3
là:

1
1
: 2 4
1
x
d y t
z t
=



= − +


= −


2
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d
− + −
= =

3
4 5
: 7 9
x t
d y t
z t
= − +


= − +


=


.
Bài 15: Cho hai đường thẳng:

1
8
: 5 2
8
x t
d y t
z t
= +


= +


= −

và
2
3 1 1
:
7 2 3
x y z
d
− − −
= =
.
a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

b. Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ O và song song với cả d
1
và d
2
.
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
.
d. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đưởng thẳng đó.
Bài 16: Cho đương thẳng d và mặt phẳng
( )
α
có phương trình:

2 1 1
:
2 3 5
x y z
d
− + −
= =
;
( ) : 2 8 0x y z
α
+ + − =
.
a. Tìm góc giữa d và
( )

α
.
b. Tìm tọa độ giao điểm của d và
( )
α
.
c. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên
( )
α
.
Bài 17: Cho đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
có phương trình:

1 2 3
:
1 2 2
x y z
d
− − −
= =
;
( ) : 2 5 0x z
α
+ − =
.
a. Xác định tọa độ giao điểm A của d và
( )
α

.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A nằm trong
( )
α
và vuông góc với d.
Bài 18: Tính khoảng cách từ:
a. Điểm
( )
2;3;1M
đến đường thẳng
2 1 1
:
1 2 2
x y z
d
+ − +
= =
−
.
b. Điểm
(2;3; 1)N −
đến đường thẳng d đi qua
1 3
;0;
2 4
M
 
− −
 ÷
 

có vectơ chi
phương
( 4;2; 1)u = − −
r
.
Bài 19: Tính khoảng cách giữa hai đưởng thẳng sau:
Trang
7
TÀI LIỆU LỚP 12
a.
1
: 1
1
x t
d y t
z
= +


= − −


=

và
2 3
': 2 3
3
x t
d y t

z
= −


= − +


=

b.
1
: 2 3
4 3
x t
d y t
z t
= −


= +


= − +

và
2
4 1
:
1 1 2
x y z

d
− +
= =
− −
.
Bài 20: Cho hai điểm
(1; 1; 2), (3;1;1)A B− −
và mặt phẳng
( )
: 2 3 5 0P x y z− + − =
.
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
b. Tìm góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
c. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P).
d. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). Viết phương
trình đường thẳng d nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.
Bài 21: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình:

2
3
11
:
3
x t
d y t
z t

= +




=− +


=




( ) : 3 1 0P x y z− + − =
.
a. Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên (P).
b. Viết phương trình đường thẳng d
1
là hình chiếu song song của d trên (P) theo
phương Oz.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua O, cắt d và song song với (P).
Bài 22: Cho điểm
( )
2;3;1A
và hai đường thẳng:

1
2
: 2
2
x t
d y t
z t
= − −



= +


=

và
2
5 2
:
3 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và d
1
.
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và d
2
.
c. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả d
1
và d
2
.
d. Tính khoảng cách từ A đến d

2
.
Trang
8
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 23: Cho hai đường thẳng:

1
1 6
: và ': 2
1 2 3
3
x t
x y z
d d y t
z t
= +

− −

= = = − +


= −

.
a. Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa d và d’.
c. Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
d. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz cắt cả d và d’.

Bài 24: Cho mp
( )
α
:
2x 3y 6z 6 0
+ + − =

a. Tìm giao điểm A, B, C của Ox, Oy, Oz với mặt phẳng
( )
α
. Tính diện tích tam
giác ABC.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mp(ABC).
c. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
Bài 25: Cho đường thẳng d:
x 12 4t
y 3 3t
z 1 t
= +


= +


= +

và mp
( )
α
:

2x 3y z 2 0
− + + + =

a. Tìm giao điểm A của đường thẳng (d) và mp
( )
α
.
b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua (d) và vuông góc với mp
( )
α
.
c. Lập phương trình hình chiếu của (d) lên mp
( )
α
.
Bài 26: Cho mp(P) :
x y z 0
+ + =
và đường thẳng D là giao tuyến của hai mặt
phẳng
( ) : x 2y 3 0
α + − =
và
,
( ) :3x 2z 7 0
α − − =
.
a. Tìm giao điểm A của đường thẳng D và mặt phẳng P.
b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với đường thẳng D và
nằm trong mặt phẳng P.

Trang
9
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 27: Cho mp
( ): x y 0
α − =
và đường thẳng
x 2
( ) : y t
z t 1
=


∆ =


= − +

.
a. Tìm giao điểm A của đường thẳng
( )
∆
và mp
( )
α
.
b. Viết phương trình của đường thẳng
1
( )
∆

đi qua A, vuông góc với
( )
∆
và nằm
trong mp
( )
α
.
c. Viết phương trình hình chiếu của
( )
∆
lên mp
( )
α
.
Bài 28: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(3, 2, 1) vuông góc với đường
thẳng
x y z 3
2 4 1
+
= =
và cắt đường thẳng đó.
Bài 29: Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2, -1, 1) vuông góc với đường
thẳng (d
1
)
x 2 y 1 z 1
3 2 3
− − +
= =

và cắt đường thẳng (d
2
):
x 3 t
y 1 t
z t
= +


= −


=

.
Bài 30: Lập phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng:
y 2x 0
+ =
và cắt hai
đường thẳng (d):
x 1 y 1 z 2
2 3 1
+ − −
= =
và (d
’
):
x 2 y 2 z
1 5 2
− +

= =
−
.
Bài 31: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(2, 3, -5) và song song với
đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ): 3x y 2z 7 0
α − + − =
và
,
( ) : x 3y 2z 3 0
α + − + =
.
Bài 32: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm:
a. M(-4, -5, 3) và cắt hai dường thẳng:
(d
1
):
x 1 y 3 z 2
3 2 1
+ + −
= =
− −
và (d
2
):
x 2 y 1 z 1
2 3 2
− + −
= =
−

b. M(1, -1, 1) và cắt hai dường thẳng:
Trang
10
TÀI LIỆU LỚP 12
(d
1
):
x 1 y z 3
2 1 1
− −
= =
−
và (d
2
) là giao tuyến của
mp( ) : x y z 1 0
mp( ) : y 2z 3 0
α + + − =


β + − =


c. M(0, 1, 2) và cắt hai dường thẳng:
(d
1
):
x 1 y 3 z 2
3 2 1

+ + −
= =
− −
và (d
2
):
x 1 t
y 1 2t
z 2 t
= +


= − +


= +


Bài 33: Cho mặt phẳng P và đường thẳng d có phương trình:

(P) : 2x y z 1 0
+ + − =
và
x 1 y z 2
(d) :
2 1 3
− +
= =
−

Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của (P) và (d), vuông góc với
(d) và nằm trong (P).
Bài 34: Cho hai đường thẳng :
1
x 1 y 2 z 5
(d ) :
2 3 4
− + −
= =
−
và
2
x 3t 7
(d ): y 2t 2
z 2t 1
= +


= +


= − +


Chứng tỏ hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cùng nằm trong một mặt phẳng. Viết
phương trình mặt phẳng đó.

Bài 35: Cho đường thẳng (d
1
) là giao tuyến của
1
1
mp( ) : x y 0
mp( ) : x y z 4 0
α + =


β − + + =

và đường thẳng (d
1
) là giao tuyến của
2
2
mp( ): x 3y 1 0
mp( ) : y z 2 0
α + − =


β + − =

a. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.
b. Tính khoảng cách của hai đường thẳng đó.
Trang
11
TÀI LIỆU LỚP 12
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2, 3, 1) và cắt cả hai đường thẳng d

1
và d
2
.
Bài 36: Cho mp(P):
3x y z 1 0
+ − + =
và đường thẳng
x 1 y 3 z 9
(d) :
6 4 5
+ − −
= =
− −

a. Tìm giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
b. Tìm góc ( nhọn) của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
c. Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) , vuông góc với mặt
phẳng (P).
d. Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P).
Bài 37: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0, 1, 1) biết (d)
⊥
(d
1
), (d) cắt
(d
2
) với (d
1
), (d

2
) có phương trình là: (d
1
):
x 1 y 2 z
3 1 1
− +
= =
; (d
2
):
x 1
y t
z t 1
= −


=


= +


Bài 38: Cho A(-4, -2, 4) và (d):
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= − +



= −


= − +

. Viết phương trình đường thẳng (D)
qua A, cắt và vuông góc với (d).
Bài 39: Cho (d
1
):
x 23 y 10 z
8 4 1
+ +
= =
và (d
2
):
x 3 y 2 z
2 2 1
− +
= =
−

a. Viết phương trình mp(P) và mp(Q) song song với nhau và lần lượt đi qua (d
1
)
và (d
2
).
b. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với Oz và cắt (d

1
) và (d
2
).
Bài 40: Cho A(-1, 3, -2); B(-9, 4, 9) và mp(
α
):
2x y z 1 0
− + + =

Trang
12
TÀI LIỆU LỚP 12
a. Chứng minh A và B cùng nằm một phía với mp(
α
).
b. Tìm M nằm trên mp(
α
) sao cho MA+ MB nhỏ nhất.
Bài 41: Cho M(1, 2, 3) và hai đường thẳng:
1
x 2 y 2 z 3
(d ) :
2 1 1
− + −
= =
−
và
2
x 1 y 1 z 1

(d ) :
1 2 1
− − +
= =
−

a. Tìm tọa độ A
’
đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d
1
).
b. Viết phương trình đường thẳng
( )
∆
đi qua A, vuông góc với (d
1
) và cắt (d
2
).
Bài 42: Cho A(1, 2, -1); B(7, -2, 3) và đường thẳng
x 1 y 2 z 2
( ) :
3 2 2
+ − −
∆ = =
−

a. Chứng minh đường thẳng AB và đường thẳng
( )
∆

cùng nằm trong một mặt
phẳng.
b. Chứng minh A và B cùng nằm một phía với đường thẳng
( )
∆
trong mặt
phẳng
(AB, )
∆
.
c.Tìm M thuộc đường thẳng
∆
sao cho
AM BM+
nhỏ nhất.
Bài 43: Cho A(2, 3, 0), b(0,
2−
, 0) và đường thẳng
x t
( ) : y 0
z t 2
=


∆ =


= − +


a. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A và
( )⊥ ∆
.
b. Tìm H là giao điểm của (
∆
) và mp(
α
) và tính d(A,
∆
).
c. Tìm M thuôc
∆
sao cho MA+ MB nhỏ nhất.
Bài 44: Cho hai đường thẳng:

7 3
1 2 5
: 2 2 và ':
2 3 4
1 2
x t
x y z
d y t d
z t
= +

− + −


= + = =

−

= −

.
Trang
13
TÀI LIỆU LỚP 12
a. Chứng minh d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
chúng.
b. Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng tọa độ.
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.
Bài 45: Cho hai đường thẳng:

2
: 3 và ': 1
6 2
x t x t
d y d y t
z t z t
= = +
 
 
= = −
 
 
= + = −
 

.
a. Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q)
đi qua d’ và vuông góc với d.
c. Viết phương trình chính tắc của đương vuông góc chung của d và d’.
Bài 46: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:

( ) : 2 2 0 ( ): 2 1 0P x y z Q x y z− + + = + + − =
.
a. Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.
b. Viết phương trình đường thẳng d qua
(1;2; 3)A −
, song song với cả (P) và (Q).
c.Viết phương trình mp(R) đi qua
( 1;3;4)B −
và vuông góc với cả (P) và (Q).
Bài 47: cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 4 6 0S x y z x y z+ + − − − =
.
a.Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.
b.Tùy theo giá trị của k, hãy xét vị trí tương đố của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P)
biết
( ) : 0P x y z k+ − + =
.
c. Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác với gốc tọa độ O. Viết
phương trình mặt phẳng (ABC).
d.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.
e.Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt
phẳng

( )
: 4 3 12 1 0Q x y z+ − − =
.
Bài 48: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’,
AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho
, , AM m AN n AP p= = =
.
a.Tìm sự liên hệ giữa m, n, p để mp(MNP) đi qua đỉnh C’ của hình lập phương.
b.Trong trường hợp (MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện
AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?
Bài 49: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình:

1 1
:
2 1 3
x y z
d
− +
= =
−
a.Viết phương trình hình chiếu của d trên các mặt phẳng toạ độ.
Trang
14
TÀI LIỆU LỚP 12
b.Chứng minh rằng
( ) : 5 4 0P x y z+ + + =
đi qua d.
c.Tính khoảng cách giữa d và các trục toạ độ.
d.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và
':d x y z= =

.
e.Viết phương trình đường thẳng song song với Oz cắt cả d và d’.
Bài 50: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
(1; 1;2), (2;0;1)A B−
.
a.Tìm quỹ tích các điểm M sao cho
2 2
2MA MB− =
b.Tìm quỹ tích các điểm N sao cho
2 2
3NA NB+ =
c.Tìm quỹ tích các điểm cách đều
( )OAB
và
( )Oxy
.
Bài 51: Trong không gian toạ độ Oxyz cho
1
: 1
5
x at
d y bt
z ct
= +


= +


= +


Trong đó a, b, c thay đổi sao cho
2 2 2
c a b= +
.
a.Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định và góc giữa d và Ox là
không đổi.
b.Tìm quỹ tích giao điểm của d và mặt phẳng (Oxy).
Bài 52: Cho hai đường thẳng song song

1
x 7 y 5 z 9
(d ):
3 1 4
+ − −
= =
−
và
2
x y 4 z 18
(d ) :
3 1 4
+ +
= =
−

a. Viết phương trinh mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2

).
b. Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
Bài 53: Cho A( 0, 0, 1) , B(2, 1, -1) và C(-1, -2, 0)
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của
ABC∆
và
mp(ABC)⊥
c. Tìm hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC.
Bài 54: Cho hai đường thẳng:
1
x 1 t
(d ): y 0
z 5 t
= −


=


= − +

và
'
2
'

x 0
(d ) : y 4 2t
z 5 3t
=


= −


= +


a. Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
Bài 55: Cho hai đường thẳng

1
x y 2 z 4
(d ):
1 1 2
− +
= =

−
và (d
2
):
x 8 y 6 z 10
2 1 1
+ − −
= =
−

a. Viết phương trình đường thẳng (d)// Ox và cắt (d
1
), (d
2
).
Trang
15
TÀI LIỆU LỚP 12
b. Tìm A thuộc (d
1
) và B thuộc (d
2
) sao cho AB là đường vuông góc chung của
(d
1
), (d
2
).
Bài 56: Cho hai đường thẳng:
1

x 1 2t
(d ): y 2 t
z 3t
= +


= −


=

và
'
'
2
'
x 3t 1
(d ) : y t
z 2 4t

= −

=


= +

. Viết
phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d
1

) tại A(3, 1, 3) và có tâm I thuộc (d
2
).
Bài 57: Cho
mp( ) : x y z 1 0α − − − =
và đường thẳng
x 1 y 1 z 2
( ) :
2 1 3
+ − −
∆ = =
.
a. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1, 1, -2) sao cho (d)// mp(
α
) và d
( )⊥ ∆

b. Tính khoảng cách giữa (d) và (
∆
).
Bài 58: Cho hai đường thẳng:
1
x 1 2t
(d ): y 1 t
z 2 3t
= +


= −



= +

và
'
'
2
'
x 3t 4
(d ) : y t
5
z t
2

= +


=



= +

. Viết
phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d
1
) tại A(3, 0, 5) và có tâm I thuộc (d
2
).
Bài 59: Chứng minh hai đường thẳng

1
x 1 y 2 z 5
(d ):
2 3 4
− + −
= =
−
và
1
x 7 2t
(d ): y 2 3t
z 1 4t
= −


= +


= −


cùng nằm trong một mặt phẳng. Lập phương trình mặt phẳng đó.
Bài 60: Cho đường thẳng
x y 1 z 1
(d) :
2 1 2
− +
= =
và hai mặt phẳng
1

( ) : x y 2z 5 0α + − + =
;
2
( ): 2x y z 2 0α − + + =
. Viết phương trình mặt cầu tâm I
thuộc (d) và tiếp xúc với mp(
1
α
) và mp(
2
α
).
Bài 61: Cho (S):
2 2 2
x y z 1+ + =
và mp
( )
α
:
x y 2z 1 0+ + − =
.
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của (S) và mp
( )α
.
b. Lập phương trình mặt cầu chứa giao tuyến của (S) với mp
( )
α
và tâm của mặt
cầu đó nằm trên
mp( ) : x y z 4 0β + + + =

Bài 62: Cho
1
1
x 0
(d ): y 1
z 1 t
=


=


= −

và
2
2
x 2 2t
(d ) : y 1
z 0
= − +


=


=

x 1 t
(d) : y t

z 2 t
= +


=


= − +

\
Trang
16
TÀI LIỆU LỚP 12
a. Chứng minh (d
1
) và (d
2
) cắt nhau và lập phương trình mp (d
1
, d
2
).
b. Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc (d) và tiếp xúc với (d
1
), (d
2
).
Bài 63: Cho
mp( ) : 2x y 2z 1 0α − − + =
và

x 1 2t
(d) : y 2 t
z 3t
= +


= −


=


a. Tìm A
∈
(d) sao cho
d(A,( )) 1α =

b. Tìm M
’
đối xứng của M(2, -1, 3) qua đường thẳng (d).
Bài 64: Cho A(3, 1, 1), B(7, 3, 9) và
mp( ) : x y z 3 0α + + + =
.
a. Tìm M
∈
mp
( )
α
sao cho MA+ MB nhỏ nhất.
b. Tìm N

∈
mp
( )
α
sao cho
NA NB+
uuur uuur
nhỏ nhất.
Bài 65: Cho
x t
( ) : y t
z 2 2t
=


∆ = −


== +

và
'
( )∆
là giao điểm của
mp( ) : x y z 0
mp( ) : x y z 2 0
α − − =


β + + + =



a. Chứng minh
'
( ),( )∆ ∆
chéo nhau.
b. Lấy A, B trên
( )
∆
sao cho AB=4. Lấy C, D trên (
'
∆
) sao cho CD=3. Tính
V
ABCD
Bài 66: Cho A(2, 1, -1); b(3, 0, 1): C(2, -1, 3). Tìm D trên Oy sao cho V
ABCD
=5.
Bài 67: Cho
1
1 1
1
x 2 t
( ) : y 1 t
z 2t
= +


∆ = −



=

và
2
2
2
x 2 2t
( ): y 3
z t
= −


∆ =


=

. Viết phương trinh mp
( )
α

cách đều
1 2
( ),( )∆ ∆
.
Bài 67: Cho
x 1 y 2 z
(d) :
3 1 1

− +
= =
và
mp( ) : 2x y 2z 2 0α + − + =
. Viết mặt cầu
(C) có tâm nằm trên (d), tiếp xúc với mp(
α
) và bán kính bằng 1.
Bài 68: Cho mặt cầu
2 2 2
(S) : x y z 10x 2y 26z 113 0+ + − + + − =
và đường thẳng:
x 5 2t
(d) : y 1 3t
z 13 2t
= − +


= −


= − +

. Viết phương trình mp(
α
) tiếp xúc với (S) và vuông góc với(d).
Bài 69: Cho A(0, 0, -3), B(2, 0, -1) và
mp( ) :3x 8y 7z 1 0α − + − =
. Tìm điểm C
nằm trên mp(

α
) sao cho
ABC∆
đều.
Trang
17
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 70: Viết phương trình
mp( )α
chưa Oz và tạo với
mp( ) : 2x y 5z 0β + − =
một
góc 60
0
.
Bài 71: Cho
1
x y z
(d ):
1 1 2
= =
và
2
x 1 2t
(d ) : y t
z 1 t
= − −


=



= +


a. Xét vị trí tương đối của (d
1
) và (d
2
).
b. Tìm tọa độ các điểm M thuộc (d
1
) và N thuộc (d
2
) sao cho đường thẳng MN
song song với mp(P):
x y z 0− + =
và độ dài đoạn MN=
2
.
Bài 72: Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
x y z 10x 2y 26z 113 0
+ + − + + − =
Và song song với hai đường thẳng :
x 5 y 1 z 13
2 3 2
+ − +
= =
−

;
x 7 y 1 z 3
3 2 0
+ + −
= =
−

Bài 73: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng:
8x 11y 8z 30 0
x y 2z 0
− + − =


− − =


Và tiếp xúc với mặt cầu
2 2 2
x y z 2x 6y 4z 15
+ + + − + −

Bài 74. Lập phương trình mặt cầu có tâm là I(1, 4, -7), tiếp xúc với mặt phẳng
6x 6y 7z 42 0
+ − + =

Bài 75. Gọi C là giao tuyến của mặt cầu
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 3 y 2 z 1 100− + + + − =
với mặt

phẳng 2x – 2y – z + 9 = 0. Xác định tọa độ tâm và bán kính của C.
Bài 76. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
( )
2 2 2
C : x y z 10x 2y 26z 113 0
+ + − + + − =
và song song với 2 đường thẳng d
1
:
x 5 y 1 z 13
2 3 2
+ − +
= =
−
; d
2
:
x 7 3t
y 1 2t
z 8
= − +


= − −


=


Bài 77: Cho A(0, 1, 6); B(2, 0, -1); C(4, 1, 0); D(6, -2, 3)

a. Chứng minh A, B, C, D trở trành một tứ diện
Trang
18
TÀI LIỆU LỚP 12
b. Tính thể tích tứ diện ABCD
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
d. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
. Tìm tâm và bán kính của
đường tròn đó.
Bài 78: Cho đường thẳng d, mặt phẳng
α
và mặt cầu (C) có phương trình
(d):
x t
y t
z 8
=


=


= −

Mặt phẳng
α
: 5x + 2y + 2z – 7 = 0
(C):

2 2 2
x y z 2x 4y 6z 67 0
+ + − − − − =

a. Viết phương trình các mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc mặt cầu (C)
b. Viết phương trình giao tuyến của mặt phẳng
α
với mặt cầu. Tìm tâm và bán kính
của đường tròn giao tuyến đó.
Bài 79. Cho (C):
2 2 2
x y z 1
+ + =
và mặt phẳng
α
: x + y + 2z – 1 = 0
a. Tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của (C) với mặt phẳng
α

b. Lập phương trình mặt cầu chứa đường tròn giao tuyến của (C) với mặt phẳng
α
và có tâm của mặt cầu đó nằm trên mặt phẳng x + y + z +4 =0.
Bài 80. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2, 3, -1) và cắt (d):
5x 4y 3z 20 0
3x 4y z 8 0
− + + =


− + − =


tại A và B sao cho AB = 16
Bài 81. Trong không gian Oxyz cho A(2, 0, 1), B(1, 0, 0), C(1, 1, 1) và mặt phẳng
(P): x + y +z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm nằm trên
(P).
Bài 82. Trong không gian Oxyz cho (S) :
2 2 2
x y z 4
+ + =
và mặt phẳng (P):
x y z 1
+ + =
.
Trang
19
TÀI LIỆU LỚP 12
a. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến (P).
b. Viết phương trình đường tròn (C) = (S)
∩
(P). Tìm tâm và bán kính của (C)
Bài 83: Cho mp(P):
2x y 3z 4 0− − + =
và
mặt cầu (S):
2 2 2
x y z 6x 2y 2z 3 0+ + + − − − =
. Lập phương trình mp(Q) song song
với mp(P) và tiếp xúc với (S).
Bài 84: Cho mặt cầu (S):
2 2 2

x y z 2x 4y 6z 0+ + − − − =

a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
b. Xét vị trí tương đối của mp(P):
x y z k 0+ + + =
tùy theo giá trị của k.
c. Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua M(1, 1, 1) và N(2, -1, 5).
d. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại O.
e. Tìm bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng Oxy.
Bài 85: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
(x 1) (y 1) z 11− + + + =
và hai đường thẳng :

1
x y 1 z 1
(d ) :
1 1 2
+ −
= =
và
2
x 1 y z
(d ) :
1 2 1
+
= =

a. Viết phương trình mặt phẳng song song với (d
1

), (d
2
) và tiếp xúc với (S).
b. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm (S) đồng thời cắt (d
1
) và
(d
2
).
Bài 86: Viết phương trình mặt cầu đi qua A(3, -1 , 2), B( 1, 2, 1) và có tâm nằm trên
trục Oz.
Bài 87: Cho bốn điểm A(1, -1, 1), B(-2, 1, 3), C(4, -5, -2) và D(-1, 1, -2).
a. Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
Trang
20
TÀI LIỆU LỚP 12
c. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính
của nó.
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e. Viết phương trình mặt phẳng qua AB và song song với CD.
f. Tính góc giữa AB và CD.
Bài 88: Cho bốn điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) và D(-2, 1, -2).
a. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện.
b. Tìm góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện.
c. Tính thể tích của khối tứ diện.
d. Tính độ dài đường cao hạ từ A.
e. Tìm M
∈
Oz sao cho bốn điểm M, A, B, C đồng phẳng.

f. Tìm N
∈
Oy sao cho
NAD∆
vuông tại N.
g. Tìm P
∈
Oxy sao cho P cách đều 3 điểm A, B, C.
Bài 89: Cho A(-2, 2, 1), B(-3, -2, -4), C(5, 1, 2) và D
∈
Oxy. Tìm tọa độ D biết DA=
DB và V
ABCD=
37
6
.
Bài 90: Cho điểm A(0, 0, 1). Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA và
tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α
biết cos
α
=
1
6
.
Bài 91: Cho điểm A(1, 3, -2) và B(2, 5, 3). Tìm tọa điểm M trên mặt phẳng tọa độ
Oyz sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 92: Cho điểm A(3, 1, 1) và B(7, 3, 9). Tìm tọa điểm M trên mp(P):
x y z 3 0+ + + =
sao cho

MA 2MB+
uuuur uuur
nhỏ nhất.
Trang
21
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 93: Cho điểm A(1, 4, 3) và B(-1, 2, 4). Tìm tọa điểm M trên đường thẳng
x 1 y 2 z
(d) :
1 1 2
− +
= =
−
sao cho
2 2
MA MB+
nhỏ nhất.
Bài 94: Cho đường thẳng
x 1 y 3 z 3
(d) :
1 1 1
− + −
= =
−
và mp(P):
2x y 2z 9 0+ − + =
.
Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
Bài 95: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(3, 1, 1) và tiếp xúc với mp(P):
x y 2z 13 0+ + − =

và có bán kính nhỏ nhất.
C.ĐỀ ĐẠI HỌC CÁC NĂM:
Bài 1.
Cho
( ) ( )
3;1;2 , 1;2;3M N
. Lập phương trình mặt phẳng:
a. Qua M, N và gốc O.
b. Qua M, N và song song với trục Oz.
c. Nhận N là hình chiếu của M trên nó.
Bài 2. (AN) Cho
( )
: 2 3 1 0;P x y z− + + =

( )
: 5 0Q x y z+ − + =
.
a. Tính khoảng cách từ
( )
1;0;5M
đến (P). Tìm tọa độ hình chiếu N của M trên
mặt phẳng (P).
b. Tìm mặt phẳng đi qua giao tuyến d của (P) với (Q) mà vuông góc với (R):
3 1 0x y− + =
.
Bài 3. (GT) Cho
1 1 1
;0;0 , 0; ;0 , 1;1;
2 2 3
H K I

     
 ÷  ÷  ÷
     
.
a. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (HKI) với mặt phẳng
0x z+ =
.
b. Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (HKI) với Oxy.
Bài 4. (HN) Cho
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;2 , 1;1;0 , 0;0;1 ; 1;1;1A B C D
.
a. Tính thể tích tứ diện ABCD.
b. Tìm tọa độ hình chiếu H của D ở (ABC).
c. Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện tại đỉnh A.
Bài 5. (CThơ) Tìm độ dài đường cao OH của tam giác OAB với O là gốc tọa độ,
( ) ( )
3; 2;6 , 2;4;4A B− − −
.
Trang
22
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 6. (Hquan) Cho đthẳng d
1
là giao tuyến của
( )
: 2 3 3 0x y z
α
+ − − =
và

( )
: 2 3 1 0x y z
β
− + + =
và đường thẳng
2
2
: 1 2
3 3
x mt
d y t
z t
= +


− +


= −

a. Tìm m để d
1
và d
2
cắt nhau. Khi đó tìm mặt phẳng chứa d
1
, d
2
.
b. (ĐH2002A) Tìm mặt phẳng (P) chứa d

1
và song song với d
2
.
c. Tìm m để tồn tại mp (Q) chứa d
1
mà vuông góc với d
2
.
Bài 7. Cho các mp:
( )
: 0x y
α
+ =
;
( )
: 4 0x y z
β
− + + =
; và
( )
: 3 1P x y+ =
;
( )
: 2Q y z+ =
.
a. Viết phương trình đường thẳng d
1
và d
2

biết d
1
là giao tuyến của (α) với (β), d
2
là giao tuyến của (P) với (Q).
b. Chứng minh d
1
, d
2
chéo nhau.
c. Tìm góc và khoảng cách giữa d
1
và d
2
.
d. Tìm đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Bài 8. (KTrúc) Cho điểm
( )
3;2;1A
và đường thẳng
3
:
2 4 1
x y z
d
+

= =
.
a. (ĐH2002A) Tìm điểm H thuộc d để AH có độ dài nhỏ nhất.
b. (ĐH2004B) Tìm đường thẳng qua A cắt d và vuông góc với d.
c. Tìm điểm B đối xứng với A qua d.
Bài 9. (BK, KToán) Cho d:
3
2z
y
2
1x
−
+
==
−
; (P):
1zyx2 =++
.
a. Tìm đ thẳng qua
( )
1;1;1M
song song với (P) và cắt d.
b. Tìm đường thẳng trong (P) đi qua giao điểm của d với (P) và vuông góc với d.
Bài 10. (NN, KTrúc) Cho
( 4; 5;3)M − −
,
1
1 3 2
:
3 2 1

x y z
d
+ + −
= =
− −
và
2:
2
1 3
1 5
x t
d y t
z t
= +


= − +


= −

a. Lập phương trình mặt phẳng qua M chứa d
1
.
b. Tìm đường thẳng qua M cắt cả d
1
và d
2
.
Bài 11. Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng:

( )
P : x my z m− + =
và mặt
phẳng
( )
: 1Q mx y mz+ − =
.
a. Tìm hình chiếu d’ của d trêm mặt phẳng Oxy.
Trang
23
TÀI LIỆU LỚP 12
b. Chứng minh d’ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định trong mặt phẳng
Oxy
c. (ĐH2002D) Tìm m để d song song với
( )
: 1P x y z+ + = −
.
d. (ĐH2003D) Tìm M để d vuông góc với (P).
Bài 12. Cho hai điểm
( 1;3; 2)A − −
,
( 9;4;9)B −
và mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z− + − =
.
a. Tìm M thuộc (P) để
MA MB+
nhỏ nhất.
b. Tìm N thuộc (P) để

NA NB−
lớn nhất.
Bài 13. Cho
(2;3; 1)I −
. Tìm mặt cầu tâm I:
a. Nhận
( )
: 6 8 6 0R x z+ + =
là tiếp diện.
b. Chắn giao tuyến của
( )
:3 4 8 0P x y z− + − =
và
( )
:5 4 3 20 0Q x y z− + − =

một đoạn có độ dài bằng 16.
Bài 14. Tìm mặt cầu có bán kính
3R =
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
: 2 3 6 0P x y z+ + − =
tại điểm
( )
1;1;1M
.
Bài 15. (2004D)Tìm mặt cầu đi qua
( ) ( ) ( )
2;0;1 , 1;0;0 , 1;1;1A B C
và có tâm

thuộc mặt phẳng
( )
: 2 0P x y z+ + − =
.
Bài 16. (2005A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và
mp(P) :

1 3 3
: ( ) : 2 2 9 0
1 2 1
x y z
d P x y z
− + −
= = + − + =
−
.
a. Tìm tọa độ điểm I sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương
trình tham số của đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P) biết
∆
đi qua A và
vuông góc với d.
Bài 17. (2006A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ với
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ’ 0;0;1A B D A
. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và CD.

a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
α

biết
1
cos
6
α
=
.
Trang
24
TÀI LIỆU LỚP 12
Bài 18. (2007A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:

1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
1 2
: 1
3

x t
d y t
z
= − +


= +


=

.
a. Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
b. Viết phương trình đương thẳng d vuông góc với mp(P):
7 4 0x y z+ − =
và cắt
hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Bài 19. (2008A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )
2;5;3A
và
đường thẳng

1 2
:
2 1 2
x y z
d
− −
= =
.
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
b. Viết phương trinh mặt phẳng
( )
α
chứa d sao cho khoảng cách từ
( )
α
đến A là
lớn nhất.
Bài 20. (2010A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
∆
và
mp(P):

1 2
:
2 1 1
x y z− +
∆ = =
−

( ) : 2 0P x y z− + =

.
Gọi C là giao điểm của
∆
với (P), M là điểm thuộc
∆
.Tính khoảng cách từ M
đến (P) biết
6MC =
.
Bài 21. (2010A) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường
thẳng
∆
:
2 2 3
2 3 2
x y z+ − +
= =
. Tính khoảng cách từ A đến Δ. Viết phương trình
mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Bài 22. (2005B) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ
ABC.A’B’C’ với
( ) ( )
(0; 3;0), 0;3;0 , ’ 4;0;4A C B−
.
a. Tìm tọa độ các đỉnh A’, C’. viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với
(BCC’B’).
b. Gọi M là trung điểm A’B’. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và
song song với BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ tại N. Tính MN.
Bài 23. (2006B) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
( )

0; 1; 2A
và
hai đường thẳng:
1
1 1
:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−

2
1
: 1 2
2
x t
d y t
z t
= +


= − −


= +

.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d

1
và d
2
.
Trang
25