SKKN một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực tế

MỤC LỤC
Trang
1. Lời giới thiệu……………………………………………………………………

2

2.Tên sáng kiến…………………………………………………………………….

3

3.Tác giả sáng kiến………………………………………………………………...

3

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……………………………………………………..

3

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến……………………………………………………..

3

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu…………………………………………..

3

7. Mô tả bản chất của sáng kiến …………………………………………………..

3

PHẦN A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN..…………………….

4

PHẦN B: NỘI DUNG……………………………………………..…………..

5

I. Hình đa diện, khối đa diện…..…………………………………………….

5

I.1. Lý thuyết………………………………....................................................

5

I.2. Ví dụ minh họa..……………………………………………………........

6

I.3. Bài tập tự luyện..…………………………………………………….......

20

II. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu……...…………………………………………

23

II.1. Lý thuyết……………………………......................................................

23

II.2. Ví dụ minh họa..…………………………………………………….......

26

II.3. Bài tập tự luyện..……………………………………………………......

37

PHẦN C: THỰC NGHIỆM – ĐÁNH GIÁ ……………………………………

40

8. Những thông tin cần được bảo mật……………………………………………..

48

9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến………………………………..

48

10. Đánh giá lợi ích thu được……………………………………………………...

48

11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử……………………..

51

12. Tài liệu tham khảo....................................................................................................................................... 52

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 1 -


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Xã hội ngày càng phát triển đã đặt ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp giáo dục
thế hệ trẻ và đào tạo nguồn nhân lực cho mỗi Quốc Gia. Giáo dục cần đào tạo đội ngũ
nhân lực có khả năng đáp ứng được những yêu cầu, đòi hỏi mới của xã hội và thị
trường lao động, đặc biệt là năng lực lao động sáng tạo, tính tự lực và trách nhiệm giải
quyết các vấn đề phức tạp. Điều đó đòi hỏi giáo dục phải có sự đổi mới để đáp ứng
những đòi hỏi cấp thiết của xã hội.
Trong giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan
trọng của cải cách giáo dục nói chung cũng như cải cách giáo dục bậc THPT nói riêng.
Mục tiêu chương trình, nội dung dạy học đòi hỏi việc cải tiến phương pháp dạy học và
sử dụng phương pháp dạy học mới.
Một trong những định hướng cơ bản của việc đổi mới giáo dục là chuyển từ nền
giáo dục mang tính hàn lâm kinh viện xa rời thực tiễn sang một nền giáo dục hiện đại
chú trọng hình thành năng lực hoạt động, phát huy tính chủ động và sáng tạo của học
sinh. Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học là nhằm phát huy tính
tích cực, tự lực và sáng tạo, phát triển năng lực hoạt động, năng lực cộng tác làm việc.
Đó cũng là xu thế quốc tế trong đổi mới phương pháp giảng dạy ở nhà trường phổ
thông.
Nhà toán học lỗi lạc RENE DESCARTES đã từng nói: ”Toán học là cánh cửa và
là chìa khoá để đi vào các ngành khoa học khác “.
Một trong những mục tiêu trong dạy học môn Toán là trang bị cho học sinh những
nội dung kiến thức, kỹ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình sách giáo

khoa đại trà, ngoài ra chúng ta cần phải hình thành cho học sinh khả năng vận dụng
những kiến thức, kĩ năng toán học cơ bản vào giải quyết các vấn đề nảy sinh trong thực
tiễn một cách khoa học, có hệ thống. Xuất phát từ thực tiễn công tác dạy học, đổi mới
trong phương pháp dạy học kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp tôi xây
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 2 -


dựng chuyên đề: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số
bài toán thực tế”.
Với chuyên đề này tôi hi vọng sẽ có tác dụng giúp học sinh tăng cường khả năng vận
dụng kiến thức, kỹ năng toán học vào đời sống thực tiễn thông qua việc giải quyết các
tình huống nảy sinh trong thực tiễn.
2. Tên sáng kiến
“Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài toán thực
tế”.
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Dương Quang Hưng
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Hai Bà Trưng–Thành Phố Phúc Yên –Tỉnh
Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại: 0948541102
- Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: Dương Quang Hưng
- Chức vụ: Tổ phó chuyên môn tổ Toán Tin trường THPT Hai Bà Trưng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Nghiên cứu giảng dạy môn Toán lớp 12 trong trường THPT.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Từ tháng 09 năm 2019 đến tháng 02 năm 2020

7. Mô tả bản chất của sáng kiến:

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 3 -


PHẦN A : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận :
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo
của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn
toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở
phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách
thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động giúp học sinh
có thể vận dụng các kiến thức sách giáo khoa vào giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
Trong chương trình toán trung học phổ thông, có nhiều kiến thức hình học liên quan
đến thực tiễn. Nhiều đồ vật xung quanh ta có hình dạng là các hình hình học: Hình chóp,
hình lăng trụ, tứ diện, hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay, hình cầu...Việc tính các
kích thước, diện tích, thể tích là các bài toán liên quan đến thực tiễn.
Hình học được sử dụng trong rất nhiều ngành nghề: nghề cơ khí, nghề xây dựng,
nghề kiến trúc, hội họa,... trong nghiên cứu sự hình thành và phát triển của các sự vật và
hiện tượng trong cuộc sống.
2. Cơ sở thực tiễn :
Từ thực tiễn cuộc sống và thực tiễn dạy học môn hình học trong trường phổ thông,
chúng ta thấy ngoài việc hình thành cho học sinh những kiến thức, kỹ năng toán cơ bản
nhất về các mô hình hình học đơn giản chúng ta cần hình thành ở học sinh những kỹ
năng giải quyết các bài toán hình học trong thực tiễn.
Với đề tài “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc giải một số bài
toán thực tế” tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong việc phát triển tư duy hình học, khả năng
giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Học sinh sẽ thấy rõ hơn ý nghĩa và giá

trị thực tiễn của những nội dung hình học trong chương trình toán học Trung học phổ
thông nhằm nâng cao chất lượng dạy và học hình học ở trường Trung học phổ thông.

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 4 -


PHẦN B : NỘI DUNG
I. HÌNH ĐA DIỆN, KHỐI ĐA DIỆN
I.1. LÝ THUYẾT
I.1.1. Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:
+) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh
chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
+) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
I.1.2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa
diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập
hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa
diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối
đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện.
Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh,
cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt,
điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng.
I.1.3. Các công thức về thể tích khối đa diện
I.1.3.a. Công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là
V

1

h

B.h 3
B

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 5 -


I.1.3.b. Công thức tính thể tích khối lăng trụ
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:
V  B.h

● Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c

●

Thể tích khối lập phương: V  a3
Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

I.2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Một Kim tự tháp có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều với chiều cao là
120 (m), độ dài cạnh đáy bằng 200 (m). Tính thể tích của Kim tự tháp.

Lời giải
Kim tự tháp là một khối chóp tứ giác đều nên đáy của Kim tự tháp là một hình
vuông có cạnh là 200 (m).
Diện tích đáy của Kim tự tháp là: B  200 2  40000  m2 .
Chiều cao của Kim tự tháp là: h  120m.
Thể tích của Kim tự tháp là: V 

1

Bh 

1

.120.40000  1600000

 m 3 .

3
3
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 6 -


Ví dụ 2. Nhân ngày sinh nhật của bạn Dương; ba bạn Minh, Trâm, Hiền mua một hộp
quà có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều. Ba bạn nhớ tới bài dạy của thầy giáo về
thể tích khối đa diện, ba bạn nảy sinh ý tưởng tính thể tích của hộp quà. Ba bạn dùng
thước dài đo được cạnh đáy của hộp quà bằng 30 cm, cạnh bên của hộp quà bằng
40 cm. Hỏi các bạn tính được thể tích của hộp quà bằng bao nhiêu? ( giả thiết các bạn

đã tính đúng và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải
Giả sử hộp quà có hình dạng một khối chóp tứ giác đều là khối chóp tứ giác đều S
. ABCD được kí hiệu như hình vẽ. Khi đó, ABCD là hình vuông cạnh 30 cm, cạnh

bên SA  SB  SC  SD  40  cm.

Diện tích đáy của hộp quà là: B  30 2  900  cm2 .
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 7 -


Gọi O  AC  BD.
Tứ giác ABCD là một hình vuông cạnh 30 cm, suy ra AC  AB 2  30 2  cm.
AO 

1

AC 

2

1

30 2  15 2  cm.

2
2

Chiều cao của hộp quà là: h  SO  SA2  AO 2 

1

Thể tích của hộp quà là: V 

1

Bh 



40 2  15 2

 

1150  cm.

.900. 1150  10173  cm3 .

3
3
Ví dụ 3. Nhân ngày nghỉ Chủ nhật, lớp 12A1 tổ chức đi chơi dã ngoại. Các bạn đã

dựng một căn lều bằng bạt và bốn thanh tre có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều
như hình vẽ.

Biết một bạn đi dọc theo một cạnh của căn lều với vận tốc 0,8

 m / s thì hết 5 giây.

Hỏi thể tích của căn lều là bao nhiêu nếu góc giữa thanh tre và mặt đất là 60 0. ( Kết quả
cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải
Vì một bạn đi dọc theo một cạnh của căn lều với vận tốc 0,8  m / s thì hết 5
giây nên độ dài của cạnh căn lều là: 0,8.5  4  m.
Giả sử căn lều có hình dạng một khối chóp tứ giác đều là khối chóp tứ giác đều
S . ABCD được kí hiệu như hình vẽ. Khi đó, ABCD là hình vuông cạnh 4 m, cạnh bên

hợp với đáy một góc 60 0.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 8 -


Diện tích đáy của căn lều là: B  4 2  16  m2 . Gọi H  AC  BD.
Tứ giác ABCD là một hình vuông cạnh 4 m, suy ra AC  AB 2  4 2  m.
AH 

1
2

AC 

1

4 2  2 2  m.

2

Chiều cao của căn lều là: h  SH  AH .tan 60 0  2 6  m.
Thể tích của căn lều là: V 

1

1

Bh  .16.2 6  26
3
3

 m 3 .

Ví dụ 4. Một người thợ thủ công có một tấm bìa hình tam giác đều. Người thợ thủ công
gấp tấm bìa theo các đường kẻ như hình vẽ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện
đều có thể tích bằng 1152 2  cm3 . Tính độ dài cạnh của tấm bìa.

Lời giải
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 9 -


Gọi tấm bìa hình tam giác đều ABC có cạnh là 2 a  cm a  0 và M , N , P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB , AC , BC. Ta có : AM  MN  a  cm.
Hình tứ diện đều được tạo thành là tứ diện đều AMNP với A  B  C.
Tam giác MNP là tam giác đều cạnh a, diện tích tam giác MNP là: B 

a2 3 cm2 .

4

Gọi H là tâm của tam giác đều MNP, I là trung điểm của NP.
Ta có: MI  a
cm  , MH  2 MI  a cm.
3
3
2
3
3
Chiều cao của tứ diện đều AMNP là: h  AH 

AM2MH2

 a 6 cm.

3
Thể tích của khối tứ diện đều AMNP là: V  1 Bh  1 . a 2 3 .a 6  a3 2 m3 .
4
3
3
3
12

Theo giả thiết ta có :

a3 2
12

 1152 2  a  24  cm.

Vậy, độ dài cạnh của tấm bìa là: 2 a  48  cm.
Ví dụ 5. Người thợ thủ công cắt một tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1m để gấp thành
một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình
chóp ( như hình vẽ). Tính độ dài OM để khối chóp có thể tích lớn nhất.

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 10 -


Lời giải
Gọi các đỉnh và điểm của tấm bìa và hình chóp được tạo thành kí hiệu như hình vẽ.



Gọi OM  x  m  0



Ta có: NM 

x

1


.

2

1

2
 x  m  , SM  SN2 NM2  x  x  1 m.
2
2

BM  2 x  m  , AM  AB  2 x m.

Diện tích đáy của khối chóp: S đáy  AB 2  2 x 2 m2 .
Ta có: OD  x

m, MD 

x

2
SO SD

m, SD 

2
2


OD

1x2

2





 

SM2 MD2  1 x m.
2

 x 2




1
2x
2

m.


2  2
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 11 -


Thể tích khối chóp: VS . MABC 

Ta có: 2  4 x  . x  2  4 x
4

1

SO.S đáy 
3

1
12
.2 x 2 
x

1

3
2
6
 2  4 x  x  x  x  x 5

 . x. x. x. x  

Suy ra: VS . MABC 

1 32

.
.
6 3125

2  4 x  . x 4





m3 .

32
.

5
3125


Đẳng thức xảy ra khi 2  4 x  x  x  2 m.

Vậy thể tích khối chóp lớn nhất khi OM 

2

5

m.

5

Ví dụ 6. Một hộp sữa Vinamilk có hình dạng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước
bên trong vỏ hộp là: 5  cm  ,8  cm  ,15  cm. Hỏi hộp sữa có thể đựng được bao
nhiêu lít sữa?

Lời giải
Thể tích của hộp sữa là: 5.8.15  600  cm 3   0,6  dm3   0,6 lít
Vậy hộp sữa có thể đựng được 0,6 lít sữa.
Ví dụ 7. Một bể bơi dành cho trẻ em và người lớn có hình dạng bề mặt nước là một hình
chữ nhật có kích thước dài 30 (m), rộng 10 (m). Phần bể bơi dành cho trẻ em có đáy
bằng phẳng, dài 20 (m) và sâu 1,2 (m). Phần dành cho người lớn có đáy thoải xuống dốc
đến sát mép đáy dưới của bể là sâu 4 (m) ( xem hình vẽ). Hãy tính xem bể chứa được bao
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 12 -


nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước.

Lời giải

Thể tích nước gồm hai phần: Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH và thể tích khối
lăng trụ EKI.FLJ .
Thể tích của bể nước là: V  V ABCD . EFGH VEKI . FLJ
Thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH là: V ABCD . EFGH  30.10.1, 2  360  m3 .
Thể tích khối lăng trụ EKI.FLJ là: VEKI . FLJ  EF .S EKI  10.

1

EI .EK  5.10.1,8  90  m3 . 2

Vậy thể tích nước mà bể bơi chứa được là: V  V ABCD . EFGH  VEKI . FLJ  360  90 =450m3 .

Ví dụ 8. Một vỏ hộp bánh Danisa có hình dạng là một hình hộp chữ nhật có thể tích là





3,125 dm3 . Tính các kích thước của vỏ hộp bánh, biết chiều cao của vỏ hộp bằng chiều

dài của vỏ hộp và gấp 5 lần chiều rộng của vỏ hộp.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 13 -


Lời giải

Ta có: 3,125  dm 3   3125  cm3 .
Gọi chiều rộng của vỏ hộp bánh Danisa là: x cm.
Suy ra, chiều dài của hộp bánh là 5 x cm, chiều cao của hộp bánh là 5 x cm.
Theo giả thiết thể tích của hộp bánh Danisa là 3125  cm3 , nên ta có:
3125  x.5 x.5 x  x  5  cm.

Vậy chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hộp bánh lần lượt là: 5  cm  , 25  cm  , 25

 cm. Ví dụ 9. Một khúc gỗ dạng hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình vẽ.
Người thợ mộc cắt đi một phần khúc gỗ có dạng hình lập phương cạnh bằng 5cm. Tính
thể tích phần gỗ còn lại.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 14 -

Lời giải
Ta có: Thể tích khúc gỗ ban đầu là: V1  11.6.6  396 cm3 .
Thể tích phần gỗ bị cắt có dạng hình lập phương là: V2  53  125 cm3 .
Vậy thể tích phần gỗ còn lại là V  V1  V2  271 cm3 .
Ví dụ 10. Bạn Vũ có một khối Rubic loại 4x4x4, gồm 64 khối lập phương nhỏ ghép
thành. Biết mỗi mặt của khối lập phương nhỏ là một hình vuông có chu vi bằng 12 (cm).
Tính thể tích khối Rubic.

Lời giải
Ta có mỗi mặt của khối lập phương nhỏ là một hình vuông có chu vi bằng 12 (cm)
nên cạnh của hình vuông đó là

12

 3cm.

4

Suy ra cạnh của một khối lập phương nhỏ là: 3  cm.
Suy ra cạnh của một khối Rubic là: 4.3  12  cm.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 15 -


Thể tích khối Rubic là: V  12 3  1728  cm3 .
Ví dụ 11. Một người thợ hàn dự định làm một thùng đựng xăng có hình dạng là một hình
hộp chữ nhật có thể tích 12 lít với chiều cao gấp rưỡi chiều rộng. Hãy xác định các kích
thước của thùng đựng xăng để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề

dày của thành thùng đựng xăng) (tính theo đơn vị cm, làm tròn đến 1 chữ số thập phân
sau dấu phẩy).
Lời giải:
Ta có: 12 lít = 12  dm3 .
Gọi chiều cao và chiều rộng của thùng đựng xăng
lần lượt là 3x và 2x (dm) (x >0).
12  2 dm
Chiều dài của thùng là
2 x.3x

x2

Diện tích toàn phần của thùng là:
S  2 2 x.3 x  2 x. 2  3 x. 2   
tp





x

2

x

2



10 

26x 
2



dm2 .



Ta có:

x 

6 x 2  10  6 x 2  5  5  3 3
 S tp  6 3
2
150
150 dm 
x
x x
5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6 x 2   x  3 5 dm.
x

6

Khi đó, chiều rộng của thùng là: 2 x  1,9  dm, chiều dài của thùng là:

2

x2

 2,3dm và

chiều cao của thùng là: 3 x  2,8  dm.
Ví dụ 12. Một chiếc bánh sinh nhật có hình dạng là một khối hộp chữ nhật. Một phần tư
thể tích phía trên chiếc bánh được dải một lớp chocolate nguyên chất, phần còn lại phía
dưới chứa đầy bơ sữa ngọt. Biết chiếc bánh sinh nhật có đáy là hình chữ nhật với chiều
dài gấp đôi chiều rộng và tổng chiều rộng và chiều cao của chiếc bánh bằng 60  cm.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 16 -


Hãy tính thể tích lớn nhất của chiếc bánh? Khi thể tích của chiếc bánh lớn nhất, hãy tính
thể tích của phần bơ sữa ngọt.

Lời giải:

Lời giải:
Gọi chiều cao của chiếc bánh là x  cm 0  x  60  .
Khi đó, chiều rộng của chiếc bánh là: 60  x  cm.
Chiều dài của chiếc bánh là: 120  2 x  cm.
Thể tích của chiếc bánh là: V  x  60  x 120  2 x  x  2 x  60  x 60  x  cm3 .
 2 x  60  x  60  x 3

Ta có: 2 x  60  x 60  x  



3
 40

 64000.

3


Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 17 -


Đẳng thức xảy ra khi 2 x  60  x  x  20 cm.
Vậy thể tích của chiếc bánh lớn nhất bằng64000cm3  khi x  20  cm.

3

Khi đó, thể tích của phần bơ sữa ngọt là:

.64000  48000  cm3 .

Ví dụ 13. [ Trích đề thi minh họa lần 1 kỳ thi THPT QG năm 2017]
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 (cm). Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm
đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x (cm), rồi gập tấm nhôm đó như
hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích
lớn nhất.

Lời giải
Ta gọi các đỉnh của hình hộp như hình vẽ.

Khi đó: AC  x , AB  12  2 x  0  x  6  .
Thể tích của khối hộp: V  B.h  AB 2 . AE  12  2 x 2 x  2.2 x  6  x 6  x  cm3 .
3 2 x  6  x 6  x 

2 x  6  x  6 

x

 4 3

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 18 -


 2 x  6  x 6  x  64
 V  2.2 x  6  x 6  x  128

Đẳng thức xảy ra khi 2 x  6  x  x  2 cm.
Vậy với x  2 cm thì hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
Ví dụ 14. Một người thợ dự định thiết kế một chiếc thùng có hình dạng là một hình hộp
chữ nhật không có nắp với chiều cao 6dm và thể tích 96 lít. Người thợ dùng loại tôn để
làm mặt bên có giá thành 70000 đồng/m2 và loại tôn để làm mặt đáy có giá thành 100000
đồng/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành chiếc thùng.
Lời giải:
Ta có: 96 lít = 96  dm 3   0,096  m3 .
6  dm   0,6  m.

Gọi chiều rộng của thùng là: x  m x  0  .
Chiều dài của thùng là: y  m  y  0  .

Theo giả thiết, ta có: 0,6 xy  0,096  y 
0,16

Diện tích mặt đáy: S đáy  xy  x.

0,16

m.

x
0,16m2.

Suy ra chi phí để làm mặt đáy là: 0,16  100000  16000 đồng.
2
0,16 
.

xq

x
x
m


Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.

Diện tích xung quanh:

S

 2 x.0,6  2 y.0,6  1, 2 


- Trang 19 -


Suy ra chi phí để làm mặt xung quanh là 1, 2 


x



Tổng chi phí để làm chiếc thùng là: T  84000 

x



0,16 


.70000  84000

x 




x



0,16  đồng.


x 

0,16  16000.


x 

 0,8. Đẳng thức xả ra khi x  0,16  x  0, 4 m.
x
x
Do đó chi phi thấp nhất để làm chiếc thùng là: 84000.0,8  16000  83200 đồng.

Ta có: x  0,16  2

0,16

I.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3m3 , chiều
cao của hố gấp đôi chiều rộng của đáy hố. Hãy xác định các kích thước của hố ga để khi

xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Bài 2. Bác Tuyến muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không
nắp có thể tích bằng 128m3 , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba chiều rộng.
Giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ m2 . Nếu người đó biết xác định các kích
thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi Bác Tuyến trả chi phí
thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể chứa nước đó là bao nhiêu?
Bài 3. Một người thợ xây dựng dự định làm một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật không
nắp có chiều cao là 80cm , thể tích 116000cm3 . Người thợ dùng loại kính để sử dụng
làm mặt bên có giá thành 80.000 đồng/ m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành
120.000 đồng/ m2 . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
Bài 4. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh tôn theo hình vẽ. Hộp có đáy là một
hình vuông cạnh x  cm , chiều cao là h  cm và thể tích là 500  cm3 . Tìm độ dài cạnh
hình vuông x sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít tôn nhất.

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 20 -


Bài 5. Một người thợ xây dựng dự định xây một nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện
tích mặt sàn là 1000m2  và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh
và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau
(không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi
phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).

Bài 6. Một Kim tự tháp có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều. Chiều cao của kim tự
tháp này là 150m, đáy của kim tự tháp là hình vuông có cạnh là 210m . Các lối đi và
phòng bên trong chiếm 30% thể tích của kim tự tháp. Biết một lần vận chuyển gồm 10
xe, mỗi xe chở 6 tấn đá, và khối lượng riêng của đá bằng 2,5.10 3 kg / m3 . Hỏi số lần vận
chuyển đá ít nhất để xây dựng kim tự tháp là bao nhiêu?

Bài 7. Một hồ bơi hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 30m. Lượng
nước trong hồ cao 1,7  m. Tính thể tích nước trong hồ?
Bài 8. Một tấm gỗ có hình dạng là hình lăng trụ, biết diện tích đáy và chiều cao của tấm
gỗ lần lượt là 0,5m2  và 1,6m . Mỗi mét khối gỗ này trị giá 20 triệu đồng. Hỏi tấm gỗ
đó có giá bao nhiêu tiền?
Bài 9. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng giả đá có
thể tích là 18 3 cm3 . Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 21 -


lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
Bài 10. Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng trụ đứng có nắp đậy, đáy là
tam giác đều để đựng 16 lít nước. Để tiết kiệm chi phí nhất (xem tấm thủy tinh làm vỏ
bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình thủy tinh bằng bao nhiêu?.
Bài 11. Cho một cây nến hình lăng trụ lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần
lượt là 20cm và 3

 cm. Người ta xếp cây nến trên vào trong một hộp có dạng hình

hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp ( xem hình vẽ). Thể tích của chiếc hộp
đó bằng bao nhiêu?

Bài 12. Một tấm gỗ hình lập phương có độ dài cạnh là 90  cm. Ở chính giữa mỗi mặt
của hình lập phương, người ta đục một lỗ hình vuông thông sang mặt đối diện, tâm của
lỗ hình vuông là tâm của mỗi mặt hình lập phương, các cạnh lỗ hình vuông song song
với các cạnh của hình lập phương và có độ dài 30cm như hình vẽ. Tìm thể tích của
tấm gỗ sau khi đục.

Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 22 -


II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
II.1. LÝ THUYẾT
II.1.1. Mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay, khối nón tròn xoay
II.1.1.a. Mặt nón tròn xoay
+ Trong mặt phẳng P, cho 2 đường thẳng d,  cắt nhau tại
O và tạo thành góc  với 0 0    90 0. Khi quay mặt phẳng


P xung quang  thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn

xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta thường
gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng  gọi là
trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2 gọi là
góc ở đỉnh của mặt nón đó.
II.1.1.b. Hình nón tròn xoay
+ Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung
quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.
+ Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay
quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O gọi là
đỉnh của hình nón. Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình
nón. Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.
Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM
khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.
II.1.1.c. Khối nón tròn xoay

Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể
cả hình nón đó. Người ta còn gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón.
II.1.1.d. Công thức diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể
tích của khối nón
Cho một hình nón tròn xoay có chiều cao h, độ dài đường sinh l và r là bán kính của
Sáng kiến kinh nghiệm: “Một số ứng dụng của hình học không gian trong việc
giải một số bài toán thực tế”.
- Trang 23 -