Sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng phép phân tích đi lên trong việc giải quyết các bài toán hình học

Phần mở đầu
I. Bối cảnh của đề tài
Đề tài được thực hiện trong năm học 2011 − 2012 tại trường THPT Trần Trường
Sinh, trong đề tài bản thân muốn trao dồi cùng các đồng nghiệp trong việc nghiên cứu
chuyên môn. Nội dung cơ bản của đề tài là hướng dẫn học sinh sử dụng phép phân
tích đi lên trong việc giải quyết các bài toán hình học, đặc biệt là hình học không
gian.
II. Lý do chọn đề tài
Trong các năm học vừa qua, tỉ lệ học sinh yếu kém ở bộ môn toán còn cao. Cụ
thể năm học 2010-2011, số học sinh yếu kém là 291/730 học sinh, chiểm tỉ lệ 39,9% -
một tỉ lệ khá cao và qua khảo sát, nhiều học sinh không giải được các bài toán hình
học mặc dù các em đã học thuộc nhiều công thức nhưng vẫn không áp dụng được.
Sau khi tìm hiểu nguyên nhân, bản thân đã thấy được sở dĩ học sinh không làm được
bởi các em chưa phân tích được đề bài, chưa tìm được một phép suy luận logic để đi
đến lời giải của bài toán nên các em thường bị mất phương hướng trong quá trình giải
quyết bài toán dẫn đến các em chưa sử dụng thành thạo các phương pháp giải các
dạng bài toán hình học thường gặp.
III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
− Phạm vi nghiên cứu: Đề tài giúp học sinh giải quyết được mặt hạn chế trong
việc phân tích bài toán và hình thành lời giải các bài toán hình học, đặc biệt là hình
học không gian lớp 11, 12 và phương pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12.
− Đối tượng nghiên cứu: Qua các bài kiểm tra hình học của học sinh lớp 11, 12;
kiến thức môn hình học lớp 11, 12 và phương pháp dạy học môn Toán sở trường
trung học phổ thông.
IV. Mục đích của đề tài:
Qua việc nghiên cứu và viết đề tài này, bản thân muốn trao dồi thêm về nghiệp
vụ sư phạm và phát triển một phương pháp dạy học nhằm đạt hiệu quả hơn trong
công tác giảng dạy đặc biệt với đa số học sinh trung bình, yếu kém nhằm giúp các em
không còn “ngán ngại” khi giải quyết các bài tập hình học, đồng thời giúp các em học
Trang 1
sinh khá giỏi vận dụng hiệu quả phương pháp này để hoàn thiện kỹ năng giải toán

hình học và tìm tòi kiến thức mới. Ngoài ra, qua đề tài bản thân mong muốn trao đổi
thêm cùng đồng nghiệp những kinh nghiệm và phương pháp dạy học hay để áp dụng
trong công việc giảng dạy của bản thân.
V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
− Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một phương pháp dạy học hiệu quả đối
với môn toán đặc biệt là với các bài toán hình học, những bài toán mang tính tư duy
cao.
− Sáng kiến này đặt ra một vấn đề mới đối với công tác phụ đạo học sinh yếu
kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi là hoàn chỉnh một phương pháp dạy học đề cao
tính tự học, chủ động tìm tòi kiến thức và sáng tạo của học sinh.
Trang 2
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Phương pháp nghiên cứu sáng kiến này dựa trên cơ sở:
− Các kiến thức về lý luận dạy học toán học;
− Các kiến thức bộ môn hình học ở chương trình trung học phổ thông;
− Các phương pháp giảng dạy bộ môn toán ở trường trung học phổ thông: trong
các phương pháp đã thực hiện trong chương trình trung học phổ thông, giải bài tập
hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp học sinh dễ hiểu, có
kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất.
− Vậy thế nào là phương pháp phân tích đi lên? Có thể khái niệm rằng, đây là
phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho
trong một bài toán. Cách lập luận đó không có gì xa lạ mà chính là các định nghĩa,
định lý, các tính chất, các dấu hiệu nhận biết đã được dạy và học. Nói cách khác, đây
là phương pháp dùng lập luận phân tích theo kiểu “thăng tiến”, biết cái này là do đã
biết cái kia, biết vấn đề A từ cơ sở của vấn đề B… Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình
thực hiện phương pháp này, học sinh phải trả lời cho được các câu hỏi theo dạng: “để
chứng minh (…) ta cần chứng minh (cần có) gì? Như vậy, muốn chứng minh A
không có nghĩa là ta đi chứng minh trực tiếp A mà thông qua việc chứng minh B thì
ta đã chứng minh được A một cách gián tiếp theo kiểu đi lên.

Nhằm hỗ trợ tốt cho phương pháp này, trong quá trình hướng dẫn học sinh, giáo
viên cần hướng dẫn bằng hệ thống câu hỏi giúp học sinh phân tích đề bài theo hướng
đi từ kết luận đến giả thiết của bài toán. Sau đó hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ
giải bài toán dựa trên các câu trả lời. Lưu ý: Khi phân tích thì phân tích từ kết luận
đến giả thuyết nhưng khi trình bày lời giải bài toán thì đi theo chiều ngược lại dựa
trên sơ đồ phân tích.
II. Thực trạng của vấn đề
Sáng kiến này được hình thành xuất phát từ thực trạng phần lớn học sinh trung
học phổ thông rất ngán ngại khi học bộ môn Toán và các em lại rất “sợ” môn hình
học dẫn đến các em rất yếu về kỹ năng giải toán hình học. Qua tìm hiểu, tham khảo
Trang 3
các ý kiến phân tích thực trạng trên của những nhà nghiên cứu và tình hình thực tế tại
đơn vị, tôi nhận thấy rằng: học sinh “sợ” môn hình học cũng có lý do của nó, bởi đây
là môn học đòi hỏi độ chính xác cao, khả năng lập luận tốt. Ngoài ra, môn hình học
còn đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng, óc suy xét và tư duy logic. Trong khi đó,
một số giáo viên hiện vẫn đi theo phương pháp giảng dạy truyền thống, chưa có sự
tìm tòi sáng tạo ra những cách dạy mới hay cải tiến những cách dạy truyền thống để
phát huy tính tích cực và khả năng sáng tạo, tư duy của học sinh. Sáng kiến này đề
cập đến một vấn đề là giúp học sinh vận dụng thành thạo phép phân tích đi lên trong
việc giải các bài toán hình học, từ đó rèn luyện kỹ năng suy luận và giải toán cho các
em.
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
1. Đặt vấn đề
Khi tiếp cận với một bài toán hình học, đa số học sinh đều tóm tắt được bài
toán, tức là các em đều nêu được giả thiết và kết luận của bài toán. Vấn đề còn lại là
từ giả thiết và kết luận của bài toán làm thế nào để gải được và giải đúng bài toán đã
cho. Hầu hết các bài toán hình học ở chương trình trung học phổ thông giả thiết và
kết luận của chúng vốn “gần” nhau, tức là giữa chúng có một mối quan hệ gần gũi
với nhau, mối quan hệ đó thể hiện qua các định nghĩa, định lí, tính chất, mà các em
đã được học. Nhiệm vụ của học sinh là tìm cách bắc những nhịp cầu logic làm cho

mối quan hệ đó rõ ràng hơn, tường minh hơn và thông qua các bước trình bày các
mối quan hệ đó thì bài toán sẽ được giải quyết tức là các em đã giải xong bài toán.
Qua các năm giảng dạy, tôi thấy có 2 vấn đề sau: Thứ nhất là để khơi dậy sự tư duy
và độc lập suy nghĩ của học sinh thì một số bài toán giả thiết và kết luận của bài toán
được làm cho chúng “xa” nhau hơn tức là có nhiều mối quan hệ giữa chúng hơn; thứ
hai là đối với hầu hết các em học sinh, khả năng suy luận logic còn rất yếu. Hai vấn
đề trên đã gây rất nhiều khó khăn cho các em học sinh khi giải quyết các bài toán
hình học, mặc dù các em đều nêu được giả thiết và kết luận của bài toán nhưng vẫn bị
“lạc đường” trong việc giải bài toán. Lúc này, phương pháp phân tích đi lên xem như
là “người chỉ đường” hiệu quả cho các em gải quyết bài toán.
2. Nội dung phương pháp và giải quyết vấn đề
Trang 4
Dưới đây là một số bài toán điển hình sử dụng phương pháp phân tích đi lên để
giải quyết các bài toán hình học không gian lớp 11 và lớp 12.
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh SD và SC. Chứng minh rằng MN song song với
mặt phẳng (ABCD).
Hình vẼ:
Phân tích: Đây là bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng và
là bài toán dễ. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh bằng qui nạp, qua
cách giải bằng qui nạp thì có thể một số học sinh sẽ không hiểu cơ sở nào mà giáo
viên chứng minh được như thế. Từ bài toán dễ này, phương pháp phân tích đi lên
được vận dụng như sau:
Trước hết, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện phương pháp này bằng một số
câu hỏi và thiết lập sơ đồ:
Hệ thống câu hỏi Sơ đồ phân tích đi lên
1. Để chứng minh MN // (ABCD), ta
chứng minh như thế nào?
Trả lời: Chứng minh MN song song với
một đường thẳng thuộc mặt phẳng ABCD

(định nghĩa đường thẳng song song với
mặt phẳng). Ta chọn đường thẳng DC.
2. MN có song song với DC không?
Trả lời: MN // DC.
Trang 5
Tóm tắt bài toán:
Giả thiết
S.ABCD có đáy là hình bình
hành.
M, N là trung điểm SD, SC
Kết luận MN // (ABCD)
3. Giải thích vì sao MN // DC?
Trả lời: MN là đường trung bình của tam
giác SDC.
Từ các câu hỏi trên, ta thiết lập sơ đồ
phân tích đi lên như cột bên
Qua hệ thống câu hỏi và sơ đồ trên, lời giải của bài toán được trình bày như sau:
Lời giải
Xét tam giác SDC, ta có:
M là trung điểm SD, N là trung điểm SC
⇒
MN là đường trung bình của tam giác SDC
⇒
MN // CD
Mà CD
⊂
(ABCD)
⇒
MN // (ABCD) (đpcm)
Sau đây, ta sẽ xét bài toán khó hơn để thấy được hiệu quả của phương pháp này

Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh;
( )SA ABCD⊥
. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các đường
thẳng SB và SD. Chứng minh:
( )SC AMN⊥

Hình vẽ:
Trang 6
MN // (ABCD)
MN // DC
MN là đường trung
bình của tam giác SDC
M là trung điểm SD
N là trung điểm SC
Hướng phân tích đi lên
H
ư
ớ
n
g

t
r
ì
n
h

b
à
y

l
ờ
i

g
i
ả
i
Phân tích: Đây là bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,
học sinh sẽ vận dụng định nghĩa và định lí của bài “đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng” để giải quyết bài toán trên. Sau khi tóm tắt bài toán, chỉ với 2 dữ kiện
,AM SB AN SC⊥ ⊥
thì nhiều học sinh sẽ bị mất phương hướng trong việc tìm ra lời
giải của bài toán trên vì so với bài toán 1 thì bài toán này mức độ phức tạp cao hơn.
Sau đây là hệ thống câu hỏi và sơ đồ phân tích đi lên
Hệ thống câu hỏi Sơ đồ phân tích đi lên
1. Để chứng minh
( )SC AMN⊥
, ta
chứng minh như thế nào?
Trả lời: Chứng minh SC vuông góc với
hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt
phẳng (AMN) (định lí về đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng). Ta chọn hai
đường thẳng AM và AN.
2. Làm thế nào để chứng minh
SC AM⊥
?
Trả lời: Ta chứng minh AM vuông góc

với mặt phẳng chứa SC. Ta chọn mặt
phẳng (SBC).
3. Làm thế nào để chứng minh
( )AM SBC⊥
?
Trang 7
Tóm tắt bài toán
Giả thiết
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông.
( )SA ABCD⊥
,AM SB AN SC⊥ ⊥
Kết luận
( )SC AMN⊥
( )SC AMN⊥
SC AM⊥
SC AN⊥
( )AM SB gt
AM BC
⊥


⊥

( )
( )
BC AB gt
BC AM
BC SA do SA ABCD
⊥


⇒ ⊥

⊥ ⊥

Chứng
minh tương
tự như bên
Trả lời: Ta chứng minh
,AM SB AM BC⊥ ⊥
.
4. Làm thế nào để chứng minh
?AM BC⊥
Trả lời: Ta chứng minh
( )BC SAB⊥
hay
,BC SA BC AB⊥ ⊥
.
Tương tự, lặp lại câu hỏi 2, 3, 4 ta sẽ
chứng minh được
SC AN⊥
.
Từ sơ đồ trên, ta có lời giải bài toán 2 như sau:
Lời giải
Ta có:
( )SA ABCD SA BC⊥ ⇒ ⊥
Mặt khác, ta có
BC AB⊥
(do ABCD là hình vuông)
( )

(1)
BC SAB
BC AM
⇒ ⊥
⇒ ⊥

Ta lại có
( ) (2)AM SB gt⊥
Từ (1) và (2)
( )AM SBC AM SC⇒ ⊥ ⇒ ⊥
Chứng minh tương tự, ta được
AN SC⊥
Từ đó suy ra
( )SC AMN⊥
(đpcm).
Bình luận: Ở câu hỏi 2, học sinh sẽ nhận thấy rằng không thể chứng minh
SC AM⊥
trực tiếp được nên sẽ chứng minh gián tiếp
SC AM⊥
thông qua chứng
minh
( )AM SBC⊥
. Đây là câu hỏi kích thích sự tư duy của học sinh. Cứ theo lối ấy,
học sinh sẽ trả lời được câu hỏi 4.
Qua bài toán 2, ta nhận thấy rằng khi sử dụng phương pháp này chính là giúp học
sinh suy luận và rèn tư duy suy luận qua phân tích đi lên. Giáo viên thường hướng
dẫn học sinh đi từ kết luận để suy diễn sao cho điểm ban đầu là kết luận và điểm cuối
cũng là kết luận, các bước trung gian phải sử dụng khai thác triệt để các dữ kiện mà
Trang 8
đầu bài đã cho. Trong quá trình giải các bài tập mẫu, giáo viên đặt ra hệ thống câu hỏi

để giúp học sinh tư duy, vì vậy khi gặp một bài toán hình học, học sinh cũng sẽ tự đặt
ra cho mình những câu hỏi và từ những câu hỏi đó, các em sẽ thiết lập được sư dồ
phân tích.
Bài toán 3: (Bài tập 17 sách giáo khoa hình học 11 nâng cao trang 103) Bài
tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh H là trực tâm
của tam giác ABC.
Phân tích: Đây cũng là dạng bài tập chứng minh đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng, tuy nhiên đối với bài tập này, mức độ phức tập hơn so với bài tập 2 vì
kiến thức vận dụng rộng hơn so với bài tập 2. Trên thực tế, khi cho học sinh lớp 11A1
giải bài tập này, hơn hai phần ba học sinh không tìm được lời giải.
Sau đây là hệ thống câu hỏi và sơ đồ phân tích đi lên.
Hệ thống câu hỏi Sơ đồ phân tích đi lên
Kẻ
( )OH ABC⊥
Gọi
M AH BC= ∩
;
N BH AC= ∩
1. Để chứng minh H là trực tâm của tam
giác ABC, ta cần chứng minh điều gì?
Trả lời: Chứng minh AM, BN lần lượt là
hai đường cao của tam giác ABC. Tức là
ta chứng minh
;AM BC BN AC⊥ ⊥
Trang 9
Tóm tắt bài toán
Giả thiết
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi

một vuông góc. H là hình chiếu
vuông góc của O lên mặt phẳng
(ABC)
Kết luận
H là trực tâm tam giác ABC
Việc chứng minh
;AM BC BN AC⊥ ⊥
là
tương tự nhau, nên ta chọn chứng minh
.AM BC
⊥

2. Để chứng minh
AM BC
⊥
ta cần
chứng minh như thế nào?
Trả lời: Ta chứng minh
( )BC OAH⊥
.
Mặt phẳng (OAH) chứa AM.
3. Để chứng minh
( )BC OAH⊥
, ta chứng
minh thế nào?
Trả lời: Ta chứng minh
BC OA
BC OH
⊥



⊥

4. Để chứng minh
BC OA⊥
, ta chứng
minh thế nào?
Trả lời: Ta có
( )
OA OB
OA OBC
OA OC
⊥

⇒ ⊥

⊥

5. Để chứng minh
BC OH
⊥
, ta chứng
minh thế nào?
Trả lời:
( ) ( )OH ABC gt⊥

Lời giải
Ta có:
( ) ( ) (1)OH ABC gt OH BC⊥ ⇒ ⊥
Ta có

(gt) ( ) (2)
OA OB
OA OBC OA BC
OA OC
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Từ (1) và (2), suy ra
( )BC OAH⊥
mà
( )AM OAH⊂
. Suy ra
AM BC
⊥
.
Chứng minh tương tự, ta được
BN AC
⊥
.
Vậy H là trực tâm của tam giác ABC (đpcm)
Trong phạm vi giới hạn của sáng kiến này nên tôi chỉ đưa ra 03 ví dụ tượng
trưng cho phương pháp này. Trên thực tế có rất nhiều dạng bài tập có thể áp dụng
phương pháp này hiệu quả. Lúc đầu khi lập sơ đồ, nhiều học sinh còn lúng túng
nhưng qua một thời gian ngắn rèn luyện kỹ năng, hầu hết học sinh đều phân tích được
Trang 10
H là trực tâm tam giác ABC
H

ư
ớ
n
g

t
r
ì
n
h

b
à
y

l
ờ
i

g
i
ả
i
bài toán và lập được sơ đồ phân tích và giải quyết được bài toán, đặc biệt là các bài
toán chứng minh.
Một điều lưu ý là khi phân tích thì phân tích từ kết luận phân tích đi lên, nhưng
khi trình bài lời giải của bài toán thì đi từ giải thuyết đi xuống theo sơ đồ đã lập.
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến này có thể triển khai ứng dụng trong chương trình giảng dạy môn
toán trung học phổ thông và các học sinh ôn tập thi tốt nghiệp và đại học. Để đạt

được hiệu quả cao trong công việc thì giáo viên cần phải có tinh thần nghiên cứu và
sáng tạo, học sinh cần phải chuẩn bị bài nghiêm túc và có tinh thần say mê nghiên
cứu, say mê học toán, say mê tìm tòi. có như vậy giáo viên mới phát hiện ra các vấn
đề mới trong ứng dụng và học sinh ngày càng yêu thích môn toán hơn vì chỉ khi nào
các em giải quyết được các bài toán giáo viên đưa ra khi đó các em sẽ yêu thích bộ
môn toán hơn.
Trang 11
C. PHẦN KẾT LUẬN
I. Những bài học kinh nghiệm
Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, tôi thấy phương pháp phân tích đi lên luôn có
tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của học sinh (bao gồm tư duy phân tích
và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan
đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp
“hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết. Khi ôn tập,
giáo viên nên đưa ra các dạng sơ đồ như: sơ đồ định nghĩa và sơ đồ dấu hiệu. Do đó,
khi dựa vào sơ đồ phân tích, học sinh dễ hiểu bài hơn và trình bày bài giải chặt chẽ
hơn và tránh bị “lạc đường”.
II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến này nhằm trình bày sâu hơn, kỹ hơn về một phương pháp dạy học
hiệu quả, đồng thời chia sẻ với quí đồng nghiệp và các em học sinh một số kinh
nghiệm mà bản thân đã tích lũy khoảng trong thời gian giảng dạy bộ môn toán. Các
nội dung trong sáng kiến này sẽ khai thác hiệu quả phương pháp dạy học tích cực, lấy
học sinh làm trung tâm, thúc đẩy quá trình hình thành và phát triển tư duy của học
sinh trong đó nổi bật là tư duy logic, tư duy phân tích và tư duy tổng hợp. Nếu thựuc
hiện thành thạo phương pháp này sẽ giúp học sinh cải thiện đáng kể trong việc hình
thành kỹ năng giải toán hình học của mình.
III. Khả năng ứng dụng, triển khai
Đề tài được ứng dụng trong các lớp của trường THPT phổ thông Trần Trường
Sinh và có thể được áp dụng được tại các trường bạn. Đề tài có thể được triển khai
đến các em học sinh xem như là một tài liệu nghiên cứu để bổ sung thêm phương

pháp giải toán cho các em.
IV. Những đề xuất, kiến nghị
Để học sinh có thể làm quen và rèn kỹ năng giải toán bằng phương pháp phân tích
đi lên, giáo viên cần đưa ra những yêu cầu bắt buộc trong khi thực hiện:
- Hình vẽ luôn chính xác, đầy đủ các ký hiệu trên đó. Học sinh phải trang bị các
dụng cụ học tập cần thiết như thước kẻ, com-pa, thước đo độ, bút chì, máy tính, …
Trang 12
- Hệ thống được các kiến thức đã tiếp thu, kiến thức đó phải được lặp đi lặp lại
nhiều lần và thật chính xác. Bên cạnh đó, học sinh còn biết thể hiện các nội dung kiến
thức bằng ngôn ngữ toán học và dựa vào hình vẽ để phân tích.
- Giáo viên phải chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp lý, câu hỏi nhiều mức độ dành cho
nhiều đối tượng học sinh, kèm theo là sơ đồ phân tích bài toán để có thể từng bước
hướng dẫn học sinh biết thực hiện phân tích và trình bày lời giải bài toán.
- Từng bước cho học sinh làm quen dần cách phân tích và từ từ cho học sinh áp
dụng phương pháp này khi học ở lớp dưới thậm chí ở cấp trung học cơ sở, đồng thời
hướng dẫn thao tác tổng hợp để trình bày lại bài giảng.
- Phương pháp này phải được áp dụng thường xuyên thì học sinh mới hiểu và có
thói quen sử dụng thường xuyên.
Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quí báu từ quí đồng nghiệp, các em
học sinh. Hi vọng sáng kiến này sẽ đóng góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất
lượng dạy và học Toán ở trường trung học phổ thông.
Giao Thạnh, tháng 03 năm 2012
Người viết
Mai Hoàng Nhi
Trang 13