SKKN ứng dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit vào các bài toán liên hệ thực tế

MỤC LỤC
I. LỜI GIỚI THIỆU…………………………………………………..
II. TÊN SÁNG KIẾN…………………………………………………
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN …………………………………………..
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN …………………………
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN……………….
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP
DỤNG THỬ………………………………………………………
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN………………………
A. NỘI DUNG SÁNG KIẾN…………………………………………
1. Cơ sơ lí thuyết………………………………………………………
1.1.Hàm số mũ…………………………………………………….
1.2 Hàm số lôgarit…………………………………………………
2. Một số dạng bài tập ứng dụng thực tế của hàm số mũ, hàm số
lôgarit……………………………………………………………...
3. Bài tập luyện tập …………………………………………………...
B. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN……………………...
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN BẢO MẬT………………………
IX.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN…..
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ
THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA
TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHÚC, CÁ NHÂN ĐÃ
THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU, KỂ CẢ ÁP
DỤNG THỬ......………………………………………………………
1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả…………………………….
2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức cá nhân…………………………
XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA
ÁP DỤNG THỬ…………………………………………………..
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………….

Trang
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
6
24
28
28
28
28

28
29
30
31

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Giáo dục hiện nay đang có nhiều sự thay đổi mạnh mẽ, không chỉ giúp học
sinh lĩnh hội các tri thức còn hướng tới phát triển các năng lực của học sinh,

hình thành những con người năng động, sáng tạo, tự chủ, biết giải quyết các vấn
đề nảy sinh. Theo chủ trương của Bộ Giáo dục và nhu cầu thực tiễn, dạy học
môn toán đang hướng tới giúp học sinh có cái nhìn tương đối tổng quát về Toán
học, hiểu được vai trò và ứng dụng của Toán học trong đời sống thực tế, những
ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng nghề
nghiệp, có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến
toán học trong suốt cuộc đời.
Áp dụng sự thay đổi đó vào công tác giảng dạy và ôn thi THPT Quốc gia,
bản thân tôi nhận thấy môn toán học lớp 12 phần chương II “ Hàm số lũy thừa,
hàm số mũ và hàm số lôgarit” là phần kiến thức quan trọng, nội dung ứng dụng
của hàm số mũ, hàm số lôgarit vào các bài toán thực tế hay và khó, có nhiều ứng
dụng liên hệ đến đời sống xã hội, ngành nghề và khoa học kỹ thuật. Nội dung
này mới được khai thác nhiều hơn những năm gần đây, phần kiến thức này chưa
có nhiều tài liệu, nhiều học sinh còn lúng túng khi giải các bài toán này. Để học
sinh có cái nhìn tổng quan, phân loại được bài tập, thành thạo các kỹ năng cũng
như thao tác trong làm các câu hỏi trắc nghiệm liên quan phần kiến thức này, tôi
đã thay đổi phương pháp giảng dạy truyền thống là bắt học sinh nhớ máy móc
kiến thức sang phương pháp giảng dạy bản chất, dạy học sinh cách nhận biết các
dạng toán để có thể vận dụng nhanh khi làm bài nhằm đạt kết quả cao hơn trong
kì thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. TÊN SÁNG KIẾN
Ứng dụng của hàm số mũ và hàm số lôgarit vào bài toán liên hệ thực tế.
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
- Họ và tên: Hoàng Thị Thu Hà
- Địa chỉ : Trường THPT Quang Hà.
- Số điện thoại:097471967
E_mail:
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN

- Họ và tên: Hoàng Thị Thu Hà
- Địa chỉ : Trường THPT Quang Hà.
- Số điện thoại: 0974719678
E_mail:
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
3


- Đối tượng áp dụng sáng kiến:
+ Ôn thi THPT Quốc gia: Học sinh lớp 12B, 12H ( năm học 2018 – 2019).
+ Bỗi dưỡng học sinh giỏi vòng Tỉnh
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh thi học sinh giỏi vòng Tỉnh và thi THPT
Quốc gia.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ
- Ngày áp dụng lần đầu: Tháng 11 năm 2018
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
A. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lý thuyết:
1.1. Hàm số mũ
a) Định nghĩa :
Cho số thực dương a �1 , hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.
b) Tính chất của hàm số mũ y = ax (0 < a ≠ 1)
1. TXĐ của hàm số là D = R
2.  x  R, ax > 0  Tập giá trị T = (0; + ) ;
 a0 = 1 ; 1x = 1
3. . = ;
4. =
5. ()=
6.(ab)x = ax.bx ,
7.  Khi a > 1 thì hàm y = ax đồng biến trên R và

 Khi 0 < a < 1 thì hàm y = ax nghịch biến trên R và
8. Đồ thị hàm số mũ

4


a >1

0
1.2. Hàm số lôgarit
a) Định nghĩa :
Cho số thực dương a �1 , hàm số y = loga x được gọi là hàm lôgarit cơ số a
b) Tính chất của hàm số lôgarit y = loga x (0 < a ≠ 1, x > 0)
1. Tập xác định D = (0; + )
2. Tập giá trị là T = R
y
3. Với x > 0 thì: y  log a x � x  a

4. loga a = 1 , loga 1 = 0
5. alog = x (x >0); loga ax = x
6.  loga (x1.x2) = loga x1 + loga x2 (x1 , x2 > 0)
 loga = loga x1 - loga x2
7. loga x =  loga x (x > 0)
8. (x > 0)

9.

log a x 

log b x
log b a

(x > 0)

10.  Khi a > 1 thì hàm y = loga x đồng biến trên (0; + ) và

limlog a x  �;
x � 0

limlog a x  �
x� �

 Khi 0 < a < 1 thì hàm y = loga x nghịch biến trên (0; + ) và
5


limlog a x  �;
x� 0



limlog a x  �
x� �

11. Đồ thị hàm số lôgarit
a >1

0

2. Một số dạng bài tập ứng dụng thực tế của hàm số mũ, hàm số lôgarit
2.1. Bài toán 1: Lãi đơn
Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền gốc sinh ra.
Công thức tính lãi đơn:
Sn  M (1  nr )

Trong đó:
S: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi ban đầu
n : Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
*) Xây dựng công thức:
Tổng số tiền của:
Tháng 1 (k = 1): S1  M  Mr
Tháng 2 (k = 2): S2  M  Mr  Mr  M  2Mr
……………………………
Tháng n (k = n): Sn  M  (n  1)Mr  Mr  M  nMr  M (1  nr )
6


Vậy S n  M (1  nr )
Từ công thức trên suy ra

n

Sn  M
S M
r n
Mr ,
Mn

*) Bài tập
Bài 1: Một người gửi ngân hàng với số tiền 100 triệu đồng theo hình thức lãi
đơn (lãi không tính vào gốc) với lãi suất 5% một năm. Nếu giữ nguyên số tiền
gốc ban đầu như vậy thì sau 2 năm tổng số tiền người đó có được là bao nhiêu?
(Giả sử lãi suất không đổi)
Hướng dẫn
Áp dụng công thức Sn  M (1  nr )
Với M = 100(triệu đồng), n = 2(năm), r = 5%.
Tổng số tiền người đó nhận được sau 2 năm là: Sn  100(1  2.0,05)  110 triệu
Bài 2: Một người gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi đơn với tiền gốc 20 triệu
đồng, lãi suất 5,1% một năm. Người đó muốn nhận được ít nhất 25 triệu đồng cả
vốn lẫn lãi thì người đó phải gửi ít nhất bao nhiêu năm?
Hướng dẫn
Áp dụng công thức Sn  M (1  nr )
Với M = 20(triệu đồng), Sn = 25(triệu đồng), r = 5,1%
Từ công thức trên ta suy ra:

n

Sn  M
25  20

�4,9
Mr
20.0, 051

Vậy người đó phải gửi ít nhất 5 năm để nhận được số tiền ít nhất 25 triệu
Bài 3: Một người gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi đơn với tiền gốc 30 triệu
đồng. Sau 2 năm người đó nhận được 33,4 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Tính lãi

suất theo năm của tiền gửi?
Hướng dẫn
Áp dụng công thức Sn  M (1  nr )
Với M = 30(triệu đồng), Sn = 33,4(triệu đồng), n = 2(năm)
Từ công thức trên ta suy ra:

r

S n  M 33, 4  30

�0, 057
Mn
30.2

Vậy lãi suất tiền gửi là 0,057 (tức 5,7%) một năm.
7


2.2. Bài toán 2: Lãi kép
Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do
tiền gốc sinh ra thay đổi theo từng chu kỳ.
a) Lãi kép, gửi một lần
S n  M (1  r ) n

Trong đó:
Sn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi ban đầu
n : Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
*) Xây dựng công thức:

Số tiềncủa:
Tháng 1 (k = 1): S1  M  Mr  M (1  r )
2
Tháng 2 (k = 2): S2  M (1  r )  M (1  r ) r  M (1  r )

…………………………….
n 1
n 1
n
Tháng n (k = n): Sn  M (1  r )  M (1  r ) r  M (1  r )
n
Vậy S n  M (1  r )

Từ công thức trên ta tính được các đại lượng khác
Sn
Sn
S
M
n
r  n n 1 M 
ln(1  r ) ,
(1  r ) n
M
;
ln

*) Bài tập
Bài 4:
Một người gửi tiết kiệm 75 triệu đồng vào ngân hàng theo kỳ hạn 3 tháng
với lãi suất 0,59% một tháng. Cứ sau 3 tháng tiền lãi mới được cộng vào tiền

gốc để tính lãi cho chu kỳ tiếp theo. Nếu người đó không rút lãi ở tất cả các định
kỳ, hỏi sau 3 năm số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?(làm tròn tới
hàng nghìn).
Hướng dẫn
8


Đây là bài toán lãi kép, chu kỳ là một quý(3 tháng), với lãi suất: 3.0,59% �1, 77%
một quý.
Sau 3 năm(12 quý), số tiền thu được cả vốn lẫn lãi là:
75000000(1  1,77%)12 �92576000 (đồng)

Bài 5 (Đề thi THPTQG 2017):
Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% năm. Biết
rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được
nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người
đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử
trong suốt thời gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
Hướng dẫn
Sn
M
n
S n  M (1  r ) n
ln(1
 r)
Áp dụng công thức tính lãi kép
suy ra
ln

Với M = 50(triệu đồng), r = 6%/ năm, Sn = 100 (triệu đồng)

100
50 �11,9
n
ln(1  6%)
Nên
ln

Vậy thời gian ít nhất là 12 năm thì người đó nhận được ít nhất 100 triệu đồng.
Bài 6: Một người gửi 30 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì
hạn là một tháng, sau 4 năm người đó nhận được 35,5 triệu đồng. Hỏi lãi suất
gửi tiền là bao nhiêu một tháng?
Hướng dẫn
Áp dụng công thức tính lãi kép
Nên

r

4

S n  M (1  r ) n

suy ra

r

n

Sn
1
M

35,5
 1 �0, 043
30

Vậy lãi suất là 0,043(hay 4,3% mỗi tháng)
Bài 7: Một người vay ngân hàng một số vốn theo hình thứ lãi kép, lãi gộp vốn 6
tháng một lần, với lãi suất 9,6% một năm. Tổng số tiền cửa hàng phải trả sau 4
năm 6 tháng là 53625000 đồng. Hỏi người đó đã vay số vốn ban đầu là bao
nhiêu?(làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)
9


Hướng dẫn
1
.9, 6%  4,8%
Lãi suất 9,6% một năm là 2
một chu kì sáu tháng

3 năm 6 tháng là 8,5 chu kì.
Áp dụng công thức: S n  M (1  r ) suy ra
n

Nên

M

M 

Sn

(1  r ) n

53625000
�24602000
(1  9, 6%)8,5
(đồng)

b) Lãi kép, gửi định kỳ.
*)Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng
Sn 

M
�
(1  r ) n  1�
�
�
r

Trong đó:
Sn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi hàng tháng
n : Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
*) Xây dựng công thức:
n 1
Tiền gửi tháng thứ nhất sau n – 1 kỳ hạn (n – 1 tháng) thành: M (1  r )

n2
Tiền gửi tháng thứ hai sau n – 2 kỳ hạn (n – 2 tháng) thành: M (1  r )

……………………..
0
Tiền gửi tháng cuối cùng là: M (1  r )

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân, số tiền cuối tháng n là:
M (1  r ) n 1  M (1  r ) n 2  ...  M (1  r ) 0  M

Vậy:

Sn 

(1  r ) n  1
r

M
�
(1  r ) n  1�
�
�
r

*) Bài tập

10


Bài 8: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép kì
hạn 3 tháng lãi suất 6% / quý, Cứ sau 1 quý người đó gửi thêm 100 triệu đồng
với kì hạn và lãi suất như cũ. Hỏi sau một năm người đó có bao nhiêu tiền cả
vốn lẫn lãi?

Hướng dẫn
3 tháng bằng 1 quý, một năm bằng 4 quý
Áp dụng công thức:

Sn 

M
�
(1  r ) n  1�
�
�
r

với M = 100 (triệu), r = 6%, n = 4 (quý)
Sau một năm người đó có bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi là:
Sn 

100
�
(1  6%)4  1�
�
��437, 4616
6%
(triệu đồng)

*)Trường hợp 2: Tiền được gửi vào đầu mỗi tháng
Sn 

M
�

(1  r ) n  1�
(1  r )
�
�
r

Trong đó:
Sn: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn
M: Tiền gửi ban đầu
n : Số kỳ hạn tính lãi
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
*) Xây dựng công thức:
Cuối tháng thứ nhất, số tiền là: S1  M  Mr  M (1  r )
Đầu tháng thứ hai, số tiền là:
M  M (1  r )  M [(1  r )  1] 

Cuối
S2 

tháng

M
M
[(1  r ) 2  1]  [(1  r ) 2  1]
[(1  r )  1]
r

thứ

hai,

số

M
M
M
[(1  r ) 2  1]  [(1  r )2  1]r  [(1  r ) 2  1](1  r )
r
r
r

…………………………..
Cuối tháng thứ n, số tiền cả gốc lẫn lãi là:
11

Sn 

M
[(1  r ) n  1](1  r )
r

tiền

là:


Từ công thức trên ta tính được các đại lượng khác:
�S .r
�
ln � n  1  r �

M
Sn .r
� 1
n �
M
n
ln(1  r )
(1  r )[(1  r )  1] ,

*) Bài tập
Bài 9: Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất
0,7%/tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi
ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Áp dụng công thức

Sn 

M
�
(1  r ) n  1�
�
�
r

Với M = 580000 (đồng), r = 0,7%/ tháng, n = 10(tháng)
Số tiền sau 10 tháng ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi là:
Sn 

580000

�
(1  0, 7%)10  1�
�
��5986152
0, 7%
(đồng)

Bài 10: Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi
ngân hàng với lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất
bao nhiêu vào đầu tháng?
Hướng dẫn
Áp dụng công thức
Suy ra

M

Sn 

M
�
(1  r ) n  1�
�(1  r )
r �

Sn .r
(1  r )[(1  r ) n  1]

Với Sn = 100.106 (đồng), r = 0,7%/ tháng, n = 10 tháng.
Khi đó:

M

100.106.0, 7%
�9621676
(1  0, 7%)[(1  0, 7%)10  1]
(đồng)

Vậy đầu mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi ít nhất 9621676 (đồng) vào ngân hàng
Bài 11: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với lãi
suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng ( khi ngân hàng đã tính lãi) thì
anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?
Hướng dẫn
12


�S .r
�
ln � n  1  r �
M
� 1
M
n
n �
�
�
Sn 
(1

r
)


1
�
�
ln(1  r )
r
Áp dụng công thức
suy ra:

Với M = 3.106 (đồng), r = 0,6%/ tháng, Sn = 100.106 (đồng)
Số tháng cần gửi là::
�
�
100.106.0, 6%
ln �

1

0,
6%
�
3.106
�
� 1 �30,3
n
ln(1  0, 6%)
(tháng)

Vậy anh Thắng phải gửi ít nhất 31 tháng để được tổng số tiền trên 100 triệu
đồng.

2.3. Bài toán 3: Vay vốn trả góp
Vay ngân hàng một số tiền M đồng, với lãi suất hàng tháng r (%)/ tháng.
Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau
đúng 1 tháng, mỗi tháng hoàn nợ là X đồng. Trả hết nợ sau n tháng, khi đó:
X

M (1  r )n r
(1  r ) n  1

Trong đó:
M: Tiền vay ban đầu
n : Số kỳ hạn trả nợ
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
X: Số tiền phải trả vào hàng tháng
*) Xây dựng công thức:
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ nhất: S1  M  Mr  X  M (r  1)  X
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ hai:
S2  [ M ( r  1)  X ]  [ M (r  1)  X ]r  X  M (r  1) 2  X [( r  1)  1]

Số tiền còn nợ cuối tháng thứ ba:
S3  [ M (r  1) 2  X [(r  1)  1]](1  r )  X  M (r  1)3  X [(r  1)2  (r  1)  1]

……………………………………………………
n
n 1
n 2
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ n: Sn  M (r  1)  X [(r  1)  (r  1)  ...  (r  1)  1]

13

Đặt

y  r 1

� S n  My  X ( y
n

n 1

� S n  M (1  r ) n  X

�
y n  1�
�
�
 y  ...  y  1)  My  X
r
n
�
(1  r )  1�
�
�
n 2

n

r

�

(1  r ) n  1�
�
� 0
S n  0 � M (1  r )  X
r
Đến hết tháng thứ n hết nợ, ta có:
n

�X 

M (1  r ) n r
(1  r ) n  1

*) Bài tập
Bài 12 (Đề minh họa THPTQG năm 2017)
Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/ năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày
vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số
tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền vay sau đúng 3 tháng kể từ
ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách
đó là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông
A hoàn nợ.
Hướng dẫn
Lãi suất 12%/năm tương ứng với 1%/tháng nên r = 0,01
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ nhất: S1  M  Mr  m  M (r  1)  m
Số tiền còn nợ cuối tháng thứ hai:
S2  [ M (r  1)  m]  [ M (r  1)  m]r  m  M (r  1)2  m[( r  1)  1]

Số tiền còn nợ cuối tháng thứ ba:
S3  [ M (r  1)2  m[(r  1)  1]](1  r )  m  M (r  1)3  m[(r  1)2  (r  1)  1]

3
2
Sau tháng thứ 3 hết nợ, khi đó S3  0 � M (r  1)  m[( r  1)  (r  1)  1]  0

�m

M (1  r )3 r 100(1  0, 01)3 .0, 01
1, 013


�34, 002211
(1  r )3  1
(1  0,01)3  1
1, 013  1
(triệu

đồng)

Vậy mỗi tháng ông A phải trả cho ngân hàng là 34002211 (đồng)
14


Bài 13: Một người vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất
0,9%/ tháng mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó trả
hết nợ ngân hàng?
Hướng dẫn
�
(1  r ) n  1�
�
�

Sn  M (1  r )  X
r
Áp dụng công thức:
n

Với M = 500 (triệu đồng), r = 0,9%/ tháng, X = 15(triệu đồng)
Giả sử sau n tháng người đó trả hết nợ, ta có
500.1,009n.0, 009
15 
� 15.1,009n  15  4,5.1, 009n
n
1, 009  1
15
� 10,5.1, 009n  15 � n  log1,009
�39,8
10,5

Vậy phải trả nợ trong vòng 40 tháng.
2.4. Bài toán 4: Gửi ngân hàng và rút tiết kiệm hàng tháng( rút sổ tiết kiệm
theo định kỳ)
Gửi vào ngân hàng một số tiền M đồng, với lãi suất hàng tháng r (%)/
tháng. Mỗi tháng vào ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền X đồng. Sau n tháng số
tiền gửi hết, khi đó:
M (1  r ) n  r
X
(1  r )n  1

Trong đó:
M: Tiền gửi ban đầu
n : Số kỳ hạn tính lãi

r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
X: Số tiền rút ra hàng tháng.
*) Xây dựng công thức
Sau tháng thứ nhất số tiền trong sổ còn lại là: S1  M (r  1)  X
Sau tháng thứ hai số tiền trong sổ còn lại là:
S2  [ M (r  1)  X ](r  1)  X  M (r  1)2  X [(r  1)  1]

Sau tháng thứ ba số tiền trong sổ còn lại là:
15


S3 =[M (r  1) 2  X [(r  1)  1]](1  r )  X  M (r  1)3  X [(r  1) 2  (r  1)  1]

…………………………………………..
Sau tháng thứ n số tiền trong sổ còn lại là:
�(1  r )n  1 �
Sn  M (r  1) n  X [(r  1) n1  (r  1) n 2  ...  ( r  1)  1]  M (1  r ) n  X �
�
� r
�

�
(1  r ) n  1�
�
�
Sn  M (1  r )  X
r
Vậy:
n

Sau tháng thứ n số tiền trong sổ vừa hết thì:
�(1  r ) n  1 �
�(1  r )n  1 �
M (1  r ) n  r
n
M (1  r )  X �
� 0 � M (1  r )  X �
�� X 
(1  r ) n  1
� r
�
� r
�
n

*) Bài tập
Bài 14: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, kì
hạn 1 tháng, lãi suất 0,65%/ tháng. Mỗi tháng người đó rút ra 1 triệu đồng vào
ngày ngân hàng bắt đầu tính lãi. Hỏi sau 2 năm người đó còn lại bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn
�
(1  r ) n  1�
�
�
Sn  M (1  r )  X
r
Áp dụng công thức:
n

Với M = 100 (triệu đồng), r = 0,65%/tháng, n = 24 (tháng).

Số tiền sau 2 năm còn lại là:
�
(1  0, 65%) 24  1�
�
��90,941121
S 2  100(1  0, 65%)  1.
0,65%
(triệu đồng)
24

2.5. Bài toán 5: Bài toán tăng lương:
Một người được lĩnh lương khởi điểm là M đồng/tháng. Cứ sau k tháng (1
chu kì) thì người đó được tăng thêm r (%)/ tháng. Hỏi sau n chu kì người đó
được lĩnh tất cả số tiền bao nhiêu?
�
(1  r ) n  1�
�
�
Sn  Mk
r

Trong đó:
Sn: Số tiền tất cả từ tháng thứ nhất đến tháng thứ n
16


M: Lương khởi điểm
k: Số tháng của 1chu kì tăng lương
n : Số chu kì
r: Phần trăm tăng lương

*) Xây dựng công thức:
Chu kì thứ 1 số tiền mỗi tháng nhận được u1  M
Chu kì thứ 2 số tiền mỗi tháng nhận được u2  M  Mr  M (1  r )
2
Chu kì thứ 3 số tiền mỗi tháng nhận được u3  M (1  r )  M (1  r )r  M (1  r )

Chu kì thứ 4 số tiền mỗi tháng nhận được

u4  M (1  r )2  M (1  r )2 r  M (1  r )3

………………………………………..
Sau chu kì thứ n số tiền mỗi tháng nhận được

un  M (1  r )n 1

Tổng số tiền nhận được sau n chu kì là:
Sn  k (u1  u2  ...  un )  k[M+ M(1  r )  M (1  r )  ...  M (1  r )
2

n 1

�
(1  r ) n  1�
�
�
)]  Mk
(1  r )  1

�
(1  r ) n  1�

�
�
� S n  Mk
r

*) Bài tập
Bài 15: Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700000 đồng/tháng. Cứ 3 năm
người đó lại được tăng lương thêm 8% so với trước đó. Hỏi sau 33 năm làm việc
người đó nhận được tổng số tiền là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Từ đầu năm thứ 1 đến hết năm thứ 3 người đó nhận được số tiền u1  700000.36
Từ đầu năm thứ 4 đến hết năm thứ 6 người đó nhận được số tiền:
u2  700000.(1  8%).36

Từ đầu năm thứ 7 đến hết năm thứ 9 người đó nhận được số tiền:
u3  700000.(1  8%) 2 .36

……………………
17


Từ đầu năm thứ 31 đến hết năm thứ 33 người đó nhận được số tiền:
u11  700000.(1  8%)10 .36

Vậy sau 33 năm, tổng số tiền người đó nhận được là:
u1  u2  u3  ..  u11  700000.36.

1  (1  8%)11
(1  8%)11  1
 700000.36.

�419466284
1  (1  8%)
8%
(đồng

)
………………………………………….
n 1
n 1
n
Năm 2016 + n (n = n): un  M (1  r )  M (1  r ) r  M (1  r )

Vậy

un  M (1  r ) n � un  1.(1  15%) n  1,15n

n
un > 2 (tỷ đồng) � 1,15  2 � n  log1,15 2 �4,96

(đồng)
Vậy năm 2016 + 5 = 2021 là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả
lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỉ đồng.
2.6. Bài toán 6: Bài toán tăng trưởng dân số
Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là A
người, tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm của quốc gia đó là r%. Khi đó công
thức tính dân số của quốc gia B đến năm thứ n là:
nr
Công thức 1: Sn  Ae

Công thức 2:

(1)

Sn  A(1  r ) n (2)

Trong đó:
A: Dân số của năm lấy làm mốc tính
Sn : Dân số sau năm n
r: Tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm
Sn
Sn
A
n
A
ln(1  r ) ,
(1  r ) n
Từ CT(2) suy ra:
ln

*) Bài tập
18


Bài 16: Dân số nước ta năm 2014 là 90,7 triệu người(theo Thông cáo báo chí
của ASEEANstats), tỉ lệ tăng dân số là 1,06%
a) Dự đoán dân số nước ta năm 2024 là bao nhiêu?
b) Biết rằng dân số nước ta sau m năm sẽ vượt 120 triệu người. Tìm số m bé
nhất?
Hướng dẫn
a) Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau:

A = 90 700 000, n = 2024 – 2014 = 10, r = 1,06%
*) Áp dụng công thức (1): Khi đó dân số nước ta năm 2014 là:
S10  90700000.e10.1,06% �100842244

(người)

*) Áp dụng công thức (2): Khi đó dân số nước ta năm 2014 là:
S10  90700000.(1  1, 06%)10 �100786003

(người)

*) Áp dụng công thức (1) có:
120000000 90700000.
�� e m.1,06%

e0,0106.m

1200
907

0, 0106 m ln

1200
907

m 27

Vậy ít nhất sau 27 năm dân số nước ta vượt 120 triệu người.
*) Áp dụng công thức (2) có:
120000000 90700000.(1

��
1, 06%) m

0, 0106m

1200
907

m log1,0106

1200
907

m 27

Vậy ít nhất sau 27 năm dân số nước ta vượt 120 triệu người.
Nhận xét:
- Việc áp dụng công thức (1) hay công thức (2) tùy thuộc vào từng bài toán.
Công thức (1) thường dùng trong các bài toán có tính dự báo dân số trong
một thời gian dài. Công thức (2) dùng trong việc tính toán dân số trong
các khoảng thời gian nhất định.
- Trong các bài toán có thể đề bài nói rõ sử dụng công thức nào. Nếu đề bài
không nói rõ khi đó ta sử dũng công thức nào cũng được vì sai số tính
toán trong hai công thức trên là không lớn
2.7. Bài toán 7: Bài toán tính độ PH của dung dịch

19


Trong mỗi dung dịch người ta dùng độ pH để đánh giá dung dịch có tính

axit hay bazo. Độ pH của dung dịch được tính dựa vào nồng độ [H 3O+](mol/lit),
theo công thức:
pH = -log[H3O+]
pH < 7 thì dung dịch có tính axit.
pH = 7 thì dung dịch trung hòa.
pH > 7 thì dung dịch có tính bazo.
*) Bài tập
Bài 17: Nồng độ [H3O+] trong bia và rượu lần lượt là 0,00008(mol/l) và
0,0004(mol/l). Hỏi các dung dịch trên có tính axit hay bazo.
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức: pH = -log[H3O+]
Bia có pH = - log0,00008 �-4 nên bia có tính axit
Rượu có pH = - log0, 0004 �-3, 4 nên rượu có tính axit
2.8. Bài toán 8: Bài toán về sự phóng xạ của các chất
Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công
t

T
�1 �
m(t)  m0 � �
rt
�2 �hay m(t)  m0 e
thức:

Trong đó:
m0 khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0)
m(t): Khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t
T: Chu kỳ bán rã( khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ
bị biến thành chất khác).
r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0)

*) Bài tập
Bài 18 : Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu 239 là 24360 năm
(tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự
phân hủy được tính theo công thức S = Aert, trong đó A là lượng chất phóng xạ
ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r < 0), t là thời gian phân hủy, S là lượng
20


còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì 10 gam Pu 239
sẽ phân hủy còn 1 gam?
Hướng dẫn
S 1

Vì Pu239 có chu kì bán hủy là 24360 năm nên er24360 = A 2  r 0,000028

 Công thức phân hủy của Pu239 là S = A.e0,000028t
Theo giả thiết: 1 = 10. e0,000028t t  82235,18 năm
Vậy sau 82236 năm thì 10 gam Pu239 sẽ phân hủy còn 1 gam.
Bài 19: Các loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng
nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây xanh đó bị
chết thì hiện tượng quang hợp cũng dừng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14
nữa.Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp và
chuyển hóa thành Nitơ14.
Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của
một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức:
1

P(t)  100.(0,5) 500 (%) .

Phân tích mẩu gỗ từ công trình kiến trúc cổ, người ta thấy

lượng cacbon 14 còn lại trong mẩu gỗ đó là 65%.
Hãy xác định niên đại của công trình đó?
Hướng dẫn
Theo đề bài ta có P(t) = 65. Vậy ta có phương trình:
t

100.(0,5) 5750  65 �

t
65
65
 log 0,5
� t  5757 log 0,5
�3574
5750
100
100
(năm)

Vậy tuổi của công trình kiến trúc đó khoảng 3574 năm.
2.9. Bài toán 9: Ứng dựng của hàm số lôgarit trong việc tính độ chấn động
và năng lượng giải tỏa của một trận động đất
Độ chấn động M của một địa chấn biên độ I được đo trong thang đo
Richter xác định bởi công thức:

M  ln

I
I0

hoặc M  log I  log I 0

Trong đó:
I0 là biên độ của dao động bé hơn 1 m trên máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa
chấn 100km. I0 được lấy làm chuẩn.
21


M từ 1 đến 3 độ Richter, địa chấn ít gây ảnh hưởng.
M từ 4 đến 5 độ Richter, địa chấn gây một số thiệt hại nhỏ.
M từ 6 đến 8 độ Richter địa chấn gây một số thiệt hại lớn.
M từ 9 độ Richter trở lên, địa chấn gây thiệt hại cực lớn, nguy hiểm.
Năng lượng giải tỏa E tại tâm địa chấn ở M độ Richte r được xác định xấp xỉ bởi
công thức: log E �11, 4  1, 5M
*) Bài tập
Bài 20:
Cường độ một trận động đất M Ritcher được cho bởi công thức
M  log A  log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A là một biên độ chuẩn
0

(hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ
Ritcher. Trong cùng năm đó, xảy ra trận động đất khác ở Nam Mỹ và Nhật Bản.
a) Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ gấp 4 lần biên độ trận động đất ở San
Francisco. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu?
b) Trận động đất ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Ritcher. Hỏi trận
động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động
đất ở Nhật Bản?
Hướng dẫn
a)
- Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Ritche. Khi đó ta có:

M 1  log A  log A0 � 8  log A  log A0

- Trận động đất ở Nam Mỹ có cường độ gấp 4 lần nên biên độ là 4A. Khi
đó cường độ trận động đất ở Nam Mỹ là:
M 2  log 4 A  log A0 � M 2  log 4  log A  log A0 � M  log 4  8 �8,6 độ Ritcher

b)
- Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Ritcher. Khi đó ta có:
M 1  log A1  log A0 � 8  log A1  log A0
� log A1  8  log A0 � A1  108 log A0  10log A0 .108

Với A1 là biên độ trận động đất ở San Francisco
- Trận động đất ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Ritcher, ta có:
22


M 2  log A2  log A0 � 6  log A2  log A0
� log A2  6  log A0 � A2  106log A0  10log A0 .106

Từ đó:

A1
 100 � A1  100 A2
A2

Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất
ở Nhật Bản.
2.10. Bài toán 10: Âm thanh
Để đặc trưng độ to nhỏ của âm thanh, người ta đưa ra khái niệm mức
cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm là đềxinben

(viết tắt là dB).Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức:
L(dB)  10 log

I
I0

Trong đó:
I: Cường độ của âm tại thời điểm đang xét.
I0: cường độ âm ở ngưỡng nghe (I0 = 10-12 w/m2 )
Nhận xét:
- Khi cường độ âm tăng lên 102, 103, … thì cảm giác về độ to của âm tăng
lên gấp 2,3,.. lần.
- Độ to của âm: Gắn liền với mức cường độ âm I  I  I min với I min là
ngưỡng nghe (Đơn vị đo của âm là phôn). Khi I  1 phôn (độ to tối thiểu
�I
10 log �
�I min
mà tai người bình thường phân biệt được) thì

�
� 1dB
�

- Cường độ âm gây nguy hiểm cho tai người là từ 85dB trở lên
- Cường độ âm gây đau đớn cho tai người là từ 120dB trở lên
Bài tập
Bài 21: Để đặc trưng độ to nhỏ của âm thanh, người ta đưa ra khái niệm mức
cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ âm là đềxinben
(viết tắt là dB).Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức:
L(dB)  10 log

I
I0

Trong đó:
23


I: Cường độ của âm tại thời điểm đang xét.
I0: cường độ âm ở ngưỡng nghe (I0 = 10-12 w/m2 )
Bài 22: Tiếng ồn phát ra từ một xưởng cưa, ở mức cường độ âm đo được là 93
dB, đo 7 chiếc cưa máy giống nhau cùng hoạt động gây ra.
Giả sử có 3 chiếc cưa máy đột ngột dừng hoạt động thì mức cường độ âm trong
xưởng lúc này là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Gọi cường độ âm của 1 cái cưa phát ra là I1.
Lúc đầu cường độ âm của 7 chiếc cưa hoạt động là:
L(dB)  10 log

7 I1
I
I
 93 � 10 log 7  10 log 1  93 � log 1  9, 3  10 log 7 �8, 45
I0
I0
I0

Lúc sau mức cường độ âm là:
L1 (dB)  10 log

4 I1
I
 10 log 4  10 log 1 �10 log 4  10.8, 45 �90,5dB
I0
I0

3. Bài tập luyện tập
Bài 1(Đề thi THPTQG 2017)
Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả
lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỉ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì
tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so
với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A
dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỉ đồng?
A. Năm 2022

B. Năm 2021

C. Năm 2020

D. Năm 2023

Bài 2: Lãi suất ngân hàng hiện nay là 6%/năm. Lúc con ông A, bắt đầu học lớp
10 thì ông gửi tiết kiệm 200 triệu. Hỏi sau 3 năm ông A nhận cả vốn lẫn lãi là
bao nhiêu?
A. 233,2 triệu

B. 238,2 triệu

C. 228,2 triệu

D. 283,2 triệu

Bài 3: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn
một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó có
được ít nhất 20 triệu ?
A. 15

B. 18

C. 17
24

D. 16


Bài 4: Anh An mua nhà trị giá năm trăm triệu đồng theo phương thức trả góp.
Nếu anh An muốn trả hết nợ trong 5 năm và phải trả lãi với mức 6%/năm thì
mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền? (làm tròn đến nghìn đồng)
A. 9892000

B. 8333000

C. 118698000

D. 10834000

Bài 5: Ông An gửi 100 triệu vào tiết kiệm trong một thời gian khá lâu mà không
rút ra với lãi suất ổn định trong mấy chục năm qua là 10%/ 1 năm. Tết năm nay
do ông kẹt tiền nên rút hết ra để gia đình đón Tết. Sau khi rút cả vốn lẫn lãi, ông
trích ra gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết trong nhà thì ông còn 250 triệu. Hỏi ông

đã gửi tiết kiệm bao nhiêu lâu ?
A. 19 năm

B. 17 năm

C. 15 năm

D. 10 năm

Bài 6: Bạn Ninh gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng trong thời gian 10 năm
với lãi suất 5% một năm. Hỏi rằng bạn Ninh nhận được số tiền nhiều hơn hay ít
hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất

5
%
12

một tháng?

A. Ít hơn 1611487,091 đồng

B. Nhiều hơn 1611487,091 đồng

C. Nhiều hơn 1811487,091 đồng

D. Ít hơn 1811487,091 đồng

Bài 7: Một người, cứ mỗi tháng anh ta gửi vào ngân hàng a đồng theo thể thức
lãi kép với lãi suất 0,6% một tháng. Biết rằng sau 15 tháng người đó nhận được
1 triệu đồng. Hỏi a bằng bao nhiêu?

A. 65500

B. 60530

C. 73201

D. 63531

Bài 8: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được xem cùng một danh
sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng.
Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức
M(t)  75  20 ln(t  1), t �0 ( đơn vị %). Hỏi khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ

được danh sách đó dưới 10%?
A. Khoảng 24 tháng

B. Khoảng 22 tháng

C. Khoảng 25 tháng

D. Khoảng 32 tháng

Bài 9: Các loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ
cacbon 14 ( một đồng vị của cacbon ). Khi một bộ phận của cây xanh đó bị chết
thì hiện tượng quang hợp cũng dừng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa.
Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp và chuyển
hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi

N t

là số phân trăm cacbon 14 còn lại

trong một bộ phận của một cây sinh trưởng từ
25

t

năm trước đây thì

N t

được


t

N  t   100.  0,5  500  % 

tính theo công thức
. Phân tích mẫu gỗ từ một công trình
kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65% .
Hãy xác định niên đại của công trình đó
A. 3656 năm

B. 3574 năm

C. 3475 năm

D. 3754 năm

Bài 10:Tiêm vào người 1 bệnh nhân lượng nhỏ dung dịch chứa phóng xạ

24
11

Na

3
3
có độ phóng xạ 4.10 Bq. Sau 5 tiếng người ta lấy 1 cm máu người đó thì thấy
3

lượng phóng xạ lúc này là H= 0,53 Bq/ cm , biết chu kì bán rã của Na24 là 15
(giờ). Thể tích máu người bệnh là
A. 6 lít

B. 5 lít

C. 5,5 lít

D. 6,5 lít

Bài 11: Một tượng gỗ có độ phóng xạ bằng 0,77 lần độ phóng xạ của khúc gỗ
cùng khối lượng lúc mới chặt, biết chu kì bán rã của C14 là 5600 năm. Tính
tuổi tượng gỗ
A. Xấp xỉ 2112 năm

B. Xấp xỉ 2800 năm

C. Xấp xỉ 1480 năm

D. Xấp xỉ 700 năm

Bài 12:Số lượng của một số loài vi khuẩn sau t (giờ) được xấp xỉ bởi đẳng thức
Q  Q0e0.195t , trong đó Q0 là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn
ban đầu là 5000 con thì sau bao lâu có 100.000 con.
A. 24 giờ

B. 3.55 giờ

C. 20 giờ
5

D. 15,36 giờ

3

Bài 13:Một khu rừng có lượng lưu trữ gỗ là 4.10 (m ) . Biết tốc độ sinh trưởng
của khu rừng đó mỗi năm là 4% . Hỏi sau 5 năm khu rừng đó có bao nhiêu mét
khối gỗ?
5
3
5
3
A. �4,8666.10 (m ) B. �4,6666.10 ( m )
5
3
5
3
C. �4,9666.10 ( m ) D. �5,8666.10 ( m )

Bài 14:Cường độ một trận động đất M được cho bởi công thức
M  log A  log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn

(hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ
Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở gần đó đo được 7.1 độ
Richter. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu trận động
đất này.
A. 1,17

B. 2,2

C. 15,8
26

D. 4