SKKN bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Bài toán cực trị của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối
Tác giả: Hoàng Thị Hiền
Mã môn: 52

Năm học 2019 -2020

1


SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Bài toán cực trị của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối
Tác giả: Hoàng Thị Hiền
Mã môn: 52

Năm học 2019 -2020

2

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình toán phổ thông, dạng bài toán: Bài toán cực trị của hàm
số chứa dấu giá trị tuyệt đối là một trong các dạng bài toán đòi hỏi tư duy đối
với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học.
Nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp xác định và tính cực trị
của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng kiến thức đó vào giải bài toán.
Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải.
Đồng thời góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần nâng cao chất
lượng giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông tôi chọn đề tài:
“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
2. Tên sáng kiến:
“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Hiền
- Địa chỉ tác giả: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại:01668804899

E_mail:

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể áp dụng vào giảng dạy cho
học sinh lớp 12 THPT
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 10 năm
2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến:

3


CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phần I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
1.Các phép biến đổi đồ thị
a.Các phép tịnh tiến đồ thị
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C). Khi đó, với số thực a > 0 ta có:
 Hàm số y  f ( x)  a có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy
lên trên a đơn vị.
 Hàm số y  f ( x)  a có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục
Oy xuống dưới a đơn vị.
 Hàm số y  f ( x  a ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục
Ox qua trái a đơn vị.
 Hàm số y  f ( x  a) có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục
Ox qua phải a đơn vị.
b. Các phép biến đổi đồ thị khác
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:
 Hàm số y   f ( x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox.
 Hàm số y  f ( x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy.
�f ( x) khi x �0
y  f (| x |)  �
�f ( x) khi x<0 có đồ thị (C’) bằng cách:
 Hàm số

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả những điểm nằm
trên trục Oy)
- Bỏ phần đồ thị của ( C ) nằm bên trái trục Oy.
- Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy qua trục Oy.

�f ( x ) khi f(x) �0
y | f ( x) | �
 f ( x) khi f(x)<0 có đồ thị (C’) bằng cách:
�
 Hàm số

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (cả những điểm nằm
trên Ox)
- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox
- Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox.
2. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D và x0 D
+ x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0
sao cho (a;b)  D và

f ( x)  f ( x0 ), x �(a; b) \  x0 

4


+ x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0
sao cho (a;b)  D và

f ( x)  f ( x0 ), x �( a; b) \  x0 

PHẦN II : NỘI DUNG
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số
ba cách sau:
Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị

y  f ( x)

y  f ( x)

ta có dùng một trong

y = f (x)

�f ( x) khi (f(x) �0)
y  f ( x)  �
� f ( x) khi (f(x)<0)
Ta có

y  f ( x)

Từ đồ thị y  f ( x) suy ra đồ thị
bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên trục hoành (kể cả những
điểm nằm phía trên trục hoành).
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục
hoành.
+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục hoành.
Cách 3: Sử dụng kết quả của nhận xét sau:
Nhận xét 1:
Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của
phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0,
g ( x)  f ( x)

thì số điểm cực trị của hàm số
bằng k + h + e
Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì x0 cũng là điểm tới hạn
của hàm số g(x)=| f(x)|
Chứng minh bổ đề:
+ Ta có

g ( x)  f ( x) 

f 2 ( x)

+ Theo giả thiết, x0 là điểm tới hạn của hàm số y  f ( x ) nên f ( x0 ) xác định và
f '( x0 ) không xác định.

+) Ta có
f 2 ( x0 )

g ( x)  f ( x) 

f 2 ( x ) � g ( x0 )  f ( x0 ) 

f 2 ( x0 )

. Vì f ( x0 ) xác định nên

xác định. Vậy g ( x0 ) xác định. (*)

5

g '( x) 

+ Ta có

2 f ( x) f '( x)
2 f 2 ( x)

� g '( x0 ) 

2 f ( x0 ) f '( x0 )
2 f 2 ( x0 )

. Vì f '( x0 ) không xác định nên

2 f ( x0 ) f '( x0 )
2 f 2 ( x0 )

không xác định. Vậy g '( x0 ) không xác định.(**)

Từ (*), (**) suy ra x0 cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|
Chứng minh nhận xét 1
Thật vậy
+ Theo giả thiết, y = f(x) có k điểm cực trị � y  f '( x) có m nghiệm đơn, n
nghiệm bội lẻ và t điểm tới hạn mà m + n + t = k. (*)
+ Theo giả thiết, h là số nghiệm đơn của phương trình y  f ( x ) ; e là số nghiệm
bội lẻ của phương trình y  f ( x ) (**)
+

g ( x)  f ( x) 

f 2 ( x)

g '( x) 

;

�f ( x)  0
; g '( x)  0 � 2 f ( x) f '( x)  0 � �
2 f 2 ( x)
�f '( x)  0

2 f ( x) f '( x)

Theo (*), (**) ta có số điểm cực trị của hàm số

g(x) = f (x)

bằng k + h + e

Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số y  f (ax  b)  c bằng số điểm cực trị
của hàm số y = f(x).
Thật vậy
+) Theo giả thiết y = f(x) có k điểm cực trị � y  f '( x) có m nghiệm đơn, n
nghiệm bội lẻ và t điểm tới hạn mà m + n + t = k. Giả sử các nghiệm đó là
x1; x2 ;...; xk

+) y  f (ax  b)  c có y '  af '(ax  b) ;
ax  b  x1
x=x1  b

�
�
�
�
ax  b  x2
x  x b
y '  0 � f '(ax  b)  0 � �
�� 2
�
�
...
...
�
�
ax  b  xk
x  xk  b � y '  af '(ax  b)  0
�
�
có k giá trị

(gồm nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, điểm tới hạn). Vậy y  f (ax  b)  c có k điểm
cực trị.
Hay số điểm cực trị của hàm số y  f (ax  b)  c bằng số điểm cực trị của hàm số
y = f(x).
1.1.Bài toán cơ bản: “Cho hàm số y  f ( x) . Hỏi số điểm cực trị của hàm số
y = f (x)

”

6

Bài 1:
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) như hình vẽ. Tìm số điểm
cực trị của hàm số y | f ( x) |
Lời giải
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số
Cách 1:
y | f ( x) | (theo phép suy ra đồ thị )
Nhìn đồ thị (C’), ta thấy hàm số y | f ( x) | có 5 điểm cực trị

Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị
+ Phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm đơn
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ
Vậy số điểm cực trị của hàm số y | f ( x) | bằng 2 + 3 + 0 = 5
: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) như hình vẽ. Tìm
Bài 2
số điểm cực trị của hàm số y | f ( x) |
Lời giải
Cách 1:
y | f ( x) |

Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số
Nhìn đồ thị (C’) , ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm đơn.
Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ .
Vậy số điểm cực trị của hàm số

Bài 3:

y  f ( x)

bằng 3 + 2 + 0 = 5.
x �
-1
y’
+
0
y  f  x
Cho hàm số
có bảng biến thiên
y
5
�
y  f  x
như hình vẽ. Đồ thị hàm số
có
bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm đơn.
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.

-

3
0

�

+

�

1

Vậy số điểm cực trị của hàm số 2 + 1 + 0 = 3.
Bài 4: Cho hàm số
y  f  x

y  f  x

có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị ?
7


�

x
y’
y

-1
0

-

+

�

0
0
3

�

1
0

-

+
�

0

0

Lời giải
+ Đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm đơn (Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm bội chẵn)
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.
Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài 5: Hàm số

y  x4  4x2  3

y  f  x

là 3 + 0 + 0 = 3.

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải
x0
�
�
y '  4 x3  8 x; y '  0 � �
x 2
�
4
2
x 2
�
Xét y  x  4 x  3 có

x �
 2
y’
0
�
y
-1

+

+

0
0
3

�

2

-

0

+

�

-1

+ Hàm số y  x  4 x  3 có 3 điểm cực trị.
4

2

4
2
+ Phương trình x  4 x  3  0 có 4 nghiệm đơn.
4
2

+ Phương trình x  4 x  3  0 có 0 nghiệm bội lẻ Suy ra số điểm cực trị của hàm

số
Bài

y  x4  4 x2  3

là 3 + 4 + 0 = 7.

6: Tính tổng các giá trị cực đại của hàm số

y  x4  4x2  2

Lời giải
x0
�
�
y '  4 x  8 x; y '  0 � �
x 2
�
4
2
x 2
�
Xét y  x  4 x  2 có
3

x �
y’
y �

 2

-

0
-6

+

0
0
-2

�

2

-

0

+

�

-6

+ Hàm số y  x  4 x  2 có 3 điểm cực trị.
4

2

8


4
2
+ Phương trình x  4 x  2  0 có 2 nghiệm đơn.
4
2
+ Phương trình x  4 x  2  0 có 0 nghiệm bội lẻ.

Suy ra, số điểm cực trị của hàm số

y  x4  4x2  2

là 5.

Các điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(  2 ;6), B( 2 ;6).
Tổng các giá trị cực đại của hàm số

y  x4  4x2  2

là 12.

Bài 7: Biết đồ thị hàm số y= ax  bx  cx  d cắt trục hoành tại đúng 2 điểm.
3

Hàm số

Lời giải

y= ax 3  bx 2  cx  d

2

có bao nhiêu điểm cực trị?

3
2
+ Vì đồ thị hàm số y= ax  bx  cx  d cắt trục hoành tại đúng 2 điểm nên căn cứ
3
2
vào hình dáng đồ thị ta thấy hàm số y=ax  bx  cx  d có hai điểm cực trị x1 , x2 .

+

Mặt

khác

ax 3  bx 2  cx  d  a( x  x1 ) 2 ( x  x2 )

.

Do

đó

phương

trình

ax 3  bx 2  cx  d  0(a �0) có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.

Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài

y= ax 3  bx 2  cx  d

bằng 2 + 1 = 3.

3
2
8: Biết đồ thị hàm số y= ax  bx  cx  d có hai điểm cực trị nằm về hai phía

so với trục hoành. Số điểm cực trị của hàm số

y= ax 3  bx 2  cx  d

Lời giải
3
2
Đồ thị hàm số y= ax  bx  cx  d có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục
3
2
hoành nên ax  bx  cx  d  0 có 3 nghiệm đơn.

Vậy số điểm cực trị của hàm số

y= ax 3  bx 2  cx  d

là 3 + 2 =5.

Bài 9: Cho hàm số f ( x)  ax  bx  cx  dx  e (a, b, c, d �R, a  0) với
4

3

2

f (1)  0, f (0)  0, f (1)  0 . Hàm số y  f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải
g ( x)  �,
�xlim
���
�f ( 1)  0
�f ( x1 )  0
�
�f ( x )  0
�f (0)  0
� 2
�f (1)  0
�
�
�f ( x3 )  0
�lim g ( x)  � � x  1  x  0  x  1  x
�f ( x4 )  0
1

2
3
4 để �
Theo giả thiết ta có �x ��
Điều đó chứng tỏ rằng, phương trình f ( x)  0 có 4 nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số
y  f ( x) phải có 3 điểm cực trị. Vì vậy, hàm số y  f ( x) có 4 + 3 = 7 điểm cực trị

9


y  x 3  3x 2  9 x  5 

Bài 10: Tính tổng các giá trị của tham số m để hàm số
5 điểm cực trị.
Lời giải
Vẽ đồ thị hàm số

Ta thấy hàm số

f  x   x3  3 x 2  9 x  5

y  f  x

Yêu cầu bài toán

�

có 2 điểm cực trị nên

y  f  x

�0

y  f  x 

m
2 cũng có 2 điểm cực trị.

y  f  x 

m
2 với trục hoành là 3.

số giao điểm của đồ thị

Để số giao điểm của đồ thị
thị

m
2 có

y  f  x 

m
2 với trục hoành là 3 ta cần tịnh tiến đồ

theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 32 đơn vị

m
 32 � 0  m  64

m � 1;2;3...;63
2
Vì m �Z nên
. Vậy tổng các giá trị của

tham số m là 2016.
Bài 11: (HSG Vĩnh Phúc 2018-2019). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số

y  x3  3 x 2  m  2

m

có đúng năm điểm cực trị.

x0
�
y  x3  3x 2  m  2; y '  3x 2  6 x; y '  0 � �
x2
�
Lời giải Xét hàm số
3
2
Bảng biến thiên hàm số y  x  3x  m  2
- �
0
x
+
0
y’

y
m-2

- �

2
0

+�

+
+�

m-6

Hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị � phương trình f(x) = 0 có đúng 3
nghiệm phân biệt m  6  0  m  2 � 2  m  6 .
Vậy với 2 < m < 6 thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị.
Bài 12: (Câu 43 đề minh họa 2018 của Bộ GD&ĐT).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có 7 điểm cực trị?
Lời giải

m

để hàm số

y  3 x 4  4 x3  12 x 2  m

10

x0
�
�
y '  12 x  12 x  24 x; y '  0 � �
x  1
�
x2
�
3

4
3
2
Xét hàm số y  f ( x )  3x  4 x  12 x  m có

2

4
3
2
Lập BBT của đồ thị hàm số y  3x  4 x  12 x  m ta có
x �
-1
0
2
y’
0
+

0
0
+
�
y
m
m-5
m-32

y  3x 4  4 x 3  12 x 2  m

Để đồ thị hàm số
0 có đúng 4 nghiệm phân biệt:

�
�

có 7 điểm cực trị � phương trình f(x) =

�
�
f ( 0) > 0
m> 0
�
�
�
�f - 1 < 0 � �
�
- 5+ m < 0 � 0 < m < 5
�( )

�
�
�
�
�
- 32 + m < 0
�
�
f 2 <0
�
�
�( )

Vì m �Z � m �{1;2;3;4}
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 13: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
h( x )  f 2 ( x )  f ( x )  m

có đúng 3 điểm cực trị.

Lời giải
2
Xét g ( x)  f ( x)  f ( x)  m � g '( x)  2 f ( x) f '( x)  f '( x)

x 1
�
�f '( x)  0
�

g '( x )  0 � �
� x3
2 f ( x )  1 �
�
�
x  a (a  0)
�

�
�g (1)  f 2 (1)  f (1)  m  m
�
�g (3)  m
�
1
�g (a )  m 
4
Tính được �

Bảng biến thiên của hàm số g(x)
x
g’
g

�

�

-

a

0
g(a)

+

1
0
g(1)

3
0
m

�

+

�

11


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g( x) có

3

điểm cực trị.

1
1

h( x )  f 2 ( x )  f ( x )  m  ( f ( x )  ) 2  m 
2
4 có 3 điểm cực trị
Suy ra đồ thị hàm số

�g (1) �0
�
0
�g (3) �۳۳
�g (a ) �0
�

khi và chỉ khi

�
�f 2 (1)  f (1)  m  m �0
�
m 0
�
� 1
�
m  �0
� 4

m

1
4

Cách 2:

2
Xét g ( x)  f ( x)  f ( x)  m � g '( x)  2 f ( x) f '( x)  f '( x)

x 1
�
�f '( x)  0
�
g '( x )  0 � �
� x3
2 f ( x )  1 �
�
�
x  a (a  0)
�

Bảng biến thiên của hàm số g(x)
x
g’
g

�

�

-

a
0

+

1
0
g(1)

3
0

g(a)
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g( x) có

�

+

�

m

3

điểm cực trị.

1
1
h( x )  f 2 ( x )  f ( x )  m  ( f ( x )  ) 2  m 
2
4 có 3 điểm cực trị
Suy ra đồ thị hàm số

khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp
1
1
� ( f ( x)  )2  m  �0
2
4
xúc) g ( x)  f ( x)  f ( x)  m �0, x
2

m

1

4

12


1.2.Bài toán mở rộng 1: “Cho hàm số y  f ( x) . Hỏi số điểm cực trị của hàm
số

y = f (ax + b)

”

Bài 1: Cho hàm số
y  f  x  1

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải
Cách 1: Từ đồ thị hàm số

y  f  x

suy ra đồ thị hàm số

y  f  x  1

Từ đồ thị hàm số

y  f  x  1

Nhìn đồ thị hàm số

y | f  x  1 |

Cách 2: Nhìn đồ thị hàm số
+ Đồ thị hàm số

suy ra đồ thị hàm số

y  f  x

+ Phương trình

f  x  0

+ Phương trình

f  x  0

ta thấy,hàm số

y  f  x

y | f  x  1 |

y  f  x  1

có 7 điểm cực trị?

ta thấy

có 3 điểm cực trị.

có 4 nghiệm đơn.
có 0 nghiệm bội lẻ.

y | f  x  |
Suy ra, hàm số
có 3 + 4 = 7 điểm cực trị.
+ Vì số điểm cực trị của hàm số y | f (x-1) | bằng số điểm cực trị của hàm số
y | f  x  |

nên hàm số y | f (x-1) | có 7 điểm cực trị.

2
Bài 2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x(4  x ), x �R . Hàm số

y | f (2019  x) | có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải
x0
�
�
f '( x )  0 � x(4  x )  0 � �
x  2
2
�
x2
�
+ f '( x)  x(4  x ), x �R ;
Suy ra hàm số y  f ( x) có 3 điểm cực trị.
2

+ Số giao điểm của đồ thị y  f ( x) và trục hoành nhiều nhất là 4 hay phương
trình f ( x)  0 có nhiều nhất 4 nghiệm.
Vậy hàm số y | f ( x) | có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị.
Vậy hàm số y | f (2019  x) | có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị.
Bài 3 : Cho hàm số

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ

13


Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
g  x  f  x  m 

có 5 điểm cực trị ?

Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số
dương.

f  x

có 2 điểm cực trị

� Hàm số f  x  có 2.2 + 1 = 5 điểm cực trị.

� Hàm số f  x  m  có 5 điểm cực trị với mọi m.

Vậy có vô số giá trị m để hàm số

g  x  f  x  m 

có 5 điểm cực trị.

1.3. Bài toán mở rộng 2: “Cho hàm số y  f ( x) . Hỏi số điểm cực trị của hàm
số

y = f (ax + b) + c

”

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số

y  f  x

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải
Cách 1: Từ đồ thị của hàm số
hàm số
Từ

như hình vẽ.
y  f  x  2

y  f  x

:

suy ra đồ thị

y  f  x  2

đồ thị của hàm số

y  f  x  2

suy ra đồ thị hàm số

y  f  x  2

Dựa vào đồ thị hàm số
cực trị

y  f  x  2

suy ra có 5 điểm

Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) + 2 có 3 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 2 nghiệm đơn.
+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.
y  f  x  2

Vậy số điểm cực trị của hàm số
bằng 3 + 2 + 0 = 5.
2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên
Bài
dưới. Tính tổng các tung độ của các điểm cực trị của đồ
thị hàm số

g(x) = f (x) + 4

14


Lời giải
Đồ thị hàm số

g(x) = f (x) + 4

có được bằng cách

- Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f (x) theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được f ( x)  4
- Lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số
được

f ( x )  4 qua trục Ox ta

g(x) = f (x) + 4

g(x) = f (x) + 4

Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra tọa độ các điểm cực trị là (-1 ;0),
(0 ;4), (2 ;0). Vậy tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4
Bài 3: Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên như
hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) | f ( x  2017)  2018 | có bao nhiêu điểm cực trị ?
x
y’
y

�

+
�

-1
0

2018

�

3
0

-

+

�

-2018

Lời giải
Đồ thị hàm số u ( x)  f ( x  2017)  2018 có được từ đồ thị f ( x) bằng cách tịnh tiến
đồ thị y  f ( x) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của
x
u’
u

�

+
�

2016
0

4036

-

2020
0

�

+

�

0

15


+ Hàm số y = u(x) có 2 điểm cực trị.
+ Phương trình f ( x  2017)  2018  0 có 1 nghiệm đơn.
+ Phương trình f ( x  2017)  2018  0 có 0 nghiệm bội lẻ.
Vậy số điểm cực trị của hàm số g ( x) | f ( x  2017)  2018 | bằng 2 + 1 + 0 = 3.
Cho hàm số

y  f  x

�\  1

và liên tục trên từng khoảng
Bài 4:

xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Tính tổng tung độ các điểm cực trị của
đồ thị hàm số

xác định trên

g ( x)  f  x   3
�

x
y’
y

-1
||
|| �

-

�

3
0

-

�

�

+

�

-1

Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số u ( x)  f  x   3 như hình vẽ
�

x
g’
g

-1
||
|| �

-

�

3
0

-

�

�

+

�

-4

+ Đồ thị hàm số u ( x)  f  x   3 có 1 điểm cực trị A(3;-4) nên đồ thị hàm số
g ( x)  f  x   3

có 1 điểm cực trị là A’(3;4)

Phương trình f  x   3  0 có 3 nghiệm đơn nên đồ thị hàm số
điểm cực trị đều có tung độ là 0.
Vậy số điểm cực trị của hàm số

y  f  x  3

y  f  x  3

có 3

bằng 1+ 3 + 0 = 4

Suy ra tung độ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4
Bài 5: Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f (2)  f (2)  0 và có đạo hàm
f '( x)  x(4  x 2 ), x �R . Hàm số y | f (2  x)  3 | có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải
x0
�

�
f '( x )  0 � x(4  x )  0 � �
x  2
2
�
x2
�
+ f '( x)  x(4  x ), x �R ;
.
2

+ Bảng biến thiên

x
y’
y

�

+
�

-2
0
0

-

0
0

y(0)

+

2
0
0

�

-

16
�


+ Hàm số y  f ( x) có 3 điểm cực trị.
+ Phương trình f ( x)  0 có 0 nghiệm đơn.
+ Phương trình f ( x)  0 có 0 nghiệm bội lẻ.
Vậy hàm số y | f (2  x)  3 | có 3 + 0 + 0 = 3 điểm cực trị.
4
2
Bài 6: Cho hàm số f ( x)  ax  bx  c biết a  0, c  2018 và a  b  c  2018 . Tìm

số điểm cực trị của đồ thị hàm số g ( x) | f ( x)  2018 | .
Lời giải
4
2
Cách 1: Đặt h( x)  f ( x )  2018  ax  bx  c  2018

+ Từ giả thiết

a0
�
a0
�
�
c  2018
��
�
b0
�
a  b  c  2018 �
�

đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị.

h(1)  a  b  c  2018  0
�
� h(1)h(0)  0
�
h
(0)

c

2018

0
�

+ Ta có
phương trình h( x)  0 có nghiệm
thuộc khoảng (0;1) � h( x)  0 có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng

phương). Vậy hàm số g ( x) | f ( x)  2018 | có 7 điểm cực trị.
Cách 2: Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau:
�a  1
�
b  4
�
�
c  2019 g ( x ) | f ( x)  2018 | | x 4  4 x 2  1|
Chọn �
4
2
Vẽ phác họa đồ thị hàm số y | x  4 x  1| , ta thấy đồ thị hàm số

g ( x) | f ( x)  2018 | có 7 điểm cực trị.
4
4
m 1 2
2
m
Bài 7: Cho hàm số f ( x)  (m  1) x  (2 m  4) x  4  15 với m là tham số

thực. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải
Cách 1: Ta có:

g ( x)  f ( x)  1

y  f ( x)  1  ( f ( x)  1) 2

17


f '( x)[f ( x)  1]

�f '( x)  0
y'  0 � �
( f ( x)  1)
�f ( x)  1  0
Suy ra
;
4
m 1 2
+ f '( x )  0 có 3 nghiệm đơn phân biệt vì (m  1)(2 m  4)  0 với mọi m (hay
hàm số y  f ( x) có 3 điểm cực trị)
y' 

2

4
4
m 1 2
2
m
+ f ( x)  1  0 � (m  1) x  (2 m  4) x  4  14  0

 '  (2m m2  2)2  ( m4  1)(4m  14)  (2 m  m 2 ) 2  11m4  10  0 .

� f ( x )  1  0 vô nghiệm. Vậy hàm số g ( x)  f ( x)  1 có 3 cực trị.

Cách 2: (Trong bài trắc nghiệm để tìm nhanh kết quả ta nên đặc biệt hóa
bài toán)
Ta cho m = 0, ta được hàm số

g ( x)  f ( x)  1  x 4  4 x 2  16 . Ta đi tìm số điểm cực

trị của hàm số y | g ( x) |
x0
�
�
��
x 2
2
f x 1 4
� g�
 x   4 x3  8 x ; g �
 x   0 � 4 x3  8 x  0 �
x 2
�
Đặt    x  4 x  16
.

Bảng biến thiên
x
g’
g

�

�

 2

-

0
12

+

0
0
16

�

2

-

0

+

�

12

Do đồ thị hàm số y  f ( x)  1 nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàm

số y | f ( x)  1| cũng chính là đồ thị của hàm số y  f ( x)  1 . Khi đó số điểm cực
trị của hàm số y | f ( x)  1| là 3 .

  có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất
Bài 8: Cho hàm số
cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y f x

g ( x ) | f ( x )  m |

có 5 điểm cực trị

Lời giải
y  f  x
Vì hàm
đã cho có 2 điểm cực trị nên g ( x )  f ( x)  m cũng có 2 điểm cực
trị.
Để hàm số g ( x) | f ( x)  m | có 5 điểm cực trị � số giao điểm của đồ thị
f  x  m

với trục hoành là 3.
18


Để số giao điểm của đồ thị
Tịnh tiến đồ thị
hơn 1 đơn vị
Tịnh tiến đồ thị
đơn vị

f  x  m

với trục hoành là 3, có 2 trường hợp xảy ra

f  x

theo phương Oy xuống phía dưới một đoạn có độ dài nhỏ

f  x

theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 3

1  m �0
�
�
0 �m  3 � 1  m  3
Vậy �
3
2
Bài 9: Cho hàm số f ( x)  ax  bx  cx  d thoả mãn
a  0, d  2018, a  b  c  d  2018  0 . Tìm số điểm cực trị của hàm số

y  f ( x)  2018

Lời giải
g ( x)  �, lim g ( x)  �
�xlim
� �
x � �
�

�
g
(0)

f
(0)

2018
 d  2018  0
�
�g (1)  f (1)  2018  a  b  c  d  2018  0
g
(
x
)

f
(
x
)

2018
Xét
, ta có �
Do đó đồ thị hàm số y  g ( x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và suy ra hàm
số y  g ( x) có hai điểm cực trị

Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Câu 1: Đồ thị hàm số

A. 3

y  x4  2 x2  9

B. 0

Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số
A. 2
B. 1

y  f ( x)  2018

có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 1
D. 2

y   x  1  x  2 

  xác định trên
Câu 3: Cho hàm số
xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ.
y f x

Đồ thị hàm số
A. 4

y  f  x  9

là 2 + 3 = 5

2

là:

C. 4
�\  1

D. 3
và liên tục trên từng khoảng

có bao nhiêu điểm cực trị?

B. 3

C. 1

D. 2

19


y  f  x

Câu 4: Cho đồ thị của hàm số

y  f  x   17

Số cực trị của đồ thị hàm số
A. 5

là:

B. 2

Câu 5: Cho đồ thị của hàm số
Số cực trị của đồ thị hàm số
A. 5
B. 6

Câu

như hình vẽ.

C. 3
y  f  x

y  f  x 

D. 4

như hình vẽ.

7
2 là:

C. 7

D. 4

3

2
6: Cho hàm số bậc ba f ( x)  ax  bx  cx  d

với a, b, c �R , biết a  0 ,

8  4a  2b  c  0 và 8  4a  2b  c  0 . Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
g ( x) | f ( x) |

A. 1

B. 5

Câu 7: Cho hàm số
trị của hàm số
A. 1

C. 3

f  x   ax 4  bx 2  c

y  f  x   2017

với a  0 , c  2017 và a  b  c  2017 . Số cực

là:
B. 5

Câu 8: Cho hàm số f ( x)  (m

2018

D. 7

C. 3

 1) x  ( 2m
4

2018

2

2018

D. 7

m  3) x  (m
2

2

2018

m là tham số. Tìm số cực trị của hàm số y | f ( x)  2017 |
A. 2
B. 5
C. 4

D. 7

Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên m �(20;20) để hàm số
đúng 5 điểm cực trị
A. 12
B. 15
C.16
DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số
cách sau:
Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

y f(x)

 2018) , với

y  ( x  2). x 2  m
2

có

D. 17

y f(x)

ta dùng một trong ba

y f(x)

20

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị: Từ đồ thị y  f ( x) suy ra đồ thị
y f(x)

Cách 3: Để giải quyết các bài toán trên ta vận dụng nhận xét sau:
Nhận xét: Gọi k là số điểm cực trị dương của hàm số y  f ( x) thì số điểm cực
trị của hàm số
Thật vậy

y f(x)

bằng 2k + 1

�f ( x) khi x �0
�f '( x) khi x>0
y  f(x)�
y '  f '( x )  �
�f ( x) khi x< 0
�f '(  x) khi x< 0

+ Theo giả thiết k là số điểm cực trị dương của hàm số y  f ( x) � f '( x )  0 có k
nghiệm dương
+ Vì đồ thị y  f ( x) và y  f ( x ) đồ thị đối xứng nhau qua Oy � f '( x)  0 có k
nghiệm âm
+ Vì đồ thị hàm số y  f ( x) và đồ thị hàm số y  f ( x) đối xứng nhau qua trục
Oy nên f’(x) đổi dấu khi qua điểm x = 0
Vậy số điểm cực trị của hàm số
2.1 Bài toán cơ bản.

y f(x)

bằng 2k + 1

“Cho đồ thị của hàm số y  f ( x) . Hỏi số điểm cực trị của

hàm số y  f (| x |)
Bài 1: Cho hàm số
Hàm số

y f  x

f  x

có đồ thị như hình vẽ bên.

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải
Cách 1: + Từ đồ thị hàm số
số

y  f  x

ta suy ra đồ thị hàm

y f  x

Dựa vào đồ thị hàm số
Cách 2: + Hàm số
+ Vậy hàm số

Bài

y  f  x

y f  x

2: Cho hàm số

y f  x

có 7 cực trị.

có 3 điểm cực trị dương

có 3.2 + 1 = 7 điểm cực trị

y  f  x

xác định và liên tục trên �, có bảng biến thiên như

hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số

y f  x

21


�

x

-2

y’

+

0

�

y

�

1
-

4

0

+

f(-2)

0

-

f(4)

�

f(1)
Lời giải
Hàm số có hai điểm cực trị dương, suy ra số điểm cực trị của hàm số
2.2 + 1 = 5

y f  x

là

4
5
3
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f '( x)  ( x  1) ( x  2) ( x  3) với x �R

Tìm số điểm cực trị của hàm số

g ( x)  f ( x )

x 1
�
�
f '( x )  0 � �
x2
�
x  3
�

Lời giải Ta có
Vì f '( x)  0 có 2 nghiệm bội lẻ (x = -3 và x = 2) nên hàm số y = f(x) có 2 điểm
cực trị.
g ( x)  f ( x )

Hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị dương nên
cực trị.
Bài 4: Có bao nhiêu số nguyên m �(10;10) để hàm số

có 2.1 + 1 = 3 điểm

3

y  x  3mx 2  3( m2  4) x  1

có đúng 5 điểm cực trị.

Lời giải
3

2
2
Hàm số y  x  3mx  3(m  4) x  1 có đúng 5 điểm cực trị.

3
2
2
� y  x  3mx  3( m  4) x  1 có hai điểm cực trị dương � y '  0 có hai nghiệm

dương.
x m2
�
y '  0 � 3 x 2  6mx  3(m 2  4)  0 � �
x  m  2 có hai nghiệm dương.
�

� m  2  0 � m  2 � m � 3;4;...;9

2.2 Bài toán mở rộng 1.

(vì

m �(10;10)

)

“Cho đồ thị của hàm số y  f ( x) . Hỏi số điểm cực trị

của hàm số y  f (| ax  b |)

22


Bài 1: Cho hàm số

y  f  x

có đồ thị như hình vẽ bên.


 có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số
Lời giải
Cách 1: + Từ đồ thị của hàm số y  f ( x) suy ra đồ thị hàm số
y  f x 1

y  f (| x  1|) .

Nhìn đồ thị ta thấy,hàm số

y  f  x 1 


có 7 điểm cực trị.

 x  1 . f '(| x  1|)

Cách 2: y '( x)  (| x  1|) '. f '(| x  1|) | x  1|

| x  1| 0
�
�
| x  1| 1
�
y '( x)  0 � �
| x  1| 2
�
| x  1| a
�

�
x 1  0
�

x 1
�
�
x  1; x  1
�
�
x2
�
x0
��
�
x3
�
x  1
�
�
(2  a  3)
x  a 1
�
x  a  1
�

Bảng xét dấu g’(x)
�
x �
-a+1

-1
0
1
2
3
a+1
y’
0
+
- 0 + || - 0 + 0 +
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 7 điểm cực trị .
Bài 4: Cho hàm số đa thức bậc bốn y  f ( x) có 3 điểm cực trị x  1; x  2; x  3 .
y  f( xm)
Có bao nhiêu số nguyên m �(10;10) để hàm số
có 7 điểm cực trị.
Lời giải

Hàm số

y  f(xm)

có 7 cực trị �

y  f( xm)

Các điểm cực trị của hàm số y  f ( x  m) là

Vậy ta có điều kiện là

có 3 điểm cực trị lớn hơn -m

x  m 1
x  1 m
�
�
�
xm2� �
x  2m
�
�
�
�
xm3
x  3 m
�
�

1  m  m
�
�
2  m   m � m � m � 9; 8;..;9
�
�
3  m  m
�

2.3 Bài toán mở rộng 2.

“Cho đồ thị của hàm số y  f ( x) . Hỏi số điểm cực trị

của hàm số y  f (| ax  b | c)  d

23


Bài 1: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình bên dưới.
Đồ thị hàm số h( x)  f (| x |)  2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải
Cách 1:
+ Từ đồ thị hàm số y  f ( x) suy ra đồ thị hàm số
y f(x)

+ Từ đồ thị hàm số

y f(x)

suy ra đồ thị hàm số

y  f(x)2

Nhìn đồ thị hàm số

y  f(x)2

ta thấy: Đồ thị hàm số

h( x)  f (| x |)  2 có 5 điểm cực trị.

Cách 2: Dựa vào nhận xét 2: Từ đồ thị ta thấy hàm số y  f ( x) có 2 điểm cực trị
dương nên hàm số

y f(x)

có 5 điểm cực trị.

Suy ra hàm số h( x)  f (| x |)  2 có 5 điểm cực trị (vì phép tịnh tiến không làm
thay đổi cực trị).
Bài 2: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm
số h( x)  f (| x | 2) có bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải
y f(x)
Từ đồ thị y  f ( x) suy ra đồ thị
bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f ( x) ở bên
phải trục tung (kể cả những điểm nằm trên trục tung).
+ Bỏ phần đồ thị hàm số

y  f ( x) ở bên trái trục tung.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  f ( x) ở bên phải trục tung qua
trục tung.
Từ đồ thị

y f(x)

suy ra đồ thị

Tịnh tiến đồ thị hàm số

y f(x)

y  f ( x  2)

bằng cách:

theo phương trục Ox sang phải 2 đơn vị.

24


Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số h( x)  f (| x | 2) có 5 điểm cực trị.
Bài 3: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị
hàm số g ( x)  f (| x  2 |)  1 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Lời giải
Cách 1:

Xét hàm số

g '( x ) 

Ta có

g ( x)  f  x  2   1

x2
f�
 x2
x2

| x  2 | 1
�
x2
�
�
|
x

2
|

0
g '( x)  0 � �
��
x 1
�
�
| x  2 | 1
�
x3
�
�
x2
�
Ta có g’(x) không xác định tại x  2 .

Bảng biến thiên

x
g’

g

�

�

1
0

2
||
-2

+

3
0

-

-3

�

+

�

-3


 ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Dựa vào BBT của hàm số
Bài 4 : Cho hàm số f ( x) liên tục trên �và có bảng xét dấu như hình vẽ:
g ( x)  f x  2  1

x
f’
f

�

+
�

0
0
f(0)

-

2
0

�

+

�

f(2)

Hàm số g ( x)  f (| 2 x  3 | 2) có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải
g '( x )  (| 2 x  3 | 2) '. f '(| 2 x  3 | 2)



2  2 x  3
. f '(| 2 x  3 | 2)
| 2x  3 |

x  5/ 2
�
�
x  1/ 2
��
�
| 2 x  3 | 2  0
x 7/2
�
g '( x)  0 � �
�
| 2 x  3 | 2  2
x  1/ 2
�
�

Bảng xét dấu g’(x)

25