Báo cáo đà lạt 08

Một số kết quả của Hình học và Giải tích vi phân
trong cấu trúc o-tối tiểu
Tạ Lê Lợi
Khoa Toán-Tin học, Đại học Đàlạt
Đà lạt, 26 tháng 10 năm 2008
Giới thiệu.
Bài này nêu một số kết quả chính của tác giả trong hơn 10 năm trở lại đây.
• Đối tượng nghiên cứu:
Là các đối tượng định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu.
Hiện nay là đối tượng chính của Hình học giải tích thực (từ sau 1990).
Là mở rộng tự nhiên và cần thiết của nhiều bài toán liên quan đến các hàm
phức tạp hơn lớp hàm:
- Semi-đại số (Whitney, Lojasiewicz, vào những năm 50)
- Sub-giải tích (Gabrielov, Hironaka, Hardt, Lojasiewicz và trường phái Kraków
vào những năm 70).
Các tiên đề về cấu trúc o-tối tiểu được đưa ra bởi Lou van den Dries (1980).
Có thể xem là một cách tiếp cận cho việc phát triển các phạm trù Hình học
thuần do Grothendieck đề xuất ở Esquisse d’un Programme (1984).
Trong những năm gần đây tính o-tối tiểu của nhiều cấu trúc đáng chú ý
đã được chứng minh và các kết quả thú vị đối với đối tượng thuần được xác
lập (chẳng hạn các kết quả của M. Coste, L van den Dries, A. Gabrielov, K.
Kurdyka, C. Miller, P. Speissegger, M. Shiota, A. Wilkie, ... và tác giả).
• Các bài toán quan tâm:
Thuộc lĩnh vực Hình học thực và Giải tích vi phân của lý thuyết
này.
(14B05, 14E5, 14J17, 14P10, 26E05, 26E, 32B20, 32S60, 28A78)
• Bố cục:
1. Cấu trúc o-tối tiểu trên (R, +, ·)
2. Các kết quả về phân tầng.
23
3. Ba định lý cơ bản của lý thuyết Kỳ dị.

4. Các bất đẳng thức kiểu Lojasiewicz.
5. Chặn trên cho độ đo Hausdorff.
Tài liệu dẫn.
1. Cấu trúc o-tối tiểu trên (R, +, ·)
1.1. Định nghĩa ([D] 1980). Một cấu trúc o-tối tiểu là một họ D = (D
n
)
n∈N
thoả:
(D1) D
n
là một đại số boole các tập con của R
n
.
(D2) Nếu A ∈ D
n
, thì A × R và R × A ∈ D
n+1
.
(D3) Nếu A ∈ D
n+1
, thì π(A) ∈ D
n
, với π là phép chiếu xuống n tọa độ đầu.
(D4) D
n
chứa mọi tập đại số {x ∈ R
n
: P (x) = 0}, với P ∈ R[X
1

, · · · , X
n
].
(D5) Mọi tập thuộc D
1
là hợp của hữu hạn các khoảng và các điểm.
Một tập trong D được gọi là định nghĩa được (trong cấu trúc đó).
ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc D là ánh xạ có đồ thị thuộc D.
1.2. Ví dụ. Các cấu trúc o-tối tiểu đáng chú ý là:
- Lớp tập semi-đại số (Tarski-1951).
- Lớp tập sub-giải tích compact tương đối (Gabrielov-1968)
- Cấu trúc sinh bởi hàm mũ (Wilkie và Khovanski-1991).
- Cấu trúc sinh bởi các hàm lũy thừa tổng quát (van den Dries và Miller-1994).
- Cấu trúc sinh bởi các hàm Pfaff (Wilkie-1996).
- Cấu trúc sinh bởi các hàm Gevrey (van den Dries và Speissegger-1997).
Trong báo cáo này, cố định một cấu trúc o-tối tiểu D, “định nghĩa được”
có nghĩa là định nghĩa được trong D.
2. Các kết quả về phân tầng.
Một C
p
phân tầng của R
n
là một phân hoạch S của R
n
thành hữu hạn
tập con, gọi là các tầng, sao cho:
(S1) Mỗi tầng là một đa tạp con lớp C
p
của R
n

và là tập định nghĩa được.
(S2) Với mỗi Γ ∈ S, Γ \ Γ là hợp của một số tầng.
Một C
p
phân tầng Whitney (t.ư. phân tầng Verdier) là một C
p
phân tầng
S sao cho Γ, Γ

∈ S, mà Γ ⊂ Γ

\ Γ

, thì (Γ, Γ

) thoả điều kiện Whitney (b)
(t.ư. điều kiện Verdier (w)) tại mỗi điểm của Γ.
2.1. Định lý (1998). Cho S
1
, · · · , S
k
là các tập định nghĩa được trong R
n
. Khi
đó tồn tại một C
p
phân tầng Verdier của R
n
tương thích với mỗi {S
1

, · · · , S
k
}.
24
Trong cấu trúc o-tối tiểu điều kiện (w) suy ra điều kiện (b), ta có
2.2. Định lý (1996, 1998, c.f.[DM][S]). Cho S
1
, · · · , S
k
là các tập định nghĩa
được trong R
n
. Khi đó tồn tại một C
p
phân tầng Whitney của R
n
tương thích
với mỗi {S
1
, · · · , S
k
}.
Cho X ⊂ R
n
định nghĩa được và f : X → R
m
định nghĩa được. Một C
p
phân tầng Whitney của f là (S, T ), với S và T là các C
p

phân tầng Whit-
ney của R
n
và R
m
, S tương thích với X và nếu Γ ∈ S mà Γ ⊂ S, thì tồn tại
Φ ∈ T , f|
Γ
: Γ → Φ là một C
p
submersion.
2.3. Định lý (1996,1998, c.f.[DM][S]). Cho f : X → R
m
là ánh xạ định
nghĩa được. Khi đó tồn tại C
p
phân tầng Whitney của f.
Cho f : X → R là định nghĩa được. Cho S là một phân tầng của f.
Với x ∈ Γ, ký hiệu T
x,f
= ker d(f|
Γ
)(x).
Cho Γ, Γ

∈ S với Γ ⊂ Γ

\ Γ

.

Cặp (Γ, Γ

) được gọi là thoả điều kiện Thom tại y
0
∈ Γ nếu:
(a
f
) nếu dãy (x
k
) in Γ

, hội tụ về y
0
, thì δ(T
y
0
,f
, T
x
k
,f
) → 0
Cặp (Γ, Γ

) được gọi là thoả điều kiện Thom chặt tại y
0
nếu:
(w
f
) tồn tại C > 0 và lân cận U của y

0
, sao cho
δ(T
y,f
, T
x,f
) ≤ Cx − y với mọi x ∈ Γ

∩ U, y ∈ Γ ∩ U.
2.4. Định lý (1997).Tồn tại C
p
phân tầng của f thoả điều kiện Thom (a
f
)
tại mọi điểm của mỗi tầng.
Nói chung, hàm định nghĩa được không có phân tầng thoả (w
f
).
Ví dụ: f : (a, b) × (0, +∞) → R, f(x, y) = y
x
.
2.5. Định lý(1998). Giả sử D bị chặn kiểu đa thức. Khi đó tồn tại C
p
phân
tầng của f thoả điều kiện (w
f
) tại mọi điểm của mỗi tầng.
2.6. Hệ quả (2002, 2004, c.f.[C]). Cho f : X × T → R, (x, t) → f
t
(x), là

họ các hàm định nghĩa được. Khi đó tồn tại phân hoạch T = ∪
k
i=1
T
i
bởi các
đa tạp lớp C
p
định nghĩa được, sao cho khi t và t

cùng thuộc T
i
, thì f
t
và f

t
là tương đương topo.
Hệ quả trên mở rộng kết quả của Fukuda (1976) chứng minh kiểu topo của
25
hàm đa thức trên R
n
bậc ≤ d là hữu hạn.
3. Ba định lý cơ bản của lý thuyết Kỳ dị.
Gọi D
p
(N, M) là không gian các hàm từ đa tạp N vào M, định nghĩa được,
lớp C
p
. Không gian này trang bị topo Whitney định nghĩa được.

Cho X là tập con của R
n
và S là một C
p
phân tầng Whitney của X. Một
hàm Morse f trên X là hạn chế của một hàm
˜
f : R
n
→ R lớp C
p
, thoả:
(M1) Với mỗi S ∈ S, các điểm tới hạn của f|
S
là không suy biến.
(M2) Với mọi điểm tới hạn x ∈ S của f|
S
, và mỗi không gian tiếp xúc suy
rộng Q tại x mà Q = T
x
S, thì d
˜
f(x)|
Q
= 0
3.1 Tính mở và trù mật của các hàm Morse (2006). Tập các hàm định
nghĩa được lớp C
p
trên R
n

mà là hàm Morse trên X và có các giá trị tới hạn
khác nhau là mở và trù mật trong D
p
(R
n
, R).
3.2 Định lý Morse-Sard (2008). Cho f : M → R
n
là định nghĩa được,
lớp C
1
. Đặt
Σ
s
(f) = {x ∈ M : rank df(x) < s}
Khi đó C
s
(f) = f (Σ
s
(f)) là tập định nghĩa được có chiều Hausdorff < s.
Định nghĩa không gian các r-tia định nghĩa được là
J
r
D
(N, M) = {j
r
f ∈ J
r
(N, M) : f ∈ D
r

(N, M)}
3.3. Định lý hoành (2008). Cho A là họ hữu hạn các đa tạp lớp C
1
định
nghĩa được của J
r
D
(N, M) (0 < r < p). Khi đó tập
τ
r
(A) = {f ∈ D
p
(N, M) : j
r
f hoành với mỗi phần tử của A}
là trù mật trong D
p
(N, M).
Hơn nữa, nếu A là phân tầng một tập đóng và thoả điều kiện Whitney (a),
thì τ
r
(A) là mở trong D
p
(N, M).
4. Các bất đẳng thức kiểu Lojasiewicz.
4.1. Tính bị chặn đều (1996, c.f.[DM]). Cho f : X × R → R là hàm
định nghĩa được. Khi đó tồn tại hàm định nghĩa được ϕ : R → R sao cho
|f(x, t)| ≤ ϕ(t) , khi t đủ lớn.
26
Gọi Φ

p
là tập mọi hàm chẵn, lớp C
p
, tăng trên R
+
, định nghĩa được và p-phẳng
tại 0.
4.2. Định lý (1994, c.f.[DM], [Ku]).
(i) Cho f, g : X → R là các hàm liên tục, định nghĩa được trên tâp đóng X
trong R
n
. Giả sử f
−1
(0) ⊂ g
−1
(0). Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φ
p
và hàm liên
tục h trên X sao cho ϕ(g) = hf.
Đặc biệt, tồn tại ϕ, ϕ

∈ Φ
p
sao cho
|f(x)| ≥ ϕ(|g(x)|), ∀x ∈ X,
|f(x)| ≥ ϕ

( dist(x, f
−1
(0)), ∀x ∈ X,

(ii) Cho X, Y là các tập đóng trong R
n
. Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φ
p
sao cho
dist(x, X) + dist(x, Y ) ≥ ϕ(dist(x, X ∩ Y )), ∀x ∈ R
n
.
(iii) Cho f : U → R là hàm lớp C
1
định nghĩa được trên tập mở U của R
n
.
Giả sử 0 ∈ U và lim
x→0
f(x) = 0. Khi đó tồn tại p ∈ N, ϕ ∈ Φ
p
sao cho
|gradf(x)| ≥ ϕ
−1
(|f(x)|), khi x ∈ U gần 0.
Ghi chú:
- Nếu D là bị chặn kiểu đa thức thì ϕ có dạng ϕ(t) = C|t|
α
, α > 0.
- Nếu D là bị chặn kiểu mũ thì ϕ(t) =
C
exp
m
(1/|t|)

, m ∈ N.
5. Chặn trên cho độ đo Hausdorff.
Với k ≤, đặt Λ(m, k) là tập mọi hàm tăng từ {1, · · · , k} vào {1, · · · , m}.
Với λ ∈ Λ(m, k), tương ứng p
λ
: R
m
→ R
k
, p(x
1
, · · · , x
m
) = (x
λ(1)
, · · · , x
λ(k)
).
Cho A là tập con của R
m
. Định nghĩa
B
0,m−k
(A) = sup{B
0
(A ∩ p
−1
λ
(y)) : λ ∈ Λ(m, k), y ∈ R
k

}
Ghi chú: Khi A định nghĩa được, thì B
0,m−k
(A) hữu hạn. Hơn nữa, nếu A là
semi-đại số, thì B
0,m−k
(A) bị chặn bởi hằng số chỉ phụ thuộc lược đồ của A.
Cho A ⊂ R
m
là tập semi-đại số A =

p
i=1

j
i
j=1
A
ij
, A
ij
có dạng
{(x
1
, · · · , x
m
) ∈ R
m
: p
ij

(x
1
, · · · , x
m
) ≥ 0}, hay
{(x
1
, · · · , x
m
) ∈ R
m
: p
ij
(x
1
, · · · , x
m
) > 0}
với p
ij
là các đa thức bậc d
ij
.
Bộ D = D(A) = (m, p, j
1
, · · · , j
p
, (d
ij
)) được gọi là lược đồ của A.

5.1. Độ đo Hausdorff (2008 với P. Phiến). Nếu A, B là các tập định nghĩa
được trong R
m
, có chiều k. Giả sử B compact và A ⊂ B. Khi đó
27