1 số vấn đề về bất đẳng thức đối xứng ba biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (387.05 KB, 65 trang )
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Lời nói đầu
Trong những năm qua, việc bảo vệ môi trờng đà trở thành một vấn đề
rất quan trọng và đó là một vấn đề bức xúc trên phạm vi nớc ta nói riêng và
trên phạm vi toàn thế giới nói chung. Sự phát triển mạnh mẽ của các ngành
công nghiệp đà làm cho mức độ ô nhiễm môi trờng tăng lên và nó không chỉ
ảnh hởng tới một khu vực nào đó mà còn ảnh hởng tới cả các vùng lân cận
trên một diện rộng. Trong khi đó, các ngành công nghiệp tiếp tục phát triển
không ngừng và một vấn đề đặt ra là đặt các nhà máy công nghiệp đó ở đâu để
mức độ ô nhiễm do nhà máy đó gây ra là nhỏ nhất đối với môi trờng xung
quanh.
Sự phát triển công nghiệp nhanh chóng trên toàn thế giới đà đặt ra một
bài toán cho toàn bộ loài ngời đó là giải quyết nguồn độc hại mà nhà máy
công nghiệp đó gây ra đối với hệ sinh thái và ảnh hởng trực tiếp đến con ngời.
Hiện nay nhiều thành phố trên thế giới đà ở trong tình trạng báo động về mức
độ ô nhiễm. Và càng ngày mức độ độc hại đó càng tăng do đó dẫn đến không
khí bị ô nhiễm và sức khoẻ của con ngời bị ảnh hởng nghiêm trọng. Rất nhiều
nhà khoa học đà nghiên cứu vấn đề này và đà tìm rất nhiều các phơng pháp tối
u để đặt các nhà máy công nghiệp sao cho mức độ độc hại do nhà máy công
nghiệp đó gây ra cho con ngời là nhỏ nhất. Đây là một bài toán rất phức tạp và
khó giải quyết. Một trong những công cụ toán học hữu hiệu nhất để giải bài
toán đó là dùng phơng trình truyền tải và khuyếch tán, đặc biệt là phơng trình
liên hợp của nó. Ngày nay khi khoa học phát triển rất mạnh mẽ, đặc biệt là sự
ra đời của máy tính đà hỗ trợ rất nhiều cho việc tính toán, đà giảm đợc rất
nhiều khối lợng tính toán và có độ chính xác cao hơn. Kết quả chính trong
luận án là cách xác định tối u vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các
yêu cầu về môi trờng. Luận ¸n bao gåm c¸c phÇn chÝnh nh sau:
Tèi u ho¸
-1-
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Chơng I. Cơ sở toán học
Mục đích chính của chơng này là nêu nên cơ sở toán học thuần tuý, cụ
thể là phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất trong không khí, đồng
thời cũng đa ra dạng phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch
tán vật chất và cách giải bài toán đó.
Chơng II. Mô hình xác định vị trí tối u đặt nhà máy công nghiệp
Trong chơng này nêu nên cách xác định vị trí đặt nhà máy sao cho tối u
nhất theo nghĩa là mức độ ảnh hởng do nhà máy đó gây ra cho các vùng xung
quanh là thoả mÃn yêu cầu về độ ô nhiễm môi trờng cho trớc.
Chơng III. Chơng trình và kết quả thử nghiệm
Chơng này đa ra một chơng trình minh hoạ phơng pháp giải bài toán
truyền tải và khuyếch tán, chơng trình đợc viết bằng ngôn ngữ Pascal, chơng
trình tính đợc nồng độ tạp chất trong một miền G cho trớc.
Chơng IV. Kết luận.
Cuối cùng là phần phụ lục có đa ra một số cơ sở toán để áp dụng trong quá
trình tính toán và mô hình tổng quát.
Em xin cảm ơn PGS.TS Bùi Minh Trí, TS Nguyễn Lơng Bách cùng các
bạn trong nhóm đà giúp đỡ, góp ý để em có thể hoàn thành tốt đồ án tốt
nghiệp này.
Hà nội 2003
Mục lục
Lời nói đầu.........................................................................................................1
Mục lục..............................................................................................................3
Chơng I
Cơ sở toán häc...................................................................................................5
Tèi u ho¸
-2-
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
I.1. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất...............................5
I.1.1. Phơng trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong
không khÝ. TÝnh duy nhÊt cđa nghiƯm.....................................................5
I.1.2. Sù xÊp xØ khuch tán và tính duy nhất của nghiệm của bài
toán truyền tải và khuyếch tán vật chất...................................................8
I.1.3. Phơng trình khuyếch tán đơn giản...................................15
I.1.4. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều..............20
I.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật
chất........................................................................................................22
I.2.1. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
đơn giản
..........................................................................................22
I.2.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
hai chiều..........................................................................................29
I.2.3. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp......................32
I.3. Thuật toán giải phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và
khuyếch tán vật chất trong trờng hợp hai chiều...................................34
I.4. Tính ổn định của lợc đồ sai phân và tính không âm của nghiệm bài
toán........................................................................................................36
I.4.1. Tính ổn định của lợc đồ sai phân.....................................36
I.4.2. Tính không âm của nghiệm bài toán ................................38
Chơng II
Mô hình xác định đặt nhà máy công nghiệp ..................................................40
II.1. Phát biểu bài toán .........................................................................40
II.2. Trờng hợp chỉ có một nhà máy cần đặt trong miền G ................42
II.1.1. Đặt bài toán .....................................................................42
II.2.1 Chuyển bài toán tối u về dạng liên hợp ..........................46
II.3. Các mở rộng khác..........................................................................49
II.3.1. Trờng hợp cần đặt nhiều nhà máy công nghiệp trong miền
G...................................................................................................49
Tối u hoá
-3-
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
II.3.2. Đánh giá sự mất cân bằng sinh thái do các tác động của
chất
thải
công
nghiệp.............................................................................56
Chơng III
Chơng trình và Kết quả thử nghiệm...............................................................60
III.1. Chơng trình minh họa phơng pháp giải bài toán truyền tải và
khuyếch tán vật chất..............................................................................60
III.2. Kết quả thử nghiệm .....................................................................64
Chơng IV. Kết luận........................................................................................71
Phụ lục.............................................................................................................72
Tài liệu tham khảo ..........................................................................................77
CHơng I. Cơ sở toán học
I.1. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất
Sự ô nhiễm vật chất đang lan trong không gian theo søc giã bao gåm
mét sè sù thay ®ỉi nhÊt định. Sự thay đổi trung bình của vật chất đà làm cho
dòng đối lu thay đổi, và sự thay đổi trung bình của nó có thể đợc xét nh là sự
khuyếch tán trở lại mặt đất của dòng khí. Vấn đề của chúng ta là xét đến
những mô hình tham biến cho sự truyền tải và khuyếch tán vật chất. Cơ sở
toán học mô tả quá trình này là phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất.
Tối u hoá
-4-
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
I.1.1. Phơng trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong không khí.
Tính duy nhất của nghiệm.
Cho mx,y,z,t) là nồng độ tạp chất trong không khí. Xét bài toán trong
một miền hình trụ G với biên S có tiết diện mặt bên hình trụ là , tiết diện đáy
là 0 mtại z=0), và tiết diện mặt trên là H mtại z=H). Chúng ta viết vectơ dòng
chảy theo một hớng nhất định, đây là một hàm của x,y,z,t, là
mvới
i
u u i v j w k
, j , k lµ vectơ đơn vị của các trục x,y,z tơng ứng). Sự truyền tải vật
chất đợc mô tả bởi phơng trình sau:
t
=0
Dạng khai triển của phơng trình này là:
u
v
w
0
t
x
y
z
m1.1.1)
Phơng trình để đảm bảo tính trơn sau:
0
x
y
z
m1.1.2)
Từ đó chúng ta có phơng trình:
t
+div u =0
m1.1.3)
Dới đây chúng ta xét div u =0, sau đó giả sử rằng:
w=0, tại z=0, z=H
Từ m1.1.3) sử dụng đồng nhất thức sẽ đợc:
u
v
w
div u div u
x
y
z
điều này là hợp lý nếu hàm và
u
m1.1.4)
m1.1.5)
là khác nhau. Với các giả thiết trên ta có
thể đa m1.1.5) trở thành:
u
v
w
div u
x
y
z
m1.1.5)
Đây là một mối tơng quan rất quan trọng và nó sẽ đợc sử dụng thờng xuyên
trong các phần sau.
Phơng trình m1.1.3) thoả mÃn điều kiện đầu là:
=0 tại t=0
m1.1.6)
và điều kiện trên biên S của miền G là:
=S trên S với un<0
m1.1.7)
với 0 và S là hàm đà cho và un là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy trên
vectơ pháp tuyến ngoài của biên S. Điều kiện m1.1.7) định nghĩa mức độ ô
Tối u ho¸
-5-
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
nhiễm trong miền G. Nghiệm chính xác của bài toán đợc cho bởi phơng trình
m1.1.3) là xác định đợc nếu hàm u,v,w là biết đợc trong không gian và thời
gian.
Phơng trình m1.1.3) có thể đợc tổng quát hoá. Ví dụ, nếu hệ số phân
huỷ, lắng đọng 0 trong miền G, khi đó phơng trình sẽ trở thành:
t
+div u +=0
m1.1.8)
Nghiệm này sẽ đợc cụ thể nếu u=v=w=0 trong phơng trình m1.1.8). Bây
giờ ta xét phơng trình
t
+=0, và nghiệm của nó là
=0expm-t)
nghiệm có dạng hàm mũ, còn 0 là giá trị ban đầu.
Nếu miền nghiệm chứa nguồn thải đợc mô tả bởi hàm fmx,y,z,t), khi đó
phơng trình m1.1.8) trở thành:
t
+div u +=f
m1.1.9)
Bây giờ chúng ta trở lại nghiên cứu bài toán đà phát biểu ở trên và điều
kiện để dẫn tới m1.1.9). Bằng cách nhân m1.1.9) với và lấy tích phân trên toàn
miền xác định [0,T] và G ta đợc:
T
T
T
2
2
u 2
2
dG
|
dG
|
dt
div
dG
dt
dG
dt f dG
t
T
t
0
2
2
2
G
G
0
G
0
G
0
G
m1.1.10)
áp dụng công thức Ostrogradsky-Gauss nh sau:
div
G
u 2
u 2
dG n dS
2
2
S
m1.1.11)
Víi tÝnh chÊt m1.1.4) un sÏ triƯt tiªu khi z=0, z=H, do đó tích phân trên S trong
m1.1.11) có thể đợc thay thế bởi tích phân trên bề mặt hình trụ , có để ý đến
điều kiện m1.1.4). Điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán bây giờ trở
thành:
=0 tại t=0
=S trên S cho un<0
m1.1.12)
trong đó 0 và S là cho trớc, từ phơng trình m1.1.10) chúng ta có đợc
T
T
u n S2
02
T2
2
dG
dt
dS
dt
dG
2
2
2 dG
G
0
G
0
G
G
m1.1.13)
với
u n ={un,nếu
Tối u hoá
un>0, hoặc 0 nếu un<0}
-6-
T
T
u n S2
dt
dS
dt f dG
2
0
G
0
G
Đồ án tốt nghiệp
u n
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
=un- u n
Đẳng thức m1.1.13) là cơ sở để chứng minh tính duy nhất của nghiệm
bài toán đợc mô tả bởi phơng trình m1.1.9) và m1.1.12). Thực vậy, giả sử chúng
ta có hai nghiệm khác nhau gọi là 1 và 2 thoả mÃn phơng trình m1.1.9) và
điều kiện m1.1.12). Khi đó bài toán cho độ lệch =1-2 là:
t
+div u +=0
m1.1.14)
=0 tại t=0,
=0 trên S nếu un<0
Phơng trình m1.1.13) cho hàm sÏ cã d¹ng
m1.1.15)
T
T
u n S2
T2
dG dt
dS dt 2 dG 0
2
2
G
0
G
0
G
m1.1.16)
Nếu 0, thì tất cả các tích phân bên vế trái đều dơng, do đó đẳng thức
này xảy ra khi và chỉ khi =0, tức là 1=2. Vì vậy bài toán có nghiệm duy
nhất.
Trong trờng hợp các thành phần của vectơ hớng gió là các hàm khác
nhau thì chúng ta cũng chứng minh tơng tự đợc nó có duy nhất nghiệm và
nghiệm đó luôn luôn tồn tại.
Từ đó ta đi tới bài toán nh sau:
t
+div u +=f
m1.1.17)
=0 tại t=0
=S trên biên S với un<0
bài toán nµy cịng nã cã nghiƯm duy nhÊt.
m1.1.18)
I.1.2. XÊp xØ sù khuyếch tán và tính duy nhất nghiệm của bài toán truyền
tải và khuyếch tán vật chất
Những mô hình cho sự truyền tải các chất gây ô nhiễm trong không
gian từ nguồn chất thải đợc xét đến ở đây không để ý đến các yếu tố tác động
bên ngoài nh sức gió, nguồn ô nhiễm từ bên ngoài..., các mô hình đó chỉ mới
xét đến trờng hợp u=v=w=0, do đó bài toán trở nên đơn giản hơn.
Khi đó bài toán truyền tải vật chất trở thành:
t
Tối u hoá
+=f
m1.2.1)
-7-
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
=0 tại t=0
Nếu f không phụ thuộc vào t, nghiệm sẽ là
=0e-t+
f
(1 e t )
m1.2.2)
nếu t đủ lớn thì bài toán sẽ đợc xấp xỉ thành =f, tức là =f/. Đây cũng là
nghiệm xấp xỉ của bài toán m1.2.1).
Mô hình đơn giản này không mô tả đợc tính chất chính của sự truyền tải
vật chất trong không gian của hàm nguồn f. Trên thực tế, chúng ta chỉ biết đợc
sự ô nhiễm trong không khí nếu nó đang phân tán trong phạm vi lân cận của
nguồn thải f.
Xét trờng hợp đơn giản nh sau:
Giả định rằng chúng ta chia hàm a thành tổng của hai thành phần là giá
trị trung bình a và thành phần sai số a, tức là a= a +a, với
a<< a
m1.2.3)
điều này có nghĩa rằng sự sai số của a là rất nhỏ. Ta lại giả sử rằng giá trị
trung bình của a đợc tính theo công thức sau
a=
1
T
t T
1
T
t T
adt
m1.2.4)
t
và
a'
a' dt 0
m1.2.5)
t
Nếu nh quá trình xử lý thoả mÃn điều kiện m1.2.3)-m1.2.5), chúng ta có
thể áp dụng phơng pháp dới đây để xác định đợc sự truyền tải vật chất trong
không gian trong các trờng hợp khác nhau.
Lấy tích phân của phơng trình m1.1.8) trên khoảng tt+T
t T
t T
(t T ) (t )
div u dt dt =0
T
t
t
Giả sử rằng = ' và
u u u ' ,
m1.2.6)
nh trong phơng trình m1.2.4), chúng ta nhận
đợc từ m1.2.6) nh sau
(t T ) (t )
div u div u ' ' 0
T
m1.2.7)
hoặc tơng đơng với
(t T ) (t )
' (t T ) ' (t )
div u div u ' '
T
T
Tèi u ho¸
-8-
m1.2.8)
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Tiếp theo ta viết các hàm nồng độ nh sau: , =a. Với giả sử
rằng , thế thì a<< và có a/=<<1. Do đó phơng trình m1.2.8) đợc viết
lại là
(t T ) (t )
div u div u ' ' o(1)
T
T
m1.2.9)
víi om1) sai phân bậc một của . Khi đó vế phải của m1.2.9) là nhỏ bởi vì có
tham biến /T, và có thể bỏ qua. Kết quả sẽ thu đợc lµ
(t T ) (t )
div u div u ' ' 0
T
NÕu hµm
m1.2.10)
mt) biÕn thiên nhỏ trong khoảng thời gian T, chúng ta có thÓ
thay (t T ) (t ) bằng vi phân
T
t
từ đó đi tới phơng trình cho các thành
phần trung bình nh sau
div u div u ' ' 0
t
m1.2.11)
phơng trình này khác với m1.1.8) là cã sù xt hiƯn cđa
div u ' ' .
NÕu c¸c thành phần của vectơ dòng chảy có dạng sau thì nghiệm của
bài toán đợc xác định:
u ' '
x
,
v ' '
y
,
w' '
z
m1.2.12)
ở đây 0 và 0 là hệ số khuyếch tán theo chiều ngang và chiều đứng tơng
ứng, các hệ số này là xác định.
Thế m1.2.12) vào m1.2.11), chúng ta có thể xấp xỉ sự khuyếch tán của các
chất gây ô nhiễm trong không khÝ lµ
divu D
t
m1.2.13)
víi
D
x
x
y
y
z z
m1.2.14)
TÊt nhiên phơng trình m1.2.13) cần phải có điều kiện trơn sau
div u =0
m1.2.15)
và điều kiện ban đầu sau
tại t=0
m1.2.16)
với những điều kiện biên cho trớc thì bài toán trên cã nghiƯm duy nhÊt.
0
Tèi u ho¸
-9-
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Chúng ta nhân m1.3.13) với hàm rồi lấy tích phân trong khoảng
0tT và miền G:
T2
2 dG
G
2
T
T
T
2 2
02
u n 2
2
dG
dt
dS
dt
dG
dt
2
x y z dG
2
G
0
S
0
G
0
G
T
dt
d
d
d
z
z
n
0
H
0
m1.2.17)
ở đây T=mT), 0=m0),
n
là đạo hàm riêng theo hớng vectơ pháp tuyến
của bề mặt . Gọi lại rằng S là tổng số bề mặt của miến G, là bề mặt hình
trụ, H là phần mặt cắt ngang hình trụ khi z=H, 0 là phần mặt cắt ngang của
hình trụ khi z=0. Phơng trình m1.2.17) đợc viÕt thµnh:
2
2
2
T
T
u n 2
T2
dG
dt
dS
dt
dG
y
2
2
x
z
G
0
S
0
G
T
T
2
2
u
dt 2 dG 0 dG dt n dS
2
0
G
G 2
0
S
T
dt
d
d
n
z
0
H
0
d
z
m1.2.18)
XÐt điều kiện biên dới đây:
=S trên khi un<0
n
=0 trên khi un0
z
trên 0,
0
z
trên H
m1.2.19)
ở đây 0 là hàm định nghĩa sự tác động của chất ô nhiễm dới lớp bề mặt.
Ngoài ra ta còn có:
w=0 tại z=0, z=H
m1.2.20)
Sử dụng các điều kiện m1.2.19), m1.2.20) và điều kiện đầu m1.2.16) ta thu đợc
mối tơng quan sau:
Tối u hoá
- 10 -
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
2
2
2
T
T
u n 2
T2
dG
dt
d
dt
dG
2
2
x
y
z
G
0
0
G
T
T
T
2
u 2
dt 2 dG dt 2 d 0 dG dt n S d
2
2
0
G
0
0
G
0
T
dt
0
d
n
m1.2.21)
ở đây S đợc thay bằng .
B©y giê chóng ta chøng minh r»ng nghiƯm cđa nã là duy nhất. Bằng phơng pháp phản chứng, giả sử rằng có hai nghiệm 1 và 2 khác nhau thoả mÃn
m1.2.13), điều kiện ban đầu m1.2.16), điều kiện biên m1.2.19) và các điều kiện
khác. Do đó hàm độ lệch =1-2 đợc viết dới dạng phơng trình nh sau:
+div u +=D
m1.2.22)
t
với điều kiện ban đầu
=0 tại t=0
và điều kiện biên
m1.2.23)
=0 trên khi un<0,
0
n
z
0
z
trên khi un0
m1.2.24)
trên 0
trên H
Với bài toán này thì m1.2.21) đợc viết lại thành
T2
G
2
T
dG
u
dt n
2
0
2
T
d
dt
x
0
G
2
y
2
T
T
dt
0
2
dG
G
m1.2.25)
V× các giá trị
u n ,
, , , trong phơng trình m1.2.25) là không âm,
nên chỉ có trờng hợp =0 tức là 1=2 thì đẳng thức trên mới xảy ra. Do đó
nghiệm của bài toán là duy nhất. Để cho đơn giản, có thể giả sử rằng ở đây
Tối u ho¸
- 11 -
dt
0
0
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
hàm f=0. Khi đó sự ảnh hởng của một nguồn thải sẽ đợc tính nh trong phần
trên.
Khi công xuất nguồn thải khác 0, bài toán đợc xét cũng có nghiệm duy
nhất trong sự xấp xỉ khuyếch tán, miễn là các dữ liệu đầu vào phải thoả mÃn
các điều kiện đủ trơn. Khi đó bài toán có dạng nh sau:
div u D f
t
=0 tại t=0
=S trên khi un<0
n
=0 trên khi un0
z
trên 0,
0
z
trên H
m1.2.26)
Giả sử rằng vectơ vận tốc không thay đổi trong một khoảng thời gian nhất
định tức là
div u =0 và w=0 tại z=0, z=H
Trong trờng hợp nh vậy thì bài toán m1.2.26) có dạng đơn giản hơn, và
bài toán này đôi khi đợc sử dụng để tính toán, bài toán này cũng có nghiệm
duy nhất. Dạng toán học nh sau:
div u D f
t
=0
=S
tại t=0
trên
z
trên 0,
0
z
trên H
m1.2.27)
Để làm rõ hơn chúng ta biểu diễn toán tử D mđà đợc định nghĩa trong phơng
trình m1.2.14)) thành hai thành phần nh sau
2
2
2
2
z z
y z z
x
D=
Để dễ dàng cho việc phân tích và tính toán, chúng ta giả sử rằng hệ số
khuyếch tán không phụ thuộc vào cả không gian và thời gian.
Bây giờ ta có thể xét bài toán ba chiều tổng quát, nhng có nhiều trờng
hợp mà hai chiều mx,y) đợc xấp xỉ phù hợp với phơng trình m1.2.26) hoặc
Tối u hoá
- 12 -
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
m1.2.27). Ví dụ, đối với phơng trình m1.2.27) khi ta lấy tích ph©n däc theo
chiỊu cao, ta cã
H
H
H
H
H
H
dz
div
u dz dz
dz dz fdz
t 0
z z
0
0
0
0
0
m1.2.28)
Giả sử các thành phần theo chiều ngang u, v của vectơ dòng chảy không
phụ thuộc vào độ cao đối với sự truyền tải và khuyếch tán vật chất, chúng ta
cã
H
div u dz
0
H
H
H
u dz
v dz w | zz
0
x 0
y
0
m1.2.29)
Vì w triệt tiêu tại z=0 và z=H, nªn
H
div u dz
0
H
H
u dz
v dz
x 0
y 0
m1.2.30)
Khi đó chúng ta đi tới phơng trình cân bằng nh sau
H
z
0
z H
dz
| z 0
| z 0
z
z
z
m1.2.31)
z
Khi sử dụng điều kiện biên
tại z=0 thì phơng trình trên có thể viết
gọn lại thành
H
z
0
dz | z 0
z
Nếu xấp xỉ nồng độ tạp chất tại z=0 bằng
| z 0
1
H
H
dz
0
Thì sẽ thu đợc kết quả ci cïng nh sau
H
1
dz
z z
H
0
H
dz
0
m1.2.32)
BiĨu diƠn ®é ô nhiễm không khí và hàm nguồn qua tích phân mang tÝnh
ph©n phèi nh sau
H
H
dz , f fdz
0
0
Khi đó thay vào phơng trình m1.2.28) ta thu đợc
Tối u ho¸
- 13 -
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
u v
f
dt
dx
dy
víi . ở đây
H
không khí, còn m
H
m1.2.33)
là tổng độ lắng đọng của chất gây ô nhiễm trong
) là độ lắng đọng trên bề mặt trái đất.
I.1.3. Phơng trình khuyếch tán đơn giản
Ta xét bài toán đơn giản nhất của phơng trình truyền tải và khuyếch tán
vật chất đó là bài toán một chiều đợc mô tả toán học nh sau
d 2
Q ( x x0 )
dx 2
m1.3.1)
với -
toàn bộ miền đang xét. Chú ý rằng hàm nguồn f trong phơng trình m3.1) có
dạng đặc biệt, nó là tích của cờng độ phun thải Q với một hàm dirac mx-x0).
Hàm dirac đợc định nghĩa nh sau
mx-x0)=
1
0
nếu x x 0
nÕu x x 0
Chóng ta lÊy tích phân phơng trình m1.3.1) trong lân cận của điểm x0 ta đợc
x0 / 2
d
dx x |
x0 / 2
x0 / 2
d
| x / 2 Q
x 0
Cho tiến dần đến 0, ta có
d
d
| x0
| x Q 0
x
x 0
m1.3.2)
Chóng ta hÃy xét hai khoảng nghiệm -
d 2
0
dx 2
m1.3.3)
+=0 khi x+
vµ
d 2
2 0
dx
m1.3.4)
-=0 khi x-
Tổng hợp các nghiệm lại sẽ cho điều kiện biên tại x=x0
d
d
Q 0
x
x
Tối u hoá
tại x=x0
m1.3.5)
- 14 -
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
điều kiện dới đây thể hiện tính liên tục của bài toán tại mọi điểm kể cả x=x0
+=- tại x=x0
m1.3.6)
Ta có thể dễ dàng thấy nghiệm của bài toán m1.3.3) và m1.3.4) lµ
+=C+expm
/ ( x x 0 )) ,
-= C-expm
/ ( x 0 x))
m1.3.7)
ThÕ vào phơng trình m1.3.5) và m1.3.6) ta thu đợc hai phơng trình tuyến tính và
thu đợc kết quả sau
C+= C-= 2
Q
Do đó nghiệm của bài toán m1.3.1) đợc biểu diễn díi d¹ng sau
( x)
exp(
Q
2
exp(
/ ( x x 0 ))
cho x x 0
/ ( x 0 x ))
cho x x 0
m1.3.8)
và đồ thị của nó đợc minh hoạ trong hình 1 dới đây
y
mx)
0
x0
x
Hình 1. Đồ thị mô tả nghiệm của phơng trình truyền tải và
khirằng
vận tốc dòng chảy bằng không
Ta có thể chứngkhuyếch
minh dễtán
dàng
Q
( x)dx
Bây giờ chúng ta xét trờng hợp mà vectơ vận tốc dòng chảy là khác 0 và
có thể coi làhằng số và dơng. Khi đó ta sẽ có phơng trình sau
u
d
d 2
2 Q ( x x0 )
dx
dx
m1.3.9)
với x chạy trong khoảng -
d 2
d
u 0
2
dx
dx
0 khi x
m1.3.10)
và
Tối u hoá
- 15 -
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
d 2
d
u 0
2
dx
dx
0 khi x
m1.3.11)
Tổ hợp hai phơng trình này lại ta ®ỵc
d
d
Q 0
dx
dx
tại x x 0
m1.3.12)
Nghiệm của bài toán m1.3.10) và m1.3.11) lần lợt là
C exp
C exp
u2
u
(
x
x
)
, x x 0
0
4 2 2
u2
u
( x 0 x), x x 0
2
4
2
m1.3.13)
Thế vào phơng trình m1.3.12), chúng ta đợc C+=C-=C và
C+=C-=C=
Q
4 u 2
Nghiệm cuối cùng cã d¹ng
( x)
Q
4 u
2
exp
exp
u2
u
2
4 2
( x x )
,
0
x x 0
u2
u
2
4 2
( x 0 x)
,
x x 0
m1.3.14)
đồ thị của nó có dạng sau
y
mx)
0
x0
x
Hình 2. Đồ thị mô tả dáng điệu của nghiệm bài toán truyền tải
và khuyếch tán khi vectơ vận tốc dòng chảy khác không
Bây giờ chúng ta xét một bài toán phức tạp hơn đó là khi hớng gió thay
đổi sau một khoảng thời gian nào đó ví dụ trong một khoảng thời gian dài với
giá trị dơng của x mu1>0) và đổi hớng ngợc lại với giá trị âm u2<0. Khi đó ta sẽ
có hai nghiệm sau
Tối u hoá
- 16 -
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Q
1 ( x )
4 u12
exp
exp
u12
| u1 |
( x x )
,
0
2
4 2
x x 0
u12
| u1 |
( x x)
,
0
2
4 2
x x 0
exp
exp
u 22
| u2 |
( x x )
,
0
2
4 2
x x 0
u 22
| u2 |
( x x)
,
0
2
4 2
x x 0
m1.3.15)
Q
2 ( x)
4 u 22
m1.3.16)
NÕu chu kì dơng là t1 ngày, còn chu kì âm là t2 ngày, khi đó nồng độ
đợc tính theo công thøc
( x)
t1
t 2
1 ( x )
2 ( x)
t1 t 2
t1 t 2
m1.3.17)
Nghiệm m1.3.17) đợc minh hoạ trên hình dới đây
y
mx)
0
x0
x
Hình 3. Đồ thị mô tả nghiệm trong trờng hợp vectơ
hớng gió thay đổi ngợc chiều nhau trong một khoảng
thời gian nhất định
Cuối cùng xét mô hình thống kê trong đó vectơ vận tốc dòng chảy đợc
xác định bằng phơng pháp thống kê. Cho vectơ vận tốc dòng chảy là
um)= u p ( )
m1.3.18)
với là đại lợng ngẫu nhiên trong khoảng [0,1], và pm) là mật độ phân phối
1
chuẩn, tức là
p( )d
1 .
Nếu dòng chảy không khí chịu ảnh hởng của hớng
0
gió thì nghiệm của bài toán m1.3.9) với điều kiện m1.3.18) đợc biểu diễn dới
dạng tích phân của các biến ngẫu nhiên sau
( x)
Tèi u ho¸
Q
2
1
w( x x 0 , u ( ))
0
u 2 ( )
4
d
m1.3.19)
- 17 -
Đồ án tốt nghiệp
với
w( x
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
x0
exp
, u ( ))
exp
u 2 ( )
| u ( ) |
( x x ) ,
0
2
4 2
x x 0
u 2 ( )
| u ( ) |
( x x ) ,
0
2
4 2
x x 0
m1.3.20)
Cho mỗi giá trị cố định của x, ta sẽ tính đợc tích phân trong phơng trình
m1.3.19) đợc tính bằng phơng pháp Monte-Carlo.[2]
I.1.4. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều
Trong phần này chúng ta hÃy xét trờng hợp riêng của bài toán tổng
quát. Ta chỉ xét bài toán trong trờng hợp hai chiều, đó là ta chỉ xét trên bề mặt
trái đất mà ta không để ý đến sự thay đổi theo chiều thẳng lên trên. Miền đợc
xét bây giờ là một miền phẳng G có biên . Khi đó phơng trình vi phân mô tả
quá trình truyền tải và khuyếch tán vật chất có dạng sau:
u
v
f
t
x
y
m1.4.1)
trong đó : nồng độ tạp chất
u =mu,v): vectơ vận tốc dòng chảy thoả mÃn điều kiƯn:
u
x
v
+ y =0
m1.4.2)
0 : hƯ sè ph©n hủ, lắng đọng
2
= 2
x
2
+ y 2
m1.4.3)
f: hàm nguồn
với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau:
mx,y,0)= 0mx,y)
|
m1.4.4)
| 0
r
trong đó:
-: đoạn biên mà trên đó un< 0
+: đoạn biên mà trên đó un 0
un là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy lên vectơ pháp tuyến của biên .
Nghiệm của bài toán m1.4.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên
m1.4.4) có thể tìm dới dạng: =1+2, trong đó 1, 2 là nghiệm của bài toán
sau:
1
u 1 v 1 1 f 1
t
x
y
Tèi u ho¸
- 18 -
m1.4.5)
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
với các điều kiện đầu và điều kiện biên sau:
1 | t 0 0 ; 1 | 0 ;
1
| 0
n
vµ
2
u 2 v 2 2 2
t
x
y
m1.4.6)
víi ®iỊu kiƯn
2 | t 0 * ( x , y) ; 2 |
;
2
| 0
n
Khi ứng dụng vào quá trình tính toán xác định nồng độ của chất ô
nhiễm thì chúng ta không dùng trực tiếp phơng trình truyền tải và khuyếch tán
vì có thể rất phức tạp và không chính xác. Do đó chúng ta đi nghiên cứu bài
toán liên hợp của nó vì nó cho ta trực tiếp giá trị nồng độ ô nhiễm và đối với
bài toán liên hợp thì việc tính phiếm hàm nồng độ sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
Điều này đà đợc chứng minh.[2]
Dới đây chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên hợp của phơng trình truyền
tải và khuyếch tán vật chất.
I.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất
I.2.1. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán đơn
giản
Xét phơng trình khuyếch tán đơn giản sau
2
2 Q ( x x 0 )
t
x
m2.1.1)
với điều kiện
=0 khi t=0
m2.1.2)
0 là hàm của x cho trớc và đợc giả sử rằng nghiệm là tìm đợc trong khoảng
-
toán sẽ có nghiệm. Giả định rằng không gian này đợc xét theo hai chiều là
theo thời gian t và theo trục x. Giả sử rằng các hàm này đợc giới hạn trong
khoảng -
T
2
dt dx
0
Chúng ta viết phơng trình m2.1.1) dới dạng
Tối u hoá
- 19 -
Đồ án tốt nghiệp
Chu Minh Dơng Toán Tin K43
L=f
với
m2.1.3)
L=
2
2
t
x
, f=Qmx-x0)
XÐt trong kh«ng gian Hilbert víi tích vô hớng đợc định nghĩa
T
mg,h)=
dt
0
ghdx
Bây giờ ta đi tìm phơng trình liên hợp của phơng trình khuyếch tán này.
Bằng cách nhân m2.1.1) với một hàm * nào đó, sau đó lấy tích phân trên toàn
bộ miền không gian và theo thêi gian
T
*
dt (
0
T
2
)
dx
Q
dt
* ( x x 0 ) dx
t
x 2
0
m2.1.4)
Sư dơng c«ng thức tích phân từng phần ta đợc
T
*
dt
0
T
*
dt
0
T
dx *dx |tt
0
t
T
dt
0
*
dx
t
T
T
m2.1.5)
2
*
2 *
dx ( *
) dt | xx
dt
dx
x
x
x
t
0
0
m2.1.6)
Thế m2.1.5) và m2.1.6) vào m2.1.4) thu đợc nh sau
T
0
T
T
*
2 *
*
*
t T
*
*
)
dx
dx
|
(
)dt | x Q * ( x 0 , t )dt
t 0
t
x
x
x 2
0
0
dt (
m2.1.7)
Giả sử rằng
*=0 khi x
khi đó m2.1.7) đợc rút gọn lại thành
T
T
*
2 *
*
)dx ( T *T 0 *0 )dx Q * ( x 0 , t )dt
2
t
x
0
dt (
0
m2.1.8)
m2.1.9)
Giả sử rằng * thoả mÃn phơng trình
*
2 *
*
t
x 2
=p
m2.1.10)
với điều kiện đầu
*=0 khi t=T
m2.1.11)
và điều kiện biên m2.1.8), ở đây p là hàm của x và t, đợc cho trớc, khi đó bài
toán này sẽ là bài toán liên hợp của phơng trình đà cho. Ta có thể viết gọn phơng trình m2.1.9) lại nh sau
Tối u hoá
- 20 -
