Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Bài toán cực trị của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối
Tác giả: Hoàng Thị Hiền
Mã môn: 52

Năm học 2019 -2020

1


SỞ GD &ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Bài toán cực trị của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối
Tác giả: Hoàng Thị Hiền
Mã môn: 52

Năm học 2019 -2020

2

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình toán phổ thông, dạng bài toán: Bài toán cực trị của hàm
số chứa dấu giá trị tuyệt đối là một trong các dạng bài toán đòi hỏi tư duy đối
với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học.
Nhằm giúp các em học sinh nắm vững phương pháp xác định và tính cực trị
của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối vận dụng kiến thức đó vào giải bài toán.
Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy sáng tạo, năng lực tư duy thuật giải.
Đồng thời góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục và góp phần nâng cao chất
lượng giảng dạy môn toán ở trường trung học phổ thông tôi chọn đề tài:
“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
2. Tên sáng kiến:
“Bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối”.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Hiền
- Địa chỉ tác giả: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại:01668804899

E_mail:

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể áp dụng vào giảng dạy cho
học sinh lớp 12 THPT
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 10 năm
2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Về nội dung của sáng kiến:

3


CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phần I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.
1.Các phép biến đổi đồ thị
a.Các phép tịnh tiến đồ thị
Cho hàm số

có đồ thị (C). Khi đó, với số thực a > 0 ta có:

• Hàm số
có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy
lên trên a đơn vị.
• Hàm số
có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy
xuống dưới a đơn vị.
• Hàm số
qua trái a đơn vị.

có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox

• Hàm số
có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox
qua phải a đơn vị.
b. Các phép biến đổi đồ thị khác
Cho hàm số

có đồ thị (C). Khi đó, với số a > 0 ta có:

• Hàm số

có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox.

• Hàm số

có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy.

• Hàm số
có đồ thị (C’) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả những điểm nằm
trên trục Oy)
- Bỏ phần đồ thị của

nằm bên trái trục Oy.

- Lấy đối xứng phần đồ thị

nằm bên phải trục Oy qua trục Oy.

• Hàm số
có đồ thị (C’) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (cả những điểm nằm
trên Ox)
- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox
- Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox.
4

2. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f (x) xác định trên tập hợp D và x0∈ D
+ x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0
sao cho (a;b) ⊂ D và
+ x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa x 0
sao cho (a;b) ⊂ D và
PHẦN II : NỘI DUNG
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số
ba cách sau:

ta có dùng một trong

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số
Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị

Ta có
Từ đồ thị
suy ra đồ thị
bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở phía trên trục hoành (kể cả những
điểm nằm phía trên trục hoành).
+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục
hoành.
+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục hoành.
Cách 3: Sử dụng kết quả của nhận xét sau:
Nhận xét 1:
Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của
phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0,
thì số điểm cực trị của hàm số

bằng k + h + e
Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Nếu
là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì
của hàm số g(x)=| f(x)|
Chứng minh bổ đề:

cũng là điểm tới hạn

5


+ Ta có
+ Theo giả thiết,

là điểm tới hạn của hàm số

nên

xác định và

không xác định.
+) Ta có

. Vì

xác định. Vậy

xác định nên

xác định. (*)

+ Ta có

. Vì

không xác định. Vậy

không xác định nên

không xác định.(**)

Từ (*), (**) suy ra cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|
Chứng minh nhận xét 1
Thật vậy
+ Theo giả thiết, y = f(x) có k điểm cực trị
nghiệm bội lẻ và t điểm tới hạn mà m + n + t = k. (*)
+ Theo giả thiết, h là số nghiệm đơn của phương trình
bội lẻ của phương trình

+

có m nghiệm đơn, n
; e là số nghiệm

(**)

;

Theo (*), (**) ta có số điểm cực trị của hàm số

bằng k + h + e

Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số
của hàm số y = f(x).
Thật vậy

bằng số điểm cực trị

+) Theo giả thiết y = f(x) có k điểm cực trị
có m nghiệm đơn, n
nghiệm bội lẻ và t điểm tới hạn mà m + n + t = k. Giả sử các nghiệm đó là

6


+)

có

;

có k giá trị
(gồm nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, điểm tới hạn). Vậy
cực trị.
Hay số điểm cực trị của hàm số
y = f(x).
1.1.Bài toán cơ bản: “Cho hàm số

có k điểm

bằng số điểm cực trị của hàm số
. Hỏi số điểm cực trị của hàm số

”
Bài 1:
Cho hàm số

có đồ thị (C) như hình vẽ. Tìm số điểm

cực trị của hàm số
Lời giải
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số
Cách 1:
(theo phép suy ra đồ thị )
Nhìn đồ thị (C’), ta thấy hàm số
có 5 điểm cực trị
Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị
+ Phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm đơn
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ
Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài 2

: Cho hàm số

bằng 2 + 3 + 0 = 5

có đồ thị (C) như hình vẽ. Tìm

số điểm cực trị của hàm số
Lời giải
Cách 1:
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) của hàm số
Nhìn đồ thị (C’) , ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
7


Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.
Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm đơn.
Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ .
Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài 3:
Cho hàm số

bằng 3 + 2 + 0 = 5.
x
-1

có bảng biến thiên

y’
y

+

như hình vẽ. Đồ thị hàm số
có
bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm đơn.
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.

0
5

3
-

0

+

1

Vậy số điểm cực trị của hàm số 2 + 1 + 0 = 3.
Bài 4: Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị ?
x
y’
y

-1
-

0

0
+

0
3

0

1
-

0

+

0

Lời giải
+ Đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm đơn (Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm bội chẵn)
+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.
Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài 5: Hàm số
Lời giải

Xét

là 3 + 0 + 0 = 3.

có bao nhiêu điểm cực trị?

có

8


+

x

0

y’
y

-

0

+

0
3

-

0

-1

+ Hàm số

-1

có 3 điểm cực trị.

+ Phương trình

có 4 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ Suy ra số điểm cực trị của hàm

số
Bài

là 3 + 4 + 0 = 7.
6: Tính tổng các giá trị cực đại của hàm số

Lời giải

Xét

có
x

0

y’

y

-

0

+

-6
+ Hàm số

-

0
-6

có 3 điểm cực trị.

+ Phương trình

có 2 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

Suy ra, số điểm cực trị của hàm số
Các điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(
Tổng các giá trị cực đại của hàm số
Bài 7: Biết đồ thị hàm số

Hàm số

0
-2

là 5.
;6), B(

;6).

là 12.
cắt trục hoành tại đúng 2 điểm.

có bao nhiêu điểm cực trị?
9


Lời giải
+ Vì đồ thị hàm số

cắt trục hoành tại đúng 2 điểm nên căn cứ

vào hình dáng đồ thị ta thấy hàm số
+

Mặt

có hai điểm cực trị

khác

.

Do

đó

phương

.
trình

có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép.
Vậy số điểm cực trị của hàm số
Bài

bằng 2 + 1 = 3.

8: Biết đồ thị hàm số

có hai điểm cực trị nằm về hai phía

so với trục hoành. Số điểm cực trị của hàm số
Lời giải
Đồ thị hàm số
hoành nên

có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục
có 3 nghiệm đơn.

Vậy số điểm cực trị của hàm số

là 3 + 2 =5.

Bài 9: Cho hàm số

với
. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Theo giả thiết ta có
Điều đó chứng tỏ rằng, phương trình

để
có 4 nghiệm phân biệt. Do đó, hàm số

phải có 3 điểm cực trị. Vì vậy, hàm số

có 4 + 3 = 7 điểm cực trị

10


Bài 10: Tính tổng các giá trị của tham số m để hàm số
5 điểm cực trị.
Lời giải
Vẽ đồ thị hàm số

có 2 điểm cực trị nên
Û

cũng có 2 điểm cực trị.

số giao điểm của đồ thị

Để số giao điểm của đồ thị
thị

m
2 có

f ( x ) = x3 − 3x 2 − 9 x − 5

Ta thấy hàm số
Yêu cầu bài toán

y = x 3 − 3x 2 − 9 x − 5 +

với trục hoành là 3.

với trục hoành là 3 ta cần tịnh tiến đồ

theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 32 đơn vị
Vì

nên

. Vậy tổng các giá trị của

tham số m là 2016.
Bài 11: (HSG Vĩnh Phúc 2018-2019). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số

có đúng năm điểm cực trị.

Lời giải Xét hàm số
Bảng biến thiên hàm số
x
y’
y

0

2

0

0

m-2
m-6

Hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị

phương trình f(x) = 0 có đúng 3

nghiệm phân biệt

.
11


Vậy với
thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị.
Bài 12: (Câu 43 đề minh họa 2018 của Bộ GD&ĐT).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có 7 điểm cực trị?
Lời giải

Xét hàm số

có

Lập BBT của đồ thị hàm số
x
-1
y’
y

để hàm số

-

0

0
+

0
m

m-5
Để đồ thị hàm số
0 có đúng 4 nghiệm phân biệt:

ta có
2
-

0

+

m-32
có 7 điểm cực trị

phương trình f(x) =

Vì
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 13: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
có đúng 3 điểm cực trị.
Lời giải
Xét

12


Tính được
Bảng biến thiên của hàm số g(x)
x
g’
g

a
-

0

+

1

3

0
g(1)

0

g(a)

+

m

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g( x) có

Suy ra đồ thị hàm số

3

điểm cực trị.

có 3 điểm cực trị

khi và chỉ khi

Cách 2:

Xét

Bảng biến thiên của hàm số g(x)
13


x

a

g’
g

-

0

+

1

3

0
g(1)

0

g(a)

+

m

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g( x) có

3

điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số
có 3 điểm cực trị
khi và chỉ khi đồ thị hàm số g(x) nằm hoàn toàn phía trên trục Ox (kể cả tiếp
xúc)

1.2.Bài toán mở rộng 1: “Cho hàm số
số

. Hỏi số điểm cực trị của hàm

”

Bài 1: Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải
Cách 1: Từ đồ thị hàm số

Từ đồ thị hàm số

suy ra đồ thị hàm số

Nhìn đồ thị hàm số

ta thấy,hàm số

Cách 2: Nhìn đồ thị hàm số
+ Đồ thị hàm số

suy ra đồ thị hàm số

có 7 điểm cực trị?

ta thấy

có 3 điểm cực trị.

+ Phương trình

có 4 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

14


Suy ra, hàm số

có 3 + 4 = 7 điểm cực trị.

+ Vì số điểm cực trị của hàm số
nên hàm số

bằng số điểm cực trị của hàm số

có 7 điểm cực trị.

Bài 2: Cho hàm số

có đạo hàm

. Hàm số

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải

+

;

Suy ra hàm số

có 3 điểm cực trị.

+ Số giao điểm của đồ thị
trình

và trục hoành nhiều nhất là 4 hay phương

có nhiều nhất 4 nghiệm.

Vậy hàm số

có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị.

Vậy hàm số

có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị.

Bài 3 : Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
có

để hàm số

điểm cực trị ?

Lời giải
Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số
Hàm số
Hàm số

có điểm cực trị dương.

có 2.2 + 1 = điểm cực trị.
có điểm cực trị với mọi m.

Vậy có vô số giá trị m để hàm số

có

điểm cực trị.
15


1.3. Bài toán mở rộng 2: “Cho hàm số
số

. Hỏi số điểm cực trị của hàm

”

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số

như hình vẽ.

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải
Cách 1: Từ đồ thị của hàm số

:
suy ra đồ thị

hàm số
Từ

đồ thị của hàm số

suy ra đồ thị hàm số

Dựa vào đồ thị hàm số
cực trị

suy ra có 5 điểm

Cách 2:
+ Hàm số y = f(x) + 2 có 3 điểm cực trị.
+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 2 nghiệm đơn.

+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 0 nghiệm bội lẻ.
Vậy số điểm cực trị của hàm số

bằng 3 + 2 + 0 = 5.

2: Cho hàm số
có đồ thị như hình bên
Bài
dưới. Tính tổng các tung độ của các điểm cực trị của đồ
thị hàm số
Lời giải
Đồ thị hàm số
- Tịnh tiến đồ thị hàm số

có được bằng cách
theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được

16


qua trục Ox ta

- Lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số
được

Dựa vào đồ thị hàm số
suy ra tọa độ các điểm cực trị là (-1 ;0),
(0 ;4), (2 ;0). Vậy tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4
xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như

Bài 3: Cho hàm số
hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số
x

có bao nhiêu điểm cực trị ?
-1

y’
y

+

3

0
2018

-

0

+

-2018
Lời giải
có được từ đồ thị f ( x) bằng cách tịnh tiến

Đồ thị hàm số
đồ thị

sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.

Suy ra bảng biến thiên của
x

2016

u’
u

+

0
4036

2020
-

0

+

0
+ Hàm số y = u(x) có 2 điểm cực trị.
+ Phương trình

có 1 nghiệm đơn.
17

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

Vậy số điểm cực trị của hàm số

bằng 2 + 1 + 0 = 3.

Cho hàm số
xác định trên
và liên tục trên từng khoảng
Bài 4:
xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ. Tính tổng tung độ các điểm cực trị của
đồ thị hàm số
x
y’
y

-1
-

||

3
-

||

0

+

-1

Lời giải
Bảng biến thiên của hàm số
x
g’
g
+

Đồ

thị

hàm

như hình vẽ
-1
-

||

3
-

||

0

+

-4

số

có 1 điểm cực trị A(3;-4) nên đồ thị hàm số
điểm cực trị là A’(3;4)

có 1

Phương trình
có 3 nghiệm đơn nên đồ thị hàm số
điểm cực trị đều có tung độ là 0.

có 3

Vậy số điểm cực trị của hàm số

bằng 1+ 3 + 0 = 4

Suy ra tung độ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4
Bài 5: Cho hàm số
. Hàm số

thỏa mãn

và có đạo hàm
có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

18


+
+ Bảng biến thiên

;

.

x

-2

y’
y

+

0
0

0
-

2

0

+

0
0

-

y(0)
+ Hàm số

có 3 điểm cực trị.

+ Phương trình

có 0 nghiệm đơn.

+ Phương trình

có 0 nghiệm bội lẻ.

Vậy hàm số

có 3 + 0 + 0 = 3 điểm cực trị.

Bài 6: Cho hàm số

biết

số điểm cực trị của đồ thị hàm số

Lời giải

và

. Tìm

.

Cách 1: Đặt

+ Từ giả thiết

+ Ta có
thuộc khoảng
phương). Vậy hàm số

đồ thị hàm số h(x) có 3 điểm cực trị.

phương trình

có nghiệm

có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng
có 7 điểm cực trị.

Cách 2: Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau:

Chọn
19

Vẽ phác họa đồ thị hàm số

, ta thấy đồ thị hàm số

có 7 điểm cực trị.
với m là tham số

Bài 7: Cho hàm số
thực. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Lời giải
Cách 1: Ta có:

Suy ra
+

;
có 3 nghiệm đơn phân biệt vì

hàm số

với mọi m (hay

có 3 điểm cực trị)

+
.
vô nghiệm. Vậy hàm số
có 3 cực trị.
Cách 2: (Trong bài trắc nghiệm để tìm nhanh kết quả ta nên đặc biệt hóa

bài toán)
. Ta đi tìm số điểm cực

Ta cho m = 0, ta được hàm số
trị của hàm số

x = 0

⇔ x = 2
2
f x −1 4
⇒ g ′ ( x ) = 4 x3 − 8 x g ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 8 x = 0  x = − 2
Đặt ( ) = x − 4 x + 16
;
.

Bảng biến thiên
x
g’
g

0
-

0
12

+

0

16

-

0

+

12
20


Do đồ thị hàm số
số

nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàm

cũng chính là đồ thị của hàm số

. Khi đó số điểm cực

là 3 .

trị của hàm số

( ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất
Bài 8: Cho hàm số
cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
y= f x

có 5 điểm cực trị
Lời giải
Vì hàm
trị.

đã cho có 2 điểm cực trị nên

Để hàm số

có 5 điểm cực trị

cũng có 2 điểm cực
số giao điểm của đồ thị

với trục hoành là 3.
Để số giao điểm của đồ thị

với trục hoành là 3, có 2 trường hợp xảy ra

Tịnh tiến đồ thị
hơn 1 đơn vị

theo phương Oy xuống phía dưới một đoạn có độ dài nhỏ

Tịnh tiến đồ thị
đơn vị

theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 3

Vậy

Bài 9: Cho hàm số

thoả mãn
. Tìm số điểm cực trị của hàm số

Lời giải

21


Xét

, ta có

Do đó đồ thị hàm số
số

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và suy ra hàm

có hai điểm cực trị

Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số
BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1
Câu 1: Đồ thị hàm số
A. 3

B. 0

là 2 + 3 = 5

có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 1
D. 2

Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số
A. 2
B. 1

là:
C. 4

Câu 3: Cho hàm số
xác định trên
xác định, có bảng biến thiên như hình vẽ.

Đồ thị hàm số
A. 4

D. 3
và liên tục trên từng khoảng

có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 3

Câu 4: Cho đồ thị của hàm số

C. 1

D. 2

như hình vẽ.

22


Số cực trị của đồ thị hàm số
A. 5

là:

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 5: Cho đồ thị của hàm số

như hình vẽ.

Số cực trị của đồ thị hàm số
A. 5
B. 6

là:

Câu

C. 7

D. 4

6: Cho hàm số bậc ba

với

và
A. 1

,

. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
B. 5

C. 3

Câu 7: Cho hàm số
trị của hàm số
A. 1

, biết

với

D. 7

,

và

là:
B. 5

C. 3

. Số cực

D. 7

Câu 8: Cho hàm số

, với

m là tham số. Tìm số cực trị của hàm số
A. 2
B. 5
Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên
đúng 5 điểm cực trị
A. 12
B. 15

C. 4

D. 7

để hàm số
C.16

có
D. 17

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số
cách sau:

ta dùng một trong ba

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số

23


Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị: Từ đồ thị

suy ra đồ thị

Cách 3: Để giải quyết các bài toán trên ta vận dụng nhận xét sau:
Nhận xét: Gọi k là số điểm cực trị dương của hàm số
trị của hàm số
Thật vậy

thì số điểm cực

bằng 2k + 1

+ Theo giả thiết k là số điểm cực trị dương của hàm số
nghiệm dương

có k

+ Vì đồ thị
nghiệm âm

có k

và

đồ thị đối xứng nhau qua Oy

+ Vì đồ thị hàm số
và đồ thị hàm số
Oy nên f’(x) đổi dấu khi qua điểm x = 0
Vậy số điểm cực trị của hàm số
2.1 Bài toán cơ bản.

đối xứng nhau qua trục

bằng 2k + 1

“Cho đồ thị của hàm số

. Hỏi số điểm cực trị của

hàm số
Bài 1: Cho hàm số
Hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên.

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

24


Cách 1: + Từ đồ thị hàm số

ta suy ra đồ thị hàm

số
Dựa vào đồ thị hàm số

có 7 cực trị.

Cách 2: + Hàm số
+ Vậy hàm số

Bài

có 3 điểm cực trị dương
có 3.2 + 1 = 7 điểm cực trị

2: Cho hàm số

xác định và liên tục trên

, có bảng biến thiên như

hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số

x

1

-2

y’

+

y

0

-

0

f(-2)

4
+

0

-

f(4)
f(1)

Lời giải
Hàm số có hai điểm cực trị dương, suy ra số điểm cực trị của hàm số
2.2 + 1 = 5
Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm

là

với

Tìm số điểm cực trị của hàm số

Lời giải Ta có
Vì
cực trị.

có 2 nghiệm bội lẻ (x = -3 và x = 2) nên hàm số y = f(x) có 2 điểm

Hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị dương nên
cực trị.

có 2.1 + 1 = 3 điểm

25