XÂY DỰNG một số bài TOÁN về TÍNH đơn điệu của hàm số từ các bài TOÁN về dấu và đồ THỊ của hàm số đạo hàm

XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TỪ CÁC BÀI TOÁN VỀ DẤU VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM
Dương Ngọc Anh
Trường THPT Bến Tre, TP.Phúc Yên, tỉnh Vĩnh Phúc
I. LỜI NÓI ĐẦU:
Hàm số và đồ thị là chủ đề cơ bản và xuyên suốt của chương trình toán
phổ thông. Bài toán xét tính đơn điệu, tìm cực trị của hàm số là dạng toán quen
thuộc và hiển nhiên xuất hiện trong kỳ thi THPT QG và các kỳ thi khác.
Khi giải quyết tốt dạng bài tập này sẽ giúp HS rèn luyện kỹ năng tư duy
giải toán, kỹ năng phân tích, tổng hợp, kỹ năng ‘‘đọc đồ thị’’. Đồng thời hạn chế
việc sử dụng MTCT trong giải toán để ‘‘ mò ’’ đáp án đúng. Thêm vào nữa, học
sinh có thể giải nhiều câu tương tự hoặc mức độ khác nhau trong nhiều mã đề
của một kỳ thi.
Bởi vậy, làm thế nào thiết kế để xây dựng nên bài toán cho dưới dạng ‘‘
Xét tính đơn điệu của một hàm số hợp của hàm số f(x) nào đó khi biết bảng xét
dấu hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm f’(x)’’ (Đây là dạng toán mà hiện nay xuất
hiện khá nhiều và tương đối mới lạ đối với HS). Đồng thời giúp học sinh biết
cách giải một số lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số, nhìn nhận dưới góc
độ bảng dấu và đồ thị của hàm số đạo hàm đã biết, trên cơ sở việc khai thác ứng
dụng của đạo hàm, kỹ năng ‘‘đọc đồ thị ’’ của hàm số. Học sinh nắm chắc kiến
thức, hệ thống hóa, tổng quát hóa dạng toán này và phát triển tư duy giải toán.
Mặt khác, trong quá trình kiểm tra đánh giá học sinh, chúng ta phải xây dựng
ngân hàng câu hỏi về chủ đề toán đó với các câu hỏi trắc nghiệm tương đương
cùng mức độ kiến thức hoặc mức độ cao thấp khác nhau, trong việc thiết kế ma
trận và đề thi THPT QG bám sát vào chuẩn kiến thức kỹ năng; sử dụng cho
nhiều mã đề gồm những mã đề gốc và mã đề được sinh ra từ các mã đề gốc của
một thời điểm thi.
Từ những suy nghĩ trên, tôi trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp và các em
học sinh bài viết “ Xây dựng một số bài toán về tính đơn điệu từ các bài toán
về dấu và đồ thị của hàm số đạo hàm ” nhằm giúp các em định hướng và tự tin
hơn khi làm bài và góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán ở

trường THPT.
Qua bài viết này, tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp sẽ thiết kế được nhiều
hơn các lớp bài toán hàm số và đồ thị càng sát thực với các đề thi THPT QG và
thi chọn học sinh giỏi toán và truyền sự say mê này đến các học sinh của mình.

1


II. PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN THIẾT KẾ
1. Xây dựng một bài toán xét tính đơn điệu của hàm số khi biết trước bảng
xét dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm:
Cho hàm số đạo hàm (thường là những hàm số đạo hàm đơn giản, quen
thuộc) y '  f '( x) của hàm số y  f ( x) dưới dạng bảng xét dấu của hàm số đạo
hàm đại diện y '  f '( x) hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm y '  f '( x) . Sử dụng các
kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số, hàm hợp, thay thế x bởi những hàm
số g(x) thỏa mãn tính chất nào đó, ta có những bài toán tương ứng, mức độ khó
hơn, tùy thuộc việc chọn hàm số g(x) để hình thành lên bài toán xét tính đơn
điệu của hàm số y  f  g  x   .
Muốn giải quyết bài toán đó, chúng ta phải nắm chắc và hệ thống về bài
toán xét tính đơn điệu của hàm số trên cơ sở điều kiện tương đương của tính
đơn điệu và dấu hiệu I về cực trị của hàm số đã xây dựng nên bài toán cụ thể.
Chìa khóa để mở cánh cửa của bài toán đã được người ra đề cất đi, yêu cầu
người học phải đi tìm chìa khóa đó với những kiến thức tổng hợp mới giải quyết
được.
2. Các bước tiến hành xây dựng bài toán:
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Xuất phát điểm từ bài toán cho trước bảng xét dấu của hàm số đạo hàm đại
diện f �
 x  hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm đại diện f �
 x  của hàm số f ( x)

nào đó.
Trên cơ sở phân tích các yếu tố và dữ kiện của bài toán, phát triển và mở
rộng bài toán từ việc xét tính đơn điệu của hàm số thành bài toán xét tính đơn
điệu của hàm hợp, thiết lập các yêu cầu của bài toán mới như hàm số đồng biến,
nghịch biến trên các khoảng nào, số cực trị của hàm số hợp là bao nhiêu,... Từ
đó, ta nhận được bài toán xét tính đơn điệu của hàm số (ở mức độ thông hiểu,
hoặc vận dụng, vận dụng cao) tương ứng với bài toán tính đơn điệu của hàm số
ban đầu khi biết bảng dấu của đạo hàm hoặc đồ thị của hàm số đạo hàm.
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ đã chỉ ra.
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng).
3. Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập tương ứng:
Sử dụng các kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, xây dựng thành bài
toán xét tính đơn điệu của nhiều hàm hợp khác nhau mà cách giải của những bài
toán đó qui về bài toán xét tính đơn điệu của hàm số quen thuộc.
Bằng cách phân tích các yếu tố liên quan đến việc xét tính đơn điệu của
hàm số gốc liên kết với bài toán xét tính đơn điệu của hàm hợp. Từ việc phân
tích đó, giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán, để từ đó các em biết định
2


hướng trong việc tiến hành giải bài toán. Việc phát triển bài toán tương tự, hoặc
tổng quát hóa giúp thầy cô xây dựng các bài toán, câu hỏi trắc nghiệm tương
đương cùng mức độ kiến thức hoặc mức độ cao thấp khác nhau để sử dụng cho
nhiều mã đề gồm những mã đề gốc và mã đề được sinh ra từ các mã đề gốc của
một kỳ thi. Đồng thời, giúp học sinh nắm chắc kiến thức, hệ thống hóa, tổng
quát hóa dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số để phát triển tư duy giải
toán.

(Trong giờ ôn thi THPT QG năm học 2019-2020 của HS trường THPT Bến Tre, tỉnh Vĩnh Phúc)

III. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA
1.1. Bài toán 1.1.
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Xuất phát từ bài toán:
Cho hàm số f ( x) nào đó cụ thể có hàm đạo hàm đại diện
f '( x)   x  3 .  x  1 .  x  1 hoặc tổng quát có bảng xét dấu của f �
 x  như sau:

x
f�
 x

�

3



0

1



0

*) Ta có bài toán 1.1.1:
3

�

1



0




 x  như sau:
Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f �
x

�

f�
 x

3


0

1



0

�

1



0



Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  �; 3 .

B.  3;1 .

C.  1; � .

D.  1; � .

*) Khi đó thay x bởi g  x   5  2 x và khi đó, ta có bài toán 1.1.2:

 x  như sau:
Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f �
x
f�
 x

�

3


0

1



0

�

1



0



Hàm số y  f  5  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;3 .
B.  0; 2  .
C.  3;5  .
D.  5; � .
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
*) Ta có bài toán 1.1.1 là bài toán quen thuộc, ở mức độ nhận biết, chỉ cần dựa

 x  là ta chọn ngay được đáp án D.
vào bảng xét dấu của f �
*) Với bài toán 1.1, ta có điều kiện để hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi
y '  2 f '  5  2 x  �0 � f '  5  2 x  �0 .

Dựa vào bảng xét dấu f '  x  , ta được:
x �1
�
f '  x  �0 � �
 *
3 �x �1
�
Khi đó, thay x bởi biểu thức tuyến tính (bậc nhất) 5  2x vào hệ thức (*),

ta có kết quả cần tìm.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán 1.1 theo sơ đồ trên.
Ta có y  f  5  2 x  � y '  2 f '  5  2 x  .
Hàm số đã cho nghịch biến khi và chỉ khi
y '  2 f '  5  2 x  �0 � f '  5  2 x  �0 .
Dựa vào bảng xét dấu f '  x  , ta được:
5  2 x �1
x �2
�
�
f '  5  2 x  �0 � �
��
3 �5  2 x �1 �
3 �x �4
�

Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng). Do đó, chọn đáp án B, vì khoảng

 0; 2  � �; 2 .
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
Từ bài toán 1.1 ở trên, chúng ta có rất nhiều hướng khai thác để xây dựng
hệ thống bài tập tương tự, mức độ khó hơn hoặc cùng mức độ kiến thức mà có
thể sử dụng cho nhiều mã đề của một kỳ thi.

4


+) Giữ nguyên giả thiết của bài toán và thay hàm tuyến tính g(x) bởi những hàm
tuyến tính khác, chẳng hạn, thay y  g  x    5  2 x  ở bài toán trên bởi hàm số
y  g  x    3  2 x  ta được bài toán mới với mức độ tương đương:

 x  như sau:
Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu của f �
�

x
f�
 x

3


0

1





0

�

1

0



Hàm số y  f  3  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  4;  � .
B.  2;1 .
C.  2; 4  .
D.  1; 2  .
+) Hướng thứ hai, vẫn giữ nguyên giả thiết ban đầu, thay đổi phương án lựa
chọn các đáp án, ví dụ :
A.  2;3 .
B.  3; 4  .
C.  4;5  .
D.  5; � .
ta cũng được bài toán mới với mức độ tương đương.
Hoặc có thể thay bằng câu hỏi, hàm số nghịch biến bởi hàm số đồng biến
trên những khoảng nào, đồng thời chỉnh sửa phương án lựa chọn đáp án, ta cũng
xây dựng thành các bài toán tương ứng.
+) Hướng thứ ba, khi thay hàm số bậc nhất y  g  x    5  2 x  ở bài toán trên

bằng hàm số đa thức bậc cao hơn, như hàm số bậc hai, bậc ba,… thì ta đã phát
triển thành bài toán ở mức độ cao hơn bài toán đã cho.
+) Hướng thứ tư có thể thay hàm số f ( x) nào đó khác mà có đạo hàm dạng
f '( x)   x  a  .  x  b  .  x  c  , a  b  c (hoặc có bảng xét dấu của f �
 x  cho trước)

thì chúng ta cũng thiết lập câu hỏi tương tự như cách làm ở trên sẽ cho chúng ta
lớp bài toán tương ứng.
1.2. Bài toán 1.2.
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Xét bài toán sau:
'
5
2
2
Cho hàm số y = h ( x ) nào đó có h ( x ) = 2 x ( x - 1)( x - 4) với bảng xét dấu của
h' ( x) :

x
h' ( x)

- �

-

-2
0

+

-1
0

0
0

-

+

1
0

-

+�
2
0 +

'
5
2
2
Rõ ràng hàm đại diện h ( x ) = 2 x ( x - 1)( x - 4) cùng dấu với hàm số đạo
'
5
2
2
2
hàm g ( x) = 2 x ( x - 1)( x - 4) .u ( x ) với u ( x) > 0, " x ��.

Viết lại hàm số đạo hàm
'

2

g ' ( x) = 2 x5 ( x 2 - 1)( x 2 - 4) .u ( x 2 ) = ( x 2 ) .( x 2 ) .( x 2 - 1) .( x 2 - 4) .u ( x 2 )

5


'
Thay x 2 bởi x trong công thức hàm số đạo hàm g ( x ) ở trên và ta thấy
'

'
hàm số đạo hàm g ( x ) là hàm số đạo hàm ( f ( x 2 ) ) trong đó f ( x) là hàm số cho

( x) = x2 ( x - 1) ( x - 4) .u( x) .
trước có f �
Ta nhận được bài toán 1.2 như sau:
( x) = x2 ( x - 1) ( x - 4) .u( x) với mọi
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f �
x �� và u( x) > 0 với mọi x ��. . Hàm số g( x) = f ( x2 ) đồng biến trên

khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. ( 1;2) .
B. ( - 1;1) .

C. ( -

2;- 1) .

D. ( - �;- 2) .

Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Tính đạo hàm của hàm số g ( x) .
2
Từ hàm số đạo hàm f '( x ) suy ra hàm số đạo hàm f '( x ) . Từ đó có
5
2
2
2
bảng xét dấu của hàm số g '( x) = 2 x ( x - 1) ( x - 4) .u ( x ) .

Mà

g '( x )

cùng

dấu

với

hàm

h '( x ) = 2 x5 ( x 2 - 1)( x 2 - 4) ,

do

u ( x ) > 0, " x �� nên u ( x 2 ) > 0, " x ��, từ đó, kết luận được các khoảng
2
đồng biến, nghịch biến của hàm số g( x) = f ( x ) .

Bước 3: Trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ trên.
2
Ta có g '( x ) = 2 x. f '( x ) .
2
Theo giả thiết f '( x) = x ( x - 1) ( x - 4) .u ( x)

� f '( x 2 ) = x 4 ( x 2 - 1)( x 2 - 4) .u ( x 2 )
� g '( x) = 2 x 5 ( x 2 - 1) ( x 2 - 4) .u ( x 2 )
2
Do u ( x) > 0, " x �� nên u ( x ) > 0, " x �� và dấu của hàm số đạo hàm

g '( x ) cùng dấu với hàm h '( x ) = 2 x 5 ( x 2 - 1)( x 2 - 4) .

Bảng xét dấu của h '( x)
- �
+�
x
-2
-1
0
1
2
- 0
+ 0
- 0

+ 0
0 +
h '( x)
Từ đó chọn được đáp án cần tìm.
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng). Do đó, chọn đáp án C.
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
+) Bài toán 1.2 là bài toán có liên quan đến đạo hàm của hàm hợp. Mức độ của
bài toán là mức độ vận dụng. Để giải quyết tốt bài toán dạng này, học sinh phải
hiểu tường tận về tính chất đạo hàm của hàm hợp. Hàm số gốc y = h ( x ) cho
6


trước có bảng xét dấu của hàm số đạo hàm đại diện h '( x) đã biết ở bài toán này
thể hiện ở dạng định tính, nhân tử u ( x ) ở trong hàm số đạo hàm đó càng tăng
thêm tính chất định tính ở đây. Nếu thay hàm số đạo hàm đại diện h '( x) bằng
những hàm số tương tự khác, ta cũng có các bài toán tương tự.
+) Khái quát hóa bài toán, bằng cách xuất phát từ hàm số y = h ( x ) có
5
2
2
h '( x ) = 2 ( ax ) . �
.�
ax ) - c 2 �
(�ax ) - b 2 �
(
, với a �0 , ta có thể xây dựng một số bài
�
�
�
�

��
�

toán tương tự, đơn giản khi cho a, b, c những giá trị cụ thể.
Tiếp theo dưới đây, chúng ta xây dựng bài toán cho hàm số bậc cao hơn
bậc hai, bậc ba, …
1.3. Bài toán 1.3.
Bước 1: Thiết kế bài toán xét tính đơn điệu của hàm số.
Bắt đầu từ bài toán:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên � và có hàm đạo hàm đại
diện f '( x ) với
�
x =a
�
f '( x ) = 0 � �
x = b , với a, b, c đôi một phân biệt.
�
�
x =c
�
�
x = 10
�
x = 11 ,
Chẳng hạn f '( x ) = 0 � �
�
�
x = 12
�

Để có bảng xét dấu của f '( x) đơn giản, ta có thể chọn như sau:
f '( x ) = - ( x - 10) .( x - 11)

2018

.( x - 12)

2019

Khi ấy, bảng xét dấu :
- �
+�
x
10
11
12
- 0
+ 0
+ 0
f '( x )
Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm, ta nhận thấy hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng ( 10;12) , nghịch biến trên các khoảng ( - �;10) và ( 12;+�) ; hàm số
có hai cực trị. Từ đó ta có bài toán sau :
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên � và có đạo hàm
f '( x ) =- ( x - 10) .( x - 11)

2018

.( x - 12)

2019

Khẳng định nào sau đây đúng.
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 10;11) và ( 12;+�) .
B. Hàm số y = f ( x ) có ba cực trị.
7


C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 10;12) .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 10 và đạt cực tiểu tại x = 12 .
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Lập bảng xét dấu của đạo hàm y ' = f '( x) . Từ đó ta có kết quả cần tìm.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
�
x = 10
�
x = 11
Ta có f '( x) = 0 � �
�
�
x = 12
�

Bảng xét dấu của y = f '( x ) :
- �

x
f '( x )

-

10
0

11
0

+

12
+ 0

+�

-

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 12;+�) nên loại đáp án A.
Hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nên loại đáp án B.
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 10;12) nên chọn đáp án C.
Hàm số đạt cực đại tại x = 12 nên loại đáp án D.
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng). Do đó, chọn đáp án C.
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
+) Bài toán 1.3 là bài toán ở mức thông hiểu, bài toán này xét dấu của đạo hàm
y ' = f ' ( x ) mà không cần tường minh hàm số y = f ( x ) cho trước và dấu của
y ' = f '( x)

thực

chất

chính

là

dấu

của

tam

thức

bậc

hai

h ( x) = - ( x - 10) .( x - 12) .

+) Tổng quát hóa bài toán, bằng cách xuất phát từ hàm số y = h ( x) có thể xét
dấu được, dễ dàng ta có thể xây dựng một lớp bài toán như ở bài toán 1.3 như
sau:
Xét hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên � và có đạo hàm
m

n

p

f '( x ) = ( x - a ) .( x - b) .( x - c ) , trong đó
m, n, p ��* ; a, b, c ��; a < b < c và xây dựng các phương án trả lời trắc

nghiệm khách quan liên quan đến tính đơn điệu của hàm số ( chú ý phương án
sai gây nhiễu) để thiết lập lên các bài toán.
Ngoài cách cho hàm số nào đó có hàm số đạo hàm biết trước bảng xét dấu
của nó, còn có những phương pháp khác như cho trước đồ thị của hàm số đạo
hàm của một hàm số không tường minh nào đó. Từ đây, chúng ta xây dựng bài
toán về tính đơn điệu của lớp hàm số khi biết trước đồ thị của hàm số đạo hàm.
Đây chính là dạng toán “đọc đồ thị” của hàm số đạo hàm để suy ra các khoảng
8


mà trên đó đạo hàm mang dấu dương (hoặc âm), tương ứng hàm số đồng biến
(hoặc nghịch biến) trên khoảng đó. Hoặc đạo hàm của hàm số đổi dấu từ (+)
sang (-) (hoặc từ (-) sang (+) ) để kết luận về điểm cực đại (hay cực tiểu) của
hàm số. Hoặc dựa vào đồ thị đó ta biết được giá trị của đạo hàm tại một điểm,…
Tùy theo đồ thị mà ta xuất phát và cách thức chúng ta thiết kế bài toán TNKQ.
Sau đây là bài toán đơn giản ở mức độ thông hiểu về cách thiết lập bài
toán về tính đơn điệu của hàm số khi biết trước đồ thị đạo hàm của một hàm số.
1.4. Bài toán 1.4.
Bước 1: Thiết kế bài toán.
Cơ sở từ bài toán:
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên � và có hàm đạo hàm đại
2
diện f '( x ) có đồ thị như hình vẽ bên ( ở đây f '( x ) = x - 2 x - 3 không cần

chỉ ra cụ thể).

Dựa vào đồ thị trên ta thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( - �; - 1) và

( 3;+�) ; hàm số nghịch biến trên ( - 1;3) .

Từ đó ta có bài toán sau :
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên � và có đạo hàm f '( x ) có
đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng.

9


A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( - �; - 1) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;+�) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - �; +�) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( - �; - 1) và ( 3;+�) .
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Dựa vào đồ thị của hàm số đạo hàm, ta có kết quả cần tìm.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.
Từ đồ thị trên ta thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( - �; - 1) và ( 3;+�) ;
hàm số nghịch biến trên ( - 1;3) . Từ đó chọn đáp án đúng.
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng). Đáp án D.
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
+) Thay thế đồ thị hàm số đạo hàm bằng một đồ thị hàm số bậc hai bất kỳ trong
bài toán 4.1 ở trên ta sẽ nhận được các bài toán tương tự và mức độ câu hỏi ở
mức độ thông hiểu.
Bây giờ, thay việc tìm các khoảng đơn điệu của hàm số có đồ thị đạo hàm
cho trước, bằng việc tìm các khoảng đơn điệu của hàm hợp của hàm số đó thì
bài toán sẽ khó hơn và ta có thể thiết kế các bài toán ở mức độ vận dụng cao.
1.5. Bài toán 1.5.
Bước 1: Thiết kế bài toán.
Cho có hàm số đạo hàm đại diện bậc ba đơn giản, hệ số đẹp
f ' ( x) = ( x - 1) .( x +1) .( x + 3) hoặc

1

f ' ( x ) = ( x - 1) .( x +1) .( x + 3) (để co ngắn
3

chiều cao của điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đó cho đồ thị cân đối).
1
3

Khi đó đồ thị hàm đạo hàm đại diện f ' ( x) = ( x - 1) .( x +1) .( x + 3) thỏa mãn các
'
'
điều kiện: f ( x ) �0, " x �[1; +�) ; f ( 1) = 0

10


Nếu thay x trong f '( x) bởi hàm số t ( x ) , với t ( x ) là hàm số liên tục và có
đạo hàm trên � và thỏa mãn điều kiện
t ( x) > 0, " x �[ 0;1] ; t '( x) > 0, " x �[ 0;1] ; t ( 0) = 1; f ' ( t ) > 0, " t ��
1; t ( 1) �
�
�

Tiếp đó, chọn một biểu thức k ( m) chứa tham số m và xét bài toán tìm
điều kiện của tham số m để ( f ( t ( x ) ) ) + k ( m) �0, " x �[ 0;1] . Bài toán này tương
'

đương với bài toán tìm điều kiện của tham số m để hàm số
y = f ( t ( x ) ) + x.k ( m) + b đồng biến trên đoạn [ 0;1] , với b là hằng số.
x
Gỉả sử t ( x) = 2019 là hàm số liên tục và có đạo hàm trên �, thỏa mãn

các điều kiện:
t ( x) = 2019 x > 0, " x �[ 0;1] ; t ( 0) = 1; t ' ( x ) = 2019 x ln 2019 > 0, " x �[ 0;1];
1
f ' (t ) = ( t - 1) .( t +1) .( t + 3) �0, " t �[1; 2019] �[1; +�)
3

Ẩn hàm số đạo hàm f '  x  đi, chỉ giữ lại giả thiết biết đồ thị của f '  x  và
chọn k ( m) = - m; a = 2 , ta có bài toán 1.5 sau đây:
Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên �. Biết hàm số f '  x 
có đồ thị được cho trong hình vẽ. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
g  x   f  2019 x   mx  2 đồng biến trên  0;1

A. m �0
B. m �ln 2019
C. 0  m  ln 2019 D. m  ln 2019
Bước 2: Thiết lập sơ đồ lời giải bài toán.
Sử dụng công thức đạo hàm  f  u   '  u '. f '  u 
Yêu cầu của bài toán tương đương với việc tìm m để
g '  x   2019 x.ln 2019. f '  2019 x   m �0, x � 0;1 .

11


� h  x   2019 x.ln 2019. f '  2019 x  �m, x � 0;1
۳

min h  x 
 0;1

m

Dựa vào đồ thị f '  x  để xác định được giá trị nhỏ nhất của hàm h(x), ở
h  x   h  0   0 vì f '  1  0 .
đây hàm số h ( x ) đồng biến trên đoạn  0;1 và min
 0;1

Do vậy tìm được các giá trị của m.
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán.

x
'
x
+ Ta có g '  x   2019 .ln 2019. f  2019   m .

+ Để hàm số g  x  đồng biến trên đoạn  0;1 thì g '  x  �0, x � 0;1 và dấu
‘‘ = ’’ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
x
'
x
Khi ấy g '  x   2019 .ln 2019. f  2019   m �0, x � 0;1

� h  x   2019 x.ln 2019. f '  2019 x  �m, x � 0;1
۳

min h  x 
 0;1

m

Dựa vào đồ thị hàm số đạo hàm f '( x) , ta thấy nếu x � 0;1 thì





2019 x � 1; 2019 , suy ra f ' 2019 x �0, x � 0;1 nên hàm số y  f  2019 x  đồng

biến trên đoạn  0;1 .
Lại có hàm số y  2019 x đồng biến và dương trên đoạn  0;1 nên
h  x   2019 x ln 2019. f '  2019 x  đồng biến trên đoạn  0;1

h  x   h  0   20190.ln 2019. f '  20190   ln 2019. f '  1  0 (vì theo
Suy ra min
 0;1

hình vẽ thì f '  1  0 )
Vậy m �0 .
Bước 4: Kết luận bài toán (Chọn đáp án đúng). Đáp án A.
*) Xây dựng, hệ thống bài toán tương ứng
+) Khi thay đồ thị hàm số đạo hàm bằng một đồ thị hàm số khác trong bài toán
5.1 thỏa mãn điều kiện f '( x) là hàm số liên tục, đồng biến trên một nửa khoảng

 a; � ,

f '( a ) = 0 , đồng thời thay hàm số t ( x ) = 2019 x bởi một hàm số t ( x )

khác có tính chất t ( x) > 0, " x �[ 0; a ] ; t '( x ) > 0, " x �[ 0; a ]; t ( 0) = a ta cũng nhận
được các bài toán tương tự. Chẳng hạn hàm số đạo hàm
1

f '( x) = ( x - a ) .( x + b) .( x + c ) ; a, b, c > 0; n ��*
n
2
và t ( x) = Ax + Bx + a, A > 0, B �0

12


+) Cũng có thể thay biểu thức x.k ( m) + b trong hàm số y = f ( t ( x ) ) + x.k ( m) + b
bằng việc lựa chọn k ( m) , b thích hợp, ta cũng thiết kế nên các bài toán tương
tự.
Hoàn toàn tương tự cách làm như trên chúng ta có thể chọn các bài
toán về tính đơn điệu của hàm số trên cơ sở chọn hàm số gốc rồi phát triển
thành các bài toán về tính đơn điệu của hàm số mới.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG.
1. Bài 1.
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên � và có đồ thị hàm số đạo hàm đại
( x ) như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f (3  x) đồng biến trên khoảng
diện y  f �
nào?

A. (1; 2) .
B. (2 ;  1) .
C. (2 ;  �) .
D. (�;  1) .
2. Bài 2.
( x) như hình bên dưới
Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f �

Hàm số g( x) = f ( 1A. ( - 1;0) .

2x)

3. Bài 3.
Cho hàm số
g( x) = f ( x2 )

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
B. ( - �;0) .
C. ( 0;1) .
D. ( 1;+�) .

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y= f �
( x)

như hình bên. Hỏi hàm số

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. ( -

�;- 1) .

B. ( -

1;+�) .

4. Bài 4.
13

C. ( -

1;0) .

D. ( 0;1) .


Cho hàm số
g( x) = f ( x2 )

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y= f �
( x)

như hình bên. Hỏi hàm số

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. ( -

�;- 1) .

B. ( -

1;+�) .

C. ( -

1;0) .

D. ( 0;1) .

5. Bài 5.
 x  có đồ thị như hình vẽ.
Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f �

2
Hàm số y  f  x  có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

A. 5 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

6. Bài 6.
Cho hàm số y  f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm

 x  . Xét hàm số g  x   f  x 2  2  . Mệnh đề nào dưới đây sai?
số y  f �

A. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  �; 2  .

B. Hàm số g  x  đồng biến

trên khoảng  2; � .
C. Hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  1; 0  .
trên khoảng  0; 2  .
7. Bài 7.
Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số

y= f �
( x)

D. Hàm số g  x  nghịch biến

như hình bên dưới

3
Hàm số g( x) = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. ( - �;- 1) .
8. Bài 8.

B. ( - 1;1) .

C. ( 1;+�) .
14

D. ( 0;1) .

Cho hàm số y  f ( x ). Hàm số
nghịch biến trên khoảng?

1
�2

�
�
A. � ; ��.
�

y  f '( x)

3
�2

�
�
B. � ; ��.
�

có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f ( x  x 2 )

3

�1
�

�

�
C. ��; �.
2
�

�
�

D. � ; ��.
2

�

9. Bài 9.
( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
Cho hàm số y  f ( x). Hàm số y  f �
y  f (1  2 x  x 2 ) đồng biến trên khoảng dưới đây?

A.  �;1 .
B.  1; � .
C.  0;1 .
D.  1; 2  .
10. Bài 10.
Cho hàm số f  x có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số
y  e3 f  2  x  1  3 f  2  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  1;  � .
11. Bài 11.

B.  1; 3 .

C.  �; 2 .

D.  2; 1 .
y

 x
Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f �

4
được cho như hình vẽ bên. Hàm số g x  f  2x  1

đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
� 3�

A.  1; � .

B. �1; �.
2

C.  �; 1 .

D. � ;1�.
2

�

-1

�

�1 �
�

�

15

O

3

x


Có thể nói rằng, có nhiều vô kể các hàm số sơ cấp mà ta đã biết bảng xét
dấu và đồ thị của hàm số đạo hàm. Nếu biết khai thác một cách hợp lí các kết
quả đó và phát triển sang bài toán xét tính đơn điệu của hàm hợp tương ứng thì
chúng ta có thể xây dựng rất nhiều bài toán khác nhau, tùy thuộc vào mức độ
khó dễ mà chúng ta mong muốn và có ứng dụng một cách thiết thực trong giảng
dạy phần hàm số và đồ thị. Qua bài viết này, chúng tôi mong rằng các thầy cô
giáo nghiên cứu và áp dụng phương pháp này vào thực tiễn dạy học để rút ra
được nhiều điều bổ ích để đạt hiệu quả cao trong việc khai thác và xây dựng các
đề thi về bài toán xét tính đơn điệu của hàm số và truyền sự say mê này đến các
học sinh của mình. Giúp các em học sinh “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng
cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã
học”, hướng dẫn học sinh tự học, tự đọc tài liệu liên quan.
Rất mong sự góp ý của các thầy cô và bạn đọc!
Phúc Yên, ngày 06 tháng 01 năm 2020
Người viết

Dương Ngọc Anh

16