chuyên đề ôn thi đại học cao đẳng môn toán THPT chuyên vĩnh phúc

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

2012


Mục lục
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC GIẢI
TÍCH TRONG MẶT PHẲNG........................................................................................................2
Trần Ngọc Thắng – Tổ Toán – Tin học........................................................................................... 2
PHÂN LOẠI BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ HỌC...........................................................................16
Nguyễn Văn Quyền – Tổ Vật lý – Công nghệ.............................................................................. 16
XÂY DỰNG NỘI DUNG DẠY CHUYÊN ĐỀ PHẢN ỨNG OXI HÓA – KHỬ Ở LỚP 10......30
Trần Hoài Thu – THPT Chuyên Vĩnh Phúc..................................................................................30
DI TRUYỀN HỌC QUẦN THỂ...................................................................................................44
Nguyễn Mạnh Hà – THPT Chuyên Vĩnh Phúc.............................................................................44
BÀI THƠ: ĐÀN GHI TA CỦA LOR-CA..................................................................................... 54
Hoàng Văn Quyết – THPT Chuyên Vĩnh Phúc.............................................................................54
NHỮNG CHUYỂN BIẾN MỚI VỀ KINH TẾ - XÃ HỘI Ở VIỆT NAM SAU CHIẾN TRANH
THẾ GIỚI THỨ NHẤT................................................................................................................81
Lê Đăng Thành – THPT Chuyên Vĩnh Phúc.................................................................................81
ĐẤT NƯỚC NHIỀU ĐỒI NÚI.................................................................................................... 85
Nguyễn Thị Chúc Hà – THPT Chuyên Vĩnh Phúc....................................................................... 85
Một số biện pháp giúp học sinh lớp 12 nắm vững trọng âm từ trong Tiếng Anh......................... 92
Dương Thị Bích Ngọc – THPT Chuyên Vĩnh Phúc......................................................................92


1

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
Trần Ngọc Thắng – Tổ Toán – Tin học.
Phần I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình tham số của đường thẳng.
1.1 Vector chỉ phương của đường thẳng: vector u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với
đường thẳng  được gọi là vector chỉ phương của  .
1.2 Phương trình tham số của đường thẳng: nếu đường thẳng  đi qua điểm M 0 x0 ; y0  và
 x0  at
có vector chỉ phương u  a;b thì  có phương trình tham số: x


y  y0  bt

Phương trình tổng quát của đường thẳng

2.1. Vector pháp tuyến của đường thẳng: vector n khác 0 , có giá vuông góc với đường thẳng 
được gọi là vector pháp tuyến của  .
2.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: nếu đường thẳng  đi qua điểm M 0 x0 ; y0  và
có vector pháp tuyến n  a;b thì  có phương trình:
a x  x0  b  y  y0 
2.3. Nhận xét. Nếu đường thẳng  có vector pháp tuyến n  a;b thì nó có một vector chỉ
phương là u   b; a và ngược lại nếu đường thẳng  có vector chỉ phương u  a;b thì nó có
một vector pháp tuyến là n   b; a
3. Góc giữa hai đường thẳng
3.1. Góc giữa hai đường thẳng: nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau ta quy ước
góc bằng 00 , nếu hai đường thẳng cắt nhau thì góc giữa hai đường thẳng là góc nhỏ nhất trong
bốn góc tạo thành.

Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng có giá trị từ 00 đến 900 .
3.2. Công thức xác định góc: cho hai đường thẳng ,  ' lần lượt có vector pháp tuyến là n, n '
và gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng này. Khi đó:
cos 

n.n '
n. n '.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng


2


4.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: cho điểm M xM ; yM  và đường thẳng
 : ax  by  c  0 . Khi đó:
d M ;   

axM  by M  c
a 2  b2

4.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: cho hai đường thẳng song song ,  ' . Khi
đó:
d ;  '   d M ;  ' , M 
5. Đường tròn
5.1. Phương trình đường tròn: đường tròn C  có tâm I a;b , bán kính R có phương trình:
(x  a )2  ( y  b)2  R2 .
Chú ý: phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với điều kiện a 2  b 2  c  0 , là phương
trình đường tròn tâm I  a; b , bán kính R  a 2  b 2  c .
5.2. Tiếp tuyến của đường tròn: một đường tròn C  có tâm I a;b , bán kính R tiếp xúc với

đường thẳng  khi và chỉ khi d I ;    R .
0 Vị trí tương đối của hai điểm với một đường thẳng cho trước
Cho hai điểm A x A ; y A , B xB ; yB  và đường thẳng  : ax  by  c  0 . Khi đó:
6.1. Hai điểm A, B nằm khác phía so với đường thẳng  khi và chỉ khi:
0

ax A  by A  c axB  by B  c   0

6.2. Hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng  khi và chỉ khi:
5888 ax A  by A  c axB  by B  c  0

Phần II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
1. Các bài tập liên quan đến đường phân giác, trung tuyến của tam giác
1.1. Đường phân giác.
Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong và ngoài lần lượt là AD, AE. Khi đó ta có một
số tính chất sau:
(1) DC

DB

 AC

AB

 DB  AC

AB

.DC

3


23 EC

EB

 AC

AB

 EB  AC

AB

.EC

24 Với mỗi điểm M nằm trên đường thẳng AB (hoặc AC), khi đó điểm đối xứng của M qua
phân giác trong hoặc ngoài sẽ nằm trên đường thẳng AC (hoặc AB).
Nhận xét. Tính chất (1), (2) thường dùng để xác định chân đường phân giác trong, ngoài và
phương trình đường phân giác trong và ngoài. Còn tính chất (3) thường sử dụng trong các
bài toán đã biết phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài.
Trong bài viết này chúng tôi chỉ đề cập đến các dạng bài tập đã biết phương trình
của phân giác.
1.2. Đường trung tuyến
Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Khi đó nếu bài toán cho biết phương trình
đường trung tuyến thì ta thường dùng tính chất M là trung điểm BC và theo công thức trung
điểm ta có:
xB  x C ;

y
2

x 
M

y B  yC



2

M

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A1;3 , đường cao BH nằm trên đường thẳng có phường trình
5888  x , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x  3y  2  0 . Viết phương trình
đường thẳng BC.
Lời giải. Do AC vuông góc với đường thẳng BH nên AC có vtpt n AC  uBH  1;1 suy ra pt
AC :1.x  1 1. y  3  0  x  y  2  0 .
Tọa độ giao điểm C thỏa mãn hpt:
xy20


x  4

 C 4;2



 x  3y  2  0

y 2

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua phân giác trong của góc C và K là giao điểm của AA’ với
phân giác trong đó. Khi đó K là trung điểm AA’ và A’ nằm trên đường thẳng BC.
Do AA’ vuông góc phân giác trong góc C nên nAA '   3; 1 suy ra:
23 ' : 3x  1  1. y  3  0  3x  y  6  0
Tọa độ K là nghiệm của hệ pt:
 x  3y  2  0


3 x  y  6  0



 x 2

y  0

 K 2;0 

x A '  2xK  xA 3






y 2y
A'

K


 yA 3

Đường thẳng BC có vtcp CA'  7; 1 suy ra vtpt 1; 7



 A'3; 3


4


BC :1. x  3   7.  y  3   0  x  7 y  18  0
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC,
biết C 4;3 và các đường phân giác trong, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương

trình là: 2 x  3 y  12  0; 2 x  3 y  0 .
Lời giải. Tọa độ đỉnh B thỏa mãn hpt:
 2 x  3y  12  0
x 3
 B3;2



 2 x  3y  0

y  2

Gọi BM, BD lần lượt là trung tuyến, phân giác trong của đỉnh B. Gọi C’ là điểm đối xứng của C
qua đường thẳng BD suy ra C’ thuộc đường thẳng AB và K là giao điểm CC’ và BD. Khi đó K
là trung điểm CC’.
Do CC '  BD  nCC '  uBD  3;2 . Do đó pt CC’ là:
5888 ' : 3x  4  2 y  3  0  3x  2 y  18  0
Tọa độ K thỏa mãn hệ phương trình sau:
3 x  2 y  18  0




 2 x  3y  12  0

x3

 K3;6

y6

xC '  2xK  xC  2  C '2;9 


y

C'

 2 yK  yC  9

Đường thẳng AB có u AB  BC '   5;7  nAB   7; 5. Do đó phương trình đường thẳng
AB : 7.x  2 5.y  9  0  7x  5y  31  0 .
Do M thuộc đường thẳng BM nên M 3t; 2t  và M là trung điểm AC nên A6t  4; 4t 3.
Mặt khác A nằm trên đường thẳng AB nên:
7 6t  4   5 4t  3   31  0  62t  18  0  t 

9

 178

 A

;

57 


 31
31
31 .
Ví dụ 3. (Khối B-2010) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A,
có đỉnh C 4;1, phân giác trong của góc A có phương trình x  y  5  0 . Viết phương
trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Lời giải. Gọi AD là phân giác của góc A và C’ là điểm đối xứng của điểm C qua đường thẳng AD, K
là giao điểm AD và CC’. Khi đó C’ nằm trên đường thẳng AB và K là trung điểm của CC’.

Do CC’ vuông góc với AD nên nCC '  u AD  1; 1 suy ra pt CC’ là:
23 ' :1.x  4  1. y  1  0  x  y  5  0
Tọa độ K là nghiệm của hpt sau:

5


xy50


x  0
 K 0;5


xy50

Do K là trung điểm của CC’ nên ta có:

x 2x


x 4
K

C'

y
C'

y  5

C

 C '4;9

 2 y K  yC  9

2
Do A nằm trên đường thẳng AD nên A t ;5  t   AC. AC '  0  t  16  0  t 4 . Do A có


hoành độ dương nên ta được A 4;1 .





 

Đường AB có vtpt CA  8;0 8 1;0  AB : x  40B




4; m

Theo giả thiết
S ABC   24  AB. AC  48  m  1

2

.824m  1  3 

+) Nếu m  4  B 4;4 thỏa mãn B, C nằm về hai phía của AD.

m  4

m 2

+) Nếu m  4  B 4; 2 không thỏa mãn vì B, C nằm về cùng một phía AD.
Nhận xét. Bài này có thể giải dựa theo góc AD và AC bằng 450 nên ta lập được đường thẳng AC
suy ra điểm A và giải tương tự như cách trên.
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 1; 2 , N 2; 4 lần lượt là
chân đường phân giác trong và ngoài của góc A. Phương trình đường thẳng AC : x  y  4  0 .

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A2; 1, phương trình
đường phân giác trong của các góc B, C lần lượt là x  2 y  1  0; x  y  3  0 . Viết phương
trình đường thẳng BC.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, lập phương trình đường phân giác của góc nhọn
tạo bởi hai đường thẳng d : x  y  4  0 và d ' : x  7 y  12  0 .
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo
bởi hai đường thẳng d : x  2 y  5  0 và d ' : 2 x  y  2  0 .
Bài 5. (Dự bị KA-2008) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao
kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3 x  4 y  10  0

và x  y  1  0 ; điểm M 0; 2 thuộc cạnh AB đồng thời cách điểm C một khoảng bằng 2 .
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.


6

Bài 6. (Khối B-2008) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh C lên đường thẳng AB là điểm H 1; 1

5888 đường phân giác trong của góc A có phương trình x  y  2  0 và đường cao kẻ từ
đỉnh B có phương trình 4 x  3 y  1  0 .
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

giác ABC nếu biết
tam giác đó lần lượt là:
(

), lập phương trình các cạnh của tam

, phân giác trong

); phương trình các đường trung tuyến

.

Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

giác ABC, biết
phương trình là:

(

của

), xác định tọa độ đỉnh B của tam

) và các đường phân giác trong, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có

.

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

), cho tam giác ABC có phân giác

trong AD, đường cao CH lần lượt có phương trình là
điểm B, biết (

) là trung điểm của là trung điểm của

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

. Tìm tọa độ
và

.

), cho tam giác ABC có

đường phân giác trong của góc A có phương trình là

(

⃗

và

),

với

( ). Tìm tọa độ đỉnh A và B.

Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

), cho tam giác ABC. Biết (

),

phương trình đường phân giác trong BK và đường phân giác ngoài AD lần lượt là
. Tìm tọa độ đỉnh A và B.
Bài 12. (Khối D-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (
có đỉnh (

trình

), trọng tâm (

), cho tam giác
) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương

. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.

Bài 13. (Khối D 2008). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC biết rằng đường thẳng AB, đường cao kẻ từ A và đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt có
phương trình là
x  4 y  2  0, 2x  3y  7  0 , 2x  3y  9  0

Bài 14. Lập pt các cạnh của tam giác ABC, biết A(1;3) và đường trung tuyến có phương trình là x
02y +1 = 0, y – 1 = 0
Bài 15. (Khối D-2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung
điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
7 x  2 y  3  0 và 6 x  y  4  0 . Viết phương trình đường thẳng AC.

2. Bài tập liên quan đến góc và khoảng cách
Các bài toàn về lập phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách thông
thường ta làm như sau: giả sử vector pháp tuyến của đường thẳng cần lập là n  a;b , khi đó
dựa vào công thức góc (khoảng cách) ta tìm được liên hệ giữa a và b.


7


Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A2;5, B 5;1 . Lập phương trình
đường thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó bằng 3.
Lời giải. Gọi đường thẳng cần lập là  và có vtpt n    a; b ; a 2  b2  0. Khi đó
0 : a x  2 b  y  5  0 . Theo giả thiết ta có:

d B;    3 

3a 
4b

b  0
 3  7b 2  24 ab  0  

7b  24a

a 2  b2
+) Nếu b  0 chọn a  1  : x  2  0 .
+) Nếu 7b  24a chọn

0  24; a  7  : 7 x  2 24y  5  0  : 7x  24 y  134  0 .
Kết luận. Vậy  có phương trình như hai trường hợp trên.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

là điểm (

(

đi qua điểm

). Giả sử đường thẳng

(

đi qua điểm

), đường thẳng

, biết rằng diện tích của hình chữ nhật

). Hãy viết phương trình đường thẳng

bằng

có tâm

), cho hình chữ nhật

.

Lời giải. Gọi
lần lượt là điểm đối xứng của
vector pháp tuyến của đường thẳng
và
có phương trình:
là

qua suy ra
(

(

)

). Gọi

(

)

. Khi đó ta được

) nên

(

(

Do

)

(

là hình chữ nhật ta có:

)

(

(

)

(

)

(

|

)

|

√

|

||

|

(

+) Nếu

thì ta chọn

+) Nếu

thì chọn

)

( ). Giả sử đường thẳng

(

). Hãy viết phương trình đường thẳng

Lời giải. Gọi
thẳng
Gọi

(

|

là điểm đối xứng với

) kết hợp với là trung điểm của cạnh
|√

.

|

|

√

[

*

ta có
ta có

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

tâm là điểm
điểm
bằng .

.

)

có

), cho hình bình hành

đi qua điểm
là
, biết rằng diện tích của hình bình hành
), trung điểm của cạnh

(

qua tâm suy ra

). Từ đó phương trình đường

(

ta được:

(

) suy ra


8

Ta có (

)

+) Với

thì

+) Với

thì

(
(

)

|

|
.

) nên pt

(

.

.

) nên pt

Bài tập tương tự
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

), hai cạnh bên của một tam giác cân

có phương trình là 2 x  y  1  0 và x  3 y  7  0 . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh


đáy của tam giác cân đó, biết rằng đường thẳng này đi qua điểm M 12; 2
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (



.
), hãy viết phương trình các đường

thẳng lần lượt chứa các cạnh của hình vuông. Biết rằng các đường thẳng đó lần lượt đi qua
các điểm sau: P 2;1, Q 3;5, R 0;2, S 3; 1.

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình đường thẳng , biết rằng đường thẳng


này đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn









2
C : x1  y3



2

 25 theo một dây cung có độ dài

bằng 8.
Bài 4. (Khối B-2004) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (




), cho hai điểm



A 1;1 ,B 4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường thẳng x  2 y  1  0 sao cho khoảng cách từ C đến
đường thẳng AB bằng 6.
), cho hình vuông đỉnh A4;5 và

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (

một đường chéo đặt trên đường thẳng 7 x  y  8  0 . Viết phương trình các đường thẳng
chứa các cạnh của hình vuông và đường thẳng chứa đường chéo thứ hai.
Bài 6. (Khối B-2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật
1 
ABCD có tâm I
;0 , phương trình đường thẳng AB: x  2 y  2  0 và AB  2AD . Tìm tọa
2 
độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.


Bài 7. (KD-2011-nc) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A1;0 và đường tròn

C : x2  y2  2x  4 y  5  0 . Viết phương trình đường thẳng  cắt (C) tại hai điểm M, N sao
cho tam giác AMN vuông cân tại A.
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có BC  2AB . Lập phương
trình các cạnh AB và BC; biết các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm

23 1;1; N 3;1; P4;2;Q2;2.
Bài 9. (Khối A-2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
d1 : 3x  y  0, d2 : 3x  y  0 .


9


Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1  tại A và cắt d2  tại hai điểm B và C sao cho tam giác
ABC vuông tại B. Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng

3

và điểm A có

2
hoành độ dương.
5888

Các bài toán liên quan đến trục đẳng phương của hai đường tròn

Cho hai đường tròn C1 , C2  không đồng tâm lần lượt có phương trình:

C1  : x 2

 y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0;C2  : x 2  y 2  2a2 x  2b2 y  c2  0

Giả sử hai đường tròn C1 , C2 cắt nhau tại hai điểm phân biết A, B. Khi đó phương
trình đường thẳng AB:
2a1  a2  x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Chứng minh.
Do A là điểm chung của C1 , C2  nên ta có:
x A2  y A2  2a1 x A  2b1 y A  c1  0; x A2  y A2  2a2 x A  2b2 y A  c2  0
Từ hai phương trình này suy ra: 2a1  a2 xA  2b1  b2  yA  c1  c2  0
Nên A thuộc đường thẳng 2a1  a2 x  2b1  b2  y  c1  c2  0 .

Chứng minh tương tự ta được B cũng thuộc đường thẳng:
2a1  a2 x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB là: 2a1  a2 x  2b1  b2  y  c1  c2  0
Ví dụ 1. (Khối B-2006) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy cho đường
tròn (C): x2  y2  2x  6 y  6  0 và điểm M 3;1 . Gọi T1 ,T2 là các tiếp điểm của các tiếp
tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2 .
Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I 1;3, R  2 . Ta có T1 ,T2 nằm trên đường tròn đường kính IM.

J 1;2, JM  5

Gọi J là trung điểm IM nên
suy ra phương trình đường tròn đường kính IM
2
2
2
2
là: x  1   y  2   5  x  y  2 x  4 y  0

Do đó theo kết quả đã trình bày ở trên thì: TT : 4x  2 y  6  0  2x  y  3  0
1 2

Ví dụ 2. (Dự bị KD-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

C : x  4 2  y 2

 4 và điểm E 4;1 . Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được


10


hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn C  với A, B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng AB
đi qua điểm E.
Lời giải. Do M nằm trên trục tung nên M 0;t . Đường tròn (C) có tâm I 4;0, R  2 , gọi J là


trung điểm IM thì

x  2 

2


y



J  2;



2
t


2

4 

t ,JI 


2

t2

2

4 t
4
2

x

y

2

nên phường trình đường tròn đường kính IM là:

 4x  ty  0

4

Do AB là trục đẳng phương của hai đường tròn (C) và đường tròn đk IM nên pt
AB : 4 x  ty  12  0 . Do đường thẳng AB đi qua điểm E nên:
16  t  12  0  t  4  M 0;4
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy); cho tam giác ABC có trực tâm
H 3;3, đỉnh C 7;1 và các đường cao AD, BE (D, E là các chân đường cao). Hãy tìm tọa độ
các đỉnh A và B; biết rằng trung điểm của cạnh AB là điểm M 2;3 và đường thẳng DE đi qua
điểm N 2; 2.
Lời giải. Ta có tứ giác CDHE nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp chính là đường tròn đường kính
HC suy ra phương trình là

C : x  52

  y  22  5  x2  y2  10x  4 y  24  0

Đường thẳng AB đi qua điểm M và nhận HC   4; 2 làm vtpt nên AB : 2x  y  1  0 .
Gọi At;2t  1  B 4  t ;7  2t . Ta có tứ giác AEDB nội tiếp và đường tròn này nhận
AB làm đường kính nên pt là C ': x2  y2  4x  6 y  13  5t  22  0 .
Do D, E là giao điểm của C  và C ' nên phương trình đường thẳng DE là:
6 x  2 y  11  5 t  2 2  0 . Do đường thẳng DE đi qua điểm N 2; 2 nên ta có:
12  4  11  5 t  2 2  0  t  3; t 1. Từ đó A3;5, B 1;1 hoặc A1;1, B 3;5
Bài tập tương tự
Bài 1. (Dự bị KB-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

C : x2  y2  2x  4 y  2  0 . Viết phương trình đường thẳng AB, biết đường tròn (C’)
tâm M 5;1 cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB  3 .
Bài 2. (Dự bị KA-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x2  y2 1.
Viết phương trình đường thẳng AB, biết đường tròn (C’) tâm I 2; 2 cắt (C) tại hai điểm A, B

sao cho AB  2 .


11


Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn
C : x 2  y 2  2x  2 y  1  0 .Giả sử đường tròn C ' có tâm M 3;1 và cắt đường
tròn C  tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều, trong đó điểm I là tâm của đường tròn
C . Hãy viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy); cho điểm (

C  và đường thẳng d1

) cho đường tròn

lần lượt có phương trình là

C : x  4 2   y  3 2

 8; d1 : x  2 y  3  0.

Hãy tìm tọa độ điểm M thuộc d1 sao cho từ M có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến
đường tròn C  sao cho đường thẳng AB cách điểm P một khoảng bằng

5
.
13

4. Các bài toán liên quan đến hai tiếp tuyến cắt nhau
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và một điểm M. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A,
B là các tiếp điểm). Khi đó ta có một số câu hỏi thường gặp như sau:
23 Tính độ dài AB, viết phương trình đường thẳng AB, tìm tọa độ hình chiếu của M lên đường
thẳng AB, tính diện tích tam giác IAB và tứ giác IAMB.
24 Cho biết góc giữa hai đường thẳng MA, MB là  . Hãy xác định tọa độ điểm M. Đối với dạng bài
tập này từ giả thiết ta sẽ biết góc AMB suy ra độ dài IM và từ đó tính được tọa độ điểm M.

Ví dụ 1. (Dự bị 2002) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường thẳng d
: x  y  1  0 và đường tròn (C) có phương trình: x2  y2  2x  4 y  0 . Tìm tọa độ điểm M

thuộc d mà qua đó ta kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) sao cho hai đường thẳng này
tạo với nhau một góc 600 .
Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I 1;2, R  5 và do M thuộc đường thẳng d nên M t;t 1 .
Giải sử hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến là A, ta xét hai trường hợp sau:
IA
0

0

TH1. Nếu AMB  60 thì AMI  30  IM  sin 300  2 5 suy ra:

t12t122

5  t 2  1  10  t 3

+) Nếu t  3  M 3;4
+) Nếu t 3  M 3; 2
IA
0

0

TH2. Nếu AMB 120 thì AMI  60 IM 

sin 600 

2 5
3

suy ra:

2
t  1 2  t  1 2  2 5  t  1  10  t  7

 


3
3
3

12


7

+) Nếu t 

M

 7





3
+) Nếu t 

3

;



7

1





3



7  M  7 ;  7 1

3
3
3 




Ví dụ 2. (Khối D-2007) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc (Oxy), cho đường tròn
(C) có phương trình: x  12   y  2 2  9 và đường thẳng d : 3 x  4 y  m  0 . Tìm m để trên d

có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác PAB đều.
Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 , R  3

 3t  m 

và do P thuộc d nên ta có M  t ;



 . Do tam

4 

giác PAB đều nên APB  600  IPA  300 suy ra:
IA  IP.sin 30

0

 6  t  1 2

3t  m  8 2





6



4

 25t  2 3m  8t  m2  16m  496  0
2

(1)

Ycbt tương đương với tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Điều đó tương đương với

23

'   3m  82  25m2  16m  496  0 16m2  352m  12464  0


2

 m  22m  779  0 

m 19

m 41

Bài tập tương tự
Bài 1. (Khối A-2011) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng  : x  y  2  0
và đường tròn C : x2  y2  4x  2 y  0 . Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc  . Qua M kẻ
các tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết diện tích tứ giác
MAIB có diện tích bằng 5.
Bài 2. (Dự bị KA-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x2  y2 1.
Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y  m tồn tại đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó
kẻ được hai tiếp tuyến với C  sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600 .
5. Các bài sử dụng những tính chất hình học đặc biệt của tam giác
Từ năm 2009 đến nay các bài hình học tọa độ trong mặt phẳng thường là một câu hỏi khó
đối với đa số thí sinh. Nguyên nhân chính của khó khăn đó nằm ở chỗ muốn giải được các bài
tập này học sinh cần phải biết những tính chất hình học đặc biệt của tam giác hoặc lời giải của nó
thuần túy dựa theo chứng minh của hình học phẳng. Đa số học sinh khi đến lớp 12 thường yếu
phần hình học phẳng và thường không nhớ được các tính chất đặc biệt trong tam giác. Do đó khi
giáo viên dạy ôn tập cho học sinh phần này nên liệt kê lại những tính chất cơ bản của phần hình