Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng môn Toán học:Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học qua các năm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.05 KB, 30 trang )
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010
MÔN TOÁN
I. PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm):
Câu 1 (2 điểm):
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: Chiều biến thiên của hàm
số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm
số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là
đường thẳng)…
Câu 2 (2 điểm):
- Phương trình, bất phưong trình; hệ phương trình đại số
- Công thức lượng giác, phương trình lượng giác
Câu 3 (1 điểm):
- Tìm giới hạn
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
Câu 4 (1 điểm):
- Hình học không gian (tổng hợp): Quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt
phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích của khối lăng trụ, khối
chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 5 (1 điểm):
- Bài toán tổng hợp
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 6.a (2 điểm):
- Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:
+ Xác định toạ độ của điểm, vectơ
+ Đường tròn, elip, mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
+ Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu.
Câu 6.a (1 điểm):
- Số phức
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5.b (2 điểm):
- Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian:
+ Xác định toạ độ của điểm, vectơ
+ Đường tròn, ba đường cônic, mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
+ Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường
thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 6.b (1 điểm):
- Số phức
- Đồ thị của hàm phân thức hữu tỷ dạng y = và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong
- Hệ phương trình mũ và lôgarit
- Tổ hợp, xác suất, thống kê.
- Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số
- Trang
1
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
Phần thứ nhất:
NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CÁC CHUYÊN ĐỀ
1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ
giao điểm của (C
1
), (C
2
): f(x) = g(x) (1)
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=
=
Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
Tìm các thành phần chưa có x
0
, y
0
, f’(x
0
) thay vào y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
- Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành độ tiếp điểm)
- Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết quả
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
- Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – y
A
= k(x – x
A
) (1)
- (d) là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
A A
f (x) k(x x ) y
f '(x) k(*)
= − +
=
- Giải pt
( ) '( )( )
A A
f x f x x x y= − +
tìm x và thay vào (*) tìm k , thay vào (1) ta có kết quả.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1) Dạng cơ bản:
=
≥
⇔=•
=
≥
⇔=•
BA
0B
BA
BA
0B
BA
2
2) Tổng quát:
- Phương pháp chung là bình phương, lập phương hai vế của phương trình đã cho để khử dấu căn,
sau khi đã đặt điều kiện cho phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
- Nếu phép bình phương, lập phương dẫn đến phương trình bậc cao, phức tạp thì ta tìm cách biến đổi
thành tích hoặc dùng ẩn phụ.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Các kiến thức cần nhớ:
1) Dạng cơ bản:
≤
≥
≥
⇔≤•
≥
>
≥
≤
⇔≥•
2
2
BA
0A
0B
BA
BA
0B
0A
0B
BA
2) Tổng quát:
- Phương pháp chung là bình phương hai vế của bất phương trình đã cho để khử dấu căn, đôi khi
phải dùng ẩn số phụ trước khi bình phương.
- Một số ít bài có thể dùng tính đơn điệu
- Lưu ý: Xét các trường hợp về dấu của hai vế có thể thỏa mãn trước khi bình phương
- Trang
2
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Hệ phương trình đối xứng
1) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2) Hệ phương trình đối xứng loại 1:
- Dạng:
=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đối xứng theo x và y
- Cách giải: Dùng ẩn phụ S = x + y, P = xy (điều kiện: S
2
- 4P
)0≥
- Chú ý: + Đôi khi phải sử dụng ẩn phụ trước khi tiến hành đặt S, P
+ Do tính đối xứng nên nếu (x , y) là nghiệm thì (y , x) cũng là nghiệm.
3) Hệ phương trình đối xứng loại 2:
- Dạng:
=
=
0)x,y(f
0)y,x(f
(hoán vị vai trò của x và y thì phương trình này thành phương trình kia)
- Cách giải: + Trừ vế theo vế ta được một phương trình có thể phân tích thành (x - y)g(x,y) = 0
+ Khi đó hệ phương trình đã tương đương với:
)II(
0)y,x(f
0)y,x(g
)I(
0)y,x(f
0yx
=
=
∨
=
=−
- Lưu ý: (II) tương đương với
=+
=
0)x,y(f)y,x(f
0)y,x(g
(Hệ đối xứng loại 1)
Hệ phương trình đẳng cấp
- Dạng:
=
=
0)y,x(g
0)y,x(f
trong đó f(x , y) và g(x , y) là biểu thức đẳng cấp cùng bậc (tổng số mũ của x
và y trong cùng một hạng tử bằng nhau)
- Cách giải: + Giải hệ với x = 0 (hoặc y = 0)
+ Với x khác 0 (hoặc y khác 0), đặt y = tx (hoặc x = tx)
Ta được hệ phương trình 2 ẩn x và t.
+ Khử x, ta được phương trình 1 ẩn t.
Hệ phương trình mũ, lôgarit
Phương pháp chung thường hay được sử dụng là: Biến đổi với các tính chất tương ứng, sau đó dưa
về hệ phương trình đại số (có thể phải qua bước dùng ẩn phụ).
Để ý: Trong hai phương trình của một hệ thường có một phương trình có thể giúp chúng ta rút được
một ẩn theo ẩn kia để thế vào phương trình còn lại.
Hệ phương trình khác
Dùng phương pháp biến đổi tương đương, đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản
hơn. Thường ta dùng các phép biến đổi sau:
1) Nếu biểu thị một ẩn theo các ẩn còn lại thì dùng phương pháp thế
2) Nếu biến được một phương trình của hệ thành tích thì ta phân tích hệ thành nhiều hệ đơn giản
hơn.
3) Nếu biến đổi hệ thành những biểu thức đồng dạng thì đặt ẩn phụ.
4. LƯỢNG GIÁC
Các công thức biến đổi:
1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau:
cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx
* Cung bù nhau:
cos(
π
- x) = - cosx sin(
π
- x) = sinx tg(
π
- x) = - tgx cotg(
π
- x) = -cotgx
* Cung phụ nhau:
cos(
x
2
π
−
) = sinx sin(
x
2
π
−
) = cosx tg(
x
2
π
−
) = cotgx cotg(
x
2
π
−
) = tgx
* Cung hơn kém nhau
π
:
cos(
π
+ x) = - cosx sin(
π
+ x) = - sinx tg(
π
- x) = tgx cotg(
π
- x) = cotgx
- Trang
3
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
2) Công thức cộng:
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa
tg(a + b) =
tgatgb1
tgbtga
−
+
tg(a - b) =
tgatgb1
tgbtga
+
−
3) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos
2
a - 1 = 1 - 2sin
2
a = cos
2
a - sin
2
a; tg2a =
atg1
tga2
2
−
4) Công thức hạ bậc:
)a2cos1(
2
1
acos
2
+=
;
)a2cos1(
2
1
asin
2
−=
;
a2cos1
a2cos1
atg
2
+
−
=
5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t =
2
a
tg
:
22
2
2
t1
t2
tga;
t1
t1
acos;
t1
t2
asin
−
=
+
−
=
+
=
6) Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
ba
cos
2
ba
cos2bcosacos
−+
=+
;
2
ba
sin
2
ba
sin2bcosacos
−+
−=−
2
ba
cos
2
ba
sin2bsinasin
−+
=+
;
2
ba
sin
2
ba
cos2bsinasin
−+
=−
bcos.acos
)basin(
tgbtga;
bcos.acos
)basin(
tgbtga
−
=−
+
=+
7) Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b)
2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b)
2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b)
Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát:
1) PTLG cơ bản:
π+=⇔=π+=⇔=
π+±=⇔=
π+−π=
π+=
⇔=
kvugvcotgucot;kvutgvtgu
2kvuvcoscou;
2kvu
2kvu
vsinusin
2) PT bậc nhất, bậc hai, theo một HSLG
3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c
- Cách giải: Chia hai vế cho
22
ba +
. Đặt:
α=
+
α=
+
sin
ba
b
;cos
ba
a
2222
- Điều kiện có nghiệm:
222
cba ≥+
4) Phương trình đẳng cấp:
0ucos.cucosusinbusina
22
=++
- Xét cosu = 0
- Trường hợp cosu
0≠
, chia hai vế của phương trình cho cos
2
u
5) Phương trình theo
ucosusin
±
và sinu.cosu:
- Đặt t =
ucosusin
±
, suy ra: sinu.cosu =
2
1t
2
−
±
- Lưu ý:
)
4
usin(2ucosusin
π
±=±
,
2u ≤
Một số gợi ý giải phương trình lượng giác:
- Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác thích
hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó.
- Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về
cùng một góc lượng giác.
- Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tg, cotg thì phải đặt điều kiện trước khi giải. Tùy
theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường minh ra x.
- Trang
4
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
- Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện
tương ứng).
- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tg2x, cotg2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm
lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tgx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được)
Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng
riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp.
5. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Phương trình, bất phương trình mũ
1) Hàm số mũ y = a
x
: - TXĐ: R, a
x
> 0 với mọi x.
- Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1, nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1.
- Các tính chất của lũy thừa.
2) Dạng cơ bản:
)x(glog)x(f
0)x(g,1a0
)x(ga
);x(g)x(f
1a0
aa
a
)x(f)x(g)x(f
=⇔
>≠<
=
=⇔
≠<
=
<
<<
∨
>
>
⇔>
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
3) Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ:
- Đưa về cùng cơ số - Lôgarít hai vế (dạng:
cba,ba
)x(g)x(f)x(g)x(f
==
)
- Dùng ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản- Đoán nghiệm và dùng tính đơn điệu chứng minh duy nhất
Phương trình, bất phương trình lôgarit
- Định nghĩa:
y
a
axxlogy =⇔=
- Hàm số: y = log
a
x có tập xác định: x > 0,
1a0
≠<
. Tập giá trị: R
- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu
1a0 ≠<
- Các công thức biến đổi:
1alog
a
=
01log
a
=
xa
xlog
a
=
log
a
(N
1
.N
2
)= log
a
|N
1
| + log
a
|N
2
|
2a1a
2
1
a
NlogNlog
N
N
log −=
blog.clogblog
caa
=
alog
1
blog
b
a
=
c
a
c
log b
log b
log a
=
|N|logNlog
aa
α
α
=
Nlog
1
Nlog
a
α
=
α
a
- Phương trình và bất phương trình cơ bản:
>=
≠<
⇔=
0)x(g)x(f
1a0
)x(glog)x(flog
aa
>>
>
<<
<<
⇔>
0)x(g)x(f
1a
)x(g)x(f0
1a0
)x(glog)x(flog
aa
- Phương pháp giải thường dùng:
+ Đưa về cùng cơ số
+ Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản.
6. TÍCH PHÂN
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến:
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
•
22
xa −
Đặt x = asint, t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
hoặc x = acost, t
];0[
π
∈
- Trang
5
1
C
y
2
C
y
2
C
x
1
C
x
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
•
22
xa +
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ
−∈
•
xa
xa
+
−
Đặt x = acos2t, t
);0[
π
∈
•
1
2
−x
Đặt x =
tcos
1
, t
}
2
{\];0[
π
π
∈
•
22
22
1
,
xa
xa
+
+
Đặt x = atgt, t
)
2
;
2
(
ππ
−∈
Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Chú ý: Một số dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
P(x)lnx, P(x)e
ax
, P(x)sinax, P(x)cosax, e
ax
cosax, e
ax
sinax.
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
[ ]
∫
−=
b
a
dxxgxfS )()(
[ ]
∫
−=
b
a
dyygyfS )()(
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay.
[ ]
dxxfV
b
a
2
)(
∫
=
π
[ ]
dyyfV
b
a
2
)(
∫
=
π
6. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Quy tắc cộng :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối tượng x không trùng
với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có m + n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Quy tắc nhân :
Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, với mỗi cách chọn x như thế, có n cách chọn đối tượng y,
thì có m x n cách chọn đối tượng (x ; y).
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
- Trang
6
∫
−=
∫
b
a
vdu
a
b
uv
b
a
udv
=∆
=∆
=
=
bx
ax
xgyC
xfyC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
=∆
=∆
=
=
by
ay
ygxC
yfxC
H
:
:
)(:)(
)(:)(
:)(
2
1
2
1
a
b
0
=
y
)(:)( xfyC
=
b
ax
=
bx
=
x
y
O
b
a
x
y
0
=
x
O
)(:)( yfxC
=
by
=
ay
=
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
xfyC
=
)(:)(
2
xgyC
=
ax
=
bx
=
O
x
y
)(H
a
b
)(:)(
1
yfxC
=
)(:)(
2
ygxC
=
ay
=
by
=
O
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
P
n
= n!
(n ≥ 1)
≤ ≤
k
n
n!
A =
(n -k)!
(1 k n)
≤ ≤
k
n
n!
C =
k!(n -k)!
(0 k n)
n! = 1.2.3…n
n! = (n – 1)!n
0! = 1
k k
n n
A = k!C
1
n
n
n
A =1
A = n!
0 n
n n
n-k k
n n
k-1 k k
n-1 n-1 n
C = C =1
C = C
C + C = C
n
n n
P = A
Số cách xếp n phần tử
vào n vị trí co thứ tự.
Số cách chọn k phần tử trong n
phần tử có thứ tự
Số cách chọn ra tập hợp con k
phần tử trong tập hợp n phần tử
không thứ tự
Công thức khai triển Niutơn
∑
n
n k n-k k 0 n 1 n-1 2 n-2 2 3 n-3 3 n n
n n n n n n
k=0
(a+ b) = C a b = C a + C a b + C a b + C a b + + C b
Các tính chất :
- Trong khai triển (a + b)
n
ta được (n+1) số hạng.
- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số là n.
- Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a + b)
n
là
k n-k k
k+1 n
T = C a b
Các dạng bài tập
- Dạng 1 : Tìm hệ số của xn trong khai triển nhị thức Niutơn
- Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức, áp dụng giải bài toán khác
Phương pháp
Phương pháp :
1) Nếu trong tổng có
k
n
C
k +1
, ta khai triển
( )
n
ax + b
rồi lấy tích phân.
2) Nếu trong tổng có
k
n
kC
, ta khai triển
( )
n
ax + b
rồi lấy đạo hàm.
3) Nếu trong tổng không có 2 số hạng trên, ta khai triển
( )
n
ax + b
rồi chọn a, b, x.
4) Nếu tổng có chỉ số không đầy đủ, ta đặt tổng bổ sung, tính tổng hiệu
7. SỐ PHỨC
1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) :
z = a + bi (a, b
R∈
, i là đơn vị ảo, i
2
= -1); a là phần thực, b là phần ảo của z
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈
=
=
⇔
4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R∈
được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
);( bau =
→
trong mp(Oxy) (mp phức)
5. Cộng và trừ số phức : (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
)R∈
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
)R∈
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
'u
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+ 'uu
và z – z’ biểu diễn bởi
→→
− 'uu
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
)R∈
.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz −=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+=
b) z là số thực
zz =⇔
; z là số ảo
zz −=⇔
8. Môđun của số phức : z = a + bi
- Trang
7
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
a)
OMzzbaz ==+=
22
b)
00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''.
9. Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z
)0≠
:
z
z
z
2
1
1
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z
)0≡
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1
===
−
c) Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==
10. Căn bậc hai của số phức : z là căn bậc hai của số phức
ω
ω
=⇔
2
z
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi
=
++
=
⇔
=
=−
⇔
x
b
y
baa
x
bxy
ayx
2
2
2
22
2
22
(a, b, x, y
)R∈
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w
0
≠
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là
a±
* Hai căn bậc hai của a < 0 là
ia.−±
11. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A
0≠
).
ACB 4
2
−=∆
a)
0≠∆
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
A
B
2
δ
±−
, (
δ
là 1 căn bậc hai của
)∆
b)
0=∆
: Phương trình có 1 nghiệm kép là
A
B
2
−
8. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Hệtrục toạ độ, toạ độ của điểm, của vectơ
A) Vectơ: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho hai vectơ
( ) ( )
1 1 2 2
u x ;y ,v x ; y= =
r r
u v+ =
r r
(x
1
+ x
2
;y
1
+ y
2
)
u v− =
r r
(x
1
- x
2
;y
1
- y
2
)
1 1
k.u (kx ;ky )=
r
1 2
1 2
x x
u v
y y
=
= ⇔
=
r r
B) Điểm: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(x
A
; y
A
), B(x
B
;y
B
), C(x
C
; y
C
)
AB
uuur
= (x
B
- x
A
; y
B
-
y
A
)
A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương
A, B, C là ba đỉnh của tam giác khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur
không cùng phương
Tọa độ trung điểm M của AB là
A B
M
A B
M
x x
x
2
y y
y
2
+
=
+
=
,trọng tâm G của tam giác ABC:
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
+ +
=
+ +
=
Phương trình đường thẳng, khoảng cách và góc
1.Đường thẳng đi qua điểm M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
u
r
(a;b) làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số:
0
0
x x at
y y bt
= +
= +
và phương trình chính tắc
0 0
x x y y
a b
− −
=
2. PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0
Đường thẳng qua M(x
0
;y
0
) và nhận véctơ
r
n
(a;b) làm VTPT có PTTQ: a(x- x
0
) + b(y - y
0
) = 0
- Trang
8
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
3. Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến
∆
:ax + by + c = 0 là:
( )
0 0
2 2
ax by c
d M,
a b
+ +
∆ =
+
4. Đường thẳng d
1
, d
2
lần lượt có VTCP là
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
u a ;b ,u a ;b= =
uur uur
. Khi đó ta có:
·
(
)
( )
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
u .u
a a b b
cos d ,d cos u ,u
u . u
a b . a b
+
= = =
+ +
uur uur
uur uur
uur uur
Đường tròn
1. Đường tròn tâm I(a,b), bán kính R có phương trình chính tắc:(x- a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
2. Phương trình x
2
+y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 (a
2
+ b
2
- c > 0) là phương trình của đường tròn với tâm I(-a ; -b),
bán kính R =
2 2
a b c+ −
.
Elip
1. Định nghĩa: Trong mp cho 2 điểm cố định F
1
,F
2
và số dương 2a không đổi ( 2a > F
1
F
2
=2c)
(E) = {M : M F
1
+ MF
2
= 2a}
• F
1
,F
2
: Tiêu điểm - F
1
F
2
= 2c tiêu cự ( c < a )
• r
1
= M F
1
, r
2
= MF
2
bán kính qua tiêu tại M.
1
2
c
F M a
a
c
F M a
a
1
2
r x
r x
= = +
= = −
2. Phương trình chính tắc:
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
(
2 2 2
a b 0, b a c> > = −
)
- Các đỉnh: A
1
(-a,0) , A
2
(a,0) , B
1
(0,-b) và B
2
(0,b)
- Các trục: - Trục lớn A
1
A
2
= 2a - Trục nhỏ B
1
B
2
= 2b - Tâm sai:
c
e
a
=
- Các đường chuẩn:
a
x 0
e
± =
9. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Kệ toạ độ trong không gian
1. Tọa độ vectơ: Cho
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b ,b ,b= =
r r
. Ta có
( )
1 1 2 2 3 3
a b a b ;a b ;a b
± = ± ± ±
r r
( )
1 2 3
k.a ka ;ka ;ka=
r
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
r r
a
r
cùng phương
31 2
1 2 3
aa a
b
b b b
⇔ = =
r
1 1 2 2 3 3
a.b a b a b a b= + +
r r
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b 0⊥ ⇔ + + =
r r
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
cos a,b
a a a . b b b
+ +
=
+ + + +
r r
2. Tọa độ điểm: Cho
A; A A B; B B C; C C
A(x y ;z ),B(x y ;z ),C(x y ;z )
( )
B A B A B A
AB x x ;y y ;z z= − − −
uuur
( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB AB x x y y z z= = − + − + −
uuur
M là trung điểm của AB
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
2 2 2
+ + +
⇔
÷
- Trang
9
y
M(x,y)
F
1
F
2
-c O c x
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
G là trọng tâm tam giác ABC
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
M ; ;
3 3 3
+ + + + + +
⇔
÷
3. Tích có hướng của hai vectơ:
( ) ( )
1 2 3 1 2 3
a a ,a ,a ,b b ,b ,b= =
r r
Tích có hướng của hai vec tơ
a
r
và
b
r
là một vectơ, k/h:
3
1 2
3
2 1
2 3 1
3 1 2
a
a a
a
a a
a,b ; ;
b b b
b b b
=
÷
÷
r r
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng:
a, b,c
r r r
đồng phẳng
a,b .c 0
⇔ =
r r r
-
a
r
cùng phương
b a,b 0
⇔ =
r r r r
- Diện tích hình bình hành ABCD :
ABCD
S AB,AD
=
uuur uuur
- Diện tích tam giác ABC :
ABC
1
S AB,AC
2
=
uuur uuur
- Thể tích tứ diện ABCD :
ABCD
1
V AB,AC .AD
6
=
uuur uuur uuur
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' :
ABCD.A 'B 'C 'D'
V AB,AD .AA'
=
uuur uuur uuuur
Phương trình mặt phẳng
1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
*
→→
≠
0n
là VTPT của mp(
α
) nếu:
α⊥
→
n
* Hai vectơ không cùng phương
→→
b,a
được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (
α
) nếu chúng song
song hoặc nằm trên (
α
). Khí đó:
→→
b,a
là vectơ pháp tuyến của (
α
)
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+ B
2
+ C
2
0≠
)
+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT:
)C;B;A(n =
→
+ Mặt phẳng qua M(x
0
; y
0
; z
0
) và có một VTPT là
)C;B;A(n =
→
thì có pt:
A(x - x
0
) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
1
c
z
b
y
a
x
=++
(phương trình theo đọan chắn)
+ MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz): x = 0 + Mp(Ozx): y = 0
3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng)::
Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là
m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời = 0)
Phương trình đường thẳng trong không gian
1) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số:
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
= +
= +
= +
, với
1 2 3
a (a ;a ;a )=
r
là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
-Phương trình chính tắc:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:
3) Cách viết phương trình đường thẳng:
Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường thẳng.
→
PTTS
- Trang
10
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
Một số dạng toán viết phương trình đường thẳng
STT Bài toán Hình vẽ Cách giải
1
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M và cắt 2
đường thẳng
1
,
2
B
1
: - Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham số t)
1
- M
2
(toạ độ có chứa tham số t’)
2
B
2
:
1
MM
uuuuur
và
2
MM
uuuuur
cùng phương => t => M
1
B
3
: Viết phương trình MM
1
chính là phương trình đường
thẳng
2
Viết phương
trình đường
thẳng song
song với d và
cắt cả
1
và
2
B
1
: - Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham số t)
1
- M
2
(toạ độ có chứa tham số t’)
2
B
2
:
1 2
M M
uuuuuur
và
d
a
uur
cùng phương => t, t’ => M
1
, M
2
B
3
: Viết phương trình M
1
M
2
chính là phương trình đường
thẳng
3
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M vuông
góc và cắt
đường thẳng d
Phương pháp 1
B
1
: Gọi N (toạ độ có chứa tham số t)
∈
d
B
2
: MN
⊥
d
⇔
.
d
MN a
uuuur uur
= 0 => t => M
Phương trình chính là phương trình MN
Phương pháp 2
B
1
: Viết ptrình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc d
B
2
: Tìm H = (α )
∩
d
B
3
: phương trình là phương trình đường MH
4
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M vuông
góc với đường
thẳng
1
và cắt
đthẳng
2
B
1
: Viết phương trình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc
1
B
2
: Tìm N = (α )
∩
(
2
)
B
3
: Phương trình là phương trình đường MN
5
Viết phương
trình đường
thẳng nằm
trong mặt phẳng
α và cắt cả 2
đường thẳng
1
,
2
B
1
: Tìm M
1
=
1
∩
(α )
B
2
: Tìm M
2
=
2
∩
(α )
B
3
: là đường thẳng M
1
M
2
7
Viết pt đường
thẳng nằm
trong mp(α ),
qua giao điểm
A của d và α ,
vuông góc d
B
1
: Tìm điểm A =
∩
(α )
B
2
:
qua A
vtcp a ,
d
Coù n a
α
=
r uur uur
Vị trí tương đối giữa các đường và các mặt phẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng: (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
), có VTCP
u
r
= ( a; b; c)
và (d’) qua M’
0
(x’
0
;y’
0
;z’
0
), có VTCP
u '
ur
= ( a’; b’; c’)
- Trang
11
1
α
2
α
1
2
d
1
a
uur
2
a
uur
1
M
M
2
2
α
1
α
2
α
A
d
M
1
1
α
2
M
2
1
α
2
α
1
2
M
M
1
M
2
M
d
ra
α
ra
N
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
(d) và (d
’
) đồng phẳng ⇔
'
0 0
u,u' .M M 0
=
uuuuuur
r ur
(d) và (d’) cắt nhau ⇔
'
0 0
u,u ' .M M 0
=
uuuuuur
r ur
và a:b:c ≠ a’:b’:c’
(d) // (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’
0
– x
0
):(y’
0
– y
0
) :(z’
0
– z
0
)
(d) ≡ (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’ = (x’
0
– x
0
):(y’
0
– y
0
) :(z’
0
– z
0
)
(d) và (d’) chéo nhau ⇔
'
0 0
u,u ' .M M 0
≠
uuuuuur
r ur
Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng :
Cho đường thẳng (d) qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) , có VTCP
u
r
= ( a; b; c).
và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT
n (A;B;C)
=
r
(d) cắt (α ) ⇔
n.u 0≠
r r
⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0
0
n u
(d) / /( )
M ( )
⊥
α ⇔
∉ α
r r
⇔
0 0 0
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
+ + =
+ + ≠
(d) ⊂ (α ) ⇔
0
n u
M ( )
⊥
∈ α
r r
⇔
0 0 0
Aa Bb Cc 0
Ax By Cz 0
+ + =
+ + =
Khoảng cách
- Khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz = 0 là:
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d M ,( )
A B C
+ + +
α =
+ +
- Khoảng cách từ điểm M
1
đến đt
∆
đi qua M
0
và có vectơ chỉ phương
u
r
là:
( )
0 1
1
M M ,u
d M ,
u
∆ =
uuuuuur r
r
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
∆
và
∆
', trong dó:
∆
đi qua điểm M
0
và có vectơ chỉ phương
u
r
,
∆
' đi qua điểm M
0
' và có vectơ chỉ phương
u '
ur
( )
0 0
u,u' .M M '
d , '
u,u'
∆ ∆ =
r ur uuuuuuur
r ur
Mặt cầu – Phương trình đường tròn trong không gian
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
2 2 2 2
(S) : (x a) (y b) (z c) R
− + − + − =
- Phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
+2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+C
2
- D > 0 là phương trình mặt
cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính
2 2 2
R A B C D
= + + −
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
Cho mặt cầu
2 2 2 2
(S): (x a) (y b) (z c) R− + − + − =
với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz + D = 0.
+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)
+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính
2 2
r R d= −
Phương trình đường tròn trong không gian:
2 2 2 2
Ax By Cz D 0
(x a) (y b) (z c) R
+ + + =
− + − + − =
với d =
2 2 2
Aa Bb Cc D
R
A B C
+ + +
<
+ +
ĐỀ THAM KHẢO 5
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
- Trang
12
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2x 3
y
x 2
−
=
−
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B
sao cho AB ngắn nhất .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình: 2( tanx – sinx ) + 3( cotx – cosx ) + 5 = 0
2. Giải phương trình: x
2
– 4x - 3 =
x 5+
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân:
1
2
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫
Câu IV (1 điểm)
Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất .
Câu V ( 1 điểm )
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. CMR:
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a.( 2 điểm )
1. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên
đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) :
x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng :
(d)
x 1 3 y z 2
1 1 2
+ − +
= =
−
và (d’)
x 1 2t
y 2 t
z 1 t
= +
= +
= +
Viết phương trình tham số của đường thẳng (
∆
) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng
(d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
Câu VIIa . ( 1 điểm )
Tính tổng :
0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0
5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7
S C C C C C C C C C C C C= + + + + +
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b.( 2 điểm )
1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C
1
) : (x - 5)
2
+ (y + 12)
2
= 225 và (C
2
) : (x – 1)
2
+ ( y – 2)
2
= 25
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
(d)
x t
y 1 2t
z 4 5t
=
= +
= +
và (d’)
x t
y 1 2t
z 3t
=
= − −
= −
a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau .
b. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .
Câu VIIb.( 1 điểm )
Giải phương trình :
( )
5
log x 3
2 x
+
=
ĐỀ THAM KHẢO 6
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
- Trang
13
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y =
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)x mx m x m− + − − −
(1)
1. Với m = 0 , khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) .
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu II (2,0 điểm)
3. Giải phương trình
( )
( )
2
cos . cos 1
2 1 sin .
sin cos
x x
x
x x
−
= +
+
4. Giải phương trình
2 2
7 5 3 2 ( )x x x x x x− + + = − − ∈¡
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x
−
+ + +
∫
.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB,
AC sao cho
( ) ( )
DMN ABC⊥
. Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh
rằng:
3 .x y xy+ =
Câu V (1,0 điểm). Cho x, y, z
0
≥
thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
+ +
=
+ +
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A. Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0,
phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của
hình chữ nhật.
2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng
d
1
:
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
, d
2
:
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Câu VII.a (1,0 điểm). Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)
n
, biết rằng n ∈ N thỏa mãn phương trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
B. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần
lượt nằm trên hai đường thẳng d
1
: x + y + 5 = 0 và d
2
: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm
C và tiếp xúc với đường thẳng BG.
2. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d:
3 2 1
2 1 1
x y z− + +
= =
−
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0.
Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng
∆
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc
với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới
∆
bằng
42
.
Câu VII.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
( , )
25
y x
y
x y
x y
− − =
∈
+ =
¡
ĐỀ THAM KHẢO 7
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
- Trang
14
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
Câu I( 2,0 điểm): Cho hàm số: (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số
2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương
ứng nằm về 2 phía của trục hoành.
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải phương trình lượng giác.
2. Giải hệ phương trình.
Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân sau:
∫
=
3
4
42
cos.sin
π
π
xx
dx
I
Câu IV(1,0 điểm): Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (ACD) bằng . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD
bằng .
Câu V(1,0 điểm): Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng:
PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VIa(2,0 điểm):
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2).
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD)
2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x
2
+y
2
- 2x + 6y -15 = 0 (C ). Viết PT đường
thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB =
6.
Câu VIIa(1,0 điểm): Xác định hệ số của x
5
trong khai triển (2+x +3x
2
)
15
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VIb(2,0 điểm):
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2).
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD)
2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x
2
+y
2
- 2x +6y -15 = 0 (C ). Viết PT đường thẳng
Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x - 3y + 2 = 0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6.
Câu VIIb(1,0 điểm):Giải phương trình:
- Trang
15
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
ĐỀ THAM KHẢO 8
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
2 4
1
x
y
x
+
=
−
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số trên.
2. Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N
và
3 10MN =
.
Câu II (2 điểm):
1. Giải phương trình:
sin 3 3sin 2 cos2 3sin 3cos 2 0x x x x x
− − + + − =
.
2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
+ + + =
+ = + +
.
Câu III (1 điểm): Tính tích phân:
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
x x
I dx
x x
π
−
=
+
∫
Câu IV (1 điểm):
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam
giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết
SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng
0
30
.
Câu V (1 điểm): Cho các số dương
, , : 3.a b c ab bc ca+ + =
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)).
A. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a (2 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn:
2 2
( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 – 5 0C x y x+ + =
cùng đi qua M(1; 0). Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt
( ), ( ')C C
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Câu VII.a (1 điểm): Khai triển đa thức:
20 2 20
0 1 2 20
(1 3 ) .x a a x a x a x− = + + + +
Tính tổng:
0 1 2 20
2 3 21S a a a a= + + + +
.
B. Theo chương trình Nâng cao :
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
(1;0)H
, chân đường cao hạ từ đỉnh B là
(0; 2)K
, trung điểm cạnh AB là
(3;1)M
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
( ):
1 1 2
x y z
d = =
và
2
1 1
( ) :
2 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
. Tìm tọa độ các điểm M thuộc
1
( )d
và N thuộc
2
( )d
sao
cho đường thẳng MN song song với mp
( )
: – 2010 0P x y z+ + =
độ dài đoạn MN bằng
2
.
- Trang
16
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình
2
1 2
1 2
2log ( 2 2) log ( 2 1) 6
log ( 5) log ( 4) = 1
x y
x y
xy x y x x
y x
− +
− +
− − + + + − + =
+ − +
ĐỀ THAM KHẢO 9
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có đồ thị là (C
m
); ( m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2. Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp
tuyến của (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II (2 điểm)
1.Giải phương trình sau: sin(
2
π
+ 2x)cot3x + sin(
π
+ 2x) –
2
cos5x = 0 .
2. Giải phương trình
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − +
.
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =
( )
1
2
0
4 d
4 5
x x
x x
+
+ +
∫
Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
·
0
60ABC =
;SD =a
3
và
vuông góc với đáy. Gọi I, H lần lượt là trực tâm của các tam giác ACD và SAC. Tính thể tích khối tứ diện
HIAC.
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: x + y + z = xyz.
Tìm GTNN của A =
)1()1()1( zxy
zx
yzx
yz
xyz
xy
+
+
+
+
+
.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa.( 2 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy , cho ΔABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường
trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ΔABC.
2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: (d
1
):
=
=
=
4z
ty
t2x
và ( d
2
) :
3
0
x t
y t
z
= −
=
=
.Chứng minh rằng
(d
1
) và ( d
2
) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và
( d
2
).
Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:
2 2
( )( ) 0z i z z+ − =
.
2. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VIb.(2điểm)
1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ
được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:
x 1 y 1 z
2 1 1
− +
= =
−
.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường
thẳng d.
- Trang
17
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
Câu VIIb. (1 điểm) Giải hệ phương trình
3 3
log log 2
2 2
4 4 4
4 2 ( )
log ( ) 1 log 2 log ( 3 )
xy
xy
x y x x y
= +
+ + = + +
.
ĐỀ THAM KHẢO 10
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m= − + −
(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
=
.
2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một
tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
Câu II (2 điểm)
1.Giải phương trình tan
4
x +1 =
2
4
(2 sin 2 )sin 3
os
x x
c x
−
.
2. Giải hệ phương trình sau:
=
+
+
=
+
+++
3
1
2
7
)(
3
)(44
2
22
yx
x
yx
yxxy
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I =
2
3
0
sinxdx
(sinx + cosx)
π
∫
Câu IV (1 điểm)
Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên ( SAB)
vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy một góc
α
.
Câu V (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ( với n
≥
2), ta có: ln
2
n > ln(n-1).ln(n+1)
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, tìm điểm
A
thuộc trục hoành và điểm
B
thuộc trục tung
sao cho
A
và
B
đối xứng với nhau qua đường thẳng
:2 3 0d x y− + =
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0 ,1 , 3), B(2 ,0 , –1), C(1 , 1 , 0). Tìm trực
tâm H của ∆ABC.
Câu VII.a (1 điểm)
Giải bất phương trình log
5
(3+
x
) >
4
log x
.
2. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác
ABC
vuông ở
A
. Biết
( ) ( )
1;4 , 1; 4A B− −
và
đường thẳng
BC
đi qua điểm
1
2;
2
M
÷
. Hãy tìm toạ độ đỉnh
C
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(5 ; 5 ; 0) và đường thẳng (d):
x 1 2t
y 1 3t
z 7 4t
= − +
= − +
= −
Tìm tọa độ điểm B, C thuộc (d) sao cho ∆ABC vuông tại C và độ dài BC =
29
- Trang
18
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
Câu VII.b (1 điểm)
Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
( )
2
2
n
x +
, biết
3 2 1
8 49
n n n
A C C− + =
.
(
k
n
A
là số chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử,
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử).
ĐỀ THAM KHẢO 11
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
2 1
2 2
y x
x y y x
− =
− = −
.
2.Giải phương trình sau:
( )
6 6
8 sin cos 3 3 sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11x x x x x
+ + = − +
.
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
1
2
1
2
1
( 1 )
x
x
x e dx
x
+
+ −
∫
.
Câu IV: (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC =
2 3a
, BD = 2a và cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ
điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V: (1 điểm) Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
( ) ( )
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2my + m
2
- 24 = 0 có tâm I và
đường thẳng ∆: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:
1 1 1
2 1 1
x y z+ − −
= =
−
; d
2
:
1 2 1
1 1 2
x y z− − +
= =
và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng
∆, biết ∆ nằm trên mặt phẳng (P) và ∆ cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
.
Câu VII.a (1 điểm)
Giải bất phương trình
2
2
log
2log
2 20 0
x
x
x+ − ≤
2
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2 = 0, phương
trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC.
- Trang
19
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
1 3
1 1 4
x y z− −
= =
và điểm M(0 ; - 2 ;
0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng ∆ đồng thời khoảng cách
giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình nghiệm phức :
25
8 6z i
z
+ = −
ĐỀ THAM KHẢO 12
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
A. PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
+∞;2
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
1)12cos2(3cos2 =+xx
2. Giải phương trình :
8
21
x
2
3
x51x2)1x3(
22
−+=−+
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân
∫
+
=
2ln3
0
2
3
)2(
x
e
dx
I
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng
(ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’
và BC là
a 3
4
Câu V (1 điểm)
Cho x,y,z thoả mãn là các số thực:
1
22
=+− yxyx
.Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức
1
1
22
44
++
++
=
yx
yx
P
B. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
Thí sinh chỉ chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Phần A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2 điểm)
1. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên
đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C.
2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng
với O qua (ABC).
Câu VIIa(1 điểm) Giải phương trình:
10)2)(3)((
2
=++−
zzzz
,
∈z
C.
Phần B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng
( ) : 3 5 0x y∆ − − =
sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau
- Trang
20
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
2
5
1
1
3
4
:
1
−
+
=
−
−
=
−
zyx
d
13
3
1
2
:
2
zyx
d
=
+
=
−
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d
1
và d
2
Câu VIIb (1 điểm)
Giải bất phương trình:
2log9)2log3(
22
−>− xxx
ĐỀ THAM KHẢO 13
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN BẮT BUỘC (7.0 điểm)
Câu I. (2.0 điểm)
Cho hàm số y = (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Câu II. (2.0 điểm)
1. Tìm nghiệm của phương trình:
2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + , biết x∈ [ 0 ;
π
].
2. Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
( 2 )( 2 )
x y x x y
x y y y x y x
− −
− + =
− = + − +
Câu III. (1.0 điểm)
Tính tích phân:
3
1
4
2
0
( )
1
x
x
x e dx
x
+
+
∫
Câu IV. (1.0 điểm)
Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Câu V. (1.0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
PHẦN TỰ CHỌN ( 3.0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2.0 điểm)
1. Cho elip (E) : 4x
2
+ 16y
2
= 64. Gọi F
1
, F
2
là hai tiêu điểm. M là điểm bất kì trên (E).Chứng tỏ rằng
tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F
2
và tới đường thẳng x =
8
3
có giá trị không đổi.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q):
x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Câu VIIa. (1.0 điểm)
Giải bất phương trình
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
(
k
n
C
,
k
n
A
là tổ hợp, chỉnh hợp chập k của n phần tử)
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2.0 điểm)
- Trang
21
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d
1
) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d
2
): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d
1
), (d
2
), trục Oy.
2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của đoạn AD, N là
tâm hình vuông CC’D’D. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N.
Câu VIIb. (1.0 điểm)
Giải bất phương trình
2 3
3 4
2
log ( 1) log ( 1)
0
5 6
x x
x x
+ − +
>
− −
ĐỀ THAM KHẢO 14
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm )
Câu I: (2 điểm). Cho hàm số
2
32
−
−
=
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B.
Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
−=−+
24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22
x
x
x
x
x
π
2. Giải hệ phương trình:
+=++
=+
+−+
113
2.322
2
3213
xxyx
xyyx
Câu III (1 điểm) . Tính tích phân
∫
+
+
=
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3aSA =
,
·
·
0
30= =SAB SAC
. Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c =
3
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
333
3
1
3
1
3
1
accbba
P
+
+
+
+
+
=
PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần A hoặc phần B)
Phần A:(Theo chương trình Chuẩn)
Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng:
052:
1
=+− yxd
và d
2
: 3x + 6y – 7 = 0
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d
1
và
d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d
1
, d
2
.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2)
và mặt phẳng (P):
02 =−++ zyx
. Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu
đi qua 4 điểm A’, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).
Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết:
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200
− − +
+ + + +
− + + − − + − + = −
k k k n n
n n n n
C C k k C n n C
Phần B: (Theo chương trình Nâng cao)
Câu VIb (2 điểm)
- Trang
22
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình:
1
916
22
=−
yx
. Viết
phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ
nhật cơ sở của (H).
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho
( )
052: =+−+ zyxP
và đường thẳng
31
2
3
:)( −=+=
+
zy
x
d
, điểm A( -2; 3; 4). Gọi ∆ là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của
( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên ∆ điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm): Giải bất phương trình
−+−>−+− xxxxx
2
1
log)2(22)144(log
2
1
2
2
ĐỀ THAM KHẢO 15
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN BẮT BUỘC ( 7 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + 1 là truc đối xứng của (C).
Câu II: (2 điểm)
1. Giải phương trình:
4cos3xcosx - 2cos4x - 4cosx + tan t anx + 2
2
0
2sinx - 3
x
=
2. Giải bất phương trình:
2 2 2
2
3 2.log 3 2.(5 log 2)
x
x x x x x− + ≤ − + −
Câu III: ( 1 điểm). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn đồ thi (C) của hàm sô y = x
3
– 2x
2
+ x + 4 và tiếp tuyến
của (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 0. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng
(H) quanh trục Ox.
Câu IV: (1điểm)
Cho hình lặng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và A’C bằng
15
5
a
. Tính thể tích của khối lăng trụ
Câu V:(1điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
4
(2 1)[ln(x + 1) - lnx] = (2y + 1)[ln(y + 1) - lny] (1)
y-1 2 ( 1)( 1) 1 0 (2)
x
y x m x
+
− + − + + =
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
Phần A: Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: (2 điểm).
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
= 1; và phương trình: x
2
+ y
2
– 2(m + 1)x + 4my -
5 = 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m. Gọi các
đường tròn tương ứng là (C
m
). Tìm m để (C
m
) tiếp xúc với (C).
2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
1 2
1 1 1
x y z− +
= =
và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0.
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(2; - 1;0)
Câu VII.b: (1 điểm).
Cho x; y là các số thực thoả mãn x
2
+ y
2
+ xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = 5xy – 3y
2
Phần B: Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm).
- Trang
23
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
1. Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;3) và hai đường thẳng
1
2 3 3
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
−
và
2
1 4 3
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
−
. Chứng minh đường thẳng d
1
; d
2
và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng.
Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC biết d
1
chứa đường cao BH và d
2
chứa đường
trung tuyến CM của tam giác ABC.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có hai tiêu điểm
1 2
( 3;0); ( 3;0)F F−
và đi qua điểm
1
3;
2
A
÷
.
Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy tính biểu thức:
P = F
1
M
2
+ F
2
M
2
– 3OM
2
– F
1
M.F
2
M
Câu VII.b( 1 điểm). Tính giá trị biểu thức:
0 2 2 4 2 1004 2008 1005 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010
3 3 ( 1) 3 3
k k
S C C C C C C= − + + + − + + −
ĐỀ THAM KHẢO 16
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN BẮT BUỘC (7 điểm)
Câu I. (2.0 điểm): Cho hàm số
3 2 3
3 4y x mx m
= − +
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Câu II (2.0 điểm )
1. Giải phương trình:
2
3 4 2sin 2
2 3 2(cotg 1)
sin 2
cos
x
x
x
x
+
+ − = +
.
2. Tìm m để hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
x y y x
x x y y m
− + − − =
+ − − − + =
có nghiệm thực.
Câu III (1.0 điểm)
Tính giới hạn sau:
x
xcos1x
lim
0x
−+
→
Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60
0
, ABC và SBC là các tam
giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mp(SAC)
Câu V. (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
= + +
+ + +
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
Phần A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1. Cho đường tròn (C ): x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: x + y – 1 = 0. Xác định toạ độ các
đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ) biết A thuộc d.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình:
(P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d):
1 2
1 2 1
x y z
+ −
= =
−
. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d),
cách mp (P) một khoảng bằng 2 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
- Trang
24
- Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2010 Môn: TOÁN
Câu VIIa. (1 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển Newton:
12
4
1
1 x
x
− −
÷
Phần B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1. Trong mp Oxy cho đường tròn (C ): x
2
+ y
2
= 1. Đường tròn (C’) tâm I(2;2) cắt (C ) tại các điểm A, B
sao cho AB =
2
. Viết phương trình đường thẳng AB.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình:
(P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d):
1 2
1 2 1
x y z
+ −
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và
tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Câu VIIb. (1 điểm)
Giải hệ phương trình:
=+−
−=+−+
0y20xy12x
yx)y1ln()x1ln(
22
ĐỀ THAM KHẢO 17
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN TỰ CHỌN: (7 điểm)
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 1y x mx m= − + −
(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1m
=
.
2. Xác định
m
để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 04 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số
cộng.
Câu II. (2 diểm)
1.Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
1 2.
x xy y y x
y x y x
+ + = +
− + + =
.
2. Giải phương trình sau:
( )
4 4
4cos 2 sin cos 3 sin(2 ) cos(2 )
3 3
x x x x x
π π
+ = + + +
Câu III.(1 điểm) .Tính tích phân sau:
2
0
3sinx cos
sinx cos 2
x
I dx
x
π
−
=
+ +
∫
Câu IV.(1 điểm)
Cho tứ diện ABCD có góc
0 0
90 ; 120ABC BAD CAD= = =
.AB = a, AC = 2a, AD = 3a. Tính thể
tích tứ diện ABCD đó
Câu IV. (1 điểm) Cho .
0 x y z< ≤ ≤
. Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
+ − − + + − + + + + +
+ + +
≤ + +
+
PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm môt trong hai phần (phần a hoặc phần b)
Phần a. Theo chương trình chuẩn
CâuVIa:(2 diểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục 0xy, cho tam giác ABC có A(1;3), đường trung trực của cạnh AC có phương
trình (d): x – y = 0, trung điểm K của cạnh BC thuộc đường thẳng (d’): x+ y -2 = 0, khoảng cách từ tâm I
của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABC đến cạnh AC bằng
2
.Tìm toạ độ điểm B; biết hoành độ của
điểm I bé hơn 2.
- Trang
25
