Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẬP THẠCH
TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN
" PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ "

Người thực hiện : Nguyễn Trần Kiên
Đơn vị công tác : Trường THCS Lập Thạch

Năm học : 2017 - 2018

Phần thứ nhất : MỞ ĐẦU
Nguyễn Trần Kiên

1

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

I. Lí do chọn đề tài:
Luật Giáo dục năm 2005 đã xác định “ Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp
học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản ,
phát triển năng lực cá nhân , tính năng động và sáng tạo , hình thành nhân cách con người
việt nam XHCN , xây dụng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp
tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dụng và bảo vệ tổ quốc”

Mục tiêu của môn toán ở trường THCS là : hình thành và rèn luyện các kĩ năng :
tính toán, thực hiện các phép biến đổi, chứng minh , trình bày bài ... cho học sinh.
Để có kĩ năng phải trải qua quá trình luyện tập tích cực, đúng cách .
theo Đề - các và Leibnitz đã nói : “ Giải toán là một nghệ thuật thực hành giống như bơi
lội, trượt tuyết , hay chơi đàn. có thể học được nghệ thuật đó , chỉ cần bắt chước theo
những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành. không có chìa khoá thần kì để mở
mọi cửa ngõ, không có hòn đá thần kì để biến mọi kim loại thành vàng”
Là một giáo viên , tôi nhận thấy:
Công tác bồi dưỡng học sinh, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi ở các nhà trường được
coi là một trong những công việc rất quan trọng, thường xuyên , xuyên suốt. Qua thực
tiễn giảng dạy tôi nhận thấy :
- Trong chương trình đại số 8 , dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung rất
quan trọng , việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú và đa dạng như rút gọn phân
thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải các phương trình, …
- Việc phân tích đa thức thành nhân tử về cơ bản là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học
sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được do chưa nắm vững các phương pháp phân tích của
các dạng bài , chưa có kỹ năng biến đổi linh hoạt vào từng bài cụ thể, chưa nhiều thời
gian luyện tập.
- Ngoài ra trong các đề thi hsg toán 8,9 đều có những bài liên quan đến phân tích đa thức
thành nhân tử ở mức độ khó hơn và để giải được thì ngoài các phương pháp cơ bản mà
Sgk giới thiệu các em học sinh cần phải biết thêm các phương pháp khác như: Tách hạng
tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến, xét giá trị riêng, đồng nhất…
Nhằm giúp học sinh tháo gỡ và giúp hs giải quyết tốt các khó khăn, vướng mắc đó
đồng thời năng cao chất lượng bộ môn đặc biệt là chất lượng mũi nhọn nên tôi chọn đề
tài “ Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp 8.
Nguyễn Trần Kiên

2

Trường THCS Lập Thạch

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

II. Mục đích nghiên cứu:
Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để làm, học để
cùng nhau chung sống và học để làm người”, trước hết giáo dục nhà trường phải hình
thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề. Việc trang bị tốt
năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâm của việc đổi mới phương pháp dạy
học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ thông. Vì thế cốt lõi của đổi mới phương
pháp dạy học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh,
chống lại thói quen học tập thụ động. Đổi mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội
dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy
học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với định
hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù
hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhà trường, ứng dụng công
nghệ thông tin.
Khi vận dụng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, các em vẫn lúng
túng. Phải chăng điểm xuất phát từ bài đầu tiên là học sinh làm quen với phân tích đa
thức thành nhân tử, các em còn chưa hiểu rõ hết bản chất của vấn đề, chưa nắm rõ các
phương pháp phân tích, quy tắc toán học nên dẫn đến nhầm lẫn khi giải toán. Chính vì
vậy, ngay từ bài đầu tiên về phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên
cứu để giúp học sinh hiểu rõ bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật
vững kiến thức để hạn chế sự nhầm lẫn, sai sót sau này.
III. Đối tượng nghiên cứu:
- Dạng toán “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8”
- Học sinh lớp 8 trường THCS Lập Thạch
IV. Phạm vi nghiên cứu:
- Đề tài xoay quanh dạng “Toán phân tích đa thức thành nhân tử” trong chương trình toán
học bậc THCS.

- Học sinh THCS, đặc biệt là học sinh giỏi lớp 8 của trường trung học cơ sở Lập
Thạch - Huyện lập Thạch
V. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; những vấn đề về
đổi mới giáo dục trung học cơ sở; sách giáo khoa toán 8; sách bài tập Toán 8; hướng dẫn
thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS làm cơ sở thực hiện giải pháp này.
Điều tra: Qua giờ dạy, dự giờ học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với học sinh
để đưa ra biện pháp thực hiện.
Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi.
Nguyễn Trần Kiên

3

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

PHẦN II: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
Bất cứ môn khoa học nào trong trường phổ thông cũng có vai trò và tầm quan
trọng của nó. Riêng đối với môn Toán có vai trò rất quan trọng vì nó có khả năng to lớn
góp phần thực hiện nhiệm vụ chung của nhà trường. Các kiến thức Toán học là công cụ
thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúp các em hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực.
Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất
trí tuệ. Thật vậy, do tính trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thể giúp nhiều cho
học sinh trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo. Do tính chính xác cao, suy luận
logic, chặt chẽ, là môn “Thể thao trí tuệ”, Toán học có khả năng phong phú làm cho học
sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với logic. Việc tìm kiếm, tìm lời giải của một bài toán

có tác dụng to lớn trong việc cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ,
trong suy luận, trong học tập và trong việc giải quyết các vấn đề, rèn luyện cho học sinh
trí thông minh, sáng tạo. Môn Toán còn có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục
cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và trong lao động.
Vì vậy khi dạy Toán là làm thế nào cho học sinh nắm được một cách chính xác,
vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng Toán học phổ thông cơ bản. Có
năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau, vào đời
sống, vào lao động sản xuất và vào học tập các môn học khác.
Phát triển ở học sinh năng lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri thức
thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động
đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiện nay và mãi mãi về sau.
Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân, phát triển ở
mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán.
Các mục đích nói trên không thể tách rời nhau mà có mối quan hệ mật thiết, hỗ trợ,
bổ sung cho nhau, thể hiện sự thống nhất giữa trí dục và đức dục, giữa dạy học và phát
triển, giữa nâng cao dân trí và đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài trong quá trình dạy
học các bộ môn ở trường phổ thông.
II. Cơ sở thực tiễn
1. Thực tiễn vấn đề nghiên cứu:
Do học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành
giải toán... nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết
thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương
pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt
nhất. Do đó, dẫn đến việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử còn
nhầm lẫn. Ngoài ra, một vài học sinh còn chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân
tử là như thế nào? Và làm thế nào để phân tích được đa thức đã cho thành nhân tử.
Nguyễn Trần Kiên

4

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử còn được ứng dụng rất nhiều trong các
dạng toán sau này như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân
thức đại số, giải phương trình tích…
2. Sự cần thiết của đề tài:
Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức, tôi nhận
thấy việc “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” là thực sự
cần thiết. Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng quan sát, nhận xét và vận
dụng linh hoạt các phương pháp đã học vào từng bài tập cụ thể. Từ đó, giúp các em tìm
tòi, phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách tốt nhất. Không những thế, giải pháp này
còn giúp các em hứng thú hơn khi được học toán, xem việc giải bài tập như cách giải trí
sau khi học các môn khác.
III. Nội dung vấn
đề 1. Vấn đề đặt ra
Để phân tích được đa thức thành nhân tử thì học sinh cần phải nắm vững các phương
pháp cơ bản như: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các hạng tử; phối hợp
nhiều phương pháp. Ngoài ra, đối với học sinh khá, giỏi có thể giới thiệu thêm hai
phương pháp phân tích (nâng cao): Tách một hạng tử; thêm bớt cùng một hạng tử. Vì
vậy, giáo viên phải thực hiện được một số việc sau:
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
- Củng cố các phương pháp phân tích cơ bản.
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Giới thiệu thêm các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao).
- Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử.

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung.
Phương pháp chung :
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử : A = - (-A)
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?
(ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2y, xy2, x2y2 ? (biến chung : xy )
Nguyễn Trần Kiên

5

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy.
Giải:
2
2
2 2
14x y – 21xy + 28x y = 7xy.2x -7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? ( ƯCLN(10, 8 ) = 2)

- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x)
hoặc (x – y)?
Giải:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
Các sai lầm học sinh thường mắc phải :
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)]
= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Lời
giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x –
2
y) = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)
Chú ý: Tích không đổi dấu khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát,
tích không đổi dấu khi ta đổi dấu một số chẵn các nhân tử trong tích đó).
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1) 2 x 2 y − 6xy

5) 9 x 2 y

2

2) 3 x ( x −1) + 7 x 2 ( x −1)
3) 4 x( x −a) + 5a( a −x)
4)

-7x

2

y

5

- 14x

3 y4 - 21y

2

+15 x 2

y − 21xy 2

6) 2 x ( x −2) −(2 −x) 2
7) 3 x ( x −1) 2 −(1 −x)
8) 2a b( x + y ) −4a b ( −x −y)
3

3

Bài 2: Tính nhanh
1) 21,3.128 - 21,3.28
3) 14.15,2 + 43.30,4
Bài 3: Tìm x, biết:
1)2x −10 x2 = 0
3)5x(x - 2) - (2 - x) = 0

2

3

2) 7,2.137+28.13,7
4) 52.143 - 52.39 - 8.26
2) 4x(x+1) = 8(x+1)
4) x 3 = x5

2.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Phương pháp chung: Biến đổi để xuất hiện một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1.
A2+2AB+B2=(A+B)2
2.

A2–2AB+B2=(A–B)2

Nguyễn Trần Kiên

6

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
3.

A2–B2=(A–B)(A+B)

4.

A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3
A3–3A2B+3AB2–B3=(A–B)3
A3+B3=(A+B)(A2–AB+B2)
A3–B3=(A–B)(A2+AB+B2)

5.
6.
7.

Ví dụ 1: Phân tích đa thức x

x 2 − 6 xy + 9 y

Ta có:

− 6 xy + 9 y 2

2
2

thành nhân tử.

= x 2 −2. x.3 y + (3 y ) 2 = ( x −3 y)

2

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1)

10x − 25 − x
3) 8 + 12
2) 8 − 1
2
3

3

x

x

x

8

Giải:

1) 10 x − 25 − x

2=

−

x

1  3 

1

2) 8 − 8
x
3

3)

8x
3

2 + 10 x − 25 = − ( x

=

+ 12 x y +

6 xy

2

2 
2



+y

2

+
y

3

1

 4x

3

y+
6xy

− 10 x + 25 ) = − ( x − 5) 2

2

1 

 = 2 x −

3

(2x) − 

2

2

+x+

2 

2

3



4

. y + 3.2 x. y

2

+y

3

3

Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
3

3

1) a + b +

3

3

3

2) ( x + y− z ) − x − y +
z

−3abc

c

3

3

Giải:
−3abc = ( a + b
3
2
1) 3+ 3+ c 3
b − 3ab 2 + 3 − 3abc
)
−
3a
a b
c

[ ( a + b ) 3 + c3 ]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2 -c(a+b)+c2 ]-3ab
(a+b+c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca)
2)

( x + y −z ) 3 −x 3 −y 3 + z3

 ( x + y −z ) 3 −x  −( y −z )
 ( y −z ) ( x + y + z + 2 xy −2 yz −2zx + x
 ( )(
) (
) (
) (
)
(
3

2

y −z

2

3 x 2 + 3 xy − 3 yz − 3 zx

3

3

2

2

+ xy − xz + x 2 ) − ( y − z ) ( y 2 + yz + z2 )

= 3 y − z  x x + y − z x + y  = 3 y − z )( x + y )( x − z)



Bài tập áp dụng:
Bài 1:Phân tích các đa thức thành nhân tử
1) 25a2 −1
5) 1 x 3 + 8 y3
8


2) ( a − 2b ) 2 − 4b2
Nguyễn Trần Kiên

6) 1 x 6 −125 y3
64
7

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
3) −x
2
 2xy − y2
7) x 3 + 15 + 75 x +125
4) 25
8) x 3
x 2 −20 xy + 4 y2
2

2
3
27a
b+
−54a
−8b
36ab
2


Bài 2: Tìm x,biết :
1) x 2 −36= 0

3) x 3 + 6
x

2

+ 12 x + 8 =
0

2) x 2 + 10 x+25= 0
4) (2 x + 5) 2 −2(2 x + 5)( x −1) + ( x − 1)

2

=
49

Bài 3:Phân tích các đa thức thành nhân tử
+ (b − c)

( a −b)

3

+ (c −a)

3

3

1)
2) ( a 2 + b 2 ) 3 + ( c 2 − a 2 ) 3 − ( b 2 +
c
3

3)

( a −b + c )

4) Cho

−(

E

)

3

−

3

3

a + b −c )

a − b + c = −4

− ( b + c −a )

. Tính

6) Cho a, b, c khác 0 thoả:
Tính =

2

a

3

+b

( c + a −b)

a 3 − b 3 + 3 + 3abc

c
2
2
2
( a + b + ( + c ) + ( c − a)
) b

B=

3

3

+ c 3=
3abc

 1+ a 1 + b  1+ c 










b 

c 

7) Cho a, b, c khác 0 thoả:

Tính

K
=

a

3

a
+ 8b

3

+
27c

3

= 18abc

1 + a 1 + 2  1 + 3c 
b








 2b 
3c 
a
2.3 Phương pháp nhóm hạng tử.
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện nhân tử
chung hoặc hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích
thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
* Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử.
Giải:
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x(x – 3) + y(x – 3)
= (x – 3)(x + y)
* Nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức:
Nguyễn Trần Kiên

8

Trường THCS Lập Thạch

Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
Giải:
x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2
=
(x – 1)2 – (2y)2
=
(x – 1– 2y)(x –1+2y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 + 2xy + 4x + 4y + y2 thành nhân tử.
Giải
x2 + 2xy + 4x + 4y + y2 = (x2 + 2xy + y2) + (4x + 4y)
= (x + y)2 + 4(x + y)
= (x + y)(x + y + 4)
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích
thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) x 3 + x

2+

x +1

6)

7)x 2 − y

2) x 3 − 3x 2 + 3x −9

2+

z

2

−t

2 −2

xz + 2 yt

8) ax 2 −bx −2ax + 2bx −3a + 3b
9) ax + bx + cx −2 a −2b − 2c
2

3) 3 x 2 − 3 xy − 5 x + 5 y

4) x 2+ 4 x −y 2 + 4
2

25 − x 2 + 4 xy − 4 y2

2

5) x – 2x – 4y – 4y
Bài 2: Tính nhanh
1) 16,87.91−6, 2.188 +16,87.97 −0,67.188
Bài 3 :Tìm x, biết :

1) x 4 + 5 3 − 8 x −40

10) ax − bx − 2cx − 2 a + 2b + 4c
2) 562 + 312 −132 +56.62
2) x 4 + 4 x 3 − 16 x − 16 = 0

x

2.4. Phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử
chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy, học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối
quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Thông thường ta có thể xét theo thứ tự các phương pháp: Đặt nhân tử chung; dùng
hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1) x 5 − x 4 y + 2 x 4 − 2x

3

y

2) x 2 − 2 xy + y

2+

4 x −4 y − 5

(Đề thi hsg huyện Thanh Chương năm 2012-2013)
Giải

1) x 5 − x 4 y + 2 x 4 3− 2 x 3 y = x 3 ( x 2 −3xy + 2 x − 2 y ) = x 3 [( x 2 − xy )
+ (2 x − 2 y)] =x [x(x-y)+2(x-y)]=x ( x − y )( x + 2)
Nguyễn Trần Kiên

9

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”
x 2 − 2 xy + y 2 + 4 x − 4 y −5 = ( x 2 − 2 xy + y 2) + (4 x − 4 y) − 5


2) = ( x − y)

=(x-y+2)

2
2

4( x − y ) + 4 − 9 = [( x − y ) 2 + 4( x − y) + 4]-9
32 = ( x − y + 2 + 3)( x − y + 2 − 3) = ( x − y + 5)( x − y −1)

Bài tập áp dụng:
Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) x 4 + 2x

3+

6) x

x 2

2) x 2 + 2 xy + y2 − 25
3) x 2 − 2 x + 1 −a 2 − 2ab −b 2
4) x 2 ( a − b ) −2 xy ( a −b ) + ay
5) x 3 + 2 2y + 2 −9x
x
xy

2−

( 2a + b ) xy + 2aby

2

2

7) ab ( x 2 + y 2 ) + xy ( a 2 + b

8) 6

2

−by

x

2
9)

2

+ 12 xy + 6
y

2

y3

−12 x 4 y + 12 x 3 y 2 − 3x 2

10) x + 4 xy + 4
2

2

y

)

−a +
2

2ab − b

2

2.5. phương pháp tách hạng tử
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.

Giải:
Cách 1: (tách hạng tử : 3x2 = 4x2 – x2)
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2
=
(2x – 2)2 – x2
=
(2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)= (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: (tách hạng tử : – 8x = – 6x – 2x)
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
=

3x(x – 2) – 2(x – 2)

=

(x – 2)(3x – 2)
Cách 3 (tách hạng tử : 4 = 16 – 12)
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2)
= 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x + 6 – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân
tử chung x – 2 . (cách 2)
- Làm xuất hiện nhân tử chung và hằng đẳng thức. (cách 3)


Nguyễn Trần Kiên

10

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

Vì vậy, việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các
phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử
là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.
Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng
hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho

b + b =
b
 1 2
b .b =

ax2 + bx + c thành nhân tử, ta thường tách


ac



1 2

Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.

Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Khi đó ta có lời giải: –6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
2
= (– 6x + 4x) + (3x – 2)
= –2x(3x – 2) + (3x – 2)
= (3x – 2)(–2x + 1)
Bài tập áp dụng:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
1)x 2 − 10 x + 9

6) x 2 − 2 x − 48

2)2 x 2 + 7 x + 3

7)4 x 2 − 4 x −15
8) 15 2 − x −6
x

3)3 x 2 − 7 x + 2
4) x 2 − 10 x +16

9)6 x 2 + 7 xy + 2 y2

5) x 2 − 10 x + 21

10)9 x 2 − 9 xy − 4 y2

Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ
theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp, thông thường người
ta dùng cách tìm nghiệm của đa thức.

Nguyễn Trần Kiên

11

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

* Phương pháp nhẩm nghiệm
- Nhận xét : Nếu đa thức f x = a x n + a x n−1 + ... + a x + a có nghiệm nguyên là x = x thì
x0 là một ước của hệ số tự do a0 , do đó khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân
tử x −x0 . Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy một nghiệm của
nó để định hướng cho việc phân tích ra nhân tử.
(

)

0

n

n−1

1

0

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
f(x) = x3 - x2 – 4

Gợi ý
Ta lần lượt kiểm tra với x = ± 1; ± 2; ± 4 ta thấy f(2) = 0. Do đó đa thức f(x) có nghiệm x
= 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x – 2.
Từ đó ta tách các hạng tử như sau : f(x) = x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
2
= x (x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).
- Chú ý 1 : khi xét nghiệm của đa thức ta nhớ 2 định lí sau:
a) Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của f(x), do đó f(x) có chứa một
nhân tử là x – 1
b) Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ thì -1 là nghiệm của f(x), do đó f(x) có chứa một nhân tử là x + 1
Ví dụ 2: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ nên đa thức có chứa nhân tử là x + 1. Do đó Ta tách như sau:
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x +
1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
- Chú ý 2: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do mà không là nghiệm của
đa thức ta dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1) và f(-1) đều là số nguyên.
a-1

a+1

Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = 4 x 3 − 13x 2 + 9 x −18 thành nhân tử:
Ta thấy các ước của 18 là: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18
Tính f(1) = -18; f(-1) = -44 nên 1 và -1 không là nghiệm của đa thức.
Nguyễn Trần Kiên

12

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

Ta thấy : −18 , −18

, −18 , −18

−3 −1 ± −1 ± −1 ± −1
6
9
18

và −44 không nguyên nên : −3, ± 6, ± 9,
2 +1

± 18

,2 không là

nghiệm của f(x). Chỉ còn -2 và 3; kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x), do đó ta tách các
hạng tử như sau: 4
x

3

−13 x 2 + 9 x − 18 = 4
x

3

−12 x

 4 x 2 ( x − 3) − x ( x − 3) + 6( x − 3)

- Nhận xét : Nếu đa thức f ( x ) = a n x n + a n−1 x n−1

2

x 2 + 3 x + 6 x −18
( x − 3)(4 x 2 − x + 6)


... + a1 x + a0 có nghiệm
hữu tỉ là

ξ = p (dạng

q

tối giản) thì p là một ước của hệ số tự do a0 còn q là ước dương của hệ số cao nhất
Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx – p.
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - 5
3

2

a .
n

Giải:

f(x) = 3x – 7x + 17x – 5
Ta thấy các số ± 1; ± 5 không là nghiệm của đa thức. Như vậy đa thức không có
nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.
1
Xét các số 
,
ta
thấy
là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân tử, đa
1;± 5
3
3 3

thức chứa nhân tử 3x – 1.
Từ đó: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5)
2
= x (3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1)

2
= (3x – 1)(x – 2x + 5).
Bài tập áp dụng:
Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x 3 + 2 x −3

3

2

2) x – 6x +11x – 6
3) x 3 − 9 x 2 + 6 x +16
4) x 3 − 6 x 2 − x +30

5)27 3 − 27 x 2 + 18 x −4
x
2
6) 2 x3 − x + 5 x +3

7)

x5 + 6x4 +13x3 +14x2 +12x +8

8) 2x 4 + 7x 3 - 2x 2 - 13x + 6 .
2.6. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để
xuất hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử
Gợi ý: Thêm 4x2 và bớt 4x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức).

Nguyễn Trần Kiên

13

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 + 2 – 2x)(x2 + 2 + 2x)
Khai thác bài toán:
*

Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4
Hướng dẫn giải:
Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2
=
(x2 + 8y2)2 – (4xy)2
=
(x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Ta có thể phân tích:
Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Giải:
x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2
=
x4 + 2x2 +1 – x2
=

(x4 + 2x2 + 1) – x2
=
(x2 + 1)2 – x2
=
(x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung)
Ta có
Giải:

4

2

4

2

4

2

x + x + 1 = x – x + x + x + 1 = (x – x) + (x + x + 1)

x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1
= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
3
2
= x(x – 1) + (x + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)

Ví dụ 3: Phân tích đa thức x 4 +

2

+ 2012 x + 2013 thành nhân tử

2013x

(Đề thi hsg huyện Việt Yên năm 2012 - 2013)
Giải
x 4 + 2013 x 2 + 2012 x + 2013
x 4 − x + 2013 x 2 + 2013 x + 2013
 ( x 4 − x ) + (2013 x 2 + 2013 x + 2013)
x ( x 3 − 1) + 2013( x 2 + x + 1) = x ( x − 1)( x 2 + x + 1) + 2013( x 2 + x +1)
 ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 2013)
Nguyễn Trần Kiên

14

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”



4

2

5

5

4

7

5

Chú ý: Các đa thức
có dạng
x + x +1, x 3+ x+1,6 x + x + 1, x + x +1,…; tổng
quát
3m+2
3n+1
2
những đa thức dạng x
+x
+1 hoặc x – 1, x – 1 đều có chứa nhân tử x + x + 1.
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khó khăn
trong quá trình giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) 4 x 4 +1

4) x 8 + 64
5) x 4 + 5 3 + 10 x −4

2) x 4y 4 + 4
3) x 4+324

x

Bài 2:Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) xx 58 ++ x +17+1
2) x
3) x + x +1
10
8
4) x + 4 +1
5) 11 x
+ 7 +1
6) x
11
8

7)

x

+ x +1

8) x 4 + 2002 x 2 + 2001x + 2002
9) x 4 + 2005 x −2004 x + 2005
10) x 4 + 2007 x 2 −2006 x + 2007
11) x 4 + 1996 2 − 1995 x +1996
11

10

2

x
12) x + 1999
x
4

x

x + x +1

2

− 1998 x +1999

2.7. Phương pháp đặt biến phụ
* Dạng 1: Đưa về dạng tam thức bậc hai
Phương pháp: Trong một số bài toán, ta nên đưa một biến phụ vào để việc giải bài
được gọn gàng, tránh nhầm lẫn. Đặt ẩn phụ để toán đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử
các phương pháp cơ bản khác và tiếp tục phân dụng tích.
Ví dụ
1 : 2Phân tích đa thức thành nhân tử:
4
1) 6x + 19x + 15

(

2

2
x

)
(

2

−x −1 2
x

)

2) (

x 2+x

) +
2

4

(x

2

+ x ) −12

3)

−x −4 −10

Giải:
4
2
1) P(x) = 6x + 19x + 15
§Æt y = x2 , ta cã:
9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) +
2
2
Q(y) = 6y + 19y + 15= 6y +
5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5)
19x2 + 15
4
Do ®ã :
P(x)
= 6x +
2
+ 5)
2 + 3)(3x
2) ( x 2 + x ) + 4 ( x 2 + x ) −12
2

Đặt x 2 + x = t

= ( 2x


Nguyễn Trần Kiên

15

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

(

2

+x) + 4
2

2

(x

x

= x 2 −x + 2 x −2
2

x

(2

x

x
=(2
x

2

=(2
x

2

2

−2t + 6t − 12 = t ( t −2 ) + 6 ( t −2 ) =



(

)

(

(
x

)(

)(

( t −2 )( t + 6 ) =

)(

)

)


x 2 + x + 6 =  x − 1 + 2 x −1  x 2 + + 6 = x − 1 x + 2
x
x

(

2

+ x −2

)( x

x 2+ x + 6

− x − 4 ) −10

2

)( 2

− x − 4 ) − 10 = ( t −3 ) − 10 = 2 − 3t− 10 =

x
t
t
t
−x − 1 −5 ) 2 −x −1 + 2 ) = ( 2 −x −6 ) 2 x )
x
(x
(
2

2

−4 x + 3 x − 6 ) 2
(x

)=
2

−x + 1

2x

2

− 5t + 2t −10 = t ( t −5 ) + 2 ( t − 5) = ( t − 5 )( t + 2 )

2 − x +1

2

( x −2 ) + 3 ( x −2 )  2
( x


) = ( x −2 )
(

2 −x + 1

2 x+ 3 ) 2
( x

)
2

− x +1

Bài tập áp dụng:
1) 4 x 4 −37 x2 +9 + 21x +10
2) ( x

2 +3x)

2+

7x

2

6) 4 x 2 + 4 xy + y 2 + 10 x + 5 y − 6

7
)

3) x 2 + 2 xy + 2+ 2 x + 2 y −15

8)

y

4) x + 8 xy + 16
2

(x

2 + x + 1)( x

(

2

x

2

2+ x + 2 ) −12

− x + 3 )( x − x −2 ) + 4
2

9) ( 2 2 + x −2 )( 2

+ 2 x + 8 y −3

y

2

2

− x −1 = t

−x −1

2

+ 4t −12 =
t

))
(

− x − 1)( 2 x
2

Đặt 2

2

t

(
3) ( 2

+ x ) −12 =

x

2

+ x − 3 ) −12

x

10) ( 2 x 2 −x −1)( 2 x 2 −x4

2

5) x − 4 xy + 4 y − 7 x + 14 + 6

) −10

Ví dụ 2: Đa thức dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e
( với a + b = c + d )
Phân tích đa thức thành nhân tử:
( x + 2 )( x + 3)( x + 4 )( x + 5 ) −
2) 24
1) P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15
Giải:
1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) –
15

= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15
§Æt y = x2 + 5x + 4 th× P(x) trë thµnh
Q(y) = y(y + 2) – 1 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15
= y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5)
Do ®ã: P(x) = (x2

+5x + 1)(x2

+ 5x + 9)

+x+
6)


1) x ( x + 4 )( x + 6 )( x + 10 ) +128
2) ( x −1)( x −3)( x −5)( x −7 ) −20
)( )( )
3) (
x x − 1 x + 1 x + 2 −3

4) ( x − 7 )( x − 5 )( x − 4 )( x − 2 ) −72
5) ( x 2 + 8 x + 12 )( x 2 + 12 x + 32 ) +16
Nguyễn Trần Kiên

Bài tập áp dụng:
6) ( x 2 + 4 x + 3 )( x 2 + 6 x + 8 ) −24
7) ( x 2 −6 x + 5 )( x 2 −10 x + 21) −20
)
)
8) (

2

x + x −2

(

x 2 + 9 x + 18 − 28

9) ( x 2 −5 x + 6 )( x 2 −15 x + 56 ) −144
10) ( x 2 −11x + 28 )( x 2 −7 x + 10 ) −72
16

Trường THCS Lập Thạch


Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”

Ví dụ 3: Đa thức dạng (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
víi a1b1 = c1d1 vµ a2b2 = c2d2
Phân tích đa thức thành nhân tử:
2
P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x
Giải:
DÔ thÊy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 vµ
a2b2 = 2.(-5) =(-1).10
=c2d2
P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2
§Æt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 th× P(x) trë thµnh:
Q(y) = y(y + 10x) + 24x2
= y2 + 10xy + 24x2

T×m m.n = 24x2 vµ m + n = 10x ta chän ®-îc m = 6x , n =
4x
Ta ®-îc: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do ®ã:
P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).
Bài tập áp dụng:
2
1) ( x −1)( x + 2 )( x + 3)( x − 6 ) +32x2
6) ( x + 2)( x −4)( x + 6)( x −12) +36x
2
2) ( x + 1)( x − 4 )( x + 2 )( x −8 ) + 4x2
7) 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) −3x
3) ( x −2 )( x − 3)( x − 6 )( x −4 ) −72x2
2
8) ( x + 2 )( x + 3)( x + 8)( x + 12 ) −4x
4) ( x + 3)( x −1)( x −5)( x + 15 ) + 64x2
2
( x − 2)( x − 4)( x − 5)( x − 10) −54x

5)

Dạng 2: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp
Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc
thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tích ra nhân tử đối
với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ.
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử:
1) x 2 + 12 + 3 x x 2 + 1 + 2x2
(

)

(

)

Giải:
1) ( x 2 + 1) 2 + 3 ( x 2 + 1) +
x
Đặt x + 1 = t

(

2) 10 x 2 −2 x + 3

)

4

(

)

−9 x 2 x 2 −2 x + 3

2

−x4

2

2x

2

x 2 + 1) 2 + 3 x ( x 2 + 1) + 2 x 2 = t 2 + 3 xt + 2 x 2 = t 2 + 2 xt + xt + 2x2





t (t + 2 x )+ x (t + 2 x ) =

)( x

2

+1+x) =

( t + 2 x )( t + x ) =

(x

2

+ 1 + 2 x )( x 2 + 1 + x ) =

( x +1) 2 2) 10 ( x 2 − 2 x + 3 ) 4 − 9 x 2 ( x 2 − 2 x + 3) 2 − x4

(x

2

+1+2x

Đặt x 2 − 2 x + 3 = t
Nguyễn Trần Kiên

17

Trường THCS Lập Thạch