Luận văn Phương pháp làm chặt bất đẳng thức đại số thông qua những ước lượng trực quan từ hình học

1

Mu. c Lu. c
Mo’. d
¯`ˆ
au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
˜ m) . . . . . . . . . . 5
`oi (lo
Chu.o.ng 1. Phu.o.ng pha
´ p su’. du.ng tı
´nh chˆ
at ha
`m lˆ
˜ y bˆa´t d¯˘a’ng th´
˜ m) 5
`oi (lo
u.c sinh bo’.i ha`m lˆ
1.1 Th´
u. tu.. s˘a´p d¯u.o..c cu’a da
1.2 Bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c Karamata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
˜ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
`oi va` ha`m lo
1.3 Gi´o.i thiˆe.u mˆo.t sˆo´ ha`m lˆ
`oi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Mˆo.t sˆo´ ha`m lˆ
˜ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Mˆo.t sˆo´ ha`m lo
1.4 Ba`i tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
´ p lu..a cho.n tham sˆ
o´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Chu.o.ng 2 Phu.o.ng pha
.
2.1 Ca
´ c da.ng toa
´ n ch´
u a tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Tham sˆo´ chı’ thuˆo.c mˆo.t vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Tham sˆo´ co
´ trong hai vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c . . . . . . . . . . . . . 30
´ c . . . . . . . . . 36
2.2 Ca
´ c da.ng toa
´ n ch´
u.a tham phu. thuˆo.c va`o tham sˆo´ kha
2.3 Ba`i tˆa.p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Chu.o.ng 3 Phu.o.ng pha
´ p su’. du.ng tı
´nh chˆ
a´t cu’a ha
`m d
¯o.n d
¯iˆ
e.u . . . . 45
3.1 Ha`m d¯o.n d¯iˆe.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
´ c d¯a.i lu.o..ng trung bı`nh . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Tı´nh d¯o.n d¯iˆe.u cu’a ha`m ca
3.2.1 Ca
´ c d¯a.i lu.o..ng trung bı`nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2 Ca
´ c d¯a.i lu.o..ng trung bı`nh suy rˆo.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
´ c d¯a th´
u.c d¯ˆo´i x´
u.ng so. cˆa´p . . . . . . . . . . 55
3.3 Tı´nh d¯o.n d¯iˆe.u cu’a ha`m ca
´ p hı`nh ho.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chu.o.ng 4 Phu.o.ng pha
4.1 Hı`nh ho.c ho
´ a ca
´ c d¯a.i lu.o..ng trung bı`nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
´ p kha
´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha
4.1 Ba`i tˆa.p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
Kˆ
e´t luˆ
a.n cu’a luˆ
a.n v˘
an. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
Ta
`i liˆ
e.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


2

`au
Mo’. d
¯ˆ

- T) la` mˆo.t trong nh˜
Bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c (BD
u.ng nˆo.i dung quan tro.ng trong chu.o.ng
˜ ng v`
u.u ma` cu
u.a la` mˆo.t
trı`nh toa
´ n phˆo’ thˆong, no
´ v`
u.a la` d¯ˆo´i tu.o..ng d¯ˆe’ nghiˆen c´
`eu lı˜nh vu..c kha
u.ng u
´.ng du.ng trong nhiˆ
´ c nhau cu’a toa
´ n ho.c.
cˆong cu. d¯˘a´c lu..c, v´o.i nh˜
.
.
.
`e ch´
´ n vˆ
u ng minh
Trong ca
´ c d¯`ˆe thi cho.n ho.c sinh gio’i toa
´ n o’ ca
´ c cˆa´p, nh˜
u ng ba`i toa
- T thu.`o.ng xuˆa´t hiˆe.n nhu. mˆo.t da.ng toa
´ n kha

´ quen thuˆo.c, nhu.ng d¯ˆe’ tı`m ra l`o.i
BD
gia’i khˆong pha’i la` mˆo.t viˆe.c dˆ˜e da`ng.
- T cu
- T d¯˜a d¯u.o..c kha
˜ ng
`eu ta`i liˆe.u d¯ˆ
`e cˆa.p va` ca
`e BD
´ nhiˆ
´ c ba`i tˆa.p vˆ
Ly
´ thuyˆe´t BD
- T la` phˆ
`an nˆo.i
´ p ch´
u.ng minh BD
kha
´ phong phu
´ , d¯a da.ng, trong d¯o
´ ca
´ c phu.o.ng pha
.
.
`eu ta`i liˆe.u.
dung quan tro.ng thu `o ng g˘a.p trong nhiˆ
.
.
.
.

- T ho˘a.c sa
-T
´ p ch´
u ng minh BD
´ ng ta.o ra nh˜
u.ng BD
Mˆo.t trong nh˜
u ng phu o ng pha
- T.
m´o.i la` viˆe.c la`m ch˘a.t BD
- T A < B (tu.o.ng tu.. v´o.i BD
- T A > B, A ≤
`an ch´
Gia’ su’. ta co
´ (ho˘a.c cˆ
u.ng minh) BD
.
.
.
-T
u c C sao cho A < C < B, thı` ta no
´ i r˘a` ng BD
B, A ≥ B). Nˆe´u tı`m d¯u o. c biˆe’u th´
-T
- T th´
th´
u. nhˆa´t d¯˜a d¯u.o..c la`m ch˘a.t (nghiˆem ng˘a.t) bo’.i BD
u. hai va` hiˆe’n nhiˆen, BD
- T th´
- T th´

u. BD
u. hai. Viˆe.c ch´
u.ng minh d¯u.o..c BD
u. hai cho
th´
u. nhˆa´t d¯u.o..c suy ra t`
- T th´
- T m´o.i.
u. nhˆa´t va` d¯`ˆong th`o.i sa
´ ng ta.o ra nh˜
u.ng BD
ta mˆo.t ca
´ ch ch´
u.ng minh BD
- T la` rˆa´t co
´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD
´ ´y nghı˜a.
Do d¯´o, viˆe.c tı`m ra ca
´ c phu.o.ng pha
- ´o cu
˜ ng la` nˆo.i dung ma` luˆa.n v˘an na`y d¯ˆ
`e cˆa.p.
D
`om ca
`an mu.c lu.c, Mo’. d¯`ˆau, 4 chu.o.ng nˆo.i dung, Kˆe´t
Luˆa.n v˘an da`y 74 trang, gˆ
´ c phˆ
luˆa.n va` Ta`i liˆe.u tham kha’o.
˜ m) .
`oi (lo

Chu.o.ng 1: Phu.o.ng pha
´ p su’. du.ng tı´nh chˆ
a´t cu’a ha
`m lˆ
- T ma` mˆo.t sˆo´
- ˆay la` phu.o.ng pha
´ p co. ba’n va` quan tro.ng nhˆa´t d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD
D
˜ ng d¯˜a d¯`ˆe cˆa.p, d¯˘a.c biˆe.t la` ta`i liˆe.u [1]. Phˆ
`an d¯o
ta`i liˆe.u hiˆe.n ha`nh cu
´ ng go
´ p cu’a luˆa.n
.
.
´ p na`y b˘a` ng nh˜
u.ng vı´ du.
v˘an, chu’ yˆe´u la` viˆe.c cu. thˆe’ ho
´ a ly
´ thuyˆe´t cu’a phu o ng pha
- T kha
`e BD
va` ba`i tˆa.p cu. thˆe’, co
´ thˆe’ ta
´ ch riˆeng tha`nh nh˜
u.ng ba`i tˆa.p vˆ
´ phong phu
´.
.
.

.
.
.
- T d¯˜a d¯u o. c ta.o ra t`
- T quen thuˆo.c, la` tru `o ng ho. p riˆeng cu’a ca
`eu BD
´ c BD
u.
Kha
´ nhiˆ
˜ ng d¯˜a d¯u.a ra d¯u.o..c kha
`an cuˆo´i chu.o.ng, luˆa.n v˘an cu
nh˜
u.ng minh ho.a na`y. Trong phˆ
´


3
- T kha
˜ m) d¯ˆe’ ba.n d¯o.c co
`eu ha`m lˆ
`oi (lo
`eu BD
´ c.
nhiˆ
´ thˆe’ ´ap du.ng sa
´ ng ta.o ra nhiˆ
.
.
.

.
.
Chu o ng 2: Phu o ng pha
´ p lu. a cho.n tham sˆ
o´.
.
.
.
.
´ p na`y bo’.i mˆo.t vı´ du. sau d¯ˆay: Gia’ su’.
Co
´ thˆe’ minh ho.a ´y tu o’ ng cu’a phu o ng pha
u.c
a, b, c la` 3 sˆo´ khˆong ˆam co
´ tˆo’ng b˘a` ng 3. Dˆ˜e da`ng ch´
u.ng minh d¯u.o..c bˆa´t d¯˘a’ng th´
√
√
√
a + b + c ≥ ab + bc + ca.
1
- T sau d¯ˆay luˆon d¯u
Nhu. vˆa.y, v´o.i k ≥ thı` BD
´ ng
2
ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca.
1
- T trˆen vˆa˜n d¯u
Mˆo.t cˆau ho’i tu.. nhiˆen d¯u.o..c d¯˘a.t ra, v´o.i k < thı` khi na`o BD
´ ng?

2
1
- T trˆen vˆa˜n d¯´ung cho ta mˆo.t
Viˆe.c tı`m d¯u.o..c sˆo´ k (k < ) nho’ nhˆa´t sao cho BD
2
- T.
´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t BD
phu.o.ng pha
- ´o cu
˜ ng la` nˆo.i dung ma` luˆa.n v˘an d¯ˆ
`e cˆa.p trong chu.o.ng na`y, trong d¯´o tham sˆo´
D
k d¯u.o..c xe
´ t o’. hai da.ng, la` tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p ho˘a.c co`n phu. thuˆo.c va`o mˆo.t tham sˆo´ kha
´ c.
´ p su’. du.ng tı´nh chˆ
a´t cu’a ha
`m d¯o.n d¯iˆe.u.
Chu.o.ng 3: Phu.o.ng pha
˜ ng d¯a
˜ d¯u.o..c mˆo.t sˆo´ ta`i liˆe.u d¯ˆ
`e cˆa.p, d¯˘a.c biˆe.t la` ta`i liˆe.u [1].
´ p na`y cu
Phu.o.ng pha
`an d¯o
´ a mˆo.t sˆo´
Phˆ
´ ng go
´ p cu’a luˆa.n v˘an o’. chu.o.ng na`y chu’ yˆe´u la` viˆe.c hˆe. thˆo´ng ho
.

.
.
.
.
.
phu o ng pha
´ p s˘a´p th´
u tu. ca
´ c d¯a.i lu o. ng trung bı`nh va` cu. thˆe’ ho
´ a ly
´ thuyˆe´t cu’a
- T m´o.i d¯u.o..c luˆa.n
`eu BD
´ p b˘a` ng nh˜
u.ng vı´ du. va` ba`i tˆa.p cu. thˆe’. Kha
´ nhiˆ
phu.o.ng pha
- T b˘`a ng ca
´ p na`y.
v˘an sa
´ ng ta
´ c, thˆong qua viˆe.c la`m ch˘a.t BD
´ ch su’. du.ng phu.o.ng pha
Chu.o.ng 4: Phu.o.ng pha
´ p hı`nh ho.c.
.
.
- T d¯a.i sˆo´
´ p la`m ch˘a.t BD
Nˆo.i dung chu o ng na`y d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n mˆo.t sˆo´ phu.o.ng pha

u. hı`nh ho.c, v´o.i nh˜
u.ng vı´ du. minh ho.a kha
´
thˆong qua nh˜
u.ng u.´o.c lu.o..ng tru..c quan t`
cu. thˆe’.
˜ Tri.nh
Luˆa.n v˘an d¯u.o..c hoa`n tha`nh du.´o.i su.. hu.´o.ng dˆa˜n khoa ho.c cu’a Tiˆe´n sy
.
.
.
- `ao Chiˆe´n - Ngu `o i Thˆ
`ay rˆa´t nghiˆem kh˘a´c va` tˆa.n tˆam trong cˆong viˆe.c, ngu `o.i Thˆ
`ay
D
`eu ´y tu.o’.ng hay va`
khˆong chı’ giu
´ p d¯˜o., cung cˆa´p ta`i liˆe.u, go..i mo’. cho ta
´ c gia’ nhiˆ
˜ ng nhu. nh˜
`en d¯a.t nhiˆ
`eu kiˆe´n th´
´ u, cu
u.ng kinh nghiˆe.m nghiˆen c´
u.u khoa
truyˆ
u.c quı´ ba
ho.c ma` co`n chı’ ba’o cho ta
´ c gia’ trong ta
´ c phong la`m viˆe.c, thˆong ca’m, khuyˆe´n khı´ch

u.ng kho
´ kh˘an trong chuyˆen mˆon va` cuˆo.c sˆo´ng. Chı´nh
d¯ˆo.ng viˆen ta
´ c gia’ vu.o..t qua nh˜
vı` vˆa.y ma` ta
´ c gia’ luˆon to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh va` su.. kı´nh phu.c sˆau s˘a´c d¯ˆo´i v´o.i
- a`o Chiˆe´n.
˜ Tri.nh D
`ay gia
thˆ
´ o hu.´o.ng dˆa˜n - Tiˆe´n sy
˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n chˆan tha`nh d¯ˆe´n Ban Gia
´ m Hiˆe.u
Nhˆan d¯ˆay, ta
´ c gia’ cu


4
- a.i ho.c, khoa Toa
- a.i ho.c Quy Nho.n, Pho`ng d¯a`o ta.o D
- a.i ho.c va` sau D
´ n, quı´
tru.`o.ng D
.
.
.
`ay cˆo gia
`eu kiˆe.n thuˆa.n lo. i trong th`o i gian ta
Thˆ
´ o tru. c tiˆe´p gia’ng da.y d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆ

´c
gia’ tham gia kho
´ a ho.c.
- `ˆong th`o.i ta
˜ ng xin ba`y to’ lo`ng biˆe´t o.n d¯ˆe´n UBND Tı’ nh Gia Lai, So’.
´ c gia’ cu
D
Gia
´ o du.c va` d¯a`o ta.o Tı’ nh Gia Lai, Ban Gia
´ m Hiˆe.u tru.`o.ng THPT Ia Grai, d¯˜a d¯ˆo.ng
`eu th`o.i gian nghiˆen c´
`eu kiˆe.n thuˆa.n lo..i d¯ˆe’ ta
´ c gia’ co
´ nhiˆ
u.u va`
viˆen va` ta.o mo.i d¯iˆ
`e ta`i.
hoa`n tha`nh d¯ˆ
Trong qua
´ trı`nh hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an na`y, ta
´ c gia’ co`n nhˆa.n d¯u.o..c su.. quan tˆam
`ong nghiˆe.p, ca
d¯ˆo.ng viˆen cu’a me. , vo.., ca
´ c anh chi. em trong gia d¯ı`nh, ca
´ c ba.n d¯ˆ
´ c anh
- a.i ho.c Qui Nho.n. Ta
´ a VII, VIII, IX cu’a tru.`o.ng D
´ c gia’
chi. em trong l´o.p cao ho.c kho

.
.
xin chˆan tha`nh ca’m o n tˆa´t ca’ su. quan tˆam va` d¯ˆo.ng viˆen d¯o
´.
- ˆe’ hoa`n tha`nh luˆa.n v˘an, ta
D
´ c gia’ d¯˜a rˆa´t cˆo´ g˘a´ng tˆa.p trung nghiˆen c´
u.u, song do
˜ ng nhu. vˆ
`e n˘ang lu..c nˆen ch˘a´c ch˘a´n trong luˆa.n v˘an
`eu ha.n chˆe´ vˆ
`e th`o.i gian, cu
´t
ı nhiˆ
`eu vˆa´n d¯ˆ
`e chu.a d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n va` kho
´ tra
´ nh kho’i nh˜
u.ng thiˆe´u so
´ t nhˆa´t d¯.inh.
co`n nhiˆ
.
.
.
.
`ay cˆo va` nh˜
u ng go
´ p ´y cu’a ba.n
Ta
´ c gia’ rˆa´t mong nhˆa.n d¯u o. c su. chı’ ba’o cu’a quı´ thˆ

`e luˆa.n v˘an na`y.
d¯o.c vˆ

Quy Nho.n, tha
´ ng 02 n˘
am 2008
Ta
´ c gia’


5

Chu.o.ng 1

ap su˙’. du.ng t´ınh chˆ
Phu.o.ng ph´
a´t
`oi (l˜
h`
am lˆ
om)
1.1

˜ y bˆ
´p d
a´t d
¯˘
a’ng th´
u.c
a

¯u.o..c cu’a da
Th´
u. tu.. s˘
˜ m)
`oi (lo
`m lˆ
sinh bo’.i ha

`am d¯i.nh mˆo.t
Tru.´o.c hˆe´t, v´o.i hai sˆo´ thu..c a ≥ b, ta su’. du.ng kı´ hiˆe.u I(a; b) d¯ˆe’ ngˆ
trong bˆo´n tˆa.p ho..p (a; b), [a; b), (a; b] va` [a; b].
˜ d¯u.o..c ch´
u.ng minh:
Trong [1], hai kˆe´t qua’ sau d¯ˆay d¯a
- i.nh ly
`oi) trˆen
`m lˆ
o.c ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co
´ f (x) ≥ 0 (ha
D
´ 1.1.1. Gia’ su’. cho tru.´
.
.
.
˜ y sˆ
`an {uk }
o i x1 < x2. Khi d¯´o, v´
o i mo.i da

o´ t˘
ang dˆ
I(a; b) va
` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
˜ y sˆ
`an {vk } trong
va
` da
o´ gia’m dˆ

x1 + x2
2

(1.1)

x1 + x2
; x2 :
2

x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2

(1.2)

uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n

(1.3)

f (u0 ) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ ... ≥ f (un ) + f (vn ).

(1.4)

sao cho
ta d¯`ˆeu co
´
˜ y gia’m.
˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la
` mˆ
o.t da
No
´ i ca
´ ch kha
´ c: Da


6
- i.nh ly
˜ m) trˆen
`m lo
o.c ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co
´ f (x) 0 (ha
D

´ 1.1.2. Gia’ su’. cho tru.´
˜ y sˆ
`an {uk }
o.i x1 < x2. Khi d¯´o, v´
o.i mo.i da
o´ t˘
ang dˆ
I(a; b) va
` gia’ su’. x1, x2 ∈ I(a; b) v´
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
2
x1 + x2
˜ y sˆ
`an {vk } trong
; x2 :
va
` da
o´ gia’m dˆ
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2
sao cho
uj + vj = x1 + x2, ∀j = 0, 1, ..., n,
ta d¯`ˆeu co

´
f (u0 ) + f (v0 )

f (u1 ) + f (v1 )

...

f (un ) + f (vn ).

(1.5)

˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, ..., n, la
˜ y t˘
No
´ i ca
´ ch kha
´ c: Da
` mˆ
o.t da
ang.
- i.nh lı´ 1.1.2,
- i.nh lı´ 1.1.1 ho˘a.c D
u.ng kˆe´t qua’ t`
u. D
Nhˆa.n xe
´t r˘a` ng, d¯ˆe’ co
´ d¯u.o..c nh˜
.
.
.

˜ y {uk } va` {vk } thoa’
`eu quan tro.ng tru ´o c hˆe´t la` pha’i xˆay du. ng trˆen I(a; b) hai da
d¯iˆ
˜ n nh˜
`eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh lı´. Sau d¯o
ma
u.ng d¯iˆ
´ la` viˆe.c tı`m nh˜
u.ng ha`m sˆo´ y = f (x) co
´
f (x) ≥ 0 ho˘a.c f (x) 0 trˆen I(a; b) d¯ˆe’ ´ap du.ng.
˜ y sˆo´ va` ha`m
u.ng da
Du.´o.i d¯ˆay la` mˆo.t va`i minh ho.a cho hai d¯i.nh lı´ trˆen, v´o.i nh˜
´ thˆe’ tı`m ra nh˜
u.ng kˆe´t qua’ kha
´ c, phong phu
´ ho.n.
sˆo´ d¯o.n gia’n nhˆa´t. Ba.n d¯o.c co
`an lu.o..t
´ c d¯iˆe’m uj va` vj lˆ
V´o.i hai sˆo´ thu..c cho tru.´o.c x1 < x2 , hı`nh a’nh cu’a ca
x + x2
`eu” vˆ
`e trung d¯iˆe’m cu’a d¯oa.n [x1x2 ] la` 1
trˆen tru.c sˆo´ giu
´ p ta xˆay du..ng
”tiˆe´n d¯ˆ
2
- .inh lı´ 1.1.1 va` D

- .inh lı´
˜ n nh˜
˜ y {uk } va` {vk } thoa’ ma
`eu kiˆe.n cu’a D
u.ng d¯iˆ
d¯u.o..c hai da
1.1.2 nhu. sau:
Vı
´ du. 1.1.
u0 = x1 , u1 = x1 +

(n + 2)x1 + nx2
x2 − x1
x2 − x1
, . . . , u n = x1 + n
=
;
2.(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)

v0 = x2, v1 = x2 −

nx1 + (n + 2)x2
x2 − x1
x2 − x1
, . . . , vn = x 2 − n
=
.
2.(n + 1)

2(n + 1)
2(n + 1)

Bˆay gi`o., xe
´t ha`m sˆo´
f (x) = x2; x ∈ R.
Ta co
´
f (x) = 2 > 0; ∀x ∈ R.
- i.nh lı´ 1.1.1, ta co
Do d¯´o, theo D
´


7
Bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c 1.1.
(2n + 1)x1 + x2
2(n + 1)
(n + 2)x1 + nx2
≥
2(n + 1)

x21 + x22 ≥

x1 + (2n + 1)x2 2
2nx1 + 2x2 2 2x1 + 2nx2

≥
+
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
2
2
2
nx1 + (n + 2)x2
x1 + x2
+
≥
; ∀x1, x2 ∈ R.
2(n + 1)
2

2

2

+

Tiˆe´p tu.c, nˆe´u xe
´t ha`m sˆo´
f (x) =
Ta co
´
f (x) =

1

; x > 0.
x

2
> 0; ∀x > 0.
x3

- i.nh lı´ 1.1.1, ta co
Do d¯´o, theo D
´
Bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c 1.2.
1
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)
1
+
≥
+
≥
+
≥ ···
x1 x2
(2n + 1)x1 + x2 x1 + (2n + 1)x2
2nx1 + 2x2 2x1 + 2nx2

≥

2(n + 1)
4
2(n + 1)
+
≥
; ∀x1, x2 > 0, n ≥ 1.
(n + 2)x1 + nx2 nx1 + (n + 2)x2
x1 + x2

Bˆay gi`o., xe
´t ha`m sˆo´
f (x) =
Ta co
´
f (x) = −

√

x; x > 0.

1
√ > 0; ∀x > 0.
4x x

- i.nh lı´ 1.1.1, ta co
Do d¯´o, theo D
´
Bˆ

a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c 1.3.
√

√
x1 + x2

···

(2n + 1)x1 + x2
+
2(n + 1)
(n + 2)x1 + nx2
+
2(n + 1)

x1 + (2n + 1)3x2
2(n + 1)

nx1 + (n + 2)x2
≤
2(n + 1)

2nx1 + 2x2
+
2(n + 1)

x1 + x2

; ∀x1, x2 > 0 n ≥ 1.
2

Tiˆe´p tu.c, nˆe´u xe
´t ha`m sˆo´
f (x) =
Ta co
´

sinx
; x ∈ (0; π).
1 + sinx

sinx + 1 + cos2 x
< 0; ∀x ∈ (0; π).
(1 + sinx)3
- i.nh lı´ 1.1.1, ta co
Do d¯´o, theo D
´
f (x) = −

2x1 + 2nx2
2(n + 1)

···


8
Bˆ
a´t d

¯˘
a’ ng th´
u.c 1.4.
x1 + (2n + 1)x2
(2n + 1)x1 + x2
sin
sinx2
sinx1
2(n + 1)
2(n + 1)
+
+
≤
(2n + 1)x1 + x2
x1 + (2n + 1)x2
1 + sinx1 1 + sinx2
1 + sin
1 + sin
2(n + 1)
2(n + 1)
nx1 + (n + 2)x2
(n + 2)x1 + nx2
sin
sin
2(n + 1)
2(n + 1)
+
(n + 2)x1 + nx2
nx1 + (n + 2)x2
1 + sin

1 + sin
2(n + 1)
2(n + 1)
x1 + x2
sin
2
≤2
x1 + x2 ; ∀x1, x2 ∈ (0; π), n ≥ 1
1 + sin
2
sin

···

- i.nh lı´ 1.1.1 va` D
- i.nh lı´ 1.1.2. Co
Bˆay gi`o., tro’. la.i v´o.i D
´ thˆe’ ch´
u.ng minh d¯u.o..c
r˘a` ng kˆe´t qua’ (1.4) va` (1.5) vˆa˜n d¯u
´ ng nˆe´u thay (1.3) bo’.i mˆo.t gia’ thiˆe´t ma.nh ho.n.
Ta co
´ ca
´ c kˆe´t qua’ sau d¯ˆay:
- i.nh ly
`oi) trˆen
`m lˆ
o.c ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co

´ f (x) ≥ 0 (ha
D
´ 1.1.3. Gia’ su’. cho tru.´
.
.
.
˜ y sˆ
`an {uk }
o i x1 < x2. Khi d¯´o, v´
o i mo.i da
o´ t˘
ang dˆ
I(a; b) va
` gia’ su’ x1, x2 ∈ I(a; b) v´
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un <
˜ y sˆ
`an {vk } trong
va
` da
o´ gia’m dˆ

x1 + x2
2

x1 + x2
; x2 :

2

x1 + x2
< vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2
2
sao cho
x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn ,
ta d¯`ˆeu co
´
f (u0) + f (v0 ) ≥ f (u1 ) + f (v1 ) ≥ · · · ≥ f (un ) + f (vn ).
˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la
˜ y gia’m.
No
´ i ca
´ ch kha
´ c: Da
` mˆ
o.t da
u. ca
´ c gia’ thiˆe´t, ta co
´
Ch´
u.ng minh. V´o.i mˆo˜i j ∈ {0, 1, · · · , n}, t`
uj < uj+1 <

uj+1 + vj+1
2

u0 + v0
x1 + x2

=
< vj+1 < vj .
2
2

(1.6)


9
Bˆay gi`o., v´o.i mˆo˜i j ∈ {0, 1, ..., n}, d¯˘a.t

u
j+1 − uj = j+1
vj − vj+1 = δj+1 .
Thˆe´ thı`
0<

j+1

δj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.

- i.nh lı´ Lagrange, ta co
Bˆay gi`o., v´o.i mˆo˜i j ∈ {0, 1, ..., n}, theo D
´
.
f (uj+1 ) − f (uj ) = f (cj+1 )(uj+1 − uj ) = f (cj+1 ) j+1 , v´o i cj+1 ∈ (uj ; uj+1);
f (vj ) − f (vj+1 ) = f (dj+1 )(vj − vj+1 ) = f (dj+1 )δj+1 , v´o.i dj+1 ∈ (vj+1 ; vj ).
´
u.a, vı` cj+1 < dj+1 ; ∀j ∈ {0, 1, ..., n} va` f (x) ≥ 0, nˆen ta co
Ho.n n˜

f (cj+1 )

f (dj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.

Do d¯´o, ta co
´
f (uj+1 ) − f (uj )

f (vj ) − f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n},

hay
f (uj ) + f (vj ) ≥ f (uj+1 ) + f (vj+1 ); ∀j ∈ {0, 1, ..., n}.
`eu pha’i ch´
Ta co
´ d¯iˆ
u.ng minh.
Tu.o.ng tu.., ta co
´
- i.nh ly
˜ m) trˆen
`m lo
o.c ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co
´ f (x) 0 (ha
D
´ 1.1.4. Gia’ su’. cho tru.´
˜ y sˆ
`an {uk }
o.i x1 < x2. Khi d¯´o, v´

o.i mo.i da
o´ t˘
ang dˆ
I(a; b) va
` gia’ su’. x1, x2 ∈ I(a; b) v´
x1 + x2
trong x1 ;
:
2
x1 + x2
x1 = u0 < u1 < u2 < · · · < un <
2
x1 + x2
˜ y sˆ
`an {vk } trong
; x2 :
va
` da
o´ gia’m dˆ
2
x1 + x2
< vn < vn−1 < · · · < v1 < v0 = x2
2
sao cho
x1 + x2 = u0 + v0 ≥ u1 + v1 ≥ · · · ≥ un + vn ,
ta d¯`ˆeu co
´
f (u0) + f (v0 )

f (u1 ) + f (v1 )

···

f (un ) + f (vn ).

˜ y t˘
˜ y f (uj ) + f (vj ) , j = 0, 1, · · · , n, la
` mˆ
o.t da
ang.
No
´ i ca
´ ch kha
´ c: Da


10
`an
´ c d¯iˆe’m uj va` vj lˆ
Bˆay gi`o., v´o.i hai sˆo´ thu..c cho tru.´o.c x1 < x2 , hı`nh a’nh cu’a ca
x1 + x2
.
.
`an d¯`ˆeu” vˆ
`e trung d¯iˆe’m cu’a d¯oa.n [x1x2] la`
trˆen tru.c sˆo´
lu o. t ”tiˆe´n chˆa.m dˆ
2
- i.nh
˜ n nh˜

˜ y {uk } va` {vk } thoa’ ma
`eu kiˆe.n cu’a D
u.ng d¯iˆ
giu
´ p ta xˆay du..ng d¯u.o..c hai da
.
- i.nh lı´ 1.1.4 nhu sau:
lı´ 1.1.3 va` D
Vı
´ du. 1.2.

x2 − x1
, ...,
22
x2 − x1
x2 − x1
(2n+1 − 2n + 1)x1 + (2n − 1)x2
+
·
·
·
+
=
;
un = x1 +
22
2n+1
2n+1
x2 − x1
,··· ,

v0 = x2 , v1 = x2 −
22
x2 − x1
x2 − x1
(2n − 1)x1 + (2n+1 − 2n + 1)x2
vn = x2 −
− · · · − n+1 =
.
22
2
2n+1
˜ y nhu. trˆen, ta thu d¯u.o..c ca
˜y
´ c ca
´ ch ta.o da
´ c c˘a.p da
Ngoa`i ra, co
´ thˆe’ phˆo´i ho..p ca
- i.nh lı´ 1.1.3 va` D
- i.nh lı´ 1.1.4, ch˘a’ng
˜ n nh˜
`eu kiˆe.n cu’a D
u.ng d¯iˆ
{uk } va` {vk } thoa’ ma
ha.n:
u0 = x1, u1 = x1 +

Vı
´ du. 1.3.
u0 = x1 , u1 = x1 +

un = x1 + n

x2 − x1
−
2(n + 1)

x2 − x1
x2 − x1
− 2
,··· ,
2(n + 1) 2 (n + 1)

x2 − x1
x2 − x1
x2 − x1
+ 3
+ · · · + n+1
2
2 (n + 1) 2 (n + 1)
2 (n + 1)

(n + 1)2n+1 − (n − 1)2n − 1 x1 + (n − 1)2n + 1 x2
;
=
(n + 1)2n+1
v0 = x2, v1 = x2 −

nx1 + (n + 2)x2
x2 − x1
x2 − x1

, · · · , vn = x2 − n
=
.
2(n + 1)
2(n + 1)
2(n + 1)

Cuˆo´i cu`ng, v´o.i viˆe.c cho.n ca
0
´ c ha`m sˆo´ y = f (x) co
´ f (x) ≥ 0 ho˘a.c f (x)
˜ thu d¯u.o..c kha
`eu vı´ du. phong phu
´ nhiˆ
´.
trˆen I(a; b), ta se
-Dˆo´i v´o.i ca
˜ m, ngoa`i ca
`oi ho˘a.c lo
´ c ha`m sˆo´ lˆ
´ c d¯i.nh lı´ nˆeu trˆen, ca
´ c da.ng cu’a Bˆa´t
.
.
.
.
u ng phu o ng pha
´ p la`m ch˘a.t bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c rˆa´t
d¯˘a’ng th´

u c Karamata co`n cho ta nh˜
˜ d¯u.o..c trı`nh ba`y trong [1], ma` ta co
´
hiˆe.u qua’. Sau d¯ˆay la` ca
´ c kˆe´t qua’ cˆo’ d¯iˆe’n, d¯a
thˆe’ mˆo ta’ thˆong qua mˆo.t sˆo´ vı´ du..


11

1.2

Bˆ
a´t d
¯˘
a’ng th´
u.c Karamata

- .inh ly
D
´ 1.2.1. (Bˆ
a´t d¯a
˘’ ng th´
u.c Karamata)
Cho ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co
´ d¯a.o ha
`m cˆ
a´p hai ta.i mo.i x ∈ (a; b) sao cho f (x) > 0

.
v´
o i mo.i x ∈ (a; b).
˜ n d¯iˆ
`eu kiˆe.n
` x1 , x2, · · · , xn la
` ca
´ c sˆ
o´ thuˆ
o.c [a;b], thoa’ ma
Gia’ su’. a1, a2, · · · , an va
x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an
va
`



x1 ≥ a1







x1 + x2 ≥ a1 + a2

...






x1 + x2 + ... + xn−1 ≥ a1 + a2 + ... + an−1



x1 + x2 + ... + xn = a1 + a2 + ... + an
Khi d¯´o, ta luˆ
on co
´
n

n

f (xk ) ≥
k=1

f (ak ).
k=1

˜ y {xk } va` {ak } la` kha
`eu. V´o.i nh˜
´ nhiˆ
u.ng
Nhˆa.n xe
´t r˘`a ng, ca
´ c gia’ thiˆe´t cu’a hai da
`e d¯a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh, ta co

´ thˆe’ ch´
u.ng minh kˆe´t qua’ sau d¯ˆay
kiˆe´n th´
u.c co. ba’n vˆ
- i.nh ly
D
´ 1.2.2. (I.Schur)
- iˆ
˜ y sˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an va
D
` d¯u’ d¯ˆe’ hai bˆ
o. da
o´ d¯o.n d¯iˆe.u gia’m {xk , ak ; k = 1, 2, · · · , n},
˜ n ca
`eu kiˆe.n
thoa’ ma
´ c d¯iˆ


x1 ≥ a1







x1 + x2 ≥ a1 + a2

...




x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ a1 + a2 + · · · + an−1





x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
la
` gi˜
u.a chu
´ ng co
´ mˆ
o.t phe
´p biˆe´n d¯o
ˆ’i tuyˆe´n tı´nh da.ng
n

ai =

tij xj ; i = 1, 2, · · · , n,
j=1


12
trong d¯´o

n

tkl ≥ 0,

n

tkj = 1,
j=1

tjl = 1; k, l = 1, 2, · · · , n.
j=1

Co
´ thˆe’ mˆo ta’ ma trˆa.n (tij ) qua mˆo.t vı´ du. sau d¯ˆay:
`
˜ y sˆ
´ tˆ
o’ng b˘
a ng α > 0.
Vı
´ du. 1.4.
Xe
´t da
o´ khˆ
ong ˆ
am bˆ
a´t ky
` α1 , α2 , · · · , αn co
o˜i i = 1, 2, · · · , n, ta d¯˘
a.t

V´
o.i mˆ
αi
= ai
α
Thˆe´ thı` ma trˆ
a.n (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co
´ thˆe’ xa
´ c d¯.inh nhu. sau
aij = ai+j−1 ; nˆe´u i + j n + 1
aij = ai+j−n−1 ; nˆe´u i + j > n + 1.
Vı
´ du. 1.5.

Gia’ su’.
0

k

1,

2,

3

`
˜n
la
` 3 sˆ
o´ du.o.ng co

´ tˆ
o’ng b˘
a ng 1. Cho.n k thoa’ ma

1
1 (1 −

min{

1)

;

1
2 (1 −

2)

;

1
3 (1 −

3)

}.

´ thˆe’ xa
´ c d¯.inh nhu. sau
Thˆe´ thı` ma trˆ

a.n (aij ); i, j = 1, 2, · · · , n, co
aij = k 2i − k i + 1 ; nˆe´u i = j
aij = k i j ; nˆe´u i = j.
- i.nh lı´ 1.2.5, ta co
Tu.o.ng tu.. D
´
- i.nh ly
D
´ 1.2.3.
Cho ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co
´ d¯a.o ha
`m cˆ
a´p hai ta.i mo.i x ∈ (a; b)
.
o i mo.i x ∈ (a; b).
sao cho f (x) < 0 v´
.
˜ n d¯iˆ
`eu kiˆe.n
` x1 , x2, · · · , xn la
` ca
´ c sˆ
o´ thuˆ
o.c [a;b], thoa’ ma
Gia’ su’ a1, a2, · · · , an va

va
`

x1

x2

···

xn ,

a1

a2

···

an



x1 a1





x + x2 a1 + a2

 1
...





x1 + x2 + · · · + xn−1 a1 + a2 + · · · + an−1





x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
Khi d¯´o, ta luˆ
on co
´
n

n

f (xk )
k=1

f (ak ).
k=1


13
Tuy nhiˆen, khi gia’ thiˆe´t cuˆo´i cu`ng
x1 + x2 + · · · + xn = a1 + a2 + · · · + an
- i.nh lı´ 1.2.1 va` D
- i.nh lı´ 1.2.2 bi. pha
`an pha’i co

trong D
´ v˜o., cˆ
´ nh˜
u.ng kˆe´t qua’ ma.nh ho.n
d¯ˆe’ thay thˆe´. Ta co
´ hai kˆe´t qua’ sau d¯ˆay
- i.nh ly
D
´ 1.2.4.
Cho ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co
´ d¯a.o ha
`m cˆ
a´p hai ta.i mo.i x ∈ (a; b)
o.i mo.i x ∈ [a; b] va
o.i mo.i x ∈ (a; b).
` f (x) > 0 v´
sao cho f (x) ≥ 0 v´
˜n
` x1, x2 , · · · , xn la
` ca
´ c sˆ
o´ thuˆ
o.c [a;b], d¯`ˆ
ong th`
o.i thoa’ ma
Gia’ su’. a1, a2, · · · , an va
`eu kiˆe.n
ca

´ c d¯iˆ
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ,
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn
va
`



x1 ≥ a1




x + x ≥ a + a
1
2
1
2


...




x1 + x2 + · · · + xn ≥ a1 + a2 + · · · + an
Khi d¯´o, ta luˆ
on co
´
n

n

f (xk ) ≥
k=1

f (ak ).
k=1

- i.nh ly
D
´ 1.2.5.
Cho ha
`m sˆ
o´ y = f (x) co
´ d¯a.o ha
`m cˆ
a´p hai ta.i mo.i x ∈ (a; b)
o.i mo.i x ∈ [a; b] va
o.i mo.i x ∈ (a; b).
` f (x) < 0 v´
sao cho f (x) ≥ 0 v´
˜n
` x1, x2 , · · · , xn la
` ca
´ c sˆ
o´ thuˆ
o.c [a;b], d¯`ˆ
ong th`
o.i thoa’ ma

Gia’ su’. a1, a2, · · · , an va
`eu kiˆe.n
ca
´ c d¯iˆ

va
`

a1

a2

···

an ,

x1

x2

···

xn



x1 a1





x + x
a1 + a2
1
2


...




x1 + x2 + · · · + xn

a1 + a2 + · · · + an

Khi d¯´o, ta luˆ
on co
´
n

n

f (xk )
k=1

f (ak ).
k=1

14
´ c da.ng cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c Karamata, viˆe.c tı`m ra ca
´c
Ta thˆa´y r˘`a ng, d¯ˆo´i v´o.i ca
˜ n d¯iˆ
˜ y {ak } va` {xk } thoa’ ma
`eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh lı´ la` rˆa´t quan tro.ng. Sau d¯ˆay
c˘a.p da
.
˜ y na`y.
`e viˆe.c xˆay du. ng ca
la` mˆo.t sˆo´ vı´ du. vˆ
´ c da
Vı
´ du. 1.6.

˜ y sˆ
Gia’ su’. cho tru.´
o.c da
o´ gia’m
x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn .

˜ y sˆ
`on ta.i da
Khi d¯´o, luˆ
on tˆ
o´ khˆ
ong ˆ
am α1 , α2 , · · · , αn−1 sao cho

x1 − α1 ≥ x2 + α1 − α2 ≥ · · · ≥ xn−1 + αn−2 − αn−1 ≥ xn + αn−1 .
˜ y α1 , α2, · · · , αn−1 nhu. sau
`an cho.n da
Thˆa.t vˆa.y, ta chı’ cˆ
x1 − x2
x2 − x3
, 0 α2
, · · · , 0 αn−1
0 α1
2
2
˜ y sˆo´ {xn }, v´o.i xn = −n, n = 1, 2, · · ·
Ch˘a’ng ha.n, xe
´t da

xn−1 − xn
.
2

Khi d¯´o, ta co
´ x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn .
.
´
Ngoa`i ra, v´o i mo.i n ≥ 2, ta co
xn−1 − xn
1
= .
2
2
˜ y sˆo´ α1 , α2 , · · · , αn−1 , trong d¯o

´
Vˆa.y, nˆe´u cho.n da
1
αn =
;n ≥ 2
2n
thı` ta co
´
1
; ∀n ≥ 2
0 < αn
2
va`
1
; ∀n ≥ 3.
αn−2 − αn−1 =
2(n − 2)(n − 1)
Thˆe´ thı`, ta co
´
x1 − α1 ≥ x2 + α1 − α2 ≥ · · · ≥ xn−1 + αn−2 − αn−1 ≥ xn + αn−1 .
`oi f (x) = x2 ; x ∈ R. Thˆe´ thı`, theo nhˆa.n xe
´t trˆen, ta co
´ kˆe´t
´t ha`m lˆ
Bˆay gi`o., xe
qua’ sau d¯ˆay
Bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´

u.c 1.5.
x21 + x22 + · · · + x2n ≥ x1 −
+ xn−1 +

1
2(n − 2)(n − 1)

v´
o.i mo.i sˆ
o´ thu..c x1 , x2, · · · , xn .

1
2

2

+ x2 +

2

+ xn +

1
4

2

+···

1

2(n − 1)

2


15
` ca
´ c sˆ
o´ thu..c du.o.ng.
Vı
´ du. 1.7.
Gia’ su’. a1, a2, · · · , an la
˜ y lna1, lna2, · · · , lnan
` bˆ
o. hoa
´ n vi. cu’a da
Ta xe
´t bˆ
o. b = b1, b2, · · · , bn la
.
.
.
`an. V´
o.i
o i mˆ
o˜i i ∈ {1, · · · , n}, co
´ thˆe’ coi bi = lnaki , v´
xˆe´p theo th´
u tu. gia’m dˆ
` hoa

´ n vi. na
`o d¯´o cu’a (1, 2, · · · , n).
k1 , k2 , · · · , kn la
.
˜y
` bˆ
o. hoa
´ n vi. cu’a da
´t bˆ
o. c = c1 , c2 , · · · , cn la
Bˆ
ay gi`
o , ta la.i xe
2
2
2
2
a
a
a
a
ln 1 ,ln 2 , · · · ,ln n−1 ,ln n
a2 a3
an
a1
a2k
`an. V´
o.i
o.i mˆ
o˜i i ∈ {1, · · · , n}, co

´ thˆe’ coi ci = ln i , v´
xˆe´p theo th´
u. tu.. gia’m dˆ
a
ki +1

` hoa
´ n vi. na
`o d¯´o cu’a (1, 2, · · · , n).
k1 , k2 , · · · , kn la
.
.
- .inh
˜e da
˜ n d¯iˆ
` ng c˘
˜ y {ck } va
`eu kiˆe.n cu’a D
Dˆ
`ng kiˆe’m tra d¯u o. c r˘
` {bk } thoa’ ma
a
a.p da
lı´ 1.2.1.
- i.nh lı´ 1.2.1, ta
`oi f (x) =ln 1 + ex , x ∈ R. Thˆe´ thı`, theo D
Bˆay gi`o., xe
´t ha`m lˆ
co
´

Bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c 1.6.
a21
1+
a2

1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an

a2n
a22
1+
··· 1 +
a3
a1

o´ thu..c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
v´
o.i mo.i sˆ
Hˆ
e. qua’ 1.2.1.
1 + a1 1 + a2 · · · 1 + an

1+

a41 a3
a42

1+

1+

a21
a2

1+

a22
a2
··· 1 + n
a3
a1

a42a4
a4n a2
·
·
·
1
+
a43
a41

···

v´
o.i mo.i sˆ
o´ thu..c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.

˜ y {ck } va` {bk } trˆen, nˆe´u cho.n ha`m sˆo´ phu` ho..p, ta
Ta thˆa´y r˘`a ng, v´o.i c˘a.p da
√
˜ thu d¯u.o..c nhiˆ
`eu bˆa´t d¯˘a’ng th´
`oi f (x) = 1 + ex,
se
u.c kha
´ c. Ch˘a’ng ha.n, xe
´t ha`m lˆ
x ∈ R, ta d¯u.o..c
Bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c 1.7.
√
√
√
1 + a1 + 1 + a2 + · · · + 1 + an
v´
o.i mo.i sˆ
o´ thu..c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.

1+

a21
+
a2

1+

a22
+ ··· +
a3

1+

a2n
,
a1


16
Hˆ
e. qua’ 1.2.2.
√

1 + a1 +

√
√
1 + a2 + · · · + 1 + an

1+

a41a3
+
a42

1+

a21
+
a2

a42a4
+ ··· +
a43

1+

1+

1+

a22
+ ··· +
a3

a4n a2
a41

1+

a2n
a1

···

o´ thu..c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
v´
o.i mo.i sˆ
` ng: Nˆe´u hai da
˜ y sˆ
Vı
´ du. 1.8.
Tru.´
o.c hˆe´t, ta co
´ nhˆ
a.n xe
´t r˘
a
o´ {xk , yk ∈
˜ n ca
`eu kiˆe.n
I(a; b); k = 1, 2, · · · , n} thoa’ ma
´ c d¯iˆ
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn
va
`

yi
xi
≥ ; ∀i < j,
xj
yj
- .inh lı´ 1.2.1.
˜ n d¯iˆ

`eu kiˆe.n cu’a D
thı` chu
´ ng thoa’ ma
Ch´
u.ng minh.
Thˆa.t vˆa.y, xe
´ t hai bˆo. sˆo´ (x1 , x2, · · · , xn ) va` (y1, y2, · · · , yn ).
.
.
.
`an lu o. t b˘`a ng 1, 2, · · · , n, ta co
´
V´o i i lˆ
yi
xi
≥ .
x1
y1
´
Cˆo.ng ca
´ c bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c na`y theo vˆe´, ta co
x1 + x2 + · · · + xn
y1 + y2 + · · · + yn
≥
.
x1
y1
Suy ra
x1 ≥ y1 .

Bˆay gi`o., tiˆe´p tu.c xe
´ t hai bˆo. sˆo´ (x1 + x2, x3 , · · · , xn ) va` (y1 + y2, y3 , · · · , yn ).
´
Ch´
u.ng minh tu.o.ng tu.., ta co
x1 + x2 ≥ y1 + y2.
´
Tiˆe´p tu.c qua
´ trı`nh tu.o.ng tu.., ta co
x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1


17
`au, nhˆa.n xe
u.ng gia’ thiˆe´t ban d¯ˆ
´ t trˆen d¯˜a d¯u.o..c kh˘a’ng d¯i.nh.
Nhu. vˆa.y, cu`ng v´o.i nh˜
´ c sˆo´ thu..c du.o.ng. V´o.i mˆo˜i i ∈ {1, ..., n}, ta d¯˘a.t
´t a1, a2, ..., an la` ca
Bˆay gi`o., xe
yi =

ai
,
a1 + a2 + · · · + an

a2i
xi = 2
.

a1 + a22 + · · · + a2n
Khi d¯´o
x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn = 1.
Khˆong mˆa´t tı´nh tˆo’ng qua
´ t, gia’ su’. a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an . Khi d¯o
´
x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn ,
y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn .
Ngoa`i ra, v´o.i mo.i i ≥ j, ta co
´
xi
a2
ai
yi
= i2 ≥
= .
xj
aj
aj
yj
˜ n d¯iˆ
˜ y sˆo´ {xk } va` {yk } thoa’ ma
`eu kiˆe.n cu’a
Nhu. vˆa.y, theo nhˆa.n xe
´t trˆen, c˘a.p da
.
- i.nh lı´ 1.2.1 va` do d¯o
`oi
D
´ , v´o i ha`m sˆo´ lˆ

f (x) =

x
; x > 0,
1−x

ta co
´ kˆe´t qua’ sau
Bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c 1.8.
a1
an
+...+
a2 + a3 + · · · + an
a1 + a2 + · · · + an−1

a21
a2n
+·
·
·+
,
a22 + a23 + · · · + a2n
a21 + a22 + · · · + a2n−1

v´
o.i mo.i sˆ

o´ thu..c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
Hˆ
e. qua’ 1.2.3.
a1
an
+· · ·+
a2 + a3 + · · · + an
a1 + a2 + · · · + an−1

a21
a2n
+...+ 2
a22 + a23 + · · · + a2n
a1 + a22 + ... + a2n−1

a41
a4n
+
·
·
·
+
a42 + a43 + · · · + a4n
a41 + a42 + · · · + a4n−1
o´ thu..c du.o.ng a1 , a2, · · · , an.
v´
o.i mo.i sˆ

··· ,

18
- .inh lı´ 1.2.1
Ngu.`o.i ta d¯˜a ch´
u.ng minh d¯u.o..c r˘a` ng, ca
´ c kˆe´t qua’ cu’a D
Lu.u ´y:
- i.nh lı´ 1.2.4 vˆa˜n d¯u
`an d¯ˆe´n gia’ thiˆe´t
´ ng ma` khˆong cˆ
va` D
x 1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn .
- iˆ
˜ ng tu.o.ng tu.. d¯ˆo´i v´o.i gia’ thiˆe´t
`eu na`y cu
D
x1

x2

···

xn

- i.nh lı´ 1.2.3 va` D
- i.nh lı´ 1.2.5.
trong ca
´c D
- i.nh lı´
- i.nh lı´ 1.2.1a, D

`an lu.o..t la` D
´ c d¯i.nh lı´ tu.o.ng tu.. lˆ
Khi d¯´o, ta quy u.´o.c go.i ca
- i.nh lı´ 1.2.4a va` D
- i.nh lı´ 1.2.5a.
1.2.3a, D
- i.nh lı´
˜ ng d¯˜a trı`nh ba`y mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua’ vˆ
`e ca
Ngoa`i ra, trong [1] cu
´ c da.ng D
Karamata mo’. rˆo.ng ma` ba.n d¯o.c co
´ thˆe’ tham kha’o.
˜y
`eu kˆe´t qua’ vˆ
`e d¯ˆo. gˆ
`an d¯`ˆeu va` th´
u.a, kha
´ nhiˆ
u. tu.. s˘a´p d¯u.o..c cu’a mˆo.t da
Ho.n n˜
.
.
.
.
- ˆay chı´nh la` mˆo.t phu o ng pha
˜ ng d¯a
˜ d¯u o. c d¯`ˆe cˆa.p trong [1]. D
´ p kha
´

ca
´ c tam gia
´ c cu
´ c bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c lu.o..ng gia
´ c cu’a tam gia
´ c. Vı´ du. sau d¯ˆay
h˜
u.u hiˆe.u d¯ˆe’ la`m ch˘a.t ca
.
˜ cho ta mˆo.t minh hoa. d¯o n gia’n vˆ
`e vˆa´n d¯ˆ
`e na`y.
se
Vı
´ du. 1.9.

Xe
´t tam gia
´ c ABC. Khˆ
ong mˆ
a´t tı´nh tˆ
o’ng qua
´ t, co
´ thˆe’ gia’ su’.
A ≥ B ≥ C.

-˘
D
a.t A = 2A − B, B = 2B − C, C = 2C − A.

˜ ra
` B > 0. Do d¯´o, nˆe´u thˆem gia’ thiˆe´t C > 0 (t´
u.c la
` A < 2C),
Ro
`ng A > 0 va
.
.
˜ ng la
` 3 go
´ c cu’a mˆ
o.t tam gia
´ c. Ho n n˜
u a, ta co
´
thı` A , B , C cu
A ≥A
A +B ≥ A+B
A +B +C =A+B+C
˜ n ca
˜ y sˆ
`eu kiˆe.n cu’a
´ c d¯iˆ
Do d¯´o, hai bˆ
o. da
o´ {A, B, C} va
` {A , B , C } thoa’ ma
- .inh lı´ 1.2.1a.
D
`oi f (x) = sinx; x ∈ (0; π), thı` ta co

Bˆay gi`o., nˆe´u xe
´t ha`m sˆo´ lˆ
´ kˆe´t qua’ sau
`an
a´t nho’ ho.n hai lˆ
Bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c 1.9.
Gia’ su’. tam gia
´ c ABC co
´ go
´ c l´
o.n nhˆ
go
´ c nho’ nhˆ
a´t. Thˆe´ thı`, ta co
´
sin(2A − B) + sin(2B − C) + sin(2C − A) ≥ sinA + sinB + sinC.
˜ d¯u.o..c khe
˜ m d¯ˆe’ ba.n d¯o.c
`an na`y se
`oi, lo
Phˆ
´ p la.i v´o.i viˆe.c gi´o.i thiˆe.u mˆo.t sˆo´ ha`m lˆ
co
´ thˆe’ ´ap du.ng.

19

1.3
1.3.1

`oi v`
o´ h`
am lˆ
a h`
am l˜
om
o.t sˆ
Gi´
o.i thiˆ
e.u mˆ
`oi
o´ ha
`m lˆ
Mˆ
o.t sˆ

f (x) = xα ; x > 0, α < 0.
f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S), α < 0.
1 α
f (x) = x +
; x > 0, α > 1.
x
x2
; S > 0, x ≥ 0.
f (x) =

x+S
1
f (x) = 2 ; x > 0.
x
x
f (x) =
; S > 0, x ∈ (0; S).
S−x
f (x) = eαx ; x ∈ R, α > 0.
1
; x ≥ 0, α ≥ 1.
f (x) =
1 + eαx
1 2
f (x) = ex + x ; x ∈ R.
e
1
; x > 0.
f (x) =ln 1 +
x
f (x) =ln 1 + eαx ; x ∈ R, α > 0.
1
f (x) =ln ex + x ; x ∈ R.
e
f (x) =sink x ; x ∈ (0; π), k < 0.
1
; x ∈ (0; π).
f (x) =ln 1 +
sin2 x
π

f (x) =cosk x ; x ∈ 0; , k < 0.
2
π
f (x) =tank x ; x ∈ 0; , k ≥ 1.
2
f (x) =arcsinx ; x ∈ (0; 1).
f (x) =arctan(ex ) ; x < 0.
x
; S > 0, x ∈ (0; S).
f (x) =arctan
S−x

1.3.2

˜m
Mˆ
o.t sˆ
o´ ha
`m lo

f (x) = xα ; x > 0, 0 < α < 1.
f (x) = (S − x)α ; S > 0, x ∈ (0; S), 0 < α < 1.
f (x) =lnx1/n ; x > 1, n = 1, 2, ...
f (x) =ln eαx − 1 ; x > 0, α > 0.
f (x) =lnx ; x > 0.
f (x) =sink x ; x ∈ (0; π), k ∈ (0; 1].
f (x) =ln(sinx) ; x ∈ (0; π).


20

sinx
; x ∈ (0; π).
1 + sinx
π
f (x) =cosk x ; x ∈ 0; , k ∈ (0; 1].
2
f (x) =ln(1- cosx) ; x ∈ (0; π).
π
f (x) =cosx tanx ; x ∈ 0; .
2
x
; x ≥ 0.
f (x) =arcsin
1+x
x
f (x) =arcsin
; S > 0, x > 0.
S+x
f (x) =arctanx ; x > 0.
f (x) =

1.4

Ba
`i tˆ
a.p

`
Ba
`i tˆ

a.p 1.1. Cho a, b, c > 0. Ch´
u.ng minh r˘
a ng v´
o.i α > 0, ta co
´:
a+b
2

α

+

b+c
2

α

+

c+a
2

α

≤
≤

2a + b α 2b + c α
2c + a α
+

+
3
3
3
α
α
2(4a + b)
2(4b + c)
2(4c + a)
+
+
9
9
9

´t ha`m sˆo´ f (x) = xα; x > 0
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
`
a ng
Ba
`i tˆ
a.p 1.2. Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Ch´
u.ng minh r˘
1 4 9
+ + ≥
a b c
≥

1
4

9
+ c+a +
a+b
b+c
2
2
2
4
1
+
+
2a + b + c
a + 2b + c
4
4

9
a + b + 2c
4

≥ ···

1
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
´t ha`m sˆo´ f (x) = ; x > 0
x
1
`
Ba
`i tˆ

a.p 1.3. Cho a, b, c khˆ
ong ˆ
am.Ch´
u.ng minh r˘
´:
a ng v´
o.i α ≥ , ta co
2
1 + a2

α

+ 1 + b2

α

+ 1 + c2

α

α

≥

1 + ab + 1 + bc
√
α
3
≥ 3 3 + a2b2c2 .

√
´t ha`m sˆo´ f (x) = 1 + x2 ; x ≥ 0
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe

α

α

+ 1 + ca

α

≤ ···


21
`
a ng:
Ba
`i tˆ
a.p 1.4. Cho a, b, c ∈ (0; 1). Ch´
u.ng minh r˘
√
1−a+

√
√
1−b+ 1−c ≤
≤

√

√
√
ab + 1 − bc + 1 − ca
√
√
√
4
4
4
1 − ab2c + 1 − bc2 a + 1 − ca2 b ≤ · · ·
1−

√
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
´t ha`m sˆo´ f (x) = 1 − x; x ∈ (0; 1)
`
a ng
Ba
`i tˆ
a.p 1.5. Cho a, b, c ∈ (0; 1). Ch´
u.ng minh r˘
√
√
√
1−a+ 1−b+ 1−c ≤

1−

√
ab +

1−

√
bc +

1−

√

a + b − 2ab
b + c − 2bc
+
+
a+b
b+c
√
´t ha`m sˆo´ f (x) = 1 − x ; x ∈ (0; 1)
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
≤

ca
c + a − 2ca
c+a

`
Ba
`i tˆ

a.p 1.6. Cho a ≥ b ≥ c ≥ 0. Ch´
u.ng minh r˘
a ng:
√
√
√
√
√
a + 2 b + 3 3 c ≥ ab + 2 4 ca + 3 6 ca
√
√
√
4
8
12
≥ a2bc + 2 ab2c + 3 abc2 ≥ · · ·
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
´t ha
´ m sˆo´ f (x) = ex ; x ∈ R
`
a ng
Ba
`i tˆ
a.p 1.7. Cho a, b, c > 0. Ch´
u.ng minh r˘
√
√
√
3
3

3
a + b + c ≤ a2b + b2c + c2 a
√
√
√
9
9
9
≥ a4b4 c + b4c4 a + c4 a4b ≥ · · ·
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
´t ha`m sˆo´ f (x) = ex ; x ∈ R
`
a ng v´
o.i α, β > 0 va
` α + β = 1, ta co
´:
Ba
`i tˆ
a.p 1.8. Cho a, b, c > 0. Ch´
u.ng minh r˘
a + b + c ≥ aα bβ + bα cβ + cα aβ
2

2

2

2

2

2

≥ aα b2αβ cβ + bα c2αβ aβ + cα a2αβ bβ ≥ · · ·
´t ha`m sˆo´ f (x) = ex , x ∈ R
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
`
u.ng minh r˘
a ng
Ba
`i tˆ
a.p 1.9. Choa, b, c du.o.ng. Ch´
√
√
√
√
√
√
3
3
3
ab + bc + ca ≤ a2b + b2c + c2 a
√
√
√
9
9
9
≤ a8b2 + b8 c2 + c8 a2 ≤ · · ·
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe

´t ha`m sˆo´ f (x) = ex , x ∈ R


22
`
u.ng minh r˘
a ng:
Ba
`i tˆ
a.p 1.10. Cho a, b, c khˆ
ong nho’ ho.n 1. Ch´
√
√
√
3
3 2
3 2
b
c
a
a2b
bc
c a
√
√
√
+
+
≤
+

+
3
3
3
1+a 1+b 1+c
1 + a2 b 1 + b2c 1 + c2a
√
√
√
9
9 4 4
9 4 4
a4b4 c
b ca
c ab
√
√
√
+
+
≤ ··· .
≤
9
9 4 4
9
4
4
1 + a b c 1 + b c a 1 + c4a4 b
ex
;x ≥ 0

1 + ex
`
Ba
`i tˆ
a.p 1.11. Cho a, b, c khˆ
ong nho’ ho.n 1. Ch´
u.ng minh r˘
a ng v´
o.i α, β > 0 va
`
α + β = 1, ta co
´:
´t ha`m sˆo´ f (x) =
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe

b
c
aα bβ
bαcβ
cα aβ
a
+
+
≤
+
+
1+a 1+b 1+c
1 + aαbβ 1 + bαcβ 1 + cα aβ
2
2

2
2
2
2
aα .b2αβ .cβ
bα .c2αβ .aβ
cα .a2αβ .bβ
≤
+
+
≤ ···
1 + aα2 .b2αβ .cβ 2 1 + bα2 .c2αβ .aβ 2 1 + cα2 .a2αβ .bβ 2
ex
;x ≥ 0
1 + ex
`
ho.n 1. Ch´
u.ng minh r˘
a ng
√
√
√
3
3 2
3 2
a2 b
bc
c a
√
+√

+√
3
3 2
3 2
2
a b−1
b c−1
c a−1
√
√
√
9
9 4 4
9 4 4
4
4
a bc
b c a
c ab
√
√
√
+
+
≥ ··· .
9
9
9
a4b4 c − 1
b4c4 a − 1

c4a4 b − 1

´t ha`m sˆo´ f (x) =
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
Ba
`i tˆ
a.p 1.12. Cho a, b, c l´
o.n
a
b
c
+
+
≥
a−1 b−1 c−1
≥

ex
;x > 0
ex − 1
`
u.ng minh r˘
a ng v´
o.i α, β > 0 va
` α + β = 1,
Ba
`i tˆ
a.p 1.13. Cho a, b, c l´
o.n ho.n 1. Ch´
ta co

´:
´t ha`m sˆo´ f (x) =
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe

b
c
aα bβ
bα cβ
cαaβ
a
+
+
≥ α β
+ α β
+ α β
a−1 b−1 c−1
a b −1 b c −1 c a −1
2
2
2
2
2
2
bα .c2αβ .aβ
cα .a2αβ .bβ
aα .b2αβ .cβ
+ α2 2αβ β 2
+ α2 2αβ β 2
≥ ···
≥ α2 2αβ β 2

a .b .c − 1 b .c .a − 1 c .a .b − 1
ex
;x > 0
ex − 1
`
a ng:
Ba
`i tˆ
a.p 1.14. Cho a, b, c ∈ (0; 1). Ch´
u.ng minh r˘
√
√
√
(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ 1 − ab 1 − bc 1 − ca
√
√
√
4
4
4
≤ 1 − ab2c 1 − bc2a 1 − ca2b ≤ · · ·
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
´t ha`m sˆo´ f (x) =


23
´t ha`m sˆo´ f (x) = ln(1 − x) ; x ∈ (0; 1)
Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
`
Ba

`i tˆ
a.p 1.15. Cho a, b, c ∈ (0; 1). Ch´
u.ng minh r˘
a ng:
√
√
√
(1 − a)(1 − b)(1 − c) ≤ 1 − ab 1 − bc 1 − ca
≤

a + b − 2ab
a+b

b + c − 2bc
b+c

Hu.´o.ng dˆa˜n: Xe
´t ha`m sˆo´ f (x) = ln(1 − x) ; x ∈ (0; 1)

c + a − 2ca
c+a


24

Chu.o.ng 2

ap lu..a cho.n tham sˆ
o´
Phu.o.ng ph´

Tru.´o.c hˆe´t ta xe
´t ba`i toa
´ n sau
`
`
a ng nˆe´u a, b, c la
` 3 sˆ
o´ khˆ
ong ˆ
am co
´ tˆ
o’ng b˘
a ng 3, thı` ta co
´
Ch´
u.ng minh r˘
√
√
√
a + b + c ≥ ab + bc + ca
L`o.i gia’i cho ba`i toa
´ n na`y khˆong qua
´ kho
´.
Ta co
´
2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 − (a2 + b2c2 ).
`an ch´
Do d¯´o ta cˆ
u.ng minh r˘`a ng

√
√
√
a2 + b2 + c2 + 2( a + b + c) ≥ 9
Su’. du.ng bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.a trung bı`nh cˆo.ng va` trung bı`nh nhˆan (thu.`o.ng go.i la`
u.c gi˜
´
bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c AM-GM) cho 3 sˆo´, ta co
√
a + a ≥ 3a
√
√
b2 + b + b ≥ 3b
√
√
c2 + c + c ≥ 3c

a2 +

√

`eu cˆ
`an ch´
u.ng minh.
Cˆo.ng ca
´ c vˆe´ cu’a ca
´ c bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c trˆen, ta d¯u.o..c d¯iˆ

´ thˆe’ viˆe´t la.i du.´o.i da.ng
Nhˆa.n xe
´t r˘a` ng, bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c trˆen co
1

1

1

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
1
u.c sau d¯ˆay luˆon d¯´ung
Nhu. vˆa.y, v´o.i k ≥ thı` bˆa´t d¯˘a’ng th´
2
ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca.


25
1
u.c trˆen
Mˆo.t cˆau ho’i tu.. nhiˆen d¯u.o..c d¯˘a.t ra: V´o.i k < , thı` khi na`o bˆa´t d¯˘a’ng th´
2
vˆa˜n co`n d¯´ung? No
´ i ca
´ ch kha
´ c, ta co
´ ba`i toa
´ n.
` ng sˆ

Tı`m h˘
a
o´ k tˆ
o´t nhˆ
a´t (nho’ nhˆ
a´t) trong bˆ
a´t d¯˘
a’ ng th´
u.c sau
ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca,
trong d¯´o a, b, c la
` ca
´ c sˆ
o´ thu..c khˆ
ong ˆ
am va
` a + b + c = 3.
`e va` viˆe.c gia’i ca
Ca
´ ch d¯˘a.t vˆa´n d¯ˆ
´ c ba`i toa
´ n tu.o.ng tu.. nhu. trˆen cho ta mˆo.t phu.o.ng
´ p lu..a cho.n tham sˆo´ (tˆo´t nhˆa´t).
pha
´ p d¯ˆe’ la`m ch˘a.t bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c: Phu.o.ng pha
´ n thuˆo.c phu.o.ng pha
´ p na`y bo’.i hai da.ng nhu. sau.
Co
´ thˆe’ chia nh˜

u.ng ba`i toa
+ Da.ng 1: Tham sˆo´ k la` tham sˆo´ d¯ˆo.c lˆa.p (khˆong phu. thuˆo.c va`o mˆo.t tham
sˆo´ na`o kha
´ c) va` chı’ co
´ m˘a.t o’. mˆo.t vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c (ch˘a’ng ha.n o’. ba`i toa
´n
.
.
u c.
trˆen) ho˘a.c co
´ m˘a.t o’ hai vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´
+ Da.ng 2: Tham sˆo´ k la` tham sˆo´ phu. thuˆo.c va`o ca
´ c tham sˆo´ kha
´ c (ch˘a’ng
´ c sˆo´ thu..c cho tru.´o.c).
ha.n k = k(n), v´o.i n la` sˆo´ ca
˜ d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n mˆo.t sˆo´ ba`i toa
´ n minh hoa. cho phu.o.ng
Trong chu.o.ng na`y, luˆa.n v˘an se
´ c da.ng nˆeu trˆen, cu`ng v´o.i viˆe.c d¯`ˆe xuˆa´t l`o.i
pha
´ p lu..a cho.n tham sˆo´ (tˆo´t nhˆa´t) v´o.i ca
gia’i phu` ho..p.

2.1
2.1.1

C´
ac da.ng to´

an ch´
u.a tham sˆ
o´ d
¯ˆ
o.c lˆ
a.p
Tham sˆ
o´ chı’ thuˆ
o.c mˆ
o.t vˆ
e´ cu’a bˆ
a´t d
¯˘
a’ ng th´
u.c

Khi tham sˆo´ chı’ thuˆo.c mˆo.t vˆe´ cu’a bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c thı` vˆe´ co`n la.i cu’a bˆa´t d¯˘a’ng
´ p na`y d¯u.o..c minh hoa. bo’.i ca
th´
u.c d¯u.o..c xem la` khˆong d¯ˆo’i. Phu.o.ng pha
´ c ba`i toa
´n
sau
` ng sˆ
Ba
`i toa
´ n 2.1. Tı`m h˘
a
o´ k tˆ

o´t nhˆ
a´t (nho’ nhˆ
a´t) trong bˆ
a´t d¯˘
a’ ng th´
u.c sau
ak + bk + ck ≥ ab + bc + ca,
trong d¯´o a, b, c la
` ca
´ c sˆ
o´ thu..c khˆ
ong ˆ
am va
` a+b+c=3
1
˜ ch´
`an gi´o.i thiˆe.u ta d¯a
u.ng minh bˆa´t d¯˘a’ng th´
u.c trˆen v´o.i k = ,
L`
o.i gia’i. Theo phˆ
2
1
1
.
.
.
.
’
˜

´t bˆa´t d¯˘ang th´
u c khi k ≤ . Tru ´o.c
do d¯´o no
´ vˆan d¯u
´ ng v´o i mo.i k ≥ . Bˆay gi`o ta xe
2
2
hˆe´t ta xe
´t bˆo’ d¯`ˆe sau
Bˆ
o’ d
¯`ˆ
e 2.1.1. Gia’ su’. a + b = 2t ≥ 1, khi d¯´o
ak + bk − ab ≥ min (2t)k , 2tk − t2 .