Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1

B

GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
Đ I H C ĐÀ N NG

Đ NG CÔNG VĨNH

M TS

PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ C P
Mã s :
60 46 40

TĨM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Đà N ng - Năm 2011


2

Cơng trình đư c hồn thành t i
Đ I H C ĐÀ N NG

Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TSKH. TR N QU C CHI N

Ph n bi n 1: TS. CAO VĂN NUÔI

Ph n bi n 2: GS.TSKH NGUY N VĂN M U

Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng ch m Lu n văn t t nghi p th c sĩ khoa h c
h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 23 tháng 10 năm 2011

* Có th tìm hi u lu n văn t i:
- Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng
- Thư vi n trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng


3

M

Đ U

1. LÝ DO CH N Đ TÀI
B t ñ ng th c là m t trong nh ng chuyên ñ quan tr ng nh t c a toán h c ph
thơng. Đây là m t chun đ đư c nhi u ngư i quan tâm đ n.
Trong chương trình tốn h c ph thơng, b t đ ng th c đư c gi i thi u trong
chương trình đ i s 10, ñây là chuyên ñ hay và r t khó địi h i ngư i h c ph i có óc tư
duy và sáng t o r t cao. Trong vài năm tr l i ñây chuyên ñ b t ñ ng th c ñã ñư c các
nhà toán h c trên th gi i và trong nư c đ u tư, tìm hi u r t nhi u. Đ c bi t,

Vi t

Nam b t ñ ng th c trong th i gian qua ñã ñư c khơng ít các th y giáo, các b n sinh
viên gi i đã tìm hi u và sáng t o ra các phương pháp ch ng minh r t hay, ñ c ñáo.
V i mong mu n s tìm hi u và h th ng hố m t cách đ y ñ v các phương
pháp ch ng minh b t ñ ng th c, nh m hoàn thi n cho mình m t k năng ch ng minh
b t đ ng th c. Qua đó ph c v cho cơng tác gi ng d y sau này. Chính vì các lý do trên

tơi đã ch n đ tài “ M T S PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C ” .
Đi u ki n ñ m b o cho vi c hồn thành đ tài : Đư c th y giáo PGS. TSKH
Tr n Qu c Chi n hư ng d n, cung c p tài li u và t n tình giúp đ , đ ng th i b n thân
c g ng nghiên c u sưu t p tài li u ñ ñ m b o hồn thành đ tài.
2. M C ĐÍCH NGHIÊN C U
- H th ng và phân lo i m t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c.
- Tìm hi u thêm các phương pháp m i v ch ng minh b t ñ ng th c và hồn
thi n các k năng đã bi t nh m ph c v cho công tác gi ng d y sau này.
- Đ xu t m t s d ng quan tr ng trong các kỳ thi ñ i h c, thi h c sinh Gi i.
3. Đ I TƯ NG VÀ PH M VI NGHIÊN C U
3.1. Đ i tư ng nghiên c u
Kh o sát lý thuy t t ng quát, các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c d a
trên phương pháp d n bi n, phương pháp ñư ng th ng ti p tuy n và các b t ñ ng th c
AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev.


4

3.2. Ph m vi nghiên c u
Kh o sát lý thuy t t ng quát và ñ c bi t ng d ng trong chương trình tốn h c
ph thơng và toán h c dành cho h c sinh gi i các ñ i tuy n qu c gia.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U
Đ tài này ñã s d ng các phương pháp nghiên c u sau:
- Phương pháp nghiên c u tư li u g m: Các tài li u tham kh o dành cho giáo
viên, t p chí tốn h c tu i tr , các đ tài nghiên c u có liên quan…
- Phương pháp ti p c n l ch s : Sưu t m, phân tích và t ng h p tư li u.
- Phương pháp ti p c n h th ng.
- Th c nghi m sư ph m

trư ng ph thông.

5. Ý NGHĨA KHOA H C VÀ TH C TI N C A Đ TÀI
- Đ tài ñã h th ng và phân lo i m t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c
gi i quy t hàng lo t các bài tốn b t đ ng th c khó

ph thơng, góp ph n cho h c sinh

và giáo viên có thêm m t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c.
- Đ tài ñư c trình bày m t cách logic, khoa h c, rõ ràng và d hi u.
6. C U TRÚC LU N VĂN
M ñ u:
Chương 1: Ki n th c cơ s
Trong chương này nêu ñ y ñ ki n th c cơ s v b t ñ ng th c như đ nh nghĩa,
tính ch t, k thu t ch n ñi m rơi trong b t ñ ng th c.
Chương 2: M t s phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c
Trong chương này h th ng l i các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c d a
trên các b t ñ ng th c AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev và các
phương pháp khác như phương pháp d n bi n, phương pháp ñư ng th ng ti p tuy n.
Chương 3:

ng d ng

Trong chưong này trình bày nh ng ng d ng c a các phương pháp ch ng minh
b t ñ ng th c ñã h th ng

chương 2.

K t lu n và tài li u tham kh o.

5

CHƯƠNG 1: KI N TH C CƠ S
1.1. Đ NH NGHĨA
B t ñ ng th c là các bi u th c ñư c n i v i nhau b i các d u '' > ''; '' < ''; '' ≥ ''; '' ≤ ''
Các m nh ñ ''A > B''; ''A ≥ B''; ''A < B''; ''A ≤ B'' ñư c g i là các b t ñ ng th c
Trong đó A, B là các bi u th c, A ñư c g i là v trái và B là v ph i c a b t ñ ng th c
Các b t ñ ng th c A > B; C > D ( ho c A < B; C < D ) là 2 b t ñ ng th c cùng chi u
Các b t ñ ng th c A > B; C < D ( ho c A < B; C > D ) là 2 b t ñ ng th c trái chi u
Xét 2 b t ñ ng th c A > B & C < D
+ N u ta có A > B ⇒ C < D ta nói b t đ ng th c C > D là h qu c a b t ñ ng
th c A > B
+ N u A > B ⇔ C < D ta nói b t ñ ng th c A > B & C > D là hai b t ñ ng
th c tương đương
1.2. CÁC TÍNH CH T C A B T Đ NG TH C
1.

A<B ⇔ B>A

2.

A > B
⇒ A>C

B > C

3.

A > B ⇒ A +C > B+C

4.

A > B
⇒ A+C > B+D

C>D


5.

A > B
⇒ AC > BC

C>0

A > B
⇒ AC < BC

C < 0

6.

A > B
⇒ A−C > B−D

C < D

7.

A > B > 0

⇒ AC > BD

C > D > 0

8.

A > B > 0 ⇒ A n > Bn

( tính ch t b c c u )

∀n ∈ Z+


6

9.

a/

A>B>0 ⇒

b/
c/
10.

A 2n +1 > B2n +1
A 2n > B2n

A > B > 0
A < B < 0 ⇒



n

⇔ A>B

⇔

( ∀n ∈ Z )
+

A>nB

A >B

( ∀n ∈ Z )
+

( ∀n ∈ Z )
+

1 1
<
A B

1.3. K THU T CH N ĐI M RƠI TRONG B T Đ NG TH C :
Trong các phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c A ≥ B ta thư ng ch ng minh theo
m t trong hai sơ ñ sau :
Sơ ñ 1 : T o ra dãy các b t ñ ng th c trung gian

A ≥ A1 ≥ A 2 ≥ ... ≥ A n −1 ≥ A n ≥ B
Sơ ñ 2 : T o ra các b t ñ ng th c b ph n
 A1 ≥ B1
A ≥ B

2
+ 2
............

 An ≥ Bn


ho c

 A1 ≥ B1 ≥ 0
A ≥ B ≥ 0

2
× 2
..................

 An ≥ Bn ≥ 0


⇒ A≥ B

Đ t o ra các b t ñ ng th c trung gian ho c các b t ñ ng th c b ph n ta c n chú ý
r ng :
N u b t ñ ng th c “ A ≥ B ” x y ra tr ng thái “ A = B ” t i tiêu chu n P nào đó thì t i
tiêu chu n P này t t c các b t ñ ng th c trung gian trong sơ ñ 1 ho c các b t ñ ng

th c b ph n trong sơ ñ 2 cũng ñ ng th i x y ra d u b ng.
Mu n tìm đư c tiêu chu n P ta c n chú ý tính đ i x ng c a bi n s và ñi u ki n x y ra
d u b ng trong các b t ñ ng th c c ñi n AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli
ho c trong các phương pháp m i như : d n bi n (MV), ñư ng th ng ti p tuy n… Và
ngư i ta g i ñi m rơi trong các b t ñ ng th c trên là giá tr các bi n nh n ñư c ñ b t

ñ ng th c x y ra d u “ = ”.


7

Do vi c d đốn đi u ki n tr ng thái “ A = B ” x y ra theo m t tiêu chu n nào đó, đ

đ nh hư ng bi n ñ i ñ i s và ñánh giá các b t ñ ng th c trung gian ho c b ph n nên
có th g i các ý tư ng này là : “ K thu t ki m tra ñi u ki n x y ra d u b ng ” hay
“K thu t ch n ñi m rơi trong b t ñ ng th c”.


8

CHƯƠNG 2: M T S

PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH
B T Đ NG TH C

2.1. B T Đ NG TH C AM – GM
2.1.1. B t ñ ng th c AM – GM
Đ nh lý 2.1 (B t ñ ng th c AM – GM). V i m i s th c dương a1 , a2 , ..., an ta có b t
ñ ng th c:
a1 + a2 + ... + an n

≥ a1.a2 ...an
n

Đ ng th c x y ra khi a1 = a2 = ... = an ≥ 0
2.1.2. Chú d n : tên g i AM – GM là vi t t t c a thu t ng ti ng Anh Arithmetic mean
–Geometric mean nêu lên b n ch t c a b t ñ ng th c
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1.a2 ...an , ∀ai ≥ 0
n
Các cu n sách tốn h c đã xu t b n

Vi t Nam thư ng g i b t ñ ng th c trên là b t

ñ ng th c Cauchy. Cách g i này xu t phát t vi c nhà toán h c Pháp Cauchy là ngư i
ñ u tiên ñã ch ng minh b t ñ ng th c này.
2.2. B T Đ NG TH C CAUCHY – SCHWARZ
Đ nh lý 2.2 (B t ñ ng th c Cauchy – schwarz)
V i hai dãy s th c tùy ý a1 , a2 ,...., an & b1 , b2 ,..., bn ta ln có b t ñ ng th c

(a

2
1

+ a2 2 + ... + an 2 )( b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )

Đ ng th c x y ra khi và ch khi

a
a1 a2

=
= .... = n
b1 b2
bn

H qu 1 (B t ñ ng th c Schwarz).
V i hai dãy s

( a1 , a2 ,..., an ) & ( b1 , b2 ,..., bn ) ; bi ≥ 0, ∀i = 1, n

a12 a2 2
a 2 ( a + a + ... + an )
+
+ ... + n ≥ 1 2
b1
b2
bn
b1 + b2 + ... + bn

2

ta có:

2


9

H qu 2. V i m i dãy s th c ( a1 , a2 ,..., an ) ta có

( a1 + a2 + ... + an )

2

≤ n ( a12 + a2 2 + ... + an 2 )

2.3. B T Đ NG TH C BERNOULLI
Đ nh lý 2.3 (B t ñ ng th c Bernoulli)
a) ∀x > −1, ∀α ∈ [0;1]

ta có: (1 + x)α ≤ 1 + α x

b) ∀x > −1, ∀α ∈ ( −∞;0] ∪ [1; +∞ ) ta có: (1 + x)α ≥ 1 + α x

Đ ng th c x y ra khi và ch khi: α = 0 ho c α = 1
2.4. B T Đ NG TH C CHEBYSHEV
2.4.1. B t ñ ng th c Chebyshev
Đ nh lý 2.4 (B t ñ ng th c Chebyshev) V i hai dãy s th c ñơn ñi u tăng

a1 ,a 2 ,...,a n & b1 , b 2 ,..., b n ta có:
a1b1 + a 2 b 2 + ... + a n .b n ≥

1
( a1 + a 2 + ... + a n )( b1 + b 2 + ... + b n )
n

Đ ng th c x y ra khi và ch khi: a1 = a 2 = ... = a n ; b1 = b 2 = ... = b n
2.4.2. M t s d ng hay g p c a b t ñ ng th c Chebyshev
D ng 1: Ch ng minh x1y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n ≥ 0 .
Ta có th ch ng minh

( x1a1 ) .

y1
y
y
+ ( x 2a 2 ) . 2 + ... + ( x n a n ) n ≥ 0
a1
a2
an

V i a1 ,a 2 ,..., a n là các s th c mà ta ph i tìm sao cho

 y1 y 2
yn
 , ,...,
an
 a1 a 2


 & ( x1a1 , x 2a 2 ,...., x n a n ) là các b s đơn đi u cùng chi u.


Khi đó vi c ch ng minh b t ñ ng th c ban ñ u quy v ch ng minh

y1 y 2
y
+ + ... + n ≥ 0
a1 a 2
an

x1a1 + x 2a 2 + ... + x n a n ≥ 0
D ng 2: Ch ng minh

x1 x 2
x
+
+ ... + n ≥ 0
y1 y 2
yn

Ta có th ch ng minh


10

( a 1x 1 ) .

1
1
1
+ ( a 2x 2 ).
+ ... + ( a n x n )
≥0
a1y1
a 2 y2
a n yn

V i a1 ,a 2 ,..., a n là các s th c mà ta ph i tìm sao cho

 1

1
1 
,
,...,
 là các b ñơn ñi u cùng chi u.
a n yn 
 a1y1 a 2 y 2

( a1x1 ,a 2 x 2 ,...,a n x n ) & 

Khi đó b t đ ng th c ban ñ u quy v ch ng minh

a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n ≥ 0
1
1
1
+
+ ... +
≥0
a1y1 a 2 y 2
a n yn
a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = 0
Chú ý t gi thi t có th suy ra ñư c  1
1
1

+
+ ... +
=0
a n yn

 a1y1 a 2 y 2


2.5. M T S

PHƯƠNG PHÁP KHÁC CH NG MINH B T Đ NG TH C

2.5.1. Phương pháp d n bi n ( MV–MIXING VARIABLE )
Đ c ñi m c a nhi u b t ñ ng th c, ñ c bi t là các b t ñ ng th c ñ i s là d u b ng
x y ra khi t t c ho c m t vài bi n b ng nhau.
Phương pháp d n bi n d a vào ñ c ñi m này ñ làm gi m s bi n s c a b t ñ ng
th c, ñưa b t ñ ng th c v d ng ñơn gi n hơn có th ch ng minh tr c ti p b ng cách
kh o sát hàm s m t bi n ho c ch ng minh b ng quy n p.

Đ ch ng minh b t ñ ng th c

f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≥ 0

(*)

Ta có th ch ng minh
 x + x2 x1 + x2

,
, x3 ,...., xn 
f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≥ f  1
2
 2


(

)

Ho c

f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≥ f

Ho c

 x2+x 2 x2+x 2

2
2
f ( x1 , x2 ,..., xn ) ≥ f  1
, 1
, x3 ,..., xn 


2
2



x1.x2 , x1.x2 , x3 ,..., xn

2
(**)
(***)

(****)
4

Và còn r t nhi u d ng khác tùy thu c vào ñ c ñi m c a bài tốn
Sau đó chuy n vi c ch ng minh (*) v ch ng minh b t ñ ng th c sau

f ( t , t , x3 ,..., xn ) = g ( t , x3 ,..., xn ) ≥ 0

(*****)


11

T c là m t b t ñ ng th c có ít bi n hơn.

2.5.2. Phương pháp đư ng th ng ti p tuy n
Bư c 1: T b t ñ ng th c xác ñ nh hàm s tương ng y = f ( x )
Bư c 2: Xác ñ nh d u b ng c a ñ ng th c x y ra khi nào. Gi s t i x = x 0
Bư c 3: Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th t i đi m có hồnh đ x = x 0

y = g ( x ) = f ' ( x 0 )( x − x 0 ) + y0
Bư c 4: V ñ th hàm s y = f ( x ) và phương trình ti p tuy n t i ñi m ( x 0 ; y0 )
T ñó xác ñ nh ti p tuy n n m trên hay n m dư i ñ th hàm s
N u ti p tuy n n m trên ta ñi ch ng minh

g(x) ≥ f (x)
N u ti p tuy n n m dư i ta ñi ch ng minh

f (x) ≥ g(x)
Bư c 5: T đó rút ra b t ñ ng th c c n ch ng minh là ñúng.

12

CHƯƠNG 3:

3.1.

NG D NG

NG D NG B T Đ NG TH C AM – GM Đ CH NG MINH B T Đ NG

TH C VÀ TÌM GTLN - GTNN
3.1.1.K thu t ch n ñi m rơi trong b t ñ ng th c AM - GM
 a , b, c > 0
Bài toán. Cho a, b, c tho mãn 
. Ch ng minh r ng:
a + b + c ≤ 1

a 2 b2 c 2 1
1
1
A=
+ + +
+ +
≥ 28
b
c a ab bc ca
Đ nh hư ng l i gi i:
Vì b t đ ng th c đã cho là ñ i x ng v i a, b, c nên ta d đốn d u b ng x y ra khi

a = b = c =

1
3

Khi đó ta áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho các s

a 2 b2 c 2 1
1
1
; ; ;
;
;
b c a α ab α bc α ca
V i α là h s ta c n thêm vào ñ d u “ = ” b t ñ ng th c ñ t ñư c t i các giá tr c a
bi n mà ta đã d đốn

Đ i v i b t ñ ng th c AM-GM d u b ng x y ra khi

a2 b2 c2
1
1
1
=
= =
=
=
b
c

a α ab α bc α ca
Mà a = b = c =

1
⇒ α = 27
3

Gi i:

T ñ nh hư ng l i gi i ta có: A =

a2 b2 c2
1
1
1
+ + + 27.
+ 27
+ 27
b
c a
27 ab
27bc
27ca

Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có


13
27

27

a 2 b2 c 2  1   1   1 
A ≥ 84.
. . .
 
 

b c a  27 ab   27bc   27ca 
84

Mà

( abc )

53

 a+b+c
≤

3


⇒

53.3

≤

1

= 84.
84

2781 ( abc )

53

1
53.3

3

84

A≥
84

27

2781.

1

=

84
= 28
3

3.53

3

V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh.
Nh n xét : Xét b t ñ ng th c AM – GM
a1 + a2 + ... + an n
≥ a1.a2 ...an , ∀a1 , a2 ,..., an ≥ 0
n

Trong v ph i c a b t ñ ng th c trên t c là bi u th c GM có s các th a s trong
căn th c ñúng b ng ch s căn th c (cùng b ng n). Do đó, khi g p b t ñ ng th c mà v
ph i c a b t đ ng th c có ch a căn th c và s các th a s

trong căn th c nh hơn ch

s căn th c thì ta c n nhân thêm các h ng s thích h p ñ s các th a s trong căn th c
b ng ch s c a căn th c. Đ xác ñ nh ñư c các h ng s thích h p chúng ta ph i d

đốn đư c d u b ng c a b t ñ ng th c. [10, tr. 29]
 a , b, c > 0
.
a + b + c = 3

Bài toán. Cho a, b, c tho mãn 

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :

S = 3 a(b + 2c) + 3 b(c + 2a) + 3 c(a + 2b)
D đốn và tìm đi m rơi c a Max S:

Vì S là m t bi u th c ñ i x ng v i a,b,c nên Max S ñ t t i ñi u ki n

a = b = c
3a = 3b = 3c = 3
⇔ a = b = c =1⇔ 

a + b + c = 3
a + 2b = b + 2c = c + 2a = 3
Gi i :


14


1
 3 a(b + 2c) = 3 . 3 3a(b + 2c).3 ≤
9


1
3
 b(c + 2a) = 3 . 3 3b(c + 2a).3 ≤
9


1
 3 c(a + 2b) = 3 . 3 3c(a + 2b).3 ≤
9




3

1 3a + (b + 2c) + 3
.
9
3

3

1 3b + (c + 2a) + 3
.
9
3

3

1 3c + (a + 2b) + 3
.
9
3

⇒ S = 3 a(b + 2c) + 3 b(c + 2a) + 3 c(a + 2b) ≤

1 6(a + b + c) + 9
.
= 3. 3 3
3
9

3

V i a = b = c = 1, Max S = 3. 3 3 .

3.1.2. K thu t tách ghép và phân nhóm
Ph n này ta áp d ng b t ñ ng th c ph sau

x 2 + y2  x + y 
≥

2
 2 

2

1 1
4
+ ≥
x y x+y
Bài toán. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng:

a3

(b + c )

2

+

b3

(c + a)

2

+

c3

(a + b)

2

≥

1
(a + b + c)
4

Đ nh hư ng l i gi i:
Do b t ñ ng th c ñã cho là ñ i x ng v i các bi n nên ta d ñoán d u “=” x y ra khi các
bi n b ng nhau. T c là a = b = c
Khi đó

a3

(b + c)

2

= 2a . Tương t ta có

T ñó ta nghĩ t i ghép

a3

(b + c)

2

b3

(c + a)

2

= 2b;

c3

(a + b)

2

= 2c

v i các s sao cho sau khi áp d ng b t ñ ng th c

AM - GM ta ñư c m t bi u th c theo a.

15

T đó ta áp d ng AM-GM v i các s sau

8a 3

(b + c )

2

; b + c; b + c . S 8 xu t hi n là ñ

ñ m b o d u “=” trong b t ñ ng th c AM-GM.
Gi i:

T ñ nh hư ng l i gi i
Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có:

8a 3

(b + c )

2

8b3

(c + a)

2

8c3

(a + b)

2

+ ( b + c ) + ( b + c ) ≥ 6a
+ ( c + a ) + ( c + a ) ≥ 6b

+ ( a + b ) + ( a + b ) ≥ 6c

C ng v theo v các b t ñ ng th c trên ta có:

 a3
b3
c3 
8
+
+
 + 4(a + b + c) ≥ 6(a + b + c)
 ( b + c )2 ( c + a )2 ( a + b )2 


3
3
3
a
b

c
1
⇔
+
+
≥ (a + b + c)
2
2
2
(b + c ) ( c + a ) ( a + b) 4
V y b t ñ ng th c trên ñã ñư c ch ng minh.

3.1.3. Phương pháp cân b ng h s
Trong m t s b t ñ ng th c, ñi m rơi có th ñư c d đốn m t cách tr c giác
(dù đ i x ng hay khơng đ i x ng). Tuy nhiên v i các b t ñ ng th c mà đi m rơi khơng
là các s ngun dương th m chí là các s vơ t thì khơng th d đốn đư c b ng tr c
giác. Khi đó, chúng ta c n ph i ñưa thêm các tham s gi ñ nh r i m i s d ng b t ñ ng
th c AM – GM. Vi c xác l p ñi u ki n các ñ ng th c x y ra s d n ñ n h đi u ki n đ
tìm tham s . Vì th phương pháp này có tên g i: Phương pháp cân b ng h s .
 a , b, c ≥ 0
Bài toán. Cho ba s th c a, b, c th a mãn 
.
 ab + bc + ca = 1

Ch ng minh r ng : S = 10a 2 + 10b2 + c 2 ≥ 4 .


16

Đ nh hư ng l i gi i:

Đ áp d ng ñư c gi thuy t ab + bc + ca = 1 ta c n ph i tách s 10 ra thành t ng
c a 2 s đ có th áp d ng b t ñ ng th c AM-GM cho t ng c p s t đó xu t hi n
các tích s ab, bc, ca
Gi i:
Ta có

c2  
c2 
S = 10a 2 + 10b 2 + c 2 = (10 − α ) ( a 2 + b 2 ) +  α a 2 +  +  α b 2 +  ∀α ∈ ( 0,10 )
2 
2

Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có

(10 − α ) ( a 2 + b 2 ) ≥ 2 (10 − α ) ab
α a2 +

c2
α
≥2
.ac = 2α .ac
2
2

c2
α
α b + ≥ 2 .bc = 2α .bc
2
2
2

C ng v theo v các b t đ ng th c trên ta có
S ≥ 2 (10 − α ) ab + 2α ( bc + ac )

Ch n α sao cho 2 (10 − α ) = 2α ⇔ α = 8
(ch n α như v y ñ ta ñ t nhân t chung t đó s d ng đư c gi thuy t )
Khi đó:

2 (10 − α ) = 2α = 4

⇒ S ≥ 4 ( ab + bc + ca ) = 4
V y b t ñ ng th c ñã cho đã đư c ch ng minh.

3.1.4. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t
Bài toán. Cho b n s th c a, b, c, d th a mãn a, b, c, d > 0 .
2c  2d 
 2a  2b 
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c S = 1 +
 1 +  1 +
 1 +

3a 
 3b  3c  3d 
Gi i:


17

Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có:

1+

5 a
 a 
.  = . 
3 b
 3b 

3

5  b 5
b 
.  = . 
3 c
 3c 

2a 1 1 1 a
a
1
= + + + +
≥ 55  
3b 3 3 3 3b 3b
3

2b 1 1 1 b b
1
1+
= + + + + ≥ 55  
3c 3 3 3 3c 3c
 3

2

2

2

2

3

5  c 5
 c 
.  = . 
3 d
 3d 

3

5  d 5
 d 
.  = .  
3 a
 3a 

c
2c 1 1 1 c
1
1+
= + + +

+
≥ 55  
3d 3 3 3 3d 3d
3
d
2d 1 1 1 d
1
= + + +
+
≥ 55  
1+
3a 3 3 3 3a 3a
 3

2

2
5

3

2

2

C ng v theo v các b t đ ng th c ta có
2

625  a b c d  5 625
S≥

. . . .  =
81  b c d a 
81
V y MinS =

3.2.

625
⇔ a=b=c=d >0
81

NG D NG B T Đ NG TH C CAUCHY – SCHWARZ Đ

CH NG

MINH B T Đ NG TH C VÀ TÌM GTLN - GTNN
3.2.1. K thu t ch n ñi m rơi và cân b ng h s trong b t đ ng th c CauchySchwarz
Bài tốn.[Poland Second Round 2007]
Cho a, b, c, d > 0 tho mãn
Ch ng minh r ng :

3

1 1 1 1
+ + + =4
a b c d

a 3 + b3 3 b3 + c 3 3 c 3 + d 3 3 d 3 + a 3
+
+

+
≤ 2( a + b + c + d ) − 4
2
2
2
2

B ñ : v i m i x, y >0 ta có b t đ ng th c sau

3

x3 + y3 x2 + y 2
≤
2
x+ y

Ch ng minh b ñ : b t ñ ng th c
3

x3 + y3  x2 + y 2 
4
2
2
⇔
≤
 ⇔ ( x − y ) x + xy + y ≥ 0, ∀x, y
2
 x+ y 

Gi i:

Áp d ng b ñ trên ta có:

(

)


18
3

a3 + b3 3 b3 + c3 3 c3 + d 3 3 d 3 + a 3 a 2 + b 2 b 2 + c2 c 2 + d 2 d 2 + a 2
+
+
+
≤
+
+
+
2
2
2
2
a+b
b+c
c+d
d +a

Ta s ch ng minh :

a 2 + b2 b2 + c2 c2 + d 2 d 2 + a2

+
+
+
≤ 2( a + b + c + d ) − 4
a+b
b+c
c+d
d +a

x2 + y2
2 xy
2
=
=
Th t v y, s d ng x + y −
x+ y
x+ y 1 1
+
x y

và b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz ta có:
 a2 + b2 b2 + c2 c2 + d 2 d 2 + a2 
2(a + b + c + d ) − 
 a+b + b+c + c+d + d +a 





 1

1
1
1 
42
32
≥2
= 2
+
+
+
=
=4
1+1 1+1 1+ 1 1 +1
1 1 1 1 8
2 + + + 


a b b c c d d a
a b c d

Đ ng th c x y ra ⇔ a = b = c = d = 1 .
3.2.2. K thu t tách và ghép b s
Ph n này áp d ng b t ñ ng th c ph sau

(a + b + c)
Bài toán.

2

≥ 3 ( ab + bc + ca )

Cho x, y tho mãn x, y > 0 và x 2 + y 3 ≥ x3 + y 4
Ch ng minh r ng: x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 ≤ x + y ≤ 2

Gi i:
Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz ta có
3

3

x 3 + y 3 = x 2 .x 2 + y 2 . y ≤ x 3 + y 4 . x 3 + y 2 ≤ x 2 + y 3 . x 3 + y 2

(1)

Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có
x 2 + y 3 . x3 + y 2 ≤
T

(1) & ( 2 ) ta có

1 2
( x + y3 + x3 + y 2 )
2

(2)

x3 + y3 ≤ x 2 + y 2

Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz ta có
3

1

3

1

x 2 + y 2 = x 2 .x 2 + y 2 . y 2 ≤ x 3 + y 3 x + y ≤ x 2 + y 2 . x + y
Áp d ng b t ñ ng th c AM - GM ta có

(3)


19

x2 + y 2 x + y ≤
T

( 3) & ( 4 ) ta có

1 2
( x + y2 + x + y )
2

(4)

x2 + y 2 ≤ x + y

Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz ta có

(1 + 1) ( x 2 + y 2 ) ≤

x+ y ≤
⇔

(x + y)

⇔

2( x + y )

x+ y≤2

2

≤ 2( x + y)

V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh.

3.2.3. S d ng các phép bi n ñ i và ng d ng các h qu c a b t đ ng th c
Cauchy - Schwarz
Bài tốn. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng:

a2
b2
c2
+
+
≥1
a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2

Gi i:
Ta có:

a2
b2
c2
a4
b4
c4
+
+
= 3
+ 3
+ 3
a + 2b2 b + 2c 2 c + 2a 2 a + 2a 2b2 b + 2b2c 2 c + 2c 2 a 2

Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy - Schwarz

( a2 + b2 + c2 )
a4
b4
c4
+
+
≥
a 3 + 2a 2b2 b3 + 2b2c 2 c3 + 2c 2 a 2 a 3 + b3 + c 3 + 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 )
2

Ta s ch ng minh: ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ a 3 + b 3 + c 3 + 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 )
2

⇔ a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 3 + b3 + c 3
⇔ a 4 + b 4 + c 4 ≥ ( a 3 + b3 + c 3 )

(a + b + c)

3
⇔ 3( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) ( a + b + c )
4

4

4

3

3

3

⇔ 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 ≥ a 3b + a 3c + b3 a + b3c + c3a + c 3b
⇔ a 3 ( a − b ) + b3 ( b − a ) + b3 ( b − c ) + c 3 ( c − b ) + a 3 ( a − c ) + c 3 ( c − a )
⇔

⇒

(a − b)

2

(a

2

)

(

)

(

)

+ ab + b 2 + ( b − c ) b 2 + bc + c 2 + ( a − c ) a 2 + ac + c 2 : ñúng
2

a2
b2
c2
+
+
≥1
a + 2b2 b + 2c 2 c + 2a 2

V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh.

2

20

3.2.4. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t
π
Bài toán. Cho a, b, c th a mãn a 2 + b 2 + c 2 = 4 và x ∈ (0, )
2

Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c: y = a + b 2 sin x + c sin 2 x
Gi i:
S d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz ta có:
y 2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(1 + 2sin 2 x + sin 2 2 x) ⇔ y 2 ≤ 4(1 + 2 sin 2 x + sin 2 2 x)
G i f ( x) = 1 + 2sin 2 x + sin 2 2 x = 1 + 2sin 2 x + 4sin 2 x(1 − sin 2 x)

π
13
3
13
2
Đ t t = sin x ∈ (0,1), ∀x ∈ (0, ) thì f ( x) = g (t ) = −4t 2 + 6t + 1 = − 4(t − )2 ≤
2
4
4
4
Khi đó: Maxf(x) = Maxg(t) =

13
2
. T đó suy ra y ≤ 13 .
4

2
Đ ng th c x y ra khi và ch khi sin x =

⇔ x=

3
1
sinx
sin 2 x
và =
=
4
a
b
c

π

1
6
3
a 6
a 3
 π
=
⇒b=
;c =
∈  0,  và =
a 2b 2c
2

2
3  2
4
13

K t h p v i ñi u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 4 ta suy ra : a = ±
K t Lu n :
Min y = − 13 x y ra khi a = −
Max y = 13 x y ra khi a =

3.3.

4
2 6
2 3
π
;b = −
;c = −
;x =
3
13
13
13

4
2 6
2 3
π
;b =
;c =

;x =
3
13
13
13

NG D NG B T Đ NG TH C BERNOULLI Đ

Đ NG TH C
Bài toán. Cho tam giác ABC. Ch ng minh r ng:

 A
 tg 
 2

2 2

 B
+  tg 
 2

2 2

 C
+  tg 
 2

Gi i:
Áp d ng b t ñ ng th c Bernoulli ta có:

2 2

≥ 31−

2

CH NG MINH B T


21

A

 3tg 
2


2 2

A

+ 2 2 − 1 ≥ 2 2  3tg 
2


B

 3tg 
2


2 2

B

+ 2 2 − 1 ≥ 2 2  3tg 
2


C

 3tg 
2


2 2

C

+ 2 2 − 1 ≥ 2 2  3tg 
2


C ng v theo v các b t ñ ng th c trên ta có:
2 2

3

 A  2
 tg 

 2 


2

Mà

 B
+  tg 
 2
tg


⇒ 3  tg



⇒ 32 2  tg


2 2

2 2

 C
+  tg 
 2


B

C
 A
 + 6 2 − 3 ≥ 2. 3 2  tg + tg + tg 
2
2
 2



A
B
C
+ tg + tg ≥ 3
2
2
2

A

2

2 2

 B
+  tg 
 2

2 2

A


2

2 2

 B
+  tg 
 2

2 2

2 2

2 2

2 2


 + 6 2 − 3 ≥ 2. 3 2. 3 = 6 2


2 2
 C 
+  tg   ≥ 3
 2 

 C
+  tg 
 2

2 2

2 2

 A
 B
 C
⇒  tg  +  tg  +  tg  ≥ 31− 2 2
 2
 2
 2
V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh.
3.4.

NG D NG B T Đ NG TH C CHEBYSHEV Đ

CH NG MINH B T

Đ NG TH C
a ,a ,..., a n > 0
Bài toán. Cho  1 2
. Ch ng minh r ng:
a1 + a 2 + ... + a n = 1
a1
a2
an
n
+
+ ... +
≥

2 − a1 2 − a 2
2 − a n 2n − 1
Gi i:
Vì b t đ ng th c ñã cho ñ i x ng v i t t c các bi n nên ta gi s

a1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ a n . Khi ñó
1
1
1
≥
≥ ... ≥
2 − a1 2 − a 2
2 − an
Áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev ta có


22

 1
a1
a
a
1
1
1 
+ 2 + ... + n ≥ ( a1 + a 2 + ... + a n ) 
+
+ ... +

2 − a1 2 − a 2

2 − an n
2 − an 
 2 − a1 2 − a 2

⇔ VT ≥

1 1
1
1 
+
+ ... +


n  2 − a1 2 − a 2
2 − an 

Áp d ng b t đ ng th c Schwarz ta có

1
1
1
(1 + 1 + ... + 1)
n2
+
+ ... +
≥
=
2 − a1 2 − a 2
2 − a n 2n − ( a1 + a 2 + ... + a n ) 2n − 1
2

⇒ VT ≥

n
2n − 1

V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh

Bài toán [PSFJIMO28 – Cuba 1987]. Cho a, b, c > 0, n ∈

+

.

an
bn
cn
(a + b + c) n −1
+
+
≥
Ch ng minh r ng:
b+c c+a a+b
2.3n − 2
Gi i:
Ta s ch ng minh b ng phương pháp quy n p tốn h c :
V i n = 1 thì b t ñ ng th c Nesbit quen bi t

a
b

c
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2

ak
bk
ck
(a + b + c) k −1
+
+
≥
G a s b t ñ ng th c ñúng v i n = k:
b+c c+a a+b
2.3k − 2
Ta s ch ng minh b t ñ ng th c ñúng v i n = k + 1

a ≤ b ≤ c

Không m t tính t ng quát, gi s 0 < a ≤ b ≤ c ⇒  a k
bk
ck
≤
≤

b + c c + a a + b
S d ng b t ñ ng th c Chebyshev cho 2 dãy ñơn ñi u cùng chi u ta có:

ak
bk
ck
ak
bk
ck
.a +
.b +
.c) ≥ (
+
+
)(a + b + c)
b+c
c+a
a+b
b+c c+a a+b
(a + b + c)k −1
(a + b + c)k
≥
.(a + b + c) =
2.3k − 2
2.3k − 2
a k +1 b k +1
c k +1 (a + b + c)k
⇔
+
+
≥
b+c c+a a+b
2.3k −1

3(

Theo nguyên lý quy n p suy ra (1) ñúng ∀n ∈ Z + .
D u b ng x y ra khi a = b = c > 0.


23

3.5.

PHƯƠNG PHÁP KHÁC CH NG MINH B T Đ NG TH C

NG D NG M T S

3.5.1. Phương pháp d n bi n
Bài toán 1. Ch ng minh r ng n u x, y, z ≥ 0 thì x + y + z ≥ 3 3 xyz

(1)

Gi i:

(1) ⇔

( x + y + z)

3

≥ 27 xyz

f ( x, y, z ) = ( x + y + z ) − 27 xyz
3

Xét hàm s

Vì b t đ ng th c ñã cho là ñ ng b c nên b ng cách chu n hóa ta có th gi s

( *) .

x + y + z =1

Khi đó f ( x, y, z ) = 1 − 27 xyz . Đ t t =

x+ y
2

Đi u ki n (*) tr thành t + t + z = 1 ⇔ 2t + z = 1
Ta s ch ng minh

f ( x, y , z ) ≥ f ( t , t , z )

( *)

⇔ 1 − 27 xyz − (1 − 27t 2 z ) ≥ 0
⇔ t 2 z − xyz ≥ 0
 x+ y
⇔ t z −
 z≥0
 2 
2

2

⇔ t 2 z − t 2 z ≥ 0 : đúng
Vì v y ta ch c n ch ng minh f ( x, t , t ) ≥ 0

(**)

⇔ 1 − 27t 2 z ≥ 0
⇔ 1 − 27t 2 (1 − 2t ) ≥ 0

⇔
T

(1 + 6t )(1 − 3t )

2

≥ 0 : ñúng ∀t > 0

(*) & (**) ta có đpcm.

3.5.2. Phương pháp đư ng th ng ti p tuy n
Bài toán. [USA, 2003] Cho a, b,c > 0 . Ch ng minh r ng:

( 2a + b + c ) + ( 2b + a + c ) + ( 2c + b + a ) ≤ 8
2
2
2
2a 2 + ( b + c ) 2b 2 + ( a + c ) 2c2 + ( b + a )

2

2

2


24

Gi i:
Vì b t đ ng th c đã cho là ñ ng b c và ñ i x ng nên ta có th chu n hóa
Gi s a + b + c = 1 ⇒ a, b,c ∈ ( 0,1)
Khi đó b t đ ng th c tr thành

( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) ≤ 8
2
2
2
2
2a + (1 − a ) 2b 2 + (1 − b ) 2c 2 + (1 − c )
2

2

( x + 1)
f (x) = 2
2
2x + (1 − x )
2

Xét hàm s

2

x 2 + 2x + 1
= 2
v i x ∈ ( 0,1)
3x − 2x + 1

Khi đó b t đ ng th c c n ch ng minh tr thành

f (a ) + f ( b) + f (c) ≤ 8
1
.
3
Vì v y ta vi t phương trình ti p tuy n c a hàm s t i đi m có hồnh đ
1
16
x 0 = ⇒ y0 =
3
3
 1 16 
Phương trình ti p tuy n t i ñi m M  ;  có d ng
3 3 
1  16
 1 
y = f '   x −  +
3 3
 3 
12x + 4

⇔ y=
3
Ta nh n th y d u b ng b t ñ ng th c x y ra khi a = b = c =

V ñ th hàm s f ( x ) và ti p tuy n trên cùng h tr c t a ñ ta nh n th y đị th
hàm s n m phía dư i ti p tuy n nên ta s ch ng minh
12x + 4
3
2
x + 2x + 1 12x + 4
⇔
≤
3x 2 − 2x + 1
3
3
2
⇔ 36x − 15x − 2x + 1 ≥ 0
f (x) ≤

⇔

( 3x − 1) ( 4x + 1) ≥ 0 : ñúng ∀x ∈ ( 0;1)
2

Vì v y ta có f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≤

12 ( a + b + c ) + 12
=8
3

V y b t ñ ng th c ñã cho ñã ñư c ch ng minh.


25

K T LU N

Lu n văn ñã h th ng ñư c các phương pháp ñi n hình ch ng minh b t đ ng
th c trong chương trình tốn h c

trư ng ph thơng và tốn dành cho h c sinh trong

các đ i tuy n tốn. Hình thành và kh ng ñ nh ñư c m t s cơ s , ñ nh hư ng cho h c
sinh trong q trình gi i tốn b t đ ng th c. G a thuy t khoa h c c a lu n văn là có th
ch p nh n ñư c. M c ñích và nhi m v nghiên c u đã hồn thành.
Tuy nhiên, phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c r t ña d ng và phong phú,
ch y u d a vào ñ c thù riêng c a t ng bài và do có m t s phương pháp m i đư c ti p
c n l n ñ u tiên và trình đ cịn h n ch nên khơng th tránh ñư c nh ng sai sót. Mong
nh n ñư c ý ki n đóng góp đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn.
Mong r ng lu n văn này s là m t tài li u nh ñ các em h c sinh có th tham
kh o t ñó có th h c t t hơn chuyên ñ b t ñ ng th c này.