Chuyên đề toán chọn lọc ôn tập THPT

CHUYÊN ĐỀ TOÁN
CHỌN LỌC
LẦN 1

DIỄN ĐÀN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Ngày 20 tháng 3 năm 2013



Mục lục

I

CÁC CHUYÊN ĐỀ

3

1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ
(Nguyễn Thị Ngân)
1
Các phương pháp giải (Dạng cơ bản) . . . . . . .
2
Phần riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Bất phương trình . . . . . . . . . . . . . .
II
Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . .

TRÌNH - BẤT PHƯƠNG

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (Đỗ Đường
Hiếu)
1

PHƯƠNG TRÌNH MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Phương pháp đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số . .
IV
Phương pháp lôgarit hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Phương pháp đưa về cùng cơ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số . .
IV
Phương pháp mũ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
(Lê Trung Tín)
1
Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Sử dụng phương pháp miền giá trị
(Điều kiện có nghiệm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
Sử dụng phương pháp đưa về khảo sát hàm 1 biến . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4
4
5
5
13

17
17
17
18
19
21
21
21
22
23
24
24

35
35
40
43

4

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1
MỘT SỐ VÍ DỤ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . .
2
KỸ THUẬT GIẢM BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Kỹ thuật tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp thế . . . . . . .
II
Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đối xứng. . . . . . .
III
Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa 3 biến . . . . .
3
BÀI TOÁN TỔNG HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TRONG
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

52
53
53
53
55
56
63

5 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (hthtb22) 68
6 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (Nguyễn Hữu Phương)
77
7 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(Ngô Hoàng Toàn)
101
1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
I
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 102
2
CON ĐƯỜNG ĐI TỪ BÀI TOÁN ĐẾN SUY NGẪM CỦA BẢN THÂN . . . . 104
I
BẤT ĐẲNG THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 ẨN . . . . . . . . . . . . 104
II
BẤT ĐẲNG THỨC & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 ẨN . . . . . . . . . . . 122
III
TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HỆ PT GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP
BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
IV
SÁNG TẠO HỆ QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . 148
8 THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH
(Nguyễn Trung Kiên)

151

9 THAM SỐ HÓA HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
(Nguyễn Thị Thỏa)

1
KIẾN THỨC CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
ELIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
BÀI TẬP CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
BÀI TẬP NÂNG CAO RÈN LUYỆN KĨ NĂNG . . . . . . . . . .

161
161
161
162
162
162
166

II

CÁC BÀI TOÁN HAY

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

172

10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH (hthtb22)

173

3

11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Lê Nhất Duy)

180

12 HỆ PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
(Lê Trung Tín)

187

13 PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (Đinh Văn Trường) 195
14 SỬ DỤNG KĨ THUẬT ĐÁNH GIÁ ĐƯA VỀ CÙNG MẪU ĐỂ CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC
(Hoàng Trung Hiếu)
240
15 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN ĐƯA BÀI TOÁN
GTLN, GTNN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VỀ HÀM MỘT BIẾN
(Lê Hoàng Hải)
1
Kiến thức cần nhớ vể các bất đẳng thức cổ điển thường dùng. . . . . . . .
I
Bất đẳng thức AM-GM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Các ví dụ minh họa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Bài tập tự luyện. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH
TÍCH PHẲNG (Lê Hoàng Hải)
1

Kiến thức cần nhớ. . . . . . . .
I
Phép dời hình. . . . . .
II
Phép đồng dạng. . . . .
2
Các ví dụ minh họa. . . . . . .
I
Phép dời hình. . . . . .
II
Phép đồng dạng. . . . .
3
Bài tập tự luyện. . . . . . . . .

TÌM

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

249
249
249
249
250
257

TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI
260
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HOÁ ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG
Lưu Giang Nam - Hoàng Trung Hiếu
266
1
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
I
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

III

CÁC ĐỀ THI TỰ LUYỆN

277

4


PHẦN THỨ I
CÁC CHUYÊN ĐỀ

5


CHUYÊN ĐỀ 1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI PHƯƠNG
TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
(Nguyễn Thị Ngân)
Lời nói đầu
Phương trình- bất phương trình là chuyên đề mà chúng ta thường gặp trong các kì thi các cấp
và đặc biệt là thi đại học. Phương trình-bất phương trình vô tỷ rất đa dạng và phong phú về cả
đề bài và lời giải. Một bài phương trình- bất phương trình có thể có nhiều cách xử lý bài toán
khác nhau.
Tuy nhiên, để tìm ra lời giải cho bài toán của mình thì rất khó đối với đa số các bạn. Đứng
trước 1 bài phương trình- bất phương trình chúng ta thường rất lúng túng và khó khăn. Như
các bạn đã biết phương trình- bất phương trình luôn luôn có trong đề thi đại học, thường thì
nó nằm ở câu II.
Bài viết này sẽ giúp các bạn phần nào đó về phương trình-bất phương trình.Những lời giải
dưới đây tuy không phải là những lời giải hay nhất nhưng nó sẽ giúp các bạn nắm rõ được
chuyên đề này.

Hy vọng chuyên đề này sẽ đồng hành với các bạn, giúp đỡ các bạn trên con dườngđi đến
thành công, đi đến mục đích cuối cùng của chúng ta là cổng trường đại học mơ ước và có thể
nó sẽ khiến cho các bạn đam mê với môn học này ( Khó- khổ- khô).
Mặc dù đã rất cố gắng trình bày cẩn thận nhưng sẽ không tránh khỏi nhiều sai sót trong
chuyên đề.Mong các bạn thông cảm.
Nếu có gì thắc mắc và những ý kiến về chuyên đề của mình thì các bạn liên lạc cho mình
với địa chỉ nhé!

§ 1. Các phương pháp giải (Dạng cơ bản)
Một số phép toán biến đổi tương đương khi sử dụng để giải phương trình- bất phương trình.
f (x) = g (x)
1.
f (x) = g (x) ⇐⇒
g (x) ≥ 0
2.

f (x) = g (x) ⇐⇒

6

f (x) = [g (x)]2
g (x) ≥ 0


3.

4.

5.

f (x) >

f (x) > g (x)
g (x) ≥ 0

g (x) ⇐⇒


f (x) > [g (x)]2
g (x) ≥ 0



f (x) > g (x) ⇐⇒ 



f (x) < g (x) ⇐⇒

f (x) ≥ 0
g (x) < 0







f (x) < [g (x)]2
f (x) ≥ 0

g (x) ≥ 0

§ 2. Phần riêng
I. Bất phương trình
Ngoài những cách giải trên. Một số dạng giải bất phương
trình

g (x) < 0


f (x) > 0
1
1
1.
⇐⇒ 
>

g (x)
g (x) > 0
f (x)


f (x) < g (x)


2.

f (x)



g (x) ≥ 0 ⇐⇒ 

g (x) > 0
f (x) ≥ 0

g (x) = 0
3.
af (x) + bg (x) + c f (x) g (x) < 0 (đẳng cấp)
Nếu g (x) =0 thì dễ dàng rồi nhé!
f (x)
f (x)
Giả sử g (x) > 0 chia cho g (x) ta được: a
+b+c
<0
g (x)
g (x)
f (x)
= t , khi đó ta có at2 + ct + b < 0
g (x)
Hệ thống phương pháp giải:
+ Biến đổi tương đương
+ Nhân liên hợp
+ Hàm số
+ Đánh giá ( AM-GM; Bunhiacopxki, vecto)
−
−
−
−
−
−

Đôi chút về bất đẳng thức vecto: →
u +→
v ≤ →
u + →
v . Đẳng thức xảy ra ⇐⇒ →
u ,→
v cùng
hướng
Các ví dụ

Đặt

Bài 1. Giaỉ bất phương trình sau:
√
√
x2 − x − 6 + 7 x −
x+3−

6 (x2 + 5x − 2)

2 (x2 + 10)

7

≤0


Lời giải:
Công việc đầu tiên của chúng ta
thể thiếu được đó chính là tìm điều kiện cho bài toán.

không
2
x −x−6≥0



 x≥0
⇐⇒ x ≥ 3
Đối với bài toán này thì : ĐK:

x2 + 5x − 2 ≥ 0



x + 3 = 2 (x2 + 10)
x + 3 < 2 (x2 + 10) ⇐⇒ x2 − 6x + 11 > 0
(Luôn đúng)
⇐⇒ (x − 3)2 + 2 > 0
√
√
Bất phương trình đã cho trở thành: x2 − x − 6 + 7 x ≥ 6 (x2 + 5x − 2)
Vì hai vế của bất phương trình này đều dương nên cho phép chúng ta bình phương 2 vế Nên:
√
√
x2 − x − 6 + 7 x ≥ 6 (x2 + 5x − 2)
⇐⇒ x2 − x − 6 + 49x + 14 x (x2 − x − 6) ≥ 6x2 + 5x − 2
⇐⇒ −5x2 + 18x + 6 + 14 (x2 − 3x) (x + 2) ≥ 0
Khi đó,

Đến đây thấy trong căn xuất hiện 2 nhân tử là x2 − 3x và x + 2 ,

ta nghĩ ngay đến việc phân tích −5x2 + 18x + 6 cũng xuất hiện 2 nhân tử đó.
Quả nhiên ông trời không phụ lòng người, ta phân tích được
−5x2 + 18x + 6 = −5 x2 − 3x + 3 (x + 2)
Tuyệt vời!!! Công việc bây giờ là biến đổi phương trình trên thôi, ta được:
−5 x2 − 3x + 14

(x2 − 3x) (x + 2) + 3 (x + 2) ≥ 0

Vì x ≥ 3 nên x + 2 > 0 Chia 2 vế của bất phương trình cho x + 2 > 0, được:
−5.
Đặt

x2 − 3x
+ 14
x+2

x2 − 3x
+ 3 ≥ 0(1)
x+2

x2 − 3x
= a (a ≥ 0) , khi đó
x+2
(1) ⇐⇒ −5a2 + 14a + 3 ≥ 3 ⇐⇒

−1
≤a≤3
5

Mà a ≥ 0 =⇒ 0 ≤ a ≤ 3 Ta chỉ cần xét a ≤ 3 ,lúc đó:

2

x2 −3x
x+2

−3x
≤ 3 ⇐⇒ xx+2
≤9
√
√
⇐⇒ 6 − 3 6 ≤ x ≤ 6 + 3 6

Hi, vậy bài toán được giải quyết trọn vẹn.Nhưng trước đó bạn đừng vội vàng kết luận mà nhớ
phải đối chiếu với điều kiện nhé!
√
Thật vậy, kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = 3; 6 + 3 6
Bài 2. Giải bất phương trình sau:
√
(2x − 1) x + 3
≥1
√
√ √
2 x + (2 + x) 1 − x + 1 − x
8


Lời giải:
ĐK: 0 ≤ x ≤ 1 Với điều kiện đó thì,
√
√ √

2 x+ 2+ x 1−x+1−x>0
Bất phương trình đã cho trở thành:
√
√
√ √
(2x − 1) x + 3 ≥ 2 x + (2 + x) 1 − x + 1 − x
√
√
√
√
⇐⇒ (2x − 1) x + 3 ≥
x+ 1−x 2+ 1−x
√
√
Đặt x = a; 1 − x = b (a, b ≥ 0) Ta có
a2 + b 2 = 1
2a2 + b2 − 1 = x
Bất phương trình trở thành:
√
(a2 − b2 ) 2a2 + b2 + 2 ≥ (a + b) (2 + b)
√
⇐⇒ (a − b) 2a2 + b2 + 2 ≥ 2 + b
⇐⇒ (a − b)2 (2a2 + b2 + 2) ≥ (2 + b)2
⇐⇒ (1 − 2ab) (a2 + 3) ≥ 4 + 4b + b2 = 4 + 4b + 1 − a2
⇐⇒ (2a2 − 2) − 2b (a3 + 3a + 2) ≥ 0
Mà a2 ≤ 1, ∀0 ≤ a ≤ 1 và a3 + 3a + 2 > 0, ∀a ≥ 0 , nên:
2a2 − 2 − 2b a3 + 3a + 2 ≤ 0
√
x=1
a=1

√
⇐⇒ x = 1
Dấu ‘=’ xảy ra ⇐⇒
⇐⇒
1−x=0
b=0
Đối chiếu lại với điều kiện đầu bài. Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
Bài 3. Giải bất phương trình sau:
√
6 − 3x + 2x2 + 5x + 2
1−x
√
≤
x
3x − 2x2 + 5x + 2
Lời
 giải:

 x = 0√
ĐK:
; +∞ \ {0; 1}
3x = 2x2 + 5x + 2 ⇐⇒ x ∈ (−∞; −2] ∪ −1
2


2
2x + 5x + 2 ≥ 0
Bất phương trình đã cho tương đương
√
6 − 3x + 2x2 + 5x + 2

1−x
√
+1≤1+
x
3x − 2x2 + 5x + 2
6
1
√
⇐⇒
≤
x
3x − 2x2√
+ 5x + 2
6x − 3x + 2x2 + 5x + 2
√
⇐⇒
≤0
x 3x −√ 2x2 + 5x + 2
3x + 2x2 + 5x + 2
√
⇐⇒
≤0
(1)
x 3x − 2x2 + 5x + 2
9


Đến đây ta chia thành 2 trường hợp
Trường hợp 1:

√

2x2 + 5x + 2 + 3x = 0
2
2
⇐⇒ 2x
 + 5x + 2 = 9x
−2
x=

⇐⇒
7
x=1
Đối chiếu với điều kiện đầu bài thì x =
Trường hợp 2:
3x +

−2
là nghiệm của bất phương trình (2)
7
√

2x2 + 5x + 2 = 0

Khi đó, bất phương trình (2) trở thành:
√
3x + 2x2 + 5x + 2
x (7x2 − 5x − 2)
⇐⇒ 
x (7x2 − 5x − 2) < 0

⇐⇒ 

2

≤0

0−2
x<
7

Đối chiếu với điều kiện đầu bài.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (−∞; 2) ∪
Bài 4. Giải bất phương trình sau:
√
(x + 2) (2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 −

−1 −2
; 7
2

∪ (0; 1)

√
(x + 6) (2x − 1) + 3 x + 2

Lời giải:
1
ĐK: x ≥ Khi đó, Bất phương trình đã cho trở thành:
2

√
√
√
x+2+ x+6
2x − 1 − 3 ≤ 4 (1)
√
Trường hợp 1: 2x − 1 − 3 ≤ 0 ⇐⇒ x ≤ 5. Nên (1) luôn đúng
√
√
√
Trường hợp 2: Với x > 5 Xét hàm số : f (x) =
x+2+ x+6
2x − 1 − 3
√
√
√
1
1
x+2+ x+6
√
√
=⇒ f (x) =
+ √
2x − 1 − 3 +
> 0.
2x − 1
2 x+2 2 x+6
Nên f (x) đồng biến. Mặt khác: f (7) = 4 , nên (1) ⇐⇒ f (x) ≤ f (7) ⇐⇒ x ≤ 7.
;7
Đối chiếu với điều kiện đầu bài tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = −1

2
Bài 5. Giải bất phương trình sau:
x+2
2 (x4 − x2 + 1) − 1

≥

1
x−1

Lời giải:
ĐK: x = 1 Khi đó:
2(x2 − 1)2 +

2 (x4 − x2 + 1) − 1 =
10

3
−1>0
2


Trường hợp 1: Nếu x > 1 Bất phương trình đã cho tương đương
x2 + x − 1 ≥

2 (x4 − x2 + 1) (1)

Với ∀a, b ta luôn có a + b ≤ 2 (a2 + b2 ) Dấu ’=’ xảy ra ⇐⇒ a = b
Áp dụng: Đặt a = x; x2 − 1 = b Khi đó,
2 x2 + (x2 − 1)2 =

x + x2 − 1 ≤
Từ (1) và (2) =⇒ x2 − x + 1 =

2 (x4 − x2 + 1) (2)

2 (x4 − x2 + 1)


2


⇐⇒ x − 1 = x ⇐⇒ 

√
1− 5
x=
2√
1+ 5
x=
2

√
1+ 5
⇐⇒ x =
2

Trường hợp 2: Nếu x < 1 Bất phương trình đã cho tương đương
x2 + x − 1 ≤

2 (x4 − x2 + 1)

Luôn đúng ∀x < 1 (Vì đã chứng minh ở (2))
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (−∞; 1) ∪

√
1+ 5
2

Bài 6. Giải bất phương trình sau: √
√
3 + 3x + 3 − x
4
√
√
≥
x
3 + 3x − 3 − x
Lời giải:
ĐK: x ∈ [−1; 3] \ {0}
Trường hợp 1: x ∈ (0; 3]
√
√
Ta cần chứng minh 3 + 3x − 3 − x > 0
√
√
Thật vậy, 3 + 3x − 3 − x > 0 ⇐⇒ 3 + 3x > 3 − x ⇐⇒ x > 0 (đúng)
Do đó, bất phương trình đã cho tương đương
√
√

2
3 + 3x + 3 − x
4
≥
(3 + 3x) − (3 − x)
x
⇐⇒ 6 + 2x + 2
⇐⇒

(3 + 3x) (3 − x) ≥ 16

(3 + 3x) (3 − x) ≥ 5 − x(⊕)

Vì cả 2 vế đều dương nên
⊕ ⇐⇒ (3 + 3x) (3 − x) ≥ (5 − x)2 ⇐⇒ x2 − 4x + 4 ≤ 0 ⇐⇒ (x − 2)2 ≤ 0
Mà (x − 2)2 ≥ 0 , nên =⇒ x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2
Trường hợp 2: x ∈ [−1; 0)
11


√
√
Dễ dàng chứng minh 3 + 3x − 3 − x < 0
√
√
Thật vậy, 3 + 3x − 3 − x < 0 ⇐⇒ x < 0 (đúng)
Do đó, bất phương trình đã cho tương đương
√
√
3 + 3x + 3 − x

4
√
√
≤
−x
3 − x − 3 + 3x
√
√
2
3 + 3x + 3 − x
4
⇐⇒
≤
(3 − x) − (3 + 3x)
−x
2
√
√
⇐⇒
3 + 3x + 3 − x ≤ 16
⇐⇒ 6 + 2x + 2
⇐⇒

(−x > 0)

(3 + 3x) (3 − x) ≤ 16

(3 + 3x) (3 − x) ≤ 5 − x

Vì 5 − x > 0 nên ta có thể bình phương 2 vế lên để mất căn

Khi đó ta sẽ có điều ta mong muốn, (3 − x) (3 + 3x) ≤ (5 − x)2 ⇐⇒ (x − 2)2 ≥ 0 (Luôn đúng)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là : S = [−1; 0) ∪ {2}
Bài 7. Giải bất phương trình sau:
4−

1
|2x + 1|
+
≥0
2
x
x

Lời giải:
ĐK: x ≤ −2 hay x ≥ 2
Bắt gặp dấu giá trị tuyệt đối chúng ta thường liên tưởng đến bình phương 2 vế và đánh giá
hoặc chỉ đánh giá, bình phương.. . .
Nhưng lần này đối với tôi, phép bình phương xuất hiện đầu tiên. Chúng ta cùng thử xem nhé!
Chuyển vế bất phương trình đã cho thành:
4−

|2x + 1|
1
≥
2
x
−x

Trường hợp 1: Với x ≥ 2 thì bất phương trình luôn đúng
Trường hợp 2: x ≤ −2 Vì cả 2 vế đều dương nên bình phương 2 vế được:

4−

1
(2x + 1)2
1
2
2
≥
⇐⇒
4x
−
1
≥
(2x
+
1)
⇐⇒
−4x
≥
2
⇐⇒
x
≤
−
x2
x2
2

Đối chiếu với điều kiện trong trường hợp x ≤ −2 thì nghiệm bất phương trình là x ≤ −2
Kết hợp 2 trường hợp lại với nhau tập nghiệm của bất phương trình là: S = [2; +∞) ∪ (−∞; −2]

Bài 8. Gỉai bất phương trình sau:
√
2 − x2 +

2+

1
1
< 4 + |x| +
2
x
|x|

Lời giải:
Ôi! Lại một bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa. Liệu lần này cách bình phương lên còn
có thể giúp được gì cho chúng ta không nhỉ??? Thử xem nhé!
12


√
√
− 2≤x≤ 2
ĐK:
x=0
Bất phương trình đã cho trở thành:
4+
⇐⇒
⇐⇒

1

− x2 + 2
x2

3+
√

(2 − x2 ) 2 +

1
x2

< x2 +

1
8
+
18
+
8
|x|
+
x2
|x|

2
4
− 2x2 < x2 + 7 + 4 |x| +
2
x
|x|

3x2 − 2x4 + 2 < (|x|)3 + 7 |x| + 4x2 + 4

(1)

Bây giờ đến đây thì làm sao nhỉ?
√
Đừng nản chí vội, ở đây ta thử đánh giá biểu thức vế trái 3x2 − 2x4 + 2 xem sao nhé! Mà vế
phải có 1 hằng số nên, ta thử xem nó có mối quan hệ gì đến biểu thức ta đang tìm hiểu.Thử
nhé!
√
Ta có: 3x2 − 2x4 + 2 < 4
⇐⇒ 3x2 − 2x4 + 2 < 16 ⇐⇒ 2x4 − 3x2 + 14 > 0 ⇐⇒ 2 x2 − 1

2

+ x2 + 12 > 0

Đây là 1 diều hiển nhiên đúng với mọi x Do đó, (1) luôn đúng
Vậy tập xác định của bất phương trình chính là nghiệm của nó.
P/S: Một lần nữa cách bình phương 2 vế lại được phát huy 1 cách triệt để.
Bài 9. Gỉai bất phương trình sau:
√
(x2 + 4) 2x + 4 ≤ 3x2 + 6x − 4
Lời giải:
ĐK: 2x + 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −2
Khi đó, bất phương trình tương đương
2

2

(x2 + 4) (2x + 4) ≤ (3x2 + 6x − 4)
3x2 + 6x − 4 ≥ 0





2

(2x + 3) (x2 − 2x − 4) ≤ 0
3x2 + 6x − 4 ≥ 0

⇐⇒

⇐⇒






















x2 − 2x − 4 = 0
2x + 3 ≤ 0
√
21 − 3
x≥
3 √
−3 − 21
x≤
3

⇐⇒

⇐⇒



































x2 − 2x − 4 = 0
2x + 3 ≤ 0
3x2 + 6x − 4 ≥ 0
√
x=1+ 5
√

x=1− 5
−3
x≤
√2
21 − 3
x≥
3 √
−3 − 21
x≤
3


⇐⇒ 

√
x=1+ 5
√
−3 − 21
x≤
3

Đối chiếu với điều kiện ta thấy, Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 +
13

√

5


Nhận xét: Chắc các bạn đang thắc mắc tại sao ở đoạn cuối tôi lại suy ra được kết quả là


√
x=1+ 5
√

−3 − 21
x≤
3
phải không? Lúc đầu khi làm bài toán này tôi cũng bó tay ở đoạn này đấy, nhưng sau khi thầy
tôi giải thích thì tôi đã hiểu ra.
Nhận thấy ở phía trên có 2 dấu ngoặc vuông cùng 1 lúc, đừng nghĩ nó phức tạp quá làm gì mà
thực ra thì đó cũng chính là 1 dấu ngoặc vuông mà thôi. Đối với những bài toán này thì đ xử
lý 1 cách nhanh gọn và đẹp thì cách vẽ trục số là biện pháp hữu hiệu nhất.Trong bài toán này
chúng ta cũng dùng cách vẽ trục số như vậy đấy.( Có thể vẽ 2 trục số ra để dễ nhìn hơn đó !)
Một điều nữa tôi muốn nói với các bạn chú ý khi giải những bài bất phương trình. Đó là, để
bình phương 2 vế của bất phương trình thì phải thoả mãn điều kiện 2 vế điều dương. Nhớ nhé,
tuy vấn đề này có nhiều bạn vẫn chủ quan, nhưng chỉ cần sơ suất 1 chút thôi là uổng phí công
sức toàn bài.
Bài 10. Gỉai bất phương trình sau:√

√
x x + 1 − x2
√
≥1
√
x x + 1 − x2 − x3

Lời giải:
ĐK: 0 ≤ x ≤ 1
Nhìn bài bất đẳng thức này sa tôi lại muốn nhân chéo nó lên nhỉ. Haizz, thử xem nào.Nhưng

trước tiên ta đi xét mẫu xem sao nhé!( Bật mí nhé: Muốn nhân chéo 1 bất phương trình nào
đó thì chúng ta phải đảm bảo rằng cả 2 vế đều dương). Mà bài toán này thì tử số luôn dương
rồi, vế phải chắc chắn 100% dương. Với điều kiện trên thì,
√
√
√
√
√
x x + 1 − x2 − x3 ≥ x x + 1 − x2 = x x + 1 − x > 0, ∀0 ≤ x ≤ 1
Woa, thật là may mắn.Chúng ta đã xử lý xong mẫu rồi, giờ chỉ việc nhân chéo lên.hì! Bất
phương trình đã cho trở thành
√
√
√
√
x x + 1 − x2 ≥ x x + 1 − x2 − x 3
√
⇐⇒
x2 − x3 ≥ 1 − x (1 − x2 )
⇐⇒ x2 − x3 ≥ 1 + x (1 − x2 ) − 2 x (1 − x2 )
⇐⇒ x + 1 − x2 − 2 x (1 − x2 ) ≤ 0
√
√ 2
⇐⇒
1 − x2 − x ≤ 0
√
√ 2
Mà
1 − x2 − x ≥ 0, ∀x Nên:
√

√
1 − x2 − x = 0
√
√
⇐⇒
1 − x2 = x
⇐⇒ x2 + x − 1 = 0
√

1− 5
 x=
2 √
⇐⇒ 
−1 − 5
x=
2
14


−1 +
Đối chiếu với điều kiện thì x =
2

√
5

thoả mãn bài toán

√
−1 + 5

Vậy bất phương trình đã cho có ngiệm duy nhất là x =
2
Trên đây là 1 số ví dụ tôi đua ra cho các ban. Sau đây sẽ là 1 số bài tập để các bạn làm nhé!
Áp dụng: Gỉai các bất phương trình sau:
√
1. 2 (x2 + 2) < 3 2x + x3 + 8
√
√
2. 17x + 53 − x + 5 − 4x < 12
√
2x
3. x + √
>3 5
x2 − 4
√
√
12x − 8
4. 2x + 4 − 2 2 − x > √
9x2 + 16
1
1
2
5.
x+ 2 + x− 2 >
x
x
x
1
6.
− x ≥ x + 12

4
√
√
√
√
7. 1 + x − 1 − x ≥ x 5 − 4 x + 5 + 4 x ≥ 4
√
8. (x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0
1
3x
9.
+1> √
2
1−x
1√− x2
10. (x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2
Bất phương trình chúng ta đã đi được 1 quãng đường rồi nhỉ, bây giờ giành ít thời gian cho
phương trình nhé!

II. Phương trình
Về phương trình thì thế này. Nó có rất nhiều cách giải quyết. Đa số là
+ Đánh giá
+ Nhân liên hợp
+ Đặt ẩn phụ
+ Hàm số
Sau đây, tôi sẽ làm các ví dụ về phương trình nhé! Tuy nó chỉ là 1 phần nhỏ, chưa đi hết được
các dạng toán nhưng nó sẽ giúp ích cho các bạn phần nào.
Bài 1. Giải phương trình

√

x3 + 1 = 2 3 2x − 1

Lời giải:
√
Đặt 3 2x − 1 = a ⇐⇒ 2x = a3 + 1 Do đó, ta có hệ
x3 + 1 = 2a (1)
a3 + 1 = 2x (2)
Trừ vế với vế (1) cho (2) ta có:
x3 − a3 = 2 (a − x) ⇐⇒ (x − a) x2 +ax+a2 + 2 = 0

15


Mặt khác: Do
x2 +ax+a2 + 2 = x +

a
2

2

3
+ a2 + 2 > 0, ∀x, a =⇒ x − a = 0 ⇐⇒ x = a
4

Thay vào (1) ta được:

x3 + 1 = 2x ⇐⇒ x3 + 1 − 2x = 0 ⇐⇒ (x − 1) x2 + x − 1 = 0 ⇐⇒ 

x=1

√
−1 ± 5
x=
2



x=1
√
−1 ± 5
x=
2
Chú ý: Ngoài cách đã làm ở trên, thì ta có thể làm như sau:
Phương trình đã cho được viết lại thành

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 

x3 + 1 √
= 3 2x − 1
2
√
x3 + 1
và g(x) = 3 2x − 1 là 2 hàm số ngược nhau, do đó đồ thị của
Ta thấy hàm số f (x) =
2
chúng đối xứng nhau qua đường y = x .
1
Mặt khác hai hàm số này không trùng nhau vì f (0) = ; g(0) = −1 , nên:
2
Nếu 2 đồ thị cắt nhau thì phải cắt nhau trên đường y = x . Do đó ta chuyển được việc giải

phương trình đã cho về việc giải phương trình
x3 + 1
=x
2
Đến đây các bạn giúp mình giải tiếp nhé!
Bài 2. Giải phương trình
3 2+

√

x − 2 = 2x +

√

x+6

Lời giải:
ĐK: x ≥ 2
Theo thói quen của tôi mỗi khi làm những bài bất phương trình hoặc phương trình là nhanh
chóng lấy chiếc máy tính ra nhẩm nghiệm của bài toán.Chỉ 1 lúc sau chúng ta đã thấy kết quả.
Thật là may mắn vì ài này nghiệm của nó có 1 nghiệm rất đẹp đó nha!!
Ta thấy x = 3 là một nghiệm của phương trình. Ta nghĩ ngay đến việc đưa bài toán về
dạng:(x − 3) f (x) = 0 , nên ta biến đổi phương trình như sau:
√
√
2 (x − 3) +
x+6−3 x−2 =0
√
√
Vấn đề còn lại là đi phân tích x + 6 − 3 x − 2 ra thừa số x − 3 .

Sao nhìn vào biểu thức này mà tôi lại liên tưởng ra hằng đẳng thức a2 − b2 = (a − b) (a + b) .
Vậy ta thử đi theo hướng này xem sao, Ta biến đổi
√
√
−8 (x − 3)
√
x+6−3 x−2= √
x+6+3 x−2
16


Ồ, cách nhân liên hợp đây mà! Vậy thì phương trình đã cho trở thành

x=3
8

√
8
= 0 ⇐⇒
(x − 3) 2 − √
√
√
=2
x+6+3 x−2
x+6+3 x−2
Đến đây bài toán trở nên dễ dàng biết mấy. x = 3 là 1 nghiệm của phương trình đã cho nên ta
8
√
chỉ cần đi theo con đường giải quyết phương trình √
= 2 nữa thôi.

x+6+3 x−2
Thật dễ! ta viết lại phương trình đó thành
√

√
x+6+3 x−2=4

Đến đây thì tiếp tục giải được rồi
√ nhỉ. Các bạn trình bày tiếp cho tôi với nhé!
11 − 3 5
Từ đây suy ra được x =
2

x=3
√
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 
11 − 3 5
x=
2
Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :
√

√
A+

B=

√
√
C+ D

ta thường bình phương 2 vế hoặc lập phương. . . nhưng đôi khi việc làm này sẽ dẫn đến cho ta
những vấn đề khó khăn hơn nhiều.
√
√
√
√
√
√
Ví dụ như: 3 A + 3 B = 3 C =⇒ A + B + 3 3 AB 3 A + 3 B = C Và ta lại sử dụng phép
√
√
√
√
thế. Thế 3 A + 3 B = 3 C vào để được A + B + 3 3 ABC = C
Khó khăn thật nhỉ! Sau đây tôi đưa ra ví dụ để các bạn xem cách giải quyết vấn đề này như
thế này như thế nào nhé!
Bài 3. Giải phương trình:

√

x+3+

√
√
√
3x + 1 = 2 x + 2x + 2

Lời giải:
ĐK: x ≥ 0

Nếu theo cách làm như tôi nói trên thì. Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
1+

(x + 3) (3x + 1) = x + 2

x (2x + 1)

Để giải phương trình này không khó nhưng hơi phức tạp thôi. Cách giải quyết bài toán này rất
đơn giản nếu ta chuyển vế của phương trình đã cho về
√

3x + 1 −

√
√
√
2x + 2 = 4x − x + 3

Khi đó bình hương 2 vế lên thật đơn giản ta đưa về được
√

6x2 + 8x + 2 =
17

√
4x2 + 12x


Dễ dàng giải ra kết quả phải không, tôi tin các bạn sẽ làm được và kết quả là x = 1
Đối chiếu với điều kiện thấy thoả mãn, từ đây ta cứ thế kết luận được rồi!

Nhận xét: Nếu phương trình có dạng
f (x) +

g(x) =

h(x) +

k(x)

Mà ta lại có được: f (x) + h(x) = g(x) + k(x) , lúc đó ta biến đổi phương trình về dạng
f (x) −

h(x) =

k(x) −

g(x)

Sau đó bình phương lên thôi. Nhanh gọn.hì hì!!!
Chú ý: Ngoài ra nếu chúng ta bắt gặp những bài phương trình mà có dạng như trên nhưng
thay vì có f (x) + h(x) = g(x) + k(x) mà nó có f (x).h(x) = k(x).g(x) thì cũng biến đổi được
f (x) − h(x) = k(x) − g(x) Nhớ nhé!
Một số bài tập áp dụng:
√
1. (1 − 4x) 4x2 + 1 = 8x2 + 2x + 1
√
√
2.
x − x2 − 1 + x + x2 + 1 = 2 (x3 + 1)
√

3. x2 + 1 − √ 12 5 = x
x −3
√
2
4. x + x (x − 3) = x (2x + 1)
√
√
5.
x + x + 11 + x − x + 11 = 4
Một lần nữa chân thành cảm ơn các bạn đã đón đọc tuyển tập này. Tuyển tập này còn chưa
đầy đủ lắm, nó mới chỉ đưa chúng ta đi một đoạn đường nhỏ trên chặng đường học tập nói
chung, trên con đường chinh phục tuyển tập phương trình - bất phương trình nói chung. Các
bạn nhớ đón đọc tuyển tập của mình lần sau nhé, hi vọng nó sẽ củng cố kiến thức đầy đủ hơn.
Chúc các bạn thành công, chinh phục ước mơ của mình.

18


CHUYÊN ĐỀ 2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT (Đỗ Đường Hiếu)
§ 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Sử dụng các phép biến đồi, ta đưa phương trình về một trong các dạng sau:
• af (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g (x) với 0 < a = 1
• af (x) = b ⇐⇒ f (x) = loga b nếu b > 0
2

Ví dụ 1. Giải phương trình: 3x −4x+5=0 = 9
Lời giải: Phương trình tương đương với:

3x

2 −4x+5=0

= 32 ⇐⇒ x2 − 4x + 5 = 2

x2 − 4x + 3 = 0 ⇐⇒
Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 3.
√
3
2
2x−3
Ví dụ 2. Giải phương trình: 0, 125.4
=
8

x=1
x=3

−x

Lời giải: Đưa hai vế về cùng cơ số 2, ta được:
8

2−3 .24x−6 = 2− 3

−x

8

⇐⇒ 24x−9 = 2 3 x

8
27
4x − 9 = x ⇐⇒ x =
3
4
27
Vậy phương trình có nghiệm x = .
4
Ví dụ 3. Giải phương trình: 5x+1 − 5x = 2x+1 + 2x+3
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:
5.5x − 5x = 2.2x + 8.2x ⇐⇒ 4.5x = 10.2x
⇐⇒

5
2

x

=

5
⇐⇒ x = 1
3

19


II. Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của đặt ẩn phụ là để đưa phương trình về phương trình đại số quen thuộc. Khi đặt
t = af (x) , với 0 < a = 1, để giải phương trình không có tham số đôi khi ta chỉ cần đưa ra điều
kiện t > 0, nhưng với phương trình chứa tham số ta cần phải chỉ ra điều kiện đúng của ẩn phụ.
Ví dị 1. Giải phương trình: 32x−1 = 2 + 3x−1
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:
32x − 3x − 6 = 0
Đặt t = 3x , với t > 0, ta có phương trình:
t=3
t = −2

t2 − t − 6 = 0 ⇐⇒

=⇒ t = 3

Từ đó: 3x = 3 ⇐⇒ x = 1.
√
√
2
2
Ví dụ 2. Giải phương trình: x −2+x − 5.2x−1+ x −2 = 6
√
2
Lời giải: Đặt 2x+ x −2 = t, với t > 0, ta có phương trình:

t=4
5
t2 − t − 6 = 0 ⇐⇒ 
3 =⇒ t = 4
2
t=−

2
Từ đó:

√
= 4 ⇐⇒ x + x2 − 2 = 2

x2 − 2 = (2 − x)2
√
2
x − 2 = 2 − x ⇐⇒
2 − x ≥ 0
√

2x+

x2 −2

⇐⇒


4x = 6

⇐⇒ x =

x ≤ 2

3
2

3

2
1
1
1
Ví dụ 3. Giải phương trình: 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x
1
Lời giải: Điều kiện: x = 0. Chia cả hai vế của phương trình cho 9 x > 0, ta có:

Vậy phương trình có một nghiệm là : x =

6.

Đặt t =

2
3

4
9

1
x

− 13.

2
3

1
x

+6=0

1
x

, (t > 0), phương trình trở thành:


3
t=

2
6t2 − 13t + 6 = 0 ⇐⇒ 
2
t=
3
20


1

3
2 x
3
1
Với t = thì
=
⇐⇒
= −1 ⇐⇒ x = −1

2
3
2
x
1
2
2
2 x
1
Với t = thì
=
⇐⇒
= 1 ⇐⇒ x = 1
3
3
3
x
Phương trình có hai nghiệm: x = −1 và x = 1.
2
2
Ví dụ 4. Giải phương trình: 2x −x − 22+x−x = 3
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:
2x
Đặt t = 2x

2 −x

2 −x

−

4
2x2 −x

=3

, (t > 0), ta có phương trình:
t−

4
= 3 ⇐⇒ t2 − 3t − 4 = 0 ⇐⇒
t

t = −1(loại)
t=4

Với t = 4, ta có:
2x

2 −x

= 4 ⇐⇒ x2 − x = 2 ⇐⇒

x = −1
x=2

Phương trình có hai nghiệm: x = −1 và x = 2.
√ x
√ x
Ví dụ 5. Giải phương trình: 3 + 5 + 16. 3 − 5 = 2x+3

Lời giải: Ta đưa phương trình đã cho tương đương với phương trình :
√ x
√ x
3− 5
3+ 5
+ 16
=8
2
2
√
3− 5
2

√
3+ 5
Tới đây ta để ý rằng :
·
2
√
√ x
3− 5
3+ 5
, t > 0 thì
Do đó đặt t =
2
2
x

x

=1
x

=

1
t

Khi đó phương trình trở thành :
1
1
+ 16t = 8 ⇐⇒ 16t2 − 8t + 1 = 0 ⇐⇒ t =
t
4
Từ đó, ta có:

√
3+ 5
2

x

=

1
⇐⇒ x = −2 log( 3+√5 ) 2
2
4

Phương trình có nghiệm duy nhất: x = −2 log( 3+√5 ) 2.

2

III. Phương pháp sử dụng tính chất đồng biến và nghịch biến của
hàm số
Ví dụ 1. Giải phương trình 76−x = x + 2
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với: 76−x − x − 2 = 0
21


Nhận thấy x = 5 là nghiệm của phương trình, ta chứng minh phương trình không còn nghiệm
nào khác.
Xét hàm số f (x) = 76−x − x − 2 trên R.
Ta có: f (x) = −76−x ln 7 − 1 < 0, ∀x ∈ R Nên hàm số f (x) nghịch biến trên R. Từ đó:
- Với x < 5 thì f (x) > f (5) hay 76−x − x − 2 > 0, nên phương trình không có nghiệm x < 5.
- Với x > 5 thì f (x) < f (5) hay 76−x − x − 2 < 0, nên phương trình không có nghiệm x > 5.
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
Ví dụ 2. Giải phương trình:3x + 5x = 6x + 2
Lời giải: Phương trình đã cho viết lại là:
3x + 5x − 6x − 2 = 0
Nhận thấy rằng x = 0 và x = 1 là các nghiệm của phương trình.
Xét hàm số f (x) = 3x + 5x − 6x − 2, ta có f (x) = 3x ln 3 + 5x ln 5 − 6
Ta có f (0) = ln 15 − 6 < 0 và f (1) = 3 ln 3 + 5 ln 5 − 6 > 0 nên f (0).f (1) < 0, suy ra tồn tại
t ∈ (0; 1) sao cho f (t) = 0.
Ta lại có: f (x) = 3x ln2 3 + 5x ln2 5 > 0∀x ∈ R nên hàm số f (x) đồng biến trên R.
Từ đó:
+ Nếu x < t thì f (x) < f (t) = 0
+ Nếu x < t thì f (x) < f (t) = 0
Do vậy, ta có bảng biến thiên:
x −∞

t

f (x)
−
f (x) +∞

0

+∞
+
+∞

f (t)
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra phương trình f (x) = 0 nếu có nghiệm thì chỉ có tối đa
là 2 nghiệm.
Do đó phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.
2
Ví dụ 3. Giải phương trình: 5x−2 = 5x −x−1 + (x − 1)2
Lời giải: Phương trình tương đương với:
2 −x−1

5x−2 + x − 1 = 5x

+ x2 − x ⇐⇒ 5x−1 + 5 (x − 1) = 5x

2 −x

+ 5 x2 − x

(∗)

Xét f (t) = 5t + t, (t ∈ R). Ta có f (t) = 5t ln 5 + 1 > 0∀t ∈ R, nên hàm số f (t) luôn đồng biến.
Do vậy:
(∗) ⇐⇒ f (x − 1) = f (x2 − x) ⇐⇒ x − 1 = x2 − x ⇐⇒ x = 1
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

22


IV. Phương pháp lôgarit hóa
2

Ví dụ 1. Giải phương trình: 3x .2x = 1
Lời giải: Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế, ta có phương trình tương đương với:
2

2

log3 3x .2x = log3 1 ⇐⇒ log3 3x + log3 2x = 0 ⇐⇒ x + x2 log3 2 = 0

x=0
x=0

1
⇐⇒
⇐⇒
x=−
x = − log2 3
log3 2
Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = − log2 3

Ví dụ 2. Giải phương trình: 2x+2 .3x = 4x .5x−1
Lời giải: Lôgarit cơ số 2 hai vế phương trình đã cho:
log2 2x+2 .3x = log2 4x .5x−1

⇐⇒ log2 2x+2 + log2 (3x ) = log2 (4x ) + log2 5x−1

⇐⇒ x + 2 + x log2 3 = 2x + (x − 1) log2 5 ⇐⇒ (log2 3 − log2 5 − 1) x = −2 − log2 5
−2 − log2 5
⇐⇒ x =
log2 3 − log2 5 − 1
Vậy, phương trình có nghiệm: x =

−2 − log2 5
.
log2 3 − log2 5 − 1

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
I. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Ví dụ 1. Giải phương
 trình: log x + log(x + 9) = 1
x > 0
Lời giải: Điều kiện:
⇐⇒ x > 0
x + 9 > 0
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:
log [x (x + 9)] = log 10 ⇐⇒ x (x + 9) = 10 ⇐⇒ x2 + 9x − 10 = 0 ⇐⇒

x=1
x = −10

Vậy, phương trình có một nghiệm x = 1.
Ví dụ 2. Giải phương trình: log4 (log2 x) + log2 (log4 x) = 2
Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với:
1
1
1
1
log2 (log2 x) + log2
log2 x = 2 ⇐⇒ log2 (log2 x) + log2
+ log2 (log2 x) = 2
2
2
2
2
3
⇐⇒ log2 (log2 x) = 3 ⇐⇒ log2 (log2 x) = 2 ⇐⇒ log2 x = 4 ⇐⇒ x = 16
2
Vậy, phương trình có một nghiệm duy nhất x = 16.
√
Ví dụ 3. Giải phương trình:log4 (x + 1)2 + 2 = log√2 4 − x + log8 (4 + x)3
23


Lời giải: Điều kiện:


x = −1
−4 < x < 4

Với điều kiện đó, phương trình tương đương với:

log2 |x + 1| + log2 4 = log2 (4 − x) + log2 (4 + x)
⇐⇒ log2 (4 |x + 1|) = log2 [(4 − x) (4 + x)]
⇐⇒ 4 |x + 1| = (4 − x) (4 + x) ⇐⇒ 4 |x + 1| = 16 − x2

(∗)

- Với −1 < x < 4, ta có:
(∗) ⇐⇒ 4(x + 1) = 16 − x2 ⇐⇒ x2 + 4x − 12 = 0 ⇐⇒

x=2
x = −6 (loại)

- Với −4 < x < −1, ta có:
2

2

(∗) ⇐⇒ −4(x + 1) = 16 − x ⇐⇒ x − 4x − 20 = 0 ⇐⇒

√
x=2−2 6
√
x = 2 + 2 6 (loại)

√
Vậy, phương trình có hai nghiệm: x − 2 và x = 2 − 2 6

II. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: log22 x − 5. log2 x + 6 = 0
Lời giải: Đặt t = log2 x, ta thu được phương trình:

t2 − 5t + 6 = 0 ⇐⇒

t=2
t=3

- Với t = 2, ta có: log2 x = 2 ⇐⇒ x = 4
- Với t = 3, ta có: log2 x = 3 ⇐⇒ x = 8
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x = 8.
Ví dụ 2. Giải 
phương trình: 3 + log2 (x2 − 4x + 5) + 2 5 − log2 (x2 − 4x + 5) = 6
u = 3 + log (x2 − 4x + 5)
2
Lời giải: Đặt
;
u ≥ 0, v ≥ 0.Từ phương trình đã cho ta
v = 5 − log (x2 − 4x + 5)
2
có hệ phương trình:

u + 2v = 6
u2 + v 2 = 8

u = 6 − 2v
5v 2 − 24v + 28 = 0

⇐⇒


u = 6 − 2v

(6 − 2v)2 + v 2 = 8



u = 2
u = 2
5
⇐⇒
14 hoặc 

v =
v=2
5

24