Bài Tập Chuyên Đề Tích Phân Hàm Ẩn ôn thi THPT môn Toán

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN
1 
a 2 ln 2  bc ln 3  c

x
ln(
x

2)

dx

,với a, b, c  . Tính T  a  b  c .
0 
x  2 
4
1

Câu 1.

Cho

A. T  13 .

B. T  15 .

C. T  17 .

D. T  11 .

Lời giải

Chọn A
Phân tích:
Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích
phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từng
phần, một là tích phân của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất cơ bản.
1 
x

dx   x ln( x  2)dx  
dx  I1  I 2
Ta có: I   x ln( x  2) 

x

2
x

2


0
0
0
1

1

1

1

*Tính I1   x ln( x  2)dx
0

dx

du 

u

ln(
x

2)


x2

Đặt 
2
 dv  xdx
 v x

2
Khi đó :
I1 

1
1 1 1 x2
x2

1
1 x2  4  4
ln( x  2)  
dx  ln 3  
dx
0 2 0 x2
2
2
2 0 x2

1
1
1
1
4
1
1 x2
 ln 3   ( x  2 
)dx  ln 3  (  2 x  4 ln x  2 )
0
2
20
x2
2
2 2

1
1 1
3
3

 ln 3  (  2  4 ln 3)  2 ln 2   ln 3  2 ln 2 
2
2 2
2
4
1

*Tính I 2  
0

1

I2  
0

x
dx
x2

1
1
1
x
x22
2
dx  
dx   (1 
)dx  ( x  2 ln x  2 )
0
x2

x2
x2
0
0

 1  2 ln 3  2 ln 2
7
7 42 ln 2  2.7 ln 3  7
I  I1  I 2  4ln 2  ln 3  
2
4
4

Ta có a  4, b  2, c  7 . Vậy T  a  b  c  4  2  7  13 .
1 
abc ln 2  b ln 5  c

Cho I   x  ln  x  1  2  dx 
, với a, b, c  . Tính T  a  b  c .
x 1 
4
0 
3

Câu 2.

A. T  13 .

B. T  15 .

C. T  10 .
Lời giải

Chọn C

D. T  11 .


3

3

x
dx  I1  I 2 .
x 1

Ta có I   x ln  x  1 dx  
0

2

0
3

* Tính I1   x ln  x  1 dx .
0

dx

du 


u  ln  x  1 
x 1

Đặt 
.
2
dv  xdx
v  x

2
3

x2
1 x2
9
1 
1 
dx  ln 4    x  1 
Khi đó : I1  ln  x  1  
 dx
2
2 0 x 1
2
2 0
x 1 
0
3

3

3


9
19
3
9
1  x2

 ln 4    x  ln x  1   ln 4    3  ln 4   4 ln 4  .
22
4
2
2 2

0 2
3

* Tính I 2  
0

x
dx .
x 1
2

Đặt u  x 2  1  du  2 xdx
Đổi cận: x  0  u  1; x  3  u  10
10

Khi đó : I 2 

1 1
1
du  ln u

21u
2

3

3

Suy ra I   x ln  x  1 dx  
0

0

10

1

1
 ln10 .
2

3 1
5.2.3ln 2  2 ln 5  3
x

dx  I1  I 2  4 ln 4   ln10 
4 2
4
x 1
2

Ta có a  5, b  2, c  3 . Vậy T  a  b  c  10 .
1 
ab ln 2  bc ln 3  c

Cho I   x ln  x  2   2  dx 
, với a, b, c  . Tính T  abc .
x

1
4


0
1

Câu 3.

A. T  18 .

B. T  16 .

C. T  18 .

D. T  16 .

Lời giải
Chọn A
1 
x 


- Ta có I   x ln  x  2   2  dx    x ln  x  2   2 dx
x  1
x  1

0
0 
1

1

1

1

  x ln  x  2 dx  
0

0

1

x
dx

x 1
2

1

- Đặt I1   x ln  x  2 dx và I 2  
0

0

x
dx .
x 1
2

1

du 
dx

u  ln  x  2  
x2

+ Tính I1   x ln  x  2 dx . Ta đặt 
, khi đó ta có:
2
 dv  xdx
0
 v x


2
1


1

1

x2
1 x2
I1  ln  x  2    
dx
2
2 x2
0
0
1
1 
4 
ln 3    x  2 
dx
2
2 0
x2
1



1


1
1  x2
 ln 3    2 x  4 ln x  2 
2
2 2
0

1
1  1


 ln 3    2  4ln 3   4ln 2 
2
2  2


3
3
 2 ln 2  ln 3 
2
4





2
1
1

1 d x 1 1
1
x
 ln x 2  1  ln 2 .
+ Tính I 2   2 dx    2
0
2 x 1
2
2
x 1
0
0
1

3
3 1
- Khi đó I  I1  I 2  2 ln 2  ln 3   ln 2
2
4 2



3
3
3
ln 2  ln 3 
2
2
4



3.2.ln 2  3.2.ln 3  3
4



3.2.ln 2  2.  3 .ln 3   3
.
4

 a3

Ta suy ra:  b  2 . Vậy T  a.b.c  3.2. 3   18 .
c  3


Câu 4.

Cho f  x  là hàm liên tục và a  0 . Giả sử rằng với mọi x 0; a , ta có f  x   0 và
a

f  x  f  a  x   1. Tính I  

1
dx .
1 f  x
0

A.

a
.
3

C. a ln 1  a  .

B. 2a .

D.

Lời giải
Chọn D
a

a

1
dx  
1 f  x
0
0 1

Ta có I  

1
1
f a  x

a

dx  
0

f a  x
dx .
f a  x 1

Đặt a  x  t thì dx  dt . Với x  a  t  0 ; x  0  t  a .
0

Ta được I  


a

a
f t 
f  x
dt  
dx
f t   1
f
x

1


0
a

Do đó, ta có 2 I  
0

a
a
f  x
a
1
a
dx  
dx   dx  x 0  a . Vậy I  .
2
f  x 1
f  x 1
0
0

a
.
2


Câu 5.

Cho f  x  à hàm i n tục tr n 0;1 .
f  x  . f 1  x   4 . T nh

1

iả sử rằng với mọi x0;1 , ta có f  x   0 và

dx

 2  f  x .
0

A. 1 .

B. 2 .

C.

1
.
2

D.

1
.
4

Lời giải
Chọn D
1
f 1  x 
dx

dx .

2

f
x
2
2

f
1

x






0
0

1

Ta có I  

Đặt t  1  x  dt  dx , đổi cận : x  0  t  1 ; x  1 t  0 .

f t 

0

I  
1

f  x

1

dt  

2  2  f t 

0

2  2  f  x 

dx .

1
f  x
dx
1
1

dx   I  .
2  f  x  0 2  2  f  x 
2
4
0

1

 2I  



Câu 6.

Cho hàm số f  x  liên tục trên

và 3 f   x   2 f  x   tan 2 x . Tính

4

 f  x dx .



A. 1 


2

.

B.


2

1.

C. 1 


4

4

D. 2 

.


2

.

Lời giải
Chọn D
Theo đề bài, ta có 3 f   x   2 f  x   tan 2 x 1
Thay x bởi  x ta được: 3 f  x   2 f   x   tan 2   x   tan 2 x
Từ 1 và

 2  suy ra: f  x   tan 2 x .





4

4



I



 2

f  x dx 





4







4
 1

 1dx
tan 2 xdx  2  tan 2 xdx  2   1  tan 2 x  1dx  2  

2
 cos x 
4

4

0

0





0

4





 2  tan x  x  4  2  .
2
0
1

Câu 7. Biết

x3

0

Tính tổng S
A. 7.

2x

e.x3 .2x
dx
e.2x
m

n

1
m

1
.ln p
e ln n

e
e

p
B. 6.

C. 8.
Lời giải

Chọn A

. Với m, n, p là các số nguy n dương .

D. 5.


1

x3

Ta có:

2x

0

1
4

1
ln
e ln 2

m 4
n 2
p 1

Vậy

1

e.x3 .2 x
dx
e.2 x
e.2 x

m

n

x
0

1
4

1
0

2x
dx
e.2 x

3

1
.ln
e ln 2

2e
e

1
4

x4
4

1

1
e ln 2

0

1
.ln 1
e ln 2

1

e.2 x

d

e.2 x

0

e
e

.

7 .

p

1

Câu 8.

Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên 0;1 thỏa

x2. f

x dx

12 và

0

1

2f 1

2 . Tính

f 1

f x dx
0

B. 14 .

A. 10 .

C. 8 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn D
u

Đặt

Đặt

x2

dv

f

u

2x

dv

f

du
x dx

x dx

2 xdx

v

f

du

2dx

v

x

f x

. Khi đó I

f 1

2f 1

2

A. 1.

x dx .

2 x. f

0

1

2 x. f

x dx

2 x. f x

0

1

2 f x dx

0
0

1

f x dx

f x dx

5

0

thỏa mãn ∫

Cho hàm số

x

1

. Suy ra

0

Câu 9.

x .f

1

1

0

1

Do đó 12

2

Tính ∫

và

B. 11.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Áp dụng phương pháp t nh t ch phân từng phần.
Từ giả thiết đề cho, Đặt {

{

Khi đó:
∫

∫

Suy ra ∫

Câu 10. Cho hàm số f  x  liên tục trên

và thỏa mãn

f   x   2018 f  x   x sin x. Tính



I

2

 f  x dx


2

A.

2
.
2019

B.

1
.
2019

C.
Lời giải

Chọn A

1
.
1009

D.

1
.
2018


Đặt t   x  dt  dx  x 
 x

2







2

I    f  t  dt 
2

Suy ra 2019.I 


2

t 


2

2

 f   x dx







2

2

2




2

I 



t  ;
2
2

f   x  dx  2018.  f  x  dx 

2

 x sin xdx  2


2

2
2019

Câu 11. Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng  0;   \ e thỏa mãn f   x  

1
,

x  ln x  1

1
1
f  2   ln 6 và f  e 2   3 . Giá trị của biểu thức f    f  e3  bằng
e
e 

A. 3  ln 2  1 .

C. 3ln 2  1 .

B. 2 ln 2 .

D. ln 2  3 .

Lời giải
Chọn A
Ta có: f  x    f   x  dx  

d  ln x  1
1
dx  
 ln ln x  1  C với x   0;   \ e .
x  ln x  1
ln x  1

 Trường hợp 1: ln x 1  0  ln x  1  x  e

 f  x   ln  ln x 1  C1 , f  e2   3  C1  3  f  x   ln  ln x 1  3 .

f  e3   ln  ln e3  1  3  3  ln 2 .

 Trường hợp 2: ln x 1  0  ln x  1  0  x  e

1
 f  x   ln 1  ln x   C2 , f  2   ln 6  ln 3  C2  ln 6  C2  ln 6  ln 3  ln 2 .
e 

 f  x   ln 1  ln x   ln 2
1
1

f    ln 1  ln   ln 2  2 ln 2 .
e
e

1
Vậy f    f e 2   2ln 2  3  ln 2  3 ln 2 1  .
e
Câu 12. Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d có đạo hàm là hàm số với đồ thị như hình vẽ bên.
Biết rằng đồ thị hàm số y  f  x  tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ
thị hàm số cắt trục tung tại điểm tại điểm có tung độ là


A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn A
Ta có f   x   ax  x  2 mà
f   1  3  a  3  f   x   3x 2  6 x  f  x    f   x  dx  x3  3x 2  C .


 x  2
 f  x0   0
Gọi x0 à hoành độ tiếp điểm  x0  0  suy ra 
 0
 f  x   x 3  3x 2  4 .
C  4

 f   x0   0

Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4 .
Câu 13 Cho y  f  x  là hàm số chẵn, liên tục trên

 1 
M   ; 4  và
 2 

1
2



f  t  dt  3 . Tính

0

0

 sin 2 x. f   sin x dx



A. I  10 .

. Biết đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm

6

B. I  2 .

C. I  1 .

D. I  1 .

Lời giải
Chọn B



1
t   ;x  0t  0
6
2

Đặt sin x  t ; đổi cận x  
0

I

0

 sin 2 x. f   sin x dx   2t. f   t dt .





6

1
2

0
2t  u
2dt  du

I   2t. f  t   |0 1   2 f  t  dt
Đặt 

 f   t  dt  dv
 f  t   v
1
2


2

y  f  x  là hàm số chẵn:

0

1
2

 2 f  t  dt   2 f  t  dt  2.3  6


1
2

0

 1 
 1
Đồ thị hàm số y  f  x  đi qua điểm M   ; 4  : f     4
 2 
 2
1
2

 1
I   2t. f  t   |0 1   2 f  t  dt   2t. f  t   |0 1 3  2.0. f  0    2. . f



 2
2
2
0

 1  
    6  4  6  2
 2 


2

 f   x  .ln  f  x  dx  1 và f 1  1, f  2  1 . Giá trị của f  2

Câu 14. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

1

bằng
A. f  2   2 .

B. f  2  3 .

C. f  2  e .

D. f  2   e2 .

Lời giải
Chọn C



du 
u  ln  f  x  
Đặt 


v  f
dv  f   x  dx


f  x
dx
f  x .

 x

2

2

 f   x  .ln  f  x  dx  f  x  .ln  f  x    f   x  dx

Khi đó,

2

1

1

1

 1  f  2  .ln  f  2    f 1 .ln  f 1    f  2   f 1 
f 1 1

 f  2  .ln  f  2   f  2 

f  2 1

 ln  f  2  1  f  2  e .

Câu 15. Cho hàm số f  x  thỏa mãn

2



f  x  dx  3 và f  2   2 . Tính

0

A. I

B. I

2.

 f   x dx
4

0

3.

C. I

5.

D. I

1.

Lời giải
Chọn A

 f   x dx .
4

Xét tích phân

0

Đặt x  t  x  t 2  dx  2tdt .
Đổi cận: Khi x  4  t  2 ; Khi x  0 thì t  0 .
4

Khi đó I   f 

 

2

x dx   2tf   t dt .

0

0

4
u  2t
du  2dt
Đặt 
. Ta có I   f 

 f   t  dt=dv  f  t   v
0

 

2

2

x dx   2tf   t  dt  2tf  t  0  2  f  t  dt
2

0

0

2

4f 2

2

f x dx

4.2 2.3

2.

0

Câu 16. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

và thỏa f  4  x   f  x  . Biết

3

 xf  x dx  5 .
1

3

Tính

 f  x dx .
1

A.

5
.
2

B.

7
.
2

C.
Lời giải

9
.
2

D.

11
.
2


Chọn A
3

3

1

1

Ta có 5   xf  x dx   xf  4  x dx.

Đặt t

4

Do đó

x 4 t
dx
dt
.
x 1; t 3
x 3; t 1

x

3

1

3

3

3

1

3

1

1

1

 xf  4  x dx    4  t  f  t dx    4  t  f t dx   4 f t dt   tf t dt
3

3

3

5
Suy ra 5   4 f  t dt  5  4  f  t dt  10   f  t dt  hay
2
1
1
1

3

5

 f  x dx  2 .
1

Câu 17. Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên 0;1 và thỏa mãn

1

 x  f   x   2 dx  f 1 . Giá
0

1

trị của I   f  x  dx bằng
0

A. 1 .

C. 1 .

B. 2 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn C

u  x
Đặt 
ta có
dv   f   x   2  dx



du  dx
.

v  f  x   2 x

1

1

Khi đó f 1   x  f   x   2 dx  x  f  x   2 x     f  x   2 x  dx  f 1  2  I  1 .
0
1

0

0

Suy ra I  1 .
1

Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên 0;1 thỏa mãn

x f

x

4 dx

f 1 . Giá trị

0
1

của I

f x dx bằng
0

A. 0.

B.

2.

C.

1.

D. 2.

Lời giải
Chọn B
Đặt

u
dv

x

f

x
1

4 dx

du

dx

v

f x

4x
1

Khi đó f 1   x  f   x   4 dx  x  f  x   4 x     f  x   4 x  dx  f 1  4  I  2 .
0
0

Suy ra I

2.

1

0

1

Câu 19. Cho hàm số f  x  liên tục trên

1 f

x

thỏa

x dx

10 và 2 f 1

f 0

D. I

8.

2f 1

f 0

2 . Tính

0
1

f x dx .

I
0

8.

B. I

12 .

A. I

C. I

12 .

Lời giải
Chọn D
Đặt

u

1

x

dv

f

du

x dx

v

dx
f x

.

1

x

Khi đó

1 f

x dx

10

1 f x

x

1

1

f x dx

0

0

10

I

10 .

0

8.

Suy ra I

thỏa f  2   16;

Câu 20. Biết rằng hàm số y  f ( x) liên tục trên

2


0

A. I  13 .

1

f  x  dx  4. Tính I   xf   2 x  dx
0

C. I  20 .

B. I  12 .

D. I  7 .

Lời giải
Chọn D
du  dx
u  x


Đặt 

1
v  f  2x 

dv  f   2 x  dx 

2
1

Ta có: I   xf   2 x  dx 
0

1

1

Đặt t  2 x  dt  2dx  A   f  2 x  dx 
0

Vậy I  8 

Câu 21. Cho

1

1

1
1
1
xf  2 x    f  2 x  dx  8  A với A   f  2 x  dx .
2
20
2
0
0
2

2

1

1
f  t  dt   f  x  dx 2.

20
20

1
A  7.
2

hàm

số

f  x

liên

tục

tr n

0;1

đoạn

thỏa

mãn

1

f  x   2 f 1  x   3x 2  6x, x  0;1 . Tính I   f 1  x 2  dx
0

A. I 

4
.
15

B. I  1 .

C. I  

2
.
15

D. I 

Lời giải
Chọn C
Đặt t  1  x, x 0;1  t 0;1 .
Ta có f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x  f  x   2 f 1  x   3 1  x   3
2

 f 1  t   2 f  t   3t 2  3  2 f  x   f 1  x   3x2  3

2

.
15

điều

kiện


Ta có hệ phương trình
 f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x
 f  x   2 f 1  x   3x 2  6 x


2
2
2 f  x   f 1  x   3x  3
4 f  x   2 f 1  x   6 x  6
 3 f  x   3x 2  6 x  6  f  x   x 2  2 x  2

Khi đó f 1  x 2   1  x 2   2 1  x 2   2  x 4  4 x 2  1
2

1

1

Suy ra I   f 1  x  dx    x 4  4 x 2  1 dx  
2

0

0

2
.
15

 x 1
Câu 22. Cho hàm số y  f  x  liên tục với mọi x  1 thỏa mãn f 
  x  3, x  1. Tính
 x 1 
e 1

I

 f  x  dx .
2

A. I  4e 1.

B. I  e  2 .

C. I  4e  2 .

D. I  e  3 .

Lời giải
Chọn C
Đặt t 

x 1
t 1
t 1
2
2
 xt  t  x  1  x 
3 4
, suy ra f  t  
hay f  x   4 
x 1
t 1
t 1
t 1
x 1
e 1

Ta có I 



2 

  4  x  1  dx   4 x  2ln x  1 

e 1
2

 4e  2 .

2

1
Câu 23. Cho hàm số y  f  x  liên tục với mọi x  0 thỏa mãn f  x   2 f    3x, x  0 . Tính
x
2

I

f  x

1
2

A. I 

x

dx .

3
.
2

B. I 

9
.
2

C. I 

Lời giải

Chọn A
1
f  x   2 f    3x, x  0 1 .
x
3
1
Nên f    2 f  x   , x  0  2  .
x
x



1  3
 
 x  x

1 ,  2   3  f  x   f 


1
1
 f  x   f    x   3 .
x
 x

 2  ,  3  f  x    x 

2

.
x

1
.
2

D. I 

4
.
3


2

I 

1
2

f  x
x

2
2 
2
3



dx    1  2  dx    x   1 
x
2
x 

1
2
2

2