268 bài tập bồi dưỡng hsg toán 9

WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

PHẦN I: ĐỀ BÀI
1. Chứng minh 7 là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a+b
³ ab .
2

bc ca ab
+ +
³a+b+c
a
b
c

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a + b > a - b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị
nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

1
x - 4x + 9
2

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
a) 7 + 15 và 7
b)
c)

23 - 2 19
và
3

27

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn

d)

17 + 5 + 1 và
3 2 và

45

2 3

2 nhưng nhỏ hơn

3

19. Giải phương trình : 3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 - 2x - x 2 .
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

1
1
1
1
+
+ .... +
+ ... +
.
1.1998
2.1997
k(1998 - k + 1)
1998 - 1
1998

Hãy so sánh S và 2.
.
1999
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ.
21. Cho S =

23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

1

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

x y
+ ³2
y x
æ x 2 y2 ö æ x y ö
b) ç 2 + 2 ÷ - ç + ÷ ³ 0
x ø èy xø
èy
a)

æ x 4 y4 ö æ x 2 y2 ö æ x y ö
+ 4 ÷-ç 2 + 2 ÷+ç + ÷ ³ 2.
4
y

x ø èy
x ø èy xø
è

c) ç

24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :
a)

1+ 2

b) m +

3
với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
n

25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

æx yö
x 2 y2
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 4 ³ 3 ç + ÷ .
y
x
èy xø
27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng :

x 2 y2 z2 x y z
+ +
³ + + .

y2 z2 x 2 y z x

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
29. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) (a1 + a2 + ….. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + ….. + an2).
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
31. Chứng minh rằng : [ x ] + [ y ] £ [ x + y ] .

1
.
x - 6x + 17
x y z
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = + +
với x, y, z > 0.
y z x
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =

2

34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1.
36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu :

a
là số vô tỉ.
b
a
b) a + b và

là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
b
a) ab và

c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

a
b
c
d
+
+
+
³2
b+c c+d d+a a +b
39. Chứng minh rằng [ 2x ] bằng 2 [ x ] hoặc 2 [ x ] + 1
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :

40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n.
Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

A= x 2 - 3

B=

MAI TRỌNG MẬU

1
x 2 + 4x - 5

C=

1

D=

x - 2x - 1

1

E= x+

1- x2 - 3

2
+ -2x
x

G = 3x - 1 - 5x - 3 + x 2 + x + 1
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ?
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : M =

x 2 + 4x + 4 + x 2 - 6x + 9 .

4x 2 + 20x + 25 + x 2 - 8x + 16 = x 2 + 18x + 81

c) Giải phương trình :

43. Giải phương trình : 2x 2 - 8x - 3 x 2 - 4x - 5 = 12 .
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :

A = x2 + x + 2

E=

B=

1

G=

2x + 1 + x

45. Giải phương trình :

1
1 - 3x

C = 2 - 1 - 9x 2

x

+ x-2
x -4

1

D=

x 2 - 5x + 6

H = x 2 - 2x - 3 + 3 1 - x 2

2

x 2 - 3x
=0
x -3

46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =

x +x.
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B = 3 - x + x
3 +1
48. So sánh : a) a = 2 + 3 và b=
b) 5 - 13 + 4 3 và
2
c) n + 2 - n + 1 và n+1 - n (n là số nguyên dương)

3 -1

49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : A = 1 - 1 - 6x + 9x 2 + (3x - 1) 2 .

50. Tính : a)

4-2 3

b)

11 + 6 2

d) A = m 2 + 8m + 16 + m 2 - 8m + 16

c)

27 - 10 2

e) B = n + 2 n - 1 + n - 2 n - 1 (n

≥ 1)
51. Rút gọn biểu thức : M =

8 41
45 + 4 41 + 45 - 4 41

.

52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x - y) 2 + (y - 2)2 + (x + y + z) 2 = 0
53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 25x 2 - 20x + 4 + 25x 2 - 30x + 9 .
54. Giải các phương trình sau :

a) x 2 - x - 2 - x - 2 = 0
d) x - x 4 - 2x 2 + 1 = 1

b) x 2 - 1 + 1 = x 2
e) x 2 + 4x + 4 + x - 4 = 0

h) x 2 - 2x + 1 + x 2 - 6x + 9 = 1
k) x + 3 - 4 x - 1 + x + 8 - 6 x - 1 = 1

3

c) x 2 - x + x 2 + x - 2 = 0
g) x - 2 + x - 3 = -5

i) x + 5 + 2 - x = x 2 - 25
l) 8x + 1 + 3x - 5 = 7x + 4 + 2x - 2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR:

x 2 + y2
³2 2.
x-y

56. Rút gọn các biểu thức :

a) 13 + 30 2 + 9 + 4 2

b) m + 2 m - 1 + m - 2 m - 1

c) 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 - 2 + 2 + 3
2+ 3 =

57. Chứng minh rằng

58. Rút gọn các biểu thức :

a) C =

6+2

(

d) 227 - 30 2 + 123 + 22 2

6
2
+
.
2
2

)

6 + 3 + 2 - 6-2

(

6- 3+ 2

)

9-6 2 - 6
.
3

b) D =

2

59. So sánh :

a)

6 + 20 và 1+ 6

b)

17 + 12 2 và

2 +1

c)

28 - 16 3 và 3 - 2

60. Cho biểu thức : A = x - x 2 - 4x + 4
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : a)

c)

11 - 2 10

b)

9 - 2 14

3 + 11 + 6 2 - 5 + 2 6
2 + 6 + 2 5 - 7 + 2 10

62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức :
63. Giải bất phương trình :

1 1 1
1 1 1
+ 2+ 2 = + +
2
a
b
c
a b c

x 2 - 16x + 60 < x - 6 .

64. Tìm x sao cho : x 2 - 3 + 3 £ x 2 .
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2 , biết rằng :
x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (1)
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa:

a) A =

1
x - 2x - 1

67. Cho biểu thức : A =

16 - x 2
b) B =
+ x 2 - 8x + 8 .
2x + 1

x + x 2 - 2x
x - x - 2x
2

-

x - x 2 - 2x
x + x - 2x
2

.

a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999....9 (20 chữ số 9)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5
70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1
71. Trong hai số : n + n + 2 và 2 n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?

4

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

72. Cho biểu thức A = 7 + 4 3 + 7 - 4 3 . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 - 5)( 2 - 3 + 5)(- 2 + 3 + 5)
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

3+ 5 ;

3- 2 ; 2 2 +3

75. Hãy so sánh hai số : a = 3 3 - 3 và b=2 2 - 1 ;
76. So sánh

2 + 5 và

5 +1
2

4 + 7 - 4 - 7 - 2 và số 0.
2+ 3+ 6+ 8+4
.
2+ 3+ 4

77. Rút gọn biểu thức : Q =

78. Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai
79. Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng : x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1 .
80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A = 1 - x + 1 + x .
81. Tìm giá trị lớn nhất của : M =

(

a+ b

)

2

với a, b > 0 và a + b ≤ 1.

82. CMR trong các số 2b + c - 2 ad ; 2c + d - 2 ab ; 2d + a - 2 bc ; 2a + b - 2 cd có ít
nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
83. Rút gọn biểu thức : N = 4 6 + 8 3 + 4 2 + 18 .
84. Cho x + y + z = xy + yz + zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2…an = 1. Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n.
86. Chứng minh :

(

a+ b

)

2

³ 2 2(a + b) ab

(a, b ≥ 0).

87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các
đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác.

(x + 2) 2 - 8x
.
2
xx
2
a +2
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có :
³ 2 . Khi nào có đẳng thức ?
2
a +1
88. Rút gọn : a) A =

ab - b 2
a
b

b

b) B =

90. Tính : A = 3 + 5 + 3 - 5 bằng hai cách.
91. So sánh : a)
92. Tính : P =

3 7 +5 2
và 6,9
b)
5
2+ 3
2- 3
+
.
2 + 2+ 3
2 - 2- 3

13 - 12 và

7- 6

x + 2 + 3 2x - 5 + x - 2 - 2x - 5 = 2 2 .
1.3.5...(2n - 1)
1
94. Chứng minh rằng ta luôn có : Pn =
<
; "n Î Z+
2.4.6...2n

2n + 1
93. Giải phương trình :

5

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

a2
b2
a+ b£
+
.
b
a

95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì
96. Rút gọn biểu thức :

A=

x - 4(x - 1) + x + 4(x - 1) æ
1 ö
.ç1 ÷.
è x -1 ø
x 2 - 4(x - 1)

a b +b a
1
:
= a - b (a, b > 0 ; a ≠ b)
ab
a- b
æ 14 - 7
æ a + a öæ a - a ö
15 - 5 ö
1
b) ç
+
= -2
c) ç 1 +
÷:
÷ç 1 ÷ = 1 - a (a >
1- 3 ø 7 - 5
a + 1 øè
a -1 ø
è 1- 2
è

97. Chứng minh các đẳng thức sau : a)

0).

5 - 3 - 29 - 6 20

98. Tính : a)

æ
c) ç
è

; b) 2 3 + 5 - 13 + 48 .

ö
28 - 16 3 ÷ . 7 + 48 .
ø
99. So sánh : a) 3 + 5 và 15
b) 2 + 15 và 12 + 7
16
c) 18 + 19 và 9
d)
và 5. 25
2
7 + 48 -

100. Cho hằng đẳng thức :

a± b =

a + a2 - b
a - a2 - b
±
(a, b > 0 và a2 – b > 0).
2
2

Áp dụng kết quả để rút gọn :

a)

c)

2+ 3
2 + 2+ 3

+

2- 3
2 - 2- 3

; b)

3- 2 2
17 - 12 2

-

3+ 2 2
17 + 12 2

2 10 + 30 - 2 2 - 6
2
:
2 10 - 2 2
3 -1

101. Xác định giá trị các biểu thức sau :

a) A =

b) B =

xy - x 2 - 1. y 2 - 1
xy + x 2 - 1. y 2 - 1

a + bx + a - bx
a + bx - a - bx

với x =
với x =

1æ
1ö
ça + ÷ , y =
2è
aø

1æ
1ö
ç b + ÷ (a > 1 ; b > 1)
2è
bø

2am
, m < 1.
b (1 + m 2 )

2x - x 2 - 1
102. Cho biểu thức P(x) =
3x 2 - 4x + 1
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
103. Cho biểu thức A =

6

x+2-4 x -2 + x +2+4 x -2
.
4 4
- +1
x2 x

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên.
104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:

a) 9 - x 2
e) 1 - 2 1 - 3x

b) x - x (x > 0)

c) 1 + 2 - x

g) 2x 2 - 2x + 5

105. Rút gọn biểu thức : A =

h) 1 - - x 2 + 2x + 5

x + 2x - 1 - x - 2x - 1 , bằng ba cách ?
5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3

106. Rút gọn các biểu thức sau : a)

b)

4 + 10 + 2 5 + 4 - 10 + 2 5

c)

107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥

(

)

a)

a + b ± a - b = 2 a ± a2 - b

b)

a + a2 - b
a - a2 - b
a± b =
±
2
2

108. Rút gọn biểu thức : A =
109. Tìm x và y sao cho :

d) x - 5 - 4
1
i)
2x - x + 3

94 - 42 5 - 94 + 42 5 .

b

x + 2 2x - 4 + x - 2 2x - 4

x+y-2 = x + y - 2

110. Chứng minh bất đẳng thức :

a 2 + b2 + c2 + d 2 ³

(a + c)

2

+ (b + d) .
2

a2
b2
c2
a+b+c
111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh :
+
+
³
.
b+c c+a a +b
2
112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh :

a)

a + 1 + b + 1 + c + 1 < 3,5

113. CM :

(a

2

+ c 2 )( b 2 + c2 ) +

b)

(a

2

a +b + b+c + c+a £ 6 .

+ d 2 )( b 2 + d 2 ) ³ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 0.

114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x + x .
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A =

(x + a)(x + b)
.
x

116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 - x .
118. Giải phương trình :

x - 1 - 5x - 1 = 3x - 2

119. Giải phương trình :

x + 2 x -1 + x - 2 x -1 = 2

120. Giải phương trình : 3x 2 + 21x + 18 + 2 x 2 + 7x + 7 = 2

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 14 = 4 - 2x - x 2
122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 - 2
;
2 2+ 3
121. Giải phương trình :

123. Chứng minh x - 2 + 4 - x £ 2 .
124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :

a 2 + b 2 . b 2 + c 2 ³ b(a + c)

7

với a, b, c > 0.

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

125. Chứng minh (a + b)(c + d) ³ ac + bd với a, b, c, d > 0.
126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các
đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác.

(a + b)2 a + b
127. Chứng minh
+

³ a b + b a với a, b ≥ 0.
2
4
a
b
c
128. Chứng minh
+
+
> 2 với a, b, c > 0.
b+c
a+c
a+b
129. Cho x 1 - y 2 + y 1 - x 2 = 1 . Chứng minh rằng x2 + y2 = 1.
130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x - 2 x -1 + x + 2 x -1

131. Tìm GTNN, GTLN của A = 1 - x + 1 + x .
132. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x 2 + 1 + x 2 - 2x + 5

133. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = - x 2 + 4x + 12 - - x 2 + 2x + 3 .
134. Tìm GTNN, GTLN của : a) A = 2x + 5 - x 2

(

b) A = x 99 + 101 - x 2

135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

)

a b
+ = 1 (a và b là hằng số dương).
x y

136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1.

xy yz zx
+ +
với x, y, z > 0 , x + y + z = 1.
z
x
y
x2
y2
z2
138. Tìm GTNN của A =
+
+
biết x, y, z > 0 , xy + yz + zx = 1 .
x+y y+z z+x
137. Tìm GTNN của A =

139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) A =
b) B =

(

a+ b

) (
4

+

a+ c

) (
4

+

(

a+ b

a+ d

)

2

với a, b > 0 , a + b ≤ 1

) (
4

+

b+ c

) (
4

+

b+ d

) (
4

+

c+ d

)

4

với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1.
140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3x + 3y với x + y = 4.

b
c
+
với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0.
c+d a+b

141. Tìm GTNN của A =

142. Giải các phương trình sau :

a) x 2 - 5x - 2 3x + 12 = 0
d) x - 1 - x + 1 = 2

b) x 2 - 4x = 8 x - 1

e) x - 2 x - 1 - x - 1 = 1

h) x + 2 - 4 x - 2 + x + 7 - 6 x - 2 = 1

k) 1 - x 2 - x = x - 1

m) x 2 + 6 = x - 2 x 2 - 1
o) x - 1 + x + 3 + 2

8

c) 4x + 1 - 3x + 4 = 1
g) x + 2x - 1 + x - 2x - 1 = 2
i) x + x + 1 - x = 1

l) 2x 2 + 8x + 6 + x 2 - 1 = 2x + 2

n) x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5

( x - 1) ( x 2 - 3x + 5) = 4 - 2x

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

p) 2x + 3 + x + 2 + 2x + 2 - x + 2 = 1 + 2 x + 2 .

q) 2x 2 - 9x + 4 + 3 2x - 1 = 2x 2 + 21x - 11

(

143. Rút gọn biểu thức : A = 2 2 - 5 + 3 2

)(

144. Chứng minh rằng, "n Î Z+ , ta luôn có : 1 +
145. Trục căn thức ở mẫu : a)

1
1+ 2 + 5

)

18 - 20 + 2 2 .

(

)

1
1
1
+
+ .... +
> 2 n +1 -1 .
2
3
n
1
b)
.
x + x +1

146. Tính :

5 - 3 - 29 - 6 20

a)

(

147. Cho a = 3 - 5 . 3 + 5
148. Cho b =

a)
c)

(

3- 2 2
17 - 12 2

-

b) 6 + 2 5 - 13 + 48

)(

)

17 + 12 2

149. Giải các phương trình sau :

)

(5 - x )

5 - x + ( x - 3) x - 3
5- x + x -3

b)
=2

5 - 3 - 29 - 12 5

10 - 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.

3+ 2 2

3 -1 x - x + 4 - 3 = 0

c)

(

. b có phải là số tự nhiên không ?

)

3 -1 x = 2

(

)

3 +1 x - 3 3

d) x + x - 5 = 5

150. Tính giá trị của biểu thức :

M = 12 5 - 29 + 25 + 4 21 - 12 5 + 29 - 25 - 4 21
1
1
1
1

+
+
+ ... +
.
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n -1 + n
1
1
1
1
152. Cho biểu thức : P =
+
- ... +
2- 3
3- 4
4- 5
2n - 2n + 1
151. Rút gọn : A =

a) Rút gọn P.

b) P có phải là số hữu tỉ không ?

1
1
1
1
+

+
+ ... +
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
100 99 + 99 100
1
1
1
154. Chứng minh : 1 +
+
+ ... +
> n.
2
3
n
155. Cho a = 17 - 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000.
156. Chứng minh : a - a - 1 < a - 2 - a - 3 (a ≥ 3)
1
157. Chứng minh : x 2 - x + > 0 (x ≥ 0)
2
158. Tìm giá trị lớn nhất của S = x - 1 + y - 2 , biết x + y = 4.
153. Tính : A =

159. Tính giá trị của biểu thức sau với a =

9

3
1 + 2a
1 - 2a

: A=
+
.
4
1 + 1 + 2a 1 - 1 - 2a

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

160. Chứng minh các đẳng thức sau :

(

)( 10 - 6 ) 4 - 15 = 2
5 ( 3 + 5 )( 10 - 2 ) = 8 d)

a) 4 + 15

c) 3 -

b) 4 2 + 2 6 =

7 + 48 =

2
2

(

2

(

)

3 +1

)

3 + 1 e) 17 - 4 9 + 4 5 = 5 - 2

161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :

5+ 5 5- 5
+
- 10 < 0
5- 5 5+ 5
æ
ö
5 +1
5 - 1 öæ
1
c) ç
+
+ 2 ÷ 0, 2 - 1,01 > 0
֍ 3 - 4

3
è 1 + 5 + 3 1 + 3 - 5 øè
ø
2 + 3 -1
2- 3æ
3
3 ö 1
d)
+
+
+ 3- 2 > 0
ç
÷2+ 6
2 6 è 2- 6 2+ 6 ø
2
27 + 6 > 48

a)

2+2

e)
h)

(

3+

b)

2 -1 +
5+

2 -2

)

7 -

(

2 - 1 > 1,9

)

3+ 5+ 7 <3

g)
i)

17 + 12 2 - 2 > 3 - 1
2 + 2 + 3 2- 2
< 0,8
4

1
< 2 n - 2 n - 1 . Từ đó suy ra:
n
1
1

1
2004 < 1 +
+
+ ... +
< 2005
2
3
1006009
2+ 3+ 4
3
163. Trục căn thức ở mẫu : a)
b)
.
2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 3 2 + 3 4
3+ 2
3- 2
164. Cho x =
và y=
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
3- 2
3+ 2
2002
2003
165. Chứng minh bất đẳng thức sau :
+
> 2002 + 2003 .
2003
2002
x 2 - 3xy + y 2

166. Tính giá trị của biểu thức : A =
với x = 3 + 5 và y = 3 - 5 .
x+y+2
6x - 3
167. Giải phương trình :
= 3 + 2 x - x2 .
x - 1- x
162. Chứng minh rằng : 2 n + 1 - 2 n <

168. Giải bất các pt :
a) 3 3 + 5x ³ 72

b)

1
10x - 14 ³ 1 c) 2 + 2 2 + 2x ³ 4 .
4

169. Rút gọn các biểu thức sau :

a) A = 5 - 3 - 29 - 12 5

c) C =

10

x + 3 + 2 x2 - 9
2x - 6 + x 2 - 9

b) B = 1 - a + a(a - 1) + a

d) D =

a -1
a

x 2 + 5x + 6 + x 9 - x 2
3x - x 2 + (x + 2) 9 - x 2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

1
1
1
1
+
- ... 1- 2
2- 3
3- 4
24 - 25
1
170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =
.
2 - 3 - x2
2

1
171. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
+
với 0 < x < 1.
1- x x
172. Tìm GTLN của : a) A = x - 1 + y - 2 biết x + y = 4 ;
E=

b) B =

y-2
x -1
+
x
y

173. Cho a = 1997 - 1996 ; b = 1998 - 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
174. Tìm GTNN, GTLN của :

a) A =

1
5+2 6-x

175. Tìm giá trị lớn nhất của
176. Tìm giá trị lớn nhất của
177. Tìm GTNN, GTLN của
178. Tìm GTNN, GTLN của
179. Giải phương trình :

2

b) B = - x 2 + 2x + 4 .

A = x 1- x2 .
A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
A = x x + y y biết
x + y = 1.

1 - x + x 2 - 3x + 2 + (x - 2)

x -1
= 3.
x-2

180. Giải phương trình : x 2 + 2x - 9 = 6 + 4x + 2x 2 .

1
1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1

1
1
182. Cho A =
+
+
+ ... +
. Hãy so sánh A và 1,999.
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1
183. Cho 3 số x, y và x + y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số
181. CMR, "n Î Z+ , ta có :

hữu tỉ

3+ 2
- 2 6 ; b = 3 + 2 2 + 6 - 4 2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
3- 2
æ 2+ a
a - 2 ö a a + a - a -1
185. Rút gọn biểu thức : P = ç
÷.
a
è a + 2 a +1 a -1 ø
184. Cho a =

(a >0 ; a ≠ 1)

æ a +1

öæ
a -1
1 ö
+ 4 a ÷ç a ÷ = 4a .
a +1
aø
è a -1
øè

186. Chứng minh : ç

187. Rút gọn :

11

( x + 2)

- 8x
2
xx

(a > 0 ; a ≠ 1)

2

(0 < x < 2)

www.MATHVN.com

WWW.MATHVN.COM

ổ

MAI TRNG MU

b - ab ử ổ
a
b
a+bử
+
ữ:ỗ
ữ
a + b ứ ố ab + b
ab - a
ab ứ

188. Rỳt gn : ỗ a +

ố

(

189. Gii bt phng trỡnh : 2 x + x + a
2

2

)Ê

5a 2

(a 0)

x2 + a2
ộổ 1 - a a
ửổ 1 + a a
ửự
190. Cho A = (1 - a 2 ) : ờỗ
+ a ữỗ
- a ữỳ + 1
ờởố 1 - a
ứố 1 + a
ứ ỳỷ
a) Rỳt gn biu thc A.

b) Tớnh giỏ tr ca A vi a = 9.

c) Vi giỏ tr no ca a thỡ | A | = A.
191. Cho biu thc : B =

a + b -1
a- bổ
b
b ử
+
+
ỗ
ữ.
a + ab

2 ab ố a - ab a + ab ứ
b) Tớnh giỏ tr ca B nu a = 6 + 2 5 .

a) Rỳt gn biu thc B.
c) So sỏnh B vi -1.

ổ

192. Cho A = ỗ

1

a+b ử
ử ổ
:
1
+
ỗ
ữ
ữ
a + a+b ứ ố
a-b ứ
1

+

ố a - a-b

a) Rỳt gn biu thc A.
b) Tỡm b bit | A | = -A.

c) Tớnh giỏ tr ca A khi a = 5 + 4 2 ; b = 2 + 6 2 .

ổ a +1
ửổ
a -1
1 ử
+ 4 a ữỗ a ữ
a +1
aứ
ố a -1
ứố

193. Cho biu thc A = ỗ
a) Rỳt gn biu thc A.

b) Tỡm giỏ tr ca A nu a =

6
2+ 6

c) Tỡm giỏ tr ca a

.

A > A.

ổ a
1 ửổ a - a a + a ử
ữỗ
ữ.

2
2
a
a
+
1
a
1
ố
ứố
ứ

194. Cho biu thc A = ỗ
a) Rỳt gn biu thc A.

b) Tỡm giỏ tr ca A A = - 4

ổ 1+ a
1- a
+
1+ a
ố 1- a

195. Thc hin phộp tớnh : A = ỗ
196. Thc hin phộp tớnh : B =

2+ 3
2 + 2+ 3

+

ử ổ 1+ a
1- a ử
ữ:ỗ
ữ
1+ a ứ
ứ ố 1- a
2- 3
2 - 2- 3

197. Rỳt gn cỏc biu thc sau :

ộ
x - y ờổ 1 1 ử
1
a) A =
: ỗ + ữ.
+
ờ
xy xy
ố x y ứ x + y + 2 xy
ởờ

(

ự
ổ 1
1 ửỳ
.
+

ữ
3 ỗ
ỗ
y ữứ ỳ
x+ y ố x
ỷỳ
2

)

vi x = 2 - 3 ; y = 2 + 3 .
b) B =

12

x + x 2 - y2 - x - x 2 - y2
2(x - y)

vi x > y > 0

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

c) C =

MAI TRNG MU

2a 1 + x 2

1+ x2 - x

(a

`d) D = (a + b) e) E =

vi x =
2

1 ổ 1- a
a ử
ỗ
ữ
2ố a
1- a ứ

+ 1)( b 2 + 1)

x + 2 x -1 + x - 2 x -1
x + 2x - 1 + x - 2x - 1
x+

0
vi a, b, c > 0 v ab + bc + ca = 1

c2 + 1

198. Chng minh :

;

. 2x - 1

x2 - 4
+
x

x-

x2 - 4
=
x

2x + 4
x

vi x 2.

-1 + 2
-1 - 2
,b=
. Tớnh a7 + b7.
2
2
200. Cho a = 2 - 1
a) Vit a2 ; a3 di dng m - m - 1 , trong ú m l s t nhiờn.
199. Cho a =

`

b) Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n, s an vit c di dng trờn.
201. Cho bit x = 2 l mt nghim ca phng trỡnh x3 + ax2 + bx + c = 0 vi cỏc h s
hu t. Tỡm cỏc nghim cũn li.
202. Chng minh 2 n - 3 <
203. Tỡm phn nguyờn ca s

1
1
1
+
+ ... +
< 2 n - 2 vi nẻ N ; n 2.
2
3
n

6 + 6 + ... + 6 + 6

204. Cho a = 2 + 3. Tớnh a)
205. Cho 3 s x, y,

ộởa 2 ựỷ

b)

(cú 100 du cn).

ộởa 3 ựỷ .

x + y l s hu t. Chng minh rng mi s

x , y u l s hu

t

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
207. Cho 25 s t nhiờn a1 , a2 , a3 , a25 tha k :
+
+
+ ... +
=9.
a1
a2
a3
a 25

206. CMR, "n 1 , n ẻ N :

Chng minh rng trong 25 s t nhiờn ú tn ti 2 s bng nhau.
208. Gii phng trỡnh

2+ x
2 + 2+ x

209. Gii v bin lun vi tham s a

+

2- x

= 2.

2 - 2- x
1+ x + 1- x
= a.
1+ x - 1- x

ỡ x (1 + y ) = 2y
ùù
210. Gii h phng trỡnh ớ y (1 + z ) = 2z
ù
ùợ z (1 + x ) = 2x
211. Chng minh rng :

13

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRNG MU

(8 + 3 7 ) cú 7 ch s 9 lin sau du phy.
b) S ( 7 + 4 3 ) cú mi ch s 9 lin sau du phy.
7

a) S

10

n nht (n ẻ N*), vớ d :
1 = 1 ị a1 = 1 ;
2 ằ 1, 4 ị a 2 = 1 ;
3 ằ 1,7 ị a 3 = 2 ;
1 1 1
1
Tớnh :
+ + + ... +
.
a1 a 2 a 3
a1980
212. Kớ hiu an l s nguyờn gn

a) a n = 2 + 2 + ... + 2 + 2

213. Tỡm phn nguyờn ca cỏc s (cú n du cn) :
b) a n = 4 + 4 + ... + 4 + 4

4 = 2 ị a4 = 2

c) a n = 1996 + 1996 + ... + 1996 + 1996

214. Tỡm phn nguyờn ca A vi n ẻ N : A = 4n 2 + 16n 2 + 8n + 3
215. Chng minh rng khi vit s x =

(

3+ 2

)

200

di dng thp phõn, ta c ch s lin

trc du phy l 1, ch s lin sau du phy l 9.
216. Tỡm ch s tn cựng ca phn nguyờn ca

(

3+ 2

)

250

.

217. Tớnh tng A = ộ 1 ự + ộ 2 ự + ộ 3 ự + ... + ộ 24 ự

ở

ỷ ở

ỷ ở

ỷ

ở

ỷ

2

218. Tỡm giỏ tr ln nht ca A = x (3 x) vi x 0.
219. Gii phng trỡnh : a) 3 x + 1 + 3 7 - x = 2

x - 2 + x +1 = 3 .
220. Cú tn ti cỏc s hu t dng a, b khụng nu : a) a + b = 2 b) a + b = 4 2 .
221. Chng minh cỏc s sau l s vụ t : a) 3 5
b) 3 2 + 3 4
a+b+c 3
222. Chng minh bt ng thc Cauchy vi 3 s khụng õm :
abc .
3

a
b
c
d
1
223. Cho a, b, c, d > 0. Bit
+
+
+
Ê 1 . Chng minh rng : abcd Ê .
1+ a 1+ b 1+ c 1+ d
81
2
2
2
x
y
z
x y z
224. Chng minh bt ng thc : 2 + 2 + 2 + +
vi x, y, z > 0
y
z
x
y z x
b)

3

225. Cho a = 3 3 + 3 3 + 3 3 - 3 3 ; b = 2 3 3 . Chng minh rng : a < b.

n

ổ 1ử
226. a) Chng minh vi mi s nguyờn dng n, ta cú : ỗ1 + ữ < 3 .
ố nứ
b) Chng minh rng trong cỏc s cú dng n n (n l s t nhiờn), s 3 3 cú giỏ tr ln nht
227. Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x 2 + x + 1 + x 2 - x + 1 .
228. Tỡm giỏ tr nh nht ca A = x2(2 x) bit x 4.
229. Tỡm giỏ tr ln nht ca A = x 2 9 - x 2 .
230. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca A = x(x2 6) bit 0 x 3.
231. Mt ming bỡa hỡnh vuụng cú cnh 3 dm. mi gúc ca hỡnh vuụng ln, ngi ta ct i
mt hỡnh vuụng nh ri gp bỡa c mt cỏi hp hỡnh hp ch nht khụng np. Tớnh cnh
hỡnh vuụng nh th tớch ca hp l ln nht.

14

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

232. Giải các phương trình sau :

a) 1 + 3 x - 16 = 3 x + 3
c)

3

b)

x + 1 + 3 x - 1 = 3 5x

3

2 - x + x -1 = 1

d) 2 3 2x - 1 = x 3 + 1

x 3 - 3x - ( x 2 - 1) x 2 - 4

h)

3

(x + 1) 2 + 3 (x - 1) 2 + 3 x 2 - 1 = 1

k)

4

1- x2 + 4 1+ x + 4 1- x = 3

2

7- x - 3 x -5
g) 3
= 6-x
7- x + 3 x -5

3

= 2- 3

e)

3

i)
l)

4

3

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0

a - x + 4 b - x = 4 a + b - 2x (a, b là

tham số)
3

233. Rút gọn A =

a 4 + 3 a 2 b2 + 3 b4
3

a 2 + 3 ab + 3 b 2

.

234. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 - x + 1 + x 2 + x + 1
235. Xác định các số nguyên a, b sao cho một trong các nghiệm của phương trình :
3x3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 + 3 .
236. Chứng minh

3

3 là số vô tỉ.

237. Làm phép tính : a)

3

1 + 2 .6 3 - 2 2

b)

6

9 + 4 5. 3 2 - 5 .

238. Tính : a = 3 20 + 14 2 + 3 20 - 14 2 .

7 + 5 2 + 3 7 - 2 5 = 2.

239. Chứng minh :

3

240. Tính : A =

7 + 48 - 4 28 - 16 3 . 4 7 + 48 .

(

4

)

241. Hãy lập phương trình f(x) = 0 với hệ số nguyên có một nghiệm là : x = 3 3 + 3 9 .

1

242. Tính giá trị của biểu thức : M = x3 + 3x – 14 với x = 3 7 + 5 2 3

243. Giải các phương trình : a)

b)

3

3

7+5 2

.

x + 2 + 25 - x = 3 .
3

x - 9 = (x - 3) 2 + 6

244. Tìm GTNN của biểu thức : A =

c)

(

x 2 + 32 - 2 4 x 2 + 32 = 3

)

)

(

x3 + 2 1 + x3 + 1 + x3 + 2 1 - x3 + 1 .

245. Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh : a + b + c + d ≥ 4 4 abcd .

8-x
246. Rút gọn : P =
2- 3 x

3
æ
x2
:ç2+
ç

2+ 3 x
è

ö æ3
2 3 x öæ 3 x2 - 4
÷+ç x + 3
÷ çç 3 2
÷
x
2
è
øè x + 2 x
ø

ö
÷;
÷
ø

Voi x > 0 , x ≠ 8
247. CMR : x = 3 5 - 17 + 3 5 + 17 là nghiệm của phương trình x3 – 6x – 10 = 0.

1

248. Cho x =
3

15

4 - 15

+ 3 4 - 15 . Tính giá trị biểu thức y = x3 – 3x + 1987.

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

a + 2 + 5.

249. Chứng minh đẳng thức :
3

9-4 5

= - 3 a -1.

2 - 5 .3 9 + 4 5 - 3 a 2 + 3 a
æ3
ö
9 + 4 5 + 3 2 + 5 ÷ . 3 5 - 2 - 2,1 < 0 .
è
ø

250. Chứng minh bất đẳng thức : ç
251. Rút gọn các biểu thức sau :

æ

ö ç 1+ 23 1
a + a b + b
4b
b
÷ .ç
a) A =
3
÷
3 2
1
3
a + 3 ab + 3 b 2
b + 2 ÷ ç 1 - 2.
3
ç
ø
b
è
æ a 3 a - 2a 3 b + 3 a 2 b 2 3 a 2 b - 3 ab 2 ö 1
c) C = ç
+ 3
÷. 2 .
3
3 2
3
ç
÷ 3a
a
b
a

ab
è
ø
3

4

252. Cho M =

3

2

2

3

4

æ
b
b) ç
ç b +8
ç
è

(

)

ö
÷ 24
÷÷ b +8
÷
ø

x 2 - 4a + 9 + x 2 - 4x + 8 . Tính giá trị của biểu thức M biết rằng:
x 2 - 4x + 9 - x 2 - 4x + 8 = 2 .

253. Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = x 2 - 2ax + a 2 + x 2 - 2bx + b 2 (a < b)
254. Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì :
abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
255. Tìm giá trị của biểu thức | x – y | biết x + y = 2 và xy = -1
256. Biết a – b = 2 + 1 , b – c = 2 - 1, tìm giá trị của biểu thức :
A = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca.
257. Tìm x, y, z biết rằng : x + y + z + 4 = 2 x - 2 + 4 y - 3 + 6 z - 5 .
258. Cho y =
số.

x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1 . CMR, nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì giá trị của y là một hằng

259. Phân tích thành nhân tử : M = 7 x - 1 - x 3 - x 2 + x - 1

(x ≥ 1).

260. Trong tất cả các hình chữ nhật có đường chéo bằng 8 2 , hãy tìm hình chữ nhật có diện
tích lớn nhất.
261. Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. Chứng minh
rằng ta luôn có : c ³

a+b
.
2

262. Cho các số dương a, b, c, a’, b’, c’. Chứng minh rằng :
Nếu

aa' + bb ' + cc ' = (a + b + c)(a '+ b '+ c ') thì

a b c
= =
.
a' b ' c '

263. Giải phương trình : | x2 – 1 | + | x2 – 4 | = 3.
264. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào x, y :

C=

x+y
x+ y
x+y ö 2 x y
÷
x+y
x + y ÷ø
1

æ
çç
è

( x + y)
4xy

4

với x > 0 ; y > 0.

265. Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a:

16

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

æ 2+ a
a - 2 ö a a + a - a -1
D=ç
với a > 0 ; a ≠ 1
÷
a
è a + 2 a +1 a -1 ø
æ
c - ac ö
1
266. Cho biểu thức B = ç a +

.
÷a
c
a
+
c
a
+
c
è
ø
+
ac + c
ac - a
ac
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của biểu thức B khi c = 54 ; a = 24
c) Với giá trị nào của a và c để B > 0 ; B < 0.

æ

267. Cho biểu thức : A= ç m+

è

2mn
2mn ö
1
+ m1+ 2
2

2 ÷
1+n
1+ n ø
n

a) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
268. Rút gọn

với m ≥ 0 ; n ≥ 1

b) Tìm giá trị của A với m = 56 + 24 5 .

æ
öæ 1
1+ x
1- x
1- x ö
x
D=ç
-1 ֍
÷
2
x ø1- x + 1- x2
1 - x 2 - 1 + x øè x
è 1+ x - 1- x
æ 1
ö æ 2 xö
2 x
269. Cho P = ç

÷ : ç1 ÷ với x ≥ 0 ; x ≠ 1.
è x -1 x x + x - x -1 ø è x +1 ø
a) Rút gọn biểu thức P.
270. Xét biểu thức y =

b) Tìm x sao cho P < 0.

x + x
2x + x
+1.
x - x +1
x
2

a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b) Giả sử x > 1. Chứng minh rằng : y - | y | = 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y ?

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI
m
m2
1. Giả sử 7 là số hữu tỉ Þ 7 =
(tối giản). Suy ra 7 = 2 hay 7n 2 = m 2 (1). Đẳng thức
n
n
2
này chứng tỏ m M 7 mà 7 là số nguyên tố nên m M 7. Đặt m = 7k (k Î Z), ta có m2 = 49k2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 M 7 và vì 7 là số nguyên tố
m
nên n M 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số

không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7
n
không phải là số hữu tỉ; do đó 7 là số vô tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) Þ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 Û x = y = 1.

17

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) Û 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S Û S ≥ 2. Þ mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương

bc
ca bc
ab ca
ab
và
;
và
;
và
,

a
b a
c b
c

ta lần lượt có:

bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
ca ab
+ ³2
. = 2c;
+
³2
. = 2b ; +
³2
. = 2a cộng từng
a
b
a b
a
c
a c
b
c
b c
vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

3a + 5b
³ 3a.5b .
2
12
12
Û (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) Û 122 ≥ 60P Û P ≤
Þ max P =
.
5
5
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :

Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 Û a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ .
Vậy min M = ¼ Û a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x Þ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | Û a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
Û 4ab > 0 Û ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều
dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

é 2x - 3 = 1 - x

11. a) 2x - 3 = 1 - x Û ê
Û
ë 2x - 3 = x - 1

é3x = 4
êx = 2 Û
ë

4
é
êx = 3
ê
ëx = 2

b) x2 – 4x ≤ 5 Û (x – 2)2 ≤ 33 Û | x – 2 | ≤ 3 Û -3 ≤ x – 2 ≤ 3 Û -1 ≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 Û (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có thể : 2x – 1 = 0
Vậy : x = ½ .
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của
(1) với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 Þ M ≥ 1998.

ìa + b - 2 = 0
ï
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : ía - 1 = 0
Vậy min M = 1998 Û a = b = 1.
ïb - 1 = 0
î
14. Giải tương tự bài 13.
15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.

16. A =

18

1
1
1
1
=
£ . max A= Û x = 2 .
2
x - 4x + 9 ( x - 2 ) + 5 5
5
2

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

7 + 15 < 9 + 16 = 3 + 4 = 7 . Vậy 7 + 15 < 7
b) 17 + 5 + 1 > 16 + 4 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 = 49 > 45 .
23 - 2 19 23 - 2 16 23 - 2.4
c)
<
=
= 5 = 25 < 27 .
3

3
3
17. a)

d) Giả sử

3 2> 2 3 Û

(

) (
2

3 2

>

2 3

Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên :
18. Các số đó có thể là 1,42 và

)

2

Û 3 2 > 2 3 Û 18 > 12 Û 18 > 12 .

3 2 > 2 3.

2+ 3
2

19. Viết lại phương trình dưới dạng : 3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1)2 + 16 = 6 - (x + 1) 2 .
Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy
ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.

a+b
æa+bö
ab £
viết lại dưới dạng ab £ ç
÷ (*) (a, b ≥ 0).
2
è 2 ø
2

20. Bất đẳng thức Cauchy

Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được :

æ 2x + xy ö
2x.xy £ ç
÷ =4
è 2 ø
2

Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2. Þ max A = 2 Û x = 2, y = 2.
21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng :

1

2
1998
>
. Áp dụng ta có S > 2.
.
1999
ab a + b

22. Chứng minh như bài 1.

x y
x 2 + y 2 - 2xy (x - y) 2
x y
+ -2=
=
³ 0 . Vậy + ³ 2
y x
xy
xy
y x
2
2
2
2
æx
y ö æx yö æx
y ö æx yö æx yö
b) Ta có : A = ç 2 + 2 ÷ - ç + ÷ = ç 2 + 2 ÷ - 2 ç + ÷ + ç + ÷ . Theo câu a :
x ø èy xø èy
x ø èy xø èy xø

èy
23. a)

2

æ x 2 y2 ö æ x y ö
æx ö æy ö
A ³ ç 2 + 2 ÷ - 2 ç + ÷ + 2 = ç - 1÷ + ç - 1÷ ³ 0
x ø èy xø
èy ø èx ø
èy
æ x 4 y4 ö æ x 2 y2 ö
x y
c) Từ câu b suy ra : ç 4 + 4 ÷ - ç 2 + 2 ÷ ³ 0 . Vì
+ ³ 2 (câu a). Do đó :
y
x
y
x
y
x
è
ø è
ø
2

æ x 4 y4 ö æ x 2 y2 ö æ x y ö
ç 4 + 4 ÷-ç 2 + 2 ÷+ç + ÷ ³ 2.
x ø èy
x ø èy xø

èy
24. a) Giả sử

1 + 2 = m (m : số hữu tỉ) Þ

b) Giả sử m +

3
= a (a : số hữu tỉ) Þ
n

tỉ, vô lí.
25. Có, chẳng hạn

19

2 = m2 – 1 Þ

3
=a–m Þ
n

2 là số hữu tỉ (vô lí)

3 = n(a – m) Þ

3 là số hữu

2 + (5 - 2) = 5

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

26. Đặt

MAI TRỌNG MẬU

x y
x 2 y2
x 2 y2
+ = a Þ 2 + 2 + 2 = a 2 . Dễ dàng chứng minh 2 + 2 ³ 2 nên a2 ≥ 4, do đó
y x
y
x
y
x

| a | ≥ 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – 2 + 4 ≥ 3a
Û a2 – 3a + 2 ≥ 0 Û (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2. Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng. Nếu a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. Bài
toán được chứng minh.
27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

x 4 z 2 + y 4 x 2 + z 4 x 2 - ( x 2 z + y 2 x + z 2 y ) xyz
x 2 y2 z2

³ 0.

Cần chứng minh tử không âm, tức là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1)
Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x à y à z à x nên có thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai
trường hợp :
a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với :
x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0
Û z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0
Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng.
b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với :
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0
Û z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0
Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.
Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
2

æx ö æy ö æz ö æx y zö
ç - 1÷ + ç - 1÷ + ç - 1÷ + ç + + ÷ ³ 3 .
èy ø èz ø èx ø èy z xø
2

2

28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c. Ta có
: b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết.
Vậy c phải là số vô tỉ.
29. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Þ (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
c) Tương tự như câu b
30. Giả sử a + b > 2 Þ (a + b)3 > 8 Û a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 Û 2 + 3ab(a + b) > 8
Þ ab(a + b) > 2 Þ ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2

Þ (a – b)2 < 0, vô lí. Vậy a + b ≤ 2.
31. Cách 1: Ta có : [ x ] ≤ x ; [ y] ≤ y nên [ x ] + [ y] ≤ x + y. Suy ra [ x ] + [ y] là số nguyên
không vượt quá x + y (1). Theo định nghĩa phần nguyên, [ x + y ] là số nguyên lớn nhất không
vượt quá x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra :
Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên :

[ x ] + [ y] ≤ [ x + y ] .
0 ≤ x - [ x ] < 1 ; 0 ≤ y - [ y] < 1.

Suy ra : 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 2. Xét hai trường hợp :
-

20

Nếu 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 1 thì

[ x + y] = [ x ] + [ y] (1)
Nếu 1 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – ( [ x ] + [ y] + 1) < 1 nên
[ x + y] = [ x ] + [ y] + 1 (2). Trong cả hai trường hợp ta đều có : [ x ] + [ y] ≤ [ x + y]

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , suy ra A > 0 do
đó : A lớn nhất Û
Vậy max A =

1
nhỏ nhất Û x2 – 6x + 17 nhỏ nhất.
A

1
Û x = 3.
8

33. Không được dùng phép hoán vị vòng quanh x à y à z à x và giả sử x ≥ y ≥ z.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :

A=

x y z
x y z
+ + ³ 33 . . = 3
y z x
y z x

æx y zö
x y z
+ + ÷=3 Û = = Ûx = y=z
y z x
èy z xø
x y z æx yö æy z yö
x y
Cách 2 : Ta có : + + = ç + ÷ + ç + - ÷ . Ta đã có + ³ 2 (do x, y > 0) nên
y z x èy xø èz x xø
y x

x y z
y z y
để chứng minh + + ³ 3 ta chỉ cần chứng minh : + - ³ 1 (1)
y z x
z x x
Do đó min ç

(1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
Û xy + z – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá
2

trị nhỏ nhất của

x y z
+ + .
y z x

34. Ta có x + y = 4 Þ x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại có (x – y)2 ≥ 0 Þ x2 – 2xy + y2 ≥ 0. Từ đó suy
ra 2(x2 + y2) ≥ 16 Þ x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz
(1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x + y)(y + z)(z + x)

(2)

æ2ö
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. A Þ A ≤ ç ÷
è9ø

3
1
æ2ö
max A = ç ÷ khi và chỉ khi x = y = z = .
3
è9ø

3

3

36. a) Có thể. b, c) Không thể.
37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).

1
4
³
với x, y > 0 :
xy (x + y) 2
a
c
a 2 + ad + bc + c 2 4(a 2 + ad + bc + c 2 )
+
=
³
(1)
b+c d+a
(b + c)(a + d)
(a + b + c + d) 2
b

d
4(b 2 + ab + cd + d 2 )
Tương tự
+
³
(2)
c+d a+b
(a + b + c + d) 2
a
b
c
d
4(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ad + bc + ab + cd)
Cộng (1) với (2)
+
+
+
³
= 4B
b+c c+d d+a a +b
(a + b + c + d)2

38. Áp dụng bất đẳng thức

21

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

Cần chứng minh B ≥

MAI TRỌNG MẬU

1
, bất đẳng thức này tương đương với :
2

2B ≥ 1 Û 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2
Û a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 Û (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng.
39. - Nếu 0 ≤ x - [ x ] < ½ thì 0 ≤ 2x - 2 [ x ] < 1 nên [ 2x ] = 2 [ x ] .

- Nếu ½ ≤ x - [ x ] < 1 thì 1 ≤ 2x - 2 [ x ] < 2 Þ 0 ≤ 2x – (2 [ x ] + 1) < 1 Þ [ 2x ] = 2 [ x ] + 1
40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho :
96 000...00
1
424
3 ≤ a + 15p < 97000...00
1
424
3
m chöõ soá 0

m chöõ soá 0

a
15p
+ m < 97 (1). Gọi a + 15 là số có k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k
m

10
10
1
a
15
a 15p
15
Þ
£ k + k < 1 (2). Đặt x n = k + k . Theo (2) ta có x1 < 1 và k < 1.
10 10 10
10 10
10
Tức là 96 ≤

Cho n nhận lần lượt các giá trị 2, 3, 4, …, các giá trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng không quá 1
đơn vị, khi đó [ x n ] sẽ trải qua các giá trị 1, 2, 3, … Đến một lúc nào đó ta có éë x p ùû = 96. Khi đó
96 ≤ xp < 97 tức là 96 ≤

a 15p
+
< 97. Bất đẳng thức (1) được chứng minh.
10 k 10 k

42. a) Do hai vế của bất đẳng thức không âm nên ta có :
| A + B | ≤ | A | + | B | Û | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2
Û
A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | Û AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng)
Dấu “ = “ xảy ra khi AB ≥ 0.
b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5.
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 Û -2 ≤ x ≤ 3 (lập bảng xét dấu)

Vậy min M = 5 Û -2 ≤ x ≤ 3.
c) Phương trình đã cho Û | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |
Û (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 Û -5/2 ≤ x ≤ 4

é x £ -1

43. Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0 Û ê
ëx ³ 5

Đặt ẩn phụ x 2 - 4x - 5 = y ³ 0 , ta được : 2y2 – 3y – 2 = 0 Û (y – 2)(2y + 1) = 0.
45. Vô nghiệm
46. Điều kiện tồn tại của x là x ≥ 0. Do đó : A = x + x ≥ 0 Þ min A = 0 Û x = 0.

3 - x = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x Þ x = 3 – y2.
13
13
13
11
B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 +
≤
. max B =
Û y=½ Û x=
.
4
4
4
4

47. Điều kiện : x ≤ 3. Đặt

48. a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b.
b)

5 - 13 + 4 3 = 5 - (2 3 + 1) = 4 - 2 3 = 3 - 1 . Vậy hai số này bằng nhau.

c) Ta có :

(

n + 2 - n +1

)(

)

n + 2 + n + 1 = 1 và

(

n+1 - n

)(

)

n + 1 + n = 1.

Mà n + 2 + n + 1 > n + 1 + n nên n+2 - n + 1 < n + 1 - n .
49. A = 1 - | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾ .
Từ đó suy ra : min A = ¾ Û x = ½ hoặc x = 1/6

51. M = 4

22

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

52. x = 1 ; y = 2 ; z = -3.
53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 Û

2
3
£x£ .
5
5

54. Cần nhớ cách giải một số phương trình dạng sau :

ìA ³ 0 (B ³ 0)
a) A = B Û í
îA = B
ìB ³ 0
ï
d) A = B Û í é A = B
ïêA = -B
îë

b)

ìB ³ 0
A = BÛ í
2
îA = B

ìA = 0
c) A + B = 0 Û í
îB = 0

ìA = 0
e) A + B = 0 Û í
.
îB = 0

A = B.
b) Đưa phương trình về dạng : A = B .
c) Phương trình có dạng : A + B = 0 .
d) Đưa phương trình về dạng : A = B .
a) Đưa phương trình về dạng :

e) Đưa phương trình về dạng : | A | + | B | = 0
g, h, i) Phương trình vô nghiệm.
k) Đặt x - 1 = y ≥ 0, đưa phương trình về dạng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét dấu vế trái.
l) Đặt :

8x + 1 = u ³ 0 ; 3x - 5 = v ³ 0 ; 7x + 4 = z ³ 0 ; 2x - 2 = t ³ 0 .

ìu + v = z + t

Ta được hệ : í

2
2
2
2
îu - v = z - t

8x + 1 = 7x + 4 Û x = 3 .

. Từ đó suy ra : u = z tức là :

55. Cách 1 : Xét

x 2 + y 2 - 2 2(x - y) = x 2 + y 2 - 2 2(x - y) + 2 - 2xy = (x - y - 2)2 ³ 0 .
x 2 + y2 )
(
x 2 + y2
Cách 2 : Biến đổi tương đương
³2 2Û
³ 8 Û (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0
2
x-y
( x - y)
2

Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 Û (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.
Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy :

x 2 + y 2 x 2 + y 2 - 2xy + 2xy (x - y) 2 + 2.1
2
1
=
=
= (x - y) +
³ 2 (x - y).
x-y
x-y
x-y
x-y
x-y

(x >

y).

6+ 2
6- 2
- 6+ 2
- 6- 2
;y=
hoặc x =
;y=
2
2
2
2
2

1 1 1
1
1 ö 1 1 1 2(c + b + a
æ1 1 1ö
æ 1
62. ç + + ÷ = 2 + 2 + 2 + 2 ç
+ + ÷= 2 + 2 + 2 +
=
a
b c
b
c
abc
èa b cø
è ab bc ca ø a
1 1 1
= 2 + 2 + 2 . Suy ra điều phải chứng minh.
a
b
c
ìéx £ 6
ì x 2 - 16x + 60 ³ 0
ì(x - 6)(x - 10) ³ 0
ï
63. Điều kiện : í
Ûí
Û í êë x ³ 10 Û x ³ 10 .
îx ³ 6
îx - 6 ³ 0
ïx ³ 6

î
Dấu đẳng thức xảy ra khi x =

23

www.MATHVN.com


WWW.MATHVN.COM

MAI TRỌNG MẬU

Bình phương hai vế : x2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 Û x > 6.
Nghiệm của bất phương trình đã cho : x ≥ 10.

x 2 - 3 ≤ x2 – 3 (1)

64. Điều kiện x2 ≥ 3. Chuyển vế :
Đặt thừa chung :

2

x - 3 .(1 -

éx2 - 3 = 0
x -3) ≤ 0 Û ê
Û
êë1 - x 2 - 3 £ 0
2

éx = ± 3
ê
êx ³ 2
ê x £ -2
ë

Vậy nghiệm của bất phương trình : x = ± 3 ; x ≥ 2 ; x ≤ -2.
65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Û (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = - x2 ≤ 0.
Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 Û (A – 1)(A – 3) ≤ 0 Û 1 ≤ A ≤ 3.
min A = 1 Û x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 Û x = 0, khi đó y = ± 3 .
66. a) ½ ≤ x ≠ 1.
b) B có nghĩa Û

ì
ï -4 £ x £ 4
ï
ïéx £ 4 - 2 2
1
Û - < x £ 4-2 2 .
íê
2
ï êë x ³ 4 + 2 2
ï
ïx > - 1
î
2
2
ìï x - 2x ³ 0
ìx(x - 2) ³ 0
éx ³ 2

67. a) A có nghĩa Û í
Ûí 2
Û
ê
2
2
ëx < 0
îx ¹ x - 2x
ïî x ¹ ± x - 2x
ì
2
ï -4 £ x £ 4
ì16 - x ³ 0
ï
ï
Û í(x - 4)2 ³ 8 Û
í2x + 1 > 0
ï x 2 - 8x + 8 ³ 0
ï
1
î
ïx > î
2

b) A = 2 x 2 - 2x với điều kiện trên.

x 2 - 2x < 1 Û x2 – 2x < 1 Û (x – 1)2 < 2 Û - 2 < x – 1 < 2 Þ kq
68. Đặt 0,999...99
1
424

3 = a. Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của a là các chữ số
c) A < 2 Û

20 chöõ soá 9

a < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1 Þ a(a – 1) < 0 Þ a2
– a < 0 Þ a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < a < 1.
Vậy 0,999...99
1
424
3 = 0,999...99
1
424
3.
9. Muốn vậy chỉ cần chứng minh a <

20 chöõ soá 9

20 chöõ soá 9

69. a) Tìm giá trị lớn nhất. Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |.
A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 Þ max A = 6 + 2 (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b .
A ≥ | x | - 2 | y | - 1 = 4 - 2 Þ min A = 4 - 2 (khi chẳng hạn x = 2, y = 3)
70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
Mặt khác, dễ dàng chứng minh được : Nếu a + b + c = 1 thì a2 + b2 + c2 ≥
Do đó từ giả thiết suy ra : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥

24

1
3

1
.
3

(2).

www.MATHVN.com