Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Vấn đề 5

TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Tiệm cận ngang: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; ),
(  ;b) hoặc (; )).
Đường thẳng y   là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x ) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x )  , lim f (x )  .
x 

x 

Nhận xét:
 Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta cần tính giới hạn của hàm số tại vơ cực.
P(x )
 Tìm giới hạn ở vơ cực của hàm y 
; với P (x ), Q(x ) là các đa thức không căn:
Q(x )
 Bậc của P(x ) nhỏ hơn bậc của Q(x )  lim y  0  Tiệm cận ngang Ox : y  0.
x 

 Bậc của P(x ) bằng bậc của Q(x )  lim y 
x 

HƯ sè x bËc cao cđa P( x )
 .
HƯ sè x bËc cao cđa Q( x )

Suy ra tiệm cận ngang y  .

 Bậc của P(x ) lớn hơn bậc của Q(x )  lim y    Khơng có tiệm cận ngang.
x 

 Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):
 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  1010.
x 

 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  1010.
x 

 Tiệm cận ngang: Đường thẳng x  x  được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của
đồ thị hàm số y  f (x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x )  , lim f (x )  , lim f (x )  , lim f (x )  .

x  x 

x x

x x 

x x 

Nhận xét:
 Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tính giới hạn một bên của x  , với x  thường là điều
y

kiện biên của hàm số (hay tại x  thì hàm số không xác định).

Tiệ
m

cận
đứn
g

 Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):
 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   109.
x x 



 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   109.
x x 

Tiệm cận ngang

2 O

y
2

2x  1
x 2
x

 Một số lưu ý cần nhớ



TCN : y  a
ax  b

(c  0, ad  bc  0) có 

 Hàm số nhất biến y 

c

cx  d

TCD : cx  d  0



 Kiểm tra xem hàm số đã cho đã “Chuẩn thức hay chưa”, nếu chưa chuẩn thức (còn tồn tại nghiệm mẫu
và tử trùng nhau) ta nên chuẩn thức. Nếu gặp đa thức sẽ phân tích thành tích số, gặp căn thức sẽ
nhân lượng liên hợp.
 Tìm tiệm cận đứng (tại vị trí hàm số khơng xác định), kết quả giới hạn phải ra  hoặc .
Tìm tiệm cận ngang (tại vị trí ), kết quả sẽ ra một số cụ thể.
Hãy nhớ điều này để giải quyết những bài toán cho dạng bảng biến thiên, mà câu hỏi hỏi đúng, sai?

Facebook Nguyễn Vương Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. TÌM TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ (thông qua bảng biến thiên – đồ thị)
Câu 1.

CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Câu 2.

Đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng là a và tổng số đường tiệm cận ngang là b . Khi đó
2a  b bằng
A. 4 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 2 .
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Câu 3.

Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Câu 4.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

D. 2 .

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 5.

Cho hàm số y  f  x  

ax  3
có bảng biến thiên như sau
2x  b

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Giá trị a  2b bằng?
A. 8
Câu 6.

B. 6

C. 0

Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .

Câu 7.

D. 2 .

Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
Câu 9.

D. 2 .

Cho hàmsố f ( x) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
Câu 8.

D. 10

D. 2 .

Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên R \ 4 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
Câu 10. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

D. 2 .

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
Câu 11. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

D. 2 .

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
Câu 12. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên

D. 2 .

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x ) là
A. 3 .

B. 1.
C. 2 .
Câu 13. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

D. 0

Khẳng định nào sao đây sai?
A. Đồ thị hàm có tiệm cận ngang y  3
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  2 .
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y  3 và một tiệm cận đứng x  2 .
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  3 và y  4
Câu 14. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D   \ 1, 1 , có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 15. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D   \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng
biến thiên như hình vẽ bên dưới. Phát biểu nào sao đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và một trong các đường tiệm
cận ngang là đường thẳng y  3 .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

B. Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng và có hai tiệm cận ngang là đường thẳng
y  3 và y  5 .
C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng, khơng có tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng x  1 và hai tiệm cận đứng là đường thẳng
y  3 và y  5 .
Câu 16. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D   \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng
biến

thiên

như

hình

vẽ

bên

dưới.

Phát biểu nào sao đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x  0 và x  2 tiệm cận ngang là đường
thẳng y  2 .
B. Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng và có một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x  0 và tiệm cận ngang là đường thẳng
y 2.
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng x  0 và hai tiệm cận đứng là đường thẳng
y  2 và y  3 .
Câu 17. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 2; 2 và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
A. Đồ thị hàm số có đúng 4 tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận.

C. Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận.
Câu 18. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như hình sau:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

D. 4 .

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

2020
là
f  x
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

Đồ thị hàm số y 
A. 0 .

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
2 f  x  5
B. 4 .

C. 2 .

D. 1.

Câu 21. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 0.

B. 1.

C. 2.

1
là
2 f  x 1
D. 3.

Câu 22. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y 
A. 1 .

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

2 f  x  3
B. 2 .
C. 0 .

D. 2 .

Câu 23. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y 
A. 0 .

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
2 f  x  5
B. 1.
C. 2 .

D. 4 .

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Câu 24. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên nhưsau:

Đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng là a và tổng số đường tiệm cận ngang là b . Khi
2a 2  b3
đó giá trị của biểu thức 2 2 thuộc khoảng nào sau đây?
a b
A.  0; 4 .

B.  6;  4  .
C.  2;0  .
D.  4;  2  .
Câu 25. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số g  x  

x2 1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
f 2  x  4 f  x

A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
B. TÌM TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ (thông qua hàm số)

D. 1.

CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2 .

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 6.

Câu 7.

C. x  1 .

B. y  1 .

B. I  1;1 .

B. 1.

A. 2

B. 3

D. x  2 .

x2
là
x 1

C. I 1; 1 .

D. I  1; 1 .

x2
là
x 1
C. 2 .

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
x 2  3x  2
x2
A. y 
B. y  2
C. y 
x 1
x 1
Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y 

D. x  2020 .

x2
là
x 1

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. 0 .

D. x  2 .

x  2020
là
x  2019
C. x  2019 .

Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. I 1;1 .

Câu 5.

B. y  1 .

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. y  2 .

C. x  1 .

B. y  1 .

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2019 .

x2
là
x 1

x 2  5x  4
.
x2 1
C. 0

D. 3.

x2  1

D. y 

x

x 1

D. 1

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 8.

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y 
B. 3

A. 2
Câu 9.

x 2  3x  4
x 2  16
C. 1

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 0

5 x 2  4 x 1
là
x 2 1
D. 3.

ax 2  bx  2
. Biết rằng đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang
x2  4
là y  1 và một đường tiệm cận đứng là x  2 . Khi đó giá trị của biểu thức b  a bằng?
A. 2
B.  4
C.  2
D. 4

Câu 10. Cho hàm số y  f  x  

Câu 11. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. 1
Câu 12. Đồ thị hàm số f  x  
A. 4 .

B. 2
x 1
x2  1
B. 3 .

C. 3

C. 1.

B. 2

Câu 14. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 3 .

là
x2  4
D. 4

có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

Câu 13. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 3

x x2

B. 2 .

D. 2 .

x  25  5
là
x2  x
C. 0

D. 1

x  16  4
là
x2  x

C. 1.

D. 0 .

2 x 1  x2  x  3
.
x 2  5x  6
C. x  3 và x  2 . D. x  3 .

Câu 15. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x  3 và x  2 .

B. x  3.

Câu 16. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 3 .

B. 0 .

x42
là
x2  x
C. 1.

Câu 17. Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 2 .
Câu 18. Cho hàm số y 
A. 4 .
Câu 19. Đồ thị hàm số y 
A. 2.

B. 3 .
x2  2 x  3
x 4  3x 2  2
B. 5 .

5x  8
x2  3x

x 1
.
4 3x  1  3 x  5
C. 1.

D. 2 .

D. 0 .

. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3 .

D. 6 .

có bao nhiêu đường tiệm cận?

B. 4.

C. 1.

D. 3.

4 x2  2 x 1  x
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x 1
A. 1.
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
C. ĐỊNH m ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ ĐƯỜNG TIỆM CẬN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO
TRƯỚC
Đường tiệm cận ngang
Câu 20. Đồ thị hàm số y 

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Cho hàm số y  f  x  có TXD: D
Điều kiện cần: D phải chứa  hoặc 
Điều kiện đủ:
P( x)
Dạng 1. y  f ( x) 
.
Q( x)
Nếu degP  x   degQ  x  : thì khơng có tiệm cận ngan
Nếu degP  x   degQ  x  : TCN y  0
Nếu degP  x   degQ  x  : y  k (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu)
Dạng 2: y  f ( x)  u  v (hoặc

u  v ): Nhân liên hợp  y  f ( x) 

u2  v
(hoặc
u v

uv
)
u v

Đường tiệm cận đứng
P  x
Cho hàm số y 
có TXD: D
Q  x
Đkiện cần: giải Q  x   0  x  x0 là TCĐ khi thỏa mãn đk đủ
Đkiện đủ:
Đkiện 1: x0 làm cho P( x) và Q ( x) xác định.
Đkiện 2: - x0 không phải nghiêm P( x)  x  x0 là TCĐ
- x0 là nghiêm P( x)  x  x0 là TCĐ nếu lim f ( x)  
x  x0

Câu 1.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y 

x 1
mx 2  1

có hai tiệm cận

ngang
A. m  0
B. m  0
C. m  0
D. Khơng có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài
Câu 2.

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y 
tiệm cận.
A. m  1

Câu 3.

B. m{1;4}

Câu 4.

Câu 5.

B. 2 .

D. m  {  1; 4}

C. m  4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y 
một đường tiệm cận?
A. 0 .

x2  m

có đúng hai đường
x 2  3x  2

6x  3
có đúng
 mx  6 x  39 x2  6mx  1
2

C. 1.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số y 

D. Vô số.
5x  3
khơng có tiệm cận
x  2mx  1
2

đứng.
 m  1
A. 
m  1

B. 1  m  1

Cho hàm số y  f  x  

x 1
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị có ba đường
x  2 mx  4

C. m  1

D. m  1

2

tiệm cận

Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. m  2

 m  2

B. 
5
 m   2

 m  2

 m  2
C.  
5

 m   2

 m  2
D. 
 m2

 n  3 x  n  2017

Câu 6.

Biết rằng đồ thị của hàm số y 

( m , n là các số thực) nhận trục hoành làm
xm3
tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m  n .
A. 0
B. 3
C. 3
D. 6

Câu 7.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y 

x 1
2

có đúng bốn

mx  8 x  2
đường tiệm cận?
A. 8

B. 6

C. 7

D. Vô số

Câu 8.

Với giá trị nào của hàm số m để đồ thị hàm số y  x  mx 2  3 x  7 có tiệm cạn ngang.
A. m  1
B. m  1
C. m  1
D. Không có m

Câu 9.

Cho hàm số y 

mx  1
với tham số m  0 . Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
x  2m
thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?
A. y  2 x .
B. 2 x  y  0 .
C. x  2 y  0 .
D. x  2 y  0 .

mx  2
có đúng 2 tiệm cận?

x2  4
A. m  1 .
B. m  1 .
C. m  1 .
D. m  0
m

1
x

5
m


Câu 11. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y 
có tiệm cận ngang là đường thẳng y  1
2x  m
1
A. m  1 .
B. m  .
C. m  2 .
D. m  1 .
2
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y 

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị nguyên m   10;10 sao cho đồ thị hàm số y 
đường tiệm cận đứng?
A. 19 .

B. 15 .

x 1
có hai
2x  6x  m  3
2

D. 18.

C. 17 .

Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y

mx 2  3mx  4
bằng 3?
x2

A. 4 .

B. 2 .

Câu 14. Tổng các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số y 
tiệm cận đứng.
1
A.  .
2

B. 2 .

D. 3 .

C. Vô số.

C. 3 .

x 1
có đúng một
x  2  m  1 x  m2  2
2

D.

3
.
2

x2  x  2
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y  2
có 3 đường tiệm cận.
x  2x  m
 m  1
 m  1
 m  1
.
A. 
.
B. 
.
C. 
D. m  8 .

m  8
m  8
m  8

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

x 3
Câu 16. Cho hàm số y  3
. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 6;6 của
2
x  3mx   2m 2  1 x  m

tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận?
B. 9 .
C. 8 .
A. 12 .
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y 
cận đứng.
A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 và m  0 .

D. 11 .
2 x 2  3x  m
khơng có tiệm
xm

D. m  0 .

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn   2017; 2017  để đồ thị hàm số

y

x2

x  4x  m
A. 2019 .
2

có hai tiệm cận đứng.
B. 2021 .

C. 2018 .

D. 2020 .

-------------------- HẾT --------------------

Facebook Nguyễn Vương 11


TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Vấn đề 5

TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Tiệm cận ngang: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; ),
(  ;b) hoặc (; )).
Đường thẳng y   là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f (x ) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x )  , lim f (x )  .
x 

x 

Nhận xét:
 Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta cần tính giới hạn của hàm số tại vơ cực.
P (x )
 Tìm giới hạn ở vơ cực của hàm y 
; với P (x ), Q(x ) là các đa thức không căn:
Q(x )
 Bậc của P(x ) nhỏ hơn bậc của Q(x )  lim y  0  Tiệm cận ngang Ox : y  0.
x 

 Bậc của P(x ) bằng bậc của Q(x )  lim y 
x 

HÖ sè x bËc cao cđa P( x )
 .
HƯ sè x bËc cao cđa Q( x )

Suy ra tiệm cận ngang y  .
 Bậc của P(x ) lớn hơn bậc của Q(x )  lim y    Khơng có tiệm cận ngang.
x 

 Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):

 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  1010.
x 

 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  1010.
x 

 Tiệm cận ngang: Đường thẳng x  x  được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ
thị hàm số y  f (x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f (x )  , lim f (x )  , lim f (x )  , lim f (x )  .

x  x 

x x

x x 

x x 

Nhận xét:

 Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tính giới hạn một bên của x  , với x  thường là điều kiện
y

biên của hàm số (hay tại x  thì hàm số khơng xác định).

Tiệ
m
cận
đứn
g

 Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):
 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   109.
x  x 

 Tính lim f (x ) thì nhập f (x ) và CALC x  x   109.
x x 

Tiệm cận ngang

2 O

y
2

2x  1
x 2
x

 Một số lưu ý cần nhớ



a

ax  b
TCN : y 

(c  0, ad  bc  0) có 


 Hàm số nhất biến y 
c

cx  d

TCD
:
cx

d

0



 Kiểm tra xem hàm số đã cho đã “Chuẩn thức hay chưa”, nếu chưa chuẩn thức (còn tồn tại nghiệm mẫu và
tử trùng nhau) ta nên chuẩn thức. Nếu gặp đa thức sẽ phân tích thành tích số, gặp căn thức sẽ nhân
lượng liên hợp.
 Tìm tiệm cận đứng (tại vị trí hàm số khơng xác định), kết quả giới hạn phải ra  hoặc .
Tìm tiệm cận ngang (tại vị trí ), kết quả sẽ ra một số cụ thể.
Hãy nhớ điều này để giải quyết những bài toán cho dạng bảng biến thiên, mà câu hỏi hỏi đúng, sai?

Facebook Nguyễn Vương Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. TÌM TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ (thông qua bảng biến thiên – đồ thị)
CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1.

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng là a và tổng số đường tiệm cận ngang là b . Khi đó
2a  b bằng
A. 4 .
B. 6 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị có hai tiệm cận đứng là x  1 , x  1 và hai tiệm cận ngang là
y  3 , y  3 . Suy ra a  2 và b  2 .
Vậy 2a  b  6 .
Câu 2.

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là
A. 3 .
B. 1 .
C. 4 .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có
lim y  1  y  1 là đường tiệm cận ngang.

D. 2 .

x 

lim y   ; lim y    x  1 là đường tiệm cận đứng.

x 1

x 1

lim y   ; lim y    x  1 là đường tiệm cận đứng.

x 1

x 1

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là 3.
Câu 3.

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3.
D. 4 .
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta có
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

lim y  0  y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x 

lim y  6  y  6 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x 

lim y    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x 1

lim y   ; lim y    x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 1

x 1

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận.
Câu 4.

Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn D
Từ bảng biến thiên ta có

lim y  2 ; lim y  1 do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y  2 ; y  1.
x 

x 

lim y   do đó đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là x  2 .

x  2

Vậy tổng số có 3 đường tiệm cận.
Câu 5.

Cho hàm số y  f  x  

Giá trị a  2b bằng?
A. 8

ax  3
có bảng biến thiên như sau
2x  b

B. 6

C. 0
Lời giải

D. 10

Chọn C
Đk: a.b  6  0  a.b  6

Từ BBT ta dễ dàng nhận thấy ĐTHS có TCN là: y  2
và tiệm cận đứng là: x  1
a
b
Suy ra  2  a  4 và  1  b  2 (TMĐK)
2
2
Vậy a  2b  4  2.2  0 .
Câu 6.

Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim f ( x )  2  y  2 là một tiệm cận ngang

D. 2 .

x 

lim f ( x )    x  1 là một tiệm cận đứng

x 1

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 2 .
Câu 7.

Cho hàmsố f ( x) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
Lời giải
Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim f ( x )  0  y  0 là một tiệm cận ngang

D. 2 .

x 

lim f ( x )  5  y  5 là một tiệm cận ngang

x 

lim f ( x )    x  1 là một tiệm cận đứng

x 1

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 3.
Câu 8.

Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
Lời giải
Chọn B
lim f ( x )    x  1 là một tiệm cận đứng

D. 2 .

x 1

lim f ( x )   nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang

x 

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận là 1.
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Câu 9.

Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên R \ 4 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên
như sau

Tổng số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
Lờigiải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
lim f ( x )  9  y  9 là một tiệm cận ngang

D. 2 .

x 

lim f ( x )    x  4 là một tiệm cận đứng

x  4

Vậy đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm là 2 .
Câu 10. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1.
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
lim y  0 nên đường thẳng y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

lim y  1 nên đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x 

lim y   nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x 2

lim y   nên đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x  2

Vậy hàm số đã cho có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 4. Chọn đáp án
Câu 11. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

A.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn B
lim y   và lim y  1 nên đường thẳng y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

x 

lim y  3 và lim y  10 nên đường thẳng x  1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x 1

x 1

Vậy hàm số đã cho có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 1. Chọn đáp án

B.

Câu 12. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x ) là
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .

D. 0

Lời giải
Chọn C
Quan sát bảng biến thiên ta có lim f  x   8 và lim f  x   10 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận
x  

x  

ngang y  8 , y  10 .
Câu 13. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Khẳng định nào sao đây sai?
A. Đồ thị hàm có tiệm cận ngang y  3
B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  2 .
C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y  3 và một tiệm cận đứng x  2 .
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  3 và y  4
Lời giải
Chọn D
Quan sát bảng biến thiên ta có lim f  x   3 và lim f  x    nên đồ thị hàm số có một tiệm cận
x 

x 

ngang y  3 ; lim f  x   4 và lim f  x    nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  2 .
x 0

x 0

Câu 14. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D   \ 1, 1 , có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hỏi
đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn C
Quan sát bảng biến thiên ta có lim f  x    và lim f  x   3 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận
x  

x 

ngang y  3 ; lim f  x    và lim f  x    ; lim f  x    nên đồ thị hàm số hai tiệm cận
x   1

x 1

x 1

đứng x  1 . Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng ba đường tiệm cận.

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Câu 15. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D   \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình vẽ bên dưới. Phát biểu nào sao đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là đường thẳng x  1 và một trong các đường tiệm cận
ngang là đường thẳng y  3 .
B. Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng và có hai tiệm cận ngang là đường thẳng y  3 và
y  5.
C. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận đứng, khơng có tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng x  1 và hai tiệm cận đứng là đường thẳng y  3
và y  5 .
Lời giải
Chọn A
Quan sát bảng biến thiên ta có lim f  x   5 và lim f  x   3 nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận
x 

x 

ngang y  3 và y  5 ; lim f  x    và lim f  x    nên đồ thị hàm số một tiệm cận đứng
x 1

x 1

x 1.
Câu 16. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D   \ 0 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên

như

hình

vẽ

bên

dưới.

Phát biểu nào sao đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x  0 và x  2 tiệm cận ngang là đường thẳng

y 2.
B. Đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng và có một tiệm cận ngang.
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x  0 và tiệm cận ngang là đường thẳng y  2 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng x  0 và hai tiệm cận đứng là đường thẳng y  2
và y  3 .
Lời giải
Chọn C
Quan sát bảng biến thiên ta có lim f  x    và lim f  x   2 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận
x 

x 

ngang y  2 ; lim f  x   3 và lim f  x    nên đồ thị hàm số một tiệm cận đứng x  0 .
x0

x0

Câu 17. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 2; 2 và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây.
A. Đồ thị hàm số có đúng 4 tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận.
C. Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận.
D. Đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận.
Lời giải

Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:
+ lim  f  x    , lim  f  x    nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x  2 .
x  2 

x  2

+ lim f  x    , lim f  x    nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x  2 .
x2

x 2

+ lim f  x   0 nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y  0 .
x 

+ lim f  x    nên đồ thị hàm số khơng có một tiệm cận ngang.
x 

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 18. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như hình sau:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B

Từ bảng biến thiên ta suy ra:
+ lim f  x    nên có đường thẳng x  2 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 2

+ lim f  x    nên có đường thẳng x  0 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 0

+ lim f  x   0 nên có đường thẳng y  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
x 

Do đó, đồ thị hàm số y  f  x  có ba tiệm cận.
Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 1.

B. 2 .

2020
là
f  x
C. 3 .

D. 4 .

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Lời giải

Chọn C
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

2018
là số nghiệm phương trình f  x   0 bằng số giao
f  x

điểm của đồ thị hàm số f  x  và trục hồnh. Nhìn bảng biến thiên ta có số giao điểm bằng 3 nên đồ
thị hàm số y 

2020
có 3 tiệm cận đứng.
f  x

Câu 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y 

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
2 f  x  5
B. 4 .

A. 0 .

C. 2 .

D. 1.

Lời giải

5
Ta có: 2 f  x   5  0  f  x   1 . Phương trình 1 có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4  1 và
2
1
giới hạn của hàm số y 
tại các điểm x1 , x2 , x3 , x4 đều bằng  .
2 f  x  5
Mặt khác lim
x 1

1
 0 nên x  1 không phải tiệm cận đứng.
2 f  x  5

Vậy đồ thị hàm số y 

1
có 4 đường tiệm cận đứng.
2 f  x  5

Câu 21. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. 0.

B. 1.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

2 f  x  1  0  f  x  

C. 2.
Lời giải

1
là
2 f  x  1
D. 3.

1
đúng bằng số nghiệm thực của phương trình
2 f  x  1

1
.
2
Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Mà số nghiệm thực của phương trình f  x  

1
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  với
2

1
đường thẳng y  .
2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y 
Vậy đồ thị hàm số y 

1
cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 2 điểm phân biệt.
2

1
có 2 tiệm cận đứng.
2 f  x  1

1
 1  đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y  1 .
x  2 f  x   1

Lại có lim

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

1
là 3 .
2 f  x 1

Câu 22. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau:

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
2 f  x  3
A. 1 .
B. 2 .

C. 0 .
D. 2 .
Lời giải
3
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình f  x    có hai nghiệm phân biệt a và b (với a  0 và
2
0  b 1.
1
Nên, tập xác định của hàm số y 
là  \ 1; a; b .
2 f  x  3
Ta có
1
lim
  ;
xa 2 f  x   3

Đồ thị hàm số y 

1
  ;
2 f  x  3
1
lim
0;
x 1 2 f  x   3
lim

x b

lim

x 1

1
0.
2 f  x  3

Do đó, đồ thị hàm số y 

1
có 2 đường tiệm cận đứng.
2 f  x  3

Câu 23. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau:

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Đồ thị hàm số y 
A. 0 .

1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
2 f  x  5
B. 1.
C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn D
5
1 .
2
Dựa vào BBT ta suy ra phương trình

Ta có 2 f  x   5  0  f  x  

1

có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 (với

x1  2  x2  1  x3  2  x4 ).
1
 g  x  có tử thức là hằng số nên ta suy ra đồ thị hàm số y  g  x 
Mặt khác hàm số y 
2 f  x  5
có 4 tiệm cận đứng.
Câu 24. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên nhưsau:

Đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng là a và tổng số đường tiệm cận ngang là b . Khi đó
2a 2  b3
giá trị của biểu thức 2 2 thuộc khoảng nào sau đây?
a b
A.  0; 4 .
B.  6;  4  .
C.  2;0  .
D.  4;  2  .

Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
lim f  x   1 suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  1 .
x 

lim f  x   3 suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y  3 .

x 

Suy ra tổng số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2  b  2 .
lim  f  x    suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  2 .
x  2 

Suy ra tổng số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 1  a  1.
Vậy ta có:

2a 2  b3 2.12  23
10
 2 2    3.333 .
2
2
a b
1 2
3

Câu 25. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Facebook Nguyễn Vương 11

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Hỏi đồ thị hàm số g  x  

x2 1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
f 2  x  4 f  x

B. 3 .

A. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1.

Chọn A
 f  x  0
Ta có: f 2  x   4 f  x   0  
.
 f  x   4
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
+ Xét trường hợp f  x   0 có 2 nghiệm x1  1 và x2  1 là nghiệm bội hai (do đồ thị tiếp
xúc với trục hoành tại x  1 ). Trường hợp này đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng.
+ Xét trường hợp f  x   4 có 2 nghiệm x3  1 và x4  1 là nghiệm bội hai (do đồ thị tiếp
xúc với đường thẳng y  4 tại x  1 ). Trường hợp này đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng.
B. TÌM TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ (thông qua hàm số)

CÂU HỎI CÙNG MỨC ĐỘ ĐỀ MINH HỌA
Câu 1.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2 .

x2
là
x 1
C. x  1 .
Lời giải

B. y  1 .

D. x  2 .

Chọn B

x2
x2
 1 và lim
1
x

x 1
x 1
Suy ra y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có lim

x 

Câu 2.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  2019 .

B. y  1 .

x  2020
là
x  2019
C. x  2019 .

D. x  2020 .

Lời giải
Chọn B
x  2020
x  2020
 1 và lim
1
x  x  2019
x  2019
Suy ra y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có lim

x 

Câu 3.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. y  2 .

x2
là
x 1

B. y  1 .

C. x  1 .
Lời giải

D. x  2 .

Chọn C
Ta có lim
x 1

x2
x2
  và lim
 
x 1 x  1
x 1

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Suy ra x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 4.

Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. I 1;1 .

B. I  1;1 .

C. I 1; 1 .

x2
là
x 1
D. I  1; 1 .

Lời giải
Chọn B

x2
x2
 1 và lim
1
x  x  1
x  x  1

Ta có lim

Suy ra y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x2

x2
  và lim
 
x 1 x  1
x 1 x  1
Suy ra x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là I  1;1 .
Ta có lim

Câu 5.

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
B. 1.

A. 0 .

x2
là
x 1

C. 2 .
Lời giải

D. 3.

Chọn B

x2
x2
 1 và lim

1
x

x 1
x 1
Suy ra y  1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có lim

x 

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang.
Câu 6.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
x 2  3x  2
x2
x
A. y 
B. y  2
C. y  x 2  1
D. y 
x 1
x 1
x 1
Lời giải
Chọn D
x
x
Ta có lim
 , lim

  nên đường thẳng x   1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 1 x  1
x 1 x  1

Câu 7.

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 2

B. 3

x 2  5x  4
.
x2 1
C. 0
Lời giải

D. 1

Chọn A
Tập xác định: D   \ 1
5 4
1  2
x2  5x  4
x x  1  y  1 là đường tiệm cận ngang.
Ta có: lim y  lim
 lim
x 
x 
x 

1
x2 1
1 2
x
Mặc khác:
 x  1 x  4   lim  x  4    3
x2  5x  4
lim y  lim
 lim
2
x

1
x 1
x 1
x 1
2
 x  1 x  1 x1  x  1
 x  1 không là đường tiệm cận đứng.
 x  1 x  4   lim  x  4   
x2  5x  4
lim  y  lim 
 lim
2
x

1
x   1
x   1
x 1

 x  1 x  1 x 1  x  1

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

lim  y  lim 

x   1

x   1

 x  1 x  4   lim  x  4   
x2  5x  4
 lim 
2

x   1  x  1 x  1
x   1  x  1
x 1

 x  1 là đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận
Câu 8.

Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y 
B. 3

A. 2

x 2  3x  4
x 2  16
C. 1
Lời giải

D. 0

Chọn C
Ta có y 
Câu 9.

x 2  3x  4 x  1
(với điều kiện xác định), do đó đồ thị hàm có 1 tiệm cận đứng.

x4
x 2  16

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. 0.

B. 1.

C. 2.
Lời giải

5 x 2  4 x 1
là
x 2 1
D. 3.

Chọn C
Tiệm cận ngang:
Ta có: lim y  lim
x

5x2  4 x  1
x2 1

x

4 1 

4 1
x2  5   2 
5  2
x x 
x x  5 nên đồ thị hàm số

 lim
 lim
1
1
x
x



1 2
x 2 1  2 

x
 x 

có một tiệm cận ngang y  5 .
Tiệm cận đứng:
x 1
Cho x 2  1  
 x  1
Ta có: lim y  lim
x1

x1

5x2  4x  1
2

x 1

 5 x  1 x  1  lim 5 x  1  6  3 nên
x 1  x  1 x  1
x1 x  1
2

 lim

x  1 không là tiệm cận

đứng.

 1 5x2  4 x  1 

5x2  4 x  1
5x2  4 x 1
lim  y  lim 

lim

lim
.

  


x  1 
x 1
x 1
x 1  x  1 x  1 x 1 
x2 1
 x 1
1

 
 xlim

  1 x  1
vì 
.
2
5
x


4
x

1
 lim
 4  0
 x 1
x 1
Khi đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x  1 .
Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
ax 2  bx  2
. Biết rằng đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang là
x2  4
y  1 và một đường tiệm cận đứng là x  2 . Khi đó giá trị của biểu thức b  a bằng?
A. 2
B.  4
C.  2
D. 4

Câu 10. Cho hàm số y  f  x  

Lời giải
Chọn A
ĐTHS có TCN là: y  1 . Suy ra

a
1 a 1
1

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />