Tuyển tập đề thi vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2019, 2020

TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10
CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2019-2020
(GI I CHI TI T)


1

TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRƢỜNG CHUYÊN MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2019-2020
MÔN TOÁN

LỜI NÓI ĐẦU

Để góp phần định hướng cho việc dạy - học ở các trường nhất là việc ôn tập, rèn
luyện kĩ năng cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục, nhằm nâng cao chất lượng các kì thi
tuyển sinh, sachhoc.com gi i thi u Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn
toán năm học 2019-2020 có đáp án chi tiết.
Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu được biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến
thức, kĩ năng của Bộ GDĐT, trong đó tập trung vào những kiến thức cơ bản, trọng tâm và
kĩ năng vận dụng, được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi dựa trên các đề thi năm 2019 các
trường chuyên trên cả nước. Mỗi đề thi đều có hướng dẫn giải chi tiết!
Hy vọng đây là Bộ tài liệu ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất
lượng dạy - học ở các trường THCS và kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 20202021 và những năm tiếp theo.
Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ của đội ngũ những người biên soạn,
song không thể tránh khỏi những hạn chế, sai sót. Mong được sự đóng góp của các thầy, cô
giáo và các em học sinh trong toàn tỉnh để Bộ tài liệu được hoàn chỉnh hơn.
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất trong các kỳ thi
sắp tới!

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


2

MỤC LỤC
Trang
Đề thi

Đáp án

1. Đề vào 10 Chuyên toán Nghệ An năm học 2019 -2020

4

52

2. Đề v|o 10 Chuyên to{n Nam Định năm học 2019 -2020

5

55

3. Đề v|o 10 Chuyên to{n Thanh Hóa năm học 2019 -2020

6

60

4. Đề v|o 10 Chuyên tin Thanh Hóa năm học 2019 -2020

7

64

5. Đề v|o 10 Chuyên to{n Đ| Nẵng năm học 2019 -2020

8

68

6. Đề v|o 10 Chuyên to{n Điện Biên năm học 2019 -2020

9

73

7. Đề v|o 10 Chuyên to{n Tuyên Quang năm học 2019 -2020

10

78

8. Đề v|o 10 Chuyên to{n Hƣng Yên năm học 2019 -2020

11

82

9. Đề vào 10 Chuyên toán Bình Thuận năm học 2019 -2020

12

85

10. Đề v|o 10 Chuyên to{n Phú Yên năm học 2019 -2020

13

88

11. Đề vào 10 Chuyên toán Hải Phòng năm học 2019 -2020

14

94

12. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ninh năm học 2019 -2020

15

98

13. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Nam năm học 2019 -2020

16

100

14. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Bình năm học 2019 -2020

17

107

15. Đề vào 10 Chuyên toán Phú Thọ năm học 2019 -2020

18

110

16. Đề vào 10 Chuyên toán Cần Thơ năm học 2019 -2020

19

113

17. Đề vào 10 Chuyên toán Thừa Thiên Huế năm học 2019 -2020

21

120

18. Đề v|o 10 Chuyên to{n Đăk Nông năm học 2019 -2020

22

125

19. Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ngãi năm học 2019 -2020

23

128

20. Đề v|o 10 Chuyên to{n T}y Ninh năm học 2019 -2020

24

133

21. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Định năm học 2019 -2020

25

136

22. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Phƣớc năm học 2019 -2020

26

141

23. Đề vào 10 Chuyên toán Bắc Ninh năm học 2019 -2020

27

145

24. Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Dƣơng năm học 2019 -2020

29

150

25. Đề v|o 10 Chuyên to{n Sơn La năm học 2019 -2020

30

154

26. Đề vào 10 Chuyên toán Tiền giang năm học 2019 -2020

31

161

27. Đề v|o 10 Chuyên to{n Kh{nh Hòa năm học 2019 -2020

32

164

28. Đề vào 10 Chuyên toán TP Hồ Chí Minh năm học 2019 -2020

33

168

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


3
29. Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020

34

172

30. Đề v|o 10 Chuyên to{n Gia Lai năm học 2019 -2020

36

177

31. Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020

37

184

32. Đề vào 10 Chuyên toán Vũng T|u năm học 2019 -2020

38

185

33. Đề vào 10 Chuyên toán Kon Tum năm học 2019 -2020

39

189

34. Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 1) năm học 2019 -2020

40

194

35. Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 2) năm học 2019 -2020

41

196

36. Đề vào 10 Chuyên toán An Giang năm học 2019 -2020

42

200

37. Đề vào 10 Chuyên toán Sƣ Phạm Hà Nội (vòng 1) 2019 -2020

43

204

38. Đề vào 10 Chuyên toán Hƣng Yên (vòng 2) 2019 -2020

44

207

39. Đề vào 10 Toán chung Kon Tum năm học 2019 -2020

45

210

40. Đề v|o 10 to{n chung Hƣng Yên năm học 2019-2020

46

212

41. Đề vào 10 toán chung Nam Định năm học 2019-2020

47

217

42. Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vòng 1) năm học 2019-2020

48

222

43. Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vòng 2) năm học 2019-2020

49

226

44. Đề vào 10 Chuyên Quảng Trị năm học 2019-2020

50

230

45. Đề vào 10 Chuyên toán Sƣ Phạm Hà Nội (vòng 2) 2019 -2020

51

232

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƢỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
TRƢỜNG THPT CHUYÊN – TRƢỜNG ĐH VINH

Năm học 2019-2020

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 1
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (6,0 điểm)
a) Giải phƣơng trình x3  x2  12 x x  1  20  0 .

( x  1)( xy  1)  6
.
b) Giải hệ phƣơng trình  2 2
x
(
y

y

1)

7

Câu 2. (3,0 điểm)
a) Cho đa thức P( x)  ax 2  bx  c  a   * thỏa mãn P  9   P  6   2019.
Chứng minh P 10   P  7  là một số lẻ.
b) Tìm các cặp số nguyên dƣơng  x; y  sao cho x 2 y  x  y chia hết cho

xy 2  y  1.
Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn abc  a  b  c  2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

1
a b
2

2



1
b c
2

2



1
c  a2
2

.

Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đƣờng tròn  O  . Gọi

E l| điểm nằm chính giữa của cung nhỏ BC . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho

EM  EC , đƣờng thẳng BM cắt đƣờng tròn  O  tại N ( N khác B ). C{c đƣờng

thẳng EA và EN cắt cạnh BC lần lƣợt tại D và F .
a) Chứng minh tam giác AEN đồng dạng với tam giác FED .
b) Chứng minh M là trực tâm của tam giác AEN .
c) Gọi I là trung điểm của AN , tia IM cắt đƣờng tròn  O  tại K . Chứng minh
đƣờng thẳng CM là tiếp tuyến của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BMK .
Câu 5 (2,0 điểm). Cho 12 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm n|o cũng l| đỉnh của
một tam giác mà mỗi tam gi{c đó luôn tồn tại ít nhất một cạnh có độ dài nhỏ hơn
673. Chứng minh rằng có ít nhất hai tam giác mà chu vi của mỗi tam giác nhỏ hơn
2019.
----------Hết---------Họ và tên ..................................................................Số báo danh ........................................

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


5
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 2

(Đề thi có một trang)
Câu 1: ( 2,0 điểm)

a) Cho x  3  5  2 3  3  5  2 3 . Tính giá trị của biểu thức P  x  2  x  .
b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  2019 .Chứng minh:

a 2  bc
b2  ca
c 2  ab


0 .
a 2  2019 b2  2019 c 2  2019
Câu 2: ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình sau:
1
1
2 2
 2  2  3x y
x
y
3

a) x3   x  1  9x  8 .
b) 
.
 1  1  3  x3 y3
 x 3 y 3
Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( Với AB < AC ) nội tiếp đƣờng tròn tâm O.
Đƣờng ph}n gi{c v| đƣờng phân giác ngoài của BAC cắt đƣờng tròn  O  lần lƣợt tại D
và E ( cùng khác A ). Gọi G là hình chiếu vuông góc của E lên cạnh AC, gọi M v| N tƣơng

ứng l| trung điểm của c{c đoạn thẳng BC và BA. Gọi K l| trung điểm của đoạn thẳng GM,
H l| giao điểm của đƣờng thẳng AB v| đƣờng thẳng MG, F l| giao điểm của đƣờng thẳng
MN v| đƣờng thẳng AE.
a) Chứng minh rằng hai đƣờng thẳng AD và GM song song.
b) Chứng minh FH = MC.
c) Chứng minh KE  KN  2.EN .

n 5  29n
Câu 4: ( 1,5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì
cũng l| số nguyên.
30
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên  x; y  sao cho 2 x2  y2  3x  2y  1 và









5 x2  y2  4x  2y  3 đều là số chính phƣơng.

Câu 5: ( 1,5 điểm )


a  ab  b  b

a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 4  b4
2

2

2

 b

4

 c4

 bc  c 2

c

c
2

4



 a 4  8 . Chứng minh rằng



 ca  a 2  1 .

b) Trƣớc ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không quá 49 cây bút đem tặng cho
tất cả 32 bạn học sinh lớp 9A sao cho ai cũng nhận đƣợc bút của thầy. Chứng minh rằng có

một số bạn lớp 9A nhận đƣợc bút tổng cộng là 25.
----------Hết--------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


6
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 3
(Đề thi có một trang)
Câu 1 (2,0 điểm):

1/ Cho ba số thực dƣơng a,b,c thõa mãn a b c=1 .
Chứng minh rằng

a
b
c



1
ab  a  1 bc  b  1 ca  c  1

2/ Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn 2 a b+b c+2 c a=0 .
Hãy tính giá trị của biểu thức A 

bc ca ab
 
8a 2 b2 c 2

Câu 2 (2,0 điểm):
1/ Giải phƣơng trình

2 x 2  x  1  x 2  x  1  3x

1

1 1 9

x  y  x  y  2

2/ Giải hệ phƣơng trình 
 xy  1  x  y  5

xy y x

Câu 3 (2,0 điểm): 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thõa mãn y 2  y  x4  x3  x 2  x .
2/ Cho hai số nguyên dƣơng x, y với x > 1 và thỏa mãn điều kiện 2x2 – 1 = y15.
Chứng minh rằng x chia hết cho 15.
Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giâc ABC nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O) với AB < AC. Gọi M là

trung điểm của BC, AM cắt (O) tại D kh{c A. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt
đƣờng thẳng AC tại E kh{c C. Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đƣờng thẳng AB
tại F khác B.
1/ Chứng minh hai tam gi{c BDF, CDE đồng dạng.
2/ Chứng minh rằng ba điểm E, M, F thẳng hàng và OA  EF.
3/ Đƣờng phân giác của góc BAC cắt EF tại điểm N. Đƣờng phân giác của góc CEN cắt CN
tại P, đƣờng phân giác của góc BFN cắt BN tại Q. Chứng minh rằng PQ // BC.
Câu 5 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đƣờng thẳng sao cho không có hai đƣờng
thẳng n|o song song v| không có ba đƣờng thẳng n|o đồng quy. Tam giác tạo bởi ba
đƣờng thẳng trong số c{c đƣờng thẳng đã cho gọi l| tan gi{c đẹp nếu nó không bị đƣờng
thẳng nào trong số c{c đƣờng thẳng còn lại cắt. Chứng minh rằng số tam gi{c đẹp không
ít hơn 674.
----------Hết--------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


7
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 4

(Đề thi có một trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Chứng minh rằng:
1

1
1
44
 ... 

2 1 1 2 3 2  2 3
2025 2024  2024 2025 45
1
2. Cho x là số thực âm thỏa mãn x 2  2  23 . Tính giá trị của biểu thức:
x
1
A  x3  3
x
Câu 2: (2,0 điểm)
1
1
1. Giải phƣơng trình: 
2
x
2  x2


 x 2  y  2xy  x  0
2. Giải hệ phƣơng trình:  2
2

2
2
 x  y   6 x y  3x  0
Câu 3: (2,0 điểm)
1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phƣơng trình: x2  xy  5x  5 y  2  0

2. Cho biểu thức: A   a 2020  b2020  c 2020    a 2016  b2016  c 2016  với a,b,c là các số nguyên

dƣơng. Chứng minh rằng A chia hết cho 30.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đƣờng tròn  O  có tâm là O . Các
đƣờng cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đƣờng phân giác ngoài của BHC
cắt các cạnh AB, AC lần lƣợt tại M , N . Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đƣờng
phân giác của BAC tại điểm I khác A, IM cắt BE tại điểm P và IN cắt CF tại điểm Q .
1. Chứng minh tam giác AMN cân tại A .
2. Chứng minh HPIQ là hình bình hành.
3. Chứng minh giao điểm của hai đƣờng thẳng HI và AO thuộc đƣờng tròn  O  .
Câu 5: (1,0 điểm)
Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
S   a 2  2  b2  2  c2  2 
---------------- Hết--------------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


8
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÀ NẴNG

ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 5

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 1. ( 2,0 điểm) a) Tìm giá GTNN biểu thức A 

x6 x9  x6 x9
81 18

1
x2 x

, với x  9 .

b) Tìm x thỏa 9x  8  7x  6  5x  4  3x  2  x  0.
Bài 2. ( 2,0 điểm) a) Cho ba số thực dƣơng ph}n biệt

a, b, c thỏa a  b  c  3 . Xét ba phƣơng

trình bậc hai 4x2  4ax  b  0, 4x2  4bx  c  0, 4x 2  4cx  a  0 . Chứng minh rằng trong ba
phƣơng trình trên có ít nhất một phƣơng trình có nghiệm và có ít nhất một phƣơng trình vô nghiệm.
1
b) Cho hàm số y  x 2 có đồ thị  P  v| điểm A  2; 2  . Gọi d m l| đƣờng thẳng qua A có hệ số
2

góc m. Tìm tất cả các giá trị của m để d m cắt đồ thị  P  tại hai điểm A v| B, đồng thời cắt trục
Ox tại điểm C sao cho AB  3AC .
Bài 3. ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình v| hệ phƣơng trình sau:

1
8xy  22y  12x  25  3
2
x
a) x  6  x  3  x  1  14x  3 x  1  13  0
b) 
3
 y  3y   x  5  x  2


 O  đƣờng kính AB = 2r lấy điểm C khác A sao cho CA <
CB. Hai tiếp tuyến của nửa đƣờng tròn  O  tại B, C cắt nhau ở M. Tia AC cắt đƣờng tròn ngoại
Bài 4: ( 1,5 điểm) Trên nửa đƣờng tròn

tiếp tam giác MCB tại điểm thứ hai là D. Gọi K l| giao điểm thứ hai của BD và nửa đƣờng tròn

r2 3
 O  , P l| giao điểm của AK và BC. Biết rằng diện tích hai tam giác CPK và APB lần lƣợt là 12
r2 3
và
, tính diện tích tứ giác ABKC.
3
Bài 5. ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( BA < BC) nội tiếp trong đƣờng tròn  O  . Vẽ đƣờng

 Q  đi qua A v| C sao cho  Q  cắt c{c tia đối của tia AB và CB lần lƣợt tại c{c điểm thứ hai
là D và E. Gọi M l| giao điểm thứ hai của đƣờng tròn  O  v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác

tròn

BDE. Chứng minh QM vuông góc BM.
Bài 6. ( 1,0 điểm ) Ba bạn A,B,C cùng chơi một trò chơi: Sau khi A chọn hai số tự nhiên từ 1 đến 9 (
có thể giống nhau ), A nói cho B chỉ mỗi tổng và nói cho C chỉ mỗi tích của hai số đó. Sau đ}y l|
c{c c}u đối thoại giữa B và C.
B nói : Tôi không biết hai số A chọn nhƣng chắc chắn C cũng không biết.
C nói: Mới đầu thì tôi không biết nhƣng giờ thì biết hai số A chọn rồi. Hơn nữa , số m| A đọc cho
tôi lớn hơn số của bạn.
B nói: À, vậy thì tôi cũng biết hai số A chọn rồi.
Xem B và C là các nhà suy luận logic hoàn hảo, hãy cho biết hai số A chọn là hai số nào ?
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


9
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐIỆN BIÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 6
(Đề thi có một trang)

 2x  1

x
x4 

Câu 1 (2,5 điểm). 1. Cho biểu thức P  
 . x 
 với x  0 và x  4.
 x x 1 x  x 1 
x

2



a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P 2  x  0.
2. Chứng minh rằng:

1
32 2 2 4
3

3



3

2 1

3

2 1

.

Câu 2 (1,5 điểm). 1. Giải phƣơng trình: x2  4x   x  3  x2  x  1  1 .

4x 2  4x  y 2  1
2. Giải hệ phƣơng trình:  2
2
4x  3xy  y  1.
Câu 3 (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đƣờng thẳng d : y  2mx  m  2 ( m là tham
số) v| parabol  P  : y  2 x 2 . Chứng minh với mọi gi{ trị của m thì d luôn cắt  P  tại hai
điểm ph}n biệt có ho|nh độ x1 , x2 . Tìm m sao cho x12  6x22  x1 x2  0 .
2. Cho a, b, c l| c{c số thực không }m v| thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  0 .
Chứng minh rằng

a
b
c


 2.
bc
ca
ab

Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho tam gi{c nhọn ABC AB

AC nội tiếp đƣờng tròn t}m I . Gọi

E l| hình chiếu vuông góc của B trên đƣờng thẳng AI . T l| giao điểm của BE và
đƣờng tròn t}m I .
a) Chứng minh rằng tam gi{c ABT c}n tại A. Từ đó suy ra AC l| đƣờng ph}n
gi{c của góc BCT .
b) Gọi M l| trung điểm của BC và D l| giao điểm của ME và AC . Chứng minh
rằng BD AC .
2. Cho tam giác ABC , trên đƣờng trung tuyến AD lấy điểm I cố định ( I khác A
và D ). Đƣờng thẳng d đi qua I cắt c{c cạnh AB, AC lần lƣợt tại M , N . X{c định vị trí
của đƣờng thẳng d để diện tích tam gi{c AMN đạt gi{ trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm).
Tìm tất cả c{c số nguyên dƣơng x, y, z thỏa mãn

x  y 2019
y  z 2019

l| số hữu tỷ v|

x2  y2  z2 l| số nguyên tố.
---------------- Hết--------------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


10
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 7
(Đề thi có một trang)

Câu 1 (1,0 điểm) Tính tổng S 

1
3 1



1
5 3

1



7 5

 ... 

1

20192  20192  2

Câu 2 (2,0 điểm) Cho phƣơng trình x  2mx  m  4 (1) (m là tham số).
2

a) Chứng minh rằng phƣơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m thì phƣơng trình (1) có hai nghiệm x1 ; x 2 thỏa mãn:

x1  x 2 

x12 x 22

x 2 x1

Câu 3 (2,0 điểm) Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình sau:
a)

2
2

2 x  y  2 x  y  4  x  y
2x  1  5  x  x  2  2 2x2  11x  5 ; b) 
.
x

y

2



Câu 4 (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn (O) cố định v| điểm A cố định ở ngo|i đƣờng tròn (O).
Từ A kẻ đƣờng thẳng tiếp xúc với đƣờng tròn (O) tại B. Một tia Ax thay đổi, nằm trong
miền OAB , cắt đƣờng tròn (O) tại hai điểm C, D (C ở giữa A và D). Từ B kẻ BH vuông
góc với AO tại H. Chứng minh rằng:
a) Tích AC.AD không đổi;
b) CHOD là tứ giác nội tiếp;
c) Phân giác của CHD cố định.

x4  x2  x  2
Câu 5 (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để A  4
nhận
x  3x3  7x 2  3x  6
giá trị là một số nguyên.
b) Cho các số dƣơng a, b, c thỏa mãn a  b  c  4 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 

a a
a 3 b



b b
b 3 c



c c
c 3 a

.

---------------- Hết---------------

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


11
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƢNG YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 8
(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2 điểm)
1. Cho hai biểu thức A 

x x 1
x x



x x 1
x x



2(x  1)
x

x

và B  x  1 

x 1

với

x  0, x  1 .

a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm x để A  B .
2. Cho a, b l| hai số thực thỏa mãn 0  a  1, 0  b  1, a  b và

a  b  1  b2  1  a 2 Tìm gi{ trị của biểu thức Q  a 2  b2  2019 .
Câu 2. (2 điểm)
1
3
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đƣờng thẳng (d) : y 
và Parabol
x
2020

2020
(P) : y  2x2 . Biết đƣờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm B và C. Tìm tọa độ điểm A
trên trục ho|nh để AB  AC lớn nhất.
2. Tìm tất cả c{c nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình
xy2  (y  45)2  2xy  x  220y  2024  0 .
Câu 3. (2 điểm)

5x  11  6  x  5x2  14x  60  0 .
2
2

4x y  xy  5
2. Giải hệ phƣơng trình 
.
3
3
64x

y

61


Câu 4. (3 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Lấy M l| điểm bất kì trên cạnh AB
(M  A, M  B) , qua A kẻ đƣờng thẳng vuông góc với CM tại H, DH cắt AC tại K.
1. Chứng minh rằng MK song song với BD.
1. Giải phƣơng trình

2. Gọi N l| trung điểm của BC, trên tia đối của tia NO lấy điểm E sao cho

ON
2

, DE
OE
2

FO
.
FC
3. Gọi P l| giao điểm của MC và BD, Q l| giao điểm của MD và AC. Tìm gi{ trị nhỏ
nhất của diện tích tứ gi{c CPQD khi M thay đổi trên cạnh AB.
9
Câu 6. (1điểm). Với x, y l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện (2  x)(y  1)  . Tìm gi{ trị nhỏ
4
cắt OC tại F. Tính

nhất của biểu thức A  x4  4x3  6x2  4x  2  y 4  8y 3  24y 2  32y  17 .
---------------- Hết--------------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


12
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 9
(Đề thi có một trang)
Bài 1 (2,0 điểm ):




 x 2  xy  y 2

Giải hệ phƣơng trình : 
x 2  xy  y 2


Bài 2. (2,0 điểm)




x 2  y 2  185 (1)
x 2  y 2  65 (2)

a) Chứng minh rằng số M   n  1  n 4  1 chia hết cho một số chính phƣơng kh{c 1 với
4

mọi số n nguyên dƣơng.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phƣơng trình x2  n2 x  n  1  0 (ẩn số x ) có các

nghiệm là số nguyên.
1
Bài 3 (2.0 điểm ): Cho các số dƣơng x; y; z thỏa : xyz 
2
Chứng minh :

yz

x2  y  z 



xy
xz

 xy  yz  xz
y 2  x  z  z 2 (x  y





Bài 4 (3,0 điểm ): Cho tam giác ABC cân tại A A  90 nội tiếp đƣờng tròn  O  .Gọi D là
một điểm trên cung AB không chứa C ( D khác A; B ).Hai dây cung AD và BC kéo dài tại
E .Đƣờng thẳng qua E song song với CD cắt AB tại F .Vẽ tiếp tuyến FG với đƣờng tròn
 O  ( G là tiếp điểm )
a)Chứng minh : FG  FE
b)Từ trung điểm I của BC vẽ IJ  AC ( J  AC ) .Gọi H l| trung điểm của IJ .Chứng minh :

AH  BJ

Bài 5 (1,0 điểm ): Trong một buổi tổ chức lễ tuyên dƣơng c{c học sinh có thành tích học
tập xuất sắc của một huyện, ngoại trừ bạn An , hai ngƣơi bất kì đều bắt bắt tay nhau .An
chỉ bắt tay với những ngƣời mình quen .Biết rằng một cặp ( hai ngƣời ) chỉ bắt tay không
quá 1 lần và có tổng cộng 420 bắt tay.Hỏi bạn An có bao nhiêu ngƣời quen trong buổi lễ
tuyên dƣơng đó ?
---------------- Hết---------------

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


13
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ YÊN

ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 10

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

(Đề thi có một trang)
Câu 1. (2,0 điểm)

 x 3


x 2
x 2   x2


 1
Cho biểu thức: A  
:
 x 2 3 x x5 x 6 x x 2



a) Rút gọn biểu thức A.
1
b) Tìm x để P  2.A  đạt gi{ trị lớn nhất.
x
Câu 2. (3,0 điểm)
a) Giải PT: x2  6x  8  3 x  2 .
x 2  y 2 2x  2y  (x  2)(y  2)

2
b) Giải hệ PT:  x   y 2
 

 1
y

2
x


2





Câu 3. (1,5 điểm)
Cho tam gi{c ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA.
Gọi M, N lần lƣợt l| trung điểm của AC, AD. Đƣờng thẳng qua B v| song song với AD cắt
MN tại E.
a) Chứng minh tứ gi{c NAEB l| hình chữ nhật.
b) Chứng minh góc ACE = DCN.
Câu 4. (1,5 điểm)
a
b
c
1
 2
 2

a) Tồn tại hay không 3 số a, b, c thỏa mãn 2
b  ca c  ab a  bc 2019
x 2  y 2 85
b) Tìm tất cả c{c cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

xy
13
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho hai đƣờng tròn (O) v| (O') cắt nhau tại M, N. Kẻ d}y MA của đƣờng tròn (O)
tiếp xúc với (O') v| d}y MB của đƣờng tròn (O') tiếp xúc với (O). Đƣờng tròn ngoại tiếp

tam gi{c MAB cắt đƣờng thẳng MN tại P (P kh{c M). CMR: PN = MN.
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho c{c số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. CMR:
a b2  1  b c 2  1  c a 2  1  2.

Dấu "=" xảy ra khi n|o?
---------------- Hết---------------

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


14
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 11

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

(Đề thi có một trang)
Bài 1(2,0 điểm)

 3 x
x
1 
x 3


a.Cho các biểu thức: P  
(với x  0 )
 :
x
x

1
x

x

1
x

1
x

x

1


1
Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để P 

5
b. Cho phƣơng trình x2 + 4x – m = 0 (1) (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phƣơng
1 1
trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn     x12  x2 2   4(m  2)
 x1 x2 
Bài 2. (2,0 điểm). a. Giải phƣơng trình 2x2 + 3x – 2 = (2x - 1) 2x 2  x  3
 x3  y y  9
b. Giải hệ phƣơng trình 
2
 x  2 y  x  4 y
Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O) ( AB < AC). Kẻ đƣờng cao
AH ( H  BC) của tam giác ABC và kẻ đƣờng kính AD của đƣờng tròn (O).
a. Gọi M l| trung điểm của đoạn thẳng DH. Chứng minh OM l| đƣờng trung trực của đoạn
thẳng BC.
b. Gọi S, T l| c{c giao điểm của đƣờng tròn (O) với đƣờng tròn tâm A bán kính AH; F là giao
điểm của ST và BC. Từ A kẻ đƣờng thẳng vuông góc với DH tại E. Chứng minh
FB.FC  FH 2 v| 3 điểm F, E, A thẳng hàng.
c. Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác BCM tiếp xúc với đƣờng tròn tâm A bán
kính AH.
Bài 4 (1,0 điểm)Cho x, y, z là 3 số thực dƣơng thỏa mãn x  x  z   y  y  z   0 . Tìm giá trị

x3
y3
x2  y 2  4


nhỏ nhất của biểu thức P  2
x  z2 y2  z2
x y
Bài 5: (2,0 điểm) a) Tìm các số nguyên tố p, q thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) p 2 q  p chia hết cho p 2  q
ii) pq 2  q chia hết cho q 2  p
1 1
1
1
b) Viết lên bảng 2019 số: 1; ; ;...;
. Từ các số đã viết xo{ đi 2 số bất kì x, y rồi
;
2 3
2018 2019
xy
viết lên bảng số
( các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác
x  y 1
trên cho đến khi bảng chỉ còn lại đúng một số. Hỏi số đó bằng bao nhiêu?
---------------- Hết--------------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


15
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 12
(Đề thi có một trang)

Câu 1. (1,5 điểm)
4 x  9 x  3
x 1 2 x 1
(với x  0 ).


x3 x 2
x 1
x 2
a) Rút gọn biểu thức A ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của A .

Cho biểu thức A 

Câu 2. (2,5 điểm)
1. Giải phƣơng trình:

 x  1 4  x   1 .
 x 2   2  y  2  y 
2. Giải hệ phƣơng trình:  3
.
2 x   x  y  4  xy 
x 1  4  x 

Câu 3. (1,0 điểm)
2


n  a  b
.
3
2
2
n

2

a

b



Tìm các số nguyên không âm a, b, n thỏa mãn: 

Câu 4. (3,5 điểm)
Cho đƣờng tròn (O; R) , đƣờng kính AB , điểm M nằm trên đoạn OB ( M
khác O và B ). Từ M kẻ đƣờng thẳng vuông góc với AB cắt  O  tại hai điểm C và
E . Gọi F là hình chiếu của C trên AE và I là hình chiếu của M trên CF . Đƣờng
thẳng AI cắt  O  tại điểm thứ hai H .

a) Chứng minh tứ giác CIMH nội tiếp;
b) Tiếp tuyến tại C của  O  cắt đƣờng thẳng AB tại D . Gọi  O1  l| đƣờng
tròn ngoại tiếp tam giác CHD (điểm O1 l| t}m đƣờng tròn). Chứng minh đƣờng
thẳng BD là tiếp tuyến của  O1  ;

c) Gọi O2 l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác HMD . Biết OM 

R 2
, tính
2

diện tích tam giác OO1O2 theo R .
Câu 5. (1,5 điểm)
1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a  1 , b  1 , c  1 và a  b  c  0 .
Chứng minh: a2018  b2019  c2020  2 .
2. Cho trƣớc p là số nguyên tố. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy hai điểm

A  p8 ;0  và B  p9 ;0  thuộc trục Ox . Có bao nhiêu tứ giác ABCD nội tiếp sao cho các

điểm C , D thuộc trục Oy v| đều có tung độ là các số nguyên dƣơng.
---------------- Hết--------------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


16
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 13

(Đề thi có một trang)
Câu 1 (2,0 điểm).

x 2
2 x  8  x2  x x  x  1

a) Cho biểu thức A  
với x  0 .

 x x 1 x x 1
x

3


Rút gọn biểu thức A và tìm x để A  6 .
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n, số M  9.34n  8.24n  2019 chia
hết cho 20.
Câu 2 (1,0 điểm).
Cho parabol (P) : y  x2 v| đƣờng thẳng (d) : y  x  m  2 . Tìm tất cả c{c gi{ trị
của tham số m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm ph}n biệt lần lƣợt có ho|nh độ x1 , x2 thỏa mãn

x12  x22  3 .
Câu 3 (2,0 điểm).

a) Giải phƣơng trình x2  x2  4x  4  x  3  .

x 2  y 2  4x  2y  3


b) Giải hệ phƣơng trình  2
2

x  7y  4xy  6y  13.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình bình h|nh ABCD có góc A nhọn. Gọi H, K lần lƣợt l| hình
chiếu vuông góc của C lên c{c đƣờng thẳng AB, AD.
a) Chứng minh AB.AH  AD.AK  AC2 .
b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lần lƣợt lấy hai điểm M, N (M kh{c B, M kh{c C) sao
cho hai tam gi{c ABM v| ACN có diện tích bằng nhau; BD cắt AM v| AN lần lƣợt tại E v|
F. Chứng minh

BM DN

 1 và BE  DF  EF .
BC DC

Câu 5 (2,0 điểm).
Cho tam gi{c nhọn ABC (AB  AC) nội tiếp đƣờng tròn (O) v| có trực t}m H.
Ba điểm D, E, F lần lƣợt l| ch}n c{c đƣờng cao vẽ từ A, B, C của tam gi{c ABC. Gọi I l|
trung điểm của cạnh BC, P l| giao điểm của EF v| BC. Đƣờng thẳng DF cắt đƣờng tròn
ngoại tiếp tam gi{c HEF tại điểm thứ hai l| K.
a) Chứng minh PB.PC  PE.PF v| KE song song với BC.
b) Đƣờng thẳng PH cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c HEF tại điểm thứ hai l| Q.
Chứng minh tứ gi{c BIQF nội tiếp đƣờng tròn.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho ba số thực dƣơng a, b, c thỏa mãn abc  1 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của
biểu thức:

1  a 
P

2

 b2  5

ab  a  4

1  b 


2

 c2  5

bc  b  4

1  c 


2

 a2  5

ca  c  4



---------------- Hết--------------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

17
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 14
(Đề thi có một trang)
Câu 1 (2,0 điểm).

Cho parabol  P  : y  x v| đƣờng thẳng d đi qua điểm M  0;1 có hệ số góc k .
2

a) Chứng minh rằng đƣờng thẳng d luôn cắt  P  tại hai điểm A, B ph}n biệt với
mọi gi{ trị k .
b) Chứng minh OAB l| tam gi{c vuông với mọi gi{ trị k (O l| gốc tọa độ).
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phƣơng trình x

2

b) Giải hệ phƣơng trình

x

4

x2

2 x 11 x .

5y

y( y

x

3

6 y2

2)

3x

7x

4

0

.

3

Câu 3 (1,0 điểm)
Cho x, y, z l| c{c số dƣơng thỏa mãn x  y  z 

2 . Chứng minh rằng:

2019 x2  2 xy  2019 y 2  2019 y 2  2 yz  2019z 2  2019z 2  2zx  2019x2  2 2020.
Câu 4 (3,5 điểm). Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2 AD  4a (a  0) . Đƣờng thẳng
vuông góc với AC tại C cắt c{c đƣờng thẳng AB và AD lần lƣợt tại E và F .
a) Chứng minh tứ gi{c EBDF nội tiếp.
b) Gọi I l| giao điểm của c{c đƣờng thẳng BD và EF . Tính độ d|i đoạn thẳng

ID theo a.
c) M l| điểm thay đổi trên cạnh AB (M khác A, M khác B), đƣờng thẳng CM cắt
đƣờng thẳng AD tại N. Gọi S1 l| diện tích của tam gi{c CME và S 2 l| diện tích của tam
giác AMN. X{c định vị trí của M sao cho

S1 3
 .
S2 2

Câu 5 (1,5 điểm). Cho abc l| số nguyên tố. Chứng minh rằng phƣơng trình

ax2  bx  c  0 không có nghiệm hữu tỉ.
---------------- Hết---------------

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

18
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 15
(Đề thi có một trang)
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho số thực x thỏa mãn x 
b) Giải phƣơng trình

1
x 1



1
1
 3. Tính gi{ trị biểu thức P  x 3  3 .
x
x
1

x 1

 1.

Câu 2 (2,0 điểm)
a) Cho a, b, c l| c{c số thực dƣơng, chứng minh rằng

a b
4a
 
.
b c ac

b) Có 15 bạn học sinh nam v| 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một b|n tròn. Chứng
minh rằng luôn tồn tại một học sinh m| 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều l| nữ.
Câu 3 (2,0 điểm) Với mỗi số thực x, kí hiệu  x  l| số nguyên lớn nhất không vƣợt qu{ x.

 3
Ví dụ  2   1;     2
 
 2
a) Chứng minh rằng x  1  x   x  x   1  x  1 với mọi x  .
b) Có bao nhiêu số nguyên dƣơng n  840 thỏa mãn  n  l| ƣớc của n ?
 
Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại B, đƣờng cao BH  H  AC  . Gọi   là
đƣờng tròn t}m C bán kính CB. Gọi F l| một điểm bất kì trên đoạn thẳng BH ( F khác

B và H ). AF cắt   tại hai điểm D, E ( D nằm giữa A và E ). Gọi K l| trung điểm

DE.

a) Chứng minh rằng FKCH l| tứ gi{c nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AD. AE  AH . AC  AF .AK ;
c) Chứng minh rằng đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c BFK tiếp xúc với   tại B.

n 2019
1
Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dƣơng n sao cho n 
2020
2

---------------- Hết---------------

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


19
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CẦN THƠ
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 16
(Đề thi có 02 trang)

Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A 

x  4(x  1)  x  4(x  1) 
1 
, trong đó
.1 
x  1 

x2  4(x  1)

x  1,x  2.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên.
Câu 2. (1,0 điểm) Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên đƣợc nhiều công ty mời về làm
việc, trong đó có hai công ty A v| B. Để thu hút ngƣời tài, cả hai công ty đƣa ra hình thức
trả lƣơng trong thời gian thử việc nhƣ sau:
Công ty A: Anh Bình đƣợc nhận 1400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi
tháng sẽ đƣợc trả lƣơng 1700USD.
Công ty B: Anh Bình đƣợc nhận 2400 USD ngay khi ký hợp đồng thử việc và mỗi
tháng sẽ đƣợc trả lƣơng 1500USD.
Em hãy tƣ vấn giúp anh Bình lựa chọn công ty để thử việc sao cho tổng số tiền
nhận đƣợc là nhiều nhất. Biết thời gian thử việc của cả hai công ty đều từ 3 th{ng đến 8
tháng.
Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng (d1 ) : y  m2 x  m4  2

m2
x  2 (m là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số m để (d1 )
m2  1
15

và (d2 ) cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang ABHK bằng
.
2
và (d2 ) : y 

Biết B(1;2) v| hai điểm H, K lần lƣợt là hình chiếu vuông góc của B và A lên trục hoành.
Câu 4. (3,0 điểm)
a) Giải phƣơng trình

2x2  3x  2  4x2  6x  21  11 .

2
2

x  y  xy  1
b) Giải hệ phƣơng trình 
.
2
2

x  y  xy  2y  x

c) Tìm tất cả cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2020(x2  y2 )  2019(2xy  1)  5

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


20

Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân có AB < AC, trực t}m H v| đƣờng
trung tuyến AM. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AM, D l| điểm đối xứng của A
qua M v| L l| điểm đối xứng của K qua BC.
a) Chứng minh các tứ giác BCKH và ABLC nội tiếp.
b) Chứng minh LAB  MAC .
c) Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AL, X l| giao điểm của AL và BC.
Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam gi{c IXM v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam
giác BHC tiếp xúc với nhau.
Câu 6. (1,0 điểm)
a) Cho a, b, c là các số thực bất kỳ và x, y, z là các số thực dƣơng. Chứng minh:

a 2 b2 c 2 (a  b  c)2



x
y
z
xyz
b)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

a3  8
b3  8
c3  8
, với a,


a 3 (b  c) b3 (c  a) c 3 (a  b)

b, c là các số thực dƣơng thỏa mãn abc = 1.

---------------- Hết---------------

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


21
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 17
(Đề thi có một trang)
Câu 1: (1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức P 

3x  9x  3
x x 2



x 1
x 2





x 2
x 1

. Tìm x để P  3.





b) Cho x, y l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện x  x2  1 y  y 2  1  2. Tính gi{ trị
của biểu thức Q  x y2  1  y x2  1.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y 

1 2
x và đƣờng thẳng
2

1
x  3. Gọi A(xA ; yA ), B(x B ; y B ) (với xA  x B ) là các giao điểm của (P) v| (d),
2
C(xC ; yC ) l| điểm thuộc (P) sao cho xA  xC  xB . Tìm gi{ trị lớn nhất của diện tích tam

(d): y 

giác ABC.

x 3 (x  y)  x 2 y 2  1

b) Giải hệ phƣơng trình  2
.
x
(xy

3)

3xy

3


Câu 3: (1,5 điểm) a) Giải phƣơng trình

x  3  3 2x  3  x  1  2x  3  2 2.

b) Cho phƣơng trình (ẩn x) x  (m  1) x  m  6  0. Tìm tất cả c{c gi{ trị của m để
2

phƣơng trình có hai nghiệm x1 , x 2 sao cho biểu thức A  (x12  4)(x22  4) có gi{ trị lớn
nhất.
Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC có AB  AC v| trực t}m l| T. Gọi H l| ch}n
đƣờng cao kẻ từ A của tam gi{c ABC v| D l| điểm đối xứng với T qua đƣờng thẳng BC; I

v| K lần lƣợt l| hình chiếu vuông góc của D trên AB v| AC; E v| F lần lƣợt l| trung điểm
của AC v| IH.
a) Chứng minh ABDC l| tứ gi{c nội tiếp v| hai tam gi{c ACD v| IHD đồng dạng.
b) Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng h|ng v| DEF l| tam gi{c vuông.
c) Chứng minh

BC AB AC


.
DH DI DK

Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho ba số dƣơng x, y, z thỏa mãn xyz  2. Chứng minh
2y
x
4z
1
 2
 2
 .
2
2
2
2
2x  y  5 6y  z  6 3z  4x  16 2
b) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho

2 2020
là số nguyên ?
3x  1

---------------- Hết--------------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


22
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐĂK NÔNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 18
(Đề thi có một trang)

 1
  ( a  1)2 
3 a 5
Câu 1: (1,0 điểm) Cho biểu thức P  

 1 .
 .
 a 1 a a  a  a 1   4 a





Tìm điều kiện x{c định và rút gọn biểu thức P .
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình 2 x2 y  1  x 2  3 y .
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Giải phƣơng trình  x  2   x  1 x  3  12 .
2

 xy  3 y 2  x  3

b) Giải hệ phƣơng trình  2
.
2

 x  xy  2 y  0
Câu 4: (1,0 điểm) Quãng đƣờng từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột dài 120 km.
Một ngƣời dự định đi xe m{y từ Gia Nghĩa đến thành phố Buôn Ma Thuột với vận tốc
không đổi. Sau khi đi đƣợc 45 phút, ngƣời ấy dừng lại nghỉ 15 phút. Để đến thành phố
Buôn Ma Thuột đúng thời gian đã dự định, ngƣời đó phải tăng vận tốc thêm 5 km/h trên
quãng đƣờng còn lại. Tính vận tốc của ngƣời đi xe m{y theo dự định ban đầu.
Câu 5: (1,0 điểm) Tìm m để phƣơng trình x 2  2  m  1 x  4m  0 ( x là ẩn, m là tham số) có
hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x13  x12  x23  x22 .
Câu 6: (3,0 điểm) Cho đƣờng tròn  O; R  đƣờng kính AB . Kẻ hai đƣờng thẳng d và d  lần
lƣợt là hai tiếp tuyến tại các tiếp điểm A và B của đƣờng tròn  O  . Điểm M thuộc
đƣờng tròn  O  ( M khác A và B ), tiếp tuyến tại M của đƣờng tròn  O  cắt d , d  lần
lƣợt tại C và D . Đƣờng thẳng BM cắt d tại E .
a) So s{nh độ d|i c{c đoạn thẳng CM , CA, CE .
b) Đƣờng thẳng EO cắt hai đƣờng thẳng d , AD lần lƣợt tại I và J . Chứng minh các
điểm A, B, I , J cùng thuộc một đƣờng tròn.
c) Giả sử AE  BD, tính độ d|i đoạn thẳng AM theo R .

Câu 7: (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1  a  2, 1  b  2 . Tìm giá trị lớn nhất và

2 
2

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   a   b   .
b 
a

----------Hết--------Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


23
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 19
Bài 1.

(2,0 điểm)

a) Giải phƣơng trình 2 x2  x2  2 x  19  4 x  74
 x 2  3 y  6 x  0
b) Giải hệ phƣơng trình  2
2
4
9 x  6 xy  y  3 y  9  0
Bài 2.
(2,5 điểm)

2 x  3 x x  1 x2  x
với x  0, x  1 . Rút gọn và tìm giá trị


x
x x x x x
nhỏ nhất của biểu thức P
b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2  4ab  7b2  0 ( a  b và a  b ). Tính giá trị của
2a  b 3a  2b

biểu thức Q 
a b
a b
c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đƣờng thẳng  d  : y   m  2  x  m  1 và
a) Cho biểu thức P 

 d ' : x   m  2  y  m  2

trong đó m là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của

hai đƣờng thẳng nói trên thuộc một đƣờng cố định khi m thay đổi.

Bài 3.
(1,5 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình

x  y  3 1  x  y

b) Số tự nhiên n  111 có tất cả bao nhiêu ƣớc số nguyên dƣơng ph}n biệt? Tính tích
của tất cả c{c ƣớc số đó.
Bài 4.
(3,5 điểm) Cho đƣờng tròn  O; R  có hai đƣờng kính AB và CD vuông góc với
6

nhau. Gọi M l| điểm di động trên đoạn thẳng OB ( M khác O và P ). Tia CM
cắt đƣờng tròn  O  tại N ; DB cắt CN tại P ; AN cắt CD tại Q
a) Chứng minh PQ∥ AB
b) Chứng minh CAQ đồng dạng với AMC , từ đó suy ra diện tích tứ giác ACMQ
không đổi khi M di động trên đoạn thẳng OB
2

CQ  CN 
c) Chứng minh hệ thức


AM  AN 
d) X{c định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng OB để NQ là tiếp tuyến của đƣờng
tròn ngoại tiếp tam giác CPQ . Tính OM theo R trong trƣờng hợp đó
Bài 5.
(0,5 điểm)Trên một bảng ô vuông, ở mỗi ô ngƣời ta điền toàn bộ dấu +. Sau đó
thực hiện qu{ trình đổi dấu ( dấu + sang dấu -, dấu – sang dấu +) lần lƣợt theo
c{c bƣớc sau:

Bƣớc 1: Các ô ở dòng thứ i đều đƣợc đổi dấu i lần, i  1, 2,..., 2019.
Bƣớc 2: Các ô ở cột thứ j đều đƣợc đổi dấu 3 j  1 lần, j  1, 2,..., 2019.
Tính số dấu còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong qu{ trình đổi dấu trên.
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


24
ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2019-2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TÂY NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề số 20
(Đề thi có một trang)

Câu 1: (1,0 điểm) Giải phƣơng trình x 4  x 2  20  0


Rút gọn biểu thức T 



2a  2 2  a  1

với a  0, a  4 .
a a 2
Câu 3: (1,0 điểm) Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  có CD  2 AD  2 AB  8 . Tính diện
Câu 2: (1,0 điểm)

tích của hình thang c}n đó.
2
2

 x  5xy  x  5y  42
Câu 4: (1,0 điểm) Giải hệ phƣơng trình 
.
2

7 xy  6 y  42  x
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai phƣơng trình x 2  6ax  2b  0 và x 2  4bx  3a  0 với a, b l| c{c số thực.
Chứng minh nếu 3a  2b  2 thì ít nhất một trong hai phƣơng trình đã cho có nghiệm.
Câu 6: (1,0 điểm)



Tìm số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd sao cho abcd  k 2 k 

*



và

ab  cd  1 (c{c chữ số tự nhiên a, b, c, d có thể giống nhau).
Câu 7: (1,0 điểm)
Cho tam gi{c nhọn ABC có BAC  60 và AB  AC . Đƣờng tròn t}m I nội tiếp
tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lƣợt tại D và E . Kéo dài BI , CI lần lƣợt cắt DE tại
F và G , gọi M l| trung điểm BC . Chứng minh tam gi{c MFG đều.
Câu 8: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đƣờng tròn  O  có tâm O .
a)(1,0 điểm) Trên cung nhỏ AB của đƣờng tròn  O  lấy điểm D (khác A, B ). Gọi K
l| giao điểm thứ hai của đƣờng tròn t}m A bán kính AC với đƣờng thẳng BD . Chứng
minh AD l| đƣờng trung trực của CK .
b)(1,0 điểm) Lấy P l| điểm bất kỳ trên đoạn OC (khác O, C ). Gọi E, F lần lƣợt l|
hình chiếu vuông góc của P trên AB v| AC. Gọi Q l| điểm đối xứng của P qua đƣờng
thẳng EF . Chứng minh Q thuộc đƣờng tròn  O  .
Câu 9: (1,0 điểm)
Chứng minh

 x  y  z

3

 9 xyz  4  x  y  z  xy  yz  zx  với x, y, z l| c{c số thực

không }m. Đẳng thức xảy ra khi n|o?
----------Hết---------

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp

TÀI LIỆU TOÁN HỌC