Phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013

33

PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER PHI TUYẾN RỜI RẠC
TS. Nguyễn Bá Phi
Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học xây dựng Miền Trung
Tóm tắt: Bài viết trình bày một trong những cách đơn giản nhất để d n ra phương
trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều quá trình
vật lý diễn ra trong tự nhiên. Bên cạnh đó, hai trường hợp giới hạn quan trọng của
phương trình, nó liên quan trực tiếp đến các hệ vật lý cũng được cho thấy.
Từ khóa: Phương trình phi tuyến tính Schrödinger, hiện tượng định sứ Anderson,
phi tuyến quang học, sự tự bẫy.

1. Đặt vấn đề
Sự mất trật tự và tính chất phi tuyến là hai đặc trưng quan trọng, xuất hiện hầu hết
trong các loại vật liệu cũng như trong các hệ vật lý. Trong những năm gần đây, việc
nghiên cứu sự lan truyền của sóng trong môi trường mất trật tự phi tuyến đã trở thành
một trong mảng nghiên cứu rất được các nhà khoa học quan tâm, cả về phương diện lý
thuyết lẫn thực nghiệm. Tuy nhiên, cho đến nay, sự hiểu biết của chúng ta về chủ đề
mang tính thách thức này vẫn còn mang tính chấp vá, chưa thật sự đầy đủ.
Để giải quyết những bài toán liên quan đến ảnh hưởng đồng thời của tính mất trật
tự và tính phi tuyến lên quá trình lan truyền của sóng trong một môi trường nào đó,
phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – là một trong những phương trình mô hình
động học mạng phi tuyến cơ bản nhất, được cho thấy là một công cụ rất hữu ích.
Phương trình này thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu do tính ứng dụng rỗng
rãi của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, nó là phương trình mô hình đường bao
tán sắc thích hợp đối với việc mô tả điện trường trong các ống dẫn sóng [1, 2], sự tự hội
tụ (self-focusing) và suy yếu của sóng Langmuir trong vật lý plasma [3], hay đối với
việc mô tả sóng nước trong các đại dương [4].
Về mặt lịch sử, việc nghiên cứu phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc đã có

từ những năm 50 của thế kỷ trước với mô hình Holstein đối với việc hình thành polaron
(một giả hạt – liên quan đến tương tác giữa điện tử và nguyên tử trong chất rắn) trong
các tinh thể phân tử [5, 6]. Những ví dụ quan trọng khác phải kể đến là mô hình
Davydov đối với sự vận chuyển năng lượng dọc theo các phân tử protein [7] và mô hình
các ống dẫn sóng phi tuyến liên kết [8-10]. Bên cạnh đó, phương trình Schrödinger phi
tuyến rời rạc còn đóng vai trò trung tâm trong việc phát triển lý thuyết tổng quát đối với
các kiểu định xứ có bản chất nội tại được gọi là các “discrete breather”, xảy ra trong các
hệ dao động phi điều hòa liên kết [11]. Gần đây, sự quan tâm dành cho phương trình
Schrödinger phi tuyến rời rạc được đẩy lên cao hơn nữa do việc quan sát được bằng
thực nghiệm hiện tượng định xứ Anderson của ánh sáng trong các mạng quang tử mất
trật tự [12-14], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc mô tả sự lan truyền
của ánh sáng trong gần đúng gần trục quang học; của các nguyên tử lạnh trong các


Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013

34

mạng quang học mất trật tự [15, 16], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc
được xem là một mô tả gần đúng trường trung bình.
Với tầm quan trọng như vậy, tuy nhiên, những tài liệu bằng tiếng Việt liên quan
đến phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như ứng dụng của phương trình
này trong việc giải quyết một số bài toán vật lý hầu như chưa có theo sự hiểu biết của
tác giả bài viết. Nhằm mục đích giúp cho các bạn đọc quan tâm nói chung cũng như các
nhà vật lý Việt Nam nói riêng có một tài liệu tiếng Việt liên quan đến vấn đề này để
tham khảo, tác giả đã mạnh dạn viết bài viết này.
Bố cục của bài viết như sau. Trong mục 1, tác giả đã nêu lên tầm quan trọng của
phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như sự cần thiết của bài viết. Nội dung
chính của bài viết là cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc, được trình
bày trong mục 2. Tiếp theo, hai trường hợp giới hạn quan trọng và một vài ứng dụng

phương trình này trong việc giải quyết các vấn đề vật lý đã được thực hiện bởi chính tác
giả của bài viết, được đưa ra trong mục 3. Cuối cùng, một vài kết luận đối với bài viết
được tóm tắt trong mục 4.
2. Cách d n ra phƣơng trình Schrödinger phi tuyến rời rạc
Việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có thể dựa trên một số
cách khác nhau. Trong bài viết này, tác giả sẽ theo sát một cách làm có thể nói là đơn
giản nhất (theo quan điểm của tác giả), nó được đưa ra bởi Alfimov [17] với điểm xuất
phát là phương trình Schrödinger phi tuyến liên tục có dạng tổng quát:

 ( x, t )
 2 ( x, t )
2
i

 V ( x) ( x, t )    ( x, t )  ( x, t )
(1)
2
t
x
Trong đó  ( x, t ) là hàm sóng của hệ lượng tử; V ( x) là một hàm thế tuần hoàn với
chu kỳ L , nghĩa là, V ( x  L)  V ( x). Phương này được cho thấy là rất thích hợp đối với
việc mô tả quá trình tiến triển của chất cô đặc Bose-Einstein bị giam cầm trong sự có
mặt của thế quang học. Trong phạm vi này, dấu của  xác định bản chất tương tác giữa
các nguyên tử. Cụ thể, nếu tương tác là hút thì   1và tương ứng với cái gọi là tính
phi tuyến hội tụ (focusing nonlinearity), ngược lại nếu tương tác là đẩy thì   1 và
tương ứng với cái gọi là tính phi tuyến phân kỳ (defocusing nonlinearity). Những thuật
ngữ này cũng được sử dụng trong lĩnh vực quang học và các lĩnh vực khác. Để đơn
giản, chúng ta giới hạn việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc chỉ đối
với trường hợp một chiều. Tuy nhiên, những khái niệm tương tự trong bài viết này cũng
có thể được tổng quát hóa đối với phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có số

chiều lớn hơn một.
Trước hết, chúng ta đi khảo sát bài toán trị riêng tuyến tính tương ứng, nghĩa là số
hạng cuối cùng bên vế phải của phương trình (1) được bỏ qua. Khi đó, phương trình
Schrödinger không phụ thuộc thời gian tương ứng có dạng:



d 2k , ( x)
dx 2

 V ( x)k , ( x)  E (k )k , ( x)

(2)


Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013

35

Trong phương trình (2), k, là các hàm Bloch, tức là thõa mãn k, (x) = eikxuk, (x),
trong đó uk, (x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ L và  là chỉ số ký hiệu các vùng
năng lượng tương ứng E(k). Vì các vùng năng lượng này là những hàm tuần hoàn
E (k  2 / L)  E (k ) [18] nên chúng có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier:

E (k )  ˆ n, e

iknL

, ˆ n,  ˆ  n,  ˆ n*, ,

(3)

n

trong đó dấu “*” chỉ việc lấy liên hợp phức đối với số hạng chứa nó. Các hệ số Fourier
ˆ n, trong phương trình (3) được xác định bỡi:

ˆ n, 

L
2

 /L




E (k )eiknL dk .

(4)

 /L

Mặc dù các hàm Bloch vẫn tạo nên một hệ cơ sở trực giao nhưng để thuận lợi hơn
đối với việc tính toán giải tích, Alfimov đã sử dụng hệ cơ sở tạo bởi các hàm Wannier
thay vì sử dụng hệ cơ sở được tạo thành từ các hàm Bloch. Chúng ta nhớ lại rằng, hàm
Wannier với tâm đặt tại vị trí nL ( n là số nguyên) và tương ứng với vùng năng lượng
 nào đó được định nghĩa:

L

w ( x  nL) 
2

 /L




k , ( x)e iknL dk .

(5)

 /L

Ngược lại, các hàm Bloch được cho bỡi:

k , ( x) 

L
2



 w  ( x)e

n 

iknL

n,

.

(6)

Tương tự như các hàm Bloch, các hàm Wannier cũng tạo nên một tập hợp các hàm
trực giao và đầy đủ như sau:

 *
  wn, ( x)wn,  ( x)dx   nn  ,
(7)

 wn*, ( x) wn , ( x)   ( x  x).
 n ,
Từ phương trình (4), nếu chúng ta chọn pha của các hàm Bloch một cách hợp lý
thì các hàm Wannier là thực và giảm theo hàm mũ khi n   [18]. Nếu điều này được
thực hiện, khi đó chúng ta có được: wn*, ( x)  wn, ( x). Cốt lõi của việc dẫn ra phương
trình Schrödinger phi tuyến rời rạc nằm ở việc tách nghiệm của phương trình (1) trong
cơ sở các hàm Wannier

 ( x, t )   cn, (t )wn, ( x).

(8)

n ,

Thay nghiệm (8) vào phương trình (1) và thực hiện các phép biến đổi đại số ta thu
được phương trình
dc (t )
nn1n2 n3

(9)
i n,
  cn1 , ˆ nn1 ,     cn*1 ,1 cn2 , 2 cn3 ,3W
,
1 2 3
dt
n1
1 , 2 ,3 n1 ,n2 ,n3


Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013

36


nn1n2 n3
W

1 2 3

Trong đó:

w

n ,



(10)

wn1 ,1 wn2 , 2 wn3 ,3 dx

là các yếu tố ma trận xen phủ. Chúng đối xứng theo tất cả các phép giao hoán đối với
các nhóm chỉ số (, 1, 2, 3) và (n, n1, n2, n3). Phương trình (9) có thể được xem là
dạng vectơ của phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc.
Nếu các hệ số Fourier trong (4) giảm đủ nhanh khi n   , nghĩa là | ˆ1, | | ˆ n, |
với n  1 , khi đó các số hạng liên kết từ bậc hai trở đi trong phần tuyến tính của phương
trình (9) có thể được bỏ qua. Do vậy, mô hình động học chỉ kể đến một mình các tương
tác lân cận gần nhất được đưa ra.
Ngoài ra, vì các hàm Wannier vớin, (x) là định xứ và có tâm đặt tại x  nL nên
chúng ta có thể giả thuyết rằng trong một số trường hợp nào đó, trong số tất cả các hệ số
nn1n2 n3
nn1n2 n3
thì những hệ số W
với n  n1  n2  n3 có ảnh hưởng trội hơn các hệ
W
1 2 3
1 2 3

nn1n2 n3
số còn lại. Do vậy, những hệ số W
còn lại sẽ được bỏ qua trong phương trình.
1 2 3

Khi đó, phương trình (9) được viết lại:

i

dcn, (t )
dt

 ˆ 0, cn,  ˆ1, (cn1,  cn1, )  

 W   c  c  c  .
  
nnnn

1 2 3

1,

2,

*
n,

1

n,

2

n,

3

(11)

3

Thêm vào đó, bằng cách giới hạn sự xem xét của chúng ta chỉ đối với một vùng
năng lượng  , phương trình (11) trở thành phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc
liên kết chặt như sau:

i

dcn, (t )

2

nnnn
 ˆ 0, cn,  ˆ1, (cn1,  cn1, )   W
cn, cn, .

(12)
dt
Một trong những điểm thuận lợi của cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi
tuyến rời rạc ở trên là nó cho thấy một cách trực tiếp làm thế nào để tổng quát hóa gần
đúng một vùng cho các trường hợp phức tạp hơn. Chẳng hạn, khi độ mạnh liên kết giữa
các vùng năng lượng có thể so sánh được với độ mạnh liên kết trong cùng một vùng, khi
đó chúng ta cần phải cộng thêm một vài số hạng liên quan đến vùng năng lượng vào
phương trình (12). Nếu các hệ số Fourier trong phương trình (4) giảm không đủ nhanh
khi n   thì ˆ n , có giá trị đáng kể đối với n  1. Khi đó, chúng ta phải kể thêm các
số hạng ˆ 2, , ˆ3, ,... vào phương trình (12).
Tuy nhiên, vì một số lý do vật lý cụ thể, trong hầu hết các nghiên cứu từ trước cho
đến nay, một dạng đơn giản hơn đối với phương trình (12) đã được sử dụng:
i

dcn (t )
2

  ncn  J (cn1  cn1 )   cn cn ,
dt

(13)

trong đó n là năng lượng tại nút thứ n của mạng, J là tham số nhảy lân cận bậc nhất và
 là hệ số phi tuyến – đặc trưng cho độ mạnh của tính phi tuyến.


Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013

37

3. Ứng dụng của phƣơng trình Schrödinger phi tuyến rời rạc
Kích thích định xứ và kích thích lan truyền
Trong trường hợp năng lượng nút n có phân bố ngẫu nhiên trong một khoảng giá
trị nào đó thì phương trình (13) thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính
phi tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson [19] đối với trường hợp kích thích định xứ.
Về mặt thực nghiệm, điều này có thể được thực hiện trong nhiều hệ vật lý khác nhau,
chẳng hạn như trong sợi quang học, mảng các ống dẫn sóng, tinh thể quang tử, chất cô
đặc Bose-Einstein,… Mặc khác, nếu chúng ta tìm nghiệm dừng của phương trình (13)
dưới dạng cn   n exp(iEt ), chúng ta sẽ rút ra được phương trình:

E n   n n  J ( n1  n1 )    n  n .
2

(14)

Phương trình này thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính phi
tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson nhưng trong trường hợp kích thích lan truyền.

Thật thứ vị để nhắc lại rằng nếu  = 0 thì phương trình (14) thu về phương trình mô
hình Anderson một chiều chuẩn.
Ảnh hưởng của tính phi tuyến
lên hiện tượng định xứ Anderson là
khác nhau một cách định lượng đối
với các kích thích hoặc là định xứ
hoặc là lan truyền. Đối với trường hợp
trước, sự có mặt của tính phi tuyến
làm chậm quá trình bắt đầu định xứ.
Ngược lại, đối với trường hợp sau,
tính phi tuyến tăng cường vai trò của
tính mất trật tự đối với hiện tượng
định xứ Anderson, nghĩa là độ giảm
theo hàm mũ của hệ số truyền qua Hình 1. Hệ số truyền qua (được lấy trung bình theo các cấu
hình mất trật tự) là hàm của kích thước hệ được cho thấy đối
trong trường hợp này mạnh hơn trong
với trường hợp kích thích lan truyền. Kết quả số cho thấy rằng,
trường hợp định xứ Anderson thuần tý hiện tượng định xứ Anderson được tăng cường trong sự có mặt
(khi chưa kể đến tính phi tuyến), ít của tính phi tuyến  [20].
nhất đối với những hệ có kích thước
không quá lớn [20-22].
Hiện tƣợng tự chặn
Phương trình (13) với  n  0 đối với mọi n sẽ trở thành

dcn (t )
2
 J (cn1  cn1 )   cn cn .
(15)
dt
Phương trình này mô tả rất có hiệu quả ảnh hưởng của các dao động mạng lên

động học của điện tử trong lĩnh vực vật lý chất rắn. Trong phạm vi động học điện tử i


Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013

38

dao động mạng, hiện tượng quan trọng
nhất gắn với phương trình (15) là hiện
tượng tự chặn – một bó sóng (hoặc một
hạt) ban đầu định xứ thì vẫn định xứ
trong một vùng hữu hạn quanh nút kích
thích ban đầu trong giới hạn thời gian dài.
Hiện tượng này xảy ra khi độ mạnh của
tính phi tuyến vượt quá giá trị giới hạn
c 3.5 [23, 24].
4. Kết luận
Bài viết đã trình bày một trong
những cách đơn giản nhất để dẫn ra
phương trình Schrödinger phi tuyến rời
rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều Hình 2. Sự phụ thuộc của xác suất tìm thấy hạt (hoặc
bó sóng) Ro (t ) tại vị trí kích thích ban đầu theo thời
quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên
gian được cho thấy. Giá trị giới hạn của tham số phi
cũng như trong các hệ vật lý do con tuyến mà trên đó hiện tượng tự chặn xảy ra được xác
người tạo ra.
u điểm của cách dẫn ra định là c 3.5 [24].
phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc trong bài viết này là khả năng tổng quát hóa
cách làm này đối với những bài toán phức tạp hơn. Bài viết cũng chứa đựng một vài kết
quả được xem như là những ví dụ của việc sử dụng phương trình Schrödinger phi tuyến

rời rạc trong việc nghiên cứu, giải quyết một số bài toán vật lý. Điều này được thực hiện
bởi chính bản thân tác giả.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] R. Morandotti, H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, M. Sorel, and J. S. Aitchison. 2001.
Self-focusing and defocusing in waveguide arrays, Phys. Rev. Lett. 86, 3296.
[2] S. Burger, F. S. Cataliotti, C. Fort, P. Maddaloni, F. Minardi, and M. Ingscio. 2002.
Quasi - 2D Bose - Einstein condensate in an optical lattice, Europhys. Lett. 57, 1.
[3] V. E. Zakharov. 1972. Collapse of Langmuir waves, Sov. Phys. JETP 35, 908.
[4] M. Onorato, A. R. Osborne, M. Serio, and S. Bertone. 2001. Freak Waves in
Random Oceanic Sea States, Phys. Rev. Lett, 86, 5831.
[5] T. Holstein. 1959. Studies of polaron motion: Part I. The molecular-crystal model,
Ann. Phys. 8, 325.
[6] T. Holstein. 1959. Studies of polaron motion: Part II. The “small” polaron, Ann.
Phys. 8, 343.
[7] A. Davydov. 1977. Soliton and energy transfer along protein molecules, J. Theor.
Biol. 66, 379.
[8] D. Hennig and G. P. Tsironis. 1999. Wave transmission in nonlinear lattices, Phys.
Rep. 307, 333.


Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013

39

[9] F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev, and Y.
Silberberg. 2008. Discrete soliton in optics, Phys. Rep. 463, 1.
[10] D. N. Christodoulides, F. Lederer, and Y. Silberberg. 2003. Discretizing light
behavious in linear and nonlinear waveguide lattices, Nature 424, 817.
[11] S. Flach and C. R. Willis. 1998. Discrete Breathers, Phys. Rep. 295, 181.
[12] T. Schwatz, G. Bartal, S. Fishman, and M. Segev. 2007. Transport and Anderson

localization in disordered two-dimensional photonic lattices, Nature 446, 52.
[13] Y. Lahini, A. Avidan, F. Pozzi, M. Sorel, R. Morandotti, D. N. Christodoulides,
and Y. Silberberg. 2008. Anderson Localization and Nonlinearity in One-Dimensional
Discreted Photonic Lattices, Phys. Rev. Lett. 100, 013906.
[14] Y. Lahini, F. Pozzi, M. Sorel, R. Morandotti, D. N. Christodoulides, and Y.
Silberberg. 2009. Direct Observation of a Localization Transition in Quasi-Periodic
Photonic Lattices, Phys. Rev. Lett. 103, 013901.
[15] J. Billy, V. Josse, Z. Zuo, A. Bernard, B. Hambrecht, P. Lugan, D. Clément, L.
Sanchez-Palencia, P. Bouyer, and A. Aspect. 2008. Direct observation of Anderson
localization of matter-waves in a controlled disorder, Nature 453, 891.
[16] G. Roati, C. D’Errio, L. Fallani, M. Fattori, C. Fort, M. Zaccanti, G. Modugno, M.
Modugno, and M. Ingucio. 2008. Anderson localization of a non-interacting BoseEinstein condensate, Nature 453, 895.
[17] G. Alfimov, P. G. Kevrekidis, V. V. Konotop, and M. Salerno. 2002. Wannier
function analysis of the nonlinear Schrodinger equation with a periodic potential, Phys.
Rev. E 66, 046608.
[18] W. Kohn. 1959. Analytic Properties of Bloch Waves and Wannier Functions, Phys.
Rev. 115, 809.
[19] P. W. Anderson. 1958. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices, Phys.
Rev. 109, 1492.
[20] B. P. Nguyen, K. Kim, F. Rotermund, and H. Lim. 2011. Enhanced localization of
waves in one-dimensional random media due to nonlinearity: Fixed input case, Physica
B 406, 4535.
[21]. B. P. Nguyen and K. Kim. 2011. Influence of weak nonlinearity on the 1D
Anderson model with long-range correlated disorder, Eur. Phys. J. B 84, 79.
[22] B. P. Nguyen and K. Kim. 2012. Anomalously suppressed localization in the twochannel Anderson model, J. Phys.: Condens. Matter 24, 135303.
[23] M. Johannson, M. Hornquist, and R. Riklund. 1995. Effects of nonlinearity on the
time evolution of single-site localized states in periodic and aperiodic discrete systems,
Phys. Rev. B 52, 231.
[24] B. P. Nguyen and K. Kim. 2013. Wave packet dynamics in one-dimensional
nonlinear Schrödinger lattices: Local vs. nonlocal nonlinear effects, J. Kor. Phys. Soc.

(accepted for publication).