Dùng phương pháp tán xạ ngược tìm nghiệm soliton của phưowng trình schrodinger phi tuyến

MỞ ĐẦU

Ngày nay thông tin quang được ứng dụng rộng rãi trên thế giới, do
những ưu điểm về băng thơng rộng, độ suy hao tín hiệu bé, khơng bị ảnh
hưởng của nhiễu sóng điện từ… Đặc biệt trong q trình truyền dẫn thơng tin
quang thì tín hiệu được truyền đi có tính ổn định cao và sự méo tín hiệu được
giảm đến mức tối đa và hầu như không bị méo. Tuy nhiên nếu xây dựng được
hệ thơng tin solitons quang thì sẽ tạo ra một cuộc cách mạng trong viễn thông
quang học.

Soliton quang học được hình thành khi xung quang học có cơng suất
lớn lan truyền trong mơi trường phi tuyến mà quá trình co xung do hiệu ứng
Kerr cân bằng với quá trình giãn xung do tán sắc. Soliton quang học là các
xung quang học có khả năng giữ ngun dạng của nó trong q trình lan
truyền. Thơng tin soliton có thể truyền dẫn xung ngắn trên cự ly dài, cho phép
thông tin tốc độ cực cao. Do đó, nghiên cứu sự hình thành, lan truyền solitons
quang học trong sợi quang và sử dụng trong thông tin quang đang là vấn đề
rất được quan tâm ở trong nước và trên thế giới.

Thông thường người ta sử dụng lý thuyết trường điện từ của Maxwell
để mơ tả q trình lan truyền xung trong mơi trường phi tuyến nói chung và
sợi quang nói riêng. Trong đó sự lan truyền của các xung ánh sáng được mơ
tả thơng qua phương trình của hàm bao biến thiên chậm. Phương trình lan
truyền của các xung trong sợi quang (môi trường phi tuyến kiểu Kerr) ở các
khai triển bậc thấp có dạng phương trình Schrodinger phi tuyến (nonlinear
Schrodinger equations - NLSE). NLSE cho các nghiệm soliton nếu các xung
ánh sáng thoả mãn một số điều kiện nhất định.

Xuất phát từ các lí do nêu trên chúng tơi chọn đề tài:
DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÁN XẠ NGƯỢC TÌM NGHIỆM
SOLITON CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN.

Nội dung của luận văn được trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, hai
chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.

Chương 1: Lan truyền xung trong môi trường phi tuyến.
Khảo sát quá trình lan truyền của xung quang học trong sợi quang.
Trong chương này sẽ dẫn ra các phương trình lan truyền của xung quang học
trong sợi quang. Hai hiệu ứng quan trọng và cơ bản quyết định đến sự hình
thành soliton quang học là hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm (group velocity
dispersion - GVD) và hiệu ứng tự biến điệu pha (self phase modulation -
SPM) cũng sẽ được khảo sát chi tiết. Ngoài ra trong chương này còn giới
thiệu về soliton và một số loại soliton.
Chương 2: Giải NLSE bằng phương pháp tán xạ ngược. Các soliton cơ
bản và soliton bậc cao được tìm thấy khi xung lan truyền trong chế độ tán sắc
dị thường.

2

CHƯƠNG I: LAN TUYỀN XUNG TRONG

MÔI TRƯỜNG PHI TUYẾN

1.1. Phương trình truyền sóng

Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng xung của nó cỡ

pico-giây. Trong giới hạn cổ điển, sự lan truyền của các xung trong sợi quang

có thể mơ tả một cách tốn học bằng hệ phương trình Maxwell.

 
B
rotE  t

 (1.1)
  B
rotH  j  t


divD 


divB 0

  
trong đó E và H tương ứng là véctơ cường độ điện trường và từ trường, D

 
và B là véctơ cảm ứng điện và cảm ứng từ, j là véctơ mật độ dòng điện dẫn

và  là mật độ điện tích tự do.

Phương trình lan truyền xung được đề cập trong mơi trường sợi quang -

môi trường điện môi, nên các gần đúng sau đây được sử dụng [4]:

  =  ;  = 0), đó là phép gần
0
Môi trường khơng có điện tích tự do ( j

đúng tốt cho sợi quang.



 Mơi trường khơng có từ tính ( M 0 ), sợi quang là một môi trường như

vậy.

 Bước sóng của trường quang học lan truyền trong sợi quang là xa miền

cộng hưởng của môi trường (0,5 - 2µm).

 Phép xấp xỉ lưỡng cực là hợp lệ, do đó các q trình thơng số bậc hai

như trộn ba sóng và phát hồ âm bậc hai được bỏ qua. Trong thực nghiệm

chúng vẫn xảy ra vì các hiệu ứng tứ cực và lưỡng cực từ, tuy nhiên chúng là

rất nhỏ.

3

 Môi trường đáp ứng với trường quang học một cách cục bộ (địa
phương), điều đó là phù hợp cho phép xấp xỉ của nhiều phép chiếu.



 Véctơ phân cực phi tuyến PNL có thể xem như là một nhiễu loạn nhỏ



so với véctơ phân cực tồn phần P .
 Chỉ có hiệu ứng phi tuyến bậc ba là cần thiết phải đặt vào phần mơ tả

hiệu ứng phi tuyến. Điều đó phù hợp vì các hiệu ứng bậc hai và bậc bốn (bậc
chẵn) bằng không do cấu tạo đối xứng tâm của tinh thể ơxit - silic. Cịn các
hiệu ứng bậc năm (bậc lẻ) và cao hơn nữa là rất nhỏ so với hiệu ứng bậc ba và
có thể bỏ qua.

 Phần ảo của hệ số điện môi  () (phần ảo của hệ số điện môi biểu
diễn sự hấp thụ năng lượng của môi trường) là nhỏ so với phần thực. Nghĩa là
sự hao phí trên sợi quang là nhỏ, điều đó là một phép gần đúng tốt khi bước
sóng của xung quang học là xa miền bước sóng cộng hưởng của sợi quang.

 Bước sóng của trường quang học phải lớn hơn bước sóng giới hạn của
sợi quang sao cho điều kiện truyền đơn mode được thoả mãn.

 Sự đáp ứng phi tuyến của môi trường được coi là tức thời. Phép gần
đúng này là phù hợp cho các xung có độ rộng lớn hơn cỡ 70 ps.

 Trường quang học là phân cực phẳng (thẳng) và giữ nguyên dọc theo



chiều dài của sợi quang. Chẳng hạn véctơ cường độ điện trường E dao động
theo phương xác định là trục x (phương phân cực của trường quang học) và
phương lan truyền là trục z trùng với trục sợi quang. Do đó ta có thể đưa bài
tốn ba chiều về bài tồn một chiều.

 Trường quang học thoả mãn điều kiện chuẩn đơn sắc, nghĩa là trường

là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm 0 và độ rộng phổ
 thoả mãn  / 0 1. Điều đó cho phép áp dụng phép gần đúng hàm bao
biến đổi chậm. Ta có thể biểu diễn xung dưới dạng trường có đường bao biến
đổi chậm như sau:

4

  1
E(r,t) ex E(z,t)  ex[ A(z,t) exp{-i(0t  z)}  cc] (1.2)
2

trong đó A(z,t) là hàm bao phức biến thiên chậm theo thời gian (trong một chu

kỳ dao động của sóng mang hàm bao biến thiên không đáng kể); cc là liên

hợp phức của A(z,t)exp{-i( 0t - βzz)}; A(z,t) và A(z,t) 2 tương ứng là

biên độ và cường độ xung - đại lượng trong thực tế ta có thể đo được. Sự lan

truyền của hàm bao biến thiên chậm A(z,t) của xung quang học được mơ tả

bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng sau [4]:

 A A i2 2 A 2 (1.3)
 1  2 i A A
z t 2 t

trong đó 1   0 và  g  11 là vận tốc nhóm của xung;

2  0 là độ tán sắc vận tốc nhóm;

2  2



 n20 là hệ số phi tuyến; Aeff là tiết diện hiệu dụng của
cA
eff

sợi quang; 0 là tần số góc trung tâm của xung.

Để đơn giản ta xét trong hệ toạ độ chuyển động cùng với xung (chuyển

động cùng với vận tốc nhóm vg) bằng cách đưa vào biến

T t  z
g

và bằng cách đổi biến này phương trình (1.3) được đưa về NLSE:

A  i2 2 A 2 2 i A A (1.4)
z 2 T

Phương trình trên mơ tả quá trình lan truyền của các xung ngắn trong

sợi quang, số hạng thứ hai ở vế trái mô tả hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm, cịn

số hạng ở vế phải mô tả hiệu ứng tự biến điệu pha. Trong sự cân bằng giữa

hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha phương trình

(1.4) sẽ cho nghiệm soliton.

5

1.2. Lan truyền của sóng liên tục

1.2.1 Các chế độ lan truyền xung

NLSE mô tả sự lan truyền của xung quang học (có độ rộng lớn hơn

5ps) trong sợi quang đơn mode [4]:

A  2 2 A 2 (1.5)
i 2  A A
z 2 T

Hai thành phần ở vế phải tương ứng với các hiệu ứng tán sắc và hiệu

ứng phi tuyến. Phụ thuộc vào độ rộng ban đầu T0 và công suất đỉnh P0 của

xung tới mà mỗi hiệu ứng tán sắc hay phi tuyến có thể ảnh hưởng nhiều hay ít

đến q trình lan truyền xung. Để thuận tiện người ta đưa vào hai chiều dài là

chiều dài tán sắc LD và chiều dài phi tuyến LNL. Sự lan truyền của xung có thể

rất khác nhau phụ thuộc vào độ lớn tỉ đối giữa chiều dài tán sắc LD, chiều dài

phi tuyến LNL và chiều dài sợi quang L.

Ta đưa vào biến thời gian không thứ nguyên:

  T t  z / g
T0 T0

T0 là độ rộng nửa xung tại giá trị của xung bằng 1/e lần giá trị đỉnh xung, và

biên độ chuẩn hoá U, thoả mãn U(0,0) = 1. Khi đó:

A(z, )  P0U (z, ) (1.6)

với P0 là công suất đỉnh của xung tới, thay (1.6) vào (1.5) ta được phương

trình sau:

U  2 2U 2
i  2 2  P0 U U (1.7)
z 2T0 

Đặt: LD  T0  2 ; 2 LNL  1 P0 (1.8)

Phương trình (1.7) được viết lại:

U sgn( 2 ) 2U 1 2 (1.9)
i 2 UU
z 2LD  LNL

6

trong đó sgn(βz2) = ±1 phụ thuộc vào dấu của thơng số tán sắc vận tốc nhóm

βz2.

sgn(βz2) =1 khi βz2 > 0 và sgn(βz2) = -1 khi βz2 < 0.

Phụ thuộc vào độ lớn tỷ đối giữa chiều dài tán sắc, chiều dài phi tuyến

và chiều dài sợi quang mà các chế độ lan truyền của xung có thể chia làm bốn

loại sau [4]:

 Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << LNL và L << LD thì cả hai hiệu

ứng tán sắc lẫn phi tuyến đều khơng có vai trị quan trọng trong suốt q trình

xung lan truyền. Điều đó có thể thấy rõ khi để ý rằng cả hai số hạng ở vế phải

của phương trình (1.9) có thể được bỏ qua trong trường hợp này (với giả thiết

rằng dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho 2U /  2 ~ 1). Bởi vậy kết quả

là U(z, ) = U(0, ) nghĩa là xung giữ nguyên dạng ban đầu của nó qua q

trình lan truyền. Sợi quang trong chế độ này giữ vai trò thụ động và chỉ làm

nhiệm vụ truyền các xung quang học (ngoại trừ ra làm biến đổi nhỏ các xung

do hao phí trên sợi quang). Chế độ này là hữu ích cho hệ thống thông tin

quang. Đối với các sợi quang chuẩn, tại bước sóng λ = 1,55 m thì 2 

20ps2km-1 và   3W-1km-1 ; với xung vào có T0 > 100ps và P0̃ 1mW thì từ

(1.8) LD và LNL cần phải lớn hơn 500 km để có thể bỏ qua được hiệu ứng tán

sắc và phi tuyến. Khi đó, chiều dài sợi quang L̃ 50km, để bỏ qua sự méo tín

hiệu trong q trình truyền [4].

 Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << LNL nhưng L ~ LD thì số hạng

cuối cùng của phương trình (1.9) có thể được bỏ qua so với hai số hạng còn

lại. Sự lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm, cịn

hiệu ứng phi tuyến trong trường hợp này khơng có vai trị quan trọng. Chế độ

này xảy ra khi các thông số của xung thoả mãn điều kiện:

LD P0T02  1 (1.10)
LNL 2

7

Đối với xung 1ps, nếu ta sử dụng các giá trị điển hình của các thơng số  và
βz2 của sợi quang tại bước sóng  = 1,55 m ta có thể đánh giá được P0 <<

1W.

 Khi chiều dài sợi quang thoả mãn L << LD nhưng L ~ LNL số hạng biểu

diễn hiệu ứng tán sắc trong (1.9) có thể được bỏ qua khi so sánh với số hạng

phi tuyến (miễn là dạng hàm bao của xung là đủ trơn để cho 2U /  2 ~ 1).

Trong trường hợp này sự lan truyền của xung bị chi phối bởi hiệu ứng tự biến

điệu pha, nó đưa tới sự mở rộng phổ tần số của xung. Hiệu ứng phi tuyến ảnh

hưởng đến quá trình lan truyền xung là chủ yếu khi:

2  1 (1.11)

LD P0T0

LNL 2

Điều kiện này thoả mãn cho các xung tương đối rộng T0 > 100 ps với đỉnh

công suất P0 = 1W.

 Khi chiều dài sợi quang là dài hơn hoặc so sánh được với hai chiều dài

phi tuyến LNL và chiều dài tán sắc LD thì cả hai hiệu ứng trên đồng thời ảnh

hưởng lên quá trình lan truyền xung. Sự ảnh hưởng đồng thời của cả hai hiệu

ứng tán sắc vận tốc nhóm và tự biến điệu pha sẽ đưa lại các dạng khác so với

dạng chỉ có một hiệu ứng tự biến điệu pha hoặc tán sắc vận tốc nhóm. Trong

chế độ tán sắc dị thường ( 2  0) sợi quang có khả năng cung cấp soliton.

Trong chế độ tán sắc thường ( 2  0 ) hiệu ứng tự biến điệu pha và tán sắc vận

tốc nhóm có thể sử dụng để nén xung.

1.2.2 Tán sắc vận tốc nhóm

Tán sắc vận tốc nhóm sẽ đưa tới sự mở rộng khi xung lan truyền qua

sợi quang. Chế độ lan truyền xung mà trong đó chỉ có hiệu ứng tán sắc vận

tốc nhóm là ảnh hưởng chủ yếu đến quá trình lan truyền xung và hiệu ứng phi

tuyến có thể bỏ qua khi LD / LNL 2 / 2 1.

P0T0

8

Sử dụng biên độ chuẩn hoá U(0,0) = 1, khi đó phương trình lan truyền

xung trong chế độ chỉ có hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm thoả mãn:

i U 2 2U2 (1.12)
z 2 T

Ta sẽ giải phương trình này bằng cách sử dụng biến đổi Fourier. Gọi

~ là ảnh Fourier của hàm U(z,T) theo biến đổi:

U (z,)

~ (1.13)

U ( z,)  U ( z,T ) exp(iT )dT



Ta có:  2U 2~ (1.14)
 (i) U
T 2

Ảnh Fourier của phương trình (1.12) là:

U 2 2 ~ (1.15)
i   U
z 2

Nghiệm phương trình vi phân thường trên cho bởi:

~ ~ 2 2 (1.16)
U (z,) U (0,) exp(i  z)
2

Trong đó ~ là biến đổi Fourier của U(0, T) theo:
U (0, )

~ (1.17)

U (0, )  U (0, T ) exp(iT )dT



Sử dụng biến đổi Fourier ngược ta có nghiệm của (1.12) là:

~ 1 ~ 2 2 (1.18)
U (z,T )  U (0,) exp(i  z  iT )d
2   2

Từ (1.16) và (1.18) chỉ ra rằng hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm làm thay

đổi pha của mỗi thành phần phổ của xung, lượng thay đổi đó phụ thuộc vào

tần số của xung và khoảng cách lan truyền. Do ~ ~ nên phổ
U ( z,  ) U (0,  )

của xung là không thay đổi. Mặc dù sự thay đổi về pha không làm thay đổi

phổ của xung nhưng chúng có thể làm thay đổi dạng của xung.

Ta hãy xét một ví dụ cụ thể với xung vào là xung Gauss (Hình 1.1).

9

Hình 1.1: Xung Gauss vào sợi quang U(0,T)

Trường quang học được đưa vào sợi quang tại z = 0 là xung Gauss có dạng:

 T2  (1.19)
U (0,T ) exp  2 

 2T0 

trong đó T0 là nửa độ rộng của xung tại giá trị của xung bằng 1/e lần giá trị
của đỉnh xung.

Thay (1.19) vào (1.17):

~   T2   1 2 2
U (0,)   exp  2  iT dT  2 T0 exp  T0  
  2T0  2 
 

Áp dụng (1.18) ta có [4]:

U (z,T )  T0 2   1 2 2   i 2 2 z 
 exp  T0   exp  iT d
2    2   2 
 

U (z,T )  T0  T2 
exp   (1.20)
2  2 iz ) 
   2 
T0  iz 2 2(T0

Ta có thể viết lại U(z,T) dưới dạng U (z,T)  U(z,T) exp(i) như sau:

10

U (z,t)  T0 exp 2  T2    1 z2 z2T 2 
4  expi acrtg 2  4 
22 2 2
2 22 2T0 [1  (z  ) / T0 ]   2 T0 T0  z 2 

T0  z 2

1 exp 2  T2   1 z T 2 (z / LD 
  expi sgn(2 ) acrtg 2 
2 2 LD T0 1  (z / LD ) 2
4 1  (z / LD )2 2T0 [1  (z / LD ) ] 

Hàm bao của xung có dạng:

U (z,T )  1 exp 2 T2  (1.21)
2
4 1  (z / LD )2 2T0 [1  (z / LD ) ]

Từ (1.21) ta thấy khi khoảng cách lan truyền xung càng tăng (z tăng) thì

đỉnh của xung sẽ giảm (cường độ của xung giảm) theo quy luật

1 (z / LD )2  14 và độ rộng của xung T0(z) tăng theo khoảng cách lan truyền:

T0 (z) T0 1  (z / LD ) 2 (1.22)

Điều này được biểu diễn trên hình 1.2:

Hình 1.2: Dạng xung bị mở rộng trong quá trình lan truyền
truyền.

11

Pha của xung có dạng:

1 z T 2 (z / LD) 
(z,T ) sgn(2 ) acrtg  2 2 (1.23)
2 LD T0 1  (z / LD ) 
 

Nghĩa là trong phương trình lan truyền thì pha của xung bị biến điệu đi

một lượng (z,T ) . Sự phụ thuộc vào thời gian của (z,T ) chỉ ra rằng tần

số của xung biến thiên một cách liên tục và tần số tức thời khác với tần số

trung tâm của xung 0 một lượng    0 bằng   / T (ở đây ta lấy

dấu trừ vì trong (1.2) ta đã chọn pha là exp( i0t ))

   sgn(2 ) 2 2 2(z / LD ) T (1.24)
T 1  (z / LD ) T0

Phương trình (1.24) chỉ ra rằng tần số thay đổi tuyến tính theo xung. Độ

dịch tần số  phụ thuộc vào dấu của 2 . Trong chế độ tán sắc thường 2

>0 thì  là âm tại phần đầu của xung (T<0) và tăng tuyến tính theo xung

(Hình 1.3a). Trong chế độ tán sắc dị thường 2 <0 thì  là dương tại phần

12

đầu của xung (T < 0) và giảm tuyến tính theo xung (Hình 1.3b).

2  0

a

2  0

b
13

Hình 1.3: Xung Gauss sau một khoảng lan truyền U(z = LD , T ):
a. Trong chế độ tán sắc thường
b.Trong chế độ tán sắc dị thường

Trong chế độ lan truyền này xung quang học sẽ mở rộng đối xứng về hai phía
sườn trước và sau của xung. Đồng thời xung cũng sẽ dịch tần tuyến tính. Dấu
của thơng số tán sắc vận tốc nhóm 2 sẽ xác định chiều của sự dịch chuyển
tần số. Tuy nhiên hiệu ứng tắn sắc vận tốc nhóm sẽ khơng làm mở rộng phổ
của xung. Sự tán sắc đưa tới sự mở rộng xung là do các thành phần tần số
khác nhau của xung chuyển động với các vận tốc khác nhau dọc theo ống sợi
quang bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm. Các thành phần sóng đỏ (có tần số
thấp) sẽ chuyển động nhanh hơn các thành phần sóng xanh (có tần số cao
hơn) trong chế độ tán sắc thường và ngược lại trong chế độ tán sắc dị thường.
Xung chỉ có thể giữ nguyên được độ rộng của nó nếu mọi thành phần phổ đều
tới cuối sợi quang cùng một lúc. Bất kì một sự trễ thời gian nào của các thành
phần phổ đều đưa tới sự mở rộng xung.

1.2.3 Tự biến điệu pha

Để đơn giản ta có thể bỏ qua hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm và chỉ xét

hiệu ứng tự biến điệu pha (hệ số 2 đặt bằng 0). Sử dụng biên độ chuẩn hố

trong (1.6) phương trình lan truyền xung có dạng [4]:

U i exp( z) U 2U (1.25)
z LNL

Đặt U (z,T ) V exp(iNL ) , trong đó V(z,T), NL (z,T ) là các hàm thực

thay vào (1.25) ta có:

Vz exp(iNL )  iV NL z exp(iNL ) i exp( z) L V 3 exp(i NL NL )

Cân bằng phần thực và phần ảo thu được các phương trình cho V và

 NL :

14

V z 0 ; NL z exp( z) L V 2 Nl (1.26)

Hệ (1.26) có nghiệm: V(z,T) = V(0,T)

NL (z,T )  V 2 1  exp( z) LNL  .

Tại z = 0: U(0,T) = V(0,T) exp(i0)

 V (z,T) = V (0,T) = U (0,T).

Đặt Lhd [1  exp( z)] / và gọi là chiều dài hiệu dụng, nó nhỏ hơn

khoảng cách lan truyền. Nếu sự hao phí trên sợi quang được bỏ qua thì Lhd= z.

Khi đó NL U (0,T ) 2 Lhd và nghiệm của (1.25) là:

U (z,T ) U (0,T ) exp(iNL ) (1.27)

Phương trình (1.27) chỉ ra rằng hiệu ứng tự biến điệu pha không làm

thay đổi dạng của xung trong q trình lan truyền. Tuy nhiên nó làm cho pha

của xung thay đổi đột ngột. Sự thay đổi pha của xung phụ thuộc vào cường độ

của xung và tăng theo khoảng cách lan truyền (Hình 1.4).

15

Hình 1.4: Xung vào sợi quang và xung sau khoảng cách lan truyền z = 20LNL

Do sự phụ thuộc vào thời gian của pha NL nên tần số tức thời của

xung sẽ biến thiên. Tần số tức thời của xung khác với tần số trung tâm của

xung 0 một lượng (T ) cho bởi:

(T )  NL  Lhd  U (0,T ) 2 (1.28)
T LNL T

Sự phụ thuộc vào thời gian của (T ) làm dịch chuyển tần số xung,

lượng dịch chuyển tần số biến thiên theo cường độ của xung và tăng theo

khoảng cách lan truyền. Nói cách khác trong quá trình xung lan truyền trong

sợi quang các thành phần tần số mới liên tục được sinh ra. Như vậy hiệu ứng

tự biến điệu pha làm phát sinh các thành phần tần số mới và kết quả là làm

mở rộng phổ của xung. Dạng phổ của xung S () nhận được bởi sử dụng biến

đổi Fourier cho (1.27).

 2 (1.29)

S ()  U (0, T ) exp{i NL ( z, T )  i(  0 )T }dT
-

Xét ví dụ cho xung vào là xung Gauss cho bởi (1.19). Hiệu ứng tự biến

điệu pha làm biến đổi pha của xung theo:

16

Lhd  T 2  (1.30)
NL (z,T )  exp  2 

LNL  T
 0

Xung bị dịch tần một lượng:

(T )  2T Lhd  T 2  (1.31)
exp  
2 LNL  T2 
 0
T0

Phổ của xung cho bởi

 T 2   Lhd  T 2   2

S ()  exp  2  expi exp  2   i(  0 )T dT (1.32)
 2T0   LNL  T 
 0

Phương trình (1.32) khơng cho biểu thức giải tích tuy nhiên có thể mơ

phỏng trên máy tính đồ thị của S() (Hình 1.5).

6

SS 4 (ω))

0 22 2

Lhd LNL \ 44 0

6 2 4
L /L 20

hd NL  0

84 ω) - ω)0

1.3 Soliton Hình 1.5: Sự thay đổi phổ của xung theo khoảng cách lan truyền.
1.3.1 Cơ sở xuất hiện soliton quang học

17

Khi xung quang học lan truyền trong mơi trường tán sắc thì dạng của
nó liên tục thay đổi do các thành phần tần số khác nhau lan truyền với các vận
tốc nhóm khác nhau. Khi mơi trường là phi tuyến thì q trình tự biến điệu
pha sẽ làm pha cũng như tần số của xung thay đổi. Quan hệ giữa hiệu ứng tán
sắc vận tốc nhóm và hiệu ứng tự biến điệu pha sẽ làm cho xung giãn ra hoặc
co lại phụ thuộc vào độ lớn và chiều của hai hiệu ứng trên. Trong một điều
kiện nhất định thì dạng ban đầu của xung sẽ giữ ngun khơng đổi trong q
trình lan truyền. Điều này xảy ra khi hiệu ứng tự biến điệu pha và hiệu ứng
tán sắc vận tốc nhóm bù trừ cho nhau. Các xung ổn định như vậy gọi là
soliton. Các soliton quang học là các sóng trực giao theo nghĩa khi hai sóng
lan truyền qua nhau trong mơi trường thì đường bao biên độ khơng đổi mà chỉ
có sự dịch pha do q trình tương tác. Do vậy nó vẫn tiếp tục lan truyền như
thực tại độc lập.

Xét xung Gauss đưa vào sợi quang với tần số của xung là 0 và tần số
của nó được giữ nguyên là hằng số trên tồn bộ xung (xung Gauss khơng
chirp).

Nếu xung này lan truyền qua sợi quang với hệ số tán sắc vận tốc nhóm
2 < 0 nó sẽ bị ảnh hưởng bởi hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm. Do đó tần số ở
phần đầu xung sẽ lớn hơn tần số ở phần đuôi xung. Các thành phần tần số lớn
hơn sẽ lan truyền nhanh hơn một ít so với các thành phần tần số nhỏ hơn do
đó chúng sẽ đến cuối sợi quang trước. Kết quả là tín hiệu ta nhận được sẽ
rộng hơn tín hiệu ban đầu và đuôi xung bị dịch tần.

Bây giờ nếu giả thiết xung lan truyền trong môi trường phi tuyến không
tán sắc, xung sẽ bị ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha. Độ dịch tần của
xung cho bởi (1.31), độ dịch tần có giá trị âm ở phần đầu xung và có giá trị
dương ở phần cuối xung. Do đó tần số ở phần đầu xung sẽ bé hơn ở phần cuối
xung, phần đầu xung bị giãn.

18

Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng trên được mô tả bởi
hình 1.6:

Môi trường tán
sắc tuyến tính

Môi trường phi
tuyến không tán
sắc

Hình 1.6: Xung lan truyền bị ảnh hưởng bởi mỗi hiệu ứng GVD và SPM.
Bây giờ trên thực tế xung lan truyền trong sợi quang chịu tác dụng
đồng thời của hai hiệu ứng sẽ dẫn tới sự dịch chuyển tần số theo cả hai hướng
đối diện nhau. Điều đó có thể tạo ra một xung sao cho hai hiệu ứng tự biến
điệu pha và tán sắc vận tốc nhóm cân bằng với nhau. Như vậy tổng hợp cả hai

hiệu ứng sẽ làm cho xung khơng thay đổi trong q trình lan truyền. Xung có
tính chất đặc biệt như vậy gọi là soliton thời gian.

1.3.2 Nghiệm soliton cơ bản của NLSE

Nghiệm soliton cơ bản của NLSE có dạng:

u( , )  sec h(   s   ) expi (     s  (1.33) 2   2 ) 
  2 

trong đó ; ; s ;s là bốn thơng số tuỳ ý đặc trưng cho soliton. Mỗi sợi

quang sẽ có một họ bốn thơng số của soliton cơ bản.

Bây giờ ta sẽ khảo sát ý nghĩa vật lý của bốn thông số này. Bốn thông

số ; ; s ;s biểu diễn biên độ, độ dịch tần số, toạ độ và pha của soliton

tương ứng. [4]

19

Pha s có thể được bỏ qua, bởi vì một hằng số pha là khơng có ý nghĩa

vật lý đối với một soliton đơn lẻ. Nó chỉ trở nên quan trọng khi khảo sát sự

tương tác phi tuyến giữa các soliton.

Thông số  s xác định toạ độ đỉnh của soliton, nó cũng có thể được bỏ

qua. Thật vậy, nếu như gốc thời gian ta chọn sao cho đỉnh của soliton tại

 0 khi  0 thì  s 0 .

Từ thừa số pha exp[i( 2   2 ) / 2   s ] exp[i] trong (1.33) nếu lấy

đạo hàm theo  được  d / d  . Nên thông số  biểu diễn độ dịch chuyển

tần số của soliton so với tần số sóng mang của trường quang học ban đầu là

0 . Chú ý đến thành phần biểu diễn tần số của trường là exp( i0t) thì tần

số mới của trường sẽ là:

'0 0  1 d T  0 d 0  T0 (1.34)

Cần chú ý rằng sự dịch chuyển tần số cũng làm thay đổi tốc độ lan

truyền của soliton so với gốc toạ độ ta đã chọn chuyển động với giá trị vận tốc

 g . Sự thay đổi vận tốc nhóm là hệ quả của sự tán sắc trên sợi quang. Thông

số độ dịch tần  cũng có thể được bỏ qua bằng cách chọn tần số sóng mang

thích hợp.

Như vậy soliton cơ bản chỉ với một thông số được mô tả bởi:

1 2  (1.35)
u( , )  sec h( ) exp i  

2 

Thông số  không chỉ xác định biên độ của soliton mà còn xác định độ

rộng của nó. Trong hệ đơn vị đo thực, độ rộng của soliton thay đổi cùng 

theo hệ thức T0 / , nghĩa là độ rộng của soliton tỉ lệ nghịch với biên độ của

soliton. Mối liên hệ tỉ lệ nghịch giữa biên độ và độ rộng của soliton là quyết

định chủ yếu hầu hết các tính chất của các soliton.

Dạng chính tắc của soliton cơ bản có thể nhận bởi chọn u(0,0) = 1 và

 = 1. Với sự lựa chọn này (1.35) trở thành

20