- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- THPT Quốc Gia
đề thi thử THPT QG 2020 toán chuyên KHTN hà nội l3 có lời giải(sau tinh giản)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.26 MB, 28 trang )
TRƯỜNG THPT CHUN KHTN
BỘ MƠN CHUN TỐN
MÃ ĐỀ 234
ĐỀ THI THỬ THPT KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM 2020
LÂN III
Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 90 phút
MỤC TIÊU:
Đề thi thử tốt nghiệp THPT mơn Tốn lớp 12 lần 3 của trường THPT Chuyên KHTN – Hà Nội năm 2020
được đánh giá là bám rất sát đề minh họa của Bộ GD&ĐT. Trong đề thi chỉ xuất hiện một vài câu hỏi khó
(41, 47, 48, 50, rơi vào các đơn vị kiến thức: thể tích, cực trị, phương trình mũ, loga) tuy nhiên đó vẫn là các
dạng bài quen thuộ. Các em học sinh ơn tập tốt hồn tồn có thể đạt điểm tuyệt đối trong đề thi này. Đề thi
giúp các em học sinh ôn tập đúng trong tâm nhất để đạt kết quả cao nhất trong kì thi chính thức sắp tới.
Câu 1: Cho hàm số f ' x có bảng biến thiên:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
A. 0
B. 2
D.
x 2 y 1 z 1
. Vecto nào sau đây
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
1
3
2
là một vecto chỉ phương của đường thẳng d?
A. u2 (2;1; 1)
B. u4 (1;3; 2)
C. u3 (1; 3;2)
D. u1 (1; 3;2)
Câu 3: Họ nguyên hàm
C. 1
x2 2 x 3
x 1 dx bằng :
x2
1
x2
x
C
A. x 2ln | x 1| C
B.
2
( x 1)2
2
x2
C. x 2ln | x 1| C
D. x2 x 2ln | x 1| C
2
Câu 4: Cho cấp số cộng un có có cơng sai d 2, u1 1 Giá trị của u5 bằng:
A. 7.
B. 9
C. 11
D. 5
Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB 3, AD 4, AA ' 5. Gọi O là tâm của đáy
ABCD . Thể tích khối chóp O. A ' B ' C ' bằng:
A. 30
B. 60
C. 10
D. 20
Câu 6: Một lớp học có 35 học sinh. Số cách chọn ra 3 học sinh để tham gia văn nghệ trường là:
3
3
A. 35
B. C35
C. 235
D. A35
Câu 7: Cho hàm số f x có bảng biến thiên:
Trang 1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng:
A. (3; )
B. (1;3)
C. ( ;1)
D. ( 2;2)
x 1 t
Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 1; 1;2 và đường thẳng d : y 1 t . Phương trình mặt
z 1 2t
phẳng qua A và vng góc với d là:
A. x y z – 2 0
B. x y 2 z 6 0
C. x y 2 z – 6 0
D. x y z 2 0
Câu 9: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như trong hình bên?
A. y x3 3x 1
B. y x3 3x 1
C. y x4 2x2 1
D. y x4 2x2 1
Câu 10: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1;2;1 và điểm B 1;2; 3 . Mặt cầu đường kính AB có
phương trình là:
A. x2 ( y 2)2 ( z 1)2 5
B. ( x 1)2 y2 ( z 2)2 20
C x2 ( y 2)2 ( z 1)2 20
D. ( x 1)2 y2 ( z 2)2 5
Câu 11: Cho số phức z i (1 3i ) . Tổng phần thực và phần ảo của số phức z bằng:
A. 2
B. 2
C. 4
D. 4
x2
Câu 12: Nghiệm của phương trình 3 27 là:
A. x 3
B. x 1
C. x 1
D. x 2
2
Câu 13: Cho
2
2
1
1
f ( x)dx 2 và g ( x)dx 3 Giá trị của f x 2 g x dx bằng:
1
C. 4
D. 3
x 3 t
Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y 1 2t . . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng d?
z 2 t
A. P 2, 1, 2
B. N 1; 2; 1
C. Q 3; 1; 2
D. M 3; 1; 2
A 1
B. 8
Câu 15: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên:
Trang 2
Số nghiệm của phương trình 2 f x 3 0 là:
A. 3
B. 2
C.1
Câu 16: Cho khối cầu có thể tích bằng 36 . Diện tích mặt cầu đã cho bằng:
A. 18
B. 36
C. 12
Câu 17: Tập xác định của hàm số y log3 ( x 2) là:
A. (; 2)
B. (2; )
C. (0;2)
D. 0
D. 16
D.
Câu 18: Thể tích của lăng trụ tam giác đều có đường cao bằng a, cạnh đáy bằng a 2 là:
a3 3
a3 3
a3 3
2a 3 3
A.
B.
C.
D.
2
6
4
3
2x 1
Câu 19: Đồ thị hàm số y
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
x3
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
2x 1
Câu 20: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
là:
x2 3
A. 4
B. 2.
C.1
D. 3
Câu 21: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos 2 x, y 0 và x 0, x bằng:
4
1
1
A. 1
B.
C.
D.
4
8
4 2
8 4
Câu 22: Cho hàm số y f x có đồ thị f ' x như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y f x là:
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
3
2
Câu 23: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3x 2 trên đoạn 1;1 bằng:
A. -3
B. 2
C. 0
D. -2
Câu 24: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vng cạnh a 2 , tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vng góc với đáy. Tính thể tích khối chóp đã cho.
Trang 3
a3 6
a3 6
a3 3
2a 3 6
B.
C.
D.
3
6
2
3
Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : – x 3 y 2 z 1 0. Vecto nào sau đây là một vecto
pháp tuyến của (P) ?
A. n2 (1; 3; 2)
B. n1 (1;3; 2)
C. n3 (1;3;1)
D. n4 (1;3;2)
A.
Câu 26: Cho hàm y
x2
. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x2 4 (2x 7)
đã cho là:
A. 3
B. 2
Câu 27: Đạo hàm của hàm số y log 2020 x 2 x là:
A.
2x 1
x2 x
B.
1
x x
2
C. 5
C.
D. 4
1
x x ln 2020
2
D.
2x 1
x x ln 2020
2
Câu 28: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC), SA a 3 . Tam giác ABC
đều, cạnh a. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng:
A. 300
B. 600
D. 900
C. 900
Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a , AD a 3
SA ABCD và SA a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:
Trang 4
A.
a 21
7
B.
a 10
5
C.
a 3
2
D.
a 2
5
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB a, AD 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy
và SA a . Gọi M là trung điểm của AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD.
a 2
a 6
a 6
2a 5
B.
C.
D.
2
3
6
5
Câu 36: Xét các số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 , giá trị lớn nhất của z 2 i bằng:
A.
A. 2 2
B. 2 2
C. 2
D. 2 2
Trang 5
Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y mx3 (2m 1) x2 2mx m 1
điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh.
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
Câu 38: Xếp 4 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang. Xác suất để 2 bạn nữ khơng ngồi cạnh nhau
bằng
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
6
3
4
3
2
2
Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham m để phương trình log3 x m log9 x 2 m 0 có nghiệm
x [1;9]
A. 3
B. 2
C.5
D. 1
2
Câu 40: Tập nghiệm của bất phương trình log3 ( x 1) 3log3 ( x 1) 2 0 là .
A. 4 :10
B. 3;9
C. 4;10
D. 3;9
Câu 41: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng cân tại C, AB 2a và góc tạo
bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABC) bằng 600. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của A'C' và BC . Mặt phẳng
(AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng:
7 3a 3
3a3
7 6a 3
6a 3
A.
B.
C.
D.
24
3
24
6
Câu 42: Một cơng ty may mặc có hai hệ thống máy may chạy song song. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất
hoạt động tốt là 90%, hệ thống thứ hai hoạt động tốt là 85%. Cơng ty chỉ có thể hồn thành đơn hàng đúng
hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy may hoạt động tốt. Xác suất để cơng ty hồn thành đơn hàng
đúng hạn là:
A. 2%
B. 72%
C. 98%
D. 80%
Câu 43: Cho hàm số y f x liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình
f 1 f x 2 là:
A. 2
B. 3
C. 5
Câu 44: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y
đứng. Số phần tử của S là:
A. Vô số
B. 13
C. 12
D. 4
x2
x 2 6 x 2m
có hai đường tiệm cận
D. 14
mx 4
đồng biến trên khoảng 1; là:
xm
C. 2;2
D. 2; 1
Câu 45: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y
A. 2;1
B. (2;1).
Câu 46: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình log2 (mx) log 2 ( x 1) vô nghiệm?
Trang 6
A. 4
B. 5
Câu 47: Cho hàm số y f x xác định trên
C. 6
D. 3
, có đồ thị f x như hình vẽ. Hàm số g x f x x
đạt cực tiểu tại điểm x0 . Giá trị x0 thuộc khoảng nào sau đây?
A. 1: 3
B. 0;2
D. 3;
C. 1;1
Câu 48: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn log 2
5x 3 y 2
bằng:
2x y 1
B. 1
3x 3 y 4
( x y 1)(2 x 2 y 1) 4( xy 1) . Giá
x2 y 2
trị lớn nhất của biểu thức P
A. 3
C. 2
D. 4
Câu 49: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M , N , P, Q, R, S là tâm các mặt của hình
lập phương. Thể tích khối bát diện đều tạo bởi sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S bằng :
a3
a3 2
B.
24
6
Câu 50: Cho hàm số y f x liên tục trên
A.
hàm số g ( x) f x 2 x là:
A. 2
a3
a3
D.
12
4
và có đồ thị f ' x như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của
C.
B. 4
C. 5
D. 3
-----------HẾT---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
1-B
2-D
3-C
4-A
5-C
6-B
7-B
8-C
9-D
10-A
11-B
12-C
13-B
14-D
15-A
16-B
17-B
18-A
19-A
20-A
21-D
22-D
23-D
24-A
25-B
26-A
27-D
28-B
29-B
30-D
31-C
32-C
33-D
34-D
35-C
36-D
37-C
38-D
39-D
40-C
41-D
42-C
43-D
44-C
45-D
46-A
47-C
48-C
49-B
50-A
Trang 7
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 - Cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào BBT, nhận xét các điểm cực trị của hàm số.
Ta có: x x0 là điểm cực đại của hàm số y f x có tại điểm x x0 , thì hàm số có y' đổi dấu từ dương
sang âm.
Khi đó giá trị cực đại của hàm số là: yCD f x0 .
Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số có điểm cực đại là x 0 và giá trị cực đại là: yCD y 0 2
Chọn B.
Câu 2 - Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương pháp:
x x0 y y0 z z0
Đường thẳng
đi qua M x0 , y0 , z0 và có VTCP u (a; b; c)
a
b
c
Cách giải:
x 2 y 1 z 1
có VTCP là: u (1; 3; 2)
Đương tháng d :
1
3
2
Chọn D.
Câu 3 - Nguyên hàm
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ có bậc tử cao hơn bậc mẫu, ta chia tử cho mẫu
sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số.
Cách giải:
x2 2x 3
x2 2x 1 2
dx
x 1
x 1 dx
( x 1) 2 2
2
dx ( x 1)dx
dx
x 1
x 1
x2
x 2ln | x 1| C
2
Chọn C.
Câu 4 - Cấp số cộng (lớp 11)
Phương pháp:
Công thức tổng quát của CSC có số hạng đầu là u1, và cơng sai d : un u1 (n 1)
Cách giải:
Ta có: u5 u1 4d 1 4.2 7.
Chọn A.
Câu 5 - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
1
Cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh.
3
Cách giải:
Trang 8
Ta có:
1
VOA ' B 'C ' d O; A BC S A ' B 'C '
3
1
1
1
AA '. AB. AD .5.3.4 10
3
2
6
Chọn C.
Câu 6 - Phép thử và biến cố (lớp 11)
Phương pháp:
Số cách chọn k học sinh trong n học sinh là Cnk , cách chọn.
Cách giải:
3
Số cách chọn ra 3 học sinh trong 35 học sinh để tham gia văn nghệ trường là C35
cách chọn.
Chọn B.
Câu 7 - Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào BBT, nhận xét các khoảng đơn điệu của hàm số.
+) Hàm số y f x đồng biến trên (a; b) f ( x) 0x (a; b) .
Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy: Hàm số y f x đồng biến trên 1;3
Chọn B.
Câu 8 - Phương trình mặt phẳng
Phương pháp:
Mặt phẳng cần tìm vng góc với đường thẳng d nên nhận VTCP của d làm VTPT.
Phương trình mặt phẳng (p) đi qua M x0 , y0 , z0 và có VTPT n (a; b; c) là:
a x x0 b y y0 c z z0 0 .
Cách giải:
x 1 t
Đường thẳng d : y 1 t có VTCP là: u (1; 1; 2)
z 1 2t
Mặt phẳng cần tìm vng góc với đường thẳng d nên nhận VTCP của d làm VTPT.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: x 1 ( y 1) 2( z 2) 0 x y 2 z 6 0
Chọn C.
Câu 9 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào đồ thị hàm số, nhận xét dáng điệu của đồ thị hàm số và các điểm mà đồ thị hàm số đi qua để chọn
đáp án đúng.
Cách giải:
Trang 9
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số của đồ thị là hàm số bậc 4
Loại đáp án A và B.
Ta thấy nét cuối của đồ thị hàm số đi lên nên a 0 .
Loại đáp án C
Chọn D.
Câu 10 - Mặt cầu
Phương pháp:
Phương trình mặt cầu tâm I a, b, c và bán kính R : ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2
AB
Mặt cầu đường kính AB đi qua trung điểm M của AB và có bán kính R
2
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của AB M 0;2; 1
Ta có: AB (2;0; 4) AB 2 5 .
Mặt cầu đường kính AB đi qua trung điểm M 0;2; 1 của AB và có bán kính R
AB
5.
2
Phương trình mặt cầu cần tìm là: x2 ( y 2)2 ( z 1)2 5 .
Chọn A.
Câu 11 - Số phức
Phương pháp:
Cho số phức z a bi(a, b ) z a bi .
Cách giải:
Ta có: z i(1 3i) i 3i 2 i 3 3 i z 3 i .
Số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là -1.
S 3 1 2 .
Chọn B.
Câu 12 - Phương trình mũ và phương trình lơgarit
Phương pháp:
f ( x) 0
Giải phương trình logarit: log a f ( x) b 0 a 1 .
f ( x) a b
Cách giải:
3x 2 27 3x 2 33 x 2 3 x 1 .
Chọn C.
Câu 13 - Tích phân
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất cơ bản của tích phân để chọn đáp án đúng:
b
a
b
b
f ( x)dx g ( x)dx f x g x dx
a
a
b
b
a
a
k f ( x)dx k f ( x)dx(k 0)
Cách giải:
2
2
2
1
1
1
f x 2 g x dx f ( x)dx 2 g ( x)dx 2 2 3 8
Chọn B.
Trang 10
Câu 14 - Phương trình đường thẳng trong khơng gian
Phương pháp:
x x0 at
Đường thẳng y y0 bt đi qua M x0 ; y0 ; z0 và có VTCP u (a; b; c) .
z z ct
0
Cách giải:
x 3 t
Đường thẳng d : y 1 2t đi qua điểm M 3;1;2 .
z 2 t
Chọn D.
Câu 15 - Tương giao đồ thị hàm số và biện luận nghiệm của phương trình
Phương pháp:
3
Số nghiệm của phương trình 2 f ( x) 3 0 f ( x) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và
2
3
đường thẳng y
2
Dựa vào BBT để biện luận số nghiệm của phương trình.
Cách giải:
3
Số nghiệm của phương trình 2 f ( x) 3 0 f ( x) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và
2
3
đường thẳng y
2
Ta có BBT:
3
cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm phân biệt
2
Phương trình 2 f x 3 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng y
Chọn A.
Câu 16 - Mặt cầu
Phương pháp:
4
Tính bán kính mặt cầu thơng qua cơng thức tính thể tích khối cầu bán kính R là: V R 2
3
2
Diện tích mặt cầu có bán kính R là: S 4 R .
Cách giải:
4
Theo đề bài ta có: V 36 R3 36 R3 27 R 3
3
Diện tích mặt cầu đã cho là: S 4 R 2 4 32 36 .
Chọn B.
Câu 17– Hàm số lôgarit
Phương pháp:
Trang 11
0 a 1
Hàm số y loga f ( x) xác định
.
f ( x) 0
Cách giải:
Hàm số y log3 ( x 2) xác định x 2 0 x 2 .
Chọn B.
Câu 18 - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
Thể tích khối lăng trụ có đường cao h và diện tích đáy S là: V Sh.
Cách giải:
Thể tích của lăng trụ tam giác đều có đường cao bằng a, cạnh đáy bằng a 2 là:
(a 2)2 3 a3 3
V Sh a
.
4
2
Chọn A.
Câu 19 - Đường tiệm cận
Phương pháp:
+) Đường thẳng x a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số y f ( x) lim f ( x) .
x a
+) Đường thẳng y b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y f ( x) lim f ( x) b .
x
Cách giải:
2x 1
x3
TXÐ: D \{3}
x 3 là TCĐ của đồ thị hàm số.
2x 1
lim
2 y 2 là TCN của đồ thị hàm số.
x x 3
Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Chọn A.
Câu 20 - Đường tiệm cận
Phương pháp:
+) Đường thẳng x a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số y f ( x) lim f ( x) .
Xét hàm số: y
x a
+) Đường thẳng y b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y f ( x) lim f ( x) b .
x
Cách giải:
Xét hàm số: y
2x 1
ta có:
x2 3
TXÐ: D (; 3) ( 3; )
2x 1
Ta có: lim
x 3 là TCĐ của đồ thị hàm số.
x 3
x2 3
2x 1
lim
x 3 là TCĐ của đồ thị hàm số.
x 3
x2 3
1
2
2x 1
x 2 y 2 là TCN của đồ thị hàm số.
lim
lim
2
x
x
3
x 3
1 2
x
Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.
Chọn A.
Câu 21 - Ứng dụng của tích phân trong hình học
Phương pháp:
Trang 12
Cơng thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b a b và các đồ thị
b
hàm số y f ( x), y g ( x) là: S f ( x) g ( x) dx .
a
Cách giải:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos 2 x, y 0 và x 0, x
4
là:
4
4
S cos x dx cos 2 xdx
2
0
0
14
1
1
4
(1 cos 2 x)dx x sin 2 x
20
4
2
0
1 1
1
sin
2 4 4
2 8 4
Chọn D.
Câu 22 - Cực trị của hàm số
Phương pháp:
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là số nghiệm bội lẻ của phương trình f ' x 0 .
Hoặc số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là số lần đổi dấu của f ' x .
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x ta thấy f ' x . có 1 lần đổi dấu từ âm sang dương
Hàm số y f x có 1 điểm cực trị.
Chọn D.
Câu 23 - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cách 1:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y f x trên a, b bằng cách:
+) Giải phương trình y ' 0 tìm các nghiệm xi .
+) Tính các giá trị f (a), f (b), f xi xi [a; b] . Khi đó:
min f ( x) min f (a ); f (b); f xi , max f ( x) max f (a ); f (b); f xi .
[ a ;b ]
[ a ;b ]
Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên a, b
Cách giải:
Xét hàm số y x3 3x2 2 trên đoạn 1;1 ta có:
y ' 3x 2 6 x y ' 0
x 0 [1;1]
3x 2 6 x 0
x 2 [1;1]
f (1) 2
f (0) 2 Min f ( x) 2 khi x 1.
[ 1;1]
f (1) 0
Chọn D.
Câu 24 -Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
1
Thể tích của khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là: V Sh .
3
Trang 13
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của AB.
Ta có: ASAB đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy
SM ( ABCD)
1
VSABCD SM .S ABCD
3
1 a 2. 3
a3 6
.
.(a 2) 2
.
3
2
3
Chọn A.
Câu 25 - Phương trình mặt phẳng
Phương pháp:
Mặt phẳng (P): ( P) : ax by cz d 0 có VTPT là: n (a; b; c) .
Cách giải:
Mặt phẳng ( P) : x 3 y 2 z 1 0 có VTPT là: (1;3; 2) .
Chọn B.
Câu 26 - Đường tiệm cận
Phương pháp:
+) Đường thẳng x a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số y f ( x) lim f ( x) .
x a
+) Đường thẳng y b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y f ( x) lim f ( x) b .
x
Cách giải:
Xét hàm số: y
x2
x 4 (2x 7)
2
7
TXD: D (2; ) \
2
x2
1
7
lim7 2
lim7
x là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
2
x 2( x 2)(2 x 7)
x x 4 (2 x 7)
x
2
2
x2
1
lim
x 2 là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
x 2 x 4 (2 x 7)
x 2 ( x 2) x 2(2 x 7)
lim
2
x2 /8
1
lim
0 y 0 là TCN của đồ thị hàm số.
x x 4 (2 x 7)
x
x 2( x 2)(2 x 7)
lim
2
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.
Chọn A.
Câu 27 - Hàm số Lôgarit
Phương pháp:
Trang 14
Sử dụng các công thức tinh đạo hàm của hàm số logarit: loga f ( x) '
f '( x)
.
f ( x) ln a
Cách giải:
Ta có y log 2020 x 2 x
y'
x
x
2
2
x '
x ln 2020
2x 1
.
x x ln 2020
2
Chọn D.
Câu 28 - Đường thẳng vng góc với mặt phẳng (lớp 11)
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a ' là hình chiếu của a
trên (P).
Cách giải:
Ta có: SA ( ABC ) AC là hình chiếu của SC trên (ABC).
( SC , ( ABC )) ( SC , AC ) SCA
Xét SAC vng tại A ta có:
SA a 3
tan SCA
3
AC
a
SCA 600.
Chọn B.
Câu 29 - Khoảng cách (lớp 11)
Phương pháp:
Trong ( ABCD), kẻ AH BD
Trong ( SAH ), kẻ AK SH AK ( SBD)
d ( A;( SBD)) AK .
Cách giải:
Trang 15
Trong( ABCD), kẻ AH BD
Trong (SAH), kė AK SH
BD SA
BD ( SAH ) BD AK
Ta có:
BD AH
AK SH
AK ( SBD) d ( A;( SBD)) AK .
Ta có:
AK BD
Áp dụng hệ thức lượng cho ABD vng tại A và có đường cao AH ta có:
ABAD
aa 2
a2 2 a 6
AH
2
2
3
a
3
AB 2 AD2
a (a 2)
Áp dụng hệ thức lượng cho SAH vng tại A và có đường cao AK ta có:
ABAD
a.a 2
a2 2 a 6
AH
3
a 3
AB 2 AD2
a 2 (a 2)2
Chọn B.
Câu 30 - Cực trị của hàm số
Phương pháp:
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là số nghiệm bội lẻ của phương trình f ' x 0.
Cách giải:
Ta có: f ( x) x 2 1 x 2 3x 2
f ( x) 0
x 2 1 x 2 3x 2 0
x 1
2
x 1
x 1 0
2
x 3x 2 0
x 1
x 2
Ta thấy x 1 là nghiệm bội 2 của phương trình f ' x 0 x 1 không là cực trị của hàm số y f x
Vậy hàm số y f x có hai điểm cực trị là x 1 và x 2.
Chọn D.
Câu 31
Phương pháp:
- Đặt g x f (2 3x), tính đạo hàm của hàm số.
Trang 16
- Giải bất phương trình g ' x 0.
- Dựa vào các đáp án xác định khoảng đồng biến của hàm số.
Cách giải:
Đặt g x f 2 2 x ta có g '( x) 3 f '(2 3x) .
5
5
x
2 3x 3
x
3
Xét g ( x) 0 3 f (2 3x) 0 f (2 3x) 0
.
3
0 2 3x 1 1 3x 2 1 x 2
3
3
5
1 2
Suy ra hàm số y f 2 3x đồng biến trên ; và ; .
3 3
3
Dựa vào các đáp án ta thấy hàm số đồng biến trên 2;3 .
Chọn C.
Câu 32
Phương pháp:
b
b
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phân udv uv a vdu .
b
a
a
- Sử dụng phương pháp đổi biến số sau đó tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Cách giải:
du f ( x)dx
u
f
(
x
)
Đặt
x2 1
dv
xdx
v
2
1
x2 1
x2 1
x f ( x)dx
f ( x)
f '( x)dx
2
2
0
0
0
1
1
1
2
1
1
f (0) x 2 1xe x dx
2
20
1 1 1
1 1
I I
2 2 2
4 2
Đặt t x 2 dt 2 xdx
x 0 t 0
Đổi cận:
x 1 t 1
Khi đó ta có:
1
1
1
1
1
I (t 1)et dt tet dt et dt
0
20
20
1
1
1
1
t. et et dt et dt
0
2
0
0
1
1
1
2e
e 2et (e 2e 2)
0
2
2
2
1
1 1
1 2 e e 1
Vậy x f ( x)dx I
.
4 2
4
4
4
0
Chọn C.
Câu 33
Phương pháp:
Trang 17
- Gọi M x0 y0 thuộc đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M là
k y ' x0 .
- Xét dấu tam thức bậc hai: ax 2 bx c 0x
a 0
0
Cách giải:
Gọi M x0 ; y0 thuộc đồ thị hàm số.
Ta có y ' 3x2 2(m 1) x m 1 .
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là k y ' x0 3x02 2(m 1) x0 m 1
Theo bài ra ta có:
k 0x
3x02 2(m 1) x0 m 1 0x
3 0( luon dung )
x
2
(m 1) 3(m 1) 0
m2 2m 1 3m 3 0
m2 5m 4 0
1 m 4
Mà m S {2;3}.
Vậy tập hợp S có 2 phần tử.
Chọn D.
Câu 34
Phương pháp:
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm và n p , là 1 VTPT của mặt phẳng (P).
d / /( P)
u1.n p 0
1
n p u1 ; u2 .
d
/
/
(
P
)
u
.
n
0
2
2 p
- Phương trình mặt phẳng đi qua M x0 ; y0 ;z0 và có 1 VTPT n( A; B; C) là:
A x x0 B y y0 C z z0 0 .
Cách giải:
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm và n p , là 1 VTPT của mặt phẳng (P).
x 2 y 1 z
x 1 y z 3
có 1 VTCP là u1 (1;2;2) đường thẳng d 2 :
1
2
2
1
1 2
có 1 VTCP là u2 1; 1; 2
Đường thẳng d1 :
u1 , n p 0
d / /( P )
nP u1 ; u2 (2;0; 1)
Ta có: 1
d
/
/
(
P
)
u
n
0
2 p
2
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là:
2( x 0) 4 ( z 2) 0 2 x z 2 0 2 x z 2 0
Chọn D.
Câu 35
Phương pháp:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song
và chứa đường thẳng kia, gọi N là trung điểm của BC, chứng minh d BM ; SD d (M ; SDN .
- Đổi tính khoảng cách từ M đến (SDN) sang tính khoảng cách từ A đến (SDN).
- Chứng minh DN ( SAN )
Trang 18
- Trong (SAN) kẻ AH SN , chứng minh AH ( SDN )
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vng và tính chất tam giác vng cân để tính khoảng cách.
Cách giải:
DM BN
BNDM là hình bình hành BM / / DN
Gọi N là trung điểm của BC ta có:
DM / / BN
BM / /( SDN ) SD d ( BM ; SD) d ( BM ;( SDN )) d ( M ;( SDN ))
d (M ;(SDN )) MD 1
1
Ta có: AM (SDN ) D
d (M ;(SDN )) d ( A;(SDN )).
d ( A;(SDN )) AD 2
2
Trong (ABCD) gọi I là trung điểm của BM .
AM BN
AMNB là hình bình hành, do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Ta có
AM / / BN
nên I cũng là trung điểm của AN, hay A, I , K thẳng hàng.
Xét ABM có AB AM a ABM vuông cân tại 4 AI BM AN DN .
DN AN
DN ( SAN ).
Ta có:
DN SA
AH SN
AH ( SDN ) d ( A;( SDN )) AH .
Trong (SAN) kẻ AH SN ( H SN ) ta có :
AH DN
Tam giác ABM vuông cân cạnh a BM a 2 AN .
SAAN
a.a 2
a 6
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAN có: AH
3
SA2 AN 2
a 2 2a 2
Vậy d ( BM ; SD)
1
a 6
AH
.
2
6
Chọn C.
Câu 36
Phương pháp:
- Xác định quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z.
- Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, N 2;1 là điểm biểu diễn số phức –2 i, khi đó ta có
2 2 i MN.
- Dựa vào hình vẽ xác định vị trí của điểm M để MNmax .
Cách giải:
Vì z thỏa mãn z 1 2i 2 nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I 1;2 , bán kính
R 2.
Trang 19
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, N 2;1 là điểm biểu diễn số phức –2 i, khi đó ta có z 2 i MN
Khi đó ta có MN đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MN IN R 2 2.
Chọn D.
Câu 37
Phương pháp:
Đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d (a 0) có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục hồnh khi và chỉ khi
phương trình ax3 bx 2 cx d 0 có ba nghiệm phân biệt.
Cách giải:
Để đồ thị hàm số y mx3 (2m 1) x2 2mx m 1 có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh thì
phương trình mx3 (2m 1) x2 2mx m 1 0(*) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Ta có:
mx3 (2m 1) x 2 2mx m 1 0
( x 1) mx 2 (m 1) x m 1 0
x 1
2
mx (m 1) x m 1 0(**)
Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
m 0
m 1 (m 1) 1 m 1 0
(m 1) 2 4m(m 1) 0
m 0
m m 1 m 1 0
m 2 2m 1 4m 2 4m 0
m 0
m 2
3m 2 6m 1 0
m 0
m 2
3 2 3 m 3 2 3
3
3
Trang 20
Mà m m 1
Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C.
Câu 38
Phương pháp:
Sử dụng nguyên tắc vách ngăn: Xếp 4 bạn nam trước, tạo thành 5 vách ngăn, sau đó xếp 2 bạn nữ vào 2
trong 5 vách ngăn đó.
Cách giải:
Xếp 4 bạn nam và 2 bạn nữ thành một hàng ngang n() 6! 720.
Gọi A là biến cố: “2 bạn nữ không ngồi cạnh nhau”.
Xếp 4 bạn nam có 4! cách, khi đó sẽ tạo ra 5 khoảng trống giữa 4 bạn nam, xếp 2 bạn nữ vào 2 trong 5
khoảng trống này có A52 cách.
n( A) 4!.A52 480
n( A) 480 2
Vậy P( A)
.
n() 720 3
Chọn D.
Câu 39
Phương pháp:
- Đặt t log3 x , tìm khoảng giá trị của t.
- Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.
- Cơ lập m , tìm điều kiện để phương trình m f t có nghiệm.
Cách giải:
ĐKXĐ: x 0.
Ta có:
log32 x m log9 x 2 2 m 0
log32 x m log32 x 2 2 m 0
log32 x m log3 x 2 m 0
Đặt t log3 x, với 1 x 9 1 t 2 phương trình trở thành t 2 mt 2 m 0
Yêu cầu bài tốn trở thành tìm m để phương trình t 2 mt 2 m 0(*) có nghiệm t [1; 2]
t2 2
f (t )t [1;2].
t 1
2t (t 1) t 2 2 t 2 2t 2
Xét hàm số y f (t ) trên đoạn 1;2 ta có: f (t )
.
(t 1) 2
(t 1) 2
* m(t 1) t 2 2 m
f (t ) 0 t 1 3 [1;2] .
3
Ta có f (1) ; f (2) 2 .
2
3
Do đó phương trình (*) có nghiệm m ;2 Mà m m 2 .
2
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Chọn D.
Câu 40
Phương pháp:
- Giải bất phương trình bậc hai đối với hàm số logarit.
- Giải bất phương trình logarit: m loga x n am x an (a 1)
Cách giải:
Trang 21
log32 ( x 1) 3log3 ( x 1) 2 0
1 log3 ( x 1) 2
31 x 1 32
3 x 1 9
4 x 10
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 4;10.
Chọn C.
Câu 41
Phương pháp:
- Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi (AMN).
- Sử dụng định lí: Giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt hoặc đổi một song song, hoặc đồng quy.
- Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vng góc với
giao tuyến.
- Áp dụng cơng thức tính thể tích lăng trụ: V Bh trong đó B,h lần lượt là chiều cao và diện tích đáy.
Cách giải:
Giả sử ( AMN ) A BC MP ta có:
( AMN ) ( ABC ) AN
( AMN ) A B C MP AN / / MP . Khi đó AMN AMPN và thiết diện của lăng trụ cắt
( ABC ) / / A B C
bởi AMN là tứ giác AMPN. Và mặt phẳng này chia khối lăng trụ thành hai phần: ANC.MPC ' và
ABA.A ' B ' PM .
Trang 22
( AMPN ) ACC A AM
Ta lại có: ( AMPN ) BCC B PN AM , PN , CC đồng quy tại S.
ACC A BCC B CC
Gọi F là trung điểm của B'C' ta có A F / / AN / / MP , do đó MP là đường trung bình của tam giác A ' C ' F
MP 1 MP
A F 2 AN
MP SP SM SC 1
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
.
AN SN SA SC 2
V
SM SP SC 1
1
7
Khi đó ta có: SMPC '
VS .MNC ' VS . ANC VANC .MPC ' VS , ANC ' .
VS , ANC SA SN SC 8
8
8
1
1
1
1
Ta có VS . ANC SC.S ANC .2CC '. SABC VABC , A' B 'C'
3
3
2
3
7
VANC .MPC ' VABC . A ' B 'C ' , do đó ANC.MPC ' là phần có thể tích nhỏ hơn.
24
AB
Tam giác ABC vng cân tại C có AB 2a AC BC
a 2.
2
Gọi E là trung điểm của AB ta có: CE AB (do tam giác ABC vng cân tại C).
AB CE
AB CC ' E AB C ' E
AB CC '
( ABC ) ABC ' AB
0
CE ( ABC ), CE AB ( ABC ); ABC CE; C E CEC ' 60
C E ABC ' , C E AB
1
Xét tam giác vng CC'E có CE AB a, CEC ' 600 CC ' CE.tan 600 a 3.
2
2
VABC. A' B 'C ' CC SABC a 3.a a3 3.
Vậy VANC.MPC '
7
7a 3 3
VABC , A' B 'C '
.
24
24
Chọn D.
Câu 42
Phương pháp:
- Gọi A1 là biến cố máy thứ nhất hoạt động tốt, A2 , là biến cố máy thứ hai hoạt động tốt.
- Dựa vào giả thiết xác định P A1 , P( A1 ), P A2 , P( A2 ) .
- Xác suất để công ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là: P P A1 .P( A2 ) P A2 .P( A1 ) P A1 .P A2 .
Cách giải:
Gọi A1 là biến cố máy thứ nhất hoạt động tốt, A2 , là biến cố máy thứ hai hoạt động tốt.
P A1 90%, P( A1 ) 10%
Ta có:
P A2 85%, P( A2 ) 15%
Vậy xác suất để cơng ty hồn thành đơn hàng đúng hạn là:
P P A1 P( A2 ) P A2 P( A1 ) P A1 P A2
90%.15% 85%.10% 90%.85%
98,5%
Chọn C.
Trang 23
Câu 43
Phương pháp:
- Đặt t 1 f x , đưa phương trình về dạng phương trình ẩn t.
- Tìm số nghiệm của phương trình thơng qua số giao điểm của đồ thị hàm số.
- Từ nghiệm t tìm được thay lại phương trình f x 1 t để tìm số nghiệm x, tiếp tục áp dụng phương pháp
tương giao.
Cách giải:
Đặt t 1 f x , phương trình trở thành f (t ) 2.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (t ) và đường thẳng y 2.
t 1
17 f ( x) 1
f ( x) 0(1)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f (t ) 2
.
t 2 1 f ( x) 2 f ( x) 3(2)
+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 0 nên
phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y 3 nên
phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.
Chọn D.
Câu 44
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của hàm số.
- Tìm điều kiện để phương trình x 2 6 x 2m 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện xác định của
tử và không bị triệt tiêu bởi nghiệm của tử.
Cách giải:
x 2 0
x 2
2
ĐKXĐ : 2
x 6 x 2m 0
x 6 x 2m 0
Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình x 2 6 x 2m 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa
mãn x1 x2 2
0
x1 x2 4
x 2 x 2 0
2
1
9 2m 0
6 4(luon dung)
x x 2 x x 4 0
1
2
1 2
Trang 24
9
9
m
m
2
2
2m 2.6 4 0
2m 16
9
8 m
2
S {7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3; 4}
Vậy tập hợp S có 12 phần tử.
Chọn C.
Câu 45
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của hàm số.
ax b
- Hàm số y
đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi
cx d
y' 0
.
d
c (a; b)
Cách giải:
ĐKXĐ: x m
y ' 0
m2 4 0 2 m 2
Để hàm số đồng biến trên (1; ) thì
2 m 1 .
m
(
1;
)
m
1
m
1
Vậy m (2; 1]
Chọn D.
Câu 46
Phương pháp:
- Tìm ĐKXĐ của phương trình.
- Đưa về cùng cơ số 2.
- Giải phương trình logarit: loga f ( x) loga g( x) f ( x) g( x) 0
- Cơ lập m, đưa phương trình về dạng m f x .
- Lập BBT của hàm số f x , từ BBT tìm điều kiện của m để phương trình vơ nghiệm.
Cách giải:
mx 0
mx 0
ĐKXĐ :
.
x 1 0 x 1
Ta có:
log 2 (mx) log 2 ( x 1)
log 2 (mx) 2 log 2 ( x 1)
log, (mx) log, ( x 1) 2
mx ( x 1) 2 (*)
Do x 1 x 1 0 ( x 1)2 0 mx 0 x 0
Do đó (*) m
( x 1)2
f ( x) Voi x 1, x 0
x
Ta có:
2( x 1).x ( x 1)2
f ( x)
x2
2x2 2x x2 2x 1
f ( x)
x2
x 1
x2 1
f ( x) 2 0
x
x 1
Trang 25
