- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
đề thi thử THPT QG 2019 toán chuyên KHTN hà nội lần 2 có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (999.59 KB, 29 trang )
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN
Mã đề: 567
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN II – MÔN TOÁN
NĂM HỌC: 2018 – 2019
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (TH): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
3
A. lim x 2 x 1 x 2
x
2
C. lim
x
x x 1 x 2
2
3x 2
x 1
D. lim
3x 2
x 1
x 1
x 1
Câu 2 (VD): Tập nghiệm của bất phương trình
A.
B. lim
log x 2 9
log 3 x
1 là:
C. 3; 4
B. 4; 3
D. 4; 3
Câu 3 (TH): Cho số phức z 0 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. z z là số thực
B. z z là số ảo
C.
z
là số thuần ảo
z
Câu 4 (NB): Vecto nào sau đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng
A. 3; 2;1
C. 3; 2;1
B. 2;1; 3
D. z.z là số thực
x 2 y 1 z 3
?
3
2
1
D. 2;1;3
Câu 5 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 0;2; 1 , B 5;4;2 và C 1;0;5 .
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là:
A. 1;1;1
C. 6;6;6
B. 2; 2; 2
D. 3;3;3
Câu 6 (VD): Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 2 x 2 4 với đường thẳng y 3 là:
A. 8
B. 2
C. 4
D. 6
Câu 7 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây không phải là phương trình
của một mặt cầu?
A. x2 y 2 z 2 x 2 y 4 z 3 0
B. 2 x2 2 y 2 2 z 2 x y z 0
C. x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 10 0
D. 2 x2 2 y 2 2 z 2 4 x 8 y 6 z 3 0
Câu 8 (TH): Cho một cấp số cộng un có u1 5 và tổng 40 số hạng đầu bằng 3320. Tìm công sai của
cấp số cộng đó.
A. 4
B. 4
Câu 9 (TH): Đồ thị hàm số y
A. 1
x 1
25 x 2
B. 2
C. 8
D. 8
có bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 3
D. 4
Câu 10 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm A 3;1; 2 . Tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm
A qua trục Oy là:
A. 3; 1; 2
B. 3; 1; 2
C. 3; 1; 2
D. 3;1; 2
Câu 11 (TH): Tập giá trị của hàm số y x 3 7 x là:
A. 2; 2 2
B. 3;7
C. 0; 2 2
D. 3;7
Câu 12 (TH): Đạo hàm của hàm số f x ln ln x là:
A. f ' x
C. f ' x
1
1
B. f ' x
2 x ln x ln ln x
1
x ln x ln ln x
1
D. f ' x
2 x ln ln x
ln x ln ln x
Câu 13 (VD): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn
z 2 i z 4 i 10
B. 20
A. 12
C. 15
D. Đáp án khác
Câu 14 (VD): Cho hàm số f x với bảng biến thiên dưới đây:
x
1
f ' x
0
f x
0
+
0
2
0
+
3
4
2
Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu cực trị?
A. 5
B. 3
C. 1
D. 7
Câu 15 (TH): Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA ' và BC ' . Khi đó
đường thẳng AB ' song song với mặt phẳng:
A. C ' MN
B. A ' CN
C. A ' BN
Câu 16 (VD): Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
D. BMN
xm
trên đoạn 1; 2 bằng 8 (m là
x 1
tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 0 m 4
B. 4 m 8
C. 8 m 10
D. m 10
Câu 17 (TH): Số 2018201920192020 có bao nhiêu chữ số?
A. 147501991
B.147501992
C. 147433277
D. 147433276
Câu 18 (VD): Phương trình cos 2 x 2cos x 3 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0; 2019 ?
A. 1009
B. 1010
C. 320
D. 321
2
7 4 x khi 0 x 1
Câu 19 (VD): Cho hàm số f x
. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2
4 x khi x 1
hàm số f x và các đường thẳng x 0, x 3, y 0
16
20
B.
C. 10
D. 9
3
3
Câu 20 (TH): Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là một
A.
tam giác đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Tính thể tích khối chóp SABCD.
A.
a3
6
B.
a3 3
2
C.
a3 3
6
D.
a3
2
Câu 24 (VD): Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết
rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi bán kính của khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới
cùng là 50cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
B. Chiều cao mô hình không quá 1,5 mét.
C. Chiều cao mô hình tối đa là 2 mét.
D. Chiều cao mô hình dưới 2 mét.
Câu 25 (VD): Cho khối chóp tứ giác SABCD có thể tích V, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P,
Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, BC, CD, DA. Tính thể tích khối chóp M.CNQP theo V.
3V
3V
3V
V
A.
B.
C.
D.
16
16
8
4
thỏa mãn f ' x 4 x 3 và f 1 1 . Biết rằng
Câu 26 (VD): Cho hàm số f x xác định trên
phương trình f x 10 có hai nghiệm thực x1 , x2 . Tính tổng log 2 x1 log 2 x2
A. 8
B. 16
Câu 27 (VD): Cho khai triển
3x
C. 4
2019
D. 3
a0 a1 x a2 x 2 a3 x3 ..... a2019 x 2019 . Hãy tính tổng
S a0 a2 a4 a6 ..... a2016 a2018
1009
A.
3
D. 21009
C. 22019
B. 0
Câu 28 (VD): Biết tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của 5 x 1 bằng 2100 . Tìm hệ số
n
của x 3
A. 161700
B. 19600
C. 2450000
Câu 29 (VD): Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:
A. 3
B. 5
C. 7
Câu 30 (VD): Cho hàm số f x liên tục trên
A. 3
B. 6
có
D. 20212500
D. 9
3
5
1
0
0
1
f x dx 8 và f x dx 4 . Tính 4 x 1 dx
C.
9
4
D.
11
4
Câu 31 (VDC): Cho hai số thực a 1, b 1 . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình a xb x
2
1
1.
2
xx
Trong trường hợp biểu thức S 1 2 4 x1 4 x2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?
x1 x2
A. a b
B. a b
C. ab 4
D. ab 2
Câu 32 (VD): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B với trọng tâm
G, cạnh bên SA tạo với đáy ABC một góc 300 . Biết hai mặt phẳng SBG và SCG cùng vuông góc
với mặt phẳng ABC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
3 15
30
15
15
B.
C.
D.
20
20
10
5
Câu 33 (VD): Cho hai dãy ghế dối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam,
5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh
nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.
8
1
1
1
A.
B.
C.
D.
945
252
63
63
Câu 34 (VD): Phương trình sin x 2019 x có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 1288
B. 1287
C. 1290
D. 1289
A.
Câu 35 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng
d:
x 2 y 3 z
và vuông góc với mặt phẳng : x y 2 z 1 0 . Hỏi giao tuyến của và
1
1
2
là:
A. 1; 2;0
Câu 36 (VD): Cho hàm số f x xác định trên
3
lim
x 2
C. 5;6;8
B. 2;3;3
và thỏa mãn lim
x 2
D.
0;1;3
f x 16
12 . Tính giới hạn
x2
5 f x 16 4
x2 2x 8
5
A.
24
B.
5
12
C.
1
4
D.
1
5
cos 4 x cos 2 x 2sin 2 x
Câu 37 (VD): Cho phương trình
0 . Tính diện tích đa giác có các đỉnh là các
sin x cos x
điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.
2
2
B.
C. 2
D. 2 2
4
2
Câu 38 (VD): Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn
các điều kiện sau: đi qua hai điểm A 1;1;1 và B 0; 2; 2 , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại hai
A.
điểm cách đều O. Giả sử (P) có phương trình x b1 y c1 z d1 0 và (Q) có phương trình
x b2 y c2 z d2 0 . Tính giá trị của biểu thức b1b2 c1c2
A. 7
B. 9
C. 9
D. 7
Câu 39 (VD): Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng a, bạnh bên bằng
điểm AB. Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng A ' C ' M
2a . Gọi M là trung
A.
9 2
a
8
B.
3 2 2
a
4
C.
3 35 2
a
16
D.
7 2 2
a
16
Câu 40 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 2019; 2019 để hàm số
y ln x 2 2 mx 1 đồng biến trên
A. 4038
B. 2019
C. 2020
Câu 41 (VDC): Cho hai số thực thỏa mãn x 2 y 2 1. Đặt P
D. 1009
x 2 6 xy
. Khẳng định nào sau đây là
1 2 xy 2 y 2
đúng?
A. Giá trị nhỏ nhất của P là 3
C. P không có giá trị lớn nhất
B. Giá trị lớn nhất của P là 1
D. P không có giá trị nhỏ nhất
3x 1 2 x
khi x 1
x
1
Câu 42 (VD): Cho hàm số f x
. Tính f ' 1
5
khi x 1
4
B.
A. 0
7
50
C.
9
64
D. không tồn tại
Câu 43 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 0;0;3 , B 2;0;1 và mặt phẳng
: 2 x y 2 z 8 0 . Hỏi có bao nhiêu điểm C trên mặt phẳng
A. 2
B. 0
sao cho tam giác ABC đều.
D. vô số
C. 1
Câu 44 (VDC): Gọi (C) là đồ thị hàm số y x 2 2 x 2 và điểm M di chuyển trên (C). Gọi d1 , d 2 là các
đường thẳng đi qua M sao cho d1 song song với trục tung và d1 , d 2 đối xứng nhau qua tiếp tuyến của
(C) tại M. Biết rằng khi M di chuyển trên (C) thì d 2 luôn đi qua một điểm I a; b cố định. Đẳng thức
nào sau đây là đúng?
A. ab 1
B. a b 0
C. 3a 2b 0
D. 5a 4b 0
Câu 45 (VD): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và
SBA SCA 900 . Biết góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC bằng 450 . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB và AC là:
A.
2 51
a
17
B.
2 7
a
7
C.
39
a
13
2 13
a
13
D.
Câu 46 (VD): Cho hàm số f x liên tục trên
2
tích phân
1
2
f x2
x
8
tan xf cos x dx
2
và thỏa mãn
2
0
f
1
x dx 6 . Tính
3
x
dx
A. 4
B. 6
C. 7
D. 10
Câu 47 (VD): Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD a, ACD BCD và ABC ABD .
Tính độ dài cạnh CD.
2 3
3
B. 2 2a
C. 2a
D.
a
a
3
3
Câu 48 (VD): Cho một đa giác đều có 48 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên ba đỉnh của đa giác. Tính xác suất để tam
giác tạo thành từ ba đỉnh đó là một tam giác nhọn.
11
33
22
33
A.
B.
C.
D.
47
47
47
94
A.
Câu 49 (VD): Cho hàm số y x3 3x2 9 x có đồ thị (C). Gọi A, B, C, D là bốn điểm trên đồ thị (C)
với hoành độ lần lượt là a, b, c, d sao cho tứ giác ABCD là một hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến tại A, C
song song với nhau và đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Tính tích abcd.
A. 144
B. 60
C. 180
D. 120
Câu 50 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 8;5; 11 , B 5;3; 4 , C 1;2; 6 và
mặt cầu S : x 2 y 4 z 1 9 . Gọi điểm
2
2
2
M a; b; c
là điểm trên (S) sao cho
MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm a b
A. 9
B. 4
C. 2
D. 6
----------- HẾT ---------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN
1-B
2-D
3-C
4-A
5-B
6-D
7-C
8-A
9-B
10-D
11-A
12-A
13-B
14-D
15-B
16-C
17-D
18-D
19-C
20-C
21-B
22-B
23-A
24-D
25-C
26-D
27-B
28-C
29-D
30-A
31-A
32-C
33-C
34-B
35-B
36-A
37-C
38-B
39-C
40-B
41-A
42-C
43-B
44-D
45-A
46-C
47-A
48-B
49-D
50-C
( – Website đề thi – chuyên đề file word có lời giải chi tiết)
Quý thầy cô liên hệ đặt mua word: 03338.222.55
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: B
Phương pháp:
Sử dụng các phương pháp tính giới hạn hàm số để tính các giới hạn và chọn đáp án đúng.
Cách giải:
Ta có:
+) lim x x 1 x 2 lim
2
x
x
x2 x 1 x 2
x2 x 1 x 2
x2 x 1 x 2
lim
x2 x 1 x 2
2
x2 x 1 x 2
x
3x 2
+) lim
x 1
x 1
do
lim
x
3
3x 3
3
x
lim
2
x
2
2 1
2
x x 1 x 2
1 2 1
x x
x
3
lim 3x 2 5
x 1
x 1 0; x 1 0
xlim
1
+) lim x x 1 x 2 lim
2
x
lim
x
x
x2 x 1 x 2
2
x2 x 1 x 2
3x 2
+) lim
x 1
x 1
do
lim
x
x2 x 1 x 2
x2 x 1 x 2
x2 x 1 x 2
3
3x 3
x
lim
2
x
2 1
2
x x 1 x 2
1 2 1
x x
x
lim 3x 2 5
x 1
x 1 0; x 1 0
xlim
1
Câu 2: D
Phương pháp:
a 1
b
x a
Giải bất phương trình logarit cơ bản log a x b
0 a 1
x a b
Cách giải:
x 3
x2 9 0
x 3
x 3
Điều kiện: 3 x 0
x 3
x 3
log 3 x 0
3 x 1 x 2
3
x2 9
log x 9
log x 9 log 3 x
3 x 0
1
0
log 3 x
log 3 x
log 3 x
2
log
2
log x 3 0
x 3 1
log 3 x 0
log x 3
3 x 1
0
x 3 1
log 3 x
log x 3 0
3 x 1
log 3 x 0
x 4
x 4
4 x 2 4 x 3
x 4
x 2
Câu 3: C
Phương pháp:
Cho số phức z a bi z a bi . Sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia để tính và chọn đáp án
đúng.
Cách giải:
Gọi số phức z a bi a, b ; a, b 0 z a bi
Ta có: z z a bi a bi 2a z z là số thực đáp án A đúng.
z z a bi a bi 2bi z z là số ảo đáp án B đúng.
a bi
z a bi
a 2 b 2 2abi a 2 b 2
2abi
z
2
2
là số phức đáp án C sai.
2
2
2
2
a b
a b a b
z a bi a bi a bi
z
2
z.z a bi a bi a 2 b2 z.z là số thực đáp án D đúng.
Câu 4: A
Phương pháp:
Đường thẳng
x x0 y y0 z z0
đi qua M x0 ; y0 ; z0 và có 1 VTCP u a; b; c
a
b
c
Cách giải:
Đường thẳng
x 2 y 1 z 3
có 1 VTCP là: 3; 2; 1 3;2;1
3
2
1
Câu 5: B
Phương pháp:
Trọng tâm G xG ; yG ; zG
Cách giải:
x A xB xC
xG
3
y yB yC
của ABC có tọa độ yG A
3
z
z
A
B zC
zG
3
x A xB xC
2
xG
3
y yB yC
Ta có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: yG A
2 G 2; 2; 2
3
z A zB zC
2
zG
3
Câu 6: D
Phương pháp:
Vẽ đồ thị hoặc BBT của hàm số y x 2 x 2 4 và đường thẳng y 3 để tìm số giao điểm.
Cách giải:
Ta có đồ thị hàm số:
Như vậy ta thấy đường thẳng y 3 cắt đồ thị hàm số y x 2 x 2 4 tại 6 điểm phân biệt.
Câu 7: C
Phương pháp:
Phương trình x2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 là phương trình mặt cầu a2 b2 c2 d 0
Cách giải:
Xét từng đáp án ta được:
1
33
+) Đáp án A: x2 y 2 z 2 x 2 y 4 z 3 0 có: a ; b 1; c 2, d 3 a 2 b 2 c 2 d
0
2
4
phương trình này là phương trình mặt cầu.
1
1
1
+) Đáp án B: 2 x 2 2 y 2 2 z 2 x y z 0 x 2 y 2 z 2 x y z 0 có:
2
2
2
1
1
1
3
a ; b ; c ; d 0 a 2 b2 c 2 d 0 phương trình này là phưng trình mặt cầu.
4
4
4
16
+) Đáp án C: x2 y 2 z 2 2 x 4 y 4 z 10 0 có: a 1; b 2; c 2; d 10 a 2 b2 c2 d 1 0
phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
Câu 8: A
Phương pháp:
Công thức tổng quát của CSC có số hạng đầu là u1 và công sai d: un u1 n 1 d
Tổng của n số hạng đầu của CSC có số hạng đầu là u1 và công sai d: Sn
n u1 un n 2u1 n 1 d
2
2
Cách giải:
n 2u1 n 1 d
40 2.5 39d
Gọi d là công sai của CSC đã cho ta có: S40
3320 d 4
2
2
Câu 9: B
Phương pháp:
+) Đường thẳng x a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số y f x lim f x
x a
+) Đường thẳng y b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y f x lim f x b
x
Cách giải:
TXĐ: D \ 5;5
Hàm số đã cho liên tục trong 5;5 và lim
x 1
; lim
25 x
đường TCĐ là x 5, x 5 và đồ thị hàm số không có TCN.
x 5
2
x 5
x 1
25 x 2
đồ thị hàm số có hai
Câu 10: D
Phương pháp:
Điểm A ' đối xứng với A a; b; c qua trục Oy A ' a; b; c
Cách giải:
Toạ độ điểm A ' đối xứng với A 3;1; 2 qua trục Oy là 3;1; 2
Câu 11: A
Phương pháp:
Tìm TXĐ của hàm số sau đó xét sự biến thiên, lập BBT và tìm tập giá trị của hàm số.
Cách giải:
TXĐ: D 3;7
Xét hàm số y x 3 7 x ta có: y '
1
1
2 x 3 2 7 x
1
1
0 x3 7 x
2 x 3 2 7 x
x 3 7 x 2 x 10 x 5
y' 0
Ta có BBT:
x
3
5
y'
0
7
+
2 2
y
2
2
Vậy tập giá trị của hàm số là: 2; 2 2 .
Câu 12: A
Phương pháp:
Sử dụng công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản và hàm hợp:
u ' 2u 'u , ln x ' 1x
Cách giải:
Ta có:
f ' x
ln x '
ln ln x '
1
ln x
ln ln x '
2 ln ln x 2 ln ln x 2 x ln x ln ln x
Câu 13: B
Phương pháp:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức bài cho sau đó tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các
điểm đó.
Cách giải:
Ta có: z 2 i z 4 i 10 z 2 i z 4 i 10 *
Gọi z x yi M x; y là điểm biểu diễn số phức z.
Gọi A 2;1 là điểm biểu diễn cho số phức 2 i và B 4;1 là điểm biểu diễn cho số phức 4 i
Từ * MA MB 10 Tập hợp điểm M là elip có A, B là hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng 10.
Ta có AB 62 6 2c c 3 và MA MB 2a 10 a 5
b2 a2 c2 52 32 42 b 4
Câu 14: D
Phương pháp:
Cách 1: Dựa vào BBT, vẽ BBT của đồ thị hàm số y f x và suy ra số các điểm cực trị của hàm số.
Cách 2: Từ BBT suy ra công thức hàm số y f x từ đó vẽ đồ thị hàm số y f x và suy ra số các
điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
Dựa vào BBT ta thấy hàm số y f x có 3 điểm cực trị 1; 2 , 0;3 , 2; 4
Khi đó ta có BBT của hàm số y f x như sau:
x
f ' x
1
0
f x
0
+ 0
0
+
3
2
4
2
4
y0
BBT của hàm số y f x là:
2
x
f ' x
2
0
0
f x
+ 0
2
0
+
3
4
4
4
4
y0
Như vậy hàm số y f x có 7 điểm cực trị.
Câu 15: B
Phương pháp:
Sử dụng quan hệ song song trong không gian để chứng minh và chọn đáp án đúng.
Cách giải:
+) Đáp án A: Ta có C ' MN chính là C ' MB '
AB ' C ' MN B ' loại đáp án A.
+) Đáp án C: Ta có AB ' A ' B vì hai đường thẳng cùng thuộc A ' B ' BA
loại đáp án C.
+) Đáp án D: Ta có AB ' BM do hai đường thẳng này cùng thuộc A ' B ' BA
loại đáp án D.
Câu 16: C
Phương pháp:
+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y f x trên a; b bằng cách:
+) Giải phương trình y ' 0 tìm các nghiệm xi
+) Tính các giá trị f a , f b , f xi xi a; b . Khi đó:
min f x min f a ; f b ; f xi , max f x max f a ; f b ; f xi
a ;b
a;b
Cách giải:
TXĐ: D
\ 1 . Ta có: y '
x 1 x m
x 1
2
1 m
x 1
2
Vì hàm số đã cho là hàm bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định của hàm
số.
1 m
2m
Xét trên 1; 2 ta có: y 1
; y 2
là các GTNN và GTLN của hàm số.
2
3
m 1 m 2
41
y 1 y 2
8 3m 3 2m 4 48 m
2
3
5
8 m 10
Câu 17: B
Phương pháp:
Số các chữ số của số a m là: log a m 1 chữ số.
Cách giải:
Ta có: log 2018201920192020 1 20192020log 20182019 1 147501991 1 147501992
Câu 18: D
Phương pháp:
Giải phương trình lượng giác tìm nghiệm x k sau đó cho nghiệm đó thuộc 0; 2019 tìm số các
giá trị k
Cách giải:
rồi suy ra số nghiệm của phương trình đã cho.
cos 2 x 2 cos x 3 0 2 cos 2 x 2 cos x 4 0
cos x 1
x k 2 k
cos x 2 (ktm)
Phương trình có nghiệm thuộc 0; 2019
0 k 2 2019 0 k 321,33
k 1; 2;...;321
Câu 19: C
Phương pháp:
Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng x a, x b a b và các đồ thị
b
hàm số y f x , y g x là: S f x g x dx
a
Cách giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
x 2
4 x2 0
x2
x 2 1;
7 4 x2 0 x
1
7
0;1
2
2
3
S 7 4 x 3 dx 4 x 2 dx 4 x 2 dx
0
1
1
2
2
3
7 4 x3 dx 4 x 2 dx x 2 4 dx
0
1
2
x3
x
7x x 4x 4x
31 3
0
16 11
16
7 1 3 10
3 3
3
Câu 20: C
Phương pháp:
1
3
2
3
4
2
1
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh
3
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của AB SH ABCD
AB 3 a 3
2
2
1
1 a 3 2 a3 3
VS . ABCD SH .S ABCD .
.a
3
3 2
6
Câu 21: B
Phương pháp:
n!
n!
, Ank
Sử dụng các công thức Cnk
, giải phương trình tìm n rồi chọn đáp án đúng.
k ! n k !
n k !
SH
Cách giải:
Ta có:
Cn2 An2 15n
n n 1
2
n!
n!
15n n 2
2! n 2 ! n 2 !
n n 1
1
15n n 2 n 2n 2 2n 30n 0
n 0 ktm
3n 2 33n 0
n 11 tm
Vậy n không chia hết cho 2.
Câu 22: B
Phương pháp:
Gọi tọa độ các điểm A, B, C.
Lập phương trình mặt phẳng đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz bằng phương trình đoạn chắn.
Từ đó tìm được các điểm A, B, C. Từ đó tính được bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R : S 4 R2
Cách giải:
Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Khi đó ta có phương trình đi qua các điểm A, B, C:
H
x y z
1
a b c
1 2 2
1 1
a b c
AH BC
AH .BC 0
Theo đề bài ta có H là trực tâm ABC
BH AC
BH . AC 0
AH 1 a; 2; 2 , BC 0; b; c
Ta có:
BH 1; 2 b; 2 , AC a;0; c
AH .BC 0
2b 2c 0
a 2c
a 2c 0
b c
BH . AC 0
1
2 2
9
9
1
1 1 c
2c c c
2c
2
A 9;0;0
a 2c 9
9
9 B 0; 0
b c 2
2
9
C 0;0;
2
Gọi I x0 ; y0 ; z0 là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp tứ giác OABC.
x 2 y 2 z 2 x 9 2 y 2 z 2
x 2 x 9 2
0
0
0
0
0
0
0
0
OI IA
2
2
9
9
2
2
2
2
2
2
OI IB x0 y0 z0 x0 y0 z0 y0 y0
2
2
OI IC
2
2
9
9
x02 y02 z02 x02 y02 z0
z02 z0
2
2
9
x0
x
x
9
0
0
2
9
9
9 6
9 9 9
y0 y0 y0
I ; ; R OI
2
4
4
2 4 4
9
9
z0 z0 2
z0 4
2
9 6 243
S I 4 R 4 .
4
2
Câu 23: A
Phương pháp:
Khi quay tam giác AA ' C quanh trục AA ' ta được hình nón có bán kính đáy R AC , đường sinh
l A ' C ' và chiều cao h AA '
Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h và đường sinh l:
2
Stp Rl R 2
Cách giải:
Khi quay tam giác AA ' C quanh trục AA ' ta được hình nón có bán kính đáy R AC , đường sinh
l A ' C ' và chiều cao h AA '
Ta có: AC AB2 BC 2 a 2
A ' C AC 2 AA '2 2a 2 a 2 a 3
Stp Rl R 2 . AC. A ' C . AC 2
a 2.a 3 2a 2
6 2 a2
Câu 24: D
Phương pháp:
Gọi các quả cầu được xếp trong mô hình là n quả.
Bán kính các quả cầu tạo thành cấp số nhân có công bội là 2.
Tổng của n số hạng đầu của CSN có số hạng đầu là u1 và công bội q: Sn
Cách giải:
Gọi các quả cầu được xếp trong mô hình là n quả. n
*
u1 q n 1
q 1
Bán kính các quả cầu tạo thành cấp số nhân có công bội là 2.
Gọi bán kính quả cầu trên cùng hay quả cầu nhỏ nhất là R1. 0 R1 50
Bán kính quả cầu dưới cùng là: Rn 50cm R1.2n1 2n
Khi đó chiều cao của mô hình có thể là: h 2Sn
2.R1 2n 1
2 1
100
R1
100
2 R1
1 200 2 R1 200cm 2m
R1
Vậy chiều cao của mô hình là dưới 2 mét.
Câu 25: C
Phương pháp:
1
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh
3
Cách giải:
Ta có:
1
SCNPQ S NQDC S DPQ S ABCD S DPQ
2
1
1
3
S S S
2
8
8
1
Lại có: d M ; ABCD d A; ABCD
2
1
1 3
3
VMCNPQ d M ; ABCD .SCNPQ h. S V
3
2 8
16
Câu 26: D
Phương pháp:
Sử dụng công thức: f x f ' x dx để tìm hàm số f x sau đó giải phương trình và tính tổng đề bài
yêu cầu.
Cách giải:
Ta có: f x 4 x 3 dx 2 x3 3x C
Lại có: f 1 1 2.1 3.1 C 1 C 6 f x 2 x 2 3x 6
f x 10 2 x2 3x 6 10 2 x 2 3x 16 0 *
Ta có: ac 2. 16 32 0 * luôn có hai nghiệm trái dấu.
3
x1 x2
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
2
x1 x2 8
Ta có: log 2 x1 log 2 x2 log 2 x1 x2 log 2 8 log 2 23 3
Câu 27: B
Phương pháp:
n
Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: a b Cnk a nk b k
n
k 0
Cách giải:
3x
0
C2019
2019
k
C2019
2019
k 0
3
2019
1
C2019
3
3
k
x 2019 k
2018
2
x C2019
3
2017
2018
2019 2019
x 2 ... C2019
. 3x 2018 C2019
x
a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 ... a2019 x 2019
1
i
m
Ta có: i
1
i
khi
khi
khi
khi
m 4l
m 4l 1
l
m 4l 2
m 4l 3
Chọn x i ta có:
3 i
0
C2019
2019
2019
k
C2019
k 0
3
2019
3 i
k
1
C2019
3
2019 k
2018
i
2
1
2
i C2019
3
2017
2018
2019 2019
i 2 ... C2019
. 3.i 2018 C2019
i
a0 a1i a2i 2 a3i 3 ... a2018i 2018 a2019i 2019
a0 a1i a2 a3i ... a2018 a2019i
Chọn x i ta có:
3 i
0
C2019
2019
2019
k
C2019
k 0
3
2019
3 i
1
C2019
k
3
2018
2019 k
2
i C2019
3
2017
2018
2019 2019
i 2 ... C2019
. 3.i 2018 C2019
i
a0 a1i a2i 2 a3i 3 ... a2018i 2018 a2019i 2019
a0 a1i a2 a3i ... a2018 a2019i
2 S
3 1
3 1
3 1
2019
2019
3 673
2S 8673.i 673 8673.i 673
Câu 28: C
Phương pháp:
2 a0 a2 a4 a6 ... a2016 a2018
673
3
673
673
3 1 8i 8i 0
0S 0
n
Sử dụng công thức khai triển của nhị thức a b Cnk a nk b k
n
k 0
Cách giải:
n
Ta có: 5 x 1 Cnk 5 x 1
n
k
nk
k 0
Chọn x 1 ta được tổng các hệ số của khai triển
n
5.1 1 Cnk 5k 1
n
nk
2100
k 0
2
100
4 2100 22 n 2n 100 n 50
n
3
Vậy hệ số của x 3 trong khai triển là: C50
.53. 1
503
3
C50
.53 2450000
x 1 t 3
Đặt 4 x 1 t dt 4dx . Đổi xận:
1
x 4 t 0
3
3
3
1
1
1
1
I 2 f t dt f t dt f x dx .8 2
40
40
40
4
I I1 I 2 1 2 3
Câu 31: A
Phương pháp:
+) Lấy loganepe hai vế, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x.
+) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm. Áp dụng định lí Vi-ét.
+) Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm đánh giá biểu thức S.
Cách giải:
a xb x
2
1
1 a xb x b ln a xb x
2
2
ln b
x ln a x 2 ln b ln b x 2 ln b x ln a ln b 0
ln b 0 luon dung do b 1
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 2
2
ln a 4ln b 0 luon dung
Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi a, b 1 . Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình
ln a
x1 x2 ln b log b a
đã cho. Áp dụng định lí Vi-ét ta có:
x x ln b 1
1 2
ln b
Khi đó ta có:
2
2
xx
xx
S 1 2 4 x1 4 x2 1 2 4 x1 x2
x1 x2
x1 x2
2
1
1
S
4 log b a
4 log b a
log b2 a
log b a
Do a, b 1 log b a log b 1 0
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
S
1
1
1
4logb a
2logb a 2logb a 3 3
.2log b a.2log b a 3 3 4
2
2
2
logb a
logb a
logb a
1
Smin
1
1
1
3
3 4 . Dấu “=” xảy ra
2logb a logb3 a logb a 3 a b 2
2
logb a
2
2
Ta có: b
3
1
2
3
b1 b do b 1 a b
Câu 32: C
Phương pháp:
+) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, SC, BC, AC. Chứng minh SA; BC NQ; MQ .
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNQ.
Cách giải:
SBG ABG
SG ABC
Ta có: SCG ABC
SBG SCG SG
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, SC, BC, AC.
Đặt AB BC 1 AC 2
Ta có: SA; ABC SA; GA SAG 300
Ta có NQ là đường trung bình của tam giác SAC NQ / / SA
MQ là đường trung bình của tam giác ABC MQ / / BC
SA; BC NQ; MQ
Ta có: AP 1
1
5
2
5
CM AG AP
4
2
3
3
SG AG.tan 300
NQ
5 3
15
AG
2 15
.
; SA
0
3 3
9
cos 30
9
1
15
1
1
và MQ BC
SA
2
2
2
9
Ta có MC
5
2
5
1
5
GC MC
; GM MC
2
3
3
3
6
Áp dụng định lí Pytago ta có: SC SG 2 GC 2
Xét tam giác SMC ta có: MN 2
2 15
105
; SM SG 2 GM 2
9
18
SM 2 MC 2 SC 2 65
195
MN
2
4
108
18
Áp dụng định lý cosin trong tam giác MNQ:
1 5 65
1
2
2
2
MQ NQ MN
15
cos MQN
4 27 108 6
0
2.MQ.NQ
10
1 15
15
2. .
2 9
9
15
Vậy cos NQ; MQ cos SA; BC
10
Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn nên cosin của góc giữa hai đường thẳng là giá trị dương.
Câu 33: C
Phương pháp:
Xếp lần lượt chỗ ngồi cho từng học sinh nam và nữ sao cho mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một
học sinh nữ. Sử dụng quy tắc nhân.
Cách giải:
Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào 10 ghế cho 10! cách xếp n 10!
Gọi A là biến cố: “mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ”.
+) Xếp học sinh nam thứ nhất vào 1 trong 10 vị trí cho 10 cách xếp.
Chọn 1 trong 5 bạn nữ xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ nhất có 5 cách xếp.
+) Xếp bạn nam thứ 2 vào 1 trong 8 vị trí còn lại có 8 cách xếp.
Chọn 1 trong 4 bạn nữ còn lại xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ hai có 4 cách xếp.
+) Xếp bạn nam thứ 3 vào 1 trong 6 vị trí còn lại có 6 cách xếp.
Chọn 1 trong 3 bạn nữ còn lại xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ ba có 3 cách xếp.
+) Xếp bạn nam thứ 4 vào 1 trong 4 vị trí còn lại có 4 cách xếp.
Chọn 1 trong 2 bạn nữ còn lại xếp ngồi đối diện với bạn nam thứ tư có 2 cách xếp.
+) Xếp bạn nam thứ 5 vào 1 trong 2 vị trí còn lại có 2 cách xếp.
Xếp 1 bạn nữ còn lại vào vị trí cuối cùng có 1 cách xếp.
n A 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 460800
Vậy P A
n A 460800 8
n
10!
63
Câu 34: B
Câu 35: B
Phương pháp:
n n ; ud
+)
d
+) Lấy A d A Viết phương trình mặt phẳng .
+) Xác định điểm vừa thuộc vừa thuộc .
Cách giải:
Ta có: ud 1;1; 2 là 1 VTCP của đường thẳng d và n 1;1; 2 là 1 VTPT của mặt phẳng .
Gọi n là 1 VTPT của mặt phẳng .
n .n 0
n n ; ud 4; 4;0 / / 1; 1;0
Ta có:
d
n .ud 0
Lấy A 1;2;3 d A
Suy ra phương trình mặt phẳng : 1 x 2 1 y 3 0 x y 1 0
x y 1 0
Giao tuyến của và có phương trình
*
x y 2z 1 0
Dựa vào 4 đáp án ta thấy chỉ có điểm 2;3;3 thỏa mãn (*)
Câu 36: A
Phương pháp:
Nhân liên hợp để khử dạng
0
0
Cách giải:
3
lim
5 f x 16 4
x 2
lim
x2 2 x 8
3
x2
lim
x2
lim
x2
5 f x 16 4
x 4 x 2
3
x 4 x 2
x 4 x 2
lim
x2
f x 16
.
x2
Ta có lim
x 2
lim
x 2
3
5 f x 16 4 3 5 f x 16 16
2
3
5 f x 16 4 3 5 f x 16 16
2
5 f x 16 64
5 f x 16 4 3 5 f x 16 16
2
3
5 f x 16
5 f x 16 4 3 5 f x 16 16
2
3
5
5 f x 16 4 3 5 f x 16 16
2
3
f x 16
12 f 2 16; f ' 2 12
x2
5 f x 16 4
x 2x 8
2
12.
5
5
6 4 4.4 16 24
2
Câu 37: C
Phương pháp:
+) Tìm ĐKXĐ của phương trình.
+) Sử dụng công thức nhân đôi cos 4 x 2cos2 2 x 1 và công thức hạ bậc sin 2 x
trình về dạng phương trình bậc cao đối với 1 hàm số lượng giác.
+) Giải phương trình, biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.
+) Xác định các điểm và tính diện tích đa giác đó.
Cách giải:
1 cos 2 x
đưa phương
2
ĐK: sin x cos x 0 2 sin x 0 x k x k k
4
4
4
PT cos 4 x cos 2 x 2sin 2 x 0
2 cos 2 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x 0
2 cos 2 2 x 2 cos 2 x 0
2 cos 2 x cos 2 x 1 0
k
x
2 x k
cos 2 x 0
4 2 k
2
cos 2 x 1
x k
2 x k 2
2
x
k
4
Đối chiếu điều kiện ta có:
k
x k
2
Biểu diễn hai họ nghiệm trên trên đường tròn lượng giác ta được
4 điểm A, B, C, D như sau:
2 2
Trong đó A
;
. Gọi H lần lượt là hình chiếu của A
2 2
2
trên Oy H 0;
2
AH
1
1 2
2
2
. Ta có: SABD AH .BD .
.2
2
2 2
2
2
Vậy S ABCD 2S ABD 2
Chú ý: Chú ý đối chiếu điều kiện xác định để loại nghiệm.
Câu 38: B
Phương pháp:
+) A, B P Thay tọa độ A, B vào phương trình mặt phẳng (P) được 2 phương trình.
+) Gọi M P Ox; N P Oy . Xác định tọa độ điểm M, N.
+) Từ giả thiết OM ON Phương trình thứ 3.
+) Giải hệ 3 phương trình P , Q từ đó tính b1b2 c1c2
Cách giải:
1 b1 c1 d1 0
Ta có: A, B P
2b1 2c1 d1 0
M P Ox M d1 ;0;0 OM d1 0
Gọi
d1
d1
d1
N P Oy N 0; b ;0 ON b b 0
1
1
1
Theo bài ra ta có OM ON d1
d1
d1 b1 1 0 b1 1 Do d1 0
b1
2 c1 d1 0
c1 4
P : x y 4z 6 0
TH1: b1 1
2 2c1 d1 0 d1 6
c1 d1 0
c1 2
P : x y 2z 2 0
TH2: b1 1
2 2c1 d1 0 d1 2
Do vai trò của P , Q là như nhau nên không mất tính tổng quát ta có P : x y 4 z 6 0 và
Q : x y 2z 2 0
b1b2 c1c2 1 1 4. 2 9
Câu 39: C
Phương pháp:
+) Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song. Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
+) Tính diện tích hình thang cân.
Cách giải:
Gọi N là trung điểm của BC ta có MN là đường trung bình của
tam giác ABC MN / / AC .
Ta có A ' C ' M chứa A ' C '/ / AC A ' C ' M cắt ABC theo
giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với
AC A ' C ' M ABC MN .
Vậy thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng A ' C ' M
là tứ giác A ' C ' NM .
Ta có MN / / AC / / A ' C ' A ' C ' NM là hình thang.
Xét A ' AM và C ' CN có:
A ' A C ' C; A ' AM C ' CM 900 ; AM CN
A ' AM C ' CN c.g.c A ' M C ' N
a
2
Dễ dàng nhận thấy A ' M và C ' N không song song nên A ' C ' NM là hình thang cân.
a
Có A ' C ' a; MN
2
Kẻ MH A ' C ' H A ' C ' ; NK A ' C ' K A ' C ' ta có MNKH là
hình chữ nhật MN HK
a
2
A ' C ' HK
A' H C ' K
2
a
2a
2
4
a
a 2 3a
Xét tam giác vuông A ' AM có A ' M A ' A AM 2a
4
2
2
2
Xét tam giác vuông A ' MH có MH A ' M 2 A ' H 2
2
9a 2 a 2 a 35
4 16
4
1
1
a a 35 3 35a 2
A ' C ' MN .MH a .
2
2
2 4
16
Vậy S A 'C ' NM
Câu 40: B
Phương pháp:
+) Để hàm số đồng biến trên
m g x x
thì y ' 0 x
. Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng
m min g x
+) Lập BBT của hàm số y g x và kết luận.
Cách giải:
Hàm số y ln x 2 2 mx 1 có TXĐ: D
Ta có y '
2x
m
x 2
2
Để hàm đồng biến trên
m
thì y ' 0 x
2x
g x x
x 2
2x
m 0 x
x 2
2
m min g x
2
2x
Xét hàm số g x 2
có TXĐ D
x 2
và g ' x
2 x 2 2 2 x.2 x
x
2
2
2
2 x 2 4
x
2
2
2
0 x 2
BBT:
x
2
g ' x
0
2
+
0
0
2
2
g x
0
2
2
Từ BBT ta suy ra min g x g 2
2
2
m
2
2
2
m 2019;
Kết hợp điều kiện đề bài ta có
2 m 2019; 2018;...; 1
m
Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 41: A
Câu 42: C
Phương pháp:
+) Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại x 1
+) Nếu hàm số liên tục tại
f x f x0
f ' x0 lim
x x0
x x0
x 1 , sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa:
Cách giải:
Trước hết ta xét tính liên tục của hàm số tại x 1
Ta có
3x 1 2 x
lim
x 1
x 1
lim f x lim
3x 1 2 x
3x 1 2 x
x 1 3x 1 2 x
x 1 4 x 1
3x 1 4 x 2
lim
lim
x 1
x 1 3x 1 2 x x1 x 1 3x 1 2 x
x 1
lim
x 1
x 1
4 x 1
4 1 5
f 1
3x 1 2 x
4 2 4
Hàm số liên tục tại x 1
Tính f ' 1
f x f 1
f ' 1 lim
x 1
x 1
lim
x 1
lim
x 1
lim
x 1
4 3x 1 3x 5
4 x 1
2
lim
4
3x 1 2 x 5
x 1
4 lim 4 3x 1 8 x 5 x 5
2
x 1
x 1
4 x 1
x 1
lim
lim
4 x 1 4 3x 1 3 x 5
9 x 1
x 1
x 1
9 x 2 18 x 9
4 x 1 4 3 x 1 3 x 5
2
2
4 x 1 4 3x 1 3 x 5
2
4 x 1 4 3x 1 3 x 5
2
16 3x 1 9 x 2 30 x 25
2
3x 1 3x 5 4 3x 1 3x 5
9
4 4 3x 1 3x 5
9
64
Chú ý: Trước khi tính đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x x0 cần kiểm tra tính liên tục của hàm
số tại điểm đó.
Câu 43: B
Phương pháp:
+) Gọi C a; b; c phương trình (1).
+) Tam giác ABC đều AB BC CA phương trình (2), (3).
+) Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c.
Cách giải:
Gọi C a; b; c 2a b 2c 8 0 1
Tam giác ABC đều AB BC CA
