78 đề tuyển sinh 10

78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
TDKHANH
THI TUYểN VÀO LớP 10
CHUYÊN TOÁN - THPT
CHUYÊN QUảNG BÌNH
Năm học 2002-2003
Câu 1(2 điểm):
Cho đường thẳng có phương tr“nh
1) Xác định trong mỗi trường hợp sau:
a/ (d) đi qua điểm
b/ (d) cắt trục tung tại B có tung độ bằng 3
2) T“m để 2 đường thẳng được xác định trên và đường thẳng đôi một song
song
Câu 2(1,5 điểm):
CMR:
Câu 3(2 điểm):
Cho phương tr“nh:
1) Xác định giá trị của để phương tr“nh (1) có 2 nghiệm phân biệt
2) Với giá trị nào của th“ phương tr“nh (1) có một nghiệm bằng ? T“m nghiệm kia.
Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn tâm ,
đường cao . Giả sử là một điểm trên cung nhỏ ( không trùng với và ),
từ hạ vuông góc với ( thuộc )
1) CM tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
2) CM góc bằng góc
3) CM rằng khi thay đổi trên cung nhỏ th“ góc không đổi
4) CM song sonh với
Câu 5(1 điểm):
1) CMR: Với , ta có:
2) CMR:
1

1
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)

Đề THI VÀO TRƯờNG ĐạI HọC KHOA HọC Tự NHIÊN NĂM 1996-1997
Bài 1: Cho x>0, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức:
Bài 2:Giải hệ PT:
1/ +
và
1/ +
Bài 3: CM với mọi số n nguyên ta có:
+5n 6
Bài 4: Cho a,b,c>0. CM:
ab+bc+ca
Bài 5: Cho HV ABCD cạnh a. Gọi M,N,P,Q là các điểm bất kì lần lượt nằm trên cạnh
AB,BC,CD,DA
a. CM:
b. Giả sử m là một điểm cố định cho trước trên AB. Hãy x/đ vị trí điểm N,P,Q trên lần
lượt các cạnh BC,CD,DA sao cho MNPQ là HV
2
2
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
THI THử CHUYÊN TOÁN KHTN
Vòng 1: (toán chung)
Bài 1,(2đ)
Tính S=
Bài 2,(2đ)Tìm nghiệm nguyên dương:
Bài 3,(2đ)C/m nghiệm pt là nghiệm pt:
Bài 4,(3đ)Cho hv ABCD, M di động trên BD (M khác B,D).Vẽ 2 đường tròn tâm O1,O2

đều qua M và lần lượt tiếp xúc với CB,CD ở B,D. (O1) cắt (O2) ở N ( khác M).
a,C/m C,M,N thẳng hàng
b,C/m N 1 đường tròn cố định
c,Tìm M để đoạn O1O2 min.
Bài 5,(1đ)Giả sử a,b,c là những số thực dương thoả mãn ,c/m:
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1989-1990
Ngày thứ I :
Bài 1 : Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức là số nguyên
Bài 2 : Tìm min của
Bài 3 :
a)Chứng minh với mọi m nguyên dương ,biểu thức không phài là số chính
phương
3
3
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
b)Chứng minh rằng với mọi m nguyên dương thì không thể thành tích của 4 số
tự nhiên liên tiếp
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông cân ,góc A=90 độ .CM là trung tuyến (M nằm trên
AB).Từ A vẽ đường vuông góc với MC cắt BC ở H.Tính tỉ số
Bài 5 : Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc
với nhau .Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được
với nhau
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1993-1994
Ngày thứ I :
Bài 1 :
a)Giải phương trình
b)Giải hệ phương trình

Bài 2 : Tìm max và min của A= khi x,y thay đổi thỏa mãn ;
Bài 3 : Cho hình thoi ABCD .Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp các :delta
ABD,ABC và a là độ dài cạnh hình thoi .CMR:
Bài 4 : Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho
nhận giá trị nguyên dương
Ngày thứ II:
Bài 1 : Giải hệ phương trình :
4
4
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Bài 2 : Có tồn tại hay không các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện :
.
Bài 3 : Số 1997 viết đước dưới dạng tổng hợp số, nhưng không viết được dưới dạng
tổng hợp số . Hỏi bằng bao nhiêu ?
Bài 4 : Xét tam giác ABC ngoại tiếp vòng tròn có bán kính bằng 1 . Gọi lần lượt
là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới các cạnh đối diện . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức :
Bài 5: Trên đường tròn cho 16 điểm và màu : xanh, đỏ, vàng để tô các điểm này (mỗi
điểm tô một màu) . Giữa mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng được tô bằng màu
tím hoặc màu nâu . Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng 3
màu : xanh, đỏ, vàng) và mọi cách tô trên mỗi đoạn thẳng nối giữa hai cặp điểm (chỉ dùng
2 màu : tím, nâu) ta đều tìm được trên hình vẽ một tam giác có đỉnh là các điểm đã cho
mà các đỉnh được tô bằng cùng một màu và các cạnh cũng được tô bằng cùng một màu
(khác màu tô trên đỉnh) .
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1998-1999
Ngày thứ I:
Bài 1 :
a) Giải phương trình :

b) Giải hệ phương trình :
Bài 2 : Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện
Tính giá trị của biểu thức
Bài 3 : Cho các số . Chứng minh rằng :
Bài 4 : Cho đường tròn (O) bán kính R . A và B là hai điểm cố định trên đường tròn,
(AB<2R) . Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn .
a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường
tròn (O) tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường
trỏn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định .
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất .
Bài 5 :
5
5
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho mỗi số và đều là lập phương của
một số nguyên dương .
b) Cho các số thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức :
Ngày thứ II:
Bài 1:
a) Giải hệ phương trình :
b) Với những giá trị nào của câu a thì phương trình sau đây có nghiệm :
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
Bài 3 :
a) Cho a, b, c là các số thỏa mãn :
i.
ii. phương trình vô nghiệm
Chứng minh rằng :
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Bài 4 :
Cho bảng ô vuông kích thước (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột ) . Kí hiệu
(m,n) là ô vuông nẳm ở giao hàng thứ m (tính từ trên xuống) và cột n ( tính từ trái sang
phải ) . Cho các số nguyên với và . Tô màu các ô vuông con
của bảng theo quy tắc :
a) Lần thứ nhất tô màu năm ô :
b) Từ lần thứ hai trở đi, mỗi lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng một hàng
hoặc cùng một cột .
Hỏi bằng cách đó ta có thể tô màu hết tất cả các ô vuông con của bảng hay không ? Giải
thích tại sao ?
6
6
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Bài 5:
Cho tam giác đều ABC . Trong tam giác ABC, vẽ ba vòng tròn, có bán kính
bằng nhau, tiếp xúc ngoài lẫn nhau và mỗi vòng tròn đều tiếp xúc với hai cạnh của tam
giác . Gọi là vòng tròn tiếp xúc ngoài với cả bà vòng tròn . Biết bán
kính của vòng tròn là , hãy tính độ dài cạnh của tam giác ABC .
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 1999-2000
Ngày thứ I:
Bài 1: Cho các số thỏa mãn :
Tính giá trị của biểu thức .
Bài 2:
a) Giải phương trình :
b) Giải hệ phương trình :
Bài 3 : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho .
Bài 4 : Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung bất kì
MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .

a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn
ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau .
Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất .
Bài 5 :
Các số dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
7
7
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Ngày thứ II:
Bài 1 : Giải phương trình :
Bài 2: Cho các số được xác định bởi công thức với mọi .
Tính giá trị của tổng
Bài 3 : Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó
bằng 1999
Bài 4 : Cho vòng tròn tâm O bán kính R . Giả sử A và B là hai điểm cố định trên vòng tròn
với .
a) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn . Vòng tròn nội tiếp
tam giác MAB tiếp xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F . Chứng minh rằng đường
thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M thay đổi .
b) Tìm tập hợp tất cả điểm P sao cho đường thẳng vuông góc với OP tại P cắt đoạn
thẳng AB .
Bài 5 : Cho hình tròn (O') bán kính bằng 1 . Giả sử là 8 điểm bất kì nằm
trong hình tròn (kể cả trên biên) . Chứng minh rằng trong các điểm đã cho luôn tồn tại hai
điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 2000-2001

Ngày thứ I:
Bài 1 :
a) Tính
b) Giải hệ phương trình :
Bài 2 :
a) Giải phương trình
b) Tìm tất cả các giá trị của a ( a R ) để phương trình : có
ít nhất một ngiệm nguyên .
8
8
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Bài 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với
cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F .
a) Chứng minh rằng .
b) Cho biết , . Tính diện tích hình thang ABCD .
Bài 4 : Cho x, y là hai số thực bất kì khác không. Chứng minh rằng :
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Ngày thứ II:
Bài 1 :
a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn : .
b) Cho cặp số thỏa mãn : , . Chứng minh :
, .
Bài 2 :
a) Giải phương trình .
b) Cho có tính chất , , đều là các số hữu tỉ . Chứng
minh rằng là các số hữu tỉ .
Bài 3 :
a) Cho tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng, nếu các góc B và D của tứ giác là vuông
hoặc tù thì .

b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động . Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam
giác ABC là tam giác không tù và góc là góc bé nhất của tam giác ABC .
Bài 4 : Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng và khoảng cách
giữa các cặp điểm là các số khác nhau . Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng
minh rằng, trong các đoạn thẳng vừa thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của một
tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam
giác khác cũng có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho .
9
9
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ toán vòng
1
I (3đ)
1,Giải hệ:
2,Giải pt:
II(3đ)
1)Tìm số có 4 chữ số t/m:
2)Tìm để pt có nghiệm nguyên.
III(3đ)
vuông ở A. AH BC. .
1) C/m tâm đường tròn ngoại tiếp AMN trùng tâm đ/tròn nt ABC
2) d1,d2 là 2 đt vuông với BC ở M,N. C/m d1,d2 tiếp xúc đường tròn nt ABC
IV(1đ)
Giả sử a,b nguyên dương t/m
Tìm max:
P=
Giải
Câu 1 :
Câu 2 :

2) Đk cần là là số cp--> Đặt . Tách xong ta đc :
NX : và cùng tính chẵn lẻ , từ đó làm nốt ra kết quả.
Cách 2:
10
10
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
ta có:
Ta có 2 nghiệm của phương trình là
Do chúng đều nguyên vậy, suy ra
Do đó , mặt khác 16072 không chia hết cho 16 vậy không có
p thỏa mãn cho phương trình trên có nghiệm nguyên
Cách 3:
Gọi và là nghiệm của phương trình ( , là các số nguyên )
Theo hệ thức Viét :
+ =
=
Vì và là các số nguyên nên
là nguyên p lẻ
là nguyên p chẵn
VÔ LÝ
Vậy không tồn tại p thỏa mãn
Câu 3 :
1) Gọi O là tâm nội tiếp . CM đc O là trung trực AM , AN--> O là tâm ngoại tiếp AMN.
2) Kẻ --> EF là đg kính--> đpcm.
Câu 4 :
Ta có Do đó vậy
Giả sử và , ta có
Do đó trong 2 số có một số nhỏ hơn 3.
Giả sử , xét ta có , lúc này

Xét ta có
Mặt khác ta có
Vậy
Tóm lại đẳng thức xảy ra khi
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ toán vòng
2
Câu 1
11
11
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
1.Giải hệ phương trình :
2. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức:
với
Câu 2:
1.Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:
.
2.Tìm số nguyên dương a,b,c sao cho là một số nguyên.
Câu 3: Cho nột tiếp (O). Giả sử các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhâu tại P
nằm khác phía với A đối với BC. Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm K(K khác B và C). Đường thẳng
PK cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại điểm Q khác A.
1) Chứng minh rằng các đường phân giác của các góc và đi qua cùng một điểm trên
đường thẳng PQ.
2)Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ // BC
Câu 4:Cho phương trình (1)
Trong đó các hệ số chỉ nhận một trong ba giá trị và . Chứng minh rằng là nghiệm
của (1) thì
Giải
Câu 1:
<=>

trừ vế theo vế dc
<=>
vì ko thể bằng 0 nếu bằng thì thay vào bài toán thấy vô lý
=>
<=>
thay ngược vào đề là ra
Bài 4:
12
12
78 tuyn sinh 10 mụn Toỏn t 2002 n 2010
( su tõm)
-> (vỡ cỏc a nhn giỏ tr 1 0-1)
-> ( ): ( )
gi s |x| 2
->|x|-1 1-> VP < ( vụ lớ)
->pcm
Đề tuyển sinh vào 10 - Chuyên Lam Sơn (6)
Bài 1: Cho K = (
1

a
a
-
aa

1
) : (
1
1
+

a
+
1
2

a
)
Tính K khi a = 3 +2
2
Bài 2: Cho f(x) = x
4
4x
2
+ 12x 9
a, Phân tich f(x) thành tích
b, Giải phơng trình f(x) = 0
Bài 3: Giải phơng trình .
21
=
xx
Bài 4 : Tìm m để hệ phơng trình sau vô nghiệm






=
=
334

32
1
yx
ymx
Bài 5: Cho (P ) y = x
2
- 2x 1 ; (

) y = x-1
a, Tìm toạ độ giao điểm A, B của (P) và (

) .
b, Tìm M (OX) sao cho MA + MB là nhỏ nhất
Bài 6: Giải hệ phơng trình



+=
+=
xyy
yxx
82
83
3
3

Bài 7: Cho a,b là hai số dơng. Chứng minh rằng :
a
1
+

b
1


ba
+
4
Bài 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G
a, Chứng minh rằng dt(

GAB)đt(

GCA),dt(

GBC)
b, Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của AB,BC,CA. O là tâm đờng tròn ngoại
tiếp

ABC . CMR O là trực tâm của

MNP.
Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD có AB =a, BC = a
2
, gọi M là trung điểm của
BC
CMR : AM BD
Bài 10: Cho hình chóp SABCD Có đáy ABCD là hình vuông, SA đáy . M là một
điểm di động trên BC , K là hình chiếu của S trên DM . Tìm quỹ tích của điểm K
khi M di động .
13

13
78 tuyn sinh 10 mụn Toỏn t 2002 n 2010
( su tõm)
Đáp án toán chung- Tuyển sinh vào 10 lam sơn
Bài
Nội dung Đỉểm
1
(2đ)
K =
)1(
1


aa
a
:
)1(
1
1
1

+
=

+
a
a
a
a
a

=
a
a 1

Khi a= 3 + 2
2
= (
2
+ 1)
2
=> K =
12
222
+
+
=2
1.0
1.0
2
(2đ)
a, Ta có f(x) = x
4
- 4x
2
+ 12x - 9
= x
4
- (2x - 3)
2

= (x
2
+ 2x - 3)(x
2
- 2x + 3)
=((x +1)
2
- 2x
2
)(x
2
- 2x + 3)
=(x - 1)(x + 3)(x
2
- 2x + 3)
b, f(x) = 0 tơng đơng với






=+
=
=
032
3
1
2
xx

x
x

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x = 1, x = -3
1.0
1.0
3
(2đ)
Phơng trình




=

=
+=
+








=
=





+=
=




=
=
=

-1/2 x
x

21
21
02
21
21
02

21
21
21
21
21
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
Vậy phơng trình có nghiệm x= -
2
1

1.0
1.0
1. 0
4
(2đ)
Hệ ú y = mx-1
(m-
2
3
)x= -1001 (*)
Hệ phơng trình vô nghiệm ú (*) vô nghiệm ú m -
2
3
= 0
ú m =
2
3
thì hệ vô nghiệm.
1.0
14
14
{
78 tuyn sinh 10 mụn Toỏn t 2002 n 2010
( su tõm)
1.0
5
(2đ)
a. Giao điểm của (P) và (

) là nghiệm của hệ

=
=
=




=
=
3
0
1
12
1
2
x
x
xy
xxy
xy

=> Giao điểm A(0;-1) và B(3;2)
b. Vì A(0;-1) và B( 3;2) nằm về hai phía của ox
M cần tìm là giao điểm của ox và AB
Trong đó AB :
03
0


x
=
)1(2
1

+
y
ú x-y =1
M
)0:1(
0
0
M
yx
y




=
=
Vậy M(1;0) thì MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất

1.0
1.0
6
2.0
Hệ



=
=




+=
=+++




+=
=

011
83
0)5)((
83
)(5
3
3

22
3
33
xx
yx
yxx
yxyxyx
yxx
yxyx
( vì
)05
4
3
)
2
(5
2
222
>+++=+++
yy
xyxyx

=
=



=
=



=
=

11
11
11
11
0
0
y
x
y
x
y
x
Vậy hệ có nghiệm (0; 0) (

11
;
11
),(-
11
;-
11
)
1.0
1.0
7
2.0
Bất đẳng thức tơng đơng với
0
411

+
+
baba
0)(
02
04)()(
2
22

+
+++
ba
abba
abbaabab

Bất đẳng thức đã cho đúng
ú Dấu bằng xảy ra ú a=b
1.0
1.0
15
15
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
8
(2®)
Ta cã :
)(
)(
ABCdt
GBCdt
∆
∆
=
AH
GH
1
=
AN
GN
=
3
1

=> dt(
∆

GBC) =
3
1
dt(
∆
ABC)
T¬ng tù :dt(
∆
GCA) =
3
1
dt(
∆
ABC)
dt(
∆
GAB) =
3
1
dt(
∆
ABC)
⇒
dt(
∆
GAB)=dt(
∆
GBC)=dt(
∆
GCA)

Ta cã ON ⊥ BC => ON⊥ MP => ON lµ ®êng cao cña
∆
MNP
MP // BC
OM ⊥ AB => OM ⊥ NP ⇒ OM lµ ®êng cao cña MNP
NP // AB
 O lµ trùc t©m cña
∆
MNP
1.0
1.0
9
(2®)
Gäi H lµ giao ®iÓm cña AM vµ BD
Trong
∆
vu«ng ABD ta cã BD =
22
ADAB
+
=a
3
∆
vu«ng cã AM =
22
BMAB
+
=
2
6a

V× M =
2
1
AD =>
HM
HA
=
HB
HD
=
BM
AD
 HA = 2HM =
2
3
BD=
3
32a
 HA
2
+ HD
2
= AD
2

∆
HAD vu«ng t¹i H
-> AM ⊥ BD
1.0
1.0

10
(2®)
Ta cã :




⊥
⊥
SKDM
SADM
=> DM ⊥ (SAK)

AKDM
⊥
 Gãc
0
90
=
∧
AKD
-> K thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AD
1.0
1.0
16
16
{
{
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
Năm học 2004-2005
Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức:
a) Với giá trị nào của th“ biểu thức có nghĩa?
b) Rút gọn P r?#8220;i so sánh với .
Câu 2(2,0 điểm): Cho là ba số thực đôi một khác nhau thõa mãn:
CMR:
Câu 3(2,0 điểm): CMR, nếu và là các số nguyên tố th“ cũng là số
nguyên tố.
Câu 4(3,5 điểm): Cho đường tròn có đường kính cố định. Điểm di động
trên đường tròn . là một điểm cố định giữa và (điểm không trùng với ,
không trùng với và không phải là trung điểm của đoạn thẳng ).
a) T“m vị trí của điểm trên đường tròn sao cho độ dài của lớn nhất?
b) Gọi là một điểm trên đường tròn sao cho vuông góc với . Gọi là
trung điểm của . CMR, khi điểm di động trên đường tròn th“
là một số không đổi.
c) CMR, khi điểm di động trên đường tròn th“ điểm di động trên một đường
tròn cố định có tâm là trung điểm của đoạn thẳng .
Đề THI VÀO 10 Hệ THPT CHUYÊN NĂM 2004 ĐạI HọC KHOA HọC Tự
NHIÊN(VÒNG 2)
Bµi 1. giảI phơng trình
3 1 2x x− + − =
Bµi 2. GiảI hệ phơng trình
2 2
2 2
15
3
( )( )
( )( )
x y x y

x y x y

+ + =

− − =

17
17
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Bµi 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
1 1
( ) ( )
( )( )
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −
với x, y là các số thực
lớn hơn 1.
Bµi 4. Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông.
a) Tìm tất cả các vị trí của M sao cho ∠ MAB = ∠ MBC = ∠ MCD = ∠ MDA.
b) Xét điểm M nằm trên đờng chéo AC. Gọi N là chân đờng vuông góc hạ từ M
xuống AB và O là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng tỉ số
OB
CN
có giá trị

không đổi khi M di chuyển trên đờng chéo AC.
c) Với giả thiết M nằm trên đờng chéo AC, xét các đờng tròn (S) và (S’) có các đờng
kính tơng ứng AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của (S) và (S’) tiếp xúc với (S’) tại
P và Q. Chứng minh rằng đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S).
Bài 5 : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không v-
ợt quá a và kí hiệu là [a]. Dãy số x
0
, x
1
, x
2
…, xn, … đợc xác định bởi công thức
1
2 2
n
n n
x
+
   
= −
   
   
. Hỏi trong 200 số {x
1
, x
2
, …, x
199
} có bao nhiêu số khác 0 ?
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH

Năm học 2005-2006
Ngày 1: Dành cho tất cả thí sinh
Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức M.
b) T“m x để biểu thức M đạt GTNN?
Câu 2(2,0 điểm): Cho phương tr“nh: (1), với m là tham số.
Xác định giá trị tham số m để:
a) Phương tr“nh (1) có một nghiệm bằng 2.
b) Phương tr“nh (1) có hai nghiệm phân biệt thõa mãn .
Câu 3(1,0 điểm): T“m GTLN của biểu thức: (x>0).
Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường phân
giác trong và ngoài của góc A cắt BC lần lượt tại D và E. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC
ở F.
a) CM tam giác FAD cân tại F.
b) CM:
c) Đặt AB=m, AC=n. Tính tỷ số theo m và n
Câu 5(1,0 điểm): Trong dãy số tự nhiên có thể t“m được 2005 số liên tiếp nhau mà
không có số nào nguyên tố không?
18
18
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Ngày 2: Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên
Câu 1(1,5 điểm): Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh hai số sau:
và
Câu 2(2,0 điểm): Giải phương tr“nh:
Câu 3(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức:
Câu 4(3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Từ C kẻ tia Cx vuông
góc với AB. Trên tia Cx lấy hai điểm E, F sao cho CE=CA và CF=CB. Vẽ đường tròn tâm
đi qua ba điểm A, C, E và đường tròn tâm đi qua ba điểm B, C, F, chúng cắt nhau

tại điểm thứ hai D.
a) CM ba điểm E, B, D thẳng hàng và ba điểm A, D, F thẳng hàng.
b) Khi C di động trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và C cũng không trùng với B),
chứng minh đường thẳng CD luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5(1,5 điểm):
An hỏi B“nh: Bố của bạn năm nay bao nhiêu tuổi?
B“nh đáp: Năm 1986, tuổi của bố m“nh là một số có hai chữ số và bẳng tổng các chữ số
năm sinh của bố m“nh. Hỏi bố của B“nh sinh năm nào và năm 2005 này bố của B“nh bao
nhiêu tuổi?
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN
Năm học 2005-2006
Vòng 2:
Bài 1 :
Bài 2 : Giải hệ phương trình
Bài 3 : thỏa mãn
a)CMR
b)Tìm min của
Bài 4 : Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong :delta ABC
19
19
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
a)Giả sử độ .CMR:
b)Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tại M,N.Gọi Q là điểm đối xứng
với B qua trung điểm của đoạn MN.Chứng minh rằng khi P thay đổi trong :delta ,đường
thẳng PQ luôn đi qua D
Bài 5 :
a)Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh .CMR trong 6 đỉnh bất kỳ của (H) luôn có 4 đỉnh là các
đỉnh của 1 hình thang
b)Có bao nhiêu phân số tối giản (m,n là các số nguyên dương ) thỏa mãn

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:



=−
=+
82
82
2
2
xy
yx
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình:
( )
4 2 2 4
2 2 3 0x m x m
− + + + =
luôn có 4 nghiệm phân
biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
với mọi giá trị của
m
.
Tìm giá trị

m
sao cho
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
11x x x x x x x x
+ + + + × × × =
.
Bài 3: (3 điểm)
Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M
≠
P, M
≠
Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F
≠
Q). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của
hình vuông PQRS tại N.
1. Chứng tỏ rằng:
·
·
·
ERF QRE +SRF
=
.
2. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường
tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.
3. Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.
Bài 4: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên
,p q

sao cho đẳng thức sau đúng:

1232
+−−=−+−
qppqqp
Bài 5: (1 điểm)
20
20
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
Chứng minh với mọi số thực
, ,x y z
luôn có:

( )
2x y z y z x z x y x y z x y z
+ − + + − + + − + + + ≥ + +
Hết

SBD thí sinh: ................. Chữ ký GT1: ........................Sở Giáo dục và
đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
21
21
78 đề tuyền sinh 10 môn Toán từ 2002 đến 2010
( sưu tâm)
BÀI NỘI DUNG Điể
m
B.1




=−
=+
82
82
2
2
xy
yx
(2đ)
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2 0x y y x+ − − =
.
0,25
Hay
( ) ( )
2 0x y x y+ − + =
.
0,25
+ Nếu
0x y+ =
, thay
y x= −
vào phương trình đầu thì:
2 2
2 8 2 8 0x x x x− = ⇔ − − =

0,25
Giải ra :
4; 2x x= = −
0,25
Trường hợp này hệ có hai nghiệm :
( ) ( )
; 4; 4x y = −
;
( ) ( )
; 2;2x y = −
0,25
+ Nếu
2 0x y− + =
, thay
2y x= +
vào phương trình đầu thì:
( )
2 2
2 2 8 2 4 0x x x x+ + = ⇔ + − =
.
0,25
Giải ra:
1 5 ; 1 5x x= − − = − +
.
0,25
Trường hợp này hệ có hai nghiệm:
( )
( )
; 1 5;1 5x y = − − −
;

( )
( )
; 1 5;1 5x y = − + +
0,25
B.2
( )
4 2 2 4
2 2 3 0x m x m
− + + + =
(1)
(2đ)
Đặt :
2
t x=
, ta có :
( )
2 2 4
2 2 3 0t m t m− + + + =
(2) (
0t ≥
) .
0,25
Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm :
1 2
0 t t< <
.
0,25
( ) ( )
2
2 4 2

' 2 3 4 1 0m m m∆ = + − + = + >
với mọi
m
.Vậy (2) luôn có hai nghiệm
phân biệt
1 2
,t t
.
0,25
4
1 2
3 0t t m× = + >
với mọi
m
.
0,25
( )
2
1 2
2 2 0t t m+ = + >
với mọi
m
.
0,25
Do đó phương trình (1) có 4 nghiệm :
1
t
−
,
1

t
+
,
2
t
−
,
2
t
+
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 1 1 2 2
x x x x x x x x t t t t t t t t
+ + + + × × × = − + + − + + − × × − ×


( )
1 2 1 2
2 t t t t= + + ×
0,25
( )
2 2 2 2 2 4 4 2
1 2 3 4 1 2 3 4
4 2 3 4 11x x x x x x x x m m m m+ + + + × × × = + + + = + +
.
0,25
2 2 2 2 4 2 4 2

1 2 3 4 1 2 3 4
11 4 11 11 4 0 0x x x x x x x x m m m m m+ + + + × × × = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ =
0,25
22
22
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
Sưu tầm:Long Châu Trang
B.3 3 đ
Câu3.
1
(1đ)
Hình vẽ đúng 0,25
Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ
có đường kính RM .
·
·
·
0
45ERF MRF MQF= = =
(3)
0,25
F nằm trong đọan ES.
· ·
·
0
90 QRE ERF FRS= + +
Do đó :
·
·
0

45QRE SRF+ =
(4)
0,25
Từ (3) và (4) :
· ·
·
ERF QRE SRF= +
.
0,25
Câu3.
2
(1đ)
Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn qua điểm cố định P. 0,25
Ta có :
·
·
0
45NSE NRE= =
. Do đó N, S, R, E ở trên đường tròn đường kính NR.
0,25
Ta cũng có:
·
·
0
45FME FNE= =
. Do đó N, F, E, M ở trên đường tròn đường kính
MN.
0,25
Do
·

0
90MPN =

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF đi qua điểm P.
0,25
Câu3.
3
(1đ)
Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE. Gọi H là giao điểm của MF và
NE, ta có RH là đường cao thứ ba. RH vuông góc với MN tại D. Do đó :
·
·
DRM ENM=
.
0,25
Ta có:
·
·
ENM EFM=
(do M, N, F, E ở trên một đường tròn);
·
· ·
EFM QFM QRM= =
(do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra:
·
·
DRM QRM=
. D nằm trong đọan MN.
0,25
Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD 0,25

Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN bằng nhau, suy ra : NS = ND .
Từ đó : MN = MQ+NS
0,25
B. 4
1232
+−−=−+−
qppqqp
(
α
)
(2đ)
Điều kiện:
2 0,p − ≥

3 0,q − ≥

2 1 0.pq p q− − + ≥
(p, q là các số nguyên)
0,25
Bình phưong hai vế của (
α
) : 2
2 3 3 2 6p q pq p q− × − = − − +
.
0,25
Hay :
( ) ( )
2 ( 2)( 3) 2 3p q p q− − = − −
.
0,25

Tiếp tục bình phương :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 2 3 2 3p q p q− − = − −
.
0,25
+ Nếu
2p =
thì (
α
) trở thành:
0
+
3
−
q
=
3
−
q
, đúng với mọi số nguyên
3q ≥
tùy ý.
0,25
+ Nếu
3q =
thì (
α
) trở thành:
2

−
p
+
0
=
2
−
p
,đúng với mọi số nguyên
2p ≥
tùy ý.
0,25
D
H
N
F
E
M
S
R
Q
P
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút
NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1. (3 điểm)
Giải hệ phương trình và phương trình sau
a)

2 2
4 1 2 2 1x x x x x− + = − + +
.
b)
3 3
( ) 2
4
xy x y
x y x y
+ =


+ + + =

.
Câu 2. (3 điểm)
a) Giả sử x
1
, x
2
là 2 nghiệm dương của phương trình x
2
– 4x + 1 = 0. Chứng minh
rằng
5 5
1 2
x x+
là một số nguyên.
b) Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia hết cho
6. Chứng minh rằng 4

a
+ a + b chia hết cho 6.
Câu 3. (3 điểm)
Cho M là trung điểm của cung nhỏ AB của đường tròn tâm O (AB không phải là
đường kính). C và D là 2 điểm phân biệt, thay đổi nằm giữa A và B. Các đường thẳng
MC, MD cắt (O) tương ứng tại E, F khác M.
a) Chứng minh các điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn.
b) Gọi O
1
và O
2
lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACE và
BDF. Chứng minh rằng khi C và D thay đổi trên đoạn AB thì giao điểm của hai
đường thẳng AO
1
và BO
2
là một điểm cố định.
Câu 4. (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mản abc = 1. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
.
1 1 1
a b c
a b c
ab a bc b ca c
≤ + +
+ +

+ + + + + +
Sưu tầm:Long Châu Trang
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008
MÔN TOÁN AB ( Chung cho các lớp Toán , Tin , Lý , Hoá , Sinh )
Thời gian làm bài : 150 phút.
Câu 1. Cho phương trình :
2
2 2 ( 1) 3
0
1
x x m m m
x
− + + −
=
−
(1)
a) Tìm m để x = -1 là một nghiệm của phương trình (1)
b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
Câu 2. a) Giải bất phương trình :
2
( 3)( 1) 2 1 7x x x x+ − − − < −
b) Giải hệ phương trình :
2 3 2 1
2 3 2 1
x y y x x x
y x x y y y

+ = −



+ = −


Câu 3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
2 2 2 2
3 2 5 7 0a ab b a b a ab b a b− + + − = − + − + =
Chứng tỏ rằng :
12 15 0ab a b
− + =
b) Cho :
2 2
( 4 2)( 1)( 4 2) 2 1
( 1)
x x x x x x
A
x x x
+ − + + + + − +
=
−
Hãy tìm tất cả các giá trị của x để
0A ≥
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và góc BAC bằng 60
o
. Gọi M , N , P
lần lượt là chân đường cao kẻ từ A , B , C của tam giác ABC là I là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh các điểm I , M , E
và K cùng thuộc một đường tròn

c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Hãy tính số đo của góc BCP
Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm
và bắt đầu thực hiện công việc cùng một lúc . Nếu sau 6 ngày , tổ A được hỗ trợ thêm 10
công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B . Nếu tổ A được hỗ trợ thêm
10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy
xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ . Biết rằng , mỗi công nhân may mỗi ngày được
20 sản phẩm .
−
HẾT
−

Sưu tầm:Long Châu Trang