GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ CÓ LỜI GIẢI

ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chương 1: Các khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất
1.Giải tích tổ hợp
1.1.Quy tắc cộng
Ta cần thực hiện 1 công việc nào đó có n phương án để thực hiện
+Phương án 1: Có n1 cách chọn.
+Phương án 2: Có n2 cách chọn.
………………
+Phương án n: Có nn cách chọn.
Vậy để thực hiện công việc ta có: n1+n2+…+nn cách chọn.
Ví dụ 1: Siêu thị A có bán 2 loại sữa, siêu thị B có bán 3 loại sữa, siêu thị C
có bán 4 loại sữa, khi mua một loại sữa thì có bao nhiêu cách mua?
Giải: +Phương án 1: Đến siêu thị A: Có 2 cách chọn.
+Phương án 2: Đến siêu thị B: Có 3 cách chọn.
+Phương án 3: Đến siêu thị C: Có 4 cách chọn.
Vậy để chọn mua 1 loại sữa ta có: 2+3+4=9 cách chọn.
Ví dụ 2: Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B thì ta có thể đi bằng các phương tiện: ô
tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 3 chuyến tàu hỏa và 5
chuyến máy bay. Hỏi trong 1 ngày để đi từ tỉnh A đến tỉnh B thì có bao nhiêu
cách?
Giải: +Phương án 1 để đi ô tô có 10 cách chọn.
+Phương án 2 để đi tàu hỏa có 3 cách chọn.
+Phương án 3 để đi máy bay có 5 cách chọn.
Vậy để đi từ tỉnh A đến tỉnh B ta có: 10+3+5=18 cách chọn.
1.2.Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành qua k giai đoạn:
+Giai đoạn 1: Có n1 cách chọn.
+Giai đoạn 2: Có n2 cách chọn.

……………….
+Giai đoạn k: Có nk cách chọn.
1


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Vậy để thực hiện công việc ta có: n1,n2,…,nn cách chọn.
Ví dụ 1: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn ra BCH đoàn (bí thư, p.bí thư, ủy
viên). Có bao nhiêu cách chọn ra 1 BCH như thế?
Giải: Công việc chọn 1 BCH đoàn.
+Chọn bí thư: có 30 cách.
+Chọn p.bí thư: có 29 cách.
+Chọn ủy viên: có 28 cách.
Vậy để chọn 1 BCH đoàn ta có: 30.29.28=24 360 cách chọn.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 3 chữ số?
Giải: Giả sử số có 3 chữ số là: ABC và ABC thuộc (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)
Công việc có bao nhiêu cách sắp xếp số tự nhiên như vậy
+Chọn A: có 9 cách (trừ phần tử 0)
+Chọn B: có 10 cách
+Chọn C: có 5 cách (C thuộc: 1,3,5,7,9)
Vậy ta có: 9.10.5=450 cách lập số lẽ.
1.3.Hoán vị
Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí. Ta đổi chỗ các phần tử cho nhau. Số
cách đổi chỗ của n phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử.
Số cách ấy được chứng minh bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1. Quy ước 0! = 1.
Ví dụ 1: Có 3 người : A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. có các cách xếp như sau:
ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC tất cả có 3! = 1.2.3 = 6 cách xếp.

1.4.Tổ hợp
Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n), sao cho hai cách lấy được gọi
là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau. Số cách lấy k phần tử
như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n. Ký hiệu: Ckn bấm máy: nCr
Công thức : Cnk 

n!
k!(n  k)!

Chú ý: C nnk 

n!
n!

 C nk như vậy số cách lấy ra k phần
(n  k )!(n  n  k )! (n  k )!.k!

tử từ tập hợp n phần tử cũng bằng số cách lấy ra n-k phần tử còn lại.

2


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

C0n  Cnn  1 ; C1n  Cnn1  n
Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong một nhóm 3 người A,B,C ta có số
cách chọn là:
2

Giải: Số cách chọn là : C3  3 cách chọn: AB, AC, BC

Ví dụ 2: Một lớp có 20 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh.
Giải: Để chọn ra 3 học sinh là tổ hợp chập 3 của 20
3
C20


20!
 1140
3!.17!

1.5.Chỉnh hợp:
Ta lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử sao cho hai cách
lấy được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhât một phần tử khác nhau hoặc
thứ tự lấy ra của các phần tử là khác nhau. Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là
một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ký hiệu: Akn
Công thức: Akn=n.(n-1)…(n-k+1)
Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong nhóm 3 người A, B, C để đi làm
một nhiệm vụ nào đó. Ai được chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trưởng.
Giải: Ta có 3 cách chọn AB, AC, BC
Do hai cách chọn khác nhau còn kể đến thứ tự nên có thêm 3 cách chọn:
BA, CA, CB . do đó có tất cả 6 cách chọn. theo công thức: A32  3.2.1  6
Nhận xét: Mỗi cách chọn theo nghĩa tổ hợp, do cách chọn theo nghĩa chỉnh
hợp có kể tới thứ tự chọn ( có k! cách hoán vị k phần tử ) nên sẽ có:

Ank  C nk .k!

n!
n!

* k!
 n.(n  1)......(n  k  1)
k!(n  k )!
(n  k )!

1.6.Luật tích:
Nếu có 2 công việc A1 và A2 khác nhau sao cho có k1 cách thực hiện công
việc A1, k2 cách thực hiện công việc A2 thì số cách thực hiện liên tiếp hai công việc
A1 và A2 là k1.k2.
Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách lấy ra 5 con bài từ 52 quân bàì của bộ tú lơ khơ
sao cho có 3 con át và 2 con 10.
3


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giải: Số cách lấy ra 3 con át: C4  4
3

Số cách lấy ra 2 con 10: C4  6
2

Số cách lấy ra 3 con át và 2 con 10 là: C34 .C24  4.6  24
1.7.Công thức Newton:
n

(a  b)n   Cnk an k b k  C0nan b0  C1nan 1b1  C2nan 2 b2  ....  Cnn1ab n 1  Cnn b n
k 0

2.Phép thử và biến cố
Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc mặt
sấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện. Việc tung đồng xu đó là một phép thử còn việc
xuất hiện mặt nào đó là biến cố.
Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng
nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra
trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.
Ví dụ 1: Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm lấy ngẫu nhiên
một sản phẩm. Việc lấy ngâu nhiên một sản phẩm là một phép thử còn việc lấy
được chính phẩm hay phế phẩm là biến cố.
Vậy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được
thực hiện. Các loại biến cố:
+ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép
thử. Ký hiệu: U
Ví dụ 2: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc. Gọi U là biến cố “Xuất
hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 6”. U là biến cố chắc chắn.
+ Biến cố không thể có: Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện
phép thử. Ký hiệu là: V
Ví dụ 3: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc. Gọi V là biến cố “Xuất
hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 7” . V là biến cố không thể có.
+Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép
thử được thực hiện. Ký hiệu: A, B, C, …hoặc A1, A2, ….B1, B2, …..
4


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

+ Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được nữa
Ví dụ 4: Khi tung một con xúc xắc, gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm
(i=1;2;3;4;5;6) Ai là một biến cố ngẫu nhiên. Và thêm nữa đó là các biến cố sơ cấp;
gọi B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” B xảy ra khi hoặc A 2; hoặc A4,
hoặc A6 xảy ra nên B không là biến cố sơ cấp.
Ví dụ 5: Một hộp chứa 3 bi đỏ, 4 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ trong
hộp.  sẽ gồm : C73  35 phần tử.
Ví dụ 6: Gieo 2 con xúc xắc đồng thời đồng chất, quan sát số chấm xuất
hiện. thì không gian mẫu   ?
Ta có: 6.6=36 phần tử.

3.Khái niệm và định nghĩa về xác suất
Khi thực hiện lặp đi lặp lại một phép thử nhiều lần trong cùng một điều kiện,
tính ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xẩy ra biến cố sẽ được thể
hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó cho thấy có thể định lượng (đo lường)
khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó.
Xác suất của một biến cố là một số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất
hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.
3.1.Định nghĩa cổ điển về xác suất:
Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỉ số giữa số trường hợp
thuận lợi cho A và tổng số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi
thực hiện phép thử đó.
Ký hiêu : P(A) là xác suất của biến cố A, m là số trường hợp thuận lợi cho
A, n là số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử. Khi đó:

P( A) 

m
n

(1.1)

3.2.Các tính chất của xác suất:
a.0
b.P(U)=1

c.P(V)=0

3.3.Quan hệ giữa các biến cố:
5


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

+Biến cố A kéo theo biến cố B ký hiệu: A⊂Bnếu A xảy ra thì B xảy ra.
+Biến cố đối của biến cố A được ký hiệu là A : A xảy ra khi và chỉ khi A
không xảy ra.
+Tổng của 2 biến cố A & B là biến cố ký hiệu: A⋃B xảy ra khi ít nhất A
hoặc B xảy ra.
+Tích của 2 biến cố A & B là biến cố ký hiệu: A∩B xảy ra khi cả hai cùng
xảy ra.
3.4.Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển.
+ Phương pháp suy luận trực tiếp:
Ví dụ 1: Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất .Tìm xác suất xuất
hiện mặt có số chấm chẵn.
Giải: Gọi a là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn” Khi gieo một lần
con xúc xắc số trường hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra là n=6. Biến cố A

sẽ xảy ra khi xuất hiện mặt 2 chấm, hoặc 4 chấm, hoặc 6 chấm, nên m=3. Ta có
P( A) 

m 1

n 2

+ Phương pháp dùng sơ đồ:
Ví dụ 2: (Dạng bảng ma trận): Tung một con xúc xắc hai lần. Tìm xác suất
để trong đó có một lần được 6 chấm.
Giải: Gọi A là biến cố “Trong hai lần tung có một lần được 6 chấm” Ta mô
tả số trường hợp duy nhất đồng khả năng của phép thử nhờ bảng sau:
II/I

1

2

3

4

5

6

1

11

12

13

14

15

16

2

21

22

23

24

25

26

3

31

32

33

34

35

36

4

41

42

43

44

45

46

5

51

52

53

54

55

56

6

61

62

63

64

65

66

Có 36 trường hợp duy nhât đồng khả năng, n=36
Có 10 trường hợp thuần lợi cho A, m=10
6


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Vậy

P(A) 

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

m 5

n 18

Ví dụ 3: (Dạng tập hợp biểu đồ Ven): Trong một lớp 50 học sinh có: 20
người chơi bóng đá, 15 người chơi bóng chuyền, 10 người chơi bóng rổ, 8 người
chơi bóng đá và bóng chuyền, 5 người chơi bóng đá và bóng rổ, 1 người chơi bóng
đá, bóng chuyền và bóng rổ. Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Tìm xác suất để
người đó chơi ít nhất 1 môn bóng.
Giải: Gọi A là biến cố “Lấy ngẫu nhiên một học sinh và học sinh đó biết
chơi ít nhất 1 môn bóng”
Ta minh họa bởi sơ đồ sau: (SGK)
Số trường hợp thuận lợi là m = 8+5 + 3+7+4+1+2 = 30
Số trường hợp có thể là n = 50
Vậy P( A) 

m 3
  0.6
n 5

+ Phương pháp dùng các công thức của giải tích tổ hợp:
Ví dụ 4: Một người khi gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại
và chỉ nhớ là chúng khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được
đúng số cần gọi.
Giải: Gọi B là biến cố “Quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi”. Số
trường hợp duy nhất đồng khả năng là số các trường hợp lập được hai số cuối từ 10
chữ số; 0; 1; 2…; 9 là n  A102  10.9  90 . Số trường hợp thuận lợi là m = 1

Vậy:

P( B) 

m 1

n 90

Ví dụ 5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm.
lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 3 sản phẩm. Tìm xác suất để:
a. Cả 3 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm
b. Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm

7


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giải: a. Gọi a là biến cố “Lấy ra được 3 chính phẩm”. Số trường hợp đồng
3
khả năng có thể xảy ra là n  C10


10!
 120 . số trường hợp thuận lợi cho
3!(10  3)!

3

m 1
A là : m  C6  20 . Vậy: P( A)  

n

6

b. Gọi B là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm”. Số
trường hợp lấy được 2 chính phẩm là: C 62 , thêm nữa sản phẩm thứ 3 phải là phế
phẩm có C14 cách lấy. Do đó số trường hợp thuận lợi cho B là: C62C14
Vậy:

C26 .C14 1
P(B) 

120
2

Ví dụ 6: Trong 3 tháng cuối năm biết rằng có 5 máy đã bị hỏng. Tìm xác
suất để không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng.
Giải; Gọi A là biến cố “Không có ngày nào có quá 1 máy bị hỏng”. Số
trường hợp có thể đồng khả năng là chỉnh hợp lặp chập 5 của 92 phần tử
n  A925  92 5 . Số trường hợp thuận lợi là số chỉnh hợp chập 5 của 92 phần tử

m  A592  88.89.90.91.92

Vậy P(A)=0,8954

Ví dụ 7: Tung 1 đồng xu. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt ngữa. tính P(A)=?
Giải: +Số phần tử của A là 1 đồng xu

+Số phần tử của không gian mẫu:   S , N  2 phần tử
P( A) 

m 1

n 2

Ví dụ 8: Trong một hộp có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm.
a.Lấy ngẫu nhiên 1 SP từ hộp để kiểm tra, tính xác suất lấy được phế phẩm.
b.Lấy ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng SP ra 2 SP từ hộp để kiểm tra,
tính xác suất lấy được 2 phế phẩm.
c.Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng SP ra 2 SP từ hộp để kiểm
tra, tính xác suất lấy được 2 phế phẩm.
d.Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại cùng lúc ra 2 SP từ hộp để kiểm tra, tính
xác suất lấy được 2 phế phẩm.

8


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giải: a.Ta có không gian mẫu:   C101  10 , gọi A là biến cố lấy được phế
phẩm. A có C13  3 phần tử
Vậy P( A) 

3
 0,3
10

b.Phép thử lấy 2 lần có hoàn lại: +Lần 1: C110  10 , +Lần 2: C110  10
ta có không gian mẫu:   10.10  100 , gọi B là biến cố lấy được 2 phế phẩm:
+Lần 1 lấy được phế phẩm: C13  3 cách
+Lần 2 lấy được phế phẩm: C13  3 cách
Vậy B có 3.3=9 cách chọn. Vậy P( B) 

9
 0, 09
100

c.Phép thử lấy không hoàn lại 2 SP:
+Lần 1 lấy được: C110  10 cách, Lần 2 lấy được: C19  9 cách
ta có không gian mẫu:   10.9  90 . Gọi C là biến cố lấy được 2 phế phẩm:
+Lần 1 lấy được phế phẩm: C13  3 cách
+Lần 2 lấy được phế phẩm: C12  2 cách
Vậy C có 3.2=6 cách chọn. Vậy P(C ) 

6
 0, 0667
90

d.Phép thử lấy cùng lúc 2 SP, ta có không gian mẫu:   C102  45 cách chọn
gọi D là biến cố lấy được 2 phế phẩm:
Vậy D có C32  3 cách chọn
Vậy P( D) 

3
1
  0.0667

45 15

*Nhận xét:
- Để tìm xác suất của một biến cố bằng định nghĩa cổ điển, ta không cần
thực hiện phép thử (phép thử chỉ là giả định).
- Cho phép tính chính xác giá trị của xác xuất (Nếu đáp ứng đầy đủ các yêu
cầu của định nghĩa).
- Định nghĩa cổ điển về xác suất chỉ dùng được trong trường hợp số trường
hợp duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử là số hữu hạn.
9


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

- Việc đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định nghĩa cổ điển xác suất trên thực
tế là khó đạt được chẳng hạn tính cân đối và đồng chất của một con xúc xắc.
3.5.Định nghĩa thống kê về xác suất
3.5.1.Định nghĩa: Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thứ là tỷ số giữa số
phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện.
Ký hiệu : Tần suất của biến cố A là f(A); k là số lần xuất hiện biến cố A; số
phép thử là n thì:

f ( A) 

k
n

Ví dụ 1: Khi kiểm tra ngẫu nhiên 90 sản phẩm sản xuất do một xí nghiệp sản

xuất, phát hiện ra 7 phế phẩm. gọi A là biến cố: “Xuất hiện phế phẩm”. Vậy tần
suất xuất hiện phế phẩm là: f ( A) 

7
90

Người ta nhận thấy rằng nếu tiến hành thí nghiệm trong những điều kiện như
nhau và số phép thử khá lớn thì tần suất thể hiện tính ổn định của nó khá lớn.
3.5.2.Định nghĩa: Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p
không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít
xung quanh p khi số phép thử tăng lên vô hạn.
Như vậy với n đủ lớn ta có thể lấy: P( A)  f ( A)
Nhận xét: Ưu điểm của định nghĩa thông kê xác suất là không đòihỏi các
điều kiện như định nghĩa cổ điển.
Hạn chế là phải thực hiện số phép thử đủ lớn và chỉ áp dụng được với những
biến cố mà tần suất của nó có tính ổn định.
3.6.Quan hệ giữa các biến cố.
+Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A  B ,
nếu và chỉ nếu A xảy ra suy ra B xảy ra.
+ Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B gọi là tương đương với nhau,
ký hiệu A = B khi và chỉ khi A  B vaø B  A .
+Tổng của hai biến cố: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu
là A  B ( hoặc A + B ) xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B
xảy ra.

10


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

+ Tích hai biến cố: Tích hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là A  B
(hay A.B) xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra
+ Hai biến cố A và B là xung khắc với nhau khi và chỉ khi xảy ra A thì
không xảy ra B và ngược lại Hay A.B  
+ Hiệu của biến cố A và biến cố B: là một biến cố ký hiệu là A\B xảy ra khi
và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.

4.Công thức cộng và nhân xác suất
4.1.Định lý: Xác suất của tổng hai biến cố không xung khắc bằng tổng xác suất
các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó.
P( A + B)= P(A) + P(B) – P(A.B)
Ví dụ 1: một lớp học có 50 học sinh. Trong đó có 20 HS giỏi văn, 25 HS
giỏi toán, 10 HS giỏi cả văn và toán. Chọn ngẫu nhiên 1 HS trong lớp. tính xác
suất học sinh này giỏi văn hoặc toán.
Giải: Phép thử chọn ngẫu nhiên 1 học sinh
Ta có không gian mẫu:   C501  50 phần tử
+Gọi A là biến cố HS chọn ra là giỏi văn
+Gọi B là biến cố HS chọn ra là giỏi toán
Ta có A : C201  20 cách chọn. Vậy P(A) = 20/50 =0.4
Ta có B : C251  25 cách chọn. Vậy P(A) = 25/50 =0.5
Ta có: A.B có C101  10 cách chọn. Vậy P(A.B)= 10/50=0,2
Áp dụng công thức cộng xác suất ta có: P(A+B) = 0,4+0,5-0,2=0,7
Ví dụ 2: Một hộp đựng 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ
trong hộp. tính xác suất:
a.Không lấy được viên bi đỏ nào
b.Lấy được ít nhất 1 viên bi đỏ.
Giải: Phép thử chọn ngẫu nhiên 3 bi.
11

ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ta có không gian mẫu:   C103  120 phần tử
a.Gọi A là biến cố không có bi đỏ nào: A có C63  20
P(A)=20/120=1/6= 0,1667
b.Biến cố có ít nhất 1 bi đỏ A : P( A ) = 1 – P(A)= 1-0,1667=0,8333
4.2.Xác suất có điều kiện
Giả sử A và B là 2 biến cố và P(B)> 0. Xác suất của biến cố A với điều kiện
biến cố B đã xảy ra được ký hiệu và cho bởi công thức:
P( A / B) 

P( A  B) P( AB)

P( B)
P( B)

Ví dụ 1: Một nhóm sinh viên 10 sinh viên gồm 3 nam và 7 nữ, trong đó 2
nam 18 tuổi và 3 nữ 18 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ nhóm đó. Gọi biến cố
A: “SV được chọn là nữ”; B: “Sv được chọn là 18 tuổi”. Tính P(A/B) và P(B/A) ?
Giải: Phép thử là chọn 1 SV từ 10 sinh viên.
Ta có không gian mẫu:   C101  10 phần tử
Ta có: A.B là biến cố SV được chọn là nữ và tuổi 18.
A.B có C31  3 phần tử => P(A.B)=3/10=0,333
B có C51  5 phần tử => P(B)=5/10=0,5 => P(A/B)=3/5
Ví dụ 2: Từ 1 hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 bi,
mỗi lần lấy 1 bi, không hoàn lại. Tính xác suất để lần 2 lấy được bi xanh, biết rằng:

lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ.
Giải: Ta có không gian mẫu: 8.7 = 56 phần tử
Cách 1: Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi đỏ, gọi B là biến cố lần
thứ hai lấy được bi xanh, tính P( B / A) 

P( AB)
P( A)

Ta có A.B là: 3.5=15 phần tử hay C31.C51  15 => P(A.B) = 15/56
A có C71.C51  35 phần tử => P(A) = 35/56
Vậy P( B / A) 

P( AB) 15 3


P( A) 35 7

Cách 2: do lần thư nhất đã lấy được 1 bi đỏ nên không gian mẫu có 7 phần
tử. Gọi B là biến cố lần thứ 2 lấy được bi xanh.
12


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

=> B có 3 phần tử (3 bi xanh) => P(B) = 3/7
4.3.Công thức nhân xác suất:
P(A  B)  P(A).P(B / A)  P(B).P  A / B

Hoặc: P(A.B)  P(A).P(B / A)  P(A).P  B / A 
……………….
Dãy biến cố A1,A2,…,An
P(A1.A2 ....An )  P(A1 ).P(A2 / A1 ).P(A3 / A1A2 )....P(A n / A1A 2 ...An 1 )

Ví dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm, có 8 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. một
người lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng lại. tính
xác suất để người này dừng lại ở lần thứ ba.
Giải: Gọi A là biến cố lần 1 lấy được sản phẩm tốt:
=> P(A) = 8/10=4/5=0,8

(không gian mẫu 10 phần tử)

Gọi B là biến cố lần 2 lấy được sản phẩm tốt:
=> P(B) = 7/9 = 0,8 (không gian mẫu 9 phần tử)
Gọi C là biến cố lần 3 lấy được sản phẩm xấu:
=> P(C) = 2/8 = 1/4 = 0,25 (không gian mẫu 8 phần tử)
Như vậy biến cố A.B.C là lần 1 tốt, lần 2 tốt và lần 3 xấu.
=> P(ABC) = P(A).P(B/A).P(C/AB)= 4/5.7/9.1/4=7/45
Ví dụ 2: Một sinh viên học niên chế được thi lại 1 lần, nếu lần 1 bị thi hỏng
(hai lần thi độc lập nhau). Biết rằng xác suất để sinh viên này thi qua lần 1 và lần 2
tương ứng là: 0.6 và 0,8. Tính xác suất sinh viên này thi qua.
Giải: Gọi A là biến cố Sv thi qua lần 1.
Gọi B là biến cố Sv thi hỏng lần 1 và thi qua lần 2.
Gọi C là biến cố Sv thi qua lần 2.
P  B  P(A).P  C   P(A).P(C / A)  1  0,6 .0,8  0,32

Biến cố A+B là biến cố Sv thi qua. Ta tính: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)
(do A và B xung khắc hay là xảy ra một trong 2 nên P(A.B) = 0)
P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,6 + 0,32 = 0,92

4.4.Biến cố độc lập:
13


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu biến cố A xảy ra
hay không xảy ra thì cũng không ảnh hưởng đến sự xảy ra của biến cố B và ngược
lại.
Định lí: Hai biến cố A, B nếu và chỉ nếu: P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) =
P(B) hoặc P(A.B) = P(A). P(B)
Ví dụ 1: Một xưởng có 3 máy hoạt động độc lập nhau. Xác suất của các máy
bị hỏng lần lượt là: 0,1; 0,2 ; 0,15. Tính xác suất:
a.Có đúng 1 máy hỏng trong ngày
b. Có ít nhất 2 máy hỏng trong ngày
Giải: Gọi A là biến cố máy thứ nhất bị hỏng, Gọi B là biến cố máy thứ hai bị
hỏng. Gọi C là biến cố máy thứ ba bị hỏng
a.P(ABC  ABC  ABC)  P(ABC)  P(ABC)  P(ABC)
 P  A  .P(B).P(C)  P(A).P  B .P(C)  P(A).P(B).P  C 
 0,1.0,2.0,85  0,9.0,2.0,85  0,9.0,8.0,15  0,068  0,153  0,108  0,329

4.5.Công thức Becnuni:
4.5.1.Định nghĩa: n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli nếu thỏa
mãn hai điều kiện sau :
i) Mỗi phép thử xảy ra hai biến cố A hoặc A
ii) P(A) = p, P(A) như nhau với mọi phép thử.
4.5.2. Bài toán: Cho phép thử bernoulli. Tìm xác suất để biến cố A xảy ra x lần.
Gọi Ai là biến cố xảy ra biến cố A ở phép thử thứ i (i:1,2,…,n) như vậy A i là

biến cố “Không xảy ra biến cố A trong lần thử thứ i.
Gọi B là biến cố “Trong n phép thử biến cố A xảy ra x lần”
Ta có: B  A1A2 ...A x A1 A2 ...A n  ...  A A ...A A n x 1...A n
1

2

nx

x

Tổng số các tích biến cố như vậy trong biểu thức trên là C n ( là số cách
chon ra x phép thử mà biến cố A xảy ra từ n phép thử ) P(Ai )  p vaø q=P(A)=1-p
Do các biến cố trong từng tích là xung khắc từng đôi với nhau nên;

P(B)  Cxn .px q nx

ta ký hiệu :

Công thức trên gọi là công thức Bernoulli
14

Pn (x)  Cxn .px q n x


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ 1: Trong một phân xưởng có 5 máy hoạt động, xác suất để trong ca

mỗi máy bị hỏng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để trong ca đó có đúng 2 máy bị
hỏng.
Giải: Ta coi hoạt động của 5 máy là 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử
này chỉ có hai trường hợp hoặc máy hỏng, hoặc máy tốt, xác suất hỏng của mỗi
máy đều như nhau và bằng 0,1. Bài toán này thỏa mãn điều kiện của dãy phép thử
Bernoulli.
Vậy: P5 (2)  C25 (0,1)2 (0,9)3  0,0729
Ví dụ 2: Bắn 6 viên đạn vào bia. Xác suất trúng đích cuẩ mỗi viên là 0,7.
Tìm xác suất để 3 viên trúng bia.

5.Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes
5.1.Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử biến cố A xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H 1,H2,…,Hn.
Nhóm H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ các biến cố. khi đó xác suất của biến cố A được
tính bằng công thức:
n

P(A)   P(H i )P(A / H i ) các biến cố H1,H2,…,Hn gọi là các giả thuyết.
i 1

Chứng minh: Vì các biến cố H1,H2,…,Hn là nhóm đầy đủ nên biến cố A chỉ
có thể xảy ra đồng thời với một trong các biến cố H i nên A = H1A + H2A +
…+HnA vì các biến cố H1,H2,…,Hn xung khắc từng đôi nên HiA và HjA cũng
xung khắc từng đôi với mọi i; j
Do đó: P(A) = P(H1A) + P(H2A) + … +P(HnA). Theo công thức nhân xác
suất có:

n

P(A)   P(Hi )P(A / H i )

i 1

Ví dụ 2: Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm trong đó có 6
chính phẩm, hộp thứ hai đựng 15 xản phẩm trong đó có 10 chính phẩm, hôp thứ ba
đựng 20 sản phẩm trong đó có 15 chính phẩm. lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lẫy
ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.
15


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giải: Gọi A là biến cố “Lấy được chính phẩm”. Biến cố A có thể xảy ra
đồng thời với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ các biến cố sau:
Hi sản phẩm lấy ra từ hộp thứ i ( i = 1,2,3) theo giải thuyết suy ra P(Hi) = 1/3.
Xác suất có điều kiện của biến cố A khi các biến cố H1, H2, H3 xảy ra bằng:
P(A/H1) = 6/10; P(A/H2) =10/15; P(A/H3) = 15/20)
3

Vậy: P(A)   P(H i )P(A / H i ) 
i1

31
45

Ví dụ 3: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 2 phân xưởng 1 và 2. Biết rằng
phân xưởng 1 sản xuất gấp 4 lần phân xưởng 2, tỷ lệ bóng đèn hỏng của phân
xưởng 1 là 10%, phân xưởng 2 là 20%. Mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy.
a.Tính xác suất để bóng đèn này hỏng.

b.Giả sử mua phải bóng đèn hỏng. tìm xác suất để bóng đèn này thuộc phân
xưởng 1, phân xưởng 2.
Giải: Gọi X1 là bóng đèn của phân xưởng 1.
X2 là bóng đèn của phân xưởng 2.
Gọi A là biến cố xác suất để bóng đèn mua là hỏng
4
1
P(X1 )  ,P(X 2 ) 
5
5
A
 A  4 10 1 20
3
P(A)  P(X1 )P    P(X 2 )P 
 .

 .
 X1 
 X2  5 100 5 100 25
A
 A 
P(X1 )P  
P(X 2 )P 

X
X
 X1 


X

2
 1   ;P 2 
 21
P  


P(A)
3  A 
P(A)
3
A

Ví dụ 4: Hộp 1 có 2 bi xanh, 4 bi đỏ. Hộp thứ 2 có 3 bi xanh, 3 bi đỏ. Rút
ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 bi và từ hộp 2 rút ra 1 bi.
a.Tìm xác suất rút ra ít nhất 1 bi đỏ.
b.Tìm xác suất rút được 2 bi xanh và một bi đỏ.
c.Nếu rút được 2 bi xanh, một bi đỏ. Tìm xác suất để 2 bi xanh rút được là
của hộp 1.
Giải: a. Gọi A là biến cố không có bi đỏ nào.
Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bi đỏ khi rút ra.
16


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

C22 C13 1 1 1
29
P(A)  2 . 1  . 

 P(B)  1  P(A) 
30
C6 C6 15 2 30

b.Phân tích ta có:
 Hoäp 1: (2X,4D)  2 bi  (2X;2D;1D;1X)

Hoäp 2: (3X,3D)  2bi  (1X;1D)

Vậy có 2x3=6 trường hợp và xác suất tương ứng như sau:
1: (2X,1D)
C22 3 1 1 1
2 : (2X,1D)  2 .  . 
C6 6 15 2 30

3 :  2D,1X 

4 :  2D,1D 

C12 C14 3 8 1 8
5 : (2X,1D)  2 .  . 
C6 6 15 2 30
6 : (1X,2D)
Cuoái cuøng ta suy ra:

1
8
9
3




30 30 30 10

Vì ở câu c đòi hỏi 2 bi xanh của hộp 1, nên ta gọi Xi là số viên bi xanh lấy
được từ hộp 1. ta có bảng xác suất như sau:
Xi

0

1

2

P(Xi)

C24 6

C26 15

C12C24 8

15
C26

C22 1

C26 15

Gọi B là biến cố lấy được 2X và 1D, ta có:

P(B) = P(X0)P(B/H1) + P(X1)P(B/X1) + P(X2)P(B/X2)
=

1
8 3 1 3 3
x0  x  x 
15
15 6 15 6 10

c.Công thức Bayes áp dụng là:
1 3
 X1  P(X2 )P(B / X2 ) 15 X 6 1
P  


3
B
P(B)
9
 
10

5.2.Công thức Bayes:
17


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giả sử biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong n biến cố
A1,A2,…,An tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố .
Ta có công thức nhân: p(Ai  B)  p(Ai ).p(B / A i )  p(B).p(A i / B)
Suy ra: P(A i / B) 

P(A i )P(B / A i )
P(A i )P(B / A i )
 n
P(B)
 P(A i )P(B / A i )

Công thức này

i1

gọi là công thức Bayes (công thức này cho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các
giải thuyết sau khi đã biết kết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra)
Ví dụ 1: Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu
nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người trả lời “Sẽ mua”, 96
người trả lời “Có thể sẽ mua” và 70 người trả lời “Không mua”. Kinh nghiệm cho
thấy tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với các câu trả lời trên
là 40%, 20%; 1%
a.Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó.
b.Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả
lời sẽ mua?
Giải: a. Thị trường tiềm năng của sản phẩm chính là tỷ lệ khách hàng thực
sự sẽ mua sản phẩm đó. Goi A là biến cố “Lấy ngẫu nhiên một khách hàng thì
người đó thực sự sẽ mua sản phẩm” Có 3 giả thuyết đối với khách hàng đó:
H1 người đó trả lời “Sẽ mua”; H2- người đó trả lời “Có thể mua”; H3-người
đó trả lời “Không mua”. Theo công thức xác suất đầy đủ thì

P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3)


34
96
70
0, 4 
.0, 2 
.0, 01  0,1675
200
200
200

Vậy tiềm năng của sản phẩm này là 16,75 %
b.Theo công thức Bayes :
P(H1 / A) 

P(H1 )P(A / H1 ) 0,17x0, 4

 0, 40597  40, 597%
P(A)
0,1675

Ví dụ 2: Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm trong từng lô tương ứng là: 6%;
2%; 1%. Chọn ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ lô này chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm
a.Tìm xác suất để lấy được phế phẩm
18


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

b.Biết lấy được phế phẩm, Tìm xác suất được chọn của từng lô hàng
Giải: a: Phép thử chọn ngẫu nhiên 1 lô sau đó lấy ra 1 sản phẩm
Gọi A1 là biến cố chọn lô 1, Gọi A2 là biến cố chọn lô 2, Gọi A3 là biến cố
chọn lô 3, Ta có hệ đầy đủ {A1;A2;A3}
Gọi B là biến cố lấy được phế phẩm
Ta có 3 lô hàng => không gian mẫu là   3
Chọn 1 lô : => P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3

P(B)   P(A i )P(B / A i )  P  A1 .P  B / A1   P  A 2 .P  B / A 2  P  A 3 .P  B / A 3 
3

i 1

=1/3.0,6 + 1/3.0,02 + 1/3.0,01 = 0,03
b. Tìm xác suất được chọn của từng lô hàng
P(A1 )P(B / A1 ) 1 / 3.0,06 2


P(B)
0,03
3
P(A 2 )P(B / A 2 ) 1 / 3.0,02 2
P(A 2 / B) 


P(B)
0,03

9
P(A 3 )P(B / A 3 ) 1 / 3.0,01 1
P(A 3 / B) 


P(B)
0,03
9
P(A1 / B) 

Ví dụ 3: Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 2 phân xưởng I và II, phân
xưởng II sản xuất gấp 4 lần phân xưởng I. tỷ lệ bóng hỏng của phân xưởng I là
10%, tỷ lệ bóng hỏng của phân xưởng II là 20%. Mua một bóng đèn do nhà máy
sản xuất.
a.Tính xác suất để mua được bóng tốt.
b.Biết rằng mua được bóng tốt, tính xác suất để bóng đèn do phân xưởng I
sản xuất.
Giải: a. phép thử mua bóng đèn, gọi A là biến cố mua bóng đèn ở phân
xưởng I, gọi B là biến cố mua bóng đèn ở phân xưởng II.
Hệ đầy đủ {A, B}, Gọi C là biến cố mua được bóng tốt.
Giải hệ: P(A)=4P(B) và P(A)+P(B)=1
Ta có : P(A)=1/5 và P(B)= 4/5
Áp dụng công thức ta có:
P(C) = P(A).P(C/A) + P(B).P(C/B)
19


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

1
4
1
4
 . 1  10%  . 1  20%  .0,9  .0,8  0,825
5
5
5
5

b. Tính xác suất để bóng đèn do phân xưởng I sản xuất.
P(A1 / C) 

P(A1 )P(C / A1 ) 1 / 5.0,9

 0,218
P(C)
0,825

Ví dụ 4: Trong một trạm cấp cứu có 80% phỏng do nóng và 20% phỏng do
hóa chất, loại phỏng do nóng có 30% bị biến chứng, loại phỏng do hóa chất có
50% bị biến chứng.
a. Tính xác suất khi bác sỹ mở tập hồ sơ của bệnh nhân gặp 1 bệnh án của
bệnh nhân bị biến chứng.
b. Biết bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng, tính xác suất do:
(1) Do nóng gây nên.

(2) Do hóa chất gây nên.

Giải: a. Gọi A1 là biến cố phỏng do nóng gây nên. Gọi A2 là biến cố phỏng
do hóa chất gây nên. Hệ đầy đủ: {A1; A2}
P(A1)=80%=4/5 ;

P(A2)=20%=1/5

Gọi B là biến cố gặp bệnh án biến chứng
P(B) = P(A1).P(B/ A1) + P(A2).P(B/A2)
= 4/5.30% + 1/5.50%=17/50
b. P(A1 / B) 
P(A 2 / B) 

P(A1 )P(B / A1 ) 4 / 5.3 / 10 12


P(B)
17 / 50
17

P(A 2 )P(B / A 2 ) 1 / 5.1 / 2 5


P(B)
17 / 50 17

Ví dụ 5: Một đám đông người mà số đàn ông băng một nửa số phụ nữ, xác
suất để 1 người đàn ông bị bệnh tim là 0,06, xác suất để 1 người phụ nữ bị bệnh
tim là 0,036. chọn ngẫu nhiên một người.
a. Tính xác suất để người được chọn bị bệnh tim?
b. Tính xác suất để người bị bệnh tim trong đám đông là đàn ông?

Gải: a. Gọi A1 là biến cố chọn được đàn ông. Gọi A2 là biến cố chọn được
phụ nữ. Ta có hệ đầy đủ {A1; A2}
Gọi B là biến cố người chọn bị bệnh tim
20


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giải hệ: P(A1)=1/2P(A2) và P(A1)+P(A2)=1
=> P(A1) = 1/3 ;

P(A2) = 2/3 => P(B) = P(A1).P(B/ A1) + P(A2).P(B/ A2)

= 1/3.0,06 + 2/3.0,036 = 0,044
b. P(A1 / B) 

P(A1 )P(B / A1 ) 1 / 3.0,06

 0,45
P(B)
0,044

Ví dụ 6: Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 nhà máy. Máy A sản xuất
25%, máy B: 35%, máy C: 40% số bóng đèn. Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi máy
trên số sản phẩm do máy đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1%. Một người mua bóng
đèn do nhà máy đó sản xuất.
a.Tính xác suất để sản phẩm này do máy A sản xuất.
b.Tính xác suất để sản phẩm này tốt.

Giải a. Gọi A là biến cố sản phẩm được mua do mày A sản xuất.
Ta có: P(A)=0,25 vì máy A sản xuất 25% sản phẩm của nhà máy.
b.Gọi H1 là biến cố sản phẩm được mua do máy A sản xuất
Gọi H2 là biến cố sản phẩm được mua do máy B sản xuất
Gọi H3 là biến cố sản phẩm được mua do máy C sản xuất
Ta có: P(B)=P(H1)P(B/H1)+P(H2)P(B/H2)+ P(H3)P(B/H3)
=0,25.0,03+0,35.0,02+0,4.0,01=0,0185
Ví dụ 7: Có 3 hộp thuốc. Hộp 1 có 5 ống tốt và 2 ồng xấu. Hộp 2 có 4 ống
tốt và 1 ống xấu. Hộp 3 có 3 ống tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ hộp đó rút ngẫu
nhiên 2 ống thuốc.
a.Tìm xác suất để được một ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu.
b.Giả sử khi rút 2 ống thuốc, ta thấy có 2 ống thuốc tốt. Tìm xác suất để các
ống đó ở hộp 2.
Giải: +Gọi H1 là hộp thuốc thứ nhất
+Gọi H2 là hộp thuốc thứ hai
+Gọi H3 là hộp thuốc thứ ba
+Gọi T là xác suất lấy được ống thuốc tốt và 1 ống thuốc xấu
+Gọi B là xác suất lấy được 2 ống thuốc tốt
21


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

P(H1)=1/3=P(H2)=P(H3)
P(T)=P(H1)P(T/H1)+ P(H2)P(T/H2)+ P(H3)P(T/H3)
1 1
1 2
1 C5C2 1 C4C1 1 0

92
 . 2  . 2  . 2
3 C7
3 C5
3 C3 315

P(B)=P(H1)P(B/H1)+ P(H2)P(B/H2)+ P(H3)P(B/H3)
2
2
2
1 C5 1 C4 1 C3 218
= . 2+ . 2+ . 2=
3 C7 3 C5 3 C3 945

 B
P(H 2 )P 

H2 
 H2 

P


P(B)
 B

1 C24
.
3 C25 189


218 218
945

5.3.Công thức Bernoulli
Xét một phép thử với không gian mẫu  và xét biến cố A   với xác suất
P(A)=p, ta thực hiện phép thử này n lần một cách độc lập và quan sát số lần xảy ra
biến cố A.
Đặt: Hk=“Biến cố A xảy ra đúng k lần”, với k = 0,1,2…n
Ta có: P(H k )  Cnk p k (1  p)n k

Chương 2: Luật phân phối xác suất
1.Định nghĩa:
Một biến số được gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quả của phép thử nó sẽ
nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động
của các nhân tố ngẫu nhiên.
Hay: BNN X là biến nhận giá trị thực tùy ý thuộc vào kết quả của phép thử.
Ví dụ 1: Gieo một đồng xua cân đối đồng chất 2 lần, X là số lần xuất hiện
mặt sấp. X có thể lấy các giá trị: SS, SN, NS NN.

22


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ 2: Một hộp có 7 bi trắng và 3 bi đen, lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 bi từ
hộp. gọi X là số bi trắng có trong 4 bi lấy ra.
Ta có thể thấy X các giá trị: 1, 2, 3, 4
Ta viết : X={1,2,3,4}

Ví dụ 3: Tung một con xúc xắc , gọi X là “Số chấm xuất hiện” thì X là biến
ngẫu nhiên vì trong kết quả của phép thử X có thể nhận một trong 6 giá trị: 1, 2, 3,
4, 5, 6.
Ví dụ 4: Gọi X là “Số con trai trong 100 trẻ sắp sinh ra tại một nhà hộ sinh”
X là một biến ngẫu nhiên.
Ví dụ 5: Gọi Y là “Khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn đến tâm bia” Y
là biến ngẫu nhiên.
2.Phân loại biến ngẫu nhiên:
2.1.Biến ngẫu nhiên gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó lập nên một tập
hợp hữu hạn hoặc đếm được.
Ví dụ 1: gieo một đồng tiền. gọi X là kết quả với quy ước nếu ra mặt ngửa
thì ghi 0, ra mặt sấp thì ghi 1. xác suất ra 0 là 1/2, xác suất ra 1 là 1/2. ta có kết quả
dưới dạng bảng:
X

0

1

P

1/2

1/2

Cũng gieo đồng tiền nhưng quy ước nếu ngửa thì coi như thua và phải nộp
10 đ, sấp coi như thắng và nhận được 10 đ. Số tiền thu được Y sẽ là -10 hoặc 10
với xác suất bằng nhau và bằng 1/2.
Y

-10

10

P

1/2

1/2

2.2.Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy một
khoảng trên trục số.
Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là biến
ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Dễ thấy X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.
Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc.

23


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ 2: Trong thí dụ 3 ở mục 1 thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục vì ta không
thể liệt kê ra khoảng cách một cách chính xác điểm chạm của viên đạn tới tâm bia
sau các lần thử.
Ví dụ 3: Gọi Z là “Số người vào mua hàng tại một siêu thị trong một ngày”
Z là biến ngẫu nhiên rời rạc vì các giá trị có thể có của Z lập nên một tập hợp đếm
được .
Ví dụ 4: Gọi K là “năng suất lúa vụ mùa của một tỉnh” k là biến ngẫu nhiên

liên tục.
Chú ý: Sự khác biệt giữa biến cố ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên
Biến cố ngẫu nhiên ta hiểu là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra
trong một phép thử. Còn biến ngẫu nhiên X là một biến cố mà chắc chắn nó sẽ
nhận một giá trị nào đó trong số các giá trị có thể có của nó khi phép thử được
thực hiện.
Chú ý: 1.BNN nhận hữu hạn hay đếm được giá trị thì ta gọi là Bnn rời rạc.
2. Bnn nhận giá trị trong một khoảng hay đoạn thì gọi là Bnn liên tục.
3.Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên
Việc các biến ngẫu nhiên nhận một giá trị nào đó trong kết quả của một phép
thử thực chất chỉ là một biến cố ngẫu nhiên, do đó nếu chỉ biết các giá trị có thể có
của nó thì ta mới chỉ biết được rất ít thông tin về biến ngẫu nhiên đó. Ta cần phải
xác định các xác suất tương ứng với các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên để
hoàn toàn xác định nó.
3.1.Định nghĩa: Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng
giữa các giá trị có thể có của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó.
3.2.Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử biến ngẫu nhiên rời ạc X có thể nhận các giá trị: x 1, x2, ….,xn với các xác
suất tương ứng là: p1, p2,…., pn. Ta lập bảng sau:
X

x1

x2 …….xi…………..xn

P(xi)

p1

p2

pi
24

pn


ThS: Đặng Xuân Quỳnh

Bài Giảng: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

0  pi  1, i
Với:  n
 pi  1
 i 1

Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai đồng tiền cân đối đồng chất. Gọi “ X là biến
ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có bảng phân phối xác suất sau:
X

0

1

2

P(X=i)

¼

2/4

2/4

Ví dụ 2: Trong một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm. Lấy ngẫu
nhiên 2 sản phẩm. Tìm quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
Giải: Gọi Y là “Số chính phẩm lấy ra” .Ta có bảng phân phối sau:
Y
P(X=i)

0
C 42
2

2
C10 15

1
C 61 .C 41
8

2
15
C10

2
C 62
5


2
C10 15

(lấy được 0 chính phẩm tương đương với việc lấy được 2 phế phẩm)
Kiểm tra:

2 8 5
  1
15 15 15

Ví dụ 3: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,8. Xạ thủ được phát từng
viên đạn để bắn cho tới khi trúng bia. Tìm quy luật phân phối xác suất số viên đạn
được phát.
Giải: Gọi X là “Số viên đạn được phát” X là biến ngẫu nhiên rời rạc và có
thể nhận các giá trị k:= 1, 2, 3, ….., k,…
Khi X =1 tức là bắn phát đầu tiên trúng bia luôn P(X=1) = 0,8
Khi X =2 Tức là phát thứ nhất trượt, phát thứ hai trúng bia, hai lần bắn là
độc lập với nhau nên theo công thức nhân xác suất P(X=2) = 0,2.0,8
Khi X=k Lập luận tương tự như trên P(X=k) = (0,2)k-1.0,8
Ta có bảng phân phối xác suất như sau:
X

1

2 ….

P(X=i)

0,8

0,2.0,8 ….

25

……..k,……
(0,2)k-1.0,8……